Fonctions circulaires Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : – déterminer les cosinus et sinus d’angles associés ; – résoudre dans R les équations d’inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a. Objectifs 1 – Mesure des angles Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens trigonométrique (opposé au sens de rotation des aiguilles d’une montre). 1 −1 1 −1 + O On note I le point de coordonnées I (1; 0). Soit M un point du cercle trigonométrique. Alors une mesure en radians de l’angle IOM est la longueur de l’arc intercepté ⌢ IM. α O M I α en radians = longueur de ⌢ IM Si l’angle est orienté dans le sens anti-trigonométrique (dans le sens des aiguilles d’une montre), alors on attribue un signe négatif à sa mesure. Le cercle trigonométrique TS1 Systèmes Photoniques – 2017 / 2018 1 Lycée Fresnel - Paris
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Fonctions circulaires
X Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour :
– déterminer les cosinus et sinus d’angles associés ;– résoudre dans R les équations d’inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a.
Objectifs
1 – Mesure des angles
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens trigonométrique(opposé au sens de rotation des aiguilles d’une montre).
1
−1
1−1
+
O
On note I le point de coordonnées I(1; 0). Soit M un point du cercle trigonométrique.
Alors une mesure en radians de l’angle IOM est la longueur de l’arc intercepté⌢
IM .
α
O
bM
bI
bα en radians = longueur de
⌢
IM
Si l’angle est orienté dans le sens anti-trigonométrique (dans le sens des aiguilles d’une montre), alorson attribue un signe négatif à sa mesure.
2 – Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique
La droite ∆ d’équation x = 1 est tangente au cercle trigonométrique au point A(1 ; 0).
On représente chaque nombre réel t par le point Mt de coordonnées (1 ; t) sur la droite ∆ .Cette droite s’enroule sur le cercle trigonométrique de la façon suivante : à chaque point Mt ∈ ∆ correspond
Soit −→u et −→v deux vecteurs non nuls du plan muni d’un repère (O;−→ı ;−→ ) .
Pour définir la mesure de l’angle orienté(−→u , −→v
), on trace les représentants de
−→OA et
−→OB à partir de la même
origine O, c’est-à-dire que les points A et B sont tels que−→OA = −→u et
−→OB = −→v .
On note A′ et B′ les points d’intersection du cercle trigonométrique avec les demi-droites [OA) et [OB).
On choisit enfin pour chacun de ces points deux nombres réels α et β de la droite ∆ de telle sorte que dansl’enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique α et β correspondent aux points A′ et B′.
Alors, par définition, le nombre réel β − α est une mesure de l’angle orienté(−→u , −→v
).
b
O 1b
b
b β
∆
b α
−→u
−→v
−→v
−→u
B
A
b
b
B′
A′
Un angle orienté possède une infinité de mesures possibles qui diffèrent d’un multiple entier de 2π.Attention
Par exemple, le même angle(−→u , −→v
)que ci-dessus a également pour mesure β − α′ = β − α − 2π.
Comme la mesure d’un angle orienté n’est défini qu’à un multiple entier de 2π près, on écrira :
(−→u , −→v)= a + k × 2π , k ∈ Z
où a désigne une mesure quelconque de l’angle orienté(−→u , −→v
).
On écrit aussi : (−→u , −→v)= a (modulo 2π)
l’expression « modulo 2π » signifiant : « à un multiple entier de 2π près ».
On rencontre également dans la littérature les écritures synonymes suivantes :
(−→u , −→v)= a (mod. 2π)
(−→u , −→v)= a [2π]
(−→u , −→v)≡ a (2π) .
Notation
4 – Propriétés des angles orientés
Pour tous vecteurs non nuls −→u , −→v et −→w :
(−→u , −→v)+
(−→v , −→w)=
(−→u , −→w)
(modulo 2π)
Propriété (relation de Chasles)
Démonstration (hors-programme)
Soit−→OA,
−→OB et
−→OC les représentants de −→u , −→v et −→w tracés à partir de O. On note A′, B′ et C′ les points
d’intersection du cercle trigonométrique avec les demi-droites [OA), [OB) et [OC) respectivement, et on choisittrois nombre réels α, β et γ de telle sorte qu’ils correspondent aux points A′, B’ et C′ dans l’enroulement de la
droite ∆ sur le cercle trigonométrique.
b
O 1
b α
b β
b γ
∆
−→u
−→u−→v
−→v−→w
−→w
C
B
A
b
b
b
C′
B′A′
b
b
b
Alors, par définition :
• β − α est une mesure de(−→u ,−→v
);
• γ − β est une mesure de(−→v ,−→w
);
• γ − α est une mesure de(−→u ,−→w
).
On vérifie ainsi que la somme des angles orientés(−→u ,−→v
)+
(−→v ,−→w)
a pour mesure β − α + γ − β = γ − α,qui est bien une mesure de l’angle orienté
Parmi toutes les mesures possibles d’un angle orienté, une seule appartient à l’intervalle ]− π ; π].
On appelle ainsi mesure principale d’un angle orienté
l’unique mesure de cet angle qui appartient à l’intervalle ]− π ; π].
Définition (mesure principale)
DémonstrationSoit α une mesure d’un angle orienté. En ajoutant ou en retranchant un multiple entier de 2π, on trouvenécessairement une mesure α0 ∈]− π ; π].
Dans le triangle rectangle, on définit les six fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, cotangente,sécante, cosécante) par les rapports de longueurs ci-dessous.
sin(angle) =côté opposé à cet angle
hypoténusecos(angle) =
côté adjacent à cet anglehypoténuse
tan(angle) =côté opposé à cet anglecôté adjacent à cet angle
cotan(angle) =côté adjacent à cet anglecôté opposé à cet angle
sec(angle) =hypoténuse
côté adjacent à cet anglecosec(angle) =
hypoténusecôté opposé à cet angle
bB
bA
b C
Hypoténuse= Côté opposé à l’angle droit
Côté adjacent à C= Côté opposé à B
Côté opposé à C= Côté adjacent à B
Ces formules ne s’appliquent qu’à l’un des deux angles aigus du triangle rectangle, si bien que les les fonctions
trigonométriques ne sont pour l’instant définies que sur l’intervalle]0 ; π
2
[.
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme est égale à π2 radians.
Le côté adjacent à un angle est le côté opposé au complémentaire, et inversement. On en déduit que :
• le cosinus d’un angle est le sinus de son complémentaire, et réciproquement.
• la cotangente d’un angle est la tangente de son complémentaire, et réciproquement.
• la cosécante d’un angle est la sécante de son complémentaire, et réciproquement.
En formules, puisque le complémentaire d’un angle aigu de mesure α a pour mesure π2 − α :
sin(
π2 − α
)= cos α et cos
(π2 − α
)= sin α .
On notera également que :
tan =sincos
cotan =1
tansec =
1cos
cosec =1
sin.
Afin d’étendre le domaine de définition des fonctions trigonométriques à tout nombre réel, on fixe l’hypoténuse
du triangle rectangle, de sorte que le cadre naturel de la trigonométrie est en réalité le cercle (c’est pourquoiles fonctions trigonométriques sont également appelées fonctions circulaires).
b
b
b
b
b
b
b
bb
bbbbbb
b
b
b
b
b
b
b
b
23 triangles rectangles
partageant la même hypoténuse,donc le même cercle circonscrit.