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Valter MorettiDipartimento di Matematica
Universita di Trento
Fondamenti di FISICA MATEMATICA I:
Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica
Analitica e Teoria della Stabilita
Corsi di Fondamenti di Fisica Matematica per la Laurea Triennale
in Matematica eMeccanica Analitica per la Laurea Triennale in
Fisica.
Universita di Trento
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1
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Indice
Scopi, prerequisiti matematici. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2Inquadramento generale della
meccanica (analitica) classica. . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Lo Spazio ed il Tempo della Fisica Classica. 111.1 Lo spazio
ed il tempo della fisica classica come spazi affini euclidei. . . .
. . . . . 11
1.1.1 Spazi Affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Spazi Euclidei e Isometrie. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3 Il gruppo
delle isometrie di En. Interpretazione passiva delle isometrie. . .
181.1.4 Lunghezze darco, aree e volumi, invarianti sotto il gruppo
delle isometrie. 191.1.5 Lo spazio fisico e lasse del tempo per un
osservatore: regoli ed orologi ideali. 191.1.6 Orientazione di
spazi euclidei e prodotto vettoriale. . . . . . . . . . . . . .
21
1.2 Introduzione alla nozione di varieta differenziabile. . . .
. . . . . . . . . . . . . . 231.2.1 Funzioni e curve
differenziabili su una varieta. . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2 Lo Spaziotempo della Fisica Classica e la Cinematica Classica.
292.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assoluti
e linee di universo. 292.2 Sistemi di riferimento. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 *Una definizione alternativa di sistema di riferimento. .
. . . . . . . . . . 362.2.2 Sistemi di coordinate solidali. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Cinematica assoluta del punto materiale. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 402.3.1 Derivazione di curve in spazi
affini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2
Grandezze cinematiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 422.3.3 Cinematica per punti materiali vincolati a
curve e superfici ferme. . . . . 43
2.4 Cinematica relativa del punto materiale. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 492.4.1 Vettore e formule di Poisson. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.2 Velocita ed
accelerazione al variare del riferimento. . . . . . . . . . . . . .
59
3 Dinamica del punto e dei sistemi di punti materiali. 633.1
Primo principio della dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 63
3.1.1 Sistemi di riferimento inerziali. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 633.1.2 Trasformazioni di Galileo. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Moto relativo
di riferimenti inerziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2
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3.2 Formulazione generale della dinamica classica dei sistemi di
punti materiali. . . . 703.2.1 Masse, Impulsi e Forze. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 Sovrapposizione
delle forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
733.2.3 Problema fondamentale della dinamica e determinismo. . . .
. . . . . . . 74
3.3 Situazioni dinamiche piu generali. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 763.3.1 Moto assegnato per un
sottosistema: forze dipendenti dal tempo. . . . . . 763.3.2 Vincoli
geometrici: reazioni vincolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 783.3.3 Dinamica in riferimenti non inerziali: forze inerziali.
. . . . . . . . . . . . 82
3.4 Alcuni commenti sulla formulazione generale sulla dinamica
newtoniana . . . . . 863.4.1 Invarianza galileiana della meccanica
classica. . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4.2 Il fallimento del
programma newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.3
Un commento sul cosiddetto Principio di Mach. . . . . . . . . . . .
. . 90
4 Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali
ordinarie 924.1 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.1 Riduzione al primordine. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 934.1.2 Problema di Cauchy. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.1.3 Integrali primi. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.2 Alcune nozioni e risultati preparatori per il teoremi di
esistenza e unicita . . . . . 954.2.1 Lo spazio di Banach C0(K;Kn).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.2 Teorema del
punto fisso in spazi metrici completi. . . . . . . . . . . . . .
994.2.3 Funzioni lipschitziane. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 100
4.3 Teoremi di esistenza ed unicita per il problema di Cauchy. .
. . . . . . . . . . . . 1034.3.1 Teorema di esistenza ed unicita
locale per il problema di Cauchy. . . . . . 1034.3.2 Condizione per
gli integrali primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1094.3.3 Teorema di esistenza ed unicita globale per il problema di
Cauchy. . . . . 1104.3.4 Equazioni differenziali lineari. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3.5 Struttura
dellinsieme delle soluzioni di unequazione lineare. . . . . . . .
1164.3.6 Completezza di soluzioni massimali. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 126
4.4 *Confronto tra equazioni differenziali, dipendenza dalle
condizioni iniziali e daparametri. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.4.1 Lemma di
Gronwall e sue conseguenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1304.4.2 Regolarita della dipendenza dai dati di Cauchy e questioni
connesse. . . . 132
4.5 *Problema di Cauchy su varieta differenziabili. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 1334.5.1 Problema di Cauchy, esistenza ed
unicita globali. . . . . . . . . . . . . . . 1344.5.2 Completezza
delle soluzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1354.5.3 Gruppi di diffeomorfismi locali ad un parametro. . . . .
. . . . . . . . . . 1374.5.4 Campi vettoriali commutanti e
commutazione dei corrispondenti gruppi
locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1394.5.5 Esistenza di integrali primi
funzionalmente indipendenti. . . . . . . . . . . 141
3
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5 Leggi di bilancio ed integrali primi in Meccanica. 1445.1
Equazioni cardinali per i sistemi di punti materiali, conservazione
dellimpulso e
del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1445.1.1 Massa totale, impulso totale,
momento angolare totale, energia cinetica
totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1455.1.2 Equazioni cardinali. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.3 Leggi di
bilancio/conservazione di impulso e momento angolare. . . . . . .
150
5.2 Energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1515.2.1 Teorema delle forze vive. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.2.2 Forze
conservative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1545.2.3 Bilancio e conservazione dellenergia meccanica. .
. . . . . . . . . . . . . . 156
5.3 *La necessita della descrizione in termini di continui e di
campi in meccanicaclassica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. 1626.1 Il
vincolo di rigidita per sistemi discreti e continui. . . . . . . .
. . . . . . . . . . 162
6.1.1 Corpi rigidi nel caso generale e per sistemi di punti
finiti. . . . . . . . . . 1626.1.2 Corpi rigidi continui. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Il tensore dinerzia e le sue proprieta. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1686.2.1 Il tensore dinerzia . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.2.2
Terne principali dinerzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1706.2.3 Formula di Huygens-Steiner. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3 Dinamica del corpo rigido: introduzione alla teoria delle
equazioni di Eulero. . . 1786.3.1 Equazioni di Eulero. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.3.2 Equazione
di Poinsot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1826.3.3 Rotazioni permanenti. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1826.3.4 Moti alla Poinsot per corpi
giroscopici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.3.5 Moti
alla Poinsot per corpi non giroscopici. . . . . . . . . . . . . . .
. . . 186
7 Introduzione alla teoria della stabilita. 1897.1 Punti
singolari e configurazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 189
7.1.1 Equilibrio stabile ed instabile. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1917.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov
per lo studio della stabilita . . . . . . 1947.1.3 *Ancora sulla
stabilita asintotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1997.1.4 Un criterio per linstabilita basato sulla procedura di
linearizzazione. . . 202
7.2 Applicazioni a sistemi fisici della meccanica classica. . .
. . . . . . . . . . . . . . 2047.2.1 Il teorema di
Lagrange-Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2057.2.2 Un criterio per linstabilita . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 2097.2.3 Stabilita delle rotazioni permanenti
per corpi rigidi non giroscopici. . . . . 212
4
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8 Fondamenti di Meccanica Lagrangiana. 2168.1 Un esempio
introduttivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 2178.2 Il caso generale: sistemi olonomi ed equazioni di
Eulero-Lagrange. . . . . . . . . 222
8.2.1 Spaziotempo delle configurazioni in presenza di vincoli
olonomi. . . . . . . 2238.2.2 Vettori tangenti allo spazio delle
configurazione Qt. . . . . . . . . . . . . . 2308.2.3 Vincoli
ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 2338.2.4 Grandezze cinematiche ed energia cinetica. . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2378.2.5 Equazioni di Eulero-Lagrange per
sistemi di un numero finito di punti
materiali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2378.3 *Estensione al caso di sistemi costituiti
da corpi rigidi continui e punti materiali. 241
8.3.1 Sistemi articolati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2428.3.2 Calcolo esplicito dei vettori
tangenti P
(k)i e dellenergia cinetica di corpi
rigidi continui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2458.3.3 Generalizzazione dellidentita (8.36) ai
corpi rigidi continui. . . . . . . . . 2468.3.4 Equazioni di
Eulero-Lagrange per sistemi articolati. . . . . . . . . . . . .
248
8.4 Proprieta elementari delle equazioni di Eulero Lagrange . .
. . . . . . . . . . . . 2508.4.1 Normalita delle equazioni di
Eulero-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.4.2
Spaziotempo degli atti di moto ed invarianza delle equazioni di
Eulero-
Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2538.4.3 Lagrangiane. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.4.4 Cambiamento di
riferimento inerziale e non unicita della lagrangiana. . . .
263
8.5 *Formulazione geometrico differenziale globale delle
equazioni di Eulero-Lagrange. 2678.5.1 La struttura di varieta
fibrata di Vn+1 e di j1(Vn+1). . . . . . . . . . . . . 2688.5.2 Il
campo vettoriale dinamico Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 2718.5.3 Sistemi lagrangiani senza lagrangiana globale. .
. . . . . . . . . . . . . . . 272
9 Alcuni argomenti piu avanzati di Meccanica Lagrangiana. 2749.1
Il cosiddetto Principio di Minima Azione per sistemi che ammettono
lagrangiana.274
9.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 2749.1.2 Il principio di minima azione. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.2 I potenziali generalizzati. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2799.2.1 Il caso della forza di
Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.2.2
Generalizzazione della nozione di potenziale. . . . . . . . . . . .
. . . . . 2819.2.3 Condizioni per lesistenza del potenziale
generalizzato. . . . . . . . . . . . 2839.2.4 Potenziali
generalizzati delle forze inerziali. . . . . . . . . . . . . . . .
. . 286
9.3 Configurazioni di equilibrio e stabilita. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2889.3.1 Configurazioni di equilibrio
rispetto ad un riferimento. . . . . . . . . . . . 2899.3.2
Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet. . .
. . . . . 295
9.4 Introduzione alla teoria delle piccole oscillazioni e delle
coordinate normali. . . . 2999.4.1 Equazioni linearizzate e
disaccoppiate: coordinate normali. . . . . . . . . 3009.4.2
Pulsazioni normali (o proprie) e modi normali di oscillazione. . .
. . . . . 304
5
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10 Simmetrie e leggi di conservazione: teoremi di Noether e di
Jacobi. 30810.1 Il legame tra simmetria e leggi di conservazione:
coordinate cicliche. . . . . . . . 308
10.1.1 Coordinate cicliche e conservazione dei momenti
coniugati. . . . . . . . . 30810.1.2 Invarianza traslazionale e
conservazione dellimpulso. . . . . . . . . . . . . 31110.1.3
Invarianza rotazionale e conservazione del momento angolare. . . .
. . . . 313
10.2 Il legame tra simmetrie e leggi di conservazione: il
teorema di Emmy Noether. . 31510.2.1 Trasformazioni su j1(Vn+1). .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31510.2.2 Il
teorema di Noether in forma locale elementare. . . . . . . . . . .
