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Revista Eletrnica de Filosofia Philosophy Eletronic Journal
ISSN 1809-8428 So Paulo: Centro de Estudos de Pragmatismo
Programa de Estudos Ps-Graduados em Filosofia Pontifcia
Universidade Catlica de So Paulo Disponvel em
http://www.pucsp.br/pragmatismo Vol. 9, n. 2, julho-dezembro, 2012,
p. 149-160
FORMALIZANDO A NOO DE 'POUCOS' VIA TABLEAUX
Ana Claudia de Jesus Golzio Universidade Estadual de Campinas
Campinas SP - Brasil [email protected]
Resumo: Feitosa, Nascimento e Grcio (2009) no artigo intitulado
Algebraic elements for the notions of many introduziram uma lgica
proposicional para muitos, que uma lgica proposicional com um
operador modal para formalizar a noo de muitos no campo
proposicional. De modo similar, este trabalho apresenta uma lgica
proposicional para poucos que, como o nome sugere, busca formalizar
a noo de poucos tambm no campo proposicional. Embora reconheamos
uma dualidade entre muitos e poucos, a abordagem do termo poucos
feita aqui ser uma adaptao no dual abordagem de Feitosa, Nascimento
e Grcio (2009) para o termo muitos. Ademais a lgica proposicional
para poucos ser apresentada aqui em um sistema de tableaux, que ,
neste caso, um mtodo dedutivo mais eficiente do que o mtodo
hilbertiano usualmente utilizado para a apresentao de sistemas
lgicos.
Palavras-chave: Lgica proposicional para poucos. Sistema de
Tableaux. Quantificadores.
FORMALIZING THE NOTION OF 'FEW' VIA TABLEAUX
Abstract: Feitosa, Nascimento and Grcio (2009) in their article
entitled Algebraic elements for the notions of many introduced a
propositional logic for many, which is a propositional logic with a
modal operator to formalize the notion of many inside the
propositional context. In a similar way, this work introduces a
propositional logic for few that, as the name suggests, intends to
formalize the notion of few also in the propositional context.
Although we recognize a duality between many and few, the approach
to the term few, that will be made here, is not an adaptation of
the dual approach given by Feitosa, Nascimento and Grcio (2009) for
the term many. Moreover, to propositional logic, "few" will be
presented here in a tableaux system that, in this case, is a
deductive method more efficient than the Hilbert method usually
utilized for the presentation of logical systems.
Key-words: Propositional logic for "few". Tableaux system.
Quantifiers.
* * *
Introduo
O estudo de sentenas envolvendo algum tipo de quantificador,
como por exemplo, a sentena, toda planta de folhas largas perde as
suas folhas j despertava o interesse do filsofo grego Aristteles
[384 a.C. - 322 a.C.], entretanto, historicamente, uma teoria
formal da quantificao, isto , uma teoria utilizando linguagens
artificiais, s teve origem com Gottlob Frege [1848 - 1925] em sua
obra
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Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete
Formelsprache des reinen Denkens (1967), publicada originalmente em
1879. Tambm, Peirce desenvolveu, de maneira paralela a Frege, as
bases da concepo contempornea de quantificadores. Assim, os
trabalhos de Peirce e Frege deram origem lgica
clssica de primeira ordem, que trata dos quantificadores
universal e existencial
.
A lgica clssica de primeira ordem, entretanto, no suficiente
para formalizar qualquer sentena da linguagem natural. Mostowski,
em seu artigo On a generalization of quantifiers, publicado em
1957, aponta a existncia de muitos outros quantificadores que so
matematicamente interessantes, mas que no podem ser definidos a
partir dos quantificadores de primeira ordem: universal e
existencial. Esses quantificadores, no definidos na lgica clssica
de primeira ordem, foram denominados por ele quantificadores
generalizados.
Sette, Carnielli e Veloso (1999), buscando uma formalizao lgica
para um tipo especfico de quantificador generalizado, apresentaram
um sistema lgico monotnico, denominado lgica dos ultrafiltros. O
nome desse sistema devido composio de sua estrutura semntica: um
conjunto universo e um ultrafiltro sobre esse universo. A lgica dos
ultrafiltros uma extenso da lgica de primeira ordem, feita
basicamente pelo acrscimo de um quantificador generalizado
linguagem clssica de primeira ordem.
