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Fondamenti e didattica della matematica -Geometria - Corso
speciale - Facoltà di Scienzedella Formazione - Università Milano
Bicocca -
a.a. 2007-2008
10 novembre 2007
Marina Bertolini ([email protected])
Dipartimento di Matematica F.Enriques
Università degli Studi di Milano
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Geometria delle similitudini
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Omotetie del piano
Una omotetia del piano è una trasformazione del pianocostruita
in questa maniera
si fissa un punto O del piano
si fissa un parametro reale positivo k (k > 0)
Se P è un punto del piano per costruire P′, l’immagine diP, si
traccia la semiretta che parte da O passante per P esu questa
semiretta si pone P′ tale che la distanza di Oda P′ sia k volte la
distanza di O da P.
k = 2
O
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Omotetie del piano
Possiamo anche avvalerci dello strumento della carta
aquadretti
k = 3
O
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Omotetie
Se k = 1 ad ogni punto P del piano corrisponde Pstesso.
La trasformazione del piano per cui per ognipunto P si ha f (P)
= P è detta trasformazioneidentica (è anche detta identità ).
Nella definizione data si è posto k > 0. Se infattiavessimo
ammesso il valore k = 0 la costruzionegeometrica descritta sarebbe
ancora possibile, maad ogni punto P del piano sarebbe associato
ilpunto O.
In questo caso non si avrebbe unacorrispondenza biunivoca.
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Omotetie e figure geometriche
Se consideriamo una figura geometrica, possiamopensare di
applicare l’omotetia a tutti i punti della figura
k = 2
O
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Omotetie e figure geometriche
Se consideriamo figure geometriche più semplici nonabbiamo
bisogno di applicare l’omotetia a tutti i puntidella figura
k = 2
O
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Poligoni
Analogamente se consideriamo un poligono
k = 3
O
I lati del poligono triplicano.Fondamenti e didattica della
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Omotetie
Considerando una omotetia di centro O e rapporto k:
l’immagine di un segmento AB è ancora unsegmento A′B′
la lunghezza del segmento A′B′ è pari a k voltela lunghezza del
segmento AB
l’immagine di un poligono è un poligono con lostesso numero di
lati
la misura di ogni lato del poligono vienemoltiplicata per kne
consegue che il perimetro del poligono vienemoltiplicato per k
l’area del poligono viene moltiplicata per k2
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Omotetie
Considerando una omotetia di centro O e rapporto k:
l’immagine di una retta è una retta
l’immagine di una circonferenza è una circonferenzadi lunghezza
k volte la lunghezza dellacirconferenza di partenza mentre l’area
delcerchio compreso è k2 volte l’area della figura dipartenza
dati tre punti A, B e C, la misura dell’angolo ÂBC è
uguale alla misura dell’angolo Â′B′C′
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Omotetie e similitudini
Le omotetie appartengono ad una classe più ampia
ditrasformazioni: le similitudini.
Per le omotetie siamo stati in grado di esplicitare
lacostruzione geometrica che permette (dati il punto O e lacostante
reale positiva k) di costruire l’immagine di unqualsiasi punto del
piano.
Per le similitudini invece daremo una definizione astratta.
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Similitudini
Definizione – Una similitudine è una trasformazione fdel piano
che verifica le condizioni seguenti
Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate inrapporto
costante. Cioè possiamo trovare unnumero k tale che se la distanza
di due punti P e Qvale TOT, allora la distanza tra i loro
corrispondentif (P) e f (Q) vale k · TOT.
Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissinotre punti A, B
e C, l’angolo da questi individuato èuguale all’angolo individuato
dai loro corrispondentif (A), f (B) e f (C).
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Similitudini
La definizione di similitudine può quindi essere datamettendo
una delle due condizioni oppure l’altraindistintamente.
Dalla definizione di similitudine si possono dedurrealcune
proprietà geometriche:
se tre punti A, B e C sono allineati, allora anchef (A), f (B) e
f (C) sono allineati (per la condizionesugli angoli)
l’immagine di una retta è una retta, l’immagine di unsegmento è
un segmento, . . .