. . . . 31710.2.3 Invarianza dellintegrale primo di Noether per
trasformazione di coordinate.32210.2.4 Le trasformazioni di
simmetria (debole) di un sistema lagrangiano trasfor-
mano soluzioni delle equazioni di E.-L. in soluzioni delle
stesse. . . . . . . 32310.3 Lintegrale primo di Jacobi, invarianza
sotto traslazioni temporali e conserva-
zione dellenergia meccanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 32510.4 Commenti finali sul teorema di
Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.4.1 Invarianza sotto il gruppo di Galileo in meccanica
lagrangiana. . . . . . . 32910.4.2 Formulazione lagrangiana e
teorema di Noether oltre la meccanica classica. 330
10.5 *Formulazione generale e globale del Teorema di Noether. .
. . . . . . . . . . . . 33010.5.1 Il teorema di Noether nella forma
generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33310.5.2 Il vettore di
Runge-Lenz dal teorema di Noether. . . . . . . . . . . . . . .
34010.5.3 Lintegrale primo di Jacobi come conseguenza del teorema
di Noether. . . 342
11 Fondamenti di Meccanica Hamiltoniana. 34411.1 Lo spaziotempo
delle fasi e le equazioni di Hamilton. . . . . . . . . . . . . . .
. . 344
11.1.1 Lo spaziotempo delle Fasi F (Vn+1). . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 34611.1.2 Le equazioni di Hamilton. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34911.1.3 Le equazioni di
Hamilton da un principio variazionale. . . . . . . . . . . .
362
11.2 Sistemi hamiltoniani su R R2n. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 36411.2.1 Sistemi hamiltoniani su R R2n.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36411.2.2 Il gruppo
simplettico ed i sistemi hamiltoniani. . . . . . . . . . . . . . .
. 36511.2.3 Il teorema di Liouville su R R2n. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 371
11.3 *La struttura di varieta fibrata di F (Vn+1) e le equazioni
di Hamilton comeequazioni globali. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37511.3.1 Lo spazio fibrato
F (Vn+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37511.3.2 Trasformazione di Legendre globale come diffeomorfismo da
j1(Vn+1) a
F (Vn+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 37811.3.3 Equazioni di Hamilton assegnate
globalmente su F (Vn+1) e campo vetto-
riale dinamico Z: emancipazione dalla formulazione lagrangiana.
. . . . . 380
12 Alcuni argomenti piu avanzati di Meccanica Hamiltoniana.
38212.1 Trasformazioni canoniche e loro proprieta fondamentali. . .
. . . . . . . . . . . . 382
12.1.1 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 38312.1.2 Preservazione della forma delle
equazioni di Hamilton. . . . . . . . . . . . 387
6
-
12.2 *Il teorema di Liouville in forma globale ed il teorema del
ritorno di Poincare. 39412.2.1 Teorema di Liouville e lequazione di
Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . 39412.2.2 Il teorema del
ritorno (o di ricorrenza) di Poincare . . . . . . . . . . . 397
12.3 Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica di
Hamilton. . . . . . . . . . . . 40212.3.1 Parentesi di Poisson. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40212.3.2
Gruppi locali ad un parametro di trasformazioni canoniche attive. .
. . . 40712.3.3 Simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di
Noether hamiltoniano. . 413
12.4 Forma di Poincare-Cartan e teoria di Hamilton-Jacobi. . . .
. . . . . . . . . . . . 42112.4.1 La forma di Poincare-Cartan e la
condizione di Lie come caratterizzazione
delle trasformazioni canoniche. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42112.4.2 Funzioni generatrici di trasformazioni
canoniche. . . . . . . . . . . . . . . 42812.4.3 Introduzione alla
teoria di Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . .
43212.4.4 Equazione di Hamilton-Jacobi indipendente dal tempo. . .
. . . . . . . . 436
12.5 *Meccanica di Hamilton e strutture simplettiche . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 43812.5.1 Spazio delle fasi come varieta
simplettica per sistemi hamiltoniani autonomi.43812.5.2 Caso
generale: F (Vn+1) come fibrato di varieta simplettiche . . . . . .
. . 44312.5.3 Una nozione piu generale di spaziotempo delle fasi e
dinamica di Hamilton 448
A Elementi di topologia generale e geometria differenziale.
451A.1 Richiami di Topologia elementare. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 451A.2 Elementi di geometria
differenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453
A.2.1 Varieta prodotto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 455A.2.2 Funzioni differenziabili. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456A.2.3
Sottovarieta embedded. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 457A.2.4 Spazio tangente e cotangente. Campi vettoriali
covarianti e controvarianti. 460A.2.5 Differenziali, curve e
vettori tangenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
A.3 Ancora sugli spazi affini ed euclidei. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 465A.3.1 Spazi affini ed euclidei come
varieta differenziabili. . . . . . . . . . . . . . 465
A.4 Argomenti piu avanzati di geometria differenziale. . . . . .
. . . . . . . . . . . . 468A.4.1 Pushforward, pullback, derivata di
Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468A.4.2 Immersione di
spazi tangenti per sottovarieta embedded. . . . . . . . . . .
472A.4.3 Fibrato tangente e cotangente, varieta fibrate e sezioni.
. . . . . . . . . . . 472A.4.4 p-forme e forme differenziali. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
A.5 Teoria dellintegrazione su varieta differenziabili . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 482A.5.1 Integrale di forme di ordine
massimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482A.5.2 Varieta
con bordo e teorema di Stokes-Poincare . . . . . . . . . . . . . .
. 490
B Soluzioni e/o suggerimenti per risolvere gli esercizi
proposti. 493B.1 Esercizi del Capitolo 1. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493B.2 Esercizi del
Capitolo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 499B.3 Esercizi del Capitolo 3. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506B.4 Esercizi del
Capitolo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 508
7
-
B.5 Esercizi del Capitolo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 512B.6 Esercizi del Capitolo 6. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518B.7
Esercizi del Capitolo 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 520B.8 Esercizi del Capitolo 8. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521B.9
Esercizi del Capitolo 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 533B.10 Esercizi dellAppendice A. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
C Alcuni esercizi desame svolti. 542
8
-
Scopi, prerequisiti matematici ed inquadramento generale
delledispense.
Il fine di queste dispense e quello di introdurre gli studenti
dei corsi di laurea in Matematica e inFisica agli argomenti ed i
metodi della fisica matematica classica (con particolare attenzione
allameccanica classica), della formulazione lagrangiana della
meccanica classica, includendo unin-troduzione alla teoria della
stabilita ed alla formulazione hamiltoniana della meccanica
classica.Laccento e posto in particolare sulla struttura
logico-matematica delle teorie fisiche studiateche, per quanto
possibile, sono presentate in modo assiomatico deduttivo partendo
da un nume-ro ridotto di ipotesi fisiche. Il linguaggio matematico
usato e quello dellanalisi e della geometriadifferenziale
elementare.Queste dispense contengono abbondantemente il materiale
didattico dei corsi di Fondamenti diFisica Matematica (prima parte)
per la Laurea Triennale in Matematica e di Meccanica Analiticaper
la Laurea Triennale in Fisica.I prerequisiti per lutilizzo delle
dispense consistono nel calcolo differenziale ed integrale di unae
piu variabili, delle nozioni elementari di geometria ed algebra
lineare, delle nozioni elementaridi topologia generale e dei
fondamenti di fisica meccanica. Molte delle nozioni tecniche
usatesaranno brevemente richiamate prima del loro uso. Gli esempi
(che spesso sono esercizi svolti)e gli esercizi proposti sono parte
integrante del corso.
~ Le sezioni, i teoremi, le dimostrazioni e gli esercizi
contrassegnati con un asterisco nonsono strettamente fondamentali
ai fini del corso in quanto si riferiscono ad argomenti
(specialmente matematici) piu avanzati. Sono spesso importanti
per chi voglia approfondire ilformalismo.
Ringraziamento. Ringrazio i colleghi Franco Caviglia, Riccardo
Ghiloni, Gian Vittorio Luria,Enrico Pagani, Alessandro Perotti e
Nicola Pinamonti, per diversi suggerimenti e correzioni
suicontenuti dei corsi a cui si rivolgono queste dispense.
Ringrazio (in ordine alfabetico) LorenzoBazzanini, Federico
Franceschini, Marco Frego, Filippo Maria Gambetta, Luca Guglielmi,
Ste-fano Martin, Mattia Signoretto, Fabio Zanini e Chiara Zarpellon
per avermi dato suggerimentidi vario genere per migliorare questo
lavoro.Lultima sezione riporta le soluzioni o suggerimenti per le
soluzioni degli esercizi proposti. Cometesto generale di
riferimento, per approfondimenti, complementi ed esercizi, si
consigliano i testi[Goldstein50], [Fasano-Marmi] e [Arnold92].
Inquadramento generale della meccanica (analitica) classica.
Dal punto di vista fisico e importante sottolineare che la
descrizione della realta fisica presentatain queste dispense ha
precisi limiti di applicabilita e, generalmente parlando, deve
pensarsi comeunapprossimazione di qualche teoria piu fondamentale.
Infatti essa risulta essere inadeguata inalmeno due contesti.
9
-
(a) La descrizione classica cessa di valere nel regime di
velocita comparabili con quelle dellaluce/forti campi
gravitazionali/trattazioni della fisica cosmologica. In tali
contesti la descrizionepiu soddisfacente, al momento nota, e data
dalla Teoria della Relativita 1, di cui la meccanicaclassica e
approssimazione. La rivoluzione della Relativita ha mostrato che le
strutture metricheclassiche (lunghezze ed intervalli di tempo) sono
in realta relative al sistema di riferimento, maal contempo sono
parti di una struttura metrica spaziotemporale assoluta che ha
particolariproprieta di simmetria (almeno fino a quando si trascura
la descrizione relativistica dellintera-zione gravitazionale)
descritte dal cosiddetto gruppo di Lorentz-Poincare. La geometria
dellospaziotempo che ne consegue si e rivelata il linguaggio
matematico per poter trattare argomentidi generale interesse
fisico, come la nozione di causalita. Le implicazioni di questo
nuovo puntodi vista sono state incredibilmente feconde ed hanno
avuto influenze fondamentali nello svilup-po di tutta la fisica del
1900. La teoria della relativita ha costruito, insieme alla
meccanicaquantistica, il linguaggio stesso ed il paradigma della
fisica teorica di un secolo intero di ricerca.
(b) La descrizione classica cessa di essere adeguata anche,
rozzamente parlando, in riferi-mento a sistemi microscopici (scale
molecolari ed inferiori). In tali contesti la descrizione
piuadeguata e data dalla Meccanica Quantistica (e dalla teoria dei
campi quantistica), di cui, unal-tra volta, la meccanica classica e
approssimazione. Mentre il linguaggio matematico delle
teorierelativistiche e ancora quello della geometria differenziale,
il linguaggio matematico delle teoriequantistiche e dato
dallanalisi funzionale (degli spazi di Hilbert in
particolare).Dobbiamo doverosamente rimarcare che lo schema e
ancora tuttaltro che completo, visto che leteorie quantistiche e
quelle relativistiche non formano un corpus coerente, in
particolare vi sonodiversi problemi concettuali nel conciliare la
descrizione quantistica con quella data dalla relati-vita generale.
