fonction exponentielle Table des matières 1 fonction exponentielle de base e 2 1.1 définition .................................................. 2 1.1.1 activité ............................................... 2 1.1.2 à retenir .............................................. 3 1.2 valeurs remarquables et propriétés algébriques .............................. 4 1.2.1 activité ............................................... 4 1.2.2 à retenir .............................................. 5 1.2.3 exercices : ............................................. 6 1.3 dérivation .................................................. 7 1.3.1 activité ............................................... 7 1.3.2 à retenir ............................................... 8 1.3.3 exercices ............................................... 9 1.4 limites .................................................... 10 1.4.1 activité ............................................... 10 1.4.2 à retenir .............................................. 12 1.4.3 exercices .............................................. 13 1.5 équations et inéquations avec exponentiels ................................. 25 1.5.1 activité ............................................... 25 1.5.2 à retenir ............................................... 26 1.5.3 exercices : .............................................. 27 1.6 étude de variations de fonctions ou apparaît la fonction exponentielle . ................ 33 1.6.1 activité ............................................... 33 1.6.2 exercices ............................................... 35 1.7 étude de variations de fonctions où apparaît la composée e u où u est une fonction . ......... 47 1.7.1 activité ............................................... 47 1.7.2 à retenir ............................................... 49 1.7.3 exercices ............................................... 50 1.8 évaluations ................................................. 60 2 fonction exponentielle de base a 69 2.1 activité ................................................... 69 2.2 à retenir ................................................... 71 2.3 exercices ................................................... 72 2.4 évaluations ................................................. 81 1
50
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fonction exponentielle - Freesite.math.free.fr/terminale_es/cours_terminale_es/...1.1.2 à retenir la fonction exponentielle associe à tout nombre réel x le nombre noté exp(x) =
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(i) la valeur de l’aire sous la courbe de f entre 0 et 1 à 0,1 unité d’aire près est��
��≃ 7, 9 U.A.
(j) montrer que l’équation f(x) = 10 admet deux solutions α et β dans R et déterminer des valeurs appro-chées des solutions à 0,01 près.
• f(−6) ≃ 11 et 11 > 10• f(−4) =≃ 9 et 9 < 10• f est continue sur [−6;−4]• f est strictement décroissante sur [−6;−4]
d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f(x) = 10admet une solution unique α entre -6 et -4.
de même, il existe une solution unique β entre 1 et 2.au vu des variations de f il ne peut-y avoir d’autres solutions
la calculatrice donne :��
��α ≃ −4, 99 et
��
��β ≃ 1, 12
(k) courbe de f , droite asymptote, droite tangente et intégrale.
5
10
15
0 1−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11−12−13−14
y
0 x
Exercice (D’après sujet bac La Réunion 2009 )
On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f(x) = (x− 1)ex + 2.On note f ′ sa dérivée.
(a) Donner une valeur approchée à 10−2 près de f(−2), f(0) et f(2).
(b) Calculer f ′(x). Donner le tableau de variations de f sur [−2 ; 2].
(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère les points A(1 ; 2) et B(0 ; 2− e).Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe Cf au point A.
(d) Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique Cf de f dansun repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).
(e) On admet que la fonction F définie par F (x) = (x − 2)ex + 2x est une primitive de la fonction f sur[−2 ; 2].Hachurer la partie A du plan délimitée par les axes du repère, la droite d’équation x = 2 et la courbeCf .Calculer la mesure en cm2 de l’aire de A.
corrigé exercice (D’après sujet bac La Réunion 2009 )
On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f(x) = (x− 1)ex + 2.On note f ′ sa dérivée.