Motivada por esse trabalho, Grcio (1999), em sua tese de
doutorado, intitulada Lgicas moduladas e raciocnio sob incerteza,
introduziu um conjunto de lgicas monotnicas no clssicas,
denominadas por ela de lgicas moduladas. Uma lgica modulada em
particular, a lgica do muito, introduzida por Grcio (1999), insere
um novo quantificador G na sintaxe da clssica lgica de primeira
ordem e essa lgica captura a noo de muitos, por meio de uma
estrutura matemtica denominada famlia prpria de conjuntos fechados
superiormente.
Depois de investigar estes elementos que permitem a formalizao
do conceito de muitos, Feitosa, Nascimento e Grcio (2009), no
artigo intitulado Algebraic elements for the notions of many
introduzem uma lgebra para muitos e uma lgica proposicional para
muitos, que uma lgica proposicional com um operador modal para
formalizar a noo de muitos no campo proposicional. A lgica
proposicional para muitos de certa maneira captura, no contexto
proposicional, algumas caractersticas do termo muitos da linguagem
natural.
De forma semelhante, mas no dual abordagem feita por Feitosa,
Nascimento e Grcio (2009) para o termo muitos, este trabalho
apresenta uma lgica proposicional para o termo poucos em um sistema
dedutivo denominado sistema de tableaux. O mtodo dos tableaux um
mtodo dedutivo assim como o mtodo hilbertiano comumente utilizado
na apresentao de sistemas lgicos.
Abaixo sero elencadas algumas propriedades que o termo poucos da
linguagem natural possui e que fundamentaro a apresentao da lgica
proposicional para poucos em tableaux.
1. A noo intuitiva de poucos
Grcio (1999) assume que a noo de muitos possui trs propriedades
essenciais, so elas:
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i) Se muitos indivduos do universo satisfazem a proposio e se
todo
indivduo que satisfaz , satisfaz tambm , ento tambm satisfeita
por muitos indivduos do universo;
ii) Se muitos indivduos do universo satisfazem a proposio , ento
existe
algum que satisfaz ; iii) O conjunto universo contm muitos
indivduos.
O operador modal da lgica proposicional para muitos introduzida
por Feitosa, Nascimento e Grcio (2009) tambm satisfaz estas trs
propriedades.
Seria possvel estabelecer, neste trabalho, o conceito de poucos
como dual ao conceito de muitos. Entretanto, quando se afirma, por
exemplo, que Muitas pessoas so felizes, mesmo que todas as pessoas
do meu universo de discurso sejam felizes, isso no parece
contrariar a noo intuitiva que temos de muitos.
J em relao noo de poucos, a afirmao: poucas pessoas gostam de
sorvete, no parece ter sentido em um universo de discurso em que
nenhum indivduo gosta de sorvete. Por isso, a noo intuitiva de
poucos, abordada aqui considerar que o vazio no contm poucos
elementos e, portanto, a abordagem do termo poucos feita neste
trabalho ser uma adaptao no dual abordagem feita por Feitosa,
Nascimento e Grcio (2009) para o termo muitos.
Assim como Grcio (1999) fez para a noo de muitos, assumiremos
que a noo de poucos possui trs propriedades essenciais, so
elas:
i) Se poucos indivduos do universo satisfazem a proposio e se
todo
indivduo que satisfaz , satisfaz tambm , ento tambm satisfeita
por poucos indivduos do universo;
ii) Se poucos indivduos do universo satisfazem a proposio , ento
existe
algum que satisfaz ;
iii) O conjunto universo no contm poucos indivduos.
Baseada nestas trs propriedades, apresentaremos abaixo lgica
proposicional para poucos em um sistema de tableaux.
2. Origens do mtodo de tableaux
O mtodo dos tableaux um mtodo de prova baseado em refutao, isto
, na busca por contraexemplos. A sua origem foi influenciada pelos
trabalhos de Gerhard Gentzen em relao deduo natural.