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Similitudini
La condizione sulle distanze è una condizione diproporzionalità
tra le misure dei segmenti.Se abbiamo un segmento a e un segmento
b, allora,indicando con a′ e b′ le rispettive immagini, vale
laproporzione (tra le loro misure)
a′ : a = b′ : b
più precisamente
a′ : a = b′ : b = k
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Similitudini
Le omotetie sono similitudini
infatti le omotetie soddisfano sia la condizione sulledistanze
che la condizione sugli angoli
Ci sono però similitudini che non sono omotetie.
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Similitudini
Le isometrie sono similitudini di rapporto k = 1
Si dimostra che ogni similitudine si può ottenere
comecomposizione di una omotetia e di una isometria.
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Figure simili
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Figure simili
Definizione – Due figure del piano si dicono simili se
èpossibile costruire una similitudine del piano che mandala prima
figura nella seconda.
La geometria delle similitudini studia le proprietà incomune a
due figure simili.
Dalla definizione di figure simili, per capire quindi se
duefigure sono simili occorre costruire una similitudine (ditutto
il piano) che mandi la prima figura nella seconda.
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Quadrati
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Scorciatoie
Questo a volte può sembrare un problema di non
facilesoluzione.
Quello di cui abbiamo bisogno sono delle scorciatoieche ci
permettano, date due figure, di stabilire se le figuresono simili
senza costruire esplicitamente unasimilitudine.Queste scorciatoie
sono dette criteri di similitudine .
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Poligoni
Consideriamo due poligoni del piano. Se i due poligonisono
simili, significa che esiste una corrispondenzabiunivoca di tutto
il piano che manda il primo poligono nelsecondo.
In particolare questa corrispondenza biunivoca di tutto ilpiano
farà corrispondere ad ogni vertice del primopoligono uno e un solo
vertice del secondo poligono, eviceversa. Analogamente per i
lati.
In altre parole la corrispondenza biunivoca del pianoinduce una
corrispondenza biunivoca tra i vertici dei duepoligoni, e tra i
lati corrispondenti.
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Poligoni
Inoltre, se supponiamo che i due poligoni siano simili,
leproprietà delle similitudini ci dicono anche
se misuriamo l’angolo del primo poligono in A emisuriamo
l’angolo del secondo poligono in A′,allora questi angoli sono
uguali
e questo vale per qualunque vertice del poligonosi vada a
scegliere
alla similitudine è associata una costante diproporzionalità k,
e questo implica che il rapporto trale misure dei lati
A′B′
AB= k
e questo vale per qualunque lato del poligono sivada a
scegliere
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Poligoni
Abbiamo cioè concluso che se due poligoni (ABCD . . . eA′B′C′D′
. . . sono simili), allora
1. gli angoli sono uguali (nel senso che l’angolo nelvertice A è
uguale all’angolo nel vertice A′ e cosìvia per gli altri
vertici)
2. i lati sono in rapporto costante (nel senso che ilrapporto
tra le misure di AB e A′B′ è uguale al kassociato alla
similitudine, e così via per gli altri lati)
ATTENZIONE: le condizioni 1 e 2 sono quindicondizioni necessarie
perché i due poligoni siano simili.
Quello che ci serve sono invece condizioni sufficientiper
stabilire che due poligoni siano simili.
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Rettangoli
Questi rettangoli sono simili?
A B
CD
A′ B′
C′D′
In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A′ ek =
2.(NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorviantirispetto al
problema)
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Rettangoli
Due rettangoli sono simili se, detta b la base del
primorettangolo e b′ la base del secondo rettangolo e detta
hl’altezza del primo rettangolo e h′ l’altezza del
secondorettangolo, vale la proporzione
b
b′=
h
h′
CONSEGUENZA: due quadrati sono sempre simili.