Al momento manca una descrizione completa della struttura fisica di
cio che esiste.
La meccanica classica, daltra parte, funziona perfettamente per
le applicazioni pratiche piu comuni,ma non solo. Basti pensare che
le missioni Apollo che hanno portato luomo sulla luna sono sta-te
concepite completamente nellambito della meccanica classica,
attraverso la quale sono staticostruiti tutti i modelli e sono
stati fatti i calcoli.
1Problemi irrisolti anche nellambito delle Teorie Relativistiche
rimangono aperti in cosmologia, in particolarein relazione al
cosiddetto problema dellenergia oscura.
10
-
Capitolo 1
Lo Spazio ed il Tempo della FisicaClassica.
La Matematica in Fisica e come il maiale: non si butta mai via
niente.
In questo capitolo iniziale discuteremo come la geometria
euclidea fornisca una descrizione ma-tematica appropriata dello
spazio e del tempo della fisica classica. Ci riferiamo in questo
modoallo spazio fisico ed al tempo fisico come appaiono per ogni
possibile osservatore pensato comeinsieme di strumenti fisici
(senza necessita di attivita cosciente). Nellultima sezione
estendendole nozioni introdotte nelle precedenti sezioni,
arriveremo a presentare la nozione di varieta dif-ferenziabile che
sara utile in tutto il resto delle dispense.Lappendice A,
completando la discussione esposta in questo capitolo introduttivo,
richiama al-cune nozioni elementari di topologia generale e
approfondisce la nozione di varieta differenziabileproponendo
diversi esempi ed esercizi svolti.
1.1 Lo spazio ed il tempo della fisica classica come spazi
affinieuclidei.
Ogni osservatore pensato come insieme di strumenti fisici (senza
necessita di attivita cosciente)colloca gli eventi fisici in uno
spazio tridimensionale e lungo una retta temporale. Talvolta
sitrova scritto che lo spazio fisico, ovvero lo spazio in cui si
formula la geometria di Euclide e lospazio R3. Questa affermazione
non e corretta ne dal punto di vista fisico ne da quello
matema-tico. La ragione e, prima di tutto, che R3 ha una struttura
che non e invariante per traslazioni (esotto altri tipi di
trasformazioni), al contrario della natura delle proposizioni
geometriche nellageometria di Euclide. Questa struttura non
invariante per traslazioni, dal punto di vista fisi-co, non ha
nemmeno alcun corrispondente nella realta dellesperienza
quotidiana. Per esempio,lorigine (0, 0, 0) di R3 oppure gli assi
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) sono strutture privilegiate, chenon
hanno alcun corrispondente fisico: non ce alcuna legge fisica che
fissa lorigine dello spazio
11
-
o assi privilegiati di riferimento. Viceversa le leggi della
fisica (almeno nei sistemi di riferimentoinerziali che discuteremo
nei prossimi capitoli) sono invarianti per traslazioni, oltre che
sottoaltre trasformazioni che si identificano con il gruppo delle
isometrie dello spazio come vedremopiu avanti. In termini
intuitivi, ignorare la parte della struttura di R3 che non e
invariante pertraslazioni significa appunto vedere R3 come uno
spazio affine1. A causa di questa natura, talispazi ammettono
particolari trasformazioni, chiamate appunto traslazioni che,
quando lo spazioaffine viene dotato di significato fisico ed in
particolare dotato delle usuali proprieta metriche,corrispondono
alle operazioni fisiche di traslazione rigide dei corpi materiali.
Un discorso ana-logo si puo fare per lasse dei tempi lungo il quale
vengono ordinati temporalmente gli eventida parte di ogni
osservatore. Anche in questo caso non via alcun punto privilegiato
lungo taleinsieme ordinato e anche se e piu difficile intuirlo
rispetto allanaloga proprieta dello spaziofisico sussiste una
proprieta di invarianza per traslazioni temporali degli eventi
fisici, nel sen-so che (almeno nei sistemi di riferimento inerziali
che discuteremo nei prossimi capitoli) ogniesperimento con un certo
esito che puo essere preparato oggi, puo essere, in linea di
principio,preparato anche domani con lo stesso esito.Lo spazio
tridimensionale della fisica classica, lasse del tempo delle fisica
classica (ma anchelo spaziotempo quadridimensionale della fisica
relativistica speciale) sono spazi affini prima ditutto.La
struttura di spazio affine non e pero sufficiente per descrivere
matematicamente la naturadello spazio fisico e dellasse del tempo.
Sono necessarie ulteriori strutture matematiche cherendano conto,
da un lato, della possibilita sperimentale di assegnare le
dimensioni fisiche: lun-ghezze, aree, volumi, angoli..., ai corpi
che riempiono lo spazio e, dallaltro lato, della duratatemporale
dei fenomeni che accadono. Dal punto di vista puramente matematico,
gli spazi affini,se ulteriormente dotati della struttura metrica
che vedremo tra poco, si dicono spazi euclideiperche, nei casi
unidimensionale, bidimensionale e tridimensionale, sono gli spazi
della geome-tria di Euclide. Lo spazio euclideo tridimensionale e
una la descrizione adeguata dello spaziofisico. Lo spazio euclideo
unidimensionale e una descrizione adeguata della retta
temporale.Richiamiamo brevemente la definizione e le principali
caratteristiche degli spazi affini e deglispazi euclidei. Tali
nozioni dovrebbero gia essere note dai corsi di geometria
elementare.
1.1.1 Spazi Affini.
Definizione 1.1. Uno spazio affine (reale) di dimensione
(finita) n e un insieme An, icui elementi sono detti punti, dotato
di alcune strutture che descriviamo di seguito.(1) Uno spazio
vettoriale reale n-dimensionale V , detto spazio delle traslazioni
o spazio deivettori liberi.(2) Unapplicazione An An 3 (P,Q) 7 P Q V
che gode delle due seguenti proprieta:
(i) per ogni coppia di elementi Q An, v V ce un unico punto P An
tale che P Q = v;(ii) P Q + QR = P R per ogni terna P,Q,R An.
Se Q An e v V , Q + v An indica lunico punto P in An tale che P
Q = v. Una retta1Si legga a tal proposito la definizione di spazio
affine data a p.13 del fondamentale testo di Arnold di Metodi
Matematici della Meccanica Classica [Arnold92].
12
-
in An di origine P e vettore tangente u e la funzione R 3 t 7 P
+ tu An. Un segmentodi retta si ottiene restringendo t ad un
intervallo (diverso da un punto).
N.B. Gli spazi affini considerati in queste dispense sono
esclusivamente reali e con dimensionefinita.
Esercizi 1.1.1. Provare che, per ogni P An, P P = 0 vettore
nullo di V .2. Provare che, se Q An e u,v V allora:
(Q+ u) + v = Q+ (u + v) . (1.1)
3. Provare che, se Q,P An allora:
P Q = (Q P ) . (1.2)
4. Provare che, se P,Q An e u V allora:
P Q = (P + u) (Q+ u) . (1.3)
Ogni spazio affine An ammette una classe di sistemi di
coordinate globali naturali detti sistemidi coordinate cartesiane,
che giocano un importantissimo ruolo nello sviluppo della teoria.
Untale sistema di coordinate si costruisce come segue. Si fissi un
punto O An, detto originedelle coordinate, ed una base e1, . . . ,
en dello spazio delle traslazioni V , detta sistema di assidelle
coordinate. Variando P An le componenti, ((P O)1, . . . , (P O)n),
di ogni vettoreP O rispetto alla base scelta definiscono una
funzione biettiva f : An Rn che permette diidentificare i punti di
An con i punti di Rn. Questa funzione f che definisce una
corrispondenzatra punti, P , e n-ple, ((P O)1, . . . , (P O)n), e
iniettiva per la richiesta (i) nella definizione1.1, tenendo infine
conto che le componenti di un vettore rispetto ad una base sono
univoca-mente determinate dal vettore. E anche suriettiva perche ,
se (x1, . . . , xn) Rn allora, postoP := O +
nk=1 x
nen, vale banalmente f(P ) = (x1, . . . , xn).
Definizione 1.2. Nello spazio affine An con spazio delle
traslazioni V si fissi un punto O Ened una base e1, . . . , en di V
. Il sistema di coordinate globali (An, f), dove f associa a P Anla
n-pla di componenti di P O, rispetto alla base e1, . . . , en, e
detto sistema di coordinatecartesiane con origine O e assi e1, . .
. , en. I sistemi di coordinate (locali) non cartesianesono detti
sistemi di coordinate curvilinee.
Le coordinate cartesiane sono importanti anche perche consentono
di rappresentare in manierasemplice le cosiddette trasformazioni
affini. Una trasformazione affine e una trasformazione chepreserva
la struttura di spazio affine. Formalmente si ha la seguente
definizione.
13
-
Definizione 1.3. Siano An1 e Am2 spazi affini con spazi delle
traslazioni V1 e V2 rispettivamente. : An1 Am2 e detta
trasformazione affine se valgono le condizioni:
(i) e invariante per traslazioni, cioe
(P + u) (Q+ u) = (P ) (Q) , per ogni P,Q An1 e u V1 ;
(ii) la funzione P Q 7 (P )(Q) definisce una trasformazione
lineare V1 V2, indicatacon d : V1 V2.
Esercizi 1.2.1. Sia (An, f) un sistema di coordinate cartesiane,
come nella definizione 1.2, con coordinate
x1, , xn e (An, g) un altro sistema di coordinate cartesiane,
con coordinate x1, , xn, diorigine O e assi e1, . . . , e
n, in modo che valga
ei =j
Bj iej .
Provare che la funzione g f1 e espressa, in coordinate, dalle
relazioni:
xj
=ni=1
Bj i(xi + bi), (1.4)
dove (O O) = i biei.2. In riferimento allesercizio precedente,
provare che la funzione f g1 : Rn Rn, in
coordinate, e espressa da:
xi =nj=1
(B1)ijxj bi . (1.5)
3. Provare che se : An1 Am2 e affine, allora, per ogni scelta di
sistemi di coordinatecartesiane nei due rispettivi spazi, ha la
forma (i = 1, 2, . . . , n)
xi2 =nj=1
Lijxj1 + c
i . (1.6)
per opportuni coefficienti Lij e ci, dipendenti da e dai sistemi
di coordinate.
Dimostrare che, viceversa, : An1 Am2 e affine se esistono due
sistemi di coordinate cartesianenei rispettivi spazi in cui ha la
forma (1.6) in coordinate.
4. Mostrare che le trasformazioni affini trasformano rette in
rette. Ossia, se : An1 An2e affine e P (t) := P + tu, con t R e la
retta in An1 di origine P e vettore tangente v V1, allora(P (t)),
al variare di t R definisce ancora una retta in Am.
Per ogni spazio affine An, lo spazio vettoriale V delle
traslazioni agisce come insieme di trasfor-mazioni {Tv}vV su An. La
trasformazione Tv : An An di v V su An e definita in modo
14
-
ovvio come Tv : P 7 P + v. Esplicitiamo alcune caratteristiche
dellazione di V sullo spazioaffine.
