Formelsammlung für die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung (SRDP) Angewandte Mathematik (BHS) Berufsreifeprüfung Mathematik Stand: 1. September 2018 Ab dem Haupttermin 2020 (Mai 2020) ist diese Formelsammlung die einzig zugelassene Formel- sammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und die Berufsreifeprüfung Mathematik. Diese Formelsammlung ist ab dem Haupttermin 2017 (Mai 2017) als Hilfsmittel für die SRDP in Angewandter Mathematik und die Berufsreifeprüfung Mathematik zugelassen.
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Formelsammlungfür die standardisierte kompetenzorientierte
Ab dem Haupttermin 2020 (Mai 2020) ist diese Formelsammlung die einzig zugelassene Formel-sammlung für die SRDP in Angewandter Mathematik und die Berufsreifeprüfung Mathematik.
Diese Formelsammlung ist ab dem Haupttermin 2017 (Mai 2017) als Hilfsmittel für die SRDP in Angewandter Mathematik und die Berufsreifeprüfung Mathematik zugelassen.
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel Seite
1 Mengen 3
2 Vorsilben 3
3 Potenzen 3
4 Logarithmen 4
5 Quadratische Gleichungen 4
6 Ebene Figuren 5
7 Körper 6
8 Trigonometrie 7
9 Komplexe Zahlen 8
10 Vektoren 8
11 Geraden 9
12 Matrizen 10
13 Folgen und Reihen 11
14 Änderungsmaße 11
15 Wachstums- und Abnahmeprozesse 12
16 Ableitung und Integral 13
17 Differenzialgleichungen 1. Ordnung 14
18 Statistik 15
19 Wahrscheinlichkeit 16
20 Lineare Regression 18
21 Finanzmathematik 18
22 Investitionsrechnung 19
23 Kosten- und Preistheorie 20
24 Bewegungsvorgänge 20
Index 21
3
1 Mengen
∈ ist Element von ...
∉ ist nicht Element von …
∩ Durchschnitt(smenge)
∪ Vereinigung(smenge)
⊂ echte Teilmenge
⊆ Teilmenge
\ Differenzmenge („ohne“)
{ } leere Menge
Zahlenmengen
ℕ = {0, 1, 2, ...} natürliche Zahlen
ℤ ganze Zahlen
ℚ rationale Zahlen
ℝ reelle Zahlen
ℂ komplexe Zahlen
ℝ+ positive reelle Zahlen
ℝ0+ positive reelle Zahlen mit Null
2 Vorsilben
Tera- T 1012 Dezi- d 10–1
Giga- G 109 Zenti- c 10–2
Mega- M 106 Milli- m 10–3
Kilo- k 103 Mikro- μ 10–6
Hekto- h 102 Nano- n 10–9
Deka- da 101 Pico- p 10–12
3 Potenzen
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
a ∈ ℝ; n ∈ ℕ\{0} a ∈ ℝ\{0}; n ∈ ℕ\{0} a ∈ ℝ\{0}
an = a ∙ a ∙ ... ∙ a a1 = a a–n = 1an = (1a)
n
a–1 = 1a
a0 = 1
n Faktoren
Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)
a, b ∈ ℝ0+; n, k ∈ ℕ\{0} mit n ≥ 2
a = n b ⇔ an = b a
1n =
n a a
kn =
n ak a
– kn = 1n ak
mit a > 0
4
Rechenregeln
a, b ∈ ℝ\{0}; r, s ∈ ℤ a, b ∈ ℝ0+; m, n, k ∈ ℕ\{0} mit m, n ≥ 2
bzw. a, b ∈ ℝ+; r, s ∈ ℚ
ar ∙ as = ar + s n a · b =
n a ∙
n b
ar
as = ar – s
n ak = (n a)k
(ar)s = ar ∙ s ab
n
=
n a
n b (b ≠ 0)
(a ∙ b)r = ar ∙ br m a
n =
n · m a
(ab)
r
= a
r
br
Binomische Formeln
a, b ∈ ℝ
(a + b)2 = a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2 (a + b)3 = a3 + 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 + b3
(a – b)2 = a2 – 2 ∙ a ∙ b + b2 (a – b)3 = a3 – 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 – b3
(a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2 (a – b) ∙ (a2 + a ∙ b + b2) = a3 – b3
4 Logarithmen
