Fondamenti di Analisi Matematica 2 Seconda prova parziale Vicenza, 18 Gennaio 2020 TEMA 1 1. Si consideri la seguente equazione differenziale, con ↵ 2 R e b(·) 2 C (R). y 00 (t)+2↵y 0 (t)+4y(t)= b(t), (a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea (cio ` e per b(t)=0) per ogni valore del parametro ↵ 2 R, (b) Determinare una soluzione particolare quando b(t)= t 2 +2 (c) Fissato ↵ =2 determinare le soluzioni quando b(t)= e -2t . (d) (Fac.) Dire per quali valori del parametro ↵ 2 R, tutte le soluzioni dell’equazione omogenea (trovate nel punto (a)) sono tali che lim t!+1 y(t)e t =0. 2. Data la superficie ⌃ = {(x, y, z ) | x = y +4z 2 ,y +2|z | ≥ 4,x 16} (a) Trovare una parametrizzazione regolare e dire se ⌃ ` e semplice. (b) Calcolare il piano tangente in P = (5, 5, 0) (c) Z ⌃ 1 p 2 + 64z 2 dσ Tempo: 90 minuti. ` E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, non verranno contati.
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Fondamenti di Analisi Matematica 2
Seconda prova parziale
Vicenza, 18 Gennaio 2020
TEMA1
1. Si consideri la seguente equazione differenziale, con ↵ 2 R e b(·) 2 C(R).
y
00(t) + 2↵y
0(t) + 4y(t) = b(t),
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea (cioe per b(t) = 0) perogni valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = t
2+ 2
(c) Fissato ↵ = 2 determinare le soluzioni quando b(t) = e
�2t.
(d) (Fac.) Dire per quali valori del parametro ↵ 2 R, tutte le soluzionidell’equazione omogenea (trovate nel punto (a)) sono tali chelimt!+1 y(t)e
t= 0.
2. Data la superficie
⌃ = {(x, y, z) | x = y + 4z
2, y + 2|z| � 4, x 16}
(a) Trovare una parametrizzazione regolare e dire se ⌃ e semplice.
(b) Calcolare il piano tangente in P = (5, 5, 0)
(c) Z
⌃
1p2 + 64z
2d�
Tempo: 90 minuti. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
Docenti: F. Albertini e L. Caravenna
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Vicenza, 18 Gennaio 2020
TEMA2
1. Si consideri la seguente equazione differenziale, con ↵ 2 R e b(·) 2 C(R).
y
00(t) + 2↵y
0(t) + 9y(t) = b(t),
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea (cioe per b(t) = 0) perogni valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = 9t
2+ 2
(c) Fissato ↵ = �3 determinare le soluzioni quando b(t) = e
3t.
(d) (Fac.) Dire per quali valori del parametro ↵ 2 R, tutte le soluzionidell’equazione omogenea (trovate nel punto (a)) sono tali chelimt!+1 y(t)e
t= 0.
2. Data la superficie
⌃ = {(x, y, z) | y = x+ 4z
2, x+ 2|z| � 4, y 16}
(a) Trovare una parametrizzazione regolare e dire se ⌃ e semplice.
(b) Calcolare il piano tangente in P = (10, 10, 0)
(c) Z
⌃
1p2 + 64z
2d�
Tempo: 90 minuti. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
Docenti: F. Albertini e L. Caravenna
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TEMA3
1. Si consideri la seguente equazione differenziale, con ↵ 2 R e b(·) 2 C(R).
y
00(t) + 2y
0(t) + ↵y(t) = b(t),
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea (cioe per b(t) = 0) perogni valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = cos(t)
(c) Fissato ↵ = 0 determinare le soluzioni quando b(t) = 4t+ 8.
(d) (Fac.) Dire per quali valori del parametro ↵ 2 R, tutte le soluzionidell’equazione omogenea (trovate nel punto (a)) sono tali chelimt!+1 y(t)e
t2= 0.
2. Data la superficie
⌃ = {(x, y, z) | y = x� 3z
2, x� 2|z|+ 6 0, y + 27 � 0}
(a) Trovare una parametrizzazione regolare e dire se ⌃ e semplice.
(b) Calcolare il piano tangente in P = (�10,�10, 0)
(c) Z
⌃
1p2 + 36z
2d�
Tempo: 90 minuti. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.
Docenti: F. Albertini e L. Caravenna
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TEMA4
1. Si consideri la seguente equazione differenziale, con ↵ 2 R e b(·) 2 C(R).
y
00(t) + 2y
0(t)� ↵y(t) = b(t),
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea (cioe per b(t) = 0) perogni valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare una soluzione particolare quando b(t) = sin(t)
(c) Fissato ↵ = 0 determinare le soluzioni quando b(t) = 8t� 6.
(d) (Fac.) Dire per quali valori del parametro ↵ 2 R, tutte le soluzionidell’equazione omogenea (trovate nel punto (a)) sono tali chelimt!+1 y(t)e
t2= 0.
2. Data la superficie
⌃ = {(x, y, z) | x = y � 3z
2, y � 2|z|+ 6 0, x+ 27 � 0}
(a) Trovare una parametrizzazione regolare e dire se ⌃ e semplice.
(b) Calcolare il piano tangente in P = (�7,�7, 0)
(c) Z
⌃
1p2 + 36z
2d�
Tempo: 90 minuti. E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.Ogni risposta deve essere giustificata, i soli risultati non sono sufficienti e, anche se corretti, nonverranno contati.