(i) Linsieme {Tv}vV e banalmente un gruppo rispetto alla
composizione di applicazionivalendo TuTv = Tu+v.Dato che TuTv =
Tu+v e u+v = v+u, il gruppo risulta anche essere abeliano cioe
commutativo:TuTv = TuTv per ogni coppia u,v V . Dato che
lapplicazione V 3 v 7 Tv e iniettiva(poiche v = u se Tu = Tv), essa
e un isomorfismo gruppale quando V e visto come gruppocommutativo
rispetto alla somma di vettori.
(ii) Solo v = 0 soddisfa che Tv(P ) = P per ogni P An, in altre
parole, lazione del gruppodelle traslazioni e libera.
(iii) Per ogni coppia P,Q An esiste una traslazione Tv tale che
Tv(P ) = Q, in altre parole,lazione del gruppo delle traslazioni e
transitiva.Il gruppo delle traslazioni acquista ulteriore interesse
quando si potenzia la struttura di spazioaffine con un prodotto
scalare.
1.1.2 Spazi Euclidei e Isometrie.
Quando uno spazio affine e dotato di una struttura metrica
aggiuntiva compatibile con quellapreesistente e che consente di
definire proprieta metriche, si ha uno spazio euclideo. Tale
strut-tura metrica e un prodotto scalare assegnato nello spazio
delle traslazioni.
Definizione 1.4. Uno spazio affine En di dimensione n (finita) e
dotato di un prodotto sca-lare (reale simmetrico) nello spazio
delle traslazioni V , e detto spazio euclideo (reale) didimensione
n.I sistemi di coordinate cartesiane associati a basi ortonormali
rispetto a sono detti sistemi dicoordinate cartesiane
ortonormali.
Mostriamo ora come la presenza del prodotto scalare dia senso
alle nozioni metriche che ci aspet-tiamo dalla fisica: distanze ed
angoli. Ricordiamo a tal fine la definizione di spazio metrico.
Definizione 1.5. Uno spazio metrico e un insiemeM dotato di una
funzione d : MM Rdetta distanza, soddisfacente:
(i) d(P,Q) = d(Q,P ),(ii) d(P,Q) 0 dove = vale se solo se P =
Q,(iii) d(P,Q) d(P,R) + d(R,Q) per P,Q,R M .
Una funzione f : M M con M,M spazi metrici con distanze, d e d
rispettivamente e dettaisometria se conserva le distanze, cioe :
d(P,Q) = d(f(P ), f(Q)) per ogni coppia P,Q M .
15
-
Ovviamente, per (ii), le isometrie sono sempre trasformazioni
iniettive. Nel caso degli spazieuclidei, la presenza del prodotto
scalare arricchisce ulteriormente la struttura di spazio
affineaggiungendo una struttura di spazio metrico, quando la
distanza tra punti di En e definita comela norma standard associata
al prodotto scalare valutata su P Q:
d(P,Q) := ||P Q|| :=P Q P Q . (1.7)
Quindi gli spazi euclidei sono naturalmente degli spazi metrici.
Si noti che il prodotto scalarepresente nello spazio delle
traslazioni consente di definire la nozione misura di angolo tra
vettori:langolo tra due vettori u,v e , quando ha senso definirlo,
lunico (in [0, ]) che soddisfa
||u|| ||v|| cos = u v .
Passiamo ora a considerare le isometrie tra spazi euclidei. Una
trasformazione affine tra duespazi euclidei che conserva le
rispettive distanze e detta isometria affine.Dato che la nozione di
isometria nasce indipendentemente da quella di trasformazione
affine, cisi puo chiedere se tra due spazi euclidei possano
esistere isometrie che non siano trasformazioniaffini. Vale
tuttavia il seguente notevole teorema che, per spazi euclidei,
identifica isometrie edisometrie affini. La dimostrazione e data
negli esercizi.
Teorema 1.1. Siano En1 e En2 spazi euclidei con la stessa
dimensione n (finita). f : En1 En2e unisometria se e solo se e
unisometria affine.
Osservazioni 1.1.(1) La distanza d su uno spazio euclideo (1.7)
gode di alcune interessanti proprieta . In primoluogo essa e
invariante sotto lazione delle traslazioni:
d(P + u, Q+ u) = d(P,Q) , P,Q En, u V , (1.8)
e pertanto le traslazioni sono particolari tipi di isometrie.La
verifica di tale proprieta di invarianza e immediata dalla
definizione di d e tenendo conto dellaproprieta (P + u) (Q+ u) = P
Q.Unaltra proprieta interessante della distanza di spazi euclidei e
di natura completamente ma-tematica: risulta per computo diretto
che la funzione P,Q 7 d(P,Q)2 e di classe C rispettoad ogni sistema
di coordinate cartesiane (cioe, rispetto alla struttura
differenziabile naturaledi En En che diremo piu avanti). Non lo e
invece la funzione P,Q 7 d(P,Q) che ovunquecontinua ma non e
ovunque C, dato che ammette una singolarita esattamente per P =
Q.(2) Come conseguenza dellesercizio 1.2.1, tenendo conto che le
matrici di trasformazione tra ba-si ortonormali sono le matrici
ortogonali, la piu generale legge di trasformazione tra le
coordinatedi due differenti sistemi di coordinate cartesiani
ortonormali assume la forma
xj
=ni=1
Rj i(xi + bi), (1.9)
16
-
dove i numeri reali bi sono arbitrariamente fissati e i
coefficienti Rj i definiscono individuano unaqualsiasi fissata
matrice ortogonale di dimensione n. Ricordiamo che le matrici
ortogonali diordine n sono le matrici reali nn, R, tali che RRt = I
(ossia in componenti k Ri kRj k = ij).Esse costituiscono un gruppo
rispetto al prodotto matriciale righe per colonne, detto
gruppoortogonale di dimensione n o gruppo delle rotazioni in
dimensione n ed indicato conil simbolo O(n).(3) Dalla definizione
di O(3), usando la regola di Binet per il determinante ed il fatto
che ildeterminante della matrice trasposta e uguale a quello della
matrice, segue immediatamente chese R O(3) allora detR = 1.
Entrambi i casi sono rappresentati in O(3). Infatti I e Isono
matrici in O(3) ed hanno rispettivamente determinante 1 e 1.
Linsieme delle matrici diO(3) con determianate 1 e indicato con
SO(3) e, come si prova facilmente, e un sottogruppo diO(3). SO(3)
si chiama gruppo ortogonale proprio (di dimensione 3) ed i suoi
elementi sono lerotazioni proprie. Linsieme delle matrici con
determinante 1 non puo essere un sottogruppodato che non contiene
lelemento neutro (dato dalla matrice I SO(3)). Tuttavia, se S O(3)e
detS = 1, allora S = (I)R, dove R := (I)S SO(3). Pertanto tutte le
rotazionicon determinante 1, dette anche rotazioni improprie o, con
un termine un po imprecisoriflessioni, si ottengono da una
rotazione propria seguita dallazione di I, trasformazione che asua
volta, e detta inversione o inversione di parita. Cio giustifica la
notazione ISO(3) perlinsieme delle rotazioni improprie (di
dimensione 3). Un caso importante di rotazione impropriasi ottiene
dallimmagine specchiata di un oggetto rispetto alloggetto stesso.
In tal caso, inriferimento ad una terna di assi cartesioni
ortonormali, loperazione di rotazione impropria,immaginando lo
specchio come dato dal piano x = 0, corrisponde alla matrice
diagonale che ha1 come primo elemento della diagonale principale,
seguito da due 1 sulla stessa diagonale. Echiaro che il
determinante di tale matrice e (1) 1 1 = 1.Osservazioni 1.2. *
Esiste unaltra caratterizzazione di SO(3) e ISO(3) di natura
com-pletamente topologica che ha interesse dal punto di vista
fisico. Pensiamo a tal fine le rotazioniproprie e improprie come
trasformazioni attive. Come e evidente dallesperienza fisica, le
rota-zioni improprie, come le riflessioni attraverso uno specchio,
sono operazioni fisiche discontinue:non possono essere ottenute con
una successione di piccole modifiche della figura iniziale.
Que-stidea intuitiva ha un corrispondente matematico preciso che
ora illustriamo senza entrare neidettagli. Il gruppo O(3) e un
sottoinsieme di R9, dato che le matrici reali 33 si possono
pensarecome vettori in R9. Se dotiamo O(3) della topologia indotta
da R9, si vede che le operazionidi prodotto di elementi del gruppo
e di calcolo dellinversa sono operazioni continue. In questosenso
O(3) e un gruppo topologico. Questa caratterizzazione in realta
vale per tutto il gruppodelle isometrie di uno spazio euclideo, ma
in questa sede ci occuperemo del solo sottogruppodelle rotazioni.
Rimanendo a livello di sottoinsiemi di uno spazio topologico,
osserviamo cheO(3) non e sicuramente un sottoinsieme connesso di
R9, dato che la funzione det : O(3) R econtinua ed assume valori
dati dallinsieme sconnesso {1,1}, mentre limmagine di un
insiemeconnesso secondo una funzione continua deve essere connesso.
Questo significa che i due sottoin-siemi SO(3) e ISO(3) devono
essere tra di loro sconnessi oltre che disgiunti. Si riesce anche
aprovare che ciascuno dei due insiemi e separatamente connesso.
Pertanto SO(3) e ISO(3) sonole (uniche due) componenti connesse di
O(3). La prima e lunica delle due che include lidentita.
17
-
Per concludere osserviamo che se una rotazione impropria come
una riflessione, S ISO(3)fosse connettibile a I con una curva
continua : [a, b] SO(3) con (a) = I e (b) = S, cioeuna curva
continua di rotazioni, vorrebbe dire che I e S apperterrebbero alla
stessa componenteconnessa di O(3) (perche limmagine ([a, b]) di
tale curva e connessa in quanto immagine diun connesso secondo una
funzione continua). Questo e falso come appena visto. In termini
piuintuitivi, abbiamo appena provato che le rotazioni improprie,
come le riflessioni attraverso unospecchio, sono operazioni fisiche
discontinue: non possono essere ottenute con una successionedi
piccole modifiche della figura iniziale, cioe con una successione
di rotazioni che differisconodi poco partendo dallidentita.
1.1.3 Il gruppo delle isometrie di En. Interpretazione passiva
delle isometrie.
