ANÁLISIS TENSORIAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS: NOTACIÓN Y FORMULARIO F. Navarrina, L. Ramírez & GMNI GMNI — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Universidad de A Coruña, España e-mail: [email protected]página web: http://caminos.udc.es/gmni UNIVERSIDAD DE ACORUÑA —GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN I NGENIERÍA
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ANÁLISIS TENSORIAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS:NOTACIÓN Y FORMULARIOF. Navarrina, L. Ramírez & GMNI
GMNI — GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y PuertosUniversidad de A Coruña, España
UNIVERSIDAD DE A CORUÑA — GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Tensores homogéneos de orden superior (IIb)
CAMBIO DE BASE DE LOS COMPONENTES DE UN TENSOR:
T˜ = (~hi ⊗ ~hq) t
iq
~h′α = ~hi
∂ui
∂vα
~h′µ
= ~hq ∂v
µ
∂uq
=⇒ T˜ = (~h ′α ⊗ ~h ′µ) t ′αµ con
tiq =
∂ui
∂vα∂vµ
∂uqt′αµ
t′αµ =
∂vα
∂ui∂uq
∂vµtiq (*)
T˜ = (~hp ⊗ ~hj) t
jp
~h′λ
= ~hp ∂v
λ
∂up
~h′β = ~hj
∂uj
∂vβ
=⇒ T˜ = (~h ′λ ⊗ ~h ′β) t
′ βλ
con
tj
p =∂vλ
∂up∂uj
∂vβt′ βλ
t′ βλ
=∂up
∂vλ∂vβ
∂ujtj
p (**)
(*) Cambio CONTRA–COVA(**) Cambio COVA-CONTRA
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Tensores homogéneos de orden superior (III)
OPERACIONES DE SUBIDA Y BAJADA DE ÍNDICES:
T˜ = (~hi ⊗ ~hj) tij
~hp
= ~hi gip
~hq
= ~hj gjq
=⇒
T˜ = (~hp ⊗ ~hj) t
jp con
tij
= giptj
p
tj
p = gpi tij
T˜ = (~hi ⊗ ~hq) t
iq con
tij
= gjqtiq
tiq = gqj t
ij
T˜ = (~hp ⊗ ~h
q) tpq con
tij
= gipgjqtpq
tpq = gpi gqj tij
(*)
(*) El mismo tensor T˜ se puede expresar en 2n bases tensoriales diferentes, donde n es el orden del tensor.
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Símbolos de Christoffel (I)
EXPRESIÓN GENERAL:
∂~hi∂u j
= ~hk Γkij (*)
⇓
Γkij =1
2gk`
(∂gi`∂u j
+∂gj`∂u i− ∂gij∂u `
)(**)
(*) Son las componentes de las derivadas de los vectores naturales (respecto a las curvilíneas)expresadas en la propia base de vectores naturales.Quedan totalmente definidos por el tensor métrico y sus derivadas.
(**) Los símbolos de Christoffel NO SON TENSORES (a pesar de que la notación parece indicarlo).
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Símbolos de Christoffel (II)
PROPIEDADES ÚTILES:
1) Γkij = Γkji
2)∂gij∂u `
= gjm Γmi` + gim Γmj`
3) Γii` =1
2g
∂g
∂u `donde g = det(G˜)
4)∂~h p
∂u j= −~h r Γprj
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Derivación tensorial (Ia)
DIFERENCIAL Y DERIVADA DIRECCIONAL DE UN CAMPO ESCALAR:
Diferencial:
f(u) −→ df =∂f
∂ujdu
j
Derivada Direccional:
f(u)∣∣∣u=uo+λs
= Φ(λ) −→ Φ′(0) = lim
λ→0
f(uo + λs)− f(uo)
λ=∂f
∂uj(uo) s
j
⇓
Dsf (uo) =∂f
∂uj(uo) s
j
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Derivación tensorial (Ib)
DERIVADA TENSORIAL (O COVARIANTE) DE UN CAMPO ESCALAR:
f(u) −→ f, j =∂f
∂uj
Cambio de coordenadas curvilíneas:
f(u)
u = φ(v)
−→ ϕ(v) = f(u)
∣∣∣u=φ(v)
⇓
ϕ,β =∂ϕ
∂vβdonde ϕ,β = f, j
(∂uj
∂vβ
)(*)
(*) Cambio tensorial COVARIANTE =⇒ f, j son las comp. covariantes de un vector (GRADIENTE).
