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Fonction exponentielle – Résolutions d’équations – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : résoudre une équation de la forme
Exercice 2 : résoudre une équation de la forme
Exercice 3 : résoudre une équation de la forme
Exercice 4 : résoudre une équation de la forme
Exercice 5 : résoudre une équation en effectuant un changement de variable
Exercice 6 : résoudre une équation suivant les valeurs d’un paramètre
Exercice 7 : résoudre un système bilinéaire à deux inconnues
Exercice 8 : résoudre une équation suivant les valeurs d’un paramètre
Exercice 9 : résoudre une équation à l’aide du théorème de bijection
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Exercices corrigés
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Résoudre dans les équations suivantes :
1) 2) 3)
Rappel : Equation de la forme
Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) .
Pour tout réel , si et seulement si .
1) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
Les solutions de l’équation sont { }.
2) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
Les solutions de l’équation sont { }.
3) Résolvons dans l’équation .
Pour tout , .
Rappel : Racines d’un trinôme du second degré
Soit le discriminant du trinôme . Alors .
1er
cas :
Le trinôme admet une racine réelle double :
2e cas :
Le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
√
√
3e cas :
Le trinôme n’admet aucune racine réelle.
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors .
Comme , admet deux racines réelles distinctes :
√
√
Les solutions de l’équation sont { }.
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Résoudre dans les équations suivantes :
1) 2) 3)
Rappel : Monotonie et signe de la fonction exponentielle
La fonction est continue et strictement croissante sur . De plus, pour tout , .
1) Résolvons dans l’équation .
Pour tout , donc l’équation n’admet pas de solution dans .
On note l’ensemble des solutions de l’équation.
2) Résolvons dans l’équation .
Pour tout , et donc, par somme de termes strictement positifs, .
L’équation n’admet donc aucune solution dans .
On note l’ensemble des solutions de l’équation.
3) Résolvons dans l’équation .
1ère
méthode : repérer la somme de termes strictement positifs
Pour tout ,
Or, pour tout , ⏟
et ⏟
donc, par somme de termes strictement positifs,
n’admet pas de solution dans .
2ème
méthode : factoriser et repérer le produit de facteurs tous non nuls
Pour tout ,
Or, pour tout , et ⏟
donc, par somme de termes strictement positifs, l’équation
n’admet pas de solution dans . On note alors l’ensemble des solutions de l’équation.
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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Pour tout réel et pour tout
entier relatif ,
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Résoudre dans les équations suivantes :
1) 2)
3)
1) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
Les solutions de l’équation sont { }.
2) Résolvons dans l’équation
.
Remarquons tout d’abord que
existe si et seulement si et .
Pour tout { },
√ √
Or, √ { } et √ { } donc les solutions de l’équation sont { √ √ }.
3) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
Les solutions de l’équation sont { }.
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
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Pour tous réels et ,
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Résoudre dans les équations suivantes :
1) 2) 3)
Rappel : Fonction exponentielle de base et fonction logarithme népérien
Pour tout réel strictement positif, , où désigne la fonction logarithme népérien (bijection
réciproque de la fonction exponentielle).
1) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
Les solutions de l’équation sont { }.
2) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
⏟
Les solutions de l’équation sont {
}.
3) Résolvons dans l’équation .
Pour tout ,
⏟
Les solutions de l’équation sont { }.
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
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Résoudre dans l’équation .
Pour tout réel,
Effectuons un changement de variable en posant . Alors l’équation devient
. Par ailleurs, comme pour tout réel , il vient que .
Posons le discriminant du trinôme du second degré , d’inconnue .
Alors
donc l’équation admet deux solutions réelles :
√
| |
⏟
√
| |
⏟
D’après ce qui précède, donc seule peut être solution de l’équation.
Il en résulte que
Les solutions de l’équation sont { }.
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen
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| | {
Rappel : Valeur
absolue d’un réel
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Résoudre dans , suivant les valeurs du réel , l’équation .
Soit un réel quelconque.
Pour tout réel,
Posons . Alors devient avec .
Soit le discriminant du trinôme du second degré , d’inconnue .
Alors .
Ainsi, si , et si , .
1) 1er
cas :
Si , alors .
Le trinôme admet alors une racine réelle double :
Ainsi, comme , .
Par conséquent,
⏟
Finalement, si , l’équation n’admet qu’une solution : .
2) 2ème
cas :
Si , alors .
Le trinôme admet alors deux racines réelles distinctes :
√
| |
√
| |
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen
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Si , alors | | , d’où :
| |
| |
D’une part, si et seulement si – , c’est-à-dire si et seulement si .
Donc, si et , c’est-à-dire si , est solution de l’équation.
Par conséquent, si , ⏟
D’autre part, pour tout , donc est solution de l’équation.
Par conséquent, ⏟
.
Finalement, si , alors l’équation admet deux solutions : et
. Et si , l’équation n’admet qu’une solution : .
Si , alors | | , d’où :
| |
| |
D’une part, pour tout , donc est solution de l’équation.
Par conséquent, ⏟
.
D’autre part, si et seulement si – , c’est-à-dire si et seulement si .
Donc, si et , c’est-à-dire si , est solution de l’équation.
Par conséquent, si , ⏟
Finalement, si , alors l’équation admet deux solutions :
et .
En résumé, d’après tout ce qui précède, l’équation admet une ou deux
solutions dans suivant les valeurs de .
Si { } , l’unique solution est .
Si , les deux solutions sont et .
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Résoudre dans les deux systèmes suivants :
1) {
2) {
1) Résolvons dans le système {
Rappel : Propriétés des racines d’un trinôme du second degré
Soit un trinôme du second degré admettant deux racines et .
En posant (somme des racines) et (produit des racines), et sont les solutions de
l’équation .
