-
Fonaments d’Ones, Fluids i Termodinàmica curs 2015 P
CAT
Col·lecció de Problemes I (Fluids)
Significatde les etiquetes:
P a classe de problemesT a classe de tutoria
C a casaC∗ a casa nivell avançat (opcional)
1. Pressió hidrostàtica
1.1 P (a) Quina força deguda a la pressió atmosfèrica actua
sobre el palmell de la mà (S ≈ 100 cm2)?Per què no la notem? (b)
Calculeu ara la mateixa força però sobre el terra d’una
habitació de20 m2.
1.2 P (a) A quina profunditat del mar la pressió manomètrica
val 1 atm? (Utilitzar la densitat del’aigua de mar ρ = 1.03×103
kg/m3).(b) Quant val la pressió absoluta a la profunditat de 100
m?(c) Suposant que l’aigua és incompressible, calculeu la pressió
en el fons de la Fossa de les Mariannes,que és on es troba el punt
més profund de l’oceà (10924 m).
1.3 P Una piscina mesura 5 m de longitud, 4 m d’amplada, i 2 m
de profunditat. Calculeu la forçaexercida per l’aigua (a) contra
el fons; (b) contra la paret longitudinal (no incloeu la força
degudaa la pressió de l’aire).(c) Calculeu la força exercida per
l’aigua sobre la finestreta de 100 cm2 d’un batiscaf submergit enel
fons de la Fossa de las Mariannes (utilizeu els resultats del
prob.1.2). Comenteu si influeix en elcàlcul com està orientada la
finestreta (horizontal o verticalment).
1.4 P Un avió amb passatgers a bord està accelerant
horitzontalment a a = 1 m/s2 de manera constant.Els passatgers
senten en les seves öıdes el canvi de pressió de l’aire. Si
suposem que la densitat del’aire dins la cabina, de longitud l = 50
m, és ρ = 1.2× 10−3 g/cm3, i la pressió mitjana p0 = 1
atm,determineu com varia la pressió de l’aire a la cabina respecte
el valor p0. Quina pressió senten elspassatgers que estan en la
part anterior, en la part central, i en la part posterior de la
cabina?
1.5 [T ] Tenim una peixera de forma cúbica de costat a = 60 cm.
Fins a quina alçada l’hem d’omplird’aigua per tal que la força
deguda a la pressió sobre una de les cares de les parets sigui 1/6
de laque actua sobre el fons? (No incloeu la força deguda a la
pressió de l’aire).
1.6 [T ] L’experiment de Pascal.El 1646 Pascal va fer el famós
experiment que es representa a la figura. Dinsuna bóta de vi plena
d’aigua i hermèticament tancada s’introdueix, en sentitvertical,
un tub llarg i estret de radi 3.1 mm. Abocant un got d’aigua dins
eltub (≈ 350 g), Pascal aconsegúı reventar la tapa de la bóta.
Expliqueu aquestfet després de calcular:(a) l’alçada h de la
columna d’aigua en el tub;(b) la pressió manomètrica just a sota
la tapa de la bóta;(c) la força neta exercida sobre la tapa (de
superf́ıcie ≈ 0.12 m2). Compareu-laamb el pes de l’aigua continguda
dins el tub.
-
1.7 P Un baròmetre de mercuri com el de l’experiment
deTorricelli té una obertura A en la part lateral del tubque
inicialment està tapada, com s’indica a la figura.Què passarà
quan traguem el tap?
1.8 P Les branques d’un tub obert en forma d’U tenen radis r1 i
r2. En primerlloc hi llencem mercuri i desprès un altre ĺıquid
fins a quedar les branques aunes alçades h1 i h2 (ver la figura).
Si la densitat del mercuri és ρ1, determineula densitat de l’altre
ĺıquid ρ2.
1.9 