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Formelsammlungen
Formelsammlung Höhere Mathematik
vonWilhelm Göhler, Barbara Ralle
17., bearb. Aufl.
Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralle
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE
FACHBUCHHANDLUNG
Thematische Gliederung:
Mathematik Allgemein
Harri Deutsch 2011
Verlag C.H. Beck im Internet:www.beck.de
ISBN 978 3 8171 1881 6
http://www.beck-shop.de/Goehler-Formelsammlung-Hoehere-Mathematik/productview.aspx?product=9480398&utm_source=pdf&utm_medium=clickthru_lp&utm_campaign=pdf_9480398&campaign=pdf/9480398http://www.beck-shop.de/Goehler-Formelsammlung-Hoehere-Mathematik/productview.aspx?product=9480398&utm_source=pdf&utm_medium=clickthru_lp&utm_campaign=pdf_9480398&campaign=pdf/9480398http://www.beck-shop.de?utm_source=pdf&utm_medium=clickthru_lp&utm_campaign=pdf_9480398&campaign=pdf/9480398http://www.beck-shop.de/trefferListe.aspx?toc=8332&page=0&utm_source=pdf&utm_medium=clickthru_lp&utm_campaign=pdf_9480398&campaign=pdf/9480398http://www.beck.de
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Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik
– (978-3-8171-1881-6)
W. Göhler
FormelsammlungHöhere Mathematik
Zusammengestellt von Wilhelm GöhlerBearbeitet von Dipl.-Math.
Barbara Ralle
17. Auflage
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Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik
– (978-3-8171-1881-6)
Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbHGräfstraße 4760486
Frankfurt am [email protected]
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in
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Daten sind im Internet überhttp://dnb.d-nb.de abrufbar.
ISBN 978-3-8171-1881-6
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oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der
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unterliegenden Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch
übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeitvon Angaben,
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17. Auflage, 2011c©Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch,
Frankfurt am Main, 2011
Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf Druck:
freiburger graphische betriebe Printed in Germany
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Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik
– (978-3-8171-1881-6)
VorwortDie Notwendigkeit und der Zweck von Wissensspeichern in
einer Zeit der sprunghaften Entwicklungund Erweiterung der
Wissenschaft bedürfen keiner besonderen Begründung. Mit dem
vorliegendenkleinen Wissensspeicher »Höhere Mathematik – Formeln
und Hinweise« soll nun den bereits vor-handenen Formelsammlungen
nicht eine weitere, sondern eine anders geartete hinzugefügt
werden.Aufbauend auf den Kenntnissen der Elementarmathematik, an
deren wichtigste Formeln und Sätzeaus Geometrie, Arithmetik und
Goniometrie erinnert wird, wurden in den einzelnen Gebieten
derhöheren Mathematik nur die wesentlichen Formeln aufgenommen, die
im Rahmen der Grundvor-lesungen an den Hoch- und Fachschulen
behandelt werden. Das gleiche gilt für die Auswahl
derIntegrationsmethoden und Typen von Differentialgleichungen,
deren Lösungswege jeweils angedeu-tet werden.Zum leichteren
Aufsuchen der Formeln und Beziehungen wurde – obwohl eine
Formelsammlungkein Lehrbuch sein kann und soll – dem
Wissensspeicher die Systematik eines Lehrbuches bzw.einer Vorlesung
zugrunde gelegt, und zwar sowohl im einzelnen als auch insgesamt,
ohne daß aller-dings Überschneidungen und Verlagerungen gänzlich
vermieden werden konnten. Die kurzgefaßtenDefnitionen und
Erläuterungen am Anfang jedes Gebietes stellen Erinnerungshilfen
für die nachfol-genden Formeln dar. Neben der Vermittlung von
mathematischem Wissen und rechnerischen Fertig-keiten ist es die
Hauptaufgabe einer Vorlesung und damit auch des Wissensspeichers,
das mathema-tische, logische Denken zu entwickeln. Beides,
Systematik und Logik, sollen in erster Linie auch denWeg weisen,
auf dem man die jeweils gesuchte Formel finden kann. Wenn sich der
Leser die Mühegemacht hat, die Formelsammlung im Überblick zur
Kenntnis zu nehmen, wird er das Gesuchteschneller finden, als es
mit dem Sachwörterverzeichnis möglich ist. Auch werden bewußte
Erfahrun-gen und steter Gebrauch das Auffinden beschleunigen.Wenn
an manchen Stellen auf die Literatur verwiesen oder gelegentlich
ein Hinweis weggelassenwurde, so geschah das aus Platzgründen, da
nicht zuletzt der Übersichtlichkeit wegen der Umfangdes
Wissensspeichers begrenzt werden mußte.Es ist die Absicht des
Verfassers, mit diesem kleinen Wissensspeicher allen Studierenden
ein Ar-beitsmittel in die Hand zu geben, das die Formulierung und
den Ansatz mathematischer Aufgabenund damit deren Lösung
erleichtert.
W. Göhler
Vorwort zur 17. AuflageEs ist schön zu sehen, dass die vor über
40 Jahren von meinem Vater erstmals veröffentlichte For-melsammlung
immer mehr Studierenden das Eindringen in die Mathematik
erleichtert. Mit dazubeigetragen hat natürlich die ständige
Aktualisierung und Anpassung des Inhalts an die Bedürfnisseder
Mathematikausbildung unserer Hochschulen.Für die mir dabei
erwiesene fachkundige Unterstützung von Mathematikern der TU
BergakademieFreiberg, insbesondere Herrn Dr. A. Bellmann, sowie
Herrn Prof. Dr. Paditz von der Hochschule fürTechnik und Wirtschaft
Dresden möchte ich mich an dieser Stelle herzlich bedanken.Mein
Dank gilt auch dem Verlag Harri Deutsch für die gute
Zusammenarbeit.Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung des Inhalts
oder der Gestaltung der nächsten Auflagenimmt der Verlag gern
entgegen.