A anlise feita por Gentzen em relao ao clculo de predicados por
meio da deduo natural influenciou outros desenvolvimentos em lgica,
um deles foi a reformulao dada por Beth ao sistema de deduo natural
de Gentzen, por um sistema de tableaux semnticos (GENTZEN, 1969, p.
7).
Esse novo mtodo baseado na construo de contraexemplos e satisfaz
o princpio da subfrmula de Gentzen (1969, p. 7). Os sistemas de
provas de Gentzen
eram caracterizados por admitirem esse princpio, ou seja, se uma
frmula
demonstrvel, ento tem uma demonstrao em que ocorrem apenas
subfrmulas
de .
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Segundo Fitting (1999, p. 13), a motivao de Gentzen, ao
desenvolver os sistemas de deduo natural e de clculo de sequentes,
foi o desenvolvimento de uma teoria da prova. Ele no estava
preocupado em tentar estabelecer a correo e a completude de seus
sistemas, mas em mostrar a equivalncia entre eles. Beth, ao
contrrio de Gentzen, foi motivado por conceitos semnticos e em
1955, introduziu os chamados tableaux semnticos.
Os trabalhos de Beth e de Hintikka sobre tableaux ocorreram
simultaneamente. Como dito em Fitting (1999, p. 17), o primeiro
artigo de Hintikka apareceu em 1955, no mesmo ano em que apareceu o
artigo de Beth. Entretanto, semelhante a Beth e diferente de
Gentzen, Hintikka foi motivado por interesses
semnticos. Hintikka defende que a ideia oculta na prova de que
se a tentativa
sistemtica de construir um modelo em que verdadeira falhar, ento
vlida.
Beth e Hintikka, ambos, contriburam para o desenvolvimento dos
tableaux. Beth props uma representao grfica por tableaux, enquanto
Hintikka usou uma estrutura de rvores com conjuntos de formulas em
ns. Entretanto, essas duas formas de se apresentar o sistema de
tableaux eram demasiadamente complicadas e trabalhosas.
Ainda Fitting (1999, p. 19) afirma que um requisito essencial no
desenvolvimento dos tableaux foi a exigncia de uma notao
simplificada. Exigncia essa alcanada, independentemente, por duas
pessoas: Zbigniew Lis e Raymond Smullyan.
Lis publicou suas ideias em 1960, mas devido ao grande abismo
fixado entre o ocidente e o oriente da Europa, elas no se tornaram
conhecidas. As ideias de Lis foram posteriormente redescobertas por
Smullyan, culminando com a publicao de seu livro First-Order Logic
em 1968. Foi com esse completo trabalho de Smullyan que os tableaux
se tornaram bastante conhecidos e o trabalho de Lis s voltou a
receber ateno nos ltimos anos (FITTING,1999, p. 19).
Smullyan chamou sua verso de tableaux de tableaux analticos. Ele
utiliza os tableaux como base de um tratamento geral para a lgica
clssica, incluindo, tambm, uma anlise das possveis variaes das
demonstraes de completude (FITTING, 1999, p. 20).
3. O mtodo dos tableaux
O mtodo dos tableaux analticos baseado em refutao, isto , para
verificar a validade de uma frmula em um sistema lgico, se constri
um tableau
para a negao da frmula em questo, ou seja, para e, ento,
utilizando uma estrutura que se assemelha a uma rvore, aplica-se
regras do sistema de tableau. O objetivo desse mtodo encontrar
modelos contraditrios para a negao da
frmula testada, . Quando o objetivo alcanado, pode-se concluir
que a
hiptese falsa e, portanto, a frmula original verdadeira.
Entretanto, se aps a utilizao de todas as regras possveis no obtida
uma contradio,
significa que existe uma valorao que torna verdadeira e,
portanto, falsa.
O sistema de tableaux apresentado para o clculo proposicional
clssico neste captulo est de acordo com o livro Lgica de Primeira
Ordem de Raymond Smullyan (2009).
