1 FORMULARIO CÁLCULO I Ing. Alfredo Vargas Oroza LÍMITES Si b, c, n, A y B son números reales, siendo f y g funciones tales que, lim () x c fx A y lim () x c gx B , entonces: 1) lim x c b b 2) lim x c x c 3) lim () x c bfx bA 4) lim () () x c fx gx A B 5) lim () () x c fxgx AB 6) () lim 0 () x c fx A B gx B 7) n n c x c x lim 8) e x x x 1 0 ) 1 ( lim 9) e x x x 1 1 lim 10) a x a x x ln 1 lim 0 11) 0 sin lim 1 x x x 12) 0 1 cos lim 0 x x x FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Sean u, v funciones de x ; c una constante 0 ) ( c dx d ' cu cu dx d x x e e dx d x x d e e dx ' 1 ln u u u dx d a u u u dx d a ln ' log ' ' ) ( v u v u dx d ' ' uv v u uv dx d dx du du dy y dx d dx du u u u dx d ' 1 u nu u dx d n n 2 ' ' v uv v u v u dx d ' cos sin u u u dx d ' sin cos u u u dx d ' sec tan 2 u u u dx d ' tan sec sec u u u u dx d
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FORMULARIO CÁLCULO I
Ing. Alfredo Vargas Oroza
LÍMITES
Si b, c, n, A y B son números reales, siendo f y g funciones tales que,
lim ( )x c
f x A y lim ( )x c
g x B , entonces:
1) limx c
b b 2) limx c
x c
3) lim ( )x c
b f x b A 4) lim ( ) ( )x c
f x g x A B
5) lim ( ) ( )x c
f x g x A B 6) ( )
lim 0( )x c
f x AB
g x B
7) nn
cxcxlim 8) ex x
x
1
0)1(lim 9) e
x
x
x
11lim
10) ax
a x
xln
1lim
0 11)
0
sinlim 1x
x
x 12)
0
1 coslim 0x
x
x
FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean u, v funciones de x ; c una constante
0)(cdx
d 'cucu
dx
d
xx eedx
d
x xde e
dx '
1ln u
uu
dx
d
au
uu
dx
da
ln
'log
'')( vuvudx
d '' uvvuuv
dx
d
dx
du
du
dyy
dx
d
dx
du
u
uu
dx
d '1unuu
dx
d nn
2
''
v
uvvu
v
u
dx
d
'cossin uuudx
d 'sincos uuu
dx
d
'sectan 2 uuudx
d 'tansecsec uuuu
dx
d
2
'cotcsccsc uuuudx
d 'csccot 2 uuu
dx
d
'coshsinh uuudx
d 'sinhcosh uuu
dx
d
'sectanh 2 uuhudx
d 'csccoth 2 uuhu
dx
d
'tanhsecsec uuuhuhdx
d 'cothcsccsc uuuhuh
dx
d
21
1arcsin
xx
dx
d
1
1arcsin
2xxh
dx
d
21
1arccos
xx
dx
d
1
1arccos
2xxh
dx
d
21
1arctan
xx
dx
d
21
1arctan
xxh
dx
d
21
1cot
xxarc
dx
d
21
1coth
xxarc
dx
d
Criterio de la primera derivada para extremos relativos
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Sea f continua en [a,b], diferenciable en (a,b) tal que existe un punto c tal que
f ’(c)=0, entonces:
Si f ’’(c) > 0, f(c) es un mínimo relativo.
NINGUNO - -
NINGUNO + +
MÍNIMO
+ -
MÁXIMO
- +
c, f(c) Signo de
f ‘ en (c,b) GRÁFICO
a c b
Signo de f ‘ en (a,c)
Sea f una función continua en
(a,b) y c un único valor crítico
de f en el intervalo. Si f es
diferenciable en el intervalo
(excepto posiblemente en c),
entonces, la función tendrá o
no un extremo relativo de
acuerdo al criterio detallado en
el siguiente cuadro:
3
Si f ’’(c) < 0, f(c) es un máximo relativo.
Puntos de inflexión
Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su
concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo, o viceversa, este punto se
denomina punto de inflexión.
Si (c,f(c)) es un punto de inflexión, entonces o bien f’’(c)=0 o f’’(c) no existe.