B. Ralle
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Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik
– (978-3-8171-1881-6)
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Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik
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Inhaltsverzeichnis
1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 é 1
2 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 é 2
3 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 5 é 3
4 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 é 4
5 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 é 5
6 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 é 6
7 Zahlenfolgen und Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 32 é 7
8 Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 34 é 8
9 Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 54 é 9
10 Differenzial- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer
Variabler . 66 é 10
11 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 é 11
12 Differenzialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 é 12
13 Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz . . . .
. . . . . . . . 80 é 13
14 Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 86 é 14
15 Lineare Systeme von Differenzialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten 88 é 15
16 Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren . . . . . . .
. . . . . . . . . . 89 é 16
17 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 é 17
18 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 95 é 18
19 Mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 é 19
20 Tabellen zur Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 é 20
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 é S
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Einige mathematische Zeichen
Zeichen Erläuterung Beispiel
AnalysisZahlbereiche
N Menge der natürlichen Zahlen 2 ∈ NZ Menge der ganzen Zahlen −2
∈ ZQ Menge der rationalen Zahlen 1/3 ∈ QR Menge der reellen
Zahlen
√2 ∈ R
C Menge der komplexen Zahlen 1 + i ∈ CIntervalle
[a,b] abgeschlossenes I.: {x | x ∈ R, a 5 x 5 b} 0 ∈ [0,1](a,b)
oder ]a,b[ offenes I.: {x | x ∈ R, a < x < b} 0 6∈ (0,1)(a,b]
oder ]a,b] links offenes I.: {x | x ∈ R, a < x 5 b} (−∞,c] = {x
| x 5 c}[a,b) oder [a,b[ rechts offenes I.: {x | x ∈ R, a 5 x <
b} [d,∞) = {x | x = d}Logik¬ Negation, »nicht«∨ Alternative,
»oder«∧ Konjunktion, »und«→ Implikation, »wenn. . . , so«↔
Äquivalenz, »genau dann, wenn. . . «Mengenlehre{ } endliche
unendlicheMenge
{1,2,3}{1,3,5, . . .}
{x | E(x)} Menge aller Elemente x, die dieEigenschaft E(x)
haben
{x | x > 1} = (1,∞)
∈ Element von a ∈ {a,b,c}6∈ nicht Element von d 6∈ {a,b,c}=
Gleichheit zweier Mengen
M1 = M2 : M1 und M2 haben diegleichen Elemente
⊂ Teilmenge von; enthalten inM1 ⊂ M2: jedes Element von M1ist
auch Element von M2
{2,4} ⊂ {2,3,4}
∪ Vereinigung von 2 MengenM1 ∪M2 = {x | x ∈ M1 ∨ x ∈ M2}
{1,2} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}
n[i=1
Vereinigung von n Mengen
M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn= {x | x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 ∨ . . . ∨ x ∈ Mn}
∩ Durchschnitt von 2 MengenM1 ∩M2 = {x | x ∈ M1 ∧ x ∈ M2}
{1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}
n\i=1
Durchschnitt von n Mengen
M1 ∩M2 ∩ . . . ∩Mn= {x | x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 ∧ . . . ∧ x ∈ Mn}
\ Differenz von 2 MengenM1 \M2 = {x | x ∈ M1 ∧ x 6∈ M2}
{1,2,3} \ {2,3} = {1}
/0 leere Mengeenthält überhaupt keine Elemente
× ProduktmengeM1 × M2 = {(x,y) | x ∈ M1 und y ∈ M2}
{2,5} × {8} = {(2,8),(5,8)}
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Komplexe Zahlen 1
1
1 Komplexe Zahlen
Imaginäre Einheit i2 = −1 Imaginäre Zahl √−a = i · √a (a >
0)Potenzen i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = −1 i4n+3 = − i i−n = (− i)n (n
= 0,1, . . .)
Darstellungsformen
z = a + b i = r(cos ϕ + i · sin ϕ ) = r · e iϕ
i. A.
r. A.
i
2i
0 1 2 a
b
z
r
ϕ
a Realteil von zb Imaginärteil von zr Betrag von zϕ Argument von
za,b,r reelle Zahlen,r = 0, −π < ϕ 5 π (Hauptwert),ϕ bis auf
ganzzahliges
Vielfaches von 2π bestimmtUmrechnungsformeln:
a = r · cos ϕ b = r · sin ϕ
r =√
a2 + b2 =| z | tan ϕ = ba
ϕ = arctanba
+
0, falls a > 0π, falls a < 0, b = 0−π, falls a < 0, b
< 0
Euler’sche Formel e iϕ = cos ϕ + i · sin ϕ e− iϕ = cos ϕ − i ·
sin ϕ
Addition und Subtraktion
z1 ± z2 = (a + b i)± (c + d i) = (a± c) + (b± d) i
Multiplikation
z1 · z2 = r1(cos ϕ1 + i · sin ϕ1) · r2(cos ϕ2 + i · sin ϕ2) = r1
e iϕ1 · r2 e iϕ2= r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i · sin(ϕ1 + ϕ2)] = r1r2 · e
i(ϕ1+ϕ2)
Divisionz1z2
=r1r2
[cos(ϕ1 − ϕ2) + i · sin(ϕ1 − ϕ2)] =r1r2· e i(ϕ1−ϕ2) (r2 6=
0)
Potenzieren (n ganzzahlig)
(cos ϕ + i · sin ϕ )n = cos(nϕ ) + i · sin(nϕ ) (Satz von
Moivre)zn = [r(cos ϕ + i · sin ϕ )]n = rn[cos(nϕ ) + i · sin(nϕ )]
= rn e i(nϕ )
Radizieren (n reell)
n√
r(cos ϕ + i · sin ϕ ) = n√r[
cosϕ + k · 2π
n+ i · sin ϕ + k · 2π
n
]= n√
r · e iϕ+k·2π
n
Einheitswurzelnn√
1 = cosk · 2π
n+ i · sin k · 2π
n= e i
k·2πn
(n = 2,3, . . .)(k = 0,1,2, . . . ,n− 1)
Logarithmieren
ln z = ln(r eiϕ ) = ln r + i(ϕ + 2kπ) (k = 0,± 1,± 2, . . .)