Si dimostra abbastanza facilmente che, per un fissato spazio
euclideo En, la classe delle isometrie : En En costituisce un
gruppo rispetto alla legge di composizione di funzioni tale gruppo
edetto il gruppo delle isometrie di En. Quindi la composizione di
due isometrie e ancora talee linversa di una isometria, esiste
sempre, ed e unisometria. Possiamo dire qualcosa riguardoalla
struttura di tale gruppo. Se fissiamo un unico sistema di
coordinate cartesiane ortonormaliin En, in riferimento a tale
sistema di coordinate, come si prova facilmente, la forma piu
generaleper unisometria : En En che trasforma il punto generico P
En di coordinate (x1, . . . , xn)nel punto (P ) En, di coordinate
(x1, . . . , xn), e ancora data dalla (1.9) in cui i numeri realibi
e la matrice R sono fissati e dipendono da . Questo tipo di
trasformazioni sono dette attive,dato che agiscono spostando i
punti dello spazio. Come conseguenza di tale forma esplicitadegli
elementi del gruppo vediamo immediatamente che il gruppo delle
isometrie include comesottogruppi quello delle traslazioni e quello
delle rotazioni attorno ad un fissato punto (loriginedelle
coordinate scelte con la rappresentazione (1.9). Le isometrie dello
spazio fisico tridimen-sionale sono dunque tutte e sole le
rototraslazioni. Fissato un sistema di coordinate
cartesianeortonormali sono tutte e sole della forma (1.9)
interpretate come trasformazioni attive.Il fatto che il gruppo
delle isometrie contenga le traslazioni implica che il gruppo
agisca tran-sitivamente su En: per ogni coppia di punti P,Q En ce
unisometria (in particolare unatraslazione) che porta P in Q. Il
fatto che il gruppo contenga le rotazioni attorno ad un
puntoimplica che lazione del gruppo delle isometrie,
differentemente da quella delle sole traslazioni,non sia piu
libera: e falso che lunica trasformazione che lascia fisso un
fissato P En sia liden-tita, dato che ogni rotazione attorno a P lo
lascia fisso.Nel caso di n = 3, le isometrie di E3, dal punto di
vista fisico sono le operazioni che si possonoeseguire attivamente
sui corpi senza alterarne le proprieta metriche.Sottolineiamo che,
lavorando in un unico e fissato En, abbiamo ora interpretato
attivamentele trasformazioni isometriche (1.9), cioe come
trasformazioni dei punti di En in punti di En.Tuttavia le (1.9),
proprio come fatto in (2) di osservazioni 1.1, si possono
intepretare anchepassivamente cioe riferendole a due diversi
sistemi di coordinate cartesiane ortonormali in Ennei quali si
descrive lo stesso punto, che non viene spostato ma semplicemente
descritto dadue differenti sistemi di coordinate. Le (1.9)
descrivono come le coordinate di uno stesso puntoma riferite a
sistemi di coordinate cartesiane ortonormali sono collegate. Le due
intepretazioni
18
-
attiva e passiva sono entrambe usate nelle applicazioni
fisiche.
1.1.4 Lunghezze darco, aree e volumi, invarianti sotto il gruppo
delle isome-trie.
Nella costruzione delle teorie fisiche, non sono solo importanti
le distanze e gli angoli, ma anchealtri oggetti matematici come
aree e volumi. Non ci addentreremo nella discussione su comevengano
definite queste nozioni a partire dalla struttura di spazio
euclideo, ma ci limiteremo adesporre qualche semplice osservazione
generale.Le nozioni di area e di volume di insiemi misurabili nel
senso della misura di Peano-Jordan-Riemann possono essere costruite
a partire dalle sole nozioni di distanza ed angolo usate
perdefinire i rettangoli, i parallelepipedi e le loro misure di
superficie e volume in E2 ed E3. Lanozione si generalizza a
qualunque En. Risulta che, esattamente come la distanza, le misure
divolume in ogni En ottenute con la procedura di
Peano-Jordan-Riemann sono invarianti sottolazione delle isometrie
di En. In altre parole se, per esempio, facciamo agire una
trasformazione : En En del gruppo delle isometrie sullinsieme G En
che ammette volume vol(G)allora (G) ammette volume e vale vol((G))
= vol(G). Lapproccio piu sofisticato e potentebasato sulla teoria
della misura di Lebesgue richiede qualche accorgimento tecnico in
piu, marisulta comunque che la nozione di spazio euclideo En
individua naturalmente ed unicamenteuna nozione di misura (di
Lebesgue) invariante sotto il gruppo delle isometrie di En che
assegniil valore standard al volume degli n-rettangoli [a1, b1]
[an, bn] di En.Lassegnazione di un prodotto scalare in V permette
di definire, con una procedura del tuttoanaloga a quella che si
segue in Rn, la nozione di lunghezza di una curva rettificabile,
per curve : [a, b] En sufficientemente regolari. Discuteremo tale
nozione nel prossimo capitolo nel cason = 3. Nello stesso modo, nel
caso n = 3, lassegnazione del prodotto scalare di E3 permette
didefinire, con una procedura del tutto analoga a quella che si
segue in R3, la nozione di area diuna superficie rettificabile, per
superfici P = P (u, v) R3 sufficientemente regolari, con (u, v)che
variano in qualche insieme aperto di R2. Entrambe queste nozioni
sono, ancora, invariantisotto il gruppo delle isometrie del
corrispondente spazio euclideo.
1.1.5 Lo spazio fisico e lasse del tempo per un osservatore:
regoli ed orologiideali.
Ritorniamo ora al caso dello spazio fisico tridimensionale,
pensato come E3, e dellasse del tem-po, pensato come E1, esponendo
ancora alcune importanti osservazioni di carattere fisico.Dal punto
di vista fisico, la distanza, i prodotti scalari e gli angoli tra i
segmenti ed i vettori inE3, viene misurata con lassegnazione di una
classe di regoli rigidi ideali che si devono supporredisponibili in
ogni punto dello spazio ad ogni tempo. Le traslazioni, individuate
dai vettori v inE3, devono essere pensate come le traslazioni
fisiche dei corpi materiali. Devono quindi esisterecorpi (almeno i
regoli rigidi!) che siano metricamente invarianti per traslazioni
fisiche come loe la distanza d associata al prodotto scalare.
19
-
Ci si puo allora chiedere cosa intendiamo, dal punto di vista
fisico, quando parliamo della classedei regoli rigidi ideali e
della classe degli orologi ideali.Lidealita dei regoli e relativa
alla seguente proprieta che si assume valida per essi. Scelti
dueregoli arbitrariamente, essi risultano coincidere se sono in
quiete nello stesso posto in un arbi-trario riferimento e che
questo fatto permane anche dopo che i regoli hanno subito diverse
storie(incluse accelerazioni), una volta riportati in quiete
relativa in un arbitrario riferimento (anchediverso dal primo). Lo
stesso criterio si applica per la nozione di idealita di orologi
usati permisurare la distanza temporale sullasse del tempo: presi
due orologi essi risultano battere iltempo nello stesso modo quando
sono in quiete nello stesso posto in un riferimento e tale
fattopermane anche dopo che gli orologi hanno subito diverse
storie, una volta riportati in quieterelativa in un riferimento
(anche diverso dal primo e anche se non risultano piu essere
sincroniz-zati se lo erano inizialmente).E importante precisare che
non e possibile usare lo stesso tipo di strumento di misura a
tuttele scale: per esempio non possiamo misurare le distanze
astronomiche, ma neppure le distanzeintermolecolari con un regolo
rigido lungo un metro. Sono necessari diversi tipi di strumentiper
le corrispondenti differenti scale. Il fatto che questi diversi
tipi di strumenti di misura dellastesso tipo di grandezza fisica
che lavorano per esempio su scale diverse, si comportino in
ma-niera coerente, per esempio fornendo lo stesso risultato su
scale intermedie dove possiamo usarestrumenti di classe diverse
contemporaneamente, corrisponde allidea che esista una
geometriaindipendente dagli strumenti di misura. Questo fatto, che
dobbiamo considerare unevidenzasperimentale, non e per nulla ovvio
anche se lo riteniamo del tutto naturale dato che lo verifi-chiamo
direttamente ed indirettamente nellesperienza di tutti i giorni.Una
discussione del tutto analoga puo essere svolta riguardo allasse
del tempo ed agli orologiideali.Dal punto di vista fisico e
importante notare che da tempo si specula sulla eventuale naturanon
continua dello spazio e del tempo stesso a scale molto piccole
(scale di Planck 1033cme 1043s) in cui dovrebbe valere una qualche
forma di Quantum Gravity. A tali scale la strut-tura classica dello
spazio e del tempo qui discussa in questo capitolo, ma anche una
strutturapiu indebolita nella nozione di varieta differenziabile
(come nelle teorie relativistiche generali)cesserebbe di essere
fisicamente appropriata.
Osservazioni 1.3. *Le nozioni di idealita per regoli ed orologi
descritte sopra sono valideanche in fisica relativistica benche
richiedano maggiore cautela nella costruzione di corrispon-denti
enti matematici. In generale, abbandonando la formulazione
classica, la nozione di spaziodi quiete con un osservatore o un
riferimento e piu complicata da descrivere matematicamentee non e
piu concepita in termini di uno spazio euclideo nel senso appena
visto, ma e descrittada una varieta differenziabile di dimensione 3
dotata di una metrica positiva: una 3-varietariemanniana. I regoli
ideali devono allora essere pensati, in tale contesto, come
rappresentatida vettori (infinitesimi) nello spazio tengente alla
varieta, traspostati da un punto ad un altrotramite la procedura di
trasporto parallelo rispetto alla connessione di Levi-Civita. Il
tentativodi interpretare i regoli come veri sottoinsiemi della
varieta (corrispondenti ai segmenti finiti deglispazi euclidei)
contrasterebbe con lassenza di un gruppo di isometrie che agisce
transitivamente
20
-
per una varieta riemanniana generica non a curvatura costante:
non ci sarebbe modo di descri-vere le operazioni di trasporto
fisico di un regolo da un posto ad un altro, senza alterarne
ledimensioni. Si deve infine notare che la geometria dello spazio
di quiete, in questo contesto, puodipendere dal tempo.
1.1.6 Orientazione di spazi euclidei e prodotto vettoriale.
Lo spazio delle traslazioni V di uno spazio euclideo En, o piu
generalmente di uno spazio affineAn, e per sua natura orientabile.
Ricordiamo questa importante nozione. Se B denota la classedi tutte
le basi di V , e A,B B, con A = {e(A)r }r=1,2,...,n e B = {e(B)r
}r=1,2,...,n, denotiamo conM(A,B) la matrice n n di passaggio da
una base allaltra, cioe la matrice i cui coefficientiM(A,B)j i sono
dati da
e(A)i =
nj=1
M(A,B)j ie(B)j .
Dato che M(A,B) e non singolare, il determinante deve essere non
nullo e, di fatto, puo esseresia positivo che negativo. La
relazione
A,B B , A B se e solo se detM(A,B) > 0
risulta essere una relazione di equivalenza con due sole classi
di equivalenza. La classe B vienenaturalmente decomposta nellunione
di tali due classi disgiunte. La scelta di una delle dueclassi, che
viene detta classe delle basi ad orientazione positiva, e
unorientazione di V edello spazio euclideo (o affine)
associato.
Osservazioni 1.4. Nel caso di uno spazio euclideo E3, nel quale
ricade il nostro spazio fisico,le due classi di equivalenza di basi
sono dette classe delle basi destrorse e classe delle basi
si-nistrorse. La prima classe di equivalenza e quella che include
la terna individuata dalla nostramano destra, costituita,
nellordine, da pollice, indice, medio. La seconda e definita
analoga-mente rispetto alla mano sinistra. Si e soliti scegliere
come terne con orientazione positiva leterne destrorse, e noi
seguiamo questa convenzione.