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Agora sero apresentadas algumas definies importantes e
necessrias definio de rvore ordenada didica.
Uma rvore no ordenada T uma estrutura , L, R, tal que:
i) representa um conjunto de elementos {1, 2, 3,..., n} chamados
pontos.
ii) L uma funo que associa a cada ponto , um inteiro positivo
L() chamado
nvel de .
iii) R uma relao definida em , na qual se R , ento chamado
antecessor
de e chamado sucessor de . Essa relao deve obedecer as seguintes
condies:
C1: H um nico ponto 1 de nvel 1, chamado origem da rvore.
C2: Todos os pontos de , menos a origem (a origem no tm
antecessor), tem um nico antecessor.
C3: Para quaisquer pontos e , se um sucessor de , ento L() = L()
+ 1.
Se um ponto tem exatamente um sucessor chamado de ponto simples
e se um ponto possui mais que um sucessor chamado de ponto de
juno.
Um ponto final um ponto que no possui pontos sucessores.
Uma rvore ordenada uma rvore no ordenada acrescida de uma funo
h
que atribui a cada ponto de juno uma sequncia h() que no contm
repeties,
e cujo conjunto de termos consiste em todos os sucessores de
.
Uma rvore didica uma rvore ordenada em que cada ponto juno tem
no mximo dois sucessores.
Uma frmula dita do tipo se puder ser escrita como uma conjuno,
com
componentes denominados 1 e 2. As frmulas do tipo e seus
respectivos componentes so apresentados na tabela abaixo:
1 2
( )
( )
Uma frmula dita do tipo se puder ser escrita como uma disjuno,
com
componentes denominados 1 e 2. As frmulas do tipo e seus
respectivos componentes so apresentados na tabela abaixo:
1 2
( )
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A frmula uma exceo, pois ela possui apenas um componente,
assim ela pode ser tanto uma frmula do tipo quanto uma frmula do
tipo , foi
uma escolha arbitrria classifica-la como uma frmula do tipo
.
Um ramo qualquer conjunto finito ou infinito de pontos tal
que:
i) A origem da rvore est no ramo;
ii) Cada termo do ramo, exceto (se houver) o ltimo, antecessor
do prximo;
iii) Se est no ramo, ento, tambm 1 e 2 esto no ramo;
iv) Se est no ramo, ento, somente um dos dois 1 ou 2 est no
ramo.
Quando um ramo tem um nmero finito de pontos um ltimo ponto do
ramo o ponto final do ramo (da rvore) e esse ramo finito, caso
contrrio ele infinito.
Agora ser dada uma definio precisa de tableau analtico. Para no
causar
confuso necessrio ressaltar que por um tableau para uma frmula ,
entende-se
um tableau que comea com uma determinada frmula e, para
demonstrar que
uma tautologia, constri-se um tableau, no para a frmula , mas
para a sua
negao .
Um tableau analtico para uma frmula uma rvore ordenada
didica,
cujos pontos so frmulas, e que construda como se segue.
Inicia-se colocando
na origem. Supe-se que j um tableau construdo para e um ponto
final. Ento se pode estender por meio de uma das seguintes
operaes:
i) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (ramo que contm ),
ento se
pode adicionar ou 1 ou 2 como nico sucessor de ;
ii) Se alguma frmula do tipo ocorre no ramo (ramo que contm ),
ento se
pode simultaneamente adicionar 1 como sucessor da esquerda de e
2 como
sucessor da direita de .
Um ramo de tableau fechado quando existem neste ramo pontos
que
correspondam s frmulas e .
Um tableau para uma determinada frmula fechado quando todos os
seus ramos so fechados.
Seja um conjunto de frmulas de L. O conjunto dito fechado
quando
possvel a construo de um tableau fechado para a conjuno das
frmulas de ,
caso contrrio dito aberto.
Seja um conjunto de frmulas de L. Uma frmula consequncia
lgica
de e denota-se tal fato por , quando {} um conjunto fechado de
fr-mulas.
Uma demonstrao por tableau da frmula um tableau fechado para
.