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2
2 Geometrie
2 Geometrie
Sätze, Strecken, Winkel, Punkte bei Dreieck und Kreis
Winkel (an geschnittenen Parallelen)
αβ
′′β′α
α+β = 180◦ (Nebenwinkel)α ′ = α (Stufenwinkel)β ′′= β
(Wechselwinkel) α
α1 .
.
α = α1(da die Schenkelpaarweise aufeinandersenkrecht stehen)
A B
C
ab
cα β β1
γ
α + β + γ = 180◦ α + β < 180◦
β1 = α + γ (Außenwinkel)a < b⇔ α < β a = b⇔ α = β a >
b⇔ α > βa + b > c a− b < c(weitere Formeln durch zyklische
Vertauschung)
Schnittpunkt der
HöhenSeitenhalbierenden = SchwerpunktWinkelhalbierenden =
Mittelpunkt des einbeschriebenen KreisesMittelsenkrechten =
Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises
Flächen- und Streckenbeziehungen
Kongruenzsätze: Kongruenz von Dreiecken (∼=) bei Übereinstimmung
in1. zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel (sws)2. einer Seite
und zwei gleichliegenden Winkeln (wsw; sww)3. drei Seiten (sss)4.
zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel
(SsW )
Ähnlichkeitssätze: Ähnlichkeit von Dreiecken (∼) bei
Übereinstimmung im (in)1. Verhältnis zweier Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel2. zwei Winkeln3. Verhältnis der drei
Seiten4. Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite
gegenüberliegenden Winkel
Strahlensätze
A
B
C
DS
′D
′C
Sätze am rechtwinkligenDreieck
.
A B
C
b a
pqh
cSA : SC = SB : SDSA : SC ′ = SB : SD′
AB : CD = SA : SC = SB : SDAB : C ′D′ = SA : SC ′ = SB : SD′
Pythagoras: a2 + b2 = c2
Höhensatz: h2 = pqKathetensatz: b2 = cq, a2 = cp
Kreis
T
P
AB
CD
S
α
βγ
.
Sehnensatz PB · PC = PA · PDSekantensatz SA · SB = SC ·
SDTangentensatz SA · SB = ST 2
Mittelpunkts- und Peripheriewinkel β = 2αThales-Satz:
Umfangswinkel über Durchmesser
ein RechterSehnentangentenwinkel γ = α
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Geometrie 3
2
Flächeninhalt (A) Umfang (U) Längen
A U (r Umkreisradius; % Inkreisradius)
Dreieck h Höhe 2s = a + b + c; weitere Formeln durch zyklische
Vertauschung
A3 =12
chc =12
ab · sin γ = %s = abc4r
b a
cA B
C
α β
γ
hc
r=√
s(s− a)(s− b)(s− c)= a2
sin β · sin γ2 sin α
= 2r2 sin α sin β sin γ
s = 4r cosα2
cosβ2
cosγ2
r =abc4A3
=a
2 sin α
% = 4r sinα2
sinβ2
sinγ2
gleichseitiges(b = c = a)
√3
4a2 h =
√3
2a r =
√3
3a % =
√3
6a
gleichschenklig(a = b 6= c)
12
a2 sin γ = c2sin2 α2 sin γ
=c2
4tan α hc =
12
√4a2 − c2
Viereck e, f Diagon; ϕ = ](e, f ); ε =12
(α + γ ) oder12
(β + δ ); 2s = a + b + c + d
allgemein A4 = e · f · sin ϕ =√
(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2 ε
Quadrat a2 4a e =√
2a r =√
22
a % =12
a
Parallelogramm aha = bhb 2(a + b) e =√
a2 + b2 für Rechteck
Trapez12
(a + c)h = mh a + b + c + d a‖c h Höhem Mittelparallele
Kreis πr2 = π4
d2 2π r = π d
Sektor12
br b =π r
180◦α ◦
r Radiusd Durchmesserb Bogenlänge über α
Segment12
[br − s(r − h)] s Segmentsehneh Bogenhöhe
Ellipse π a b ≈ π[
32
(a + b)−√
ab
]a, b Halbachsen
Parabel-abschnitt
43
x1y1
(Sehne durch Parabelpunkt (x1, y1)senkrecht zur Achseder Parabel
y2 = ±2px)
Einbeschriebenes regelmäßiges Vieleck (n Anzahl der Ecken)
An =n2
r2 sin360◦
nsn = 2r sin
180◦
nhn = r cos
180◦
n
s6
s6
h6r
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2
4 Geometrie
Inhalt von Oberflächen (O) und Mantelflächen (M), Rauminhalte
(V)
(G Grundfläche h Höhe r,R Radius s Mantellinie)
O M V
Kugel 4πR243
πR3
Kugelzonebzw. -schicht 2πhR
πh6
(3r2 + 3r21 + h2)
rhR
r1
Kugelabschnitt(-segment) πh(4R− h)
2πhR= (r2 + h2)π
πh6
(3r2 + h2)
=πh2
3(3R− h)
rh
R
Kugelausschnitt(-sektor) πR(2h + r)
23
πhR2r
hR
Prisma 2G + M G · hZylinder G · hgeraderKreiszylinder 2πr(h + r)
2πrh πr
2h
Pyramide13
G · h
Pyramiden-stumpf
G1 + G2 + Mh3
(G1 +√
G1G2 + G2) ≈ G1 + G22 h
Kegel13
G · h
geraderKreiskegel πr(r + s) πrs
13
πr2h s =√
r2 + h2
geraderKreiskegel-stumpf
π[r21 + r22
+ s(r1 + r2)]πs(r1 + r2)
πh3
(r21 + r1r2 + r22) ≈
πh2
(r21 + r22)
πh4
(r1 + r2)2
Ellipsoid43
π abc
a,b,c HalbachsenRotations-ellipsoid
(Rotation um a)43
π ab2
Rotations-paraboloid
π ph2 (y2 = 2px rotiert um x-Achse; h = x)
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13
80 Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz
13 Gewöhnliche Differenzialgleichungenund Lösungsansatz
(Auswahl)
F(x, y, y′) = 0 1. Ordnung
y′ = g(x) · h(y)
Trennung der Variablen:ZZZ dy
h(y)=
ZZZg(x)dx H(y) = G(x) + C
y′ = ϕ( y
x
)Ähnlichkeitsdifferenzialgl.
