Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza 1. Distancia entre dos puntos Punto medio Magnitud de un vector Suma de dos vectores Resta de dos vectores Multiplicación escalar por vector Dirección de los vectores Vector a partir de dos puntos = (− ) +(− ) + , + Si =< , > y =< , > = + + =< + , + > − =< − , − > =< , > = Si =(, ) y =(, ) =< − , − > = (− ) +(− ) +(− ) + , + , + Si =< , , > y =< , , ,> = + + + =< + , + , + > − =< − , − , − > =< , , > Cosenos Directores = |||| = |||| = |||| Si =(, , ) y =(, , ) =< − , − , − > x z y CONCEPTO 2 3
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Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
1.
Distancia entre dos
puntos
Punto
medio
Magnitud de un
vector
Suma de dos
vectores
Resta de dos
vectores
Multiplicación
escalar por vector
Dirección de los
vectores
Vector a partir de
dos puntos
Si 𝐏 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y 𝐐 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)
𝒅 𝑷𝟏𝑷𝟐 = (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
Si 𝑨 =< 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 > y 𝑩 =< 𝒃𝟏, 𝒃𝟐 >
𝑨 = 𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐
𝟐
𝑨 + 𝑩 =< 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 >
𝑨 − 𝑩 =< 𝒂𝟏 − 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 >
𝒄𝑨 =< 𝑐𝒂𝟏, 𝒄𝒂𝟐 >
𝒕𝒂𝒏𝜽 =𝒂𝟐
𝒂𝟏
Si 𝑷 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y 𝑸 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)
𝑷𝑸 =< 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 >
Si 𝑷 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) y 𝑸 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐)
𝒅 𝑷𝟏𝑷𝟐 = (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐 + (𝒛𝟐−𝒛𝟏)𝟐
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐,𝒛𝟏 + 𝒛𝟐
𝟐
Si 𝑨 =< 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 > y 𝑩 =< 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, >
𝑨 = 𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐
𝟐 + 𝒂𝟑𝟐
𝑨 + 𝑩 =< 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 >
𝑨 − 𝑩 =< 𝒂𝟏 − 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐, 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 >
𝒄𝑨 =< 𝑐𝒂𝟏, 𝒄𝒂𝟐, 𝒄𝒂𝟑 > Cosenos Directores
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =𝒂𝟏
||𝐀||
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =𝒂𝟐
||𝐀||
𝐜𝐨𝐬 𝜸 =𝒂𝟑
||𝐀||
Si 𝐏 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) y 𝐐 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐)
𝑷𝑸 =< 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 >
x
z
y
𝛼
𝛾
𝛽
CONCEPTO 2 3
Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza
2.
Vector unitario
Producto Punto
Angulo entre dos
vectores
Producto cruz
Área del
paralelogramo
Área del triangulo
Volumen del
paralelepípedo
𝐔𝐀 =𝐀
||𝐀||
𝐔𝐀 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒋
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝑨 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝑨 ∙ 𝑩
𝑨 𝑩
_
𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝑨 × 𝑩
𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝟏
𝟐 𝑨 × 𝑩
_
𝐔𝐀 =𝐀
||𝐀||
𝐔𝐀 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜸
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒂𝟑𝒃𝟑
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝑨 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝑨 ∙ 𝑩
𝑨 𝑩
𝐀 × 𝐁 = 𝒊 𝒋 𝒌
𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑
𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑
= 𝒂𝟐 𝒂𝟑
𝒃𝟐 𝒃𝟑 𝒊 −
𝒂𝟏 𝒂𝟑
𝒃𝟏 𝒃𝟑 𝒋 +
𝒂𝟏 𝒂𝟐
𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒌
= 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 𝒃𝟐 𝒊 − 𝒂𝟏 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 𝒃𝟏 𝒋 +
(𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟏)𝒌
_
_
𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞𝐧 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 (𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂)
= 𝑨 × 𝑩 𝑪 𝐜𝐨𝐬 𝜽
= (𝑨 × 𝑩) ∙ 𝑪
CONCEPTO 2 3
A
B
𝑨
x
z
y
𝑩
𝑪
𝜽 𝒉
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3.