Se uma frmula tem uma demonstrao por tableau, ento dito que
demonstrvel por tableaux e denota-se tal fato por .
As frmulas do tipo junto com as frmulas do tipo formam as
chamadas regras do sistema de tableaux e podem ser nomeadas e
escritas como segue:
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[R]: [R]: () [R]: () [R]:
[R]: () [R]: [R]:
Para exemplificar o que uma demonstrao utilizando o mtodo
dos
tableaux, ser demonstrado a seguir que: (( ) ( )) ( ).
(1) ((( ) ( )) ( ))
(2) ( ) ( ) [1, R]
(3) ( ) [1, R]
(4) [2, R]
(5) [2, R]
(6) [3, R]
(7) [3, R]
(8) [4, R] (9) [4, R]
(10) [5, R] (11) [5, R]
4. A lgica proposicional para poucos em tableaux
A lgica proposicional para poucos em tableaux ter o acrscimo de
um
novo operador linguagem L(, , , ) da lgica proposicional
clssica.
A lgica proposicional para poucos em um sistema de tableaux
(LPPT), de
linguagem LP(, , , , ) definida por meio do acrscimo das
seguintes regras s regras do tipo :
RP1:
RP2:
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RP3: ( ) S se aplica se e
Ao se deparar com uma frmula do tipo ( ) o tableau dever aplicar
primeiro a regra (RP3) e a regra (R) s dever ser aplicada na
impossibilidade de se aplicar a regra (RP3).
RP4: (( ) ( )) S se aplica se ( )( )
Intuitivamente, a regra (RP1) diz que o fato de uma contradio
ter poucas evidncias gera uma contradio no sistema de tableaux e a
regra (RP2) diz que o fato de uma tautologia ter poucas evidncias
tambm gera uma contradio no sistema de tableaux, ou seja, nesse
sistema uma contradio no tem poucas evidncias e uma tautologia
tambm no tem poucas evidncias. A regra (RP3) diz
que se implica , no uma contradio e se tem poucas evidncias,
ento tambm tem poucas evidncias. Por fim, a regra (RP4) serve,
apenas para tornar possvel a demonstrao dos teoremas de correo e
completude.
Tais noes intuitivas esto de acordo com as propriedades
assumidas para o termo poucos na seo 1 deste trabalho.
Algumas dedues no sistema LPPT:
a)
(1)
(2)
(3) [2, R]
(4) [3, RP1]
b) ( )
(1)
(2) (( ) )
(3) [2, RP3]*
* Para aplicar RP3 preciso verificar se e se ( ):
(1) ( )
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(2) [1, R]
(3) [1, R]
Tableau aberto
( )
(1) ( ( ))
(2) [1, R]
(3) ( ) [1, R]
(4) [3, R]
(5) [3, R]
c) ( )
(1)
(2) ( ( ))
(3) [2, RP3]*
* Para aplicar RP3 preciso verificar se e se :
(1) ( )
(2) [2, R]
(3) [2, R]
(4) [2, R]
(5) [2, R]
Tableau aberto.
(1) ( ( ) )
(2) [1, R]
(3) [1, R]
(4) [2, R]
(5) [2, R]
Nota: Uma variante do resultado acima : ( )
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(1)
(2) ( ( ))
(3) () [2, R]
(4) [2, ]
Tableau aberto.
* Para aplicar RP3 preciso verificar se :
(1) ( )
(2) [2, R]
(3) [2, R]
Tableau fechado.
Portanto, no podemos aplicar a regra RP3 no tableau construdo
para
{( ( ))}. Logo, este tableau ser aberto e, consequentemente,
( ).
d)
(1)
(2)
(3) [2, R]
(4) [3, RP2]
Consideraes finais
O que so poucos? Quantos elementos so necessrios a certo
conjunto para que seja possvel dizer que este conjunto possui
poucos elementos?
Claramente, para responder a tais questes necessrio definir em
qual universo de discurso elas esto sendo abordadas. Entretanto,
apesar da dependncia que o conceito de poucos parece ter de um
contexto, possvel estabelecer algumas propriedades universais (isto
, vlidas em qualquer universo de discurso) para o conceito de
poucos.