(a) valeur approchée à 10−2 près :��
��f(−2) = (−2− 1)e−2 + 2 ≃ 1, 59 ,
��
��f(0) = 1 et
��
��f(2) ≃ 9, 39
(b) Calculer f ′(x). Donner le tableau de variations de f sur [−2 ; 2]
f = uv + 2 =⇒ f ′ = u′v + uv′ + 0 où
u(x) = x− 1
u′(x) = 1et
v(x) = ex
v′(x) = ex
f ′(x) = ex + (x− 1)× (ex)
f ′(x) = ex(1 + x− 1)
��
��f ′(x) = xex
ex > 0 en tant qu’exponentiel donc f ′(x) est du signe de x
x −2 0 2 annulationsex + +x − 0 + x = 0
f ′(x) − 0 +≃ 1, 59 ≃ 9, 39
f(x) ց ր1
(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère les points A(1 ; 2) et B(0 ; 2− e).Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe Cf au point A
cherchons l’équation de la tangente à Cf en A :
y = f ′(a)(x− a) + f(a) avec
a = 1f(a) = f(1) = 2f ′(a) = f ′(1) = e
soit y = e(x− 1) + 2 donc��
��y = ex+ 2− e
vérifions qu’elle passe par B :
e × 0 + 2 − e = 2 − e donc yB = exB + 2 − e donc B est bien sur la tangente qui estalors la droite (AB)
(d) Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique Cf de f dansun repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).
x -2 -1 0 1 2f(x) 1,6 1,3 1 2 9,4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
1−1−2
(e) On admet que la fonction F définie par F (x) = (x − 2)ex + 2x est une primitive de la fonction f sur[−2 ; 2].Hachurer la partie A du plan délimitée par les axes du repère, la droite d’équation x = 2 et la courbeCf .Calculer la mesure en cm2 de l’aire de A.
A =
∫ 2
0f(x)dx
A = F (2) − F (0)
A = (2− 2)e2 + 2× 2− ((0− 2)e0 + 2× 0)
��
��A = 6 U.A.
��
��A = 24cm2 . (1U.A. = 4× 1 = 4cm2)
Exercice (D’après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2008 )
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) =5x− 5
exOn nomme (C) sa représentation graphique dans le plan (P ) muni d’un repère orthonormal d’unité graphique2 cm.
(a) Calculer f(0).
(b) i. Vérifier que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f(x) =5−
5
xex
xii. En déduire la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat.
(c) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
i. Démontrer que pour tout nombre réel x positif : f ′(x) =−5x+ 10
ex
ii. Étudier le signe de la fonction f ′.
iii. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
(d) Représenter graphiquement la courbe (C) dans le plan (P ).
(e) On note F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : F (x) = −5xe−x.
i. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
ii. On considère l’aire A, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisseset les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4.
Hachurer ce domaine sur le graphique précédent.
Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur approchée à 10−2 près par défaut.
corrigé exercice (D’après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2008 )
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) =5x− 5
exOn nomme (C) sa représentation graphique dans le plan (P ) muni d’un repère orthonormal d’unité graphique2 cm.
(a) f(0) =5× 0− 5
e0=
��
��−5 .
(b) i. tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ :
f(x) =5x− 5
ex=
x(5−5
x)
xex
x
=
�
�
�
5−5
xex
x
(on met x en facteurs puis on simplifie)
ii. limx→+∞
f(x) = limx→+∞
5−5
xex
x
=5− 0
+∞=
5
+∞=
��
��0 (ex l’emporte sur x en +∞)
��
��La courbe admet une droite asymptote horizontale d’équation y = 0 en +∞
(c) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
i. Démontrons que pour tout nombre réel x positif : f ′(x) =−5x+ 10
ex:
f =u
v=⇒ f ′ =
u′v − uv′
v2où
u(x) = 5x− 5
u′(x) = 5et
v(x) = ex
v′(x) = ex
f ′(x) =5ex − (5x− 5)× ex
(ex)2
f ′(x) =ex(5− 5x+ 5)
(ex)2
f ′(x) =ex(−5x+ 10)
(ex)2
�
�
f ′(x) =
−5x+ 10
ex
ii. Étude du signe de la fonction f ′.
