Prof. Dr.-Ing. Carsten Fr¨ ager Formelsammlung elektrische Antriebe Formelsammlung elektrische Antriebe • Gleichstrommaschine • Wechselstromreihenschlussmaschine • Synchronmaschine • Asynchronmaschine • Antriebsauslegung • Kinematik • Gleich- und Wechselstromtechnik • Mathematik Hochschule Hannover Prof. Dr.-Ing. Carsten Fr¨ ager Version 2017-01-05a 1 ¨ Ubersicht Dieses Dokument enth¨ alt eine Sammlung von Gleichungen f¨ ur elektrische Maschinen und Antriebe. Mit den Gleichungen ist eine Bearbeitung vieler praktischer Fragestellungen zur Anwendung elektrischer Antriebe m¨ oglich. Sie stellen eine Hilfe zur L¨ osung der schriftlichen Pr¨ ufungen im Fach elektrische Antriebe dar. Wichtiger Hinweis Diese Formelsammlung wurde mit gr¨ oßter Sorgfalt erstellt und gepr¨ uft. Trotzdem sind Fehler in den Gleichungen, Grafiken und Erl¨ auterungen nicht ausgeschlossen. Eine Gew¨ ahrleistung f¨ ur die Richtigkeit kann nicht ¨ ubernommen werden. 2017-01-05a Seite 1 von 136
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Formelsammlung elektrische Antriebe - HsH · PDF fileCarsten Frager Formelsammlung elektrische Antriebe ... Laufer¨ R 2 drehender Teil der Maschine Anker a Maschinenteil, in dem die
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Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager Formelsammlung elektrische Antriebe
•Wechselstromreihenschlussmaschine• Synchronmaschine • Asynchronmaschine• Antriebsauslegung • Kinematik• Gleich- und Wechselstromtechnik
• Mathematik
Hochschule HannoverProf. Dr.-Ing. Carsten Frager
Version 2017-01-05a
1 Ubersicht
Dieses Dokument enthalt eine Sammlung von Gleichungen fur elektrische Maschinen undAntriebe. Mit den Gleichungen ist eine Bearbeitung vieler praktischer Fragestellungen zurAnwendung elektrischer Antriebe moglich. Sie stellen eine Hilfe zur Losung der schriftlichenPrufungen im Fach elektrische Antriebe dar.
Wichtiger Hinweis
Diese Formelsammlung wurde mit großter Sorgfalt erstellt und gepruft. Trotzdem sind Fehlerin den Gleichungen, Grafiken und Erlauterungen nicht ausgeschlossen. Eine Gewahrleistungfur die Richtigkeit kann nicht ubernommen werden.
5.8.1 Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesattigter Synchron-maschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz . . . . . . 34
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Inhaltsverzeichnis
5.9 Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb am Frequenzumrichter mit varia-bler Frequenz oder Netz mit abweichender Frequenz . . . . . . . . . . . . . . 345.9.1 Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase . . . . . . . . . . . . 355.9.2 Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung
8.4 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlanderungen S8 -Effektivmoment und mittlere Drehzahl bei linearer Dauerkennlinie . . . . . . . 768.4.1 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlande-
rungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60s bei li-nearer Dauerbetriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.2 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlande-rungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60s bei nicht-linearer Dauerbetriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.4.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlande-rungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1min , T > 60s . . . . . 78
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2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen undAntrieben
Motor: wandelt elektrische Leistung in mechanische Leistung,
Pzu = PE→ Pab = Pmech
Generator: wandelt mechanische Leistung in elektrische Leistung,
Pzu = Pmech→ Pab = PE
2.1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen
Tabelle 1: Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen
Maschinenteil,Bezeichnung
Index indieserFormel-samm-lung
weitereIndexein derLitera-tur
Erlauterung
Stator, Stander S 1 stehender Teil der Maschine
Rotor, Laufer R 2 drehender Teil der Maschine
Anker a Maschinenteil, in dem die Spannung induziertwird, bei Gleichstrommaschinen der Rotor, beiSynchronmaschinen der Stator
Wicklung Leiteranordnung, in der Regel aus isolierten zuSpulen gewickelten Drahten, bei Asynchron-maschinen auch die kurzgeschlossene Kafig-wicklung des Rotors, bei Synchronmaschinenauch die kurzgeschlossene Dampferwicklung
Kafig, Kafig-wicklung
kurzgeschlossene Leiteranordnung aus Staben,die stirnseitig miteinander verbunden sind
Bursten bu br Schleifkontakte aus Grafit, Metall oder Mi-schungen zur Ubertragung des Stroms vom ste-henden auf einen rotierenden Maschinenteil
Schleifring Metallring zur Ubertragung des Stroms vomstehenden auf einen rotierenden Maschinenteil,haufig aus Messing CuZn oder bei hohen me-chanischen Beanspruchungen aus Stahl
Fortsetzung nachste Seite
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2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
Fortsetzung
Maschinenteil,Bezeichnung
Index indieserFormel-samm-lung
weitereIndexein derLitera-tur
Erlauterung
Kommutator,Stromwender
Ring aus Metallstegen zur Ubertragung desStroms vom stehenden auf den rotierenden Ma-schinenteil, der Strom wird von Steg zu Stegkommutiert, so dass von außen gesehen derStrom im rotierenden Maschinenteil die gleicheFrequenz wie im stehenden Maschinenteil hat.Stege meist aus Kupfer Cu
Leerlauf 0 Betrieb ohne Drehmoment
Kurzschluss k Betrieb mit kurzgeschlossenen Wicklungsan-schlussen, bei Asynchronmaschinen auch Be-trieb im Stillstand oder ideller Kurzschluss mitSchlupf s→ ∞
N Betriebspunkt unter festgelegten Randbedin-gungen, in der Regel auf dem Typenschild undim Katalog angegeben, eine Maschine kannmehrere Bemessungspunkte haben
2.2 Bemessungspunkt
Der Bemessungspunkt ist ein Betriebspunkt unter festgelegten Randbedingungen.
Index N kennzeichnet die zusammengehorenden Großen des Bemessungspunkts. Großen furden Bemessungspunkt sind z.B.
Bemessungsleistung PN
Bemessungsdrehzahl nN
Bemessungsspannung UN
Bemessungsstrom IN
Bemessungsfrequenz fN
Bemessungsdrehmoment MN
Bemessungswirkungsgrad ηN
Bemessungsleistungsfaktor cosϕN
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2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
Achtung: Bemessungsdaten sind gerundete Werte, daraus berechnete weitere Daten habenUngenauigkeiten
Die Wirkungsgrade elektrischer Maschinen sind in Wirkungsgradklassen IE eingeteilt.
IE 4 – Super Premium
IE 3 – Premium
IE 2 – Hoch
IE 1 – Standard
Die Wirkungsgrade fur die Wirkungsgradklassen sind in der Norm IEC 60034-30 fur verschie-dene Motoren, Polpaarzahlen und Bemessungsfrequenzen angegeben.
Folgende Grafik zeigt beispielhaft die Wirkungsgradverlaufe. Die exakten Werte sind der Normzu entnehmen [IEC 60034-30].
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2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
2.3.1 Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten fur mittlereBemessungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz
Zur Bestimmung der Nennwirkungsgradgrenzwerte von Motoren bei 50 Hz Netzfrequenz undBemessungsleistung im Bereich von 0,12 kW bis zu 200 kW kann die folgende Gleichungverwendet werden:
ηN = A ·[
log10
(PN
1 kW
)]3
+B ·[
log10
(PN
1 kW
)]2
+C · log10
(PN
1 kW
)+D (1)
mit A, B, C, D = Interpolationskoeffizienten (siehe Tabelle 2 und 3), PN in kW.Der sich ergebende Wirkungsgrad (%) wird mathematisch auf eine Stelle nach dem Kommagerundet, das heißt xx,x %.
Tabelle 2: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kW bis zu 0,74 kW (IEC 60034-30)
IE-Code Koeffizienten8-polig
2p = 8, p = 4
750/min
6-polig2p = 6, p = 3
1000/min
4-polig2p = 4, p = 2
1500/min
2-polig2p = 2, p = 1
3000/min
IE1
ABCD
5,9466
7,9458
40,441
66,146
-45,9652
-87,1474
-8,2383
68,7303
16,7271
12,7136
25,947
76,174
11,924
6,3699
30,0509
76,6136
IE2
ABCD
6,4855
9,4748
36,852
70,762
-15,9218
-30,258
16,6861
79,1838
17,2751
23,978
35,5822
84,9935
22,4864
27,7603
37,8091
82,458
IE3
ABCD
-0,5896
-25,526
4,2884
75,831
-17,361
-44,538
-3,0554
79,1318
7,6356
4,8236
21,0903
86,0998
6,8532
6,2006
25,1317
84,0392
IE4
ABCD
-4,9735
-21,453
2,6653
79,055
-13,0355
-36,9497
-4,3621
82,0009
8,432
2,6888
14,6236
87,6153
-8,8538
-20,3352
8,9002
85,0641
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2 ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
Tabelle 3: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,75 kW bis zu 200 kW (IEC 60034-30)
IE-Code Koeffizienten8-polig
2p = 8, p = 4
750/min
6-polig2p = 6, p = 3
1000/min
4-polig2p = 4, p = 2
1500/min
2-polig2p = 2, p = 1
3000/min
IE1
ABCD
2,4433
-13,8
30,656
65,238
0,0786
-3,5838
17,2918
72,2383
0,5234
-5,0499
17,4180
74,3171
0,5234
-5,0499
17,4180
74,3171
IE2
ABCD
2,1311
-12,029
26,719
69,735
0,0148
-2,4978
13,2470
77,5603
0,0278
-1,9247
10,4395
80,9761
0,2972
-3,3454
13,0651
79,077
IE3
ABCD
0,7189
-5,1678
15,705
77,074
0,1252
-2,613
11,9963
80,4769
0,0773
-1,8951
9,2984
83,7025
0,3569
-3,3076
11,6108
82,2503
IE4
ABCD
0,6556
-4,7229
13,977
80,247
0,3598
-3,2107
10,7933
84,107
0,2412
-2,3608
8,446
86,8321
0,34
-3,0479
10,293
84,8208
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Magnetfeld wird von Dauermagneten erzeugt, der Strom wird dem Rotor uber Burstenund Kommutator zugefuhrt. In der Regel keine Wicklungen im Stator.
elektrisch erregte Gleichstrommaschine:
Magnetfeld wird vom Strom in der Erregerwicklung erzeugt, der Strom wird dem Rotoruber Bursten und Kommutator zugefuhrt. Verschiedene Ausfuhrungen:
• Fremderrgte Gleichstrommaschine:
Die Erregerspannung ist unabhangig von der Ankerspannung.
• Nebenschluss-Gleichstrommaschine:
Die Erregerspannung ist gleich der Ankerspannung; die Erregerwicklung ist parallelzur Ankerwicklung geschaltet.
• Reihenschluss-Gleichstrommaschine:
Der Erregerstrom ist gleich dem Ankerstrom; die Erregerwicklung ist in Reihe mitder Ankerwicklung geschaltet.
Maschinen mit Wendepolen:
In den Pollucken befinden sich Wendepole mit Wicklungen, die in Reihe mit der Anker-wicklung geschaltet sind. Die Wendepole unterstutzen die Stromwendung/Kommutierungdes Ankerstroms, so dass weniger Funken auftreten und die Bursten und der Kommutatorlanger halten.
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3 GLEICHSTROMMASCHINE
Maschinen mit Kompensationswicklungen:
Die Hauptpole haben eine zusatzliche Wicklung, die in Reihe mit der Ankerwicklunggeschaltet ist. Die Kompensationswicklung wirkt der Feldverzerrung durch den Anker-strombelag entgegen, so dass die Gleichstrommaschine durch den Ankerstrom nichtzusatzlich gesattigt wird und so das Drehmoment nahezu proportional zum Ankerstromist.
Tabelle 4: Großen und Formelzeichen Gleichstrommaschine
Formelzeichen Einheit Erklarungp 1 Polpaarzahl
τ Polteilung
α 1 Polbedeckungsgrad
Θ A magnetische Durchflutung
σ , σmechN
m2 mechanische Schubspannung
B T magnetische Flussdichte
Bf T Flussdichte der Magneten bzw. der Erregerpole
Bm T mittlere Flussdichte
M Nm Drehmoment
Mi Nm inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment
MN Nm Bemessungsdrehmoment (fruher Nennmoment)
Mreib Nm Reibdrehmoment
Mluft Nm Lufterdrehmoment
P W Leistung
PN W Bemessungsleistung (fruher Nennleistung)Motor: PN = PmechGenerator: PN = Pa
Pmech W mechanische Leistung, hier ZuordnungMotor: Pa > Pmech > 0,Generator: Pa < Pmech < 0
Pa W AnkerleistungMotor: Pa > Pmech > 0,Generator: Pa < Pmech < 0
PE W elektrische Leistung
PVa W Ankerverluste, Ankerverlustleistung
PV W Verlustleistung
n 1min , 1
s Drehzahl
Fortsetzung nachste Seite
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3 GLEICHSTROMMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen Einheit ErklarungnN
1min , 1
s Bemessungsdrehzahl (fruher Nenndrehzahl)
n01
min , 1s Leerlaufdrehzahl
n0N1
min , 1s Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung UaN
ΦP Vs magnetischer Fluss je Pol
U V Spannung
Ubu V Burstenspannung
U i V induzierte Spannung
UN , UaN V Ankerbemessungsspannung
UiN V induzierte Spannung bei Bemessungsdrehzahl und Bemes-sungsfluss
• Hier kleine Leistungen, zum Betrieb am Wechselstromnetz fur tragbare Elektro-gerate wie Bohrmaschinen, Winkelabschleifer, Handmixer etc.