Por exemplo, na afirmao Na sala h poucas crianas, apesar de no
ser possvel saber quantas crianas h na sala e nem quantas crianas
seriam
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necessrias para encher a sala, possvel dizer que existe algum na
sala. Tambm parece razovel dizer que a sala no est cheia (no est
com todas as crianas que caberiam na sala).
Em termos conjuntistas, parece legtimo concluir trs propriedades
fundamen-tais associadas noo intuitiva de poucos que independem do
contexto. So elas: Se um conjunto tem poucos elementos, ento ele no
vazio, O universo de discurso no possui poucos elementos e se um
conjunto A tem poucos elementos, ento um conjunto B contido em A e
no vazio tambm tem poucos elementos.
Tais noes intuitivas deram suporte ao desenvolvimento de uma
lgica para tratar do termo poucos em ambiente proposicional, tal
lgica foi denominada: lgica proposicional para poucos.
A lgica proposicional para poucos foi apresentada via sistema de
tableaux. Em geral, o mtodo dos tableaux considerado eficiente,
pois, na medida em que o tableau expandido, as frmulas tm sua
complexidade cada vez menor, at que nos ramos restem apenas frmulas
atmicas ou a negao de frmulas atmicas, as quais no podero mais ser
expandidas. Assim, observa-se que, em uma deduo por tableaux, h um
decrscimo no grau de complexidade das frmulas. J para fazer uma
deduo em um sistema hilbertiano, necessria a colocao de axiomas o
que torna a deduo um pouco mais longa e demorada se comparada a uma
deduo por tableaux.
Alm deste mtodo dedutivo, h ainda outros, como os dois sistemas
dedutivos de Gentzen (1969): o clculo de sequentes e a deduo
natural e o conhecido mtodo hilbertiano. Como sugesto para um
trabalho futuro coloca-se a questo de apresentar a lgica
proposicional para poucos em um sistema de clculo de sequentes e
tambm em um sistema de deduo natural.
* * *
Referncias
BETH, E. W. The foundations of mathematics. Amsterdam: North
Holland.1959.
FEITOSA, H. A.; NASCIMENTO, M. C.; GRCIO, M.C.C. Algebraic
elements for the notion of 'many'. CLE e-Prints (Online), v. 9,
2009.
FITTING, M. C. Introduction. In: DAGOSTINO, M; GABBAY, D.V.;
HAHNLE, R.; POSEGGA, J. (Eds.). Handbook of Tableaux Methods.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.
FRPOLLI, M. J. Quantificadores, in Filosofa de la lgica. Madrid,
Tecnos, , 2007.
FREGE, G. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nach
gebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879. English
translation in From Frege to Godel, a source book in mathematical
logic (J. van Heijenoort, Editor), Harvard University Press,
Cambridge, 1967.
GENTZEN, G. The collected papers of Gerhard Gentzen. Editor M.
E. Szabo. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1969.
GRCIO, M. C. C. Lgicas moduladas e raciocnio sob incerteza. Tese
de doutorado (Doutorado em Lgica e Filosofia da Cincia), Instituto
de Filosofia e Cincias
-
FORMALIZANDO A NOO DE 'POUCOS' VIA TABLEAUX
COGNITIO-ESTUDOS: Revista Eletrnica de Filosofia, ISSN
1809-8428, So Paulo: CEP/PUC-SP, vol. 9, n. 2, julho-dezembro,
2012, p. 149-160
160
Humanas, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.
MOSTOWSKI, A. On a generalization of quantifiers. Fund.
Mathematical, v. 44, 1957.
SETTE, A. M.; CARNIELLI, W. A.; VELOSO, P. An alternative view
of default reasoning and its logic. In: HAUESLER, E. H., PEREIRA,
L. C. (Eds.) Pratica: Proofs, types and categories. Rio de Janeiro:
PUC, 1999.
SMULLYAN, R. M. First-order logic. New York: Springer-Verlag /
Dover Publication, 1968.
SMULLYAN, R. M. Lgica de Primeira Ordem. Editora Unesp,
2009.