Subst.: z =yx
y′ = xz′ + zZ dz
ϕ (z)− z = ln |x|+ C
Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Allgemeine Hinweise für lineare Differenzialgleichungen
beliebiger Ordnung
Homogene lineare Differenzialgleichungen
Eine homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung hat
genau n linear unabhängige Lösungen,deren Linearkombination die
allgemeine Lösung yH (x) der homogenen Differenzialgleichung
ist.
Inhomogene lineare Differenzialgleichungen
Die allgemeine Lösung yI (x) einer inhomogenen linearen
Differenzialgleichung gewinnt man aus der allge-meinen Lösung yH
(x) der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung durch Addition
einer beliebigenpartikulären Lösung yS(x) der inhomogenen
Differenzialgleichung:
yI (x) = yH (x) + yS(x)
yS(x) erhält man u. a. durch das Verfahren der Variation der
Konstanten: allgemeine Lösung der homogenenDifferenzialgleichung
mit Funktionen von x anstelle der Integrationskonstanten als Ansatz
für die Lösungder inhomogenen Differenzialgleichung verwenden.
a1(x)y′ + a0(x)y = r(x)Allgem. Form derlin. Dgl. 1. Ordn.
y′ + p(x)y = q(x) Normalformp(x) =
a0(x)a1(x)
; q(x) =r(x)
a1(x)
a) Lagrangehomogene Differenzialgleichung y′ + p(x)y = 0:
Trennung der VariablenyH = C e−
Rp(x) dx
inhomogene Differenzialgleichung: Variation der Konstanten
y = C(x)ψ (x)
C ′(x)ψ (x) + q(x) = 0; C(x) = C1 +Z
q(x) eR
p(x) dx dx
(ψ (x) = e−
Rp(x) dx
)b) Bernoulli (Produktansatz) (nur für lineare
Differenzialgleichungen 1. Ordnung)
y = u · v; y′ = u′v + uv ′; in Differenzialgleichung einsetzenu
oder v ausklammern; Klammerausdruck null setzen
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Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz 81
13
y′ + p(x)y + q(x)yn = 0 Bernoulli’sche Dgl.
Division durch (−yn); Subst.: z = 1yn−1
; z′ = −(n− 1) y′
ynführt auf lin. Dgl. in z und x
spez.: y′ + p(x)y + q(x)y2 = 0; z =1y
; z′ = − y′
y2
y′ + p(x)y + q(x)y2 = r(x) Ricatti’sche Dgl.
mit (geg. oder erratener) part. Lösung y = y1(x) lösbar; Ansatz:
y = y1(x) + v(x)führt auf Bernoulli’sche Differenzialgleichung (n =
2) für v(x)
y = x · g(y′) + h(y′) d’Alembert’sche Dgl.
y′ = p(x) in differenzierte Ausgangsgleichung einsetzen,dpdx
ausklammern; führt auf lineare Diffe-
renzialgleichung:dxdp
+ h(p)x + k(p) = 0
Lösung in Parameterdarstellung: x = x(p,C); y = y(p,C)
spez.: y = xy′ + h(y′) Clairaut’sche Dgl.
y′ = p(x); weiter wie oben ergibt Dgl.: [x + h′(p)]dpdx
= 0
dpdx
= 0, p = C; allgem. Lösung: y = Cx + h(C)
[x + h′(p)] = 0; singuläre Lösung in Parameterdarstellung: x =
−h′(p)y = −ph′(p) + h(p)
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
1. Exakte (vollst., totale) Dgl. My = Nx
(Integrabilitätsbedingung)
M(x,y)dx + N(x,y)dy = dΦ (x,y) vollständiges Differenzial der
Funktion Φ (x,y)∂Φ∂x
= M; Φ =Z
M dx + G(y);∂Φ∂y
= N; allgemeine Lösung: Φ (x,y) = C
2. Integrierender Faktorµ = µ (x,y) so bestimmen, dass µ
(x,y)M(x,y)dx + µ (x,y)N(x,y)dy = 0 exakte
Differenzialglei-chung
My − NxN
= f (x) ⇒ µ = µ (x) = eR
f (x) dx
My − NxM
= f (y) ⇒ µ = µ (y) = e−R
f (y) dy
My − Nxy · N − x ·M = f (z) z = x · y ⇒ µ = µ (z) = e
Rf (z) dz
(My − Nx) · x2y · N + x ·M = f (z) z =
yx
⇒ µ = µ (z) = e−R
f (z) dz
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13
82 Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz
F(x, y, y′, y′′) = 0 2. Ordnung
Bestimmte Glieder fehlen
y′′ = f (x) y(n) = g(x) unmittelbare Integration
y kommt nicht vor y′ = p(x) y′′ = p′
F(x,y′,y′′) = 0; F(y′,y′′) = 0 → F(x,p,p′) = 0; F(p,p′) = 0
x kommt explizit nicht vor y′ = q(y) y′′ =dqdy· dy
dx= q · dq
dy
F(x,y′,y′′) = 0 → G(
y,q,dqdy
)= 0
Spezialfall: y′′ = f (y) auch: Multipl. m. 2y′; 2y′′y′ =ddx
y′2
Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung
a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0Allgem. homog.lin. Dgl. 2.
Ordn.