a, b, c ∈ ℝ+ mit a ≠ 1; x, r ∈ ℝ
x = loga(b) ⇔ ax = b
natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis ℯ): ln(b) = logℯ(b)dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): lg(b) = log10(b)
loga(b · c) = loga(b) + loga(c) loga(bc) = loga(b) – loga(c) loga(br) = r · loga(b)
loga(ax) = x loga(a) = 1 loga(1) = 0 loga(1a) = –1 aloga(b) = b
5 Quadratische Gleichungen
p, q ∈ ℝ a, b, c ∈ ℝ mit a ≠ 0
x2 + p ∙ x + q = 0 a ∙ x² + b ∙ x + c = 0
x1, 2 = – p2
± (p2)2
– q
x1, 2 = –b ±
b2 – 4 · a · c2 · a
Satz von Vieta
x1 und x2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x2 + p ∙ x + q = 0, wenn gilt:x1 + x2 = –px1 ∙ x2 = q
Zerlegung in Linearfaktoren:x2 + p ∙ x + q = (x – x1) ∙ (x – x2)
5
6 Ebene Figuren
A ... Flächeninhalt u ... Umfang
Dreieck
u = a + b + c
Allgemeines DreieckRechtwinkeliges Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b
A = a · ha
2 =
b · hb
2 =
c · hc
2
b
c
ahb
ha hc
A = a · b2
= c · hc
2hc
2 = p · qa2 = c · pb2 = c · q
b
c
ahc
q p
Heron’sche Flächenformel Satz des Pythagoras
A =
s · (s – a) · (s – b) · (s – c) mit s = a + b + c2 a2 + b2 = c2
Ähnlichkeit und Strahlensatz Gleichseitiges Dreieck aa1
= bb1
= cc1
b
c1
a1
a
b1
c
A = a2
4 ·
3 = a · h2
h = a2
·
3
aah
a
60°
60° 60°
Viereck
Quadrat
aa
a
a
Rechteck
b b
a
a
A = a2 A = a · b
u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
Raute (Rhombus)
a
aae
a
fha
Parallelogramm
a
b b
a
hahbA = a ∙ ha = e · f
2 A = a ∙ ha = b ∙ hb
u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
6
Trapez
a
d b
c
h
Deltoid
A = (a + c) · h2
A = e · f2
u = a + b + c + d u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
Kreis
Kreisbogen und Kreissektor
A = π ∙ r2 = π · d2
4
M
rd = 2 · r
α im Gradmaß (°)
αM
r
b
rA
u = 2 ∙ π ∙ r = π ∙ d b = π ∙ r · α180°
A = π ∙ r2 · α360°
= b · r2
7 Körper
V ... Volumen M ... Inhalt der Mantelfläche O ... Inhalt der Oberfläche uG ... Umfang der Grundfläche G ... Inhalt der Grundfläche
Prisma Drehzylinder
V = G ∙ h
G
h
V = π · r2 ∙ h
h
r
r
M = uG ∙ h M = 2 ∙ π ∙ r · h
O = 2 ∙ G + M O = 2 ∙ π ∙ r2 + 2 ∙ π ∙ r · h
Quader Würfel
V = a ∙ b ∙ cc
ab
V = a3
a
aa
O = 2 ∙ (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c) O = 6 · a2
Pyramide Drehkegel
V = G · h3
G
h
V = 13
· π ∙ r 2 ∙ h
h
r
sO = G + M M = π · r · s
O = π ∙ r2 + π · r ∙ s
s =
h2 + r2
Kugel
V = 43
∙ π ∙ r3
rO = 4 · π · r2
a a
b
f
b e
7
8 Trigonometrie
Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß
Winkel im Bogenmaß (rad)
Winkel im Gradmaß (°)
180°π·
π180°
·
Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
Sinus: sin(α) = Gegenkathete von αHypotenuse
Cosinus: cos(α) = Ankathete von αHypotenuse
Tangens: tan(α) = Gegenkathete von α
Ankathete von α
1
1
1
tan( )α
sin(
) α
cos( )ααα
Gegenkathete von α
Anka
thet
e vo
n
α
Hypotenuse
Trigonometrie im Einheitskreis
sin2(α) + cos2(α) = 1
tan(α) = sin(α)cos(α)
für cos(α) ≠ 0
1
0
–1
1
10–1
tan(
) α
sin(
) α
cos( )αα
y
x
Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Sinussatz: a
sin(α) =
bsin(β)
= c
sin(γ) b
c
a
γ
βα