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Triangoli
Anche per i triangoli abbiamo delle scorciatoie
due triangoli sono simili se esiste unacorrispondenza tra gli
angoli del primo triangolo e gliangoli del secondo tale che gli
angoli corrispondentisono uguali
due triangoli sono simili se esiste unacorrispondenza tra i lati
del primo triangolo e i latidel secondo triangolo tale che i lati
corrispondentisono in proporzione
due triangoli sono simili se un angolo del primo èuguale ad un
angolo del secondo e i lati adiacenti aquesti due angoli sono in
proporzione
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Triangoli rettangoli
Dati due triangoli rettangoli
A B
C
ab
cα β
γ
A′ B′
C′
a′b′
c′α′ β′
γ′
come possiamo stabilire se sono simili?
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Triangoli rettangoli
Per verificare se due triangoli rettangoli sono simili (unavolta
poste le “lettere” come nel lucido precedente) èsufficiente
verificare una (una soltanto!) delle condizioniseguenti
β = β′
γ = γ′
b′/b = a′/a
c′/c = a′/a
c′/c = b′/b
. . .
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Triangoli rettangoli
Osserviamo che le condizioni di tipo
c′/c = b′/b
possono essere scritte invece
b/c = b′/c′
Questo significa che possiamo associare al primotriangolo il
numero b/c e possiamo associare al secondotriangolo il numero b′/c′
(questi sono infatti due numeriche dipendono dal singolo
triangolo)e concludere che due triangoli rettangoli sono simili se
esolo se il numero che associo loro è uguale.
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Altre figure
Come è possibile stabilire se le seguenti figure sonosimili?
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Esercizio
I seguenti triangoli sono simili.
A B
C
A′
B′
C′
Il numero associato ad entrambi i triangoli èA′C′
A′B′ =ACAB = 3
Qual è il rapporto di similitudine?Che rapporto c’è tra le aree
dei due triangoli?Fondamenti e didattica della matematica -
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Esercizio
I seguenti rombi sono simili?
La similitudine dei triangoli evidenziati garantisce
lasimilitudine dei rombi.
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Similitudini e quadrettatura
Per costruire figure simili può essere utile
utilizzarequadrettature di dimensioni differenti
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Un gioco
Prendete un foglio di carta a quadretti, e scegliete unpunto P.
Seguite quanto faccio io a video, ma
raddoppiate il numero diquadretti rispetto a quello chefaccio
io
se io vado “a destra”, voiandate “in alto” sul vostro foglio
se io vado “in alto”, voi andate“a sinistra”
se io vado “a sinistra”, voiandate “in basso”
se io vado “in basso”, voiandate “a destra”
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Un gioco
Il gioco che abbiamo fatto, costruisce una similitudine
convincetevi del fatto che quello che abbiamo fatto
èeffettivamente costruire una similitudine
costruire situazioni analoghe a questa modificandole “regole del
gioco”
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Similitudini e aree
Che cosa significa l’espressione raddoppiare una figura ?
Disegniamo due rettangoli di cui uno con i lati
doppidell’altro
L’area risulta moltiplicata per 4
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Similitudini e aree
L’esempio del rettangolo riflette una situazione generale
Se due figure sono simili tramite unasimilitudine di rapporto k,
allora il rapporto tra learee delle due figure è k2
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Geometria delle similitudiniOmotetie del pianoOmotetie del
pianoOmotetieOmotetie e figure geometricheOmotetie e figure
geometrichePoligoniOmotetieOmotetieOmotetie e
similitudiniSimilitudiniSimilitudiniSimilitudiniSimilitudiniSimilitudiniFigure
similiFigure
similiQuadratiScorciatoiePoligoniPoligoniPoligoniRettangoliRettangoliTriangoliTriangoli
rettangoliTriangoli rettangoliTriangoli rettangoliAltre
figureEsercizioEsercizioSimilitudini e quadrettaturaUn giocoUn
giocoSimilitudini e areeSimilitudini e aree