www.kit.edu KIT – Universit¨ at des Landes Baden-W ¨ urttemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Beweistheorie: Motivierendes Beispiel Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 KIT – I NSTITUT F ¨ UR THEORETISCHE I NFORMATIK
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Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 · Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 KIT – INSTITUT FUR¨ THEORETISCHE INFORMATIK. Wurzeln der Logik I Eine der Wurzeln
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www.kit.eduKIT – Universitat des Landes Baden-Wurttemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
Beweistheorie: Motivierendes Beispiel
Formale SystemeProf. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016
Zu 7. Aus 4. konnen wir schließen auf 4a. ¬schwester(fr(i), i).Das ist ein Schluß vom Allgmeinen auf das Besondere.4a. und 6. bilden jetzt einen elementaren Widerspruch.
Formale Systeme – Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 5/8
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?2. schwager(Bruno, i)3. ∀x(schwager(x , i) → bruder(x , fr(i)))5. bruder(Bruno, fr(i))
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Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?2. schwager(Bruno, i)3. ∀x(schwager(x , i) → bruder(x , fr(i)))5. bruder(Bruno, fr(i))vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens
Formale Systeme – Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 6/8
Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?2. schwager(Bruno, i)3. ∀x(schwager(x , i) → bruder(x , fr(i)))5. bruder(Bruno, fr(i))vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens
∀x(schw(x, i) → br(x, fr(i)))
schw(Bruno, i) → br(Bruno, fr(i))
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Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?2. schwager(Bruno, i)3. ∀x(schwager(x , i) → bruder(x , fr(i)))5. bruder(Bruno, fr(i))vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens
∀x(schw(x, i) → br(x, fr(i)))
schw(Bruno, i) → br(Bruno, fr(i))
∀x(φ(x))
φ(t)fur beliebigen Term t.
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Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?2. schwager(Bruno, i)3. ∀x(schwager(x , i) → bruder(x , fr(i)))5. bruder(Bruno, fr(i))vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens
∀x(schw(x, i) → br(x, fr(i)))
schw(Bruno, i) → br(Bruno, fr(i))
schw(Bruno, i) → br(Bruno, fr(i))
schw(Bruno, i)
br(Bruno, fr(i))
∀x(φ(x))
φ(t)fur beliebigen Term t.
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Analyse eines Beweisschritts
Wie kommt man von 2. und 3. zu 5.?2. schwager(Bruno, i)3. ∀x(schwager(x , i) → bruder(x , fr(i)))5. bruder(Bruno, fr(i))vom Allgemeinen zum Besonderen Modus Ponens
∀x(schw(x, i) → br(x, fr(i)))
schw(Bruno, i) → br(Bruno, fr(i))
schw(Bruno, i) → br(Bruno, fr(i))
schw(Bruno, i)
br(Bruno, fr(i))
∀x(φ(x))
φ(t)fur beliebigen Term t. A → B A
B
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Analyse eines weiterenBeweisschritts
Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?1. bruder(Bruno, i)5. bruder(Bruno, fr(i))
6. schwester(fr(i), i)
Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in dieFormalisierung mit aufzunehmen:7. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder und
der Bruder einer Frau ist,dann ist diese Frau meine Schwester∀x∀y∀z(bruder(x , y) ∧ bruder(x , z) ∧ w(z) → schwester(z, y))
Dabei ist w() ein einstellige Pradikat fur weiblich.
Außerdem:8. ∀x(w(fr(x)))
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Analyse eines weiterenBeweisschritts
Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?1. bruder(Bruno, i)5. bruder(Bruno, fr(i))
6. schwester(fr(i), i)Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in dieFormalisierung mit aufzunehmen:
7. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder undder Bruder einer Frau ist,dann ist diese Frau meine Schwester∀x∀y∀z(bruder(x , y) ∧ bruder(x , z) ∧ w(z) → schwester(z, y))
Dabei ist w() ein einstellige Pradikat fur weiblich.
Außerdem:8. ∀x(w(fr(x)))
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Analyse eines weiterenBeweisschritts
Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?1. bruder(Bruno, i)5. bruder(Bruno, fr(i))
6. schwester(fr(i), i)Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in dieFormalisierung mit aufzunehmen:7. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder und
der Bruder einer Frau ist,dann ist diese Frau meine Schwester∀x∀y∀z(bruder(x , y) ∧ bruder(x , z) ∧ w(z) → schwester(z, y))
Dabei ist w() ein einstellige Pradikat fur weiblich.
Außerdem:8. ∀x(w(fr(x)))
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Wie kann man 6 aus 1 und 5 herleiten?1. bruder(Bruno, i)5. bruder(Bruno, fr(i))
6. schwester(fr(i), i)Wir haben, offensichtlich, vergessen, ein Faktum in dieFormalisierung mit aufzunehmen:7. Wenn jemand gleichzeitig mein Bruder und
der Bruder einer Frau ist,dann ist diese Frau meine Schwester∀x∀y∀z(bruder(x , y) ∧ bruder(x , z) ∧ w(z) → schwester(z, y))
Dabei ist w() ein einstellige Pradikat fur weiblich.
Außerdem:8. ∀x(w(fr(x)))
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