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Derivación tensorial (IIa)
DIFERENCIAL Y DERIVADA DIRECCIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL:
Diferencial:
~f(u) = ~hi fi(u) = ~h
pfp(u) −→ d~f =
∂ ~f
∂ujdu
j
Derivada Direccional:
~f(u)∣∣∣u=uo+λs
= ~Φ(λ) −→ ~Φ′(0) = lim
λ→0
~f(uo + λs)− ~f(uo)
λ=∂ ~f
∂uj(uo) s
j
⇓
Ds~f (uo) =
∂ ~f
∂uj(uo) s
j
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Derivación tensorial (IIb)
DERIVADA TENSORIAL (O COVARIANTE) DE UN CAMPO VECTORIAL:
campo en componentes contravariantes −→ ~f(u) = ~hi fi(u)
⇓
∂ ~f
∂uj=∂~hi∂uj
f i+ ~hi∂f i
∂uj=(~hk Γkij
)f i+ ~hi
∂f i
∂uj
=(~hi Γikj
)f k+ ~hi
∂f i
∂uj= ~hi
(∂f i∂uj
+ Γikj fk)
⇓
∂ ~f
∂uj= ~hi f
i, j con f i, j =
∂f i
∂uj+ Γikj f
k
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Derivación tensorial (IIc)
DERIVADA TENSORIAL (O COVARIANTE) DE UN CAMPO VECTORIAL:
campo en componentes covariantes −→ ~f(u) = ~h p fp(u)
⇓
∂ ~f
∂uj=∂~h p
∂ujfp+ ~h p
∂fp∂uj
=(−~h r Γprj
)fp+ ~hp
∂fp∂uj
=(−~h p Γrpj
)fr + ~h p
∂fp∂uj
= ~h p(∂fp∂uj
− Γrpj fr
)⇓
∂ ~f
∂uj= ~h p fp, j con fp, j =
∂fp∂uj− Γrpj fr
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Espacios de Riemann (I)
VARIEDAD DE RIEMANN:
⇒
u ≡ coordenadas cuvilíneas, u =
u1
...uν
G˜(u) ≡ tensor métrico, G˜(u) es SIM. y DEF+
(*)
(*) Luego se tienen únicamente en cuenta las propiedades métricas de la variedad.=⇒ ¡El espacio en el que se halla inmersa la variedad es irrelevante!.
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Espacios de Riemann (II)
TENSOR DE RIEMANN:
R ijk` =
∣∣∣∣∣ ∂∂uk
∂∂u`
Γijk Γij`
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣Γiαk Γiα`
Γαjk Γαj`
∣∣∣∣∣ (*)
TENSOR DE RICCI:
Rij = Rαiαj −→ Rij = ρ gij (**)
(*) Contiene toda la información sobre la curvatura de la variedad.Queda totalmente definido por el tensor métrico y sus derivadas.
(**) Ejemplo de aplicación en Teoría de la Relatividad: ecuación de la gravitación de Einstein(en puntos donde hay materia).
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Tensores en Mecánica Computacional: ejemplos (I)
TENSOR DE TENSIONES(σ˜):
~n = ~hi ni
S(~hi) = ~h` σ`i
=⇒ S(~n) = ~σ = ~h` σ` con σ` = σ `i n
i
m
~n = H˜ nS(H˜ ) = H˜ σ˜
=⇒ S(~n) = ~σ = H˜ σ con σ = σ˜ nUNIVERSIDAD DE A CORUÑA — GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Tensores en Mecánica Computacional: ejemplos (IIa)
TENSOR GRADIENTE DE MOVIMIENTOS(F˜L):
r = r
L(r
0, t), r
L(r
0, t)︸ ︷︷ ︸
MOVIMIENTO
= r0+ u
L(r
0, t)︸ ︷︷ ︸
DESPLAZAMIENTO
,
Ω(t) = rL(Ω
0, t). ←− DOMINIO MATERIAL
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Tensores en Mecánica Computacional: ejemplos (IIb)
Movimientos relativos del medio en el entorno de un punto:
δr = rL(r
0+ δr
0, t)− r
L(r
0, t) =
[∂rL
∂r0
]δr
0+O(‖δr
0‖2),
Luego,
δr = F˜L δr0+O(‖δr
0‖2), con F˜L =
[∂rL
∂r0
]= I˜+ J˜L, J˜L =
[∂uL
∂r0
].
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