ex > 0 en tant qu’exponentiel donc f ′(x) est du signe de −5x+ 10
x 0 2 +∞ annulationsex + +
−5x+ 10 + 0 − −5x+ 10 = 0 ⇐⇒ x = 2f ′(x) + 0 −
iii. tableau de variations de la fonction f :
x 0 2 +∞f ′(x) + 0 −
5e−2
f(x) ր ց−5 0
f(0) = −5 (question (a))
(d) Représenter graphiquement la courbe (C) dans le plan (P )
x 0 1 2 3 4 5 6f(x) -5 0 0,7 0,5 0,3 0,1 0,06
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5
(e) On note F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : F (x) = −5xe−x.
i. Démontrons que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[ :
pour cela, il suffit de montrer que F ′(x) = f(x)
F = uv =⇒ F ′ = u′v + uv′ où
u(x) = −5x
u′(x) = −5et
v(x) = e−x
v′(x) = −e−x
F ′(x) = −5× e−x + (−5x)× (−e−x)
F ′(x) = e−x(5x− 5)
F ′(x) =5x− 5
ex
F ′(x) = f(x)
��
��F est une primitive de la fonction f
ii. On considère l’aire A, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisseset les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4.
Hachurer ce domaine sur le graphique précédent.
Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur approchée à 10−2 près par défaut
A =
∫ 4
1f(x)dx
A = F (4) − F (1)
A = −5× 4e−4 − (−5× 1e−1)
��
��A = −20e−4 + 5e−1 ≃ 1, 47 U.A.
��
��A ≃ 1, 47 cm2. (1U.A. = 1cm2)
1.7 étude de variations de fonctions où apparaît la composée eu où u est une fonction.
1.7.1 activité
1. lecture graphique :on dispose ci dessous du graphique partiel de la fonction u définie sur Du =]− 3 ; +∞ [la droite (D) d’équation x = −3 est asymptote verticale à Cu
la droite (∆) est asymptote oblique à Cu en +∞sont représentées les tangentes à Cu en x = −2, x = −1, x = 0 et x = 2on sait de plus que la fonction f est définie par la composée f = eu (noté aussi : f = e ◦ u , "e rond u")
a. déterminer les valeurs exactes de :
u(−2) = puis f(−2) =
u(−1) = puis f(−1) =
f(2) =1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4
x
y
Cu
(D)
(∆)
b. déterminer le domaine de définition de f
c. déterminer les valeurs exactes de : (rappel : si f = eu alors f ′ = ... )
u′(−2) = puis f ′(−2) =
u′(−1) = puis f ′(−1) =
u′(0) = puis f ′(0) =
d. sachant que si f = eu alors f ′ = ... que peut-on dire du signe de f ′ par rapport au signe de u′ ?
e. qu’en déduire pour les variations de f par rapport aux variations de u ?
f. étudier l’annulation de f ′ :
g. en déduire le tableau de variations de f .