Allgem. Lsg.: yH(x) = C1y1(x) + C2 y2(x) (y1, y2 partikuläre
Lösungen)
Bestimmung der partikulären Lösungen für ausgewählte Fälle
1. a2 y′′ + a1y′ + a0y = 0 konst. Koeffizienten
Ansatz: y = eλ x Charakterist. Gleichung: a2λ 2 + a1λ + a0 =
0
a) λ1 6= λ2 reell y1 = eλ1x y2 = eλ2xb) λ1 = λ2 = λ0 y1 = eλ0x
y2 = x eλ0x
c) λ1, 2 = a± ib y1 = cos(bx) eax y2 = sin(bx) eax
2. a2 x2y′′ + a1 xy′ + a0y = 0 homog. Euler’sche Dgl.
Ansatz: y = xλ Charakterist. Gleichung: a2λ (λ − 1) + a1λ + a0 =
0a) λ1 6= λ2 reell y1 = xλ1 y2 = xλ2b) λ1 = λ2 = λ0 y1 = xλ0 y2 =
xλ0 ln xc) λ1, 2 = a± ib y1 = xa cos(b ln x) y2 = xa sin(b ln
x)
3. x2y′′ + xy′ + (x2 − ν 2)y = 0 Bessel’sche Dgl.
ν nicht ganzzahlig: y1 = Jν (x) y2 = J−ν (x)
Jν (x) =∞∑
µ=0(−1)µ
( x2
)2µ+νΓ (µ + 1)Γ (µ + ν + 1)
J−ν =∞∑
µ=0(−1)µ
( x2
)2µ−νΓ (µ + 1)Γ (−ν + µ + 1)
(Bessel’sche Funktionen 1. Art) (s. a. S. 51)
ν = n ganzzahlig y1 = Jn(x) y2 = Nn(x)
Nn(x) = limν→ncos ν π · Jν (x)− J−ν (x)
sin ν π(Bessel’sche Funktionen 2. Art) (s. a. S. 51)
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Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren 89
16
16 Fehlerrechnung, Näherungsformelnund -verfahren
Fehler: Näherungswert (Istwert)–wahrer Wert (Sollwert)
Näherungswert wahrer Wert absoluter Fehler relativer Fehler
a x ε = a− x∣∣∣ ε
x
∣∣∣ =̂ ∣∣∣ εx
∣∣∣ · 100 %Fehlerabschätzung beim Rechnen mit Näherungswerten
(Methode der Fehlerschranken)
k (fehlerbehaftete) Variable: x1,x2, . . . ,xkzu berechnende
Funktion: f (x1,x2, . . . ,xk)absoluter Fehler von f : ε
fNäherungswerte für die xi: aiabsolute Fehler für die xi εi = ai −
xi (i = 1,2, . . . ,k)Schranken für die εi ∆ai (∆ai = |εi|)Schranke
für den absoluten Fehler (ε f ) von f (x1,x2, . . . ,xn):
∆ f = ∆a1| fx1 (a1, . . . ,ak)|+ ∆a2| fx2 (a1, . . . ,ak)|+ . .
. + ∆ak| fxk (a1, . . . ,ak)| (∆ f = ε f )Anwendung auf elementare
Rechenoperationen
x,y wahre Werte a,b Näherungswerte ∆a,∆b Fehlerschranken
f (x,y) Schranken für denabsoluten Fehler ∆ f
Schranken für denrelativen Fehler ∆ f /| f |
x± y ∆a + ∆b (∆a + ∆b)/|a± b|x · y ∆a · |b|+ ∆b · |a| ∆a/|a|+
∆b/|b|
x/y∆a · |b|+ ∆b · |a|
b2∆a|a| +
∆b|b|
xn (n 6= 0,1) ∆a|nan−1| |n|∆a/|a|
Messreihe a1,a2, . . . ,an einer Größe x
Näherungswert für x: a =1n
(a1 + a2 + . . .+ an) =1n
n
∑i=1
ai (arithmetisches Mittel)
durchschnittlicher Fehler: ∆a =1n
n
∑i=1|ai − a|
mittlerer Fehler:(Standardabweichung)
σ =
√1
n− 1n
∑i=1
(a1 − a)2 (s. S. 100)
Methode der kleinsten Quadrate (Gauß)Parameter t1,t2, . . . ,tk
der Funktion f (x,t1,t2, . . . ,tk) ( f stetig partiell
differenzierbar) so bestim-men, dass die Funktion die Punkte
Pi(xi,yi)(i = 1,2, . . . ,n; n > k) möglichst genau annähert
Forderung:
Q(t1,t2, . . . ,tk) =n
∑i=1
[ f (xi,t1,t2, . . . ,tk)− yi]2 → Min
Normalengleichungen zur Berechnung der Parameter t1,t2, . . .
,tk:
∂Q(t1,t2, . . . ,tk)∂t j
= 0 ( j = 1,2, . . . ,k)
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16
90 Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren
Interpolation
Die Gleichung der Parabel n-ter Ordnung Die ganze rationale
Funktion n-ten Grades
y = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 an 6= 0,die durch (n + 1)
vorgegebene Punkte für die zu (n + 1) voneinander
verschiedenenP0(x0,y0),P1(x1,y1), . . . ,Pn(xn,yn) hindurch- Werten
x0,x1, . . . ,xn die (n + 1) Funktionswertegeht, y0,y1, . . . ,yn
vorgeschrieben sind,
kann durch folgenden Ansatz bestimmt werden:
y = c0+c1(x− x0) + c2(x− x0)(x− x1) + c3(x− x0)(x− x1)(x− x2) +
. . .+ci(x− x0)(x− x1) . . . (x− xi−1) + . . .+cn(x− x0)(x− x1) . .
. (x− xn−1)
nach Newton
Die Koeffizienten c0,c1, . . . ,ci, . . . ,cn werden
schrittweise dadurch berechnet, dass fürx = x0,x1, . . . ,xn
jeweils y die zugehörigen Werte y0,y1, . . . ,yn annimmt.