Nel caso di E3 orientato, lorientazione dello spazio euclideo
individua anche unorientazionedelle rotazioni attorno ad un fissato
asse di rotazione u. Una rotazione R SO(3) di un angolo (0, 2)
attorno ad u e detta positiva, se, fissato un vettore v 6= u,0, la
terna v, Rv,ue destrorsa. Nel caso di E3 orientato, il prodotto
vettoriale tra due vettori u,v V cheindividuano un angolo [0, ], e
, come ben noto, definito dal vettore u u V di modulo||u|| ||v||
sin, di direzione normale a u e v e di verso scelto in modo tale
che u ,v ,u v siauna terna destrorsa (se nessuno dei vettori ha
modulo nullo).Ricordiamo che lapplicazione : V V V e lineare
nellargomento di sinistra:
(au + bv) w = a(u w) + b(v w) per ogni a, b R e ogni u, v, w V
,
21
-
ed antisimmetrica:u v = v u per ogni u,v, V ,
di conseguenza e anche lineare nellargomento di
destra.Loperazione non e associativa. In altre parole, escludendo
casi particolari nella scelta dei trevettori:
(u v) w 6= u (v w)
La definizione che abbiamo dato sopra di prodotto vettoriale
definizione e equivalente alla regoladel determinante
u u = (u2v3 u3v2)e1 (u1v3 u3v1)e2 + (u1v2 u2v1)e3 ,
purche la base e1, e2, e3 di V sia ortonormale destrorsa, e u
=3j=1 u
jej e v =3j=1 v
jej .Lasciamo le dimostrazioni di tutti questi fatti al lettore
per esercizio. Esiste una definizione al-ternativa di prodotto
vettoriale, basata sulla nozione di pseudovettore, che noi non
adopereremo.
Esercizi 1.3.1. Sia En uno spazio euclideo e d la sua distanza.
Fissato un punto O En, si identifichino
(biunivocamente) i vettori dello spazio V delle traslazioni di
En con i punti di En tramite lacorrispondenza u 7 O + u. Provare
che il prodotto scalare su V si puo scrivere in termini did
come:
u v = 12d (O,O + (u + v))2 +
1
2d (O,O + (u v))2 . (1.10)
2. Siano En1 e En2 , due spazi euclidei con la stessa dimensione
n, con distanze d1 e d2 rispet-tivamente e prodotti scalari (|)1 e
(|)2 rispettivamente. Sia : En1 Em2 una trasformazioneaffine.
Provare che d conserva il prodotto scalare tra vettori (e quindi
anche langolo travettori), ossia, per ogni fissato Q E31:
((P ) (Q)|(P ) (Q))2 = (P Q|P Q)1 , P, P E31 . (1.11)
se e solo se conserva le distanze, cioe
d2((P ), (Q)) = d1(P,Q) , P,Q E31 . (1.12)
3. Siano En1 e En2 due spazi euclidei con la stessa dimensione e
con distanze d1 e d2 rispet-tivamente. Mostrare che la
trasformazione : En1 En2 e un isometria se e solo se, per unascelta
(e quindi ogni scelta) di coordinate cartesiane ortonormali in En1
e En2 , e rappresentatanella forma (i = 1, . . . , n)
xi2 =nj=1
Rij xj1 + b
j . (1.13)
essendo la matrice di coefficienti Rij una matrice ortogonale n
n reale.4. Dati due spazi affini An e Am, unapplicazione : An Am e
detta diffeomorfismo,
se e (1) biettiva ed inoltre (2), quando si rappresentano e 1 in
coordinate cartesiane in
22
-
An e Am e quindi si pensano come funzioni da Rn in Rm e Rm in Rn
rispettivamente, talifunzioni risultano essere ovunque
infinitamente differenziabili (cioe di classe C). Considerandole
isometrie tra due spazi euclidei, mostrare che:
(i) le isometrie tra due spazi euclidei con la stessa dimensione
sono diffeomorfismi;(ii) le funzioni inverse di isometrie sono
ancora isometrie;(iii) la composizione di due isometrie e ancora
unisometria;(iv) se : En1 En2 e un isometria, allora d : V1 V2 e un
isomorfismo tra spazi vettoriali
che conserva il prodotto scalare.5. Mostrare che le isometrie :
En En costituiscono un gruppo che e sottogruppo dei
diffeomorfismi dallo spazio euclideo En in se stesso.6.*
Dimostrare il teorema 1.1.
1.2 Introduzione alla nozione di varieta differenziabile.
Premettiamo la seguente definizione tecnica che enunciamo qui
una volta per tutte e che useremoin tutte le dispense.
Definizione 1.6. Siano n,m = 1, 2, . . . e k = 0, 1, . . .
fissati e sia Rn un insieme apertoe non vuoto.(a) Una funzione f :
Rm e detta essere di classe Ck, e si scrive in tal caso f
Ck(;Rn),se tutte le derivate parziali (incluse quelle miste) delle
componenti di f esistono e sono continuefino allordine k incluso.
Si pone Ck() := Ck(;R).(b) f : Rm e detta di classe C se e di
classe Ck per ogni k = 0, 1, . . . e si definisce:
C(;Rn) :=
k=0,1,...
Ck(;Rn) .
Si pone C() := C(;R).
Solitamente quando non e menzionata esplicitamente la classe di
differenziabilita k di una fun-zione oppure di una varieta
differenziabile nozione che stiamo per introdurre si
sottointendeche k =. Noi seguiamo questa convenzione in tutte le
dispense.
Lo strumento matematico piu generale e potente atto a descrivere
le proprieta generali dellospazio fisico tridimensionale, dello
spaziotempo, e dello spazio astratto in cui descrivere i siste-mi
fisici delle teorie classiche, e la nozione di varieta
differenziabile. Si tratta, in essenza, diun insieme M di oggetti
arbitrari (per esempio i punti su una superficie in R3, benche
questoesempio sia estremamente limitativo), indicati con il nome
generico di punti, che puo essere ri-coperto localmente con sistemi
di coordinate : U Rn dove il numero n non deve dipenderedalla
porzione U di M considerata e lunione di tutti i domini U coincide
con M . In questomodo le varie porzioni U di M ricoperte da un
corrispondente sistema di coordinate possonoessere messe,
separatamente, in corrispondenza biunivoca con corrispondente
porzioni (U) di
23
-
Rn: le funzioni : U (U) Rn sono cioe assunte essere biettive,
come e proprio nellideadi sistema di coordinate. Quando due sistemi
di coordinate (U,) e (V, ) ricoprono por-zioni distinte che hanno
un intersezione non vuota: U V 6= , su tale intersezione
possiamousare indifferentemente oppure . Si richiede allora che, in
tale situazione, i due sistemi dicoordinate soddisfino una semplice
condizione di compatibilita: le funzioni 1 e 1,rispettivamente
definite su (U V ) Rn e (U V ) Rn devono essere differenziabili
concontinuita fino ad un certo ordine k che non dipende dalla
scelta di U e V .In questo modo (con ulteriori precisazioni su
ulteriori richieste che faremo di seguito), linsiemeM puo essere
trattato localmente come se fosse Rn, anche se non e Rn.
Conseguentemente,sullinsieme M possono essere definite per
estensione alcune nozioni matematiche fondamentaliin fisica
originariamente definite solo su Rn. In particolare puo essere
precisata la nozione difunzione o curva differenziabile definita in
M . In questo modo puo essere sviluppata la teoriadelle equazioni
differenziali in M per descrivere le equazioni di evoluzione di
sistemi fisici vinco-lati a vivere in M : si pensi al caso in cui M
e una superficie su cui evolve un punto materialevincolato ad essa,
oppure il caso in cui M e lo spaziotempo ed il sistema fisico che
evolve in essodescritto in termini di equazioni differenziali e un
campo elettromagnetico.Per rendere operativa la definizione di
varieta differenziabile, data sopra discorsivamente, sononecessarie
ancora alcune richieste topologiche. Perche abbia senso discutere
della differenziabi-lita delle funzioni 1 e 1 e richiesto che tali
funzioni siano definite su insiemi apertidi Rn. Per questo motivo
si assume fin dal principio, che gli insiemi U domini dei vari
sistemidi coordinate siano insiemi aperti di Rn. Dato che le
funzioni sono biettive, i sottoinsiemiaperti di (U) Rn saranno
trasformati tramite 1 in sottoinsiemi di U , si puo provare chela
classe di tutti i sottoinsiemi che si ottengono in questo modo su M
, anche al variare di U e ,individua una topologia naturale di M
richiedendo che le varie funzioni : U (U) risultinoessere continue
con inverse continue cioe, in gergo, omeomorfismi locali pertanto e
natura-le assumere che M sia uno spazio topologico fin dal
principio e che le varie funzioni sianocontinue con inversa
continua. Infine, sulla topologia di M si impongono due ulteriori
richiesteche necessitano un richiamiamo tecnico (altre nozioni di
topologia elementare sono richiamatebrevemente in appendice).
Uno spazio topologico M e detto essere di Hausdorff se, per ogni
scelta di p, q M esistonodue insiemi aperti Up, Uq tali che Up 3 p,
Uq 3 q e Up Uq = . Rn e tutti gli spazi affini Andotati della
topologia indotta da Rn da qualunque sistema di coordinate
cartesiane (la topologiaottenuta in questo modo non dipende dal
sistema di coordinate cartesiane scelto) sono sicura-mente spazi di
Hausdorff. In quel caso, i due insiemi Up e Uq possono sempre
essere scelti comepalle (in coordinate) aperte, centrate su p e q
rispettivamente, di raggi sufficientemente piccoli.
Uno spazio topologico si dice avere base numerabile se esiste
una classe numerabile di insiemiaperti tale che ogni altro insieme
aperto possa essere costruito come unione di alcuni elementidi
della classe. Rn e tutti gli spazi affini An dotati della topologia
precisata sopra sono a basenumerabile (la classe numerabile di
aperti puo sempre essere scelta, una volta fissato un sistemadi
coordinate cartesiane, come la classe delle palle aperte di raggio
razionale centrate in punti
24
-
di coordinate razionali).
Definizione 1.7. Una varieta differenziabile di dimensione n e
classe Ck, con n =1, 2, 3, e k = 1, 2, ..., fissati, e un insieme M
i cui elementi sono detti punti, dotato dialcune strutture
geometriche con proprieta che precisiamo di seguito.(1) Linsieme M
deve essere dotato di una struttura differenziabile di classe Ck e
dimen-sione n, A = {(Ui, i)}iI cioe, una collezione di coppie (Ui,
i), dette carte locali o sistemidi coordinate locali, in cui Ui e
sottoinsieme di M e i e unapplicazione con dominio Ui avalori in Rn
e vale:
(i) iIUi = M , ogni i e iniettiva e i(Ui) aperto in Rn;(ii) le
carte locali in A devono essere Ck-compatibili a due a due. Due
applicazioni iniettive
: U Rn e : V Rn con U, V M sono dette Ck-compatibili (o piu
brevementek-compatibili) se vale U V 6= e le funzioni 1 : (U V ) (U
V ) e 1 :(U V ) (U V ) sono entrambe di classe Ck, oppure se vale U
V = ;
(iii) A e massimale ossia soddisfa: se U M e aperto e : U Rn e
compatibile con ognicarta di A, allora (U, ) A.(2) Dal punto di
vista topologico, si richiede che:
(i) M sia uno spazio topologico di Hausdorff a base
numerabile;(ii) lo spazio topologico M sia, tramite le carte di A,
localmente omeomorfo a Rn. In altre
parole, se (U, ) A, allora U e aperto e : U (U) e un
omeomorfismo, cioe una funzionecontinua con inversa continua.