x
f ′(x)
f(x)
h. déterminer limx→−3+
f(x)
i. déterminer limx→+∞
f(x)
j. résoudre l’inéquation f(x) > 0
k. en déduire le tableau de signes de f
x
f(x)
corrigé activité
1. lecture graphique :on dispose ci dessous du graphique partiel de la fonction u définie sur Du = [−3 ; +∞ [la droite (D) d’équation x = −3 est asymptote verticale à Cu
la droite (∆) est asymptote oblique à Cu en +∞sont représentées les tangentes à Cu en x = −2, x = −1, x = 0 et x = 2on sait de plus que la fonction f est définie par la composée f = eu (noté aussi : f = e ◦ u , "e rond u")
a. déterminer les valeurs exactes de :
��
��u(−2) = 1 puis f(−2) = eu(−2) = e1 =
��
��e
��
��u(−1) = −1 puis f(−1) = eu(−1) = e−1 =
�
�
�
�1
e
f(2) = eu(2) =��
��e3
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4−1−2−3−4
x
y
Cu
(D)
(∆)
b. déterminer le domaine de définition de f
eu(x) existe pour toute valeur de x ∈ Du��
��Df = Du = [−3 ; +∞ [
c. déterminer les valeurs exactes de : (rappel : si f = eu alors��
��f ′ = u′eu )
u′(−2) =yB − yA
xB − xA=
0− 3
−2− (−3)=��
��−3 puis f ′(−2) = u′(−2)eu(−2) = −3e0 =
��
��−3
u′(−1) =��
��0 puis f ′(−1) = u′(−1)eu(−1) = 0× eu(−1) =
��
��0
u′(0) =yC − yD
xC − xD=
3− 1
1− 0=��
��2 puis f ′(0) = u′(0)eu(0) = 2e1 =
��
��2e
d. sachant que��
��f ′ = u′eu on en déduit que
��
��f ′ a le même signe que u′
car eu est positif strict en tant qu’exponentiel
e. on en déduit que��
��f = eu a les mêmes variations que u
f. étudier l’annulation de f ′ :
f(x) = 0 ⇐⇒ eu(x) = 0 or ex > 0 pour tout x ∈ R donc��
��S = Φ
g. en déduire le tableau de variations de f
x -3 -1 2 +∞
f ′(x) - 0 + 0 -+∞ e3
f(x) ց ր ցe−1 0
h. limx→−3+
f(x) = e+∞ =��
��+∞
i. limx→+∞
f(x) = e−∞ =��
��0
j. f(x) > 0 ⇐⇒ eu(x) > 0 or ex > 0 pour tout x ∈ R donc��
��S = R
k. on en déduit le tableau de signes de fx 3 +∞
f(x) +
1.7.2 à retenir
(1) domaine de définition : eu(x) existe pour tout x ∈ Du
(2) dérivée : (eu)′ = u′eu
(3) variations : les fonctions u et eu ont le même sens de variation
Remarque : (3) permet de justifier le sens de variations de eu sans utiliser la dérivation.(si u croît (respectivement : décroît) alors eu croît (respectivement : décroît) )
1.7.3 exercices
Exercice : (session 2008 2cgo)
A. Étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) =3
1 + 125504e−1,9x
On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal où l’unité est 2 cm.
1. (a) On admet que limx→+∞
(
125504e−1,9x)
= 0 ; en déduire limx→+∞
f(x).
(b) En déduire que la courbe C admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation.
2. (a) Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; +∞[, f ′(x) =715372, 8e−1,9x
(1 + 125504e−1,9x)2.
(b) Étudier le signe de f ′(x) lorsque x varie dans [0 ; +∞[.
(c) Donner le tableau de variations de f sur [0 ; +∞[.
3. (a) Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sontà arrondir à 10−2.
x 0 3 4 5 6 7 8 9f(x) 0 0,01
(b) Tracer la droite ∆ et la courbe C dans le repère défini au début. Sur l’axe des abscisses, commencer lagraduation à 3.
4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 2, 5. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
B. Calcul intégral
1. Vérifier que, pour tout nombre réel x de [0 ; +∞[, f(x) =3e1,9x
e1,9x + 125504.
2. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F (x) =3
1, 9ln
(
e1,9x + 125504)
.
Démontrer que F est une primitive de f sur [0 ; +∞[.
3. (a) Calculer la valeur moyenne Vm de f sur [0 ; 9].
(b) Donner la valeur approchée de Vm arrondie à 10−2.
C. Application de la partie A
Dans cette partie, utiliser des résultats obtenus à la partie A.
On admet que le nombre de systèmes GPS vendus en France au cours de l’année (2000+n) est égal à f(n) millionsoù f est la fonction définie dans la partie A.
1. Déterminer le nombre de systèmes GPS vendus en France en 2005.
2. Donner le nombre total de systèmes GPS vendus pendant les quatre années 2004, 2005, 2006 et 2007.
3. Indiquer au cours de quelle année les ventes de systèmes GPS dépassent 2500000 unités.