• Die Motoren werden ausschließlich zweipolig ausgefuhrt
• Die Ankerwicklung (armature winding) wird vorzugsweise zwischen die beidenSpulen der Erregerwicklung (excitation winding) geschaltet, um die Funkstorung(radio interference) zu vermindern. Trotzdem sind zusatzlich Funkentstorelementevorzusehen
• Die Stander werden ohne Wendepol- (commutating winding) und Kompensations-wicklungen (compensating winding) ausgefuhrt
• Mit wenigen Ausnahmen besitzen die Motoren nur eine Drehrichtung. Dann wirdzur Verbesserung der Kommutierung eine Burstenbruckenverdrehung (brush displa-cement) oder eine entsprechende Schaltung der Spulenanschlusse (Schaltverschie-bung) vorgenommen, so dass sich die Kommutierungszone nicht in der Pollucken-mitte befindet
• Der Arbeitspunkt befindet sich weit im Sattigungsbereich (saturation region) derMagnetisierungskennlinie (magnetization characteristic)
• Der typische Drehzahlbereich liegt zwischen 4 000 min-1 und 40 000 min-1
• Das vorrangige Kuhlprinzip ist die Eigenkuhlung (auf die Welle aufgesetzter Lufter)(self-ventilation)
• Die Leerlaufdrehzahl (no-load speed) wird im Gegensatz zu großeren Motorendurch die Bursten-, Lager- und Luftreibung und durch geratespezifische Getriebebegrenzt
• Die Ummagnetisierungsverluste (hysteresis and eddy-current loss) im Standerblech-paket sind von der Frequenz des speisenden Netzes abhangig. Im Lauferblechpaketwerden sie von der Drehzahl bestimmt
Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesattigt, besonders beim Anlauf mit hohen Stromen.
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5 SYNCHRONMASCHINE
5 Synchronmaschine
M
V+ V-U+ U-W+W-
Windungszahl wSpule
U+
V+
W+
UUst
UVst
UWst
Abbildung 3: prinzipieller Aufbau einer Synchronmaschine mit Polradwicklung und Stator-Wicklungsbild. (N = 18, p = 3, 2p = 6, q = 1)
5.1 Arten von Synchronmaschinen
Vollpolmaschine:
• etwa konstanter Luftspalt
• sinusformiges Rotormagnetfeld wird durch verteilte Erregerwicklung erreicht
• Induktivitaten etwa identisch in d-Achse und q-Achse
Schenkelpolmaschine:
• ausgepragte Pole mit konzentrierten Wicklungen im Rotor
• sinusformiges Magnetfeld wird durch ungleichmaßigen Luftspalt erreicht (Sinus-feldpole)
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5 SYNCHRONMASCHINE
• Induktivitaten ungleich in d-Achse und q-Achse, in der Regel Ld > Lq
Permanentmagnet/Dauermagnet erregte Maschine: Magnetfeld wird durch Perma-nentmagente erzeugt. Nur Wicklung im Stator.
• Dauermagnete am Luftspalt: etwa gleiche Induktivitaten in d- und q-Achse
• Dauermagnete im Rotor integriert, Eisenpole: unterschiedliche Induktivitaten in d-und q-Achse, in der Regel Ld < Lq
• etwa sinusformiges Rotormagnetfeld zum Betrieb am Netz oder zum Betrieb anFrequenzumrichtern mit sinusformigen Stromen und Spannungen
• etwa trapezformiges Magnetfeld zum Betrieb mit Blockstromumrichtern als burs-tenloser Gleichstromantrieb (BLDC, brushless DC)
elektrisch erregte Maschine:
Im Rotor ist eine Erregerwicklung. Das Magentfeld wird durch den Strom in der Erre-gerwicklung erzeugt. Verschiedene Verfahren zur Ubertragung des Gleichstroms in denRotor (s.u.)
elektrisch erregte Maschine mit Bursten:
Der Erregerstrom wird uber Bursten und Schleifringe in den Rotor ubertragen
burstenlos erregte Maschine:
Der Erregerstrom wird durch eine zweite Maschine auf der gleichen Welle in den Rotorubertragen.
• Generator mit Gleichstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, ro-tierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischenLeistung zum Antrieb des Generators gewonnen. Einstellung der Polradspannunguber Gleichstrom in der Statorwicklung.
• Generator mit Drehstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, ro-tierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischenLeistung zum Antrieb des Generators und der Drehstromleistung in der Statorwick-lung gewonnen. Einstellung der Polradspannung uber Drehspannung an der Stator-wicklung.
• Transformator mit stehender Ringwicklung im Stator, drehender Ringwicklungim Rotor, Gleichrichter im Rotor. Gleichstromleistung im Rotor wird induktivubertragen. Einstellung uber den Strom bzw. die Spannung an der Statorwicklung.
Maschine mit Dampferwicklung/Anlaufkafig:
Im Rotor in den Polen kurzgeschlossene Kafigwicklung zum Anlauf und zur Dampfungvon Drehzahlpendelungen. Alternativ auch Rotor mit elektrisch leitenden Massivpolen,die ebenfalls einen Anlauf ermoglichen und Drehzahlpendelungen bedampfen.
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5 SYNCHRONMASCHINE
Reluktanzmaschine
• keine Wicklung oder Magnete im Rotor
• starke Unterschiede der Induktivitaten in d- und q-Achse Ld 6= Lq
• Drehmoment entsteht durch den Induktivitatsunterschied
Synchronmaschine mit Kombination von Dauermagneterregung, elektrischer Erre-gung und Reluktanzverhalten
• diverse Ausfuhrungen mit unterschiedlichen Anordnungen
Tabelle 6: Großen und Formelzeichen Synchronmaschine
Formelzeichen Einheit ErklarungU st, U st V Strangspannung
UNst, UNst V Bemessungsstrangspannung
UP, Ui, UP, U i V Polradspannung, induzierte Spannung
UPN V Bemessungspolradspannung
UN V Leiterbemessungsspannung
U , US, US V Statorspannung
IS, IS A Standerstrom, Statorstrom
Ist, Ist A Strangstrom
INst, INst A Bemesungsstrangstrom
IN A Bemessungsleiterstrom
LS H Induktivitat
Ld H Langsinduktivitat
Lq H Querinduktivitat
f Hz Frequenz
f N Hz Bemessungsfrequenz
f s Hz Standerfrequenz
ω = 2 ·π · f rads Kreisfrequenz
S, S VA Scheinleistung
SN, SN VA Bemessungsscheinleistung
PN W Bemessungsleistung (fruher Nennleistung)Motor: PN = PmechGenerator: PN = PE
PE W elektrische Wirkleistung
PEN W Bemessungswirkleistung elektrisch
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5 SYNCHRONMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen Einheit ErklarungPmech W mechanische Leistung
PmechN W mechanische Leistung Bemessungsbetrieb
Q var Blindleistung
QN var Bemessungsblindleistung
cos(ϕ) 1 Leistungsfaktor
PW W Statorwicklungsverluste
PWN W Statorwicklungsverluste im Bemessungsbetrieb
Pf , Per W Erregerverluste, Erregerleistung
Preib W Reibungsverluste
Pfe W Eisenverluste
U f , Uer V Feldspannung, Erregerspannung
If , Ier A Feldstrom, Erregerstrom
If0 A Nullerregerstrom (Up =UN)
XS Ω Synchronreaktanz
Xd Ω Langsreaktanz
Xq Ω Querreaktanz
x 1 bezogene Synchronreaktanz
IK A Kurzschlussstrom
iK0 1 bezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregerstrom If0
M Nm Drehmoment
Mi Nm inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment
In den Gleichungen treten nur Stranggroßen auf. Die Umrechnung in die Leitergroßen erfolgtje nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise-Schaltung). Den Spannungsgleichungen liegt Ersatzschaltbild 4 zugrunde:
Haufig kann der Statorwiderstand vernachlassigt werden. Wird die Statorstrangspannungrein reell gewahlt, ergeben sich dann die Stromortskurve, der Mittelpunkt und der Radiuszu
Ist =USst
j2π fSLS− UPst
j2π fSLSkomplexer Statorstrom (235)
Im =USst
j2π fSLSMittelpunkt des Kreises auf der negativen imaginaren Achse
In den Gleichungen treten nur Stranggroßen auf. Die Umrechnung in die Leitergroßen erfolgtje nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise-Schaltung).
Bezugsgroßen fur die komplexen Gleichungen:
UPst =UPst die Polradspannung ist rein reelle Bezugsgroße (251)
komplexe Spannungsgleichung:
USst =UPst +UR +ULd +ULq Statorspannung (252)
UR = RS · ISst ohmscher Spannungsabfall (253)
ULd = Xd · Id = 2 ·π · f S ·Ld · Id induktiver Spannungsabfall durch d-Strom (254)
ULq = j ·Xq · Iq = j ·2 ·π · f S ·Lq · Iq induktiver Spannungsabfall durch q-Strom (255)
USst =UPst +RS · ISst +2 ·π · f S ·Ld · Id +2 ·π · f S ·Lq · Iq Statorspannung (256)
Leistungen:
S = 3 ·USst · I∗Sst komplexe Scheinleistung (257)
mit I∗Sst : konjugiert komplexer Strom (258)
P = Re(S) Wirkleistung ist der reelle Anteil der Scheinleistung (259)
Q = Im(S) Blindleistung ist der imaginare Anteil der Scheinleistung (260)
induktiv: Q > 0 , kapazitiv: Q < 0
cosϕ =PS=
Re(S)|S|
Leistungsfaktor (261)
Statorstrom bei gegebenem Winkel α gegenuber Polradspannung
Strom voreilend :
ISst = ISst · (cosα + j · sinα) (262)
Strom nacheilend :
ISst = ISst · (cosα− j · sinα) (263)
ISst = Iq + jId komplexer Statorstrom aus Strom in d-Achse und q-Achse (264)
Iq = Re(ISst) Strom in q-Achse (265)
Id = Im(ISst) Strom in d-Achse (266)
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5 SYNCHRONMASCHINE
5.18 Drehmoment Schenkelpol-Synchronmaschine
Das Drehmoment der Schenkelpol-Synchronmaschine setzt sich aus zwei Komponenten zu-sammen:
Reluktanzdrehmoment wegen Ld 6= Lq
Synchronmoment aus dem Magnetfeld der Erregerwicklung, bzw. der PolradspannungUP, UPst
Drehmomente bei vernachlassigbarem Statorwiderstand (RS ≈ 0)
Kippmoment Synchronmoment
Mkipp syn =p
2 ·π · f S· US ·UP
2 ·π · f S ·Ld(267)
=1
2 ·π ·n·US ·UP
Xd(268)
Kippmoment Reluktanzmoment
Mkipp reluk =p
2 ·π · f S· US
2
4 ·π · f S
(1Lq− 1
Ld
)(269)
=1
2 ·π ·n·US
2
2
(1
Xq− 1
Xd
)(270)
Gesamtdrehmoment
M = −Mkipp syn · sinβ −Mkipp reluk · sin2β (271)
= − p2 ·π · f S
·(
US ·UP
2 ·π · f S ·Ld· sinβ +
US2
4 ·π · f S
(1Lq− 1
Ld
)· sin2β
)(272)
= − 12 ·π ·n
·(
US ·UP
Xd· sinβ +
US2
2
(1
Xq− 1
Xd
)· sin2β
)(273)
β = ](USst ; UPst) Lastwinkel von der Statorspannung zur Polradspannung (274)
Mkipp ges = b ·Mkipp syn +2 ·a ·b ·Mkipp reluk (275)
mit
a =−Mkipp syn
8 ·Mkipp reluk+
√M2
kipp syn
64 ·M2kipp reluk
+12
(276)
b =√
1−a2 (277)
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5 SYNCHRONMASCHINE
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-600-500-400-300-200-1000100200
Rea
lteil
Stat
orst
rang
stro
m in
AImaginärteil Statorstrangstrom in A
Nullerregung
untererregt
übererregt
Ust
Abbildung 8: Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd > Xq, SN = 2,5 MVA,fN = 50 Hz, UN = 6,3 kV, IN = 230 A, Xd = 17,5 Ω, Xq = 10,5 Ω, RS = 0,48 Ω,2p = 20
5.19 Stromortskuve Schenkelpol-Synchronmaschine
Bei der Schenkelpolmaschine sind die Induktivitaten bzw. Reaktanzen in Langsachse/d-Achseund Querachse/q-Achse unterschiedlich. Die Stromortskurve setzt sich aus zwei Kreisen zu-sammen, die unterschiedlich schnell mit dem Lastwinkel β durchlaufen werden.
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5 SYNCHRONMASCHINE
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-35-30-25-20-15-10-50510
Rea
lteil
Stat
orst
rang
stro
m in
A
Imaginärteil Statorstrangstrom in A
Nullerregungnicht erregtuntererregtübererregt
Ust
Abbildung 9: Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd < Xq, tritt z.B. bei PM-Synchronmaschine mit integrierten Magneten auf
Stromortskurve fur RS 6= 0, Bezug ist Spannung US st in reeller Achse:
IS st = IA + IB · ejβ + IC · ej2β (278)
IA =
(RS
RS2 +Xd ·Xq
− jXd +Xq
2(RS
2 +Xd ·Xq)) ·US st (279)
IB =
(RS
RS2 +Xd ·Xq
+ jXq
RS2 +Xd ·Xq
)·UP st (280)
IC =
(−j
Xq−Xd
2(RS
2 +Xd ·Xq)) ·US st (281)
(282)
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5 SYNCHRONMASCHINE
Xd = 2 ·π · f S ·Ld (283)
Xq = 2 ·π · f S ·Lq (284)
β = ](US st ,UP st) (285)
Stromortskurve fur RS ≈ 0, Bezug ist Spannung US st in reeller Achse:
IS st = IA + IB · ejβ + IC · ej2β (286)
IA =−jXd +Xq
2 ·Xd ·Xq·US st (287)
IB = j1
Xd·UP st (288)
IC =−jXq−Xd
2 ·Xd ·Xq·US st (289)
Xd = 2 ·π · f S ·Ld (290)
Xq = 2 ·π · f S ·Lq (291)
β](UP st ,US st) (292)
Stromortskurve fur UPst = 0, Bezug ist Spannung US st in reeller Achse:
IS st = IA + IC · ej2β (293)
Strome IA und IC nach Gleichungen oben fur RS 6= 0 bzw. RS ≈ 0.
5.20 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- undDreieckschaltung
Hinweis: Synchronmaschine normalerweise in -Schaltung
Sternschaltung – -Schaltung
U =US =Ul =√
3 ·USst (294)
USst =1√3·Ul =
1√3·US =
1√3·U (295)
I = Il = IS = ISst (296)
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5 SYNCHRONMASCHINE
Dreieckschaltung –4-Schaltung
U =Ul =US =USst (297)
I = Il = IS =√
3 · ISst (298)
ISst =1√3· Il =
1√3· IS =
1√3· I (299)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6 Asynchronmaschine
U U U
VV
V
WW
W
UU
UW
WW
VVVUUUW
WW
WW
W
UUU
VV
V
V V V
W2 U1 V1 W1 U2 V2
W2 U1 V1 W1 U2 V2
Abbildung 10: Maschinenquerschnitt einer Asynchronmaschine mit Kurzschlusslaufer;IEC100, NS = 36, NR = 28, 2p = 4, oben konzentrische Spulen, unten Spu-len gleicher Weite
6.1 Arten Asynchronmaschinen
Asynchronmaschine mit Kurzschlusslaufer, in der Regel beim Anlauf deutliche Strom-verdrangung im Roto
• Rotor mit gegossenem Aluminiumkafig, Stabe meist in Tropfenform als Doppelnutausgefuhrt.
• Rotor mit gegossenem Kupferkafig, Stabe meist in Tropfenform
• Rotor mit eingeschobenen Kupferstaben und angelotetem oder angeschweißtemKurzschlussring, Stabe meist in Recheck- oder Ovalform, ggf. zur Verbesserungdes Anlaufverhaltens zwei Kafige, ggf. Legierung mit hoherem spez. Widerstandzur Erhohung des Anlaufmoments
Asynchronmotor mit Schleifringlaufer
Rotor hat Drehstromwicklung, deren Anschlusse auf drei Schleifringe gefuhrt sind. Uberdie Bursten konnen externe Komponenten angeschlossen werden:
• Widerstande zur Erhohung des Anlaufmoments und Reduzierung der Anlaufverlus-te im Motor. Nach dem Anlauf werden die Schleifringe kurzgeschlossen.
• Gleichrichter zur Drehzahlstellung, ggf. speist Netzstromrichter die Gleichstrom-leistung in das Netz zuruck. Bei voller Drehzahl werden die Schleifringe kurzge-schlossen.
• Stromrichter zur Drehzahl- und Blindleistungsstellung. Einsatz z.B. bei Windkraft-anlagen.
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Tabelle 8: Großen und Formelzeichen Asynchronmaschine
Formelzeichen Einheit Erklarungf R Hz Rotorfrequenz
f S Hz Statorfrequenz
f N Hz Bemessungsfrequenz Stator
f RN Hz Bemessungsrotorfrequenz
US V Statorspannung
USst V Statorstrangspannung
UN V Bemessungsspannung
PW W Wicklungsverluste
p 1 Polpaarzahl
2p 1 Polzahl
s 1 Schlupf
sKipp 1 Kippschlupf
cosϕ 1 Leistungsfaktor
cosϕN 1 Bemessungsleistungsfaktor
M Nm Drehmoment
Mi Nm inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment
MN Nm Bemessungsdrehmoment (fruher Nennmoment)
Mreib Nm Reibdrehmoment
Mluft Nm Lufterdrehmoment
Ma Nm Anlaufmoment
MS Nm Satteldrehmoment, kleinstes Drehmoment der Hochlauf-kurve
MKipp Nm Kippmoment
MN Nm Bemessungsdrehmoment
n 1min , 1
s Drehzahl
PVR W Rotorverluste
PN W Bemessungsleistung (fruher Nennleistung)Motor: PN = PmechGenerator: PN = PE
PE W elektrische Leistung der Statorwicklung
Pmech W mechanische Leistung
IS A Statorstrom
Fortsetzung nachste Seite
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen Einheit ErklarungISst A Statorstrangstrom
IN A Bemessungsstrom
IR , IK A Rotorstrom, bezogen auf den Stator
IRN , IKN A Rotorbemessungsstrom, bezogen auf den Stator
Lσ H Streuinduktivitat, bezogen auf den Stator
LK H im Rotorkreis konzentrierte gesamte Streuinduktivitat, be-zogen auf den Stator
Lh H Hauptinduktivitat
LS H gesamte Statorinduktivitat
RS Ω Statorwiderstand
RR , RK Ω Rotorwiderstand, bezogen auf den Stator
Rfe Ω Eisenverlustwiderstand zur Berucksichtigung derUmmagnetisierungs- und Wirbelstromverluste im Sta-toreisen
psynchrone Drehzahl, in etwa Leerlaufdrehzahl (300)
fS = p ·n0 Standerfrequenz (301)
s =fR
fSSchlupf (302)
fR = s · fS Rotorfrequenz (303)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Tabelle 9: Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhangig von derPolpaarzahl
Polpaarzahl p Polzahl 2p Netzfrequenz f s = 50 Hz Netzfrequenz f s = 60 Hz
synchrone Drehzahl n0
p 2 p 3000min−1
p3600min−1
p
1 2 3000 min−1 3600 min−1
2 4 1500 min−1 1800 min−1
3 6 1000 min−1 1200 min−1
4 8 750 min−1 900 min−1
5 10 600 min−1 720 min−1
6 12 500 min−1 600 min−1
......
......
Wenn die Asynchronmaschine ein Drehmoment erzeugt, weicht die Drehzahl immer von derSynchrondrehzahl ab:
n 6= n0 , s 6= 0 fur M 6= 0 (304)
Die Bemessungsdrehzahl nN ist in der Regel in der Nahe der synchronen n0 Drehzahl.
nN ≈ n0 =fS
p(305)
Aus der Bemessungsdrehzahl kann die Polpaarzahl bestimmt werden. Haufig gilt:
p = Ganzzahl(
fN
nN
)(306)
6.4 Bemessungsbetrieb am starren Netz
Gleichungen sind angegeben fur
Motor: PE > Pmech > 0
Generator: PE < Pmech < 0
SN =√
3 ·UN · IN Scheinleistung (307)
PEN =√
3 ·UN · IN · cosϕN elektrische Wirkleistung (308)
QN =√
3 ·UN · IN · sinϕN induktive Blindleistung (309)
=√
3 ·UN · IN ·√
1− cos2 ϕN > 0 (310)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
cos(ϕ) =PS
Leistungsfaktor (311)
Pmech = PEN−PV mechanische Leistung (312)
MN =PN
2 ·π ·nNBemessungsdrehmoment Motor (313)
nN =fN− fRN
pBemessungsdrehzahl (314)
sN =fRN
fSN, sN =
n0−nN
n0Bemessungschlupf (315)
fRN = sN · fSN Bemessungsrotorfrequenz (316)
nN = (1− sN) ·n0 Bemessungsdrehzahl (317)
MN =PN
2 ·π ·nNBemessungsdrehmoment Motor (318)
ηN =PN√
3 ·UN · IN · cosϕNBemessungswirkungsgrad Motor (319)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.5 Asynchronmotor Kennlinie bei fester Frequenz und Spannung
Die folgenden Bilder 11 zeigen Beispiele fur die asynchrone Drehzahl-Drehmomentkennlinievon Asynchronmaschinen. Die Kennlinien sind durch folgende Großen gekennzeichnet:
Anlaufdrehmoment Ma, MA
Satteldrehmoment MS
Kippmoment Mkipp, MK
Kippdrehzahl nkipp
Kippschlupf skipp
Bemessungsdrehmoment (Nennmoment) MN
Bemessungsdrehzahl nN
Bemessungsschlupf sN
Leerlaufdrehzahl, synchrone Drehzahl n0
Hinweis: Die gesamte Kennlinie ist etwa proportional zu U2S .
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.7 Synchrondrehzahl
Bei der Synchrondrehzahl n0 gilt:
fR = 0 , Mi = 0 , s = 0 (324)
n0 =fS
psynchrone Drehzahl (325)
6.8 Schlupf, Drehzahl, Rotorfrequenz
s =fR
fS, s =
n0−nn0
Schlupf (326)
fR = s · fS Rotorfrequenz (327)
n = (1− s) ·n0 Drehzahl (328)
6.9 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrangung furvernachlassigbaren Statorwiderstand
Randbedingungen:
Ersatzschaltbild entsprechend Abbildung 12
Statorwiderstand ist vernachlassigbar RS ≈ 0
Ersatzschaltbildelemente RK, LS, LK sind konstant
motorischer Betrieb: positive Drehzahl n < n0 und positives Drehmomoment M > 0
generatorischer Betrieb: positive Drehzahl n > n0 und negatives Drehmoment M < 0
elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment, inneres Drehmoment: Mi
Drehmoment an der Welle: M
sKipp =RK
2π fSLKKippschlupf (329)
Mi = MKippi ·2
sKipps + s
sKipp
Drehmoment, Mi ∼U2S (330)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
MKippi =32·
pU2Sst
2 ·π · fS· 1
2 ·π · fS ·LKKippmoment (331)
=32·
U2Sst
2 ·π ·n0· 1
2 ·π · fS ·LK(332)
M = Mi− sgn(n) · (Mreib +Mluft) (333)
Mkipp = Mkippi− sgn(n) · (Mreib +Mluft) (334)
MKipp
MNUberlastbarkeit (335)
Berechnung des Kippschlupfes aus Bemessungsdrehmoment, Kippmoment und Bemessungs-schlupf fur Mreib +MluftMN:
sKipp = sN ·
MKipp
MN+
√(MKipp
MN
)2
−1
Schlupf gilt nur fur die zu-gehorige Statorfrequenz
(336)
Berechnung des Bemessungsschlupfes aus Bemessungsdrehmoment, Kippmoment und Kipp-schlupf fur Mreib +MluftMN:
sN = sKipp ·
MKipp
MN−
√(MKipp
MN
)2
−1
Schlupf gilt nur fur die zu-gehorige Statorfrequenz
(337)
Berechnung Schlupf und Lauferfrequenz fur Drehmoment M fur Mreib +MluftM:
s = sKipp ·
MKipp
M−
√(MKipp
M
)2
−1
Schlupf gilt nur fur die zu-gehorige Statorfrequenz
(338)
fR = s · fS (339)
Bei kleinen Drehmomenten gilt naherungsweise fur Mreib +MluftMN:
s≈ MMN
sN bis etwa M ≤MKipp
3Schlupf gilt nur fur die zu-gehorige Statorfrequenz
(340)
fR ≈M
MNfRN bis etwa M ≤
MKipp
3(341)
Beim Stillstand gilt (z. B. bei Anlaufmoment):
s = 1 (342)
Ma i =2 ·Mkippi1
sKipp+ sKipp
Anlaufdrehmoment ohne Stromverdrangung und Reibung (343)
Ma = Ma i− sgn(n) · (Mreib +Mluft) Anlaufdrehmoment (344)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.10 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrangung fur nichtvernachlassigbaren Statorwiderstand
Randbedingungen:
Ersatzschaltbild entsprechend Abbildung 13
nicht vernachlassigbarer Statorwiderstand RS > 0
Ersatzschaltbildelemente RS, RK, LS, LK sind konstant
motorischer Betrieb: positive Drehzahl n < n0 und positives Drehmomoment M > 0
generatorischer Betrieb: positive Drehzahl n > n0 und negatives Drehmoment M < 0
elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment, inneres Drehmoment: Mi
Drehmoment an der Welle: M
LI =LSLK
LS +LKHilfsgroße Induktivitat ideeller Kurzschluss (345)
LD = LI
1+ R2S
(2π fS)2LSLI
1− LILS
Hilfsgroße Durchmesserinduktivitat (346)
sKippmot =RK√
(2π fSLD)2 +R2S
Kippschlupf Motorbetrieb (347)
sKippgen =−RK√
(2π fSLD)2 +R2S
Kippschlupf Generatorbetrieb (348)
MKippmot i =32
pU2Sst
2π fS
sKippmot
RK
11+ RS
RKsKippmot
Kippmoment Motorbetrieb (349)
=32
U2Sst
2πn0
sKippmot
RK
11+ RS
RKsKippmot
(350)
MKippgeni =32
pU2Sst
2π fS
sKippgen
RK
11+ RS
RKsKippgen
Kippmoment Generatorbetrieb (351)
=32
U2Sst
2πn0
sKippgen
RK
11+ RS
RKsKippgen
(352)
Hinweis: Wegen der Sattigung in der Maschine ist das tatsachliche generatorische Kippmomentreal haufig deutlich kleiner.
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Drehzahl-Drehmomentverhalten, Gleichungen liefert mit sKippmot und MKippmot als auch mitsKippgen und MKippgen die gleichen Ergebnisse fur den gesamten Drehzahlbereich.
Mi = 2MKippmot1+ RS
RKsKippmot
ssKippmot
+sKippmot
s +2 RSRK
sKippmot(353)
= 2MKippgen1+ RS
RKsKippgen
ssKippgen
+sKippgen
s +2 RSRK
sKippgen(354)
M = Mi− sgn(n) · (Mreib +Mluft) (355)
MKippmot = Mkippmot i− sgn(n) · (Mreib +Mluft) Kippmoment an der Welle (356)
MKippgen = Mkippgeni− (Mreib +Mluft) Kippmoment an der Welle (357)
6.11 Abhangigkeit der Drehmomente von der Spannung
Die gesamte M-n-Kennlinie wachst mit dem Quadrat der Spannung: M ∼U2S .
Die Gleichungen gelten bei fester Frequenz f = fN fur Mreib +MluftMN
MKipp ∼U2S ,
MKipp
MKippN=
(US
UN
)2
Zusammenhang Kippmoment und Spannung
(358)
Ma ∼U2S ,
Ma
MaN=
(US
UN
)2
Zusammenhang Anlaufmoment und Spannung (359)
6.12 Strom und Drehmoment aus Bemessungsgroßen bei kleinemSchlupf
Bei Betrieb mit Bemessungsspannung und Bemessungsfrequenz gelten bei kleinem Schlupfs sKipp fur den Strom und das Drehmoment naherungsweise fur Mreib +MluftMN:
IS ≈ IN
√(M
MN
)2
cos2 ϕN +(1− cos2 ϕN) (360)
M ≈MN1
cosϕN
√(I
IN
)2
− (1− cos2 ϕN) (361)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
fR ≈M
MNfRN =
MMN
( fN− pnN) (362)
s≈ MMN
sN =M
MN
n0−nN
n0(363)
n≈ n0−M
MN(n0−nN) (364)
Diese Beziehungen gelten sinngemaß naherungsweise auch bei zur Frequenz proportionalenStatorspannung:
6.15 Drehzahlstellen Asynchronmaschine, Betrieb mit variablerSpannung und Frequenz
Betrieb mit variabler Frequenz am Umrichter, vernachlassigbarer Standerwiderstand (RS ≈ 0):
US
UN=
fS
fN, US ∼ fS fur volles Feld (383)
fS = pn+ fR (384)
fR ≈M
MNfRN bei vollem Feld (385)
fR = fRN bei M = MN und vollem Feld (386)
Feldschwachung bei der Asynchronmaschine:
US
UN<
fS
fN, z.B. US =UN bei fS > fN (387)
MKipp ∼(
US
fS
)2
(388)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.16 Komplexe Spannungsgleichungen
Die Gleichungen gelten fur die Ersatzschaltbilder
12 bei vernachlassigbarem Statorwiderstand RS ≈ 0
13 mit Statorwiderstand RS
14 mit Statorwiderstand RS und Eisenverlustwiderstand Rfe zur Berucksichtigung derUmmagnetisierungsverluste und Wirbelstrome im Eisen.
mit vollstandig in den Lauferkreis umgerechneter Streuinduktivitat.
Umrechnung der Originalgroßen in die Ersatzschaltbilder 12 und 13:
Originalgroßen:
• Statorstranginduktivitat: LS
• Statorstrangwiderstand: RS
• Statorstrangzahl: mS
• Rotorstranginduktivitat: LR
• Rotorstrangwiderstand: RR
• Rotorstrangzahl: mR, z.B. Stabzahl
• Gegeninduktivitat zwischen Statorstrang und Rotorstrang: M
• Drehfeldgegeninduktivitaten zwischen Stator und Rotor:
MSR =mR
2M (389)
MRS =mS
2M (390)
Ersatzschaltbildgroßen fur die Ersatzschaltbilder 12 und 13:
• LS und RS werden unverandert ubernommen
• weitere Großen
u =mRM2LS
(391)
RK =1u2
mR
mSRR (392)
LK =1u2
mR
mSLR−LS (393)
Umrechnung der Rotorstrome:
IK = u · IRst Strangstrom (394)
IRst =1u
IK Strangstrom, z.B. Stabstrom (395)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
ISst
USstLS
LK
RKs
IK
XS
XK
RK enthalt bei Kurzschlusslaufernden Rotorwiderstand und beiSchleifringlaufern den Rotorwider-stand und extern im Lauferkreiseingeschaltete Widerstande
Abbildung 12: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine ohne Statorwiderstand
ISst
USstLS
LK
RKs
IK
XS
XK
RS
RK enthalt bei Kurzschlusslaufernden Rotorwiderstand und beiSchleifringlaufern den Rotorwider-stand und extern im Lauferkreiseingeschaltete Widerstande
Abbildung 13: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand
Die Gleichungen gelten fur die Strangspannungen und -strome des Stators. Die Umrechnung indie Leitergroßen erfolgt je nach Schaltung der Wicklung (s. Abschnitt 9.6.3 S. 93).
Uh = j ·2 ·π · fS ·LK · IK +RK
sIK = jXK · IK +
RK
sIK Hauptfeldspannung (396)
ISst = IK +Uh
j ·2 ·π · fS ·LS+
UhRfe
= IK +UhjXS
+UhRfe
Statorstrom (397)
USst =Uh +RS · ISst Statorspannung (398)
USst = RS · ISst +ISst
1Rfe
+ 1j·2·π· fS·LS
+ 1RK
s +j·2·π· fS·LK
Statorspannung (399)
= RS · ISst +ISst
1Rfe
+ 1jXS
+ 1RK
s +jXK
Statorspannung (400)
ISst =USst
RS +1
1Rfe
+ 1j·2·π· fS·LS
+ 1RK
s +j·2·π· fS·LK
Statorstrom (401)
=USst
RS +1
1Rfe
+ 1jXS
+ 1RK
s +jXK
Statorstrom (402)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
ISst
USstLS
LK
RKs
IK
XS
XK
Rfe
RS
RK enthalt bei Kurzschlusslaufernden Rotorwiderstand und beiSchleifringlaufern den Rotorwider-stand und extern im Lauferkreiseingeschaltete Widerstande
Abbildung 14: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand undEisenverlustwiderstand
IK =USst−RS · ISst
RKs + j ·2 ·π · fS ·LK
=USst−RS · ISst
RKs + jXK
auf den Stator umge-rechneter Rotorstrom
(403)
IRst =1u
IK (404)
Spannung und Strom bei Rfe→ ∞
USst =
RS +j2π fSLS
(RKs + j ·2 ·π · fS ·LK
)RKs + j ·2 ·π · fS (LK +LS)
ISst Statorspannung bei Rfe→ ∞
(405)
=
RS +jXS
(RKs + jXK
)RKs + j(XK +XS)
ISst Statorspannung bei Rfe→ ∞ (406)
ISst =RKs + j ·2 ·π · fS (LK +LS)
RS
(RKs + j ·2 ·π · fS (LK +LS)
)+ j2π fSLS
(RKs + j ·2 ·π · fS ·LK
)USst (407)
=RKs + j(XK +XS)
RS
(RKs + j(XK +XS)
)+ jXS
(RKs + j ·XK
)USst (408)
6.16.1 Festlegung Bezugsgroßen
Festlegung eines Stromes oder einer Spannung fur die Berechnung mit komplexen Großen:
Bezugsgroßen Stator:
USst =USst Statorspannung (409)
ISst = ISst · (cosϕ− j · sinϕ) Statorstrom (410)
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Bezugsgroße Rotor:
IK = IK auf den Stator bezogener Rotorstrom reell (411)
Zusammenhang mit Drehmoment:
Mi =3 · RK
s · I2K
2 ·π · fSp
Drehmoment (412)
IK =
√2 ·π · s · fS ·Mi
3 · p ·RKRotorstrom (413)
6.17 Stromortskurve der Asynchronmaschine
Wichtige Hinweise:
Stromortskurve wird in Stranggroßen dargestellt
Große der Stromortskurve wachst mit der Statorspannung
Kipppunkt mot.
Kipppunkt gen.
Re
- Im0 P0
P∞
P1
I0
Gegenstrom-bremsbereich
DrehmomentengeradeLeistungsgerade
P0
P1P∞
: Leerlaufstrom bei s = 0: ideeler Kurzschlusspunkt bei s > ∞
: Anlaufstrom bei s = 1
Abbildung 15: Stromortskurve des Standerstroms ISst bei reeller Statorspannung USst mit Leis-tungsgerade und Drehmomentgerade. P1: Stillstand s = 1, P∞: ideeller Kur-schluss s→ ∞, P0: Leerlauf s = 0
6.17.1 Drehmoment und Leistung aus der Ortskurve
Aus der Ortskurve konnen folgende Daten abgelesen werden:
ISst : Statorstrom nach Betrag und Phase, Maßstab KI
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Mi : inneres Drehmoment, Maßstab KM
Pmechi: innere mechanische Leistung, Maßstab KP
PVR: Rotorverlustleistung, Maßstab KP
PVS: Statorverlustleistung, Maßstab KP
In Abbildung 16 sind die Werte fur den Arbeitspunkt P dargestellt.
Maßstabe der Stromortskurve:
KI: frei gewahlt
KM =3pUst
2π fSKI (414)
KP = 3 ·Ust ·KI (415)
Re
- Im0 P0
P∞
P1
I0
M
P
I
Re
- Im0 P0
P∞
P1
I0
P
I
Pmech
PVRPVS
Abbildung 16: Stromortskurve des Standerstroms ISst bei reeller Statorspannung USst mit Dreh-moment M (links) und Leistungen (rechts) Pmech, PVS und PVR fur den Arbeits-punkt P.P1: Stillstand s = 1, P∞: ideeller Kurschluss s→ ∞, P0: Leerlauf s = 0
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6 ASYNCHRONMASCHINE
Re
- Im0 P0
P∞
P1
I0
DrehmomentengeradeLeistungsgerade
P0
P1
P∞
: Leerlaufstrom bei s = 0: ideeler Kurzschlusspunkt bei s > ∞
: Anlaufstrom bei s = 1
skipp
s
sN
s0
P
PN
PN : Bemessungsbetriebspunkt
Parametergerade (Schlupfgerade)
Abbildung 17: Stromortskurve mit Parametergeraden als Parallele zur Tangente im Punkt P∞
bzw. als Senkrechte auf der Verbindungslinie Mittelpunkt zum Punkt P∞.P1: Stillstand s = 1, P∞: ideeller Kurschluss s→ ∞, P0: Leerlauf s = 0
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.17.2 Parametergerade (Schlupfgerade)
Die Parametergerade/ Schlupfgerade kann an einer beliebig geeigneten Stelle in der Ortskurveparallel zur Tangente in P∞ bzw. senkrecht auf der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt P∞,platziert werden. Die Parametergerade hat dann eine lineare Einteilung fur den Schlupf s. Aufihr kann der Parameter Schlupf s fur jeden Arbeitspunkt abgelesen werden.
Bei Bedarf werden mehrere parallele Schlupfgeraden eingezeichnet, um unterschiedliche Be-reiche fur den Schlupf ablesen zu konnen.
6.17.3 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstantenErsatzschaltbildelementen aus 3 Betriebspunkten
Mit folgenden Schritten kann die Stromortskurve aus 3 Betriebspunkten gezeichnet werden:
Berechnen der Strangstrome fur 3 Betriebspunkte, z.B.
Wahlen eines Maßstabs KI fur das Koordinatensystem, so dass sich die Strome zu den 3Betriebspunkten einzeichnen lassen
Einzeichnen der 3 Strome
Zeichnen eines Kreises durch die 3 Punkte
Gerade durch Leerlaufpunkt P0 und ideellen Kurzschlusspunkt P∞ einzeichnen
Gerade durch Kipppunkt Pkipp und ideellen Kurzschlusspunkt P∞ einzeichnen
Tangente im Punkt s→ ∞ einzeichnen
Parametergerade/Schlupfgerade als Parallele zur Tangente im Punkt s→ ∞ einzeichnen,so dass sich vernunftige Schnittpunkte der Parallelen mit den Geraden durch Leerlauf-punkt und Kipppunkt ergeben
Schlupfwerte der beiden Betriebspunkte auf der Parametergeraden eintragen, lineareSkalierung der Parametergeraden/Schlupfgeraden vornehmen
ggf. weitere Parametergerade/Schlupfgerade als Parallele zur ersten einzeichnen, umeinen anderen Schlupfbereich eintragen zu konnen
Abhangig von den bekannten Großen mussen ggf. Alternativen gewahlt werden, z.B. eintragendes Bemessungspunktes, Anlaufpunktes oder Ermittlung der Betriebspunkte aus Drehmomentoder Leistung.
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.17.4 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstantenErsatzschaltbildelementen aus Mittelpunkt und Radius
Mit folgenden Schritten kann die Stromortskurve aus Mittelpunkt und Radius gezeichnetwerden [3].
Hinweis: Der Kreis hat noch keine Parametrierung.
Mittelpunkt M berechnen
α =RS
2π fSLS=
RS
XS(416)
σ =LK
LS +LK=
XK
XS +XK(417)
Istµ =Ust
2π fSLS=
Ust
XS(418)
xm = Istµα
α2 +σ(419)
ym =−Istµ
21+σ
α2 +σ(420)
M = xm + jym (421)
Radius r berechnen
r = Istµ
√(α
α2 +σ− α
1+α2
)2
+
(12
1+σ
α2 +σ− 1
1+α2
)2
(422)
Einzeichnen des Mittelpunkts M und Kreis mit dem Radius r um M zeichnen.
Zur Parametrierung ggf. Betriebspunkte berechnen und auf dem Kreis eintragen, Parameterge-rade zeichnen.
6.17.5 Zeichnen der Stromortskurve bei vernachlassigbarem Statorwiderstandund konstanten Ersatzschaltbildelementen
Zeichnen der Stromortskurve bei RS = 0:
Bei RS = 0 liegen der Leerlaufpunkt P0, der Mittelpunkt und der Punkt P∞ auf der imaginarenAchse. Die Konstruktion vereinfacht sich zu folgenden Schritten:
Einzeichnen des Leerlaufstrangstroms I0 fur s = 0
Einzeichnen des ideellen Kurzschlussstrangstroms I∞ fur s→ ∞
Zeichnen des Kreises durch die 2 Punkte mit Mittelpunkt auf der imaginaren Achse
Parametergerade als Senkrechte auf der imaginaren Achse einzeichnen, s = 0 ist Schnitt-punkt mit imaginaren Achse
Parametrieren der Parametergeraden durch einen weiteren Schlupfwert z.B. fur Bemes-sungspunkt oder Kipppunkt
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6 ASYNCHRONMASCHINE
6.18 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- undDreieckschaltung
Sternschaltung – -Schaltung
U =Ul =US =√
3 ·USst (423)
USst =1√3·U =
1√3·Ul =
1√3·US (424)
I = IS = Il = Ist (425)
Dreieckschaltung –4-Schaltung
U =Ul =US =Ust (426)
I = Il = IS =√
3 · ISst (427)
ISst =1√3· I = 1√
3· Il =
1√3· IS (428)
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7 EINSCHALTEN ELEKTRISCHER ANTRIEBE
7 Einschalten elektrischer Antriebe
7.1 Stern-Dreieck-Anlauf Asynchronmaschine
asynchroner Anlauf aus dem Stillstand in -Schaltung
Nach erfolgtem Hochlauf oder nach festgelegter Zeit wahrend des Laufs Umschaltung in4-Schaltung
MStern =13·MDreieck , M =
13·M4 (429)
IStern =13· IDreieck , I =
13· I4 (430)
Gegebenenfalls muss bei der Berechnung des Drehmoments eine gegenuber der Bemessungs-spannung verringerte Netzspannung berucksichtigt werden.
7.2 Anlauf mit verminderter Spannung, Sanftanlaufgerate
asynchroner Anlauf aus dem Stillstand mit verminderter Spannung U = k ·UN , k < 1
Nach erfolgtem Hochlauf oder nach festgelegter Zeit wahrend des Laufs Anhebung derSpannung auf UN
Mk = k2 ·M (431)
Ik = k · I (432)
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
8 Antriebsauslegung
Tabelle 10: Großen und Formelzeichen Antriebsauslegung
Formelzeichen Einheit ErklarungPdauer W Dauerleistung
T, t s, min Zykluszeit, Einschaltdauer
τ s, min kurzeste thermische Zeitkonstante des Motors
S1 . . . S10 Betriebsart
kSx 1 Faktor fur Betriebsart Sx
kS2 1 Faktor Kurzzeitbetrieb
tE s, min Einschaltdauer, Belastungsdauer
tA s, min Ausschaltdauer, Leerlaufdauer
tE,rel 1 relative Einschaltdauer
PSx W zulassige Leistung in der Betriebsart Sx
PN W Bemessungsleistung
Meff Nm Effektivmoment
MDauer Nm Dauerdrehmoment
nmittel1
min1s mittlere Drehzahl
ni1
min , 1s Drehzahl beim Belastungsintervall i
Mi Nm Drehmoment beim Belastungsintervall i
ti , ∆ti s Zeitdauer Belastungsintervall i
h m Aufstellungshohe
kh 1 Faktor zur Berucksichtigung der Aufstellungshohe
ϑ C, K Umgebungstemperatur, Kuhlmitteltemperatur
kϑ 1 Faktor zur Berucksichtigung der Umgebungstemperatur,Kuhlmitteltemperatur
ks 1 Sicherheitsfaktor bei der thermischen Auslegung
8.1 Berucksichtigung der Umgebungstemperatur undAufstellungshohe, Spannung und Frequenz
Die zulassige Dauerleistung bzw. das Dauerdrehmoment ist bei ϑ > 40C oder bei h > 1000 mgegenuber der Bemessungsleistung vermindert. Dies wird durch Faktoren kϑ und kh und ggf.
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
durch den Faktor kSx berucksichtigt:
Pdauer = kϑ · kh ·PN Dauerleistung (433)
Mdauer = kϑ · kh ·MN Dauerdrehmoment (434)
PSx = kϑ · kh · kSx ·PN Leistung bei der Betriebsart Sx (435)
MSx = kϑ · kh · kSx ·MN Drehmoment bei der Betriebsart Sx (436)
Die Faktoren kϑ und kh konnen aus Tabellen oder Kennlinien der Hersteller entnommen werden.Der Faktor kSx (siehe Abschnitt 8.2) kann in der Regel beim Hersteller erfragt werden.
Folgende Tabellen geben Anhaltswerte fur kϑ und kh wieder:
Tabelle 11: ungefahre Werte fur die Faktoren Kuhlmitteltemperatur, Umgebungstemperatur,Aufstellungshohe
Kuhlmitteltemperatur,Umgebungstemperatur ϑ
40 C 45 C 50 C 55 C 60 C
Faktor kϑ 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80
Aufstellungshohe h 1000 m 2000 m 3000 m 4000 m 5000 m
Faktor kh 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80
Berucksichtigung Spannung , Frequenz
Frequenz fsup
in Hz
Spannung UUN
in %
Leistung PPN
in %
Drehzahl nnN
in %
Drehmoment MMN
in %
50 100 100 100 100
60 100 100 120 83
60 120 120 120 100
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
8.2 Betriebsarten nach IEC 60034
Fur haufig vorkommende Anwendungsfalle sind Betriebsarten S1 ... S10 genormt:
Tabelle 13: Betriebsarten
Betriebsart Beschreibung
S1 Dauerbetrieb mit konstanter Belastung
S2 Kurzzeitbetrieb
S3 periodischer Aussetzbetrieb
S4 periodischer Aussetzbetrieb mit Einfluss des Anlaufvorgangs
S5 periodischer Aussetzbetrieb mit Einfluss des Anlaufvorganges und elektri-scher Bremsung
S6 ununterbrochener periodischer Betrieb
S7 ununterbrochener periodischer Betrieb mit elektrischer Bremsung
S8 ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahlanderungen
S9 Betrieb mit nichtperiodischen Last- und Drehzahlanderungen
S10 Betrieb mit einzelnen konstanten Belastungen
PSx = PS1 · kSx Leistung bei der jeweiligen Betriebsart Sx (437)
Die Faktoren kSx gibt der Hersteller an. Fur Standardfalle gibt es Anhaltswerte in Tabellen.Dabei wird haufig die relative Einschaltdauer benotigt:
tE,rel =tE
tE + tA=
tET
relative Einschaltdauer (438)
8.3 Betriebsarten S2, S3, S6
Ein Betrieb ist thermisch in Ordnung, wenn gilt
ks ·PSx ≤ kSx · kh · kϑ ·Pdauer40C1000 m (439)
ks ·MSx ≤ kSx · kh · kϑ ·Mdauer40C1000 m (440)
Tabelle 14: ungefahre Werte fur die Faktoren Betriebsarten
Betriebsart S2 Betriebsart S3 Betriebsart S6
Einschaltdauer kS2 relative kS3 relative kS6
min Einschaltdauer Belastungsdauer
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
10 1,4...1,5 15% 1,4...1,5 15% 1,5...1,6
30 1,15...1,2 25% 1,4...1,4 25% 1,4...1,5
60 1,07...1,1 40% 1,15...1,2 40% 1,3...1,4
8.3.1 Kurzzeitbetrieb S2
Fur den Kurzzeitbetrieb S2 kann der Faktor kS2 nach folgender Gleichung naherungsweisebestimmt werden:
Fur den Aussetzbetrieb S3 kann der Faktor kS3 nach folgender Gleichung naherungsweisebestimmt werden:
kS3 ≈PS3
PS1≈ MS3
MS1≈
√√√√1− e−TAτA · e−
TEτE
1− e−TEτE
Faktor Aussetzbetrieb (442)
mit thermischer Zeitkonstante τE wahrend der Einschaltdauer,
thermischer Zeitkonstante τA wahrend der Ausschaltdauer
8.3.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Aussetzbelastung S6
Fur den Betrieb mit Aussetzbelastung S6 kann der Faktor kS6 nach folgender Gleichungnaherungsweise bestimmt werden:
kS6 ≈PS6
PS1≈ MS6
MS1≈
√√√√ 1− e−Tτ
1− e−TEτ
Faktor Betrieb mit Aussetzbelastung (443)
mit T = TA +TE
(444)
8.4 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen S8 - Effektivmoment und mittlereDrehzahl bei linearer Dauerkennlinie
Fur drehzahlveranderliche Antriebe aus Motor (Asynchronmotor, Synchronmotor, Gleich-strommotor) und Leistungselektronik (Umrichter, Gleichstromrichter) kann die Auslegung mitdem Effektivmoment und der mittleren Drehzahl erfolgen.
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
8.4.1 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60sbei linearer Dauerbetriebskennlinie
Bei Zykluszeiten/ Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60s gilt:
Der Betrieb ist thermisch in Ordnung, wenn der aquivalente Dauerbetriebspunkt (nmittel ; Meff)
innerhalb des Dauerbetriebsbereichs mit dem Sicherheitsfaktor ks unter der Dauerbetriebskurveliegt. Die folgende Grafik 18 gibt dies wieder:
ti Zykluszeit, Periodendauer T ≤ 1min , T ≤ 60s (445)
Meff =
√1T ∑
iM2
i · ti Effektivmoment (446)
nmittel =1T ∑
i(|ni| ·∆ti) mittlere Drehzahl (447)
Zwischen Stillstanddrehmoment/Haltedrehmoment und Bemessungspunkt kann haufig linearinterpoliert werden (bei nichtlinearem Zusammenhang z.B. bei Eigenluftern s. Abschnitt 8.4.2).Daraus ergibt sich die folgende Gleichung fur das zulassige Dauerdrehmoment:
Mdauer(n) = M0− (M0−MN)n
nN(448)
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
Ggf. Korrektur bei Temperaturen ϑ > 40 C oder Aufstellungshohe h > 1000m mit den Fakto-ren kϑ und kh (s. Abschnitt 8.1 S. 73).
Berucksichtigung uber das zulassige Dauerdrehmoment:
8.4.2 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1min , T ≤ 60sbei nichtlinearer Dauerbetriebskennlinie
Aus der nichtlinearen Dauerdrehmomentkennlinie Mdauer(n) ergeben sich fur jeden Betriebs-punkt die relative Belastung bi und die effektive Belastung beff:
bi =Mi
Mdauer(ni)(453)
beff =1
khkϑ
√1T ∑
ib2
i ti effektive Belastung (454)
ks ·beff ≤ 1 Forderung (455)
8.4.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- undDrehzahlanderungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1min , T > 60s
Bei Zykluszeiten T > 1min ist zusatzlich ein Faktor kτ zur Berucksichtigung der Tempera-turanderungen wahrend der Zykluszeit erforderlich:
kτ =
√√√√ 1− e−Tτ
1− e−T1τ
· T1
TFaktor Zykluszeit (456)
T1 = ∑ ti Belastung Summe der Zeiten, in denen nennenswerte Belastung auftritt (457)
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8 ANTRIEBSAUSLEGUNG
Berucksichtigung uber das Effektivdrehmoment:
Meff =1
kϑ · kh · kτ
·√
1T ∑
iM2
i · ti Effektivmoment (460)
ks ·Meff ≤Mdauer40C 1000m Forderung (461)
8.4.4 Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahlanderungen – S2 + S8
Bei Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahlanderungen kann die zulassige Belastung durchKombination des Kurzzeitfaktors mit dem Effektivmoment bzw. der effektiven Belastungermittelt werden.
Bei Drehstrom wird zwischen Leitergroßen, Stranggroßen und der Sternpunktspannung unter-schieden. Wenn kein Index angegeben wird, handelt es sich stets um Leitergroßen.
Die Berechnung erfolgt in der Regel fur die Großen eines Strangs. Die anderen Strange habenbei symmetrischen Drehstromnetzen und -verbrauchern die gleichen Strome, Spannungen undLeistungen, wobei die Stranggroßen 120 phasenverschoben sind. Bezug ist uberlicherweise
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule Hannover Seite 90 von 136
9 GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
der Strang U.
L1L2L3
NPE
IlUl
Ust
Ist
4-Schaltung
IlUlIst
Ust
-Schaltung
Ul
UlUl
UU UV UW
U U U
Abbildung 21: Drehstromnetz mit Verbrauchern in Stern- und Dreieck-Schaltung, Leitergroßen,Stranggroßen
Tabelle 21: Drehstromgroßen
Große Symbol BemerkungLeiterspannung U , Ul Spannung zwischen zwei Außenleitern
Leiterstrom I , Il Strom in der Zuleitung zu einem Verbrau-cher, Strom in einem Leiter des Versor-gungsnetzes, Strom in einem Leiter desErzeugers
Sternpunktspannung U Spannung zwischen einem Außenleiterund dem Sternpunkt
Strangspannung Ust Spannung an einem Strang des Verbrau-chers oder Erzeugers
Strangstrom Ist Strom in einem Strang des Verbrauchersoder Erzeugers
9.6.1 Zeitverlaufe und komplexe Spannungen und Strome
Bezug ist der Strang U.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule Hannover Seite 91 von 136
9 GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
t, ϕ = ωt = 2π f t
u(t) uU(t) uV(t) uW(t)
T3 , 2π
3T3 , 2π
3T3 , 2π
3
2π3 ,120 2π
3 ,120 2π3 ,120
1f ,2π,360
Abbildung 22: Zeitverlaufe Drehspannungssystem
Drehspannungssystem Strangspannungen:
uU(t) = Ust sin(ωt +ϕu) = Ust sin(2π f t +ϕu) (520)
uV(t) = Ust sin(
ωt +ϕu−2π3
)= Ust sin(2π f t +ϕu−120) (521)
uW(t) = Ust sin(
ωt +ϕu−4π3
)= Ust sin(2π f t +ϕu−240) (522)
= Ust sin(
ωt +ϕu +2π3
)= Ust sin(2π f t +ϕu +120) (523)
Drehstromsystem Strangstrome:
iU(t) = Ist sin(ωt +ϕi) = Ust sin(2π f t +ϕi) (524)
iV(t) = Ist sin(
ωt +ϕi−2π3
)= Ist sin(2π f t +ϕi−120) (525)
iW(t) = Ist sin(
ωt +ϕi−4π3
)= Ist sin(2π f t +ϕi−240) (526)
= Ist sin(
ωt +ϕi +2π3
)= Ist sin(2π f t +ϕi +120) (527)
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9 GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
IU
IW IV
ϕ
ϕ
ϕ
2π3 ,120
2π3 ,120
UVUU
UW
Abbildung 23: Drehspannungs- und Drehstromsystem, nacheilender Strom
9.6.2 Komplexe Drehstrome und -spannungen, Zeigerdarstellung
Drehspannungssystem Strangspannungen (ϕu: Nullphasenwinkel der Spannung Strang U):
UU =Ust e jϕu Strang U (528)
UV =UU e−j 2π3 =Ust e j(ϕu− 2π
3 ) Strang V (529)
UV =UU e−j 4π3 =UU e+j 2π
3 =Ust e j(ϕu+2π3 ) Strang W (530)
Drehstromsystem Strangstrome (ϕi: Nullphasenwinkel des Stroms Strang U):
IU = Ist e jϕi Strang U (531)
IV = IU e−j 2π3 = Ist e j(ϕi− 2π
3 ) Strang V (532)
IW = IU e−j 4π3 = IU e+j 2π
3 = Ist e j(ϕi+2π3 ) Strang W (533)
Spannungen und Strome mit Bezug Strangspannung Strang U:
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10 KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN
10.5 Kinetische Energie
Elin =12·m · v2 kinetische Energie linear bewegter Massen (566)
Erot. =12· J ·ω2 Rotationsenergie, kinetische Energie rotierender Massen (567)
10.6 Kraft und Drehmoment
M = F · r Kraft und Hebelarm (568)
10.7 Impuls und beschleunigte Masse
P = m · v Impuls (569)
F =•
P =•
mv Kraft und Impulsanderung (570)
F = m ·a Kraft und Beschleunigung bei konstanter Masse (571)
Durch nichtlineare Hebelgetriebe oder Kurvengetriebe kann sich die wirksame Masse zeitab-hangig andern. Uber die Betrachtung mit dem Impuls lassen sich solche Vorgange sinnvollbehandeln.
Gleiches gilt beim Kuppeln von Massen bei Bewegung.
10.8 Drehimpuls und beschleunigte Massentragheit
L = J ·ω Drehimpuls (572)
M =•
L =•
Jω Drehmoment und Drehimpulsanderung (573)
M = J ·α Drehmoment und Beschleunigung bei konstanter Massentragheit (574)
Durch nichtlineare Hebelgetriebe oder Kurvengetriebe kann sich die wirksame Massentragheitzeitabhangig andern. Uber die Betrachtung mit dem Drehimpuls lassen sich solche Vorgangesinnvoll behandeln.
Gleiches gilt beim Kuppeln von Massengtragheiten bei Bewegung.
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10 KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN
10.9 Berechnung von Tragheitsmomenten fur Zylinder, Kugel undQuader
lr
ω
J = 12ρ · l ·πr4
ωr
J = 815ρ ·πr5
b
a
c
ω J = 112ρ ·a ·b · c · (a2 +b2)
10.10 Umrechung von Massen und Massentragheiten auf eineBezugswelle
Mechanisch gekoppelte Massen mi bei der Geschwindigkeit vi und Massentragheiten J j bei derDrehzahl n j lassen sich auf eine Bezugswelle mit der Drehzahl n∗ zu einer ErsatzmassentragheitJ∗ umrechnen:
J∗ = ∑i
( ni
n∗
)2· Ji =
1n∗2 ∑
in2
i · Ji Umrechnung Massentragheiten (575)
= ∑i
u2i · Ji mit ui =
ni
n∗(576)
J∗ =1
4 ·π2 ·n∗2·∑
iv2
i ·mi Umrechnung Massen (577)
J∗ =1
4 ·π2 ·n∗2·∑
iv2
i ·mi +1
n∗2 ∑i
n2i · Ji
Umrechnung von Massen undMassentragheiten
(578)
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11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN
11 Einheiten und Vorsatzzeichen fur Einheiten
11.1 SI-Einheiten, Vorsatzzeichen
Die folgenden Tabellen geben die Formelzeichen, Einheiten und Vorsatzzeichen fur Einheitenwieder, die haufig bei elektrischen Maschinen und Antrieben benutzt werden.
Dabei werden Variablen grundsatzlich kursiv gedruckt. Konstante Großen werden geradegedruckt, wie z.B. Einheiten, Naturkonstanten, mathematische Konstanten und Vorsatzzeichen.
Tabelle 24: SI Einheiten und Formelzeichen
Große Formel-zeichen
SI-Basis-einheitoder ko-harenteSI-Einheit
weitere gebrauchliche Einheiten
Zeit t, T s ms, µs, min, h
min und h nur ohne Vorsatzzeichen
Lange l, s, x m mm, µm, km
bei zusammengestzten Einheiten
steht m immer am Ende, z.B. Nm
Radius r m mm, µm, km
Geschwindigkeit v ms
mmin , km
h
Drehmoment M Nm kNm
Drehzahl n 1s
1min
Winkelgeschwindigkeit ωrads
Winkel ϕ , α , β rad
Phasenwinkel, ϕ rad
zeigt vom Strom
zur Spannung
Wirkleistung P W kW, MW, GW, mW, µW
Scheinleistung S VA kVA, MVA, GVA
Blindleistung Q var kvar, Mvar, Gvar
Energie E Ws, J mWs, mJ, kWs, kJ, MWs, MJ,
kWh, MWh, TWh
Arbeit W Ws, J mWs, mJ, kWs, kJ, MWs, MJ,
kWh, MWh, TWh
Spannung U V kV, mV, µV
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11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN
Strom I A kA, mA, µA
Frequenz f Hz mHz, kHz, MHz, GHz
Kreisfrequenz ωrads
Widerstand R Ω kΩ, MΩ, mΩ
Induktivitat L H mH, µH
Kapazitat C F mF, µF, nF, pF
magnetische Feldstarke H Am
kAm
magnetische Flussdichte B T mT
magnetischer Fluss Φ Vs mVs, µVs
Permeabilitat µVsAm
magnetische Spannung V A kA
magnetische Durchflutung Θ A kA
Temperatur ϑ C
absolute Temperatur T K
11.2 Umrechnung zwischen verschiedenen Einheitensystemen
Die folgenden Tabellen geben Umrechnungsfaktoren zwischen Langen, Flachen ... Massen ... inverschiedenen Einheitensystemen wieder. Die SI-Basiseinheiten oder koharente Einheiten sindjeweils hervorgehoben.
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11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN
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lle25
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3995
7·10−
4
1in
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10−
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31
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04
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1,56
25·1
0−3
1
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11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN
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1US
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907,
185
3200
02
000
1
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule HannoverSeite 102 von 136
11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN
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1lb
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1382
7,4
192
121
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule HannoverSeite 103 von 136
11 EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FUR EINHEITEN
Tabelle 31: Kraft
Kilopond Pond Ounce−Force Pound−ForceN kp P ozf lbf
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Frager – Hochschule HannoverSeite 107 von 136
13 SCHALTZEICHEN ELEKTRISCHER MASCHINEN
Gleichrichter
Synchronmotor,einstrangig,permanenterregt
Diode
Bipolar-Transistor npnund pnp
MOS-FETIsolierschicht-Feldeffekt-Transistor
IGBTIsolierschicht-Bipolar-Transistor
ThyristorGTO Abschalt-thyristor
Triac Zweirich-tungsthyristor
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14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14 Grundlagen Magnetfeld
Tabelle 38: Großen, Symbole und Einheiten magnetisches Feld
Große Symbol Einheit Name BemerkungenFeldstarke H, ~H A
m - Acm , kA
m
magnetische Fluss-dichte
B, ~B T= Vsm2 Tesla µT, mT
Magnetischer Fluss Φ Wb= Vs Weber -
Flussverkettung,Spulenfluss
Ψ Wb= Vs Weber -
Durchflutung Θ A Ampere mA, kA
magnetische Span-nung
V A Ampere kA
Permeabilitat µVsAm = H
m - -
Permeabilitatszahl,relative Permeabi-litat
µr 1 - -
magnetische Feld-konstante
µ0NA2 =
VsAm -
µ0 = 4π ·10−7 VsAm
≈ 1,256637 ·10−6 VsAm
Energie des Magnet-feldes
Wmag J = Ws Joule µJ, mJ, kJ
Energiedichte desMagnetfeldes
wmagJ
m3 =Wsm3
Induktivitat L H = VsA Henry nH, µH, mH
Gegeninduktivitat M H = VsA Henry nH, µH, mH
Streuung σ 1 - -
magnetischer Leit-wert
ΛWbA = Vs
A - -
magnetischer Wider-stand
RmagA
Wb = AVs - -
Windungszahl N, w 1 - -
Lange l m Meter mm, cm
Flache A m2 Quadratmeter mm2, cm2
Volumen V m3 Kubikmeter dm3 = l
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14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.1 Grundlegende Zusammenhange im Magnetfeld
Permeabilitat: µ = µr µ0 (579)
relative Permeabilitat: µr =µ
µ0(580)
Durchflutung: Θ = N I = wI (581)
Magnetischer Fluss: Φ =x
~B~dA (582)
Quellenfreiheit des Magnetfeldes:
A
~Bd~A = 0 (583)
Feldstarke: ~H =~Bµ, ~B = µ ~H = µr µ0 ~H (584)
14.2 Magnetischer Fluss und Flussverkettung
Großen des Magnetfeldes s. Abb. 24
Magnetischer Fluss allgemein: Φ =x
A
~Bd~A (585)
Magnetischer Fluss fur Induktion parallel zum Flachenvektor: Φ =x
A
BdA (586)
Magnetischer Fluss fur homogenes Feld, Flussdichte/Induktionsenkrecht zur Flache:
Φ = BA (587)
Magnetische Flussdichte/Induktion fur homogenes Feld, Feldsenkrecht zur Flache:
B =Φ
A(588)
Flussverkettung/Spulenfluss: Ψ = N Φ = wΦ (589)
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14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD
x
C1 C2 C3 Cges
C1 C2 C3 Cges
A3
A4
A5
A1
A2
I
N Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
B2
B4
B5
B1
B3
Abbildung 24: Magnetkreis mit magnetischem Fluss Φ , Wicklung, Luftspalt
14.3 Durchflutungssatz
Durchflutungssatz allgemein: Θ =∮c
~H d~s =x
A
~J d~A+x
A
∂
∂ t~Dd~A (590)
Durchflutungssatz bei vernachlassigbarer Verschiebungsstromdichte:
Θ =∮c
~H d~s =x
A
~J d~A fur∂
∂ t~D = 0 (591)
Durchflutungssatz fur diskrete Strome mit zugeordneten Windungszahlen:
Θ = ∑k
Nk Ik =∮c
~H d~s (592)
14.3.1 Durchflutungssatz beim unverzweigten Magnetkreis mit abschnittweisekonstanten Großen
Durchflutungssatz fur diskrete Strome mit zugeordneten Windungszahlen und Feldstarke paral-lel zu Integrationsweg beim unverzweigten Magnetkreis, abschnittweise konstante Feldstarke:
Θ = ∑k
Nk Ik = ∑n
Hn ln = ∑n
Bn lnµrn µ0
= ∑n
Φ lnAn µrn µ0
= Φ ∑n
lnAn µrn µ0
(593)
Durchflutungssatz fur den unverzweigten Magnetkreis mit magnetischen Widerstanden (Ma-gnetische Widerstande siehe Abschnitt 14.4):
Θ = ∑k
Vk = Φ ∑k
Rmagk (594)
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14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.3.2 Durchflutungssatz beim verzweigten Magnetkreis mit abschnittsweisekonstanten Großen
Die Berechnung verzweigter Magnetkreise erfolgt sinngemaß wie beim Gleichstromkreis mitMaschen- und Knotengleichungen:
Knotengleichung des Magnetkreises:
∑Φzu = ∑Φab (595)
Maschengleichung des Magnetkreises:
∑Vmit = ∑Vgegen (596)
magnetische Spannungen:
V = Rmag Φ fur magnetische Widerstande (597)
V = N I fur in der Masche eingeschlossene Durchflutungen (598)
Teile des magnetischen Kreise konnen durch magnetische Spannungen und Widerstande be-schrieben werden.
Magnetische Spannung entlang eines Abschnitts des Magnetkreises:
V = H l =Bl
µr µ0=
Φ lA µr µ0
= Rmag Φ (599)
Magnetische Spannung einer Durchflutung:
V =Θ = w · I (600)
Magnetischer Widerstand fur einen Teil des magnetischen Kreises:
Rmag =1Λ
=VΦ
=H lΦ
=l
A µr µ0(601)
Magnetischer Widerstand fur den magnetischen Kreis:
Rmag =Θ
Φ= ∑
n
lnAn µrn µ0
(602)
Magnetischer Leitwert fur einen Teil des magnetischen Kreises:
Λn =1
Rmagn=
An µrn µ0
ln(603)
Magnetischer Leitwert fur den magnetischen Kreis:
Λ =Φ
Θ=
1
∑n
lnAn µrn µ0
(604)
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14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.5 Spannungsinduktion im Magnetfeld
UiUiL
I
Φd~A
magnetischer Fluss ΦWindungszahl N
d~s
~B
Weg c umgibtrechtswendigdie Flache A
Integrationsweg c
Abbildung 25: Spannungsinduktion in Leiterschleife
Induktionsgesetz:
Ui = N∮C
~E d~s =−NdΦ
dt=−N
•
Φ =−Nddt
x
A
~Bd~A ,bei Geschwin-digkeiten
v c0
Das Vorzeichen hangt von der gewahlten Richtung des Spannungspfeils ab:
UiL =−Ui = NdΦ
dt= N
•
Φ = Nddt
x
A
~Bd~A (605)
Spannungsinduktion durch Anderung der homogenen Flussdichte:
UiL =−Ui = N AdBdt
= N A•
B (606)
Bewegter Leiter der Lange l im Magnetfeld mit B = konst:
Ui = N Bl v wenn B⊥ v⊥ l , v c0 (607)
14.6 Selbstinduktivitat
Die Selbstinduktivitat beschreibt die Spannungsinduktion in einem Leiter/einer Spule durch dieStromanderung in dem Leiter/der Spule.
Induzierte Spannung: ui(t) = L•
i(t) = Ldi(t)
dtbei L = konst (608)
Strom: i(t) =1L
∫u(t)dt (609)
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Induktivitat: L =Ψ
I=
NΦ
I= N2 Φ
Θ=
N2
Rmag(610)
Flussverkettung: Ψ = Li (611)
Induzierte Spannung: ui(t) =•
Ψ =•(
Li)= L(t)
•
i(t)+•
L(t)i(t) bei L 6= konst (612)
14.6.1 Selbstinduktivitat einer Spule mit ferromagnetischem Kern undLuftspalt/nicht ferromagnetischem Material
N
Φ
ss1
N1
AA
As2
N2
N = N1 +N2
s = s1 + s1
Nsl
12A
12A
A
s = 2 · sl
Abbildung 26: Spulen mit Eisenkern und Luftspalt oder nichtmagnetischem Material
Induktivitat mit der Luftspaltlange s:
L≈ µ0N2 A
s(613)
gilt in der Regel, wenn:lfe
µr fe s oder bei Hfe ≈ 0 (614)
Induktivitat mit nichtferromagnetischem Material µr µr fe der Lange s:
L≈ µr µ0N2 A
s(615)
gilt in der Regel, wenn:lfe
µr fe s
µroder bei Hfe ≈ 0 (616)
Induktivitat mit ferromagnetischem Kern, wenn Feldstarke im ferromagnetischen Material nichtvernachlassigt werden kann und der magnetische Kreis uberall den gleichen Querschnitt A hat.
L = µ0 µrN2 A
lfe +µr s(617)
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14.6.2 Selbstinduktivitat einer Spule mit Eisenkern/ ferromagnetischem Materialohne Luftspalt
Induktivitat mit magnetischem Material mit der Permeabilitat µr und uberall gleichem Quer-schnitt des Magnetkreises:
L = µr µ0N2 A
l(618)
Hinweis: haufig ist µr 6= konst
14.6.3 Selbstinduktivitat einer Spule mit magnetischem Kreis
Induktivitat fur den magnetischen Kreis mit abschnittweise homogenem Magnetfeld und kon-stanten Querschnitten:
L =N2
Rmag=
N2
∑n
Rmagn=
N2
∑n
lnAn µrn µ0
(619)
14.7 Gegeninduktivitat und Transformator
Ein Strom in einer Leiterschleife/Spule erzeugt ein Magnetfeld in der eigenen Leiterschleifeund in anderen Leiterschleifen/Spulen. Dadurch werden eine Selbstinduktionsspannung in derLeiterschleife des Stromes und eine Gegeninduktionsspannung in der anderen Leiterschleifeinduziert. Die Beschreibung erfolgt durch Selbstinduktivitaten L und Gegeninduktivitaten M.
Spannungsgleichungen bei zwei Spulen und vernachlassigbarem Widerstand:
Spannung in Spule 1: u1 = L1•
i1 +M•
i2 = L1ddt
i1 +Mddt
i2 (620)
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Spannung in Spule 2: u2 = L2•
i2 +M•
i1 = L2ddt
i2 +Mddt
i1 (621)
Spannungsgleichungen bei zwei Spulen mit Widerstand:
Spannung in Spule 1: u1 = R1 i1 +L1•
i1 +M•
i2 = R1 i1 +L1ddt
i1 +Mddt
i2 (622)
Spannung in Spule 2: u2 = R2 i2 +L2•
i2 +M•
i1 = R2 i2 +L2ddt
i2 +Mddt
i1 (623)
Berechnung der Induktivitaten bei streungsloser Kopplung in einem unverzweigten magneti-schen Kreis:
Selbstinduktivitat Spule 1: L1 = ΛN21 =
1Rmag
N21 (624)
Selbstinduktivitat Spule 2: L2 = ΛN22 =
1Rmag
N22 (625)
Gegeninduktivitat zwischen Spule 1 und Spule 2:
M12 = M21 = Λ N1 N2 =1
RmagN1 N2 (626)
14.7.1 Realer Transformator
Bei realen Transformatoren sind die beiden Spulen nicht vollstandig magnetisch gekoppelt.Dies wird z.B. durch Streuinduktivitaten Lσ berucksichtigt.
Die Wicklungen haben ohmsche Widerstande R1 und R2.
Im Magnetkreis treten Wirbelstrom- und Hystereseverluste Pfe auf.
Selbstinduktivitat Spule 1 mit Streuinduktivitat:
L1 = ΛN21 +Lσ1 =
1Rmag
N21 +Lσ1 (627)
Selbstinduktivitat Spule 2 mit Streuinduktivitat:
L2 = ΛN22 +Lσ2 =
1Rmag
N22 +Lσ2 (628)
Gegeninduktivitat zwischen Spule 1 und Spule 2:
M12 = M21 = Λ N1 N2 =1
RmagN1 N2 (629)
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Streuziffer: σ = 1−M2
12L1 L2
, σ = 0...1 (630)
Ubersetzungsverhaltnisse:
Spannungsubersetzung im Leerlauf:U1
U2≈ N1
N2= u (631)
Stromubersetzung im Kurzschluss:I1
I2≈ N2
N1=
1u
(632)
14.8 Energie des Magnetfeldes
Energiedichte: wmag =
B∫0
H(Be)dBe (633)
Energie im Volumen V : Wmag =y
V
wmag dV (634)
Energie bei homogenem Feld im Volumen V : Wmag =V wmag =VB∫
0
H(Be)dBe (635)
Energiedichte und Energie bei homogenem Magnetfeld in magnetisch linearen Stoffen, z.B.Vakuum, Luft:
wmag =12
H B =1
2µB2 =
µ
2H2 (636)
Wmag =12
V H B =V2µ
B2 =µ V2
H2 (637)
Energie einer Induktivitat: W =12
LI2 (638)
14.9 Krafte im Magnetfeld
14.9.1 Reluktanzkraft, Oberflachenkraft auf magnetisierbare Korper, z.B. Jochoder Anker aus Eisen oder Stahl
Auf die Oberflachen magnetisierbarer Korper wirkt eine Kraft in Richtung der umgebenden Luftoder unmagnetisierbarer Korper. Die Kraft entsteht aus der Energieanderung des Magnetfeldesbei Bewegung der Teile:
F =dWmag
dx(639)
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x
C1 C2 C3
C1 C2 C3
A3
A1
A2
I
N Φ2
Φ1
Φ
N
N S
F
s
Φ
S
Φ
Joch
Anker Φ
A A
- +
Abbildung 28: Oberflachenkraft im Magnetfeld, Kraft F setzt sich hier aus den beiden Kraftenam linken und rechten Luftspalt zusammen
Die Kraft ergibt sich nach folgenden Gleichungen, wenn gilt
µrfe 1 µfe µ (640)
Zuspannung auf magnetische Oberflachen gegenuber Luft: σmech =B2
2 µ(641)
Kraft auf magnetische Oberflachen gegenuber Luft: F = Aσmech =AB2
2 µ(642)
Hinweise:
Kraft wirkt senkrecht auf die Oberflache in Richtung der Luft. Eisenteile ziehen sich an.
Die Flache A besteht ggf. aus mehreren Teilflachen, z.B. in Abb. 28 aus den zwei Flachenrechts und links.
Wenn an den Teilflachen unterschiedliche Flussdichten B wirken, muss die Gesamtkraftaus den Teilkraften aufaddiert werden.
14.9.2 Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Lorentzkraft
Lorentzkraft, Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:
~F = Q ·~v×~B (643)
~F = I ·~l×~B (644)
Kraft, wenn Leiter und Flussdichte senkrecht aufeinander stehen:
F = Bl I (645)
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B
I
F
I
B
F
Magnetfeld-richtung
techn.Strom-richtung
Kraftrichtung
l
N
S
Abbildung 29: Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, Rechte-Hand-Regel
Kraft auf stromdurchflossenes Leiterbundel/Spulenseite im Magnetfeld, N Windungen, Leiterstehen senkrecht auf B:
F = N Bl I (646)
Richtung gemaß rechter Hand-Regel s. Abb. 29
Kraft, wenn der Winkel ϕ zwischen l und B ungleich 90:
F = N Bl I sinϕ Richtung gemaß rechter Hand-Regel Abb. 29 (647)
14.9.3 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern
a
I1 I2
~B1
~F1 ~F2
d1 d2
Abbildung 30: Kraft zwischen parallelen Leitern
Kraft auf zwei parallele Leiter im Abstand a mit der Lange l, wenn die Durchmesser d1 und d2der Leiter klein gegenuber dem Abstand a sind.