Pour tous réels et ,
{
{
{
Il s’agit donc de trouver deux nombres et , connaissant leur somme et leur produit . Ce sont les solutions
de l’équation . Autrement dit, il convient de résoudre l’équation
Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors .
Comme , il résulte que admet deux racines réelles distinctes :
√
√
Les solutions du système sont donc les couples et .
2) Résolvons dans le système {
Pour tous réels et ,
{
{
⏟
{
{
Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen
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Pour tous réels et ,
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{
{
{
{
{
En posant , l’équation devient – (avec ).
Posons le discriminant du trinôme du second degré – , d’inconnue .
Alors .
Comme , il résulte que – admet deux racines réelles distinctes :
√
| |
⏟
√
| |
⏟
Comme , .
Comme , .
Ainsi, il vient que :
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Les solutions du système sont donc les couples et .
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Résoudre dans , suivant les valeurs du réel , l’équation .
Soit un réel quelconque.
Pour tout réel,
Posons . Alors et l’équation précédente s’écrit .
Posons le discriminant du trinôme du second degré .
Alors .
Posons le discriminant du trinôme du second degré .
Alors
Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
√
√
Ainsi, ( ).
Dès lors, étudions le signe de selon les valeurs de .
(
)
1) 1er
cas :
Si , alors .
Le trinôme admet alors une racine réelle double :
Exercice 8 (1 question) Niveau : difficile
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⏟
Comme , il vient que l’équation admet une solution :
2) 2ème
cas :
Si
, alors .
Le trinôme admet alors une racine double :
Comme , il vient que l’équation n’admet pas de solution réelle.
3) 3ème
cas : ] [
Si ] [, alors .
Le trinôme n’admet pas de racine réelle.
L’équation n’admet par conséquent pas de solution réelle.
4) 4ème
cas : ] [
Si ] [, alors .
Le trinôme admet deux racines réelles distinctes et telles que :
√ ( )(
)
√( )( )
√ (
)
√ ( )(
)
√( )( )
√ (
)
⏟
⏟
Cas où
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Donc, si , alors et . Ainsi, l’une des racines du trinôme est
nulle et l’autre négative.
Comme , l’équation n’admet donc qu’une solution.
Cas où
Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si , le produit des racines du
trinôme est négatif, c’est-à-dire que l’une des racines de ce trinôme est positive et l’autre
négative.
Comme , l’équation n’admet donc qu’une solution.
Or, √ ( ) ( ⏟
√ ( )
⏟
)
Donc la solution positive du trinôme est √ ( ).
Il vient alors que √ ( ) ( √ (
))
Cas où
Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si ]
[, alors les deux
racines du trinôme ont le même signe, celui de leur somme .
Donc, deux nouveaux cas sont désormais à distinguer.
Cas où
Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si ]
[, alors la somme des racines du
trinôme est négative. Comme, de surcroît, leur produit est positif, chacune de ces racines
est négative.
Comme , l’équation n’admet aucune solution réelle.
Cas où
Donc, si ( ] [), c’est-à-dire si , alors la somme des racines du
trinôme est positive. Comme, de surcroît, leur produit est positif, chacune de ces racines est
positive.
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L’équation admet donc deux solutions réelles distinctes telles que :
√ (
) ( √ (
))
√ (
) ( √ (
))
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1) Sans la résoudre, démontrer que l’équation √ admet une unique solution dans .
2) Donner un encadrement de d’amplitude .
1) Soit la fonction définie par √ . est la composée de la fonction √ ,
définie et continue sur (comme somme de la fonction affine et de la fonction racine
carrée), par la fonction , définie et continue sur . Ainsi et est définie sur .
Rappel : Dérivée d’une fonction composée
Soit une fonction dérivable sur un intervalle et soit une fonction dérivable sur .
Alors la fonction est dérivable sur et, pour tout , .
est dérivable sur comme étant la composée de la
fonction , dérivable sur , par la fonction ,
dérivable sur . Pour tout ,
(
√ ⏟
) √ ⏟
.
Rappel : Dérivée de la fonction exponentielle
La fonction est dérivable sur
et, pour tout réel , .
Pour tout , est le produit de facteurs strictement positifs donc . Il en découle que est
strictement croissante sur .
Etudions désormais les limites de aux bornes de son ensemble de définition puis dressons le tableau de
variation.
La fonction est continue en donc
existe et √ .
En outre,
et
√ . Donc, par somme,
( √ ) .
Par conséquent, par composition des limites,
.
D’où le tableau de variations suivant :
Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen
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Montrons désormais que l’équation admet une unique solution dans à l’aide du théorème de
bijection.
Rappel : Théorème de bijection
Si est une fonction continue et strictement
monotone sur un intervalle de bornes et
(finies ou infinies), alors, pour tout réel
strictement compris entre les limites de en
et en , il existe un unique réel de tel
que .
Monotonie
de
Intervalle
croissante décroissante
[
[ ]
]
]
] [
[
]
[ ]
[
D’après ce qui précède, d’une part est croissante sur et, d’autre part, (arrondi
à près par défaut) et
.
Comme , d’après le théorème de bijection, il existe un unique réel tel que
.
2) A l’aide de la calculatrice, on trouve par encadrements successifs que (encadrement à
près).
Remarque : Il est possible, bien entendu, de résoudre l’équation √ .
Pour tout , √ ⏟
√ √
Posons √ . Alors et l’équation à résoudre devient .
Posons désormais le discriminant du trinôme du second degré .
Alors .
Comme , il vient que . Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes :
√
( √ )
√
(√ ⏟
)
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et donc est l’unique solution.
Comme √ , il s’ensuit que [
(√ )]
est l’unique solution de l’équation.
Finalement,
(√ ) . Avec la calculatrice, on trouve , d’où l’encadrement
proposé.