Cosinussatz: a2 = b2 + c2 – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos(α) b2 = a2 + c2 – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos(β) c2 = a2 + b2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ cos(γ)
Trigonometrische Flächenformel:
A = 12
∙ b ∙ c ∙ sin(α) = 12
∙ a ∙ c ∙ sin(β) = 12
∙ a ∙ b ∙ sin(γ)
Allgemeine Sinusfunktion
A ... Amplitude T ... Schwingungsdauer (Periodendauer) ω ... Kreisfrequenz f ... Frequenz φ ... Nullphasenwinkel
y(t) = A ∙ sin(ω ∙ t + φ)
T = 2πω = 1
ft0 = –φ
ω
y(t)
t
Tt0
A
–A
8
9 Komplexe Zahlen
j bzw. i ... imaginäre Einheit mit j2 = –1 bzw. i2 = –1 a ... Realteil, a ∈ ℝ r ... Betrag, r ∈ ℝ0
+
b ... Imaginärteil, b ∈ ℝ φ ... Argument, φ ∈ ℝ
Komponentenform Polarformen
z = a + b ∙ j z = r ∙ [cos(φ) + j ∙ sin(φ)] = r ∙ ℯ j ∙ φ = (r; φ) = r φ
g ... Gerade g ... ein Richtungsvektor der Geraden g n ... ein Normalvektor der Geraden g X, P ... Punkte auf der Geraden g k ... Steigung der Geraden g α ... Steigungswinkel der Geraden g a, b, c, k, d ∈ ℝ
Parameterdarstellung einer Geraden g in ℝ2 und ℝ3
g: X = P + t ∙ g mit t ∈ ℝ
Gleichung einer Geraden g in ℝ2
explizite Form der Geradengleichung: g: y = k ∙ x + d dabei gilt k = tan(α)
allgemeine Geradengleichung: g: a ∙ x + b ∙ y = c } dabei gilt n ∥ ( )ab für ( )a
b ≠ ( )00
Normalvektordarstellung: g: n ∙ X = n ∙ P
10
12 Matrizen
aij, bij ∈ ℝ; i, j, m, n, p ∈ ℕ\{0}; k ∈ ℝ
Addition/Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl k
Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt:
Absolute Änderung von f in [a; b]
f (b) – f (a)
Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)f(a)
mit f(a) ≠ 0
Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. in [x; x + ∆x]
f(b) – f(a)b – a
bzw. f(x + ∆x) – f(x)∆x
mit b ≠ a bzw. ∆x ≠ 0
Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x
f′(x) = x1 → xlim
f(x1) – f(x)x1 – x bzw. f′(x) =
∆x → 0lim
f(x + ∆x) – f(x)∆x
12
15 Wachstums- und Abnahmeprozesse
t ... Zeit N(t) ... Bestand zur Zeit t N0 = N(0) ... Bestand zur Zeit t = 0
Linear
k ∈ ℝ+
lineares Wachstum N(t) = N0 + k ∙ t
lineare Abnahme N(t) = N0 – k ∙ t
Exponentiell
a, λ ∈ ℝ+ mit a ≠ 1 und N0 > 0 a ... Änderungsfaktor
exponentielles Wachstum N(t) = N0 ∙ at mit a > 1
N(t) = N0 ∙ ℯλ ∙ t
exponentielle Abnahme N(t) = N0 ∙ at mit 0 < a < 1
N(t) = N0 ∙ ℯ–λ ∙ t
Beschränkt
S, a, λ ∈ ℝ+ mit 0 < a < 1 S ... Sättigungswert, Kapazitätsgrenze
beschränktes Wachstum(Sättigungsfunktion)
N(t) = S – b ∙ at mit b = S – N0
N(t) = S – b ∙ ℯ–λ ∙ t mit b = S – N0
beschränkte Abnahme(Abklingfunktion)
N(t) = S + b ∙ at mit b = |S – N0|
N(t) = S + b ∙ ℯ–λ ∙ t mit b = |S – N0 |
Logistisch
S, a, λ ∈ ℝ+ mit 0 < a < 1 und N0 > 0 S ... Sättigungswert, Kapazitätsgrenze
logistisches Wachstum N(t) = S1 + c ∙ at
mit c = S – N0
N0
N(t) = S1 + c ∙ ℯ–λ ∙ t
mit c = S – N0
N0
13
16 Ableitung und Integral
f, g, h ... auf ganz ℝ oder in einem Intervall definierte differenzierbare Funktionen f′, g′, h′ ... Ableitungsfunktionen F ... Stammfunktion von f C, k, q ∈ ℝ; a ∈ ℝ+\{1}
Unbestimmtes Integral
∫ f(x) dx = F(x) + C mit F′ = f
Bestimmtes Integral
∫b
a f(x) dx = F(x) | b
a = F(b) – F(a)
Funktion f Ableitungsfunktion f ′ Stammfunktion F