Steigungsschema
xi yi = S0i S1i S
2i S
3i · · ·
x0 y0 = S00x1 y1 S
11 =
y1 − y0x1 − x0
x2 y2 S12 =
y2 − y0x2 − x0
S22 =S12 − S11x2 − x1
x3 y3 S13 =
y3 − y0x3 − x0
S23 =S13 − S11x3 − x1
S33 =S23 − S22x3 − x2
......
......
......
k-te Steigung:
Ski =Sk−1i − Sk−1k−1
xi − xk−1k = 1,2, . . . ,ni = k,k + 1, . . . ,nc0 = y0 = S00ci =
Sii;i = 0,1, . . . ,n
Differenzschema bei äquidistanten Argumenten (xi+1 − xi = h)
x0 y0
x1 y1∆1y0 ∆2y0
x2 y2∆1y1 ∆2y1
∆3y0
x3 y3∆1y2 ...
...
......
...
∆n n-te Differenzspaltez. B. ∆1y2 = y3 − y2
∆2y1 = ∆1y2−∆1y1c0 = y0 c1 =
∆1y0h
c2 =∆2y02!h2
...
cn =∆ny0n!hn
nach Lagrange
Ansatz: y = L0(x)y0 + L1(x)y1 + . . . + Ln(x)yn
mit Li(x) =(x− x0)(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x−
xn)
(xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi −
xn)(Das Glied mit dem Index i fehlt; i = 0,1, . . . ,n)
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Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren 91
16
Näherungslösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
Lineare Interpolation (Regula falsi – Sekantenverfahren)f (x) =
0x0 gesuchte Lösung: f (x) ≡ 0y = f (x) zugehörige Funktion.Man
geht von Werten x1 und x2 aus, die sozu wählen sind, dass f (x1)
und f (x2) ver-schiedene Vorzeichen haben.Die Sekante P1P2
schneidet die x-Achse ineinem Punkt mit dem Näherungswert
x3 = x1 −x2 − x1y2 − y1
· y1Fortsetzung des Verfahrens mit x3 und x2;usw.
y
x
x1
x0
x3
x2
x4
y f x= ( )P x y2 2 2( , )
P x y1 1 1( , )
P x y3 3 3( , )
Newton’sches Näherungsverfahren (Tangentenverfahren)f (x) = 0x0
gesuchte Lösung: f (x0) = 0y = f (x) zugehörige Funktion.x1 aus der
Umgebung von x0wählen oder grafisch bestimmen.Die Tangente in
P1(x1,y1) an die Kurvey = f (x) schneidet die x-Achse in einemPunkt
mit dem Näherungswert
x2 = x1 −f (x1)f ′(x1)
( f ′(x1) 6= 0)
y
x
x1 x0
x3 x2
y f x= ( )P x y2 2 2( , )
P x y1 1 1( , )
Fortsetzung des Verfahrens mit P2(x2,y2), was den verbesserten
Näherungswert x3 ergibt;usw.Allgemein: Näherungswert xn = xn−1
−
f (xn−1)f ′(xn−1)
(n = 2,3,4, . . . ; f ′(xn−1) 6= 0)
Näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals
n Anzahl der Teilintervalle der Länge xi+1 − xi = h = b− an , n
geradzahlig; i = 0,1, . . . ,n− 1u = y1 + y3 + . . . + yn−1
(Ordinaten mit ungeradem Index) y0 = ya, yn = ybg = y2 + y4 + . . .
+ yn−2 (Ordinaten mit geradem Index)
Sehnen-Trapez-Formel (n bel.)
I =bZ
a
f (x)dx ≈ h2
[ya + yb + 2(y1 + y2 + . . . + yn−1)
]=
h2
(ya + yb + 2u + 2g)
Tangenten-Trapez-Formel
I =bZ
a
f (x)dx ≈ 2h [y1 + y3 + . . . + yn−1] = h · 2uSimpson’sche
Regel
I =bZ
a
f (x)dx ≈ h3
[(ya + yb) + 4(y1 + y3 + . . . + yn−1) + 2(y2 + y4 + . . . +
yn−2)
]=
h3
(ya + yb + 4u + 2g)
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Sachwortverzeichnis 123
S
Sachwortverzeichnis
AAbleitung– der Umkehrfunktion 57–, erste 54–, höhere 54–,
logarithmische 57–, partielle 66Additionstheoreme
43Ähnlichkeitsdifferenzialgleichung 80Ähnlichkeitssätze
2Alternativhypothese 103analytische Geometrie 26Annahmebereich
103Areafunktion 42Austauschverfahren 12Axiome von Kolmogoroff
95
BBartlett-Test 105Bayes’sche Formel 95Bereichsintegral–, ebenes
68–, ebenes; Transformation 69–, räumliches 69–, räumliches;
Transformation 70Bernoulli-L’Hospital’sche Regel 54Bernoulli’sches
Schema 95Bernoulli’sches Separationsverfahren 86Bessel’sche
Funktion 51– 1. Art 82– 2. Art 82bestimmtes Riemann’sches Integral
55Binomialkoeffizient 94Binomialverteilung 97Binomische Formel
94Binomische Reihe 48Binomischer Satz 94Bogendifferenzial
79Bogenelement 75Bogenlänge– einer ebenen Kurve 79– einer
räumlichen Kurve 79
DDefinitionsbereich 34Determinante 6–, Rechenregeln 7–,
Vandermonde’sche 10–, Wronski’sche 10Differenzial 54–,
vollständiges 67
Differenzialgeometrie 78Differenzialgleichung–, Bernoulli’sche
81–, Bessel’sche 82–, Clairaut’sche 81–, d’Alembert’sche 81–,
Euler’sche, homogene 82–, Euler’sche, n-ter Ordnung 85–, exakte
(vollständige, totale) 81–, gewöhnliche 80–, homogene lineare 80–,
inhomogene Euler’sche 83–, inhomogene lineare 80–, integrierender
Faktor 81–, lineare 1. Ordnung 80–, lineare 2. Ordnung 82–,
lineare, mit konstanten Koeffizienten 84–, partielle 86–,
Ricatti’sche 81Differenzialgleichungssystem 88–, lineares homogenes