In base alla definizione data, ogni carta locale (U, ) su una
varieta differenziabile M permettedi assegnare biunivocamente una
n-pla di numeri reali (x1p, , xnp ) = (p) ad ogni punto p diU . Gli
elementi della n-pla sono le coordinate di p nella carta (U, ). I
punti in U sono quindiin corrispondenza biunivoca con le n-ple di
(U) Rn. Una carta locale con dominio dato datutto M e detta carta
globale o sistema di coordinate globale.Eccetto varieta molto
particolari, nel caso generale non e possibile individuare una
carta chericopra completamente una generica varieta. Possiamo dire,
in termini generali, che lesserericopribile con piu carte locali e
la proprieta che meglio caratterizza la nozione di varieta
o,almeno, e la ragione fondamentale per la quale e stata inventata
questa nozione matematica: ilpoter trattare oggetti che sono
localmente, ma non globalmente, identificabili con porzioni diRn e
tale identificazione puo essere assegnata in vari modi distinti
tutti ugualmente leciti.Una collezione di carte locali A su M
(spazio topologico di Hausdorff a base numerabile) chesoddisfi (i)
e (ii) in (1) ma non necessariamente (iii), e che soddisfi (ii) in
(2), e detto atlantesu M di dimensione n e classe Ck. Si dimostra
facilmente che per ogni atlante A su M esisteun unico atlante
massimale che lo include. Si osservi che due atlanti su M tali che
ogni carta diuno sia compatibile con ogni carta dellaltro, inducono
la stessa struttura differenziabile su M .Quindi per assegnare una
struttura differenziabile e sufficiente assegnare un atlante non
mas-simale, uno dei possibili che la individua. Lunica struttura
differenziabile associata nel mododetto ad un fissato atlante si
dice essere indotta dallatlante.
25
-
Esempi 1.1.1. Lesempio piu semplice ed in un certo senso piu
ovvio e inutile di varieta differenziabile,di classe C e dimensione
n, e ogni sottoinsieme non vuoto e aperto di Rn (includendo
Rnstesso) con una struttura differenziabile standard individuata
dalla funzione identita (che dasola definisce un atlante).
Similmente, ogni spazio affine An ammette una struttura naturaledi
varieta differenziabile (di classe C) dalla classe di sistemi di
coordinate globali naturali, tradi loro compatibili dei sistemi di
coordinate cartesiane come definiti nella definizione 1.2.
Talestruttura naturale di varieta differenziabile e esplicitamente
discussa in appendice nella sezioneA.3.1.2. Si consideri sfera
unitaria S2 (dotata della topologia ereditata da R3) in R3,
centratanellorigine e quindi di equazione, in coordinate canoniche
x1, x2, x3 di R3:
S2 :={
(x1, x2, x3) R3 (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1} .
S2 acquista una struttura di varieta differenziabile, di
dimensione 2 e classe C, da quella diR3, definendo un atlante su S2
costituito da 6 carte locali (S2(i),
(i) ) (i = 1, 2, 3) ottenute come
segue. Considerato lasse xi (i = 1, 2, 3) e la coppia di
emisferi aperti S2(i) con asse sud-nord
dato dallasse xi, si considerano le carte locali (i) : S2(i)
R
2 che associano ad ogni p S2(i) lecoordinate di esso sul piano a
xi = 0. Si puo provare (vedi sotto) che e impossibile dotare S2
diuna carta globale a differenza di R3 (o di ogni suo sottoinsieme
aperto). Questo fatto dimostrache la classe delle varieta
differenziabili non si riduce ai soli sottoinsiemi non vuoti aperti
degliRn ed e pertanto interessante. Unesempio analogo e quello di
una circonferenza in R2.3. Consideriamo R3 e la relazione di
equivalenza (x, y, z) (x, y, z) se e solo se (x, y, z) =(x + k, y +
h, z + l) con k, h, l Z. Linsieme, T3, che si ottiene corrisponde
intuitivamentead un cubo di lato 1 in cui sono state identificate
le facce opposte. Questo insieme puo esseredotato, in modo
naturale, di una struttura di varieta differenziabile (di classe C)
di dimensione3 e non esiste nessuna carta globale per tale varieta
differenziabile. La topologia su tale spazio edefinita richiedendo
che gli aperti di T3 sono tutti e soli i sottoinsiemi di T3 la cui
controimma-gine secondo la proiezione canonica R3 3 (x, y, z) 7
[(x, y, z)] T3 sia un insieme aperto di R3(e quindi, in particolare
e continua). Questa topologia rende lo spazio T3 di Hausdorff ed
abase numerabile come si prova facilmente. Per ogni punto p (0,
1)3, una carta locale su T3 cheinclude il punto nel sui dominio e
lapplicazione che associa al punto le solite coordinate (x, y, z)di
R3. Per un punto q che si trova su una faccia del cubo [0, 1]3,
diciamo per fissare le idee, cheq si trova sulla faccia del cubo
con x = 0 (che e equivalente a dire x = 1), una carta locale suT3
che include q nel dominio e data dalla solita funzione che associa
al punto le sue coordinatesu R3 ristretta al dominio 1/2 < x
< 1/2, y, z (0, 1). Si deve infatti tenere conto che i valoriin
(1/2, 0) per la coordinata x individuano comunque punti in T3 a
causa dellidentificazionex+ k x con k Z.
Osservazioni 1.5.(1) Ci si puo chiedere a cosa servono le
richieste in (2)(i) sulla topologia di una varieta diffe-renziabile
M , di essere spazio di Hausdorff a base numerabile. Entrambe le
richieste sono di
26
-
carattere tecnico e, come si puo provare con opportuni
controesempi, sono indipendenti dallerimanenti richieste della
definizione. La proprieta di Hausdorff assicura per esempio
lunicitadi limiti e conseguentemente lunicita di soluzioni di
equazioni differenziali, per esempio descri-venti levoluzione di
sistemi fisici, formulata su varieta differenziabili (e questo sara
largomentotecnico generale del resto di queste dispense). La
richiesta di base numerabile invece e menoutile a livello
elementare, ma serve per poter estendere, per esempio, il calcolo
integrale di vo-lumi e superfici alle varieta differenziabili
(assicurando, insieme alle altre ipotesi, la cosiddettaproprieta di
paracompattezza).(2) Se (U, ) e (V, ) sono carte locali sulla
varieta differenziabile M di classe Ck, nellipo-tesi U V 6= , la
k-compatibilita di carte locali (U, ) e (V, ) implica che la
matrice jaco-biana di 1, essendo invertibile, abbia determinante
ovunque non nullo. Viceversa, se 1 : (U V ) (U V ) e biettiva, di
classe Ck, con determinante della matrice jaco-biana non nullo su
(U V ), allora 1 : (U V ) (U V ) e anchessa Ck e quindile due carte
locali sono k-compatibili. La prova di cio (esercizio A.1.5 ) si
basa sul noto [GiustiII]:
Teorema 1.2. (Teorema della funzione inversa )Sia f : D Rn, con
D Rn aperto non vuoto, una funzione di classe Ck, con k = 1, 2, . .
. ,fissato. Se la matrice jacobiana di f , valutata in p D, ha
determinante non nullo allora esi-stono un intorno aperto U D di p
ed un intorno aperto V di f(p) tali che: (i) f U : U Vsia biettiva
(ii) la sua inversa f 1U : V U sia di classe Ck.
(3) Si puo provare che se 1 k
-
funzioni f 1 sono di classe Cp come funzioni da Rn in Rm per
ogni carta locale (U, ) suM ed ogni carta locale (V, ) su N per cui
la composizione f 1 ha senso.In particolare, in questo modo
acquista senso la nozione di curva differenziabile: : I N ,dove I =
(a, b) R e pensato come varieta differenziabile rispetto alla
struttura naturale divarieta differenziabile che ammette.Se f : M N
e una funzione differenziabile (di classe Ck) e sono assegnate
carte locali(U, ), (V, ), rispettivamente in N e M , la funzione f
1 e detta rappresentazionein coordinate di f .Per concludere
precisiamo che un diffeomorfismo (di ordine k) f : M N tra due
varieta dif-ferenziabili e una funzione iniettiva e suriettiva
differenziabile (fino allordine k) la cui inversa edifferenziabile
(fino allordine k). Nel caso esista un diffeomorfismo (di ordine k)
tra due varietaesse sono dette diffeomorfe (allordine k, rispetto a
quel diffeomorfismo).
Osservazioni 1.6.Si dimostra facilmente che, affinche f : M N
sia Cp, e sufficiente che f 1 siano funzioniCp al variare delle
carte locali (U, ), (V, ) in due atlanti, rispettivamente su M ed N
, senzadover controllare la validita di tale condizione per tutte
le possibile carte locali delle due varieta.
Esempi 1.2.(1) Rn e la palla aperta di raggio 1 centrata
nellorigine Bn Rn sono varieta differenziabilidiffeomorfe. In
questo caso la struttura differenziabile di Rn e di Bn sono quelle
naturali riferitealle coordinate cartesiane standard di Rn
(ristrette a Bn per quanto riguarda la varieta Bn) che,da sole,
costituiscono rispettivi atlanti C. Un diffeomorfismo che
identifica Bn a Rn e, peresempio, la funzione biettiva C con
inversa C:
f : Bn 3 x 7 x1 ||x||2
Rn .
Ulteriori nozioni di geometria differenziale che saranno
talvolta usate nel seguito si trovanonellAppendice.
28
-
Capitolo 2
Lo Spaziotempo della Fisica Classicae la Cinematica
Classica.
In questo capitolo introduciamo la struttura dello spaziotempo
della fisica classica, la nozionedi sistema di riferimento e la
cinematica assoluta e relativa elementare.
2.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio
assolutie linee di universo.
Abbiamo visto nel capitolo precedente che lo spazio ed il tempo
della fisica classica possonoessere modellizzati come spazi
euclidei, quindi dotati di proprieta metriche che rappresentano,in
termini matematici, gli strumenti di misura. Nella descrizione data
nel capitolo precedentemanca pero un ingrediente fenomenologico
essenziale: lesperienza fisica ci insegna che corpi chesono in
quiete per un osservatore, non lo sono per altri. In generale
possiamo affermare cheesistono differenti nozioni di quiete a
seconda dellosservatore dove per osservatore inten-diamo qui e nel
seguito un sistema di strumenti di misura senza la necessita di
alcuna attivitacosciente. Ogni osservatore ha il proprio privato
spazio di quiete. Daltra parte esiste un secondodato sperimentale
della massima importanza: malgrado un corpo possa essere in quiete
rispettoad un osservatore e non esserlo rispetto ad un altro, le
dimensioni fisiche di (lunghezze, aree,volumi, angoli) di un
fissato corpo fisico risultano essere le stesse per tutti gli
osservatori.Similmente, magrado due fissati eventi appaiano
accadere in posti e tempi differenti a secondadellosservatore, la
durata dellintervallo temporale tra i due eventi risulta essere la
stessa pertutti gli osservatori. In questo senso, le strutture
metriche, spaziali e temporali sono assolute:non dipendono dagli
osservatori1.Nel seguito presenteremo una sistemazione teorica a
questo stato di cose fenomenologico chedeve contemplare, nello
stesso schema, la possibilita di avere diverse nozioni di spazio di
quiete
1Come ben noto questo stato di cose e solo un approssimazione e
cessa di valere in modo evidente quando levelocita in gioco sono
paragonabili con la velocita della luce che e di circa 300.000
km/s; in tal caso e necessariauna descrizione relativistica che e
fuori dalla portata di queste dispense.