f(x) = k f ′(x) = 0 F(x) = k ∙ x
f(x) = xq f ′(x) = q ∙ xq – 1 F(x) =
xq + 1
q + 1 für q ≠ –1
F(x) = ln(| x |) für q = –1
f(x) = ℯx f ′(x) = ℯ x F(x) = ℯx
f(x) = ax f′(x) = ln(a) ∙ ax F(x) =
ax
ln(a)
f(x) = ln(x) f′(x) = 1x F(x) = x ∙ ln(x) – x
f(x) = loga(x) f′(x) = 1x · ln(a)
F(x) = 1ln(a)
∙ (x · ln(x) – x)
f(x) = sin(x) f′(x) = cos(x) F(x) = –cos(x)
f(x) = cos(x) f′(x) = –sin(x) F(x) = sin(x)
f(x) = tan(x) f′(x) = 1 + tan2(x) =
1cos2(x) F(x) = –ln(| cos(x) |)
Ableitungsregeln
Faktorregel (k ∙ f )′ = k ∙ f′Summenregel (f ± g)′ = f′ ± g′Produktregel (f ∙ g)′ = f′ ∙ g + f ∙ g′
Rotation des Graphen einer Funktion f mit y = f(x) um eine Koordinatenachse
Rotation um die x-Achse (a ≤ x ≤ b) Rotation um die y-Achse (c ≤ y ≤ d)
Vx = π ∙ ∫b
a y2 dx Vy = π ∙ ∫
d
c x2 dy
Bogenlänge s des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b]
s = ∫b
a
1 + (f′(x))2 dx
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
m = 1b – a
· ∫b
a f(x) dx
17 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
y′ = f(x) ∙ g(y) bzw. dydx
= f(x) ∙ g(y) mit y = y(x)
Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ... allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung yh ... allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung y′ + a ∙ y = 0 yp ... partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung s ... Störfunktion
y′ + a ∙ y = s(x) mit a ∈ ℝ, y = y(x)
y = yh + yp
15
18 Statistik
x1, x2, ... , xn ... eine Liste von n reellen Zahlen Dabei treten k verschiedene Werte x1, x2, ... , xk auf. Hi ... absolute Häufigkeit von xi mit H1 + H2 + ... + Hk = n
x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n) ... geordnete Liste mit n Werten
x(n + 12 ) ... für n ungerade
x̃ = {
12
· (x(n2) + x(n2 + 1)) ... für n gerade
Quartile
q1: Mindestens 25 % der Werte sind kleiner oder gleich q1, zugleich sind mindestens 75 % der Werte größer oder gleich q1.
q2 = x̃ q3: Mindestens 75 % der Werte sind kleiner oder gleich q3, zugleich sind mindestens 25 % der
Werte größer oder gleich q3.
Streuungsmaße
s2 ... (empirische) Varianz einer Datenliste s ... (empirische) Standardabweichung einer Datenliste
s2 = 1n ∙
i = 1∑n
(xi – x )2 s2 = 1n ∙
i = 1∑k
(xi – x )2 · Hi
s =
1n ∙
i = 1∑n
(xi – x )2
s =
1n ∙
i = 1∑k
(xi – x )2 · Hi
Wenn aus einer Stichprobe vom Umfang n die Varianz einer Grundgesamtheit geschätzt werden soll
s2n – 1 = 1
n – 1 ∙
i = 1∑n
(xi – x )2 s2
n – 1 = 1n – 1
∙ i = 1∑k
(xi – x )2 · Hi
sn – 1 =
1n – 1
∙ i = 1∑n
(xi – x )2
sn – 1 =
1n – 1
∙ i = 1∑k
(xi – x )2 · Hi
Spannweitexmax – xmin
(Inter)quartilsabstandq3 – q1
16
19 Wahrscheinlichkeit
n ∈ ℕ\{0}; k ∈ ℕ mit k ≤ n A, B ... Ereignisse A bzw. ¬A ... Gegenereignis von A A ∩ B bzw. A ∧ B ... A und B (sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B treten ein) A ∪ B bzw. A ∨ B ... A oder B (mindestens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein) P(A) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A P(A | B) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit)
Fakultät (Faktorielle) Binomialkoeffizient
n! = n ∙ (n – 1) · ... ∙ 1 0! = 1 1! = 1 ( )nk
= n!k! ∙ (n – k)!