Regla de L’Hopital Una función racional de la forma f(x)/g(x) en la cual se presenta una de las formas
indeterminadas 0/0 o / puede resolverse aplicando
( ) '( )lim lim
( ) '( )x c x c
f x f x
g x g x
Conocida como la regla de L´Hopital, la misma que puede aplicarse sucesivamente
hasta eliminar la indeterminación.
Método de newton para la resolución de ecuaciones
Este método permite aproximar ceros de una ecuación mediante iteraciones
sucesivas
)('
)(1
n
nnn
xf
xfxx
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
1;1
')11
nCn
udxuu
nn
Cedxue uu ')2
Cudxu
uln
')3 Cudxuu cos')(sin)4
Cudxuu sin')(cos)5 Cudxuu tan')(sec)6 2
Cudxuu cot')(csc)7 2 Cudxuuu sec')tan.(sec)8
Cudxuuu csc')cot.(csc)9 Cudxuu cosln')(tan)10
Cuuu sinln')(cot)11 Cuudxuu tansecln')(sec)12
Cuudxuu cotcscln')(csc)13
Ca
udx
ua
uarcsin
')14
22 C
a
u
adx
ua
uarctan
1')15
22
4
Cauudxau
u 22
22ln
')16 C
au
au
adx
au
uln
2
1')17
22
Ca
uarc
aauu
dxusec
1')18
22
Cu
uaa
auau
dxu 22
22ln
1')19
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Método de completar el cuadrado Toda expresión de la forma: x2 + bx +c puede
siempre completarse para formar un cuadrado perfecto de la siguiente manera:
4222
2222
2 bc
bx
bbcbxx
De modo que pueda integrarse a través de alguna de las fórmulas básicas de
integración.
Método de las fracciones simples. Por cada factor de la forma m
px q la
descomposición en fracciones simples ha de incluir la siguiente suma de m
fracciones: m
m
qpx
A
qpx
A
qpx
A
)(......
)()( 2
21
4) Por cada factor de la forma 2
n
ax bx c la descomposición en fracciones
simples ha de incluir la siguiente suma de n fracciones:
n
nn
cbxax
CxB
cbxax
CxB
cbxax
CxB
)(....
)( 222
22
2
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Integración por partes El método es recomendable cuando se presentan productos
de funciones, es conveniente tomar en cuenta lo siguiente;
1.-Tómese como v’ la porción mas complicada del integrando que puede integrarse
fácilmente.
2.- Tómese como u la porción mas simple del integrando que tiene por derivada u’
una expresión mas simple que la propia u
3.- Es posible que el método exija ser aplicado mas de una vez, en cuyo caso se
debe cuidar de no conmutar las elecciones iniciales de u y v , además de vigilar la
aparición de un múltiplo de la integral original que resolvería el problema.
dxvuuvdxuv ''
Integrales trigonométricas
Integrales que contienen seno y coseno
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1.- Si la potencia del seno es impar y positiva, reservar un factor seno y convertir
los demás en cosenos, luego desarrollar e integrar. 2 1 2
2 2
sin cos sin cos (sin )
(sin ) cos (sin ) (1 cos ) cos (sin )
k n k n
k n k n
x xdx x x x dx
x x x dx x x x dx
2.- Si la potencia del coseno es impar y positiva, reservar un factor coseno y
convertir los demás en senos a continuación desarrollar e integrar. 2 1 2
2 2
cos sin cos sin (cos )
(cos ) sin (cos ) (1 sin ) sin (cos )
k n k n
k n k n
x xdx x x x x dx
x x x dx x x x dx
3.- Si las potencias de ambos, seno y coseno, son pares y positivas, usar
repetidamente las identidades
2 21 cos2 1 cos2sin cos
2 2
x xx x
Hasta convertir el integrando en potencias impares del coseno
Integrales que contienen secante tangente
1.- Si la potencia de la secante es par y positiva, reservar un factor secante2 y pasar
las demás a tangentes, luego desarrollar e integrar.
dxxxxdxxxx
dxxxxxdxx
nknk
nk
nk
)(sectan)tan1()(sectan)(sec
)(sectansectansec
212212
222
2
2.- Si la potencia de la tangente es impar y positiva, reservar un factor secante
tangente y pasar los demás a secantes, luego desarrollar e integrar.
dxxxxxdxxxxx
dxxxxxxdxx
kmkm
kmkm
)tan(sec)1(secsec)tan(sec)(tansec
)tan(sectansectansec
2121
2112
3.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva,
convertir un factor tan2x en secantes. Después desarrollar y repetir el proceso si
fuera necesario.
xdxdxxx
dxxxdxxxxdx
nn
nnn
222
2222
tan)(sectan
)1(sectan)(tantantan
4.- Si no ocurre ninguna de las tres situaciones anteriores, intentar rescribir el
integrando en función de senos y cosenos.