88–, lineares inhomogenes 88Differenzialoperator
76Differenzialquotient 54Differenzialrechnung–, Mittelwertsätze 54–
von Funktionen mehrerer Variabler 66Differenziation–, implizite 67–
von Parameterintegralen 68Differenziationsformel
56Differenziationsregeln 57– für Vektorfunktionen
75differenzierbar–, linksseitig 54–, rechtsseitig 54Differenzschema
90Divergenz 32Divergenz eines Vektorfeldes 76Dreieck 2–,
schiefwinkliges 44–, sphärisches 46dualer Simplexalgorithmus 18
EEbene– im Raum, Gleichungsform 29– im Raum, Schnittwinkel
30ebene Kurve–, Anstieg 79–, Bogendifferenzial 79
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S
124 Sachwortverzeichnis
–, Bogenlänge 79–, Evolente 79–, Evolute 79–, Krümmung
79Einheitswurzeln 1Ellipse 3Ellipsoid 4Erwartungswert 96,
100Euler’sche Formel 1Euler’sche Konstante 53Evolente 79Evolute
79Exponentialfunktionen 37Extrempunkt 65Extremum–, lokales 67–,
lokales; unter Nebenbedingungen 67Exzess 96
FFakultät 51Fehler–, durchschnittlicher 89–, mittlerer
89Fehlerrechnung 89Fehlerschranke 89Feld–, skalares 75–, Vektor-
75Fläche– zweiter Ordnung 30Fourier-Entwicklung
50Fundamentalbereich 68 f.Fundamentalsatz der Algebra 37Funktion
34–, Annäherung durch Polynome 92–, Area- 42–, Bessel’sche 51–
einer unabhängigen Veränderlichen 34–, Gamma- 51–, gebrochene
rationale 38–, gerade 34–, Grenzwert 34–, hyperbolische 41–,
inverse 34–, Orthogonalsystem 53–, rationale 37–, Stetigkeit 34–,
trigonometrische 39–, ungerade 34–, zyklometrische
42Funktionaldeterminante 10Funktionenreihen 47
GGamma-Funktion 51Gauß’sche Fehlerfunktion 52
Gauß’scher Algorithmus 12Gauß’scher Integralsatz 77Gauß’sches
Fehlerintegral 52geometrische Reihe 33Gerade– im Raum 29– im Raum,
Schnittwinkel 29– in der Ebene, Gleichungsform 26–, Schnittwinkel
27Geradengleichung 26Gleichung–, lineare homogene 86–, quasilineare
86Gleichungssystem 11–, Lösung von linearen 11Gradient des
Skalarfeldes 76Grenzwert 32, 34, 66Grundintegral 56Guldin’sche
Regeln 65
HHalbseitenformeln 45Halbwinkelformeln 45Halbwinkelsatz
44Häufigkeit–, absolute 95, 102–, relative 95, 102Hauptsatz der
Differenzial- und Integralrechnung 55Höhensatz
2Horizontalwendepunkt 65Horner-Schema 38Hyperboloid 30Hypothese
103
IInhalt 73Integral–, bestimmtes 55– gebrochen rationaler
Funktionen 64–, unbestimmtes 55–, uneigentliches
55Integralexponentialfunktion 53Integralkosinus
53Integrallogarithmus 53Integralrechnung–, Mittelwertsatz 55– von
Funktionen mehrerer Variabler 68Integralsinus 53Integrand
55Integration– durch Substitution 61–, partielle 61– von
Parameterintegralen 68Integrationskonstante 55Integrationsregeln
57Integrationsvariable 55
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Sachwortverzeichnis 125
S
integrierender Faktor 81Interpolation 90–, lineare 91– nach
Lagrange 90– nach Newton 90
KKathetensatz 2Kegel 4, 30Kegelschnitt–, Diskussion
28Kegelschnittsgleichung 27–, Ellipse 27–, Hyperbel 27–, Kreis 27–,
Parabel 27Kettenregel 57, 67Koeffizient–, konstanter
82Kolmogorov-Test 105Kombination 94Kombinatorik 94komplexe Zahlen
1Konfidenzgrenze 103, 108Konfidenzintervall 108Kongruenzsätze
2konstanter Koeffizient 82Konvergenz 32Konvergenzkriterien
33Koordinaten–, kartesische 34, 78–, Polar- 34, 78Korrelation 112–,
Bestimmtheitsmaß 112–, Unbestimmtheitsmaß
112Korrelationskoeffizient 101, 112–, multipler linearer 112–,
partieller linearer 112Kosinussatz 44Kovarianz 100 f.–, empirische
109Kreis 2Kreuzprodukt 24kritischer Bereich 103 f.Krümmung 65–
einer ebenen Kurve 79Kugel 4, 30Kugelkoordinaten 70Kurvenintegral
71–, 1. Art 71–, 2. Art 71
LLänge 73Laplacegleichung 87Laplace’scher Operator 76
Leibniz’sche Sektorformel 74Likelihoodfunktion
107Likelihoodprinzip 107lineare homogene Gleichung 86lineare
Optimierung 13lineare Optimierungsaufgabe 13–, duale 18–, Lösung
14Linearfaktoren 37Logarithmengesetze 36Logarithmus
36Logarithmusfunktionen 37Longitudinalschwingungen eines Stabes
87
MMacLaurin-Reihe 92Mac-Laurin’sche Reihe 47Mantelfläche 65Masse
73Massenschwerpunktskoordinaten 74Matrix 5–, Rechenoperationen
8Maximum-Likelihood-Verfahren 107Median 96, 102Methode der
kleinsten Quadrate 89Mittelwertsatz der Integralrechnung
55Mittelwertsätze der Differenzialrechnung 54Modalwert 96,