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
P(A) = Anzahl der für A günstigen AusgängeAnzahl der möglichen Ausgänge
Elementare Regeln
P(A) = 1 – P(A) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B) P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) ... wenn A und B (stochastisch) unabhängig voneinander sindP(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ... wenn A und B unvereinbar sind
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
Satz von Bayes
P(A | B) = P(A) ∙ P(B | A)
P(B) =
P(A) ∙ P(B | A)P(A) ∙ P(B | A) + P(A) ∙ P(B | A)
Erwartungswert μ einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x1, x2, ... , xn
Varianz σ2 einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x1, x2, ... , xn
σ 2 = V(X ) = i = 1∑n
(xi – μ)2 ∙ P(X = xi )
Standardabweichung σσ =
V(X )
Binomialverteilung
n ∈ ℕ\{0}; k ∈ ℕ; p ∈ ℝ mit k ≤ n und 0 ≤ p ≤ 1
Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p
P(X = k) = ( )n
k ∙ pk ∙ (1 – p)n – k
E(X ) = μ = n ∙ pV(X ) = σ² = n ∙ p ∙ (1 – p)
17
Normalverteilung
μ, σ ∈ ℝ mit σ > 0 f ... Dichtefunktion F ... Verteilungsfunktion φ ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ϕ ... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Normalverteilung N(μ; σ ²): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ bzw. der Varianz σ ²
μ, σ, α ∈ ℝ mit σ > 0 und 0 < α < 1 x ... Stichprobenmittelwert sn – 1 ... Standardabweichung einer Stichprobe n ... Stichprobenumfang
z1 – α2 ... (1 – α
2)-Quantil der Standardnormalverteilung
tf; 1 – α2 ... (1 – α
2)-Quantil der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden
Zweiseitiger (1 – α)-Zufallsstreubereich für einen Einzelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen
[μ – z1 – α2 ∙ σ ; μ + z1 – α2
∙ σ]Zweiseitiger (1 – α)-Zufallsstreubereich für den Stichprobenmittelwert normalverteilter Werte
[μ – z1 – α2 ∙ σ
n; μ + z1 – α2
∙ σ n]
Zweiseitiges (1 – α)-Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen
σ bekannt: [x – z1 – α2 ∙ σ
n; x + z1 – α2
∙ σ n]
σ unbekannt: [x – tf; 1 – α2 ∙
sn – 1 n
; x + tf; 1 – α2 ∙
sn – 1 n ] mit f = n – 1
18
20 Lineare Regression
(x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn) ... Wertepaare x, y ... arithmetisches Mittel der xi bzw. yi
Lineare Regressionsfunktion f mit f(x) = k · x + d
k = i = 1∑n
(xi – x ) · (yi – y )
i = 1∑n
(xi – x )2
d = y – k · x
Korrelationskoeffizient nach Pearson
r = i = 1∑n
(xi – x ) · (yi – y )
i = 1∑n
(xi – x )2 · i = 1∑n
(yi – y )2
21 Finanzmathematik
Zinsen und Zinseszinsen
K0 ... Anfangskapital Kn ... Endkapital nach n Jahren i ... Jahreszinssatz
einfache Verzinsung: Kn = K0 ∙ (1 + i ∙ n) Zinseszinsen: Kn = K0 ∙ (1 + i )n
Unterjährige Verzinsung
m ... Anzahl der Zinsperioden pro Jahr Für Zinssätze gelten folgende Abkürzungen: p. a. ... pro Jahr p. s. ... pro Semester p. q. ... pro Quartal p. m. ... pro Monat
Kn = K0 ∙ (1 + i m)n ∙ m
unterjähriger Zinssatz im
effektiver Jahreszinssatz inomineller Jahreszinssatz inom
äquivalente Zinssätze
im = inom
m
inom = m · im im = m 1 + i – 1
i = (1 + im)m – 1
19
Rentenrechnung
R ... Ratenhöhe n ... Anzahl der Raten i ... Zinssatz q = 1 + i ... Aufzinsungsfaktor
Voraussetzung: Rentenperiode = Zinsperiode
nachschüssig vorschüssig
Endwert E Enach = R ∙ qn – 1
q – 1Evor = R ∙ q
n – 1q – 1
∙ q
Barwert B Bnach = R ∙ qn – 1q – 1
∙ 1qn Bvor = R ∙ q
n – 1q – 1
∙ 1qn – 1
Tilgungsplan
Zeit Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld
0 K0
1 K0 ∙ i T1 A1 = K0 ∙ i + T1 K1 = K0 – T1
... ... ... ... ...
22 Investitionsrechnung
Et ... Einnahmen im Jahr t At ... Ausgaben im Jahr t A0 ... Anschaffungskosten Rt ... Rückflüsse im Jahr t i ... kalkulatorischer Zinssatz (Jahreszinssatz) n ... Nutzungsdauer in Jahren iw ... Wiederveranlagungszinssatz (Jahreszinssatz) E ... Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse