Formas Quadráticas e Cônicas Stela Zumerle Soares 1 Antônio Carlos Nogueira 2 ([email protected]) ([email protected]) Faculdade de Matemática, UFU, MG 1 Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 2 Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 1. Resumo Nesse trabalho pretendemos apresentar alguns resultados da álgebra linear. Nosso objetivo é exibir os conceitos de formas bilineares e formas quadráticas. Além disso, faremos a classificação das cônicas no plano. 2 - Formas Bilineares Definição 2.1 - Seja V um espaço vetorial sobre o corpo . Uma forma bilinear sobre V é uma função F f , que associa a cada par ordenado de vetores , α β em V , um escalar ( , ) f α β em , e que satisfaz F 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ( , ) ( , ) ( , ) fc cf f f c cf f ) α α β α β α β α β β αβ αβ + = + + = + . A função nula de V é também uma forma bilinear. Além disso, toda combinação linear de formas bilineares sobre V é uma forma bilinear. V × Assim, o conjunto das formas bilineares sobre V é um subespaço vetorial do espaço das funções de V em . V × F Exemplo 2.1 – Seja V um espaço vetorial sobre o corpo e sejam e funcionais lineares sobre V . Definamos F 1 L 2 L f por 1 2 ( , ) ( ) ( ) f L L α β α β = . Fixando β e considerando f como uma função de α , então temos simplesmente um múltiplo escalar do funcional linear . 1 L Com α fixo, f é um múltiplo escalar de . 2 L Assim, é evidente que f é uma forma bilinear sobre V . Definição 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja 1 { , , } n β α α = L uma base ordenada de V . Se f é uma forma bilinear sobre V , a matriz de f em relação à base
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1 Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 2 Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia
1. Resumo Nesse trabalho pretendemos apresentar alguns resultados da álgebra linear. Nosso objetivo é exibir os conceitos de formas bilineares e formas quadráticas. Além disso, faremos a classificação das cônicas no plano.
2 - Formas Bilineares Definição 2.1 - Seja V um espaço vetorial sobre o corpo . Uma forma bilinear sobre V é uma função
Ff , que associa a cada par ordenado de vetores ,α β em V , um escalar ( , )f α β
em , e que satisfaz F1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( ,( , ) ( , ) ( , )
f c cf ff c cf f
)α α β α β α βα β β α β α β
+ = ++ = +
.
A função nula de V é também uma forma bilinear. Além disso, toda combinação linear de formas bilineares sobre V é uma forma bilinear.
V×
Assim, o conjunto das formas bilineares sobre V é um subespaço vetorial do espaço das funções de V em . V× F Exemplo 2.1 – Seja V um espaço vetorial sobre o corpo e sejam e funcionais lineares sobre V . Definamos
F 1L 2Lf por
1 2( , ) ( ) ( )f L Lα β α β= .
Fixando β e considerando f como uma função de α , então temos simplesmente um múltiplo escalar do funcional linear . 1LCom α fixo, f é um múltiplo escalar de . 2LAssim, é evidente que f é uma forma bilinear sobre V . Definição 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja 1{ , , }nβ α α= L uma base ordenada de V . Se f é uma forma bilinear sobre V , a matriz de f em relação à base
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ordenada β é a matriz n n × A com elementos ( , )ij i jA f α α= . Às vezes indicaremos esta matriz por [ ]f β . Teorema 2.1 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo . Para cada base ordenada
Fβ de V , a função que associa a cada forma bilinear sobre V sua matriz em
relação à base ordenada β é um isomorfismo do espaço ( , , )L V V F no espaço das matrizes sobre o corpo . n n× F
Demonstração: Observamos anteriormente que [ ]f f
β→ é uma correspondência bijetora
entre os conjuntos das formas bilineares sobre V e o conjunto de todas as matrizes n n× sobre . E isso é uma transformação linear, pois F
( )( ) ( ) ( ), ,i j i j i jcf g cf g ,α α α α α+ = + α
Para todos e i j . Isto diz simplesmente que
[ ] [ ] [ ]cf g c f gβ β β
+ = + .■
Corolário – Se { }1, , nβ α α= L é uma base ordenada de V e { }*
1, , nL Lβ = L é a base dual
de , então as formas bilineares *V 2n
( ) ( ) ( ),ij i jf L Lα β α= β , 1 i n≤ ≤ , 1 j n≤ ≤
formam uma base do espaço ( , , )L V V F . Em particular, a dimensão de ( , , )L V V F é . 2n Demonstração: A base dual { }1, , nL LL é definida essencialmente pelo fato de que ( )iL α é a i-ésima coordenada de α em relação à base ordenada β (para todo α em V ). Ora, as funções
ijf definidas por
( ) ( ) ( ),ij i jf L Lα β α= β
são formas bilineares do tipo considerado no exemplo 1. Se
1 1 n nx xα α α= + +L e 1 1 n ny yβ α α= + +L , então
( ),ij i jf x yα β = .
Seja f uma forma arbitrária sobre V e seja A a matriz de f em relação à base ordenada β . Então
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( ),
, ij i ji j
f A x yα β =∑
o que diz simplesmente que
( ),
,ij iji j
f A f α β=∑ .
Agora é evidente que as formas 2n ijf formam uma base de ( , , )L V V F .■ Outra maneira de demonstrar o corolário: A matriz da forma bilinear ijf em relação à base ordenada β é a matriz “unitária” ,
cujo único elemento não-nulo é um 1 na linha i e coluna
,i jE
j . Como estas matrizes constituem uma base do espaço das matrizes
,i jEn n× , as formas ijf constituem uma base do
espaço das formas bilineares. ■ Definição 2.3 – Uma forma bilinear f sobre um espaço vetorial V é dita não-degenerada (ou não-singular) se sua matriz em relação a alguma (toda) base ordenada de V é uma matriz não-singular, ou seja, se . ( )Posto f n= 2.1 - Formas Bilineares Simétricas e Formas Quadráticas Nesta seção descreveremos um tipo especial de forma bilinear, as chamadas formas bilineares simétricas. Definição 2.4 - Seja f uma forma bilinear sobre o espaço vetorial V . Dizemos que f é simétrica se ( , ) ( , )f fα β β α= , para quaisquer vetores α , β em V . Se V é de dimensão finita, a forma bilinear f é simétrica se, e somente se, sua matriz A em relação a alguma ou (toda) base ordenada é simétrica, isto é, tA A= . Para ver isto, perguntamos quando é que a forma bilinear
( ), tf X Y X AY= é simétrica. Isto acontece se, e somente se, t tX AY Y AX= para todas matrizes-colunas X e Y . Como tX AY é uma 1 matriz, temos 1× t t tX AY Y A X= . Assim, f é simétrica se, e somente se, t t tY A X Y AX= para todas . Evidentemente, isto significa apenas que
. Em particular, deve-se notar que se existir uma base ordenada de V em relação à qual
,X YtA A=f seja representada por uma matriz diagonal, então f é simétrica, pois qualquer matriz
diagonal é uma matriz simétrica.
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Se f é uma forma bilinear simétrica, a forma quadrática associada a f é a função de em definida por
qV F
( ) ( , )q fα α α= .
Se é um subcorpo do corpo dos números complexos, a forma bilinear simétrica F f é completamente determinada por sua forma quadrática associada, de acordo com a seguinte identidade, conhecida por identidade de polarização:
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E então, 1( , ) ( ( ) ( ))4
f q qα β α β α= + − − β
1 1( , ) ( ) ( )).4 4
f q qα β α β α⇒ = + − − β
))
■ (3)
Observe que, fazendo (1)+(2), obtemos a identidade do paralelogramo
( ) ( ) 2( ( ) (q q q qα β α β α β+ + − = + . (4)
Uma classe importante de formas bilineares simétricas consiste dos produtos internos sobre espaços vetoriais reais. Se V é um espaço vetorial real, um produto interno sobre V é um a forma bilinear simétrica f sobre V que satisfaz
( , ) 0f α α > , se 0α ≠ . (5) Se f é uma forma bilinear dada pelo produto escalar, então a forma quadrática associada é
2 21 2 1 2( , , , )n nq x x x x x x2= + + +L L .
Em outras palavras, ( )q α é o quadrado do comprimento de α . Para a forma bilinear ( , ) t
Af X Y X AY= , a forma quadrática associada é
,( ) t
A ij i ji j
q X X AX A x x= =∑ .
Uma forma bilinear que satisfaz a equação (5) é dita positiva definida. Assim, um produto interno sobre um espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica positiva definida sobre aquele espaço. Note que, um produto interno é não degenerado. Dois vetores ,α β são ditos ortogonais em relação ao produto interno f se . A
forma quadrática ( ), 0f α β =
( ) ( ),q fα α α= toma apenas valores não-negativos e ( )q α é usualmente considerado como o quadrado do comprimento de α . Observe que se f é uma forma bilinear simétrica sobre um espaço vetorial V , é conveniente dizer que α e β são ortogonais em relação à f se ( ),f α β 0= . Mas não é aconselhável
considerar ( ),f α α como sendo o quadrado do comprimento de α . Por exemplo, se V é
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um espaço vetorial complexo, podemos ter ( ), 1f iα α = − = , ou num espaço vetorial real
. ( ), 2f α α = − Teorema 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo de característica zero, e seja f uma forma bilinear simétrica sobre V . Então, existe uma base ordenada de V em relação à qual f é representada por uma matriz diagonal. Demonstração: O que precisamos encontrar é uma base ordenada
{ }1 2, , , nβ α α α= L
tal que ( ),i jf α α = 0 j
*
⎞⎟⎟⎟⎠
para , ou seja i ≠
11 0 * 0
0 0nn
f
f
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
K K
M O M M O M
L L
Se ou , o teorema é verdadeiro, pois a matriz 10f = 1n = 1× é uma matriz diagonal. Assim, podemos supor e . Se 0f ≠ 1n > ( ),f α α 0= para todo α em V , a forma quadrática é identicamente 0 e a identidade de polarização mostra que , pois q 0f =
1 1( , ) ( ) ( )4 4
f q qα α α α α= + − −α .
Assim, existe um vetor α em V tal que ( ) ( ), 0f qα α α .= ≠ Seja W o subespaço unidimensional de V que é gerado por α e seja W ( W ortogonal) o conjunto de vetores
⊥
β em V tais que ( ),f α β 0= . Afirmamos agora, que V W W ⊥= ⊕ .
Certamente os subespaços W e W são independentes. Um vetor típico em W é ⊥ cα , onde c é um escalar. Se cα está, também, em W , então ⊥ ( ) ( )2, ,f c c c fα α α α 0= = .
Mas, , logo . Além disso, todo vetor em V é a soma de um vetor em W e um em W . De fato, seja
( ),f α α ≠ 0 0c =⊥ γ um vetor arbitrário em V e coloquemos:
( )( )
,,
ffγ α
β γ αα α
= − .
Então
( ) ( ) ( )( ) ( ),
, ,,
ff f f
fγ α
,α β α γ αα α
= − α
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E como f é simétrica, , (pois ( ),f α β = 0 f é diagonal e α β≠ ). Portanto, β está no subespaço W . A expressão ⊥
( )( )
,,
ffγ α
γ α βα α
= +
nos mostra que V W . W ⊥= ⊕ A restrição de f a W ⊥ é uma forma bilinear simétrica sobre W ⊥ . Como W tem dimensão
(pois tem ), podemos supor, por indução, que W possua uma base
⊥
( 1n − ) W dim 1= ⊥
{ }2 , , nα αL tal que
( ),i jf α α 0= , ( )2, 2i j i j≠ ≥ ≥
Colocando 1α α= , obtemos uma base { }1, , nα αL de V tal que ( ),i jf α α = 0 j para i .■ ≠
Obs: Em termos das coordenadas dos vetores 1 1 2 2 n nx x xα α α α= + + +L e
1 1 2 2 n ny y yβ α α= + + +L α relativamente à base { }1, , nα αL do teorema 2.2 a forma
bilinear f se expressa como ( ), i i if x yα β λ= ∑ . Em particular, a forma quadrática associada a q f é dada por uma combinação linear de quadrados:
( ) 2 21 1 2 2 n nq x x 2xα λ λ λ= + + +L .
Os escalares 1 2, , , nλ λ L λ
⎟
⎟
são os autovalores da matriz da forma bilinear. 2.2 – Formas Quadráticas no plano De acordo com o teorema 1, uma forma quadrática no plano pode ser representada por uma
matriz simétrica . Isto é feito da seguinte maneira: a matriz simétrica real
associa ao vetor
a cA
c b⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎠
a cA
c b⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎠
2( , )sv x y R= ∈ , referido à base canônica ,
( e ), o polinômio que é um polinômio homogêneo do 2º grau em
1 2{ , }S e e=
1 (1,0)e = 2 (0,1)e = 2 2ax bxy cy+ + 2
x e y chamado forma quadrática no plano. Na forma matricial, este polinômio é representado por:
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( )ts s
a c xv Av x y
c b y⎛ ⎞⎛
= ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
,
sendo a matriz simétrica A a matriz da forma quadrática. Assim, a cada vetor sv corresponde um número real:
2 22p ax bxy cy= + + . 2.2.1 – Redução da Forma Quadrática à Forma Canônica. A forma quadrática no plano t
s sv Av pode ser reduzida através de mudanças de coordenadas à forma:
2 21 2' 'x yλ λ+
onde 1λ e 2λ são os autovalores da matriz A , e 'x e as componentes do vetor v na base
, isto é, 'y
1 2{ , }P u u= ( ', ')pv x y= , sendo e os autovetores associados a 1u 2u 1λ e 2λ . Demonstração: Temos que a matriz é a matriz mudança de base de para , pois: P P S
[ ] 1P
SI S P IP P−= = =
E, portanto:
s pv Pv=
logo,
( ) ( )tts s pv Av Pv A Pv= p
ou,
( )t t tS S P Pv Av v P AP v= .
Como diagonaliza P A ortogonalmente
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1
2
00
tP AP Dλ
λ⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
;
conclui-se que,
t tS S P Pv Av v Dv= ,
ou,
( ) ( ) 1
2
0 '' '
0 'a c x x
x y x yc b y y
λλ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠
⎞⎟⎠
2'
2'
ou ainda,
2 2 21 22 'ax bxy cy x yλ λ+ + = + . ■
A forma 2
1 2'x yλ λ+ é denominada forma canônica da forma quadrática no plano, ou também, forma quadrática diagonalizada. O que na verdade acabamos de fazer foi uma mudança de base ou uma mudança de referencial. Essa mudança de referencial corresponde a uma rotação de um ângulo θ do sistema xOy até o sistema ' 'x Oy . A matriz responsável por essa rotação é a matriz ortogonal , cujas colunas são os autovetores e de
P
1u 2u A . 3 – Cônicas. Chama-se cônica a todo conjunto de pontos M do plano cujas coordenadas x e , em relação à base canônica, satisfazem a equação do 2º grau:
y
2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =
onde não são todos nulos. , ,a b c 3.1- Equação reduzida de uma Cônica. Dada a cônica C de equação
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2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + = (6)
queremos, através de mudanças de coordenadas, reduzí-la a uma equação de uma forma mais simples, chamada equação reduzida da cônica. Para isto seguimos as seguintes etapas. 1ª etapa: Eliminação do termo em xy : 1º passo: escrever a equação na forma matricial
( ) ( ) 0a c x x
x y d e fc b y y⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(7)
ou, 0t
s s sv Av Nv f+ + = .
2º passo: calcular os autovalores 1λ e 2λ e os autovetores unitários e da matriz simétrica
1 11 12( , )u x x=
2 21 2( ,u x x= 2 ) A . 3º passo: substituir na equação (7) a forma quadrática:
pela forma canônica ( )ts s
a c xv Av x y
c b y⎛ ⎞⎛
= ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
( ) 1
2
0 '' '
0 'tP P
xv Dv x y
yλ
λ⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, e
s
xv
y⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
por 11 21
12 22
''P
x x xPv
x x y⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
tendo o cuidado para que de , a fim de que essa transformação seja uma rotação. t( ) 1P =Assim, a equação (7) se transforma em:
( ) ( )1 11 21
2 12 22
0 ' '' ' 0
0 ' 'x xx x
x y d e fx xy y
λλ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ou, 2 2
1 2' ' ' 'x y px qy fλ λ+ + + + = 0
'
(8)
que é a equação da cônica dada em (7), porém referida ao sistema 'x Oy , cujos eixos são determinados pela base . 1 2{ , }P u u=Observe que enquanto a equação (7) apresenta o termo misto xy , a equação (8) é desprovida dele.