F =µ0 l2πa
I1 I2 (648)
Bei gleicher Stromrichtung werden die Leiter zusammengedruckt, bei entgegengesetzter Strom-richtung werden die Leiter auseinandergezogen.
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14 GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.10 Energiewandlung mit dem Magnetfeld
Bei Bewegung eines Leiters im Magnetfeld wird eine Spannung induziert (Gl. (607)). BeiStromfluss im Leiter im Magnetfeld entsteht eine Kraft (Gl. (645)). So erfolgt eine elektro-magnetische Energieumwandlung bzw Leistungsumwandlung
Wmech↔Wel , Pmech↔ Pel (649)
Induzierte Spannung aus Linearbewegung/Rotation wenn B⊥ v⊥ l:
Ui = N Bl v (650)
Ui = N Bl 2πr n (651)
Kraft/Drehmoment auf N stromdurchflossene Leiter:
F = N Bl I (652)
M = N Bl I r (653)
Leistungen fur
Translation/lineare Bewegung: Pmech = F v =Ui I = Pel (654)
Rotation/Drehung: Pmech = 2πM n =Ui I = Pel (655)
Hinweise:
Die Gleichungen gelten fur Gleichspannung/Gleichstrom.
Bei Wechselgroßen muss die Phasenlage zwischen den Großen beachtet werden.
Reale Motoren/Generatoren haben die Leiter in Nuten im Blechpaket. Dadurch wirktnicht die Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld sondern die Oberflachen-kraft auf magnetisierbare Korper. Die Gleichungen fur die Oberflachenkraft liefern aberim Resultat identische Gleichungen wie fur die Kraft auf Leiter im Magnetfeld.
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15 MATHEMATIK
15 Mathematik
Im folgenden finden sich einige haufig in der Elektrotechnik, Regelungstechnik, Antriebstech-nik und Mechatronik vorkommende mathematische Zusammenhange.
15.1 Sinus, Cosinus, Tangens
π= 3,1415926535... Kreiszahl (656)
tanϕ =sinϕ
cosϕcotϕ =
cosϕ
sinϕ=
1tanϕ
(657)
cos2ϕ + sin2
ϕ = 1 , sinϕ =±√
1− cos2 ϕ , cosϕ =±√
1− sin2ϕ (658)
sin(−ϕ) =−sinϕ (659)
cos(−ϕ) = cosϕ (660)
sin(
ϕ +π
2
)= cosϕ (661)
sin(ϕ +π) =−sinϕ (662)
sin(ϕ +2π) = sinϕ (663)
cos(
ϕ +π
2
)=−sinϕ (664)
cos(ϕ +π) =−cosϕ (665)
cos(ϕ +2π) = cosϕ (666)
(667)
ddϕ
sin(aϕ) = a cos(aϕ) (668)
ddϕ
cos(aϕ) =−a sin(aϕ) (669)∫sin(aϕ)dϕ =−1
acos(aϕ)+C (670)∫
cos(aϕ)dϕ =1a
sin(aϕ)+C (671)
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15 MATHEMATIK
15.2 Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus
sinα + sinβ = 2sinα +β
2· cos
α−β
2(672)
sinα− sinβ = 2cosα +β
2· sin
α−β
2(673)
cosα + cosβ = 2cosα +β
2· cos
α−β
2(674)
cosα− cosβ = 2sinα +β
2· sin
α−β
2(675)
sin(α±β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ (676)
cos(α±β ) = cosα · cosβ ∓ sinα · sinβ (677)
sinα sinβ =12(
cos(α−β )− cos(α +β ))
(678)
cosα cosβ =12(
cos(α−β )+ cos(α +β ))
(679)
sinα cosβ =12(
sin(α−β )+ sin(α +β ))
(680)
sin2α =
12(1− cos2α) (681)
cos2α =
12(1+ cos2α) (682)
sin2α = 2sinα cosα (683)
cos2α = cos2α− sin2
α = 1− sin2α = 2cos2
α−1 (684)
sinα
2=±
√1− cosα
2(685)
cosα
2=±
√1+ cosα
2(686)
(687)
15.3 Geometrie Dreieck
Lange Seitenhalbierende:
ma =
√2(b2 + c2)−a2
2(688)
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Losung der charakteristischen Gleichung fuhrt auf die n Eigenwerte λi. Aus den Eigenwertenlasst sich die homogene Losung der Differentialgleichung angeben:
yi(t) = ci eλit Anteile der homogenen Losung (einfache, reele Nullstelle) (739)
yhom =n
∑i=1
yi(t) =n
∑i=1
ci eλit homogene Losung (740)
15.5 Differentiationsregeln
ddx
f (g(x)) =d f (z)
dz· dg(x)
dx= f ′(z) ·g′(x) mit z = g(x) Kettenregel (741)
( f−1)′(y0) =1
f ′(x0)(742)
( f1 · f2)′ = f1 f ′2 + f ′1 f2 Produktregel (743)
15.6 Integrationsregeln
∫( f (x)+g(x))dx =
∫( f x)dx+
∫g(x)dx (744)∫
k f (x)dx = k∫( f x)dx (745)∫
f (ax+b)dx =1a
F(ax+b)+C (746)∫ f ′(x)f (x)
dx = ln| f (x)|+C (747)∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫u′(x)v(x)dx (748)∫
f (g(x))g′(x)dx =∫
f (z)dz mit Substitution z = g(x) (749)
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15 MATHEMATIK
15.7 e-Funktion
y = ex , e = 2,718281828... (750)
ex · ey = e(x+y) (751)
ejx = cosx+ j sinx (752)
ey+jx = ey (cosx+ j sinx) (753)ddx
ex = ex (754)
ddx
eax = aeax (755)∫ex dx = ex +C , C : Integrationskonstante (756)∫eax dx =
1a
eax +C , C : Integrationskonstante (757)
15.8 Komplexe Zahlen
Z = A+ j ·B komplexe Zahl in Komponentendarstellung (758)
Z = Re(Z)+ j Im(Z) (759)
Re(Z) = A Realteil (760)
Im(Z) = B Imaginarteil (761)
j =√−1 , j2 =−1 , −j =
1j
Imaginarzahl (762)
Z = Z · ej·α = Z · (cosα + j · sinα) komplexe Zahl in Exponentialform (763)
α = ](Z) = arg(Z) = arctan(
BA
)= arctan
(Im(Z)Re(Z)
)(764)
tanα =BA=
Im(Z)Re(Z)
(765)
Z = |Z|=√
A2 +B2 =
√Re(Z)2 + Im(Z)2 Betrag (766)
Z∗ = A− j ·B = Re(Z)− j · Im(Z) = Z · e− jα konjugiert komplexe Zahl (767)
Umwandlung in komplexe Zahl mit reellem Nenner:
A+ jBC+ jD
=(A+ jB)(C− jD)
C2 +D2 =(AC+BD)+ j(BC−AD)
C2 +D2 (768)
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15 MATHEMATIK
Umrechnung von Exponentialform in Komponentenform:
Z = Z e jα → Z = Z cosα + jZ sinα (769)
Umrechnung von Komponentenform in Exponentialform:
Z = A+ jB → Z = Z eα (770)
mit Z =√
A2 +B2 , α =
arctan
(BA
)fur A≥ 0
π+ arctan(B
A
)fur A < 0
(771)
15.9 Fouriertransformation / Frequenzanalyse
Mit der Fouriertransformation wird eine periodische Funktion aus dem Zeitbereich in denFrequenzbereich transformiert. Eine haufige technische Anwendung ist die Frequenzanalysevon periodischen Signalen.
Ebenso ist eine Rucktransformation aus dem Frequenzbereich in den Zeitbereich moglich. Dieswird in der Technik haufig zur Synthese von periodischen Signalen genutzt.
15.9.1 Kontinuierliche Fouriertransformation
Reihenentwicklung einer periodischen Funktion f (t) mit Periodendauer T f (t +T ) = f (t)als Reihe von Cos- und Sin-Funktionen:
f (t) =a0
2+
∞
∑k=1
(ak cos(ωkt)+bk sin(ωkt)) ωk =2πT
k (772)
Die Koeffizienten beschreiben eindeutig die Funktion. Aus den Koeffizienten kann die periodi-sche Funktion f (t) eindeutig angegeben werden, meistens benotigt man aber nur die Transfor-mation vom Zeitbereich in die Koeffizienten des Frequenzbereichs.
ak =2T
t+T∫t
f (t) · cos(ωkt) ·dt (773)
bk =2T
t+T∫t
f (t) · sin(ωkt) ·dt (774)
ck =√
a2k +b2
k (775)
k = 0,1,2, ... (776)
ωk =2πT
k (777)
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15 MATHEMATIK
15.9.2 Diskrete Fouriertransformation
Haufig liegt die Zeitfunktion als zeitdiskrete Folge von Werten xi fur i = 1. . .N fur dieperiodische Funktion mit der Periodendauer T vor. Die Werte haben in der Regel einenaquidistanten Zeitabstand T0 =
TN .
Solche Folgen lassen sich mit der diskreten Fourieranalyse behandeln:
Die N diskreten Werte der Originalfunktion werden durch N Koeffizienten aus der Transforma-tion reprasentiert, N
2 Cosinuskoeffizienten, N2 Sinuskoeffizienten.
xi =a0
2+
N2
∑k=1
(ak cos
(2πN
k · i)+bk sin
(2πN
k · i))
(778)
ωk =2πT
k , ti = i ·T0 , T0 =TN
(779)
ak =2N
N
∑i=1
xi · cos(
2πN
i · k)
(780)
bk =2N
N
∑i=1
xi · sin(
2πN
i · k)
(781)
ck =√
a2k +b2
k (782)
k = 0,1,2, ...N2
(783)
ωk =2πT
k (784)
ti = i ·T0 (785)
T0 =TN
(786)
Hinweise:
Alternative Schreibweise mit komplexen Koeffizienten und Analyse mit e jx = cos(x)+ j ·sin(x)
Die Koeffizienten sind periodisch mit N ak+N = ak
Die Koeffizienten sind an N2 gespiegelt aN−k = ak
15.10 Taylor-Entwicklung, Linearisierung
Eine Funktion f (x) kann als Reihe dargestellt werden. Die Entwicklung erfolgt an einemArbeitspunkt x0:
f (x) =∞
∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)
k , k! = 1 ·2 · . . .k (787)
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15 MATHEMATIK
Haufig werden zur Annaherung einer Funktion nur der konstante und der lineare Teil genom-men. Linearisierung um den Arbeitspunkt x0:
f (x)≈ f (x0)+ f (1)(x0) · (x− x0) (788)
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16 GRIECHISCHE BUCHSTABEN
16 Griechische Buchstaben
In vielen Gleichungen werden griechische Buchstaben verwendet. Die folgende Tabelle gibtdie Schreibweise der Buchstaben in Groß- und Kleinschrift sowie gerade und kursiv fur dieSchriftart Times wieder. Ferner werden die Namen der Buchstaben in lateinischer Schriftangegeben.
A A α α alphaB B β β betaΓ Γ γ γ gamma∆ ∆ δ δ deltaE E ε ε epsilonZ Z ζ ζ zetaH H η η etaΘ Θ ϑ ϑ thetaI I ι ι iotaK K κ κ kappaΛ Λ λ λ lambdaM M µ µ myN N ν ν nyΞ Ξ ξ ξ xiO O o o omikronΠ Π π π piP P ρ ρ rhoΣ Σ σ σ sigmaT T τ τ tauϒ ϒ υ υ upsilonΦ Φ ϕ ϕ phiX X χ χ chiΨ Ψ ψ ψ psiΩ Ω ω ω omega
Hinweise:
In verschiedenen Schriftarten haben die Buchstaben anderes Aussehen.
Teilweise haben die griechischen Buchstaben die gleiche Schreibweise wie lateinischeBuchstaben. Diese Buchstaben werden daher nicht in Gleichungen o.a. verwendet. Z.B.:Großbuchstaben alpha, my, ny, tau, Buchstabe omikron
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Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kW bis zu 0,74 kW (IEC
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Literatur
Literatur
[1] Binder: Elektrische Maschinen und Antriebe. Grundlagen, Betriebsverhalten. Springer(2012)
[2] IEC 60034: International standard of the International Electrotechnical Commission forrotating electrical machinery. Teil 1: Bemessung und Betriebsverhalten, Teil 2: Standard-verfahren zur Bestimmung der Verluste und des Wirkungsgrades aus Prufungen, Teil 4:Prufmethoden Synchronmaschinen, Teil 5: Schutzarten, Teil 6: Kuhlarten, Teil 7: Bau-arten und Aufstellungsarten, Teil 9: Gerauschgrenzwerte, Teil 11: thermischer Schutz,Teil 18: Isoliersysteme, Teil 28: Prufverfahren zur Bestimmung der ErsatzschaltbildgroßenKafiglaufer-Asynchronmotore, Teil 30: Wirkungsgrad-Klassifizierung
[4] Kolbe: Analytische Nachbildung der numerisch ermittelten Feldverteilungen von mehr-strangigen Wicklungen in Asynchronmaschinen. AfE 65 (1982) S. 107 – 116