102Moment p-ter Ordnung 96, 102Momentenmethode 107Monotonie 32,
34–, Funktion 34–, Zahlenfolge 32
NNabla-Operator 76Näherungswert 89Neper’sche Analogien
45Neper’sche Regel 46Newton’sches Näherungsverfahren 91Normale–
einer ebenen Kurve 78Normalenabschnitt 78Normalengleichung
89Normalform 13
OOberflächenintegral 72–, 1. Art 72–, 2. Art 72Optimierung–,
lineare 13Orthogonalsystem 53
PParaboloid 30Parameterdarstellung 34, 78
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126 Sachwortverzeichnis
Parameterintegral 68–, Differenziation 68–, Integration
68Partialbruchzerlegung 64partielle Differenzialgleichung
86Permutation 94Polarkoordinaten 26Potenz 35Potenzfunktionen
35Potenzgesetze 35Potenzialfeld 76Potenzreihe 47, 85–, Konvergenz
47–, Konvergenzintervall 47–, Konvergenzradius 47Prinzip des
Cavalieri 73Prisma 4Produktansatz 80Produktregel 57Punktschätzung–,
effektiv 107–, erwartungstreu 107–, konsistent 107Pyramide
4Pythagoras 2
QQuantil p-ter Ordnung 96quasilineare Gleichung
86Quotientenregel 57
RRangkorrelation 113räumliche Kurve–, Bogenlänge 79Regel von
Bernoulli-L’Hospital 54Regression 109–, lineare 109–, mehrfache
lineare 111Regressionsfunktion–, nichtlineare 110Regressionsgerade
110Regressionskoeffizient 109–, multipler 111Regula falsi 91Reihe–,
binomische 48–, Funktionenreihe 47–, geometrische 33–,
Konvergenzkriterien 33– mit konstanten Gliedern 33–, Taylor’sche
47Reihenentwicklung 85Rest–, χ 2-Anpassungs- 104Richtungsableitung
66, 76
Rotation eines Vektorfeldes 77Rotationskörper 65–, Mantelfläche
65–, Volumen 65
SSchätzmethode 107–, bei Exponentialtyp 107–,
Maximum-Likelihood-Verfahren 107–, Momentenmethode 107Schätzung
107–, Bereichs- 108–, effektiv 107–, erwartungstreu 107–,
konsistent 107–, Punkt- 107Schiefe 96Schnittwinkel 27Schwerpunkt–,
geometrischer 74Sehnen-Trapez-Formel 91Seitenkosinussatz
45Sekantenverfahren 91Signifikanzniveau 103Simplexalgorithmus 16–,
dualer 18Simplexmethode 16Simplextableau 14Simpson’sche Regel
91Sinussatz 44 f.skalares Produkt 23Spatprodukt 24Stammfunktion
55Standardabweichung 89, 102Statistik 102–, Tabellen
114–121Steigungsschema 90Stetigkeit 34, 66Stichprobenmittel
102Stichprobenstreuung 102Stokes’scher Integralsatz
77Störgliedansatz 83 f.Strahlensätze 2Strecke 26Streuung
96Subnormale 78Subtangente 78
TTangenssatz 44Tangente– einer ebenen Kurve 78Tangentenabschnitt
78Tangenten-Trapez-Formel 91Tangentenvektor 75Tangentenverfahren
91
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Sachwortverzeichnis 127
S
Taylor-Reihe 85Taylor’sche Formel– für Funktionen einer
Variablen 92– für Funktionen zweier Variabler 93– für Polynome
92Taylor’sche Reihe 47Test–, Bartlett- 105–, χ 2- 104–, Kolmogorov-
105–, Vier-Felder-χ 2- 113– von Verteilungen 104– zum
Signifikanzniveau 104Testen 103Testgröße 103Testverfahren
103Thales-Satz 2Trägheitsmoment 73Transversalschwingungen eines
Stabes 87Trennung der Variablen 80Trigonometrie–, ebene 44–,
sphärische 45Tschebyschew’sche Ungleichung 96
VVandermonde’sche Determinante 10Varianz 96Varianzanlyse
106Variation 94Variation der Konstanten 80, 83 f.Variationsbreite
102Variationskoeffizient 102Vektor–, Linearkombination
25Vektoranalysis 75Vektoren 23Vektorfeld 75–, Divergenz 76–,
quellenfreies 76–, Rotation 77–, wirbelfreies 77Vektorfunktion
75Vektorprodukt 24Vektorraum 25–, Basis 25–, Dimension 25–,
euklidischer 25Verteilung–, χ 2- 99–, diskrete 97
–, F- 99–, Gamma- 99–, geometrische 97–, Gleich- 98–,
hypergeometrische 97–, mehrdimensionale 100–, negative Binomial-
97–, Normal- 98–, Normal-, zweidimensionale 101–, Poisson- 97–,
Rand- 100 f.–, stetige 98–, Testen 104–, t-(Student-) 99–, Weibull-
99Verteilungsdichte 96Verteilungsfunktion 96, 100–, empirische
102Vertrauensgrenze 103, 108Vertrauensintervall 108 f.,
111Vertrauenswahrscheinlichkeit 108Viereck 3Vieta’scher Wurzelsatz
38Volumen 65, 73
WWahrscheinlichkeit 95–, bedingte 95–, totale
95Wahrscheinlichkeitsrechnung 95Wärmeleitgleichung 87Wendepunkt
65Wertebereich 34Winkelkosinussatz 45Wronski’sche Determinante
10Wurzel 35Wurzelfunktionen 36Wurzelgesetze 36
ZZahlenfolge 32–, arithmetische 32–, Divergenz 32–, geometrische
32–, Konvergenz 32Zentralwert 102Zufallsgröße 96zyklometrische
Funktion 42Zylinder 4, 30Zylinderkoordinaten 70