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Portanto da equação (7) para a (8) ocorreu uma simplificação. 2ª etapa: Translação de eixos: Conhecida a equação da cônica
2 21 2' ' ' 'x y px qy fλ λ+ + + + = 0
'
. (9)
Para se obter a equação reduzida efetua-se uma nova mudança de coordenadas, que consiste na translação do último referencial 'x Oy para o novo, o qual denominaremos 'xO y . A seguir é feita a análise das duas possibilidades: (I) Supondo 1λ e 2λ diferentes de zero, podemos escrever:
2 21 2
1 2
' ' ' 'p qx x y y fλ λλ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠0
2 2 2
2 21 22 2
1 1 2 2 1 2
' ' ' '4 4 4
p p q q p qx x y y fλ λλ λ λ λ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
04
+ + + + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 2
1 21 2 1
' '2 2 4 4p q px y fλ λλ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
0qλ
.
Fazendo:
2 2
1 24 4p qf Fλ λ
− − = −
e por meio das fórmulas de translação:
1
'2pX xλ
= + e 2
'2qY yλ
= +
vem,
2 21 2 0X Y Fλ λ+ − =
2 21 2 .X Y Fλ λ+ = (10)
A equação (10) é a equação reduzida de uma cônica de centro, e como se vê, o 1º membro é a forma canônica da forma quadrática do plano. (II) Se um dos autovalores for igual a zero, 1 0λ = , por exemplo, a equação (9) fica:
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2
2 ' ' 'y px qy fλ 0+ + + =
ou seja,
22
2
' ' 'qy y px fλλ
⎛ ⎞0+ + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 22
2 22 2 2
' ' '4 4
q q qy y px fλλ λ λ
⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠0
2 2
22 2
' '2 4q f qy p x
p pλ
λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0= .
Fazendo, por meio de uma translação:
2
2
'4
f qX xp pλ
= + − e 2
'2qY yλ
= +
vem,
22 0Y pXλ + = . (11)
A equação (11) é a equação reduzida de uma cônica sem centro. Se 2 0λ = , a equação (9) fica:
21 ' ' 'x px qy fλ 0+ + + =
21
1
' ' 'px x qy fλλ
⎛ ⎞0+ + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 22
1 21 1 1
' ' '4 4
p p px x qy fλλ λ λ
⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠0
2 2
11 1
' '2 4p f px q y
q qλ
λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0= .
Fazendo por meio de uma translação:
2
1
'4
f pY yp qλ
= + − e 1
'2pX xλ
= +
vem,
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2
1 0X qYλ + = . 3.2- Classificação das Cônicas. I) A equação reduzida de uma cônica de centro é:
2 21 2X Y Fλ λ+ = .
• Se 1λ e 2λ forem de mesmo sinal, a cônica será do gênero elipse. • Se 1λ e 2λ forem de sinais contrários, a cônica será do gênero hipérbole.
II) A equação de uma cônica sem centro é:
22 0Y pXλ + = ou 2
1 0X qYλ + = .
Uma cônica representada por qualquer uma dessas equações é do gênero parábola. É usada a mesma classificação para as formas quadráticas. Exemplo 3.1: a) Para a cônica de equação 2 22 2 2 7 2 5 2 10x y xy x y+ + + + + = 0
⎞⎟ 1
, a matriz A é dada
por e seus autovalores são 2 11 2
A ⎛= ⎜⎝ ⎠
1 23 eλ λ= = . Portanto, pela classificação de
cônicas, como os sinais dos autovalores são iguais, a cônica em questão é uma elipse.
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b) Para a cônica de equação , a matriz A é dada por e
como um de seus autovalores é nulo, concluímos que esta cônica é uma parábola.
2 22 8 4x xy y x+ + − + = 01 11 1
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
c) A equação 2 24 3 24 156 0x y xy− + − = , representa uma hipérbole, pois a matriz
apresenta autovalores de sinais opostos (4 12
12 3A
⎛= ⎜ −⎝ ⎠
⎞⎟ 1 212 13eλ λ= − = ).
3. Referências bibliográficas
[1] HOOFMAN, K. & KUNZE, R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, Editora da Universidade de São Paulo,1971.
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214 FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
[2] GREUB, W. Linear Algebra. 4ª ed. Nova York: Springer-Verlag, 1974. [3] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1987. [4] LIMA, E. L. Álgebra Linear. 2ª ed. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1996 (Coleção Matemática Universitária).
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