29
-
insieme allassolutezza delle delle nozioni metriche. Lo
strumento concettuale di cui faremo usoe quello di spaziotempo, che
andiamo immediatamente ad introdurre.
Un postulato fisico fondamentale, comune alle teorie fisiche
classiche e relativistiche, e quelloche afferma che tutto cio che
accade sia decomponibile in eventi. Un evento, dal punto di
vistafisico corrisponde alla minima determinazione spaziotemporale
possibile, individuabile dallas-segnazione di tre coordinate
spaziali ed una temporale. Tali assegnazioni sono relative ai
diversiosservatori, intesi qui come puri sistemi di riferimento
(non e richiesta alcuna attivita cosciente!).Linsieme degli eventi
costituisce lo spaziotempo. Deve essere chiaro da subito che ogni
eventoe lo spazio tempo stesso hanno comunque una natura
indipendente e pre-esistente alle loro rap-presentazioni, in
termini di coordinate spaziotemporali, date nei singoli sistemi di
riferimento.In questo framework, tutto cio che accade deve
ammettere una descrizione in termini di relazionio coincidenze tra
eventi.Si assume ulteriormente che lo spaziotempo abbia una natura
topologica tecnicamente la natu-ra di spazio topologico di
Hausdorff a base numerabile ed una soprastante natura
differenziabile tecnicamente cio corrisponde alla presenza di una
struttura di varieta differenziabile quadridi-mensionale,
sostanzialmente una classe di sistemi di coordinate nellintorno di
ogni evento cheidentificano tale intorno con un corrispondente
intorno di R4.La struttura topologica permette in particolare (ma
non solo) di dare senso alle nozioni di vi-cinanza o prossimita
spaziale e temporale. La richiesta che la topologia sia di
Hausdorff hauna motivazione fisica profonda. A causa degli errori
sperimentali degli strumenti di misura,ogni determinazione
spaziotemporale e solo approssimativamente precisa. Possiamo
conoscerela posizione temporale e spaziale di un evento solo con
una certa approssimazione. In terminimatemamatici, possiamo solo
individuare intorni di eventi e non gli eventi stessi. Tali
intornisono determinati dalle imprecisioni piccole a piacere, ma
non nulle, degli strumenti di misuradi spazio e tempo. Il fatto che
la topologia dello spaziotempo sia di Hausdorff significa che
pos-siamo in ogni caso distinguere due eventi facendo misure
sufficientemente precise, anche se noninfinitamente precise.La
struttura differenziabile permette di dare senso alla nozione di
curva e funzione differenzia-bile (rispetto alle coordinate)
definite nello spaziotempo. Come vedremo tra poco, si possonoin tal
modo introdurre le nozioni di velocita ed accelerazione, per
descrivere levoluzione dipunti materiali. La struttura
differenziabile dello spaziotempo permette, molto piu in genera-le,
di descrivere in termini di equazioni differenziali le equazioni
che determinano levoluzionespaziotemporale di sistemi fisici
classici (e relativistici), siano essi discreti (sistemi di punti)
ocontinui (fluidi o campi). Lesistenza e lunicita delle soluzioni
di tali equazioni (in presenza dicondizioni iniziali e/o al
contorno) corrisponde al postulato fisico classico del
determinismo. Iteoremi di esistenza ed unicita sono strettamente
connessi alla struttura topologica (non solodifferenziabile) dello
spaziotempo.Considerando esplicitamente il caso dello spaziotempo
classico, lo spaziotempo include due strut-ture ulteriori: il tempo
assoluto e lo spazio assoluto. Il termine assoluto si riferisce
allindipen-denza dai possibili sistemi di riferimento delle misure
di angoli, distanze ed intervalli temporali.
30
-
b
b
b
b
bV4
t P
dt(P,Q)
Q
t0P
dt0(P, Q)
Q
Figura 2.1: V4 e due spazi assoluti a tempo fissato
Definizione 2.1. (Lo spaziotempo della fisica classica.) Lo
spaziotempo della fisicaclassica e una varieta differenziabile
quadridimensionale (di classe C) indicata con V4. I puntidi V4 sono
detti eventi.V4 e dotato di una funzione privilegiata definita a
meno di una arbitraria costante additiva,T : V4 R, detta tempo
assoluto che si richiede essere differenziabile, suriettiva e
ovunquenonsingolare (definizione A.5). Si suppone inoltre che:
(i) ciascuno dei sottoinsiemi a due a due disgiunti: t :={p V4 |
T (p) = t
}, detta spazio
assoluto al tempo t R, abbia una struttura di spazio euclideo
tridimensionale (con spaziodelle traslazioni Vt e prodotto scalare
(|)t).
(ii) Le strutture geometriche sulle t devono essere compatibili
con la struttura differenzia-bile di V4. In particolare, se dt : t
t R, detta (funzione) distanza assoluta al tempot, e la distanza su
t associata alla struttura di spazio euclideo, la funzione R t t
3(t, P,Q) 7 dt(P,Q) deve essere ovunque continua, ed anche
differenziabile per P 6= Q.
Dal punto di vista fisico e importante ricordare che attualmente
si specula sulla eventuale na-tura non continua dello spaziotempo
stesso a scale molto piccole (scale di Planck 1033cm e1043s) in cui
dovrebbe valere una qualche forma di Quantum Gravity. A tali scale
la strutturatopologico-differenziabile classica descritta nella
definizione 2.1 cesserebbe di essere
fisicamenteappropriata.Tornando alla descrizione classica basata
sulla definizione 2.1 possiamo dire che, dal punto divista
fisico-operativo, un punto materiale e un sistema fisico la cui
posizione e determinata,istante per istante, assegnando solo tre
coordinate spaziali. Il fatto che un sistema fisico sia o
noassimilabile ad un punto materiale, trascurandone leventuale
struttura interna, puo dipenderedalla precisione dei nostri
strumenti di misura e dal grado di approssimazione scelto.
Levoluzio-ne temporale di un punto materiale nello spaziotempo
costituisce un oggetto elementare dettostoria o linea di universo
(di un punto materiale). Formalmente possiamo dare la seguente
de-finizione.
Definizione 2.2. (Linea di universo o storia.) Una storia o
linea di universo (di un
31
-
V4
1 2
t
t0
Figura 2.2: Due linee di universo in V4
punto materiale) e una curva differenziabile
I 3 t 7 (t) V4 ,
dove I e un intervallo aperto di R che puo essere identificato
con un intervallo di tempo assoluto,nel senso che vale, per qualche
costante c R, in generale dipendente da ,
T ((t)) = t+ c , t I. (2.1)
Osservazioni 2.1.(1) Si devono notare alcuni fatti su T . In
primo luogo T e definita a meno di una costanteadditiva, cio
corrisponde al fatto fisico evidente di poter fissare lorigine
convenzionale del tempoa nostro piacimento. La costante c che
appare nella definizione 2.2 esprime la possibilita dicambiare tale
origine. Il fatto che non siano ammesse dilatazioni di T significa
che e stato fattauna scelta universale dellunita di misura del
tempo. Dal punto di vista fisico lesistenza di untempo assoluto
equivale a dire che e stata assunta lesistenza di orologi ideali,
disponibili in ognipunto dello spaziotempo, che misurino tale
tempo.(2)* Le t sono sottovarieta embedded di dimensione 41 = 3 per
il teorema dei valori regolari,teorema A.2 nellappendice, essendo T
ovunque non singolare. Quindi se p t esiste una cartalocale (U,) in
V4 con : U 3 q 7 (x1(q), x2(q), x3(q), x4(q)) (U) R4 tale che p U
elinsieme U t e descritto in coordinate da tutte e sole le quaterne
(x1, x2, x3, x3) (U) tali
32
-
che x4 = 0. La mappa : U t 3 q 7 (x1(q), x2(q), x3(q)) R3
definisce una carta localesu t nellintorno di p e tutte le carte
costruite analogamente attorno ai punti di t partendoda carte in V4
sono tra di loro C compatibili (essendo tali le carte locali su V4
di cui sonorestrizione) e formano quandi un atlante che rende t una
varieta differenziabile di dimensione3. Tale struttura
differenziabile su t e per costruzione indotta da quella di
V4.Riguardo alla struttura di spazio euclideo delle t, la richiesa
di essere compatibile con lastruttura globale di V4 significa che
la struttura differenziabile associata alla struttura di
spazioaffine e quella dovuta al fatto che t e sottovarieta embedded
coincidono. In altre parole i sistemidi coordinate cartesiani
tridimensionali su t sono C
compatibili con i sistemi di coordinatelocali indotti su t da
V4(3) Per costruzione valgono i fatti seguenti riguardati gli spazi
assoluti.
(a) La suriettivita di T assicura che t 6= per ogni t R.(b) Per
definizione, se t 6= t, gli spazi assoluti associati sono
disgiunti:
t t = .
(c) Dato che T e definito su tutto lo spaziotempo, per ogni p V4
esiste t R con t 3 p.Pertanto
V4 = tRt .
In definitiva lo spaziotempo e fogliato dagli spazi assoluti e
coincide con lunione di essi.(4) Ogni spazio assoluto t e dunque
uno spazio euclideo tridimensionale reale. Dal punto divista
fisico, la distanza dt, e quindi i prodotti scalari e gli angoli
tra i segmenti in t, vienemisurata con lassegnazione di una classe
di regoli rigidi ideali che si devono supporre disponibiliin ogni
punto dello spaziotempo. Le traslazioni indotte dai vettori v in t
devono essere pensatecome le traslazioni fisiche dei corpi
materiali.(5) Abbiamo definito le nozioni di distanza ed intervallo
temporale indipendentemente dallanozione di sistema di riferimento
che dobbiamo ancora introdurre. Proprio per tale fatto lanozione di
distanza e di lunghezza di un intervallo temporale sono
assoluti.(6) Nella definizione di linea di universo, il requisito T
((t)) = t+c per ogni t I assicura che iltempo assoluto possa essere
usato come parametro per descrivere la linea di universo, ma
ancheche una linea di universo non possa intersecare piu di una
volta lo stesso spazio assoluto t perogni fissato valore di t2 (e
non possa in particolare autointersecarsi). Come conseguenza
delvincolo posto, risulta che il punto materiale, di cui la linea
di universo rappresenta la storia, nonpuo tornare indietro nel
tempo (non puo tornare a t una volta che lha lasciata nel
passato).Questo e un requisito fisico che evita i paradossi causali
della fantascienza.(7) Possiamo pensare di dotare due punti
materiali di orologi ideali. Tali orologi, a meno dellascelta
dellorigine del tempo, indicheranno le etichette t delle varie
ipersuperfici t attraversatedalle linee di universo dei due punti.
Se i due punti si incontrano nellevento p t e in taleevento si
decide di sincronizzare gli orologi a vista in modo che segnino, in
quellevento, entram-bi t, a