Identidad
Trabajo
Función Vectorial
Derivada de una
función vectorial
Integral indefinida
de una función
vectorial
Integral definida
de a a b de una
función vectorial
Longitud de arco
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 + 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒋 = 𝒂𝟏
||𝐀||𝒊 +
𝒂𝟐
||𝐀||𝒋
𝒘 = 𝒇 ∙ 𝒅
𝒘 = 𝒇 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒓 𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒋
𝒓′ 𝒕 = 𝒇′ 𝒕 𝒊 + 𝒈′ 𝒕 𝒋
𝒓 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝒊 +
𝒈 𝒕 𝒅𝒕 𝒋 + 𝑪
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪 = 𝑪𝟏𝒊 + 𝑪𝟐𝒋
𝒓(𝒕)𝒅𝒕𝒃
𝒂
= 𝒇 𝒕 𝒅𝒕𝒃
𝒂
𝒊
+ 𝒈 𝒕 𝒅𝒕𝒃
𝒂
𝒋
𝑳 = 𝒓´(𝒕) 𝒅𝒕𝒃
𝒂
= 𝒇´(𝒕) 𝟐 + 𝒈´(𝒕) 𝟐 𝒅𝒕𝒃
𝒂
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛃 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛄 = 𝟏
𝒘 = 𝒇 ∙ 𝒅
𝒘 = 𝒇 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒓 𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒋 + 𝒉 𝒕 𝒌
𝒓′ 𝒕 = 𝒇′ 𝒕 𝒊 + 𝒈′ 𝒕 𝒋 + 𝒉′ 𝒕 𝒌
𝒓 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒅𝒕 𝒋 +
𝒉 𝒕 𝒅𝒕 𝒌 + 𝑪
𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪 = 𝑪𝟏𝒊 + 𝑪𝟐𝒋 + 𝑪𝟑𝒌
𝒓(𝒕)𝒅𝒕𝒃
𝒂
= 𝒇 𝒕 𝒅𝒕𝒃
𝒂
𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒅𝒕𝒃
𝒂
𝒋
+ 𝒉 𝒕 𝒅𝒕𝒃
𝒂
𝒌
𝑳 = 𝒓´(𝒕) 𝒅𝒕𝒃
𝒂
= 𝒇´(𝒕) 𝟐 + 𝒈´(𝒕) 𝟐 + 𝒉´(𝒕) 𝟐 𝒅𝒕𝒃
𝒂
CONCEPTO 2 3
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4.
Ecuación
Cartesiana del
Plano
Ecuación de la
esfera forma
centro radio
Ecuación General
de la esfera
Velocidad
Aceleración
Rapidez
Componente
tangencial de la
aceleración
Componente
normal de la
aceleración
Gradiente
Derivada
Direccional
𝒂 𝒙 − 𝒙𝟏 + 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟏 + 𝒄 𝒛 − 𝒛𝟏 = 𝟎
Donde P(x1,y1,z1) está en el plano y n= ai + bj + ck es normal al plano
𝒓𝟐 = 𝒙 − 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒃 𝟐 + 𝒛 − 𝒄 𝟐
Donde r es el radio y el centro de la esfera es P(a,b,c)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎
𝑽 𝒕 = 𝒓´(𝒕)
𝒂 𝒕 = 𝐯´ 𝒕 = 𝒓´´(𝒕)
𝒗 𝒕 = 𝒓´(𝒕)
𝒂𝒕 =𝒓´ 𝒕 ∙ 𝒓´´(𝒕)
𝒓´(𝒕)
𝒂𝒏 = 𝒓´ 𝒕 × 𝒓´´(𝒕)
𝒓´(𝒕)
𝛁𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 =𝝏𝑭
𝝏𝒙𝒊 +
𝝏𝑭
𝝏𝒚𝒋 +
𝝏𝑭
𝝏𝒛𝒌
𝐃𝐮𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝛁𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) ∙ 𝒖
Donde u es un vector unitario
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