Sustituciones trigonométricas
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Este método es aplicable a expresiones que contienen radicales, que pueden ser la
hipotenusa o los catetos de un triángulo rectángulo, se debe considerar:
1.- Para integrales que contienen 22 ua
Hágase sinau entonces cos22 aua
2.- Para integrales que contienen 22 ua
Hágase tanau entonces sec22 aua
3.- Para integrales que contienen 22 au
Hágase secau entonces tan22 aau
Integrales impropias
Se denominan así las integrales en las cuales uno o ambos límites de integración se
hacen o tienden a infinito, o bien cuando la función presenta uno o más puntos de
discontinuidad en el intervalo de integración. Para evaluar este tipo de integrales se
debe utilizar:
1) Si f es continua en el intervalo [a, ) entonces: b
ab
a
dxxfdxxf )(lim)(
2) Si f es continua en el intervalo (- ,b] entonces b
aa
b
dxxfdxxf )(lim)(
3) Si f es continua en el intervalo (- , ) entonces
dxxfdxxfdxxfc
c
)()()(
4) Si f es continua en el intervalo [a,b) y se hace infinita en b, entonces
c
abc
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
22 au
a
u
a u
θ
22 ua
θ
22 ua
a
u θ
7
5) Si f es continua en el intervalo (a,b] y se hace infinita en a , entonces
b
cac
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
6) Si f es continua en el intervalo [a,b], excepto en algún punto c en (a,b) en
el que f se hace infinita entonces
dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a
)()()(
TRIGONOMETRÍA
1OAOEOC
cos
sintan
cos
sin
OB
AB
OBOA
OB
ABOA
AB
sin
coscot;
1csc
;1
sec
AB
OB
ABAB
OA
OBOB
OA
Como los triángulos OAB OCD y OEF son semejantes se tiene:
EFOE
EF
AB
OBCD
OC
CD
OB
ABcot;tan
Las funciones inversas son:
cot
1tan;
sec
1cos;
csc
1sin
En el triángulo OAB 2222 cossin1;OBABOA
En el triángulo OCD 222 tan1sec;CDOCOD
En el triángulo OEF 222 cot1csc;EFOEOF
cossin22sin;sincoscossin)sin(
Circunferencia trigonométrica de
radio unitario
F E
D
C
A
O B
θ
8
22 sincos2cos;sinsincoscos)cos(
2tan1
tan22tan;
tantan1
tantan)tan(
2cos1
2cos1tan;
2
2cos1cos;
2
2cos1sin 222
sin)sin(;2
cos2
sin2sinsin
cos)cos(;2
sin2
cos2sinsin
tan)tan(;2
cos2
cos2coscos
2sin
2sin2coscos ;
coscos
)sin(tantan
2
cos1
2sin;
2
)sin()sin(cossin
2
cos1
2cos;
2
)cos()cos(coscos
cossin22sin;2
)cos()cos(sinsin
2222 sin11cos2sincos2cos
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Pendiente A
Bm ;
Ordenada al origen A
Cb ;
Angulo entre dos rectas21
21
1 mm
mm
Rectas perpendiculares si 2
1
1
mm
(x2,y2)
(x1,y1)
4
3
2
1
5 4 3 2 1
Distancia entre dos puntos
221
221 )()( yyxxd
Ecuaciones de la recta
bmxyCByAx
xx
yy
xx
yy
xx
yym
;0
2
2
1
1
21
21
9
CÓNICAS Ecuación Gral. de las cónicas: 022 FEyDxCyAx
Que se reduce a la forma general Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0
Donde A=b², C=a², D=-2b²h, E=-2a²k , F=b²h²+a²k²-a²b²
Los coeficientes A y C deben ser diferentes pero del mismo signo.
x=-p
P(x,y)
F(p,0)
P(x,y) A’(0,b)
A’(0,-b)
V(a,0) V’(-a,0)
F(c,0) F(-c,0)
Elipse con centro en el origen
12
2
2
2
b
y
a
x
Si la elipse tiene centro en (h,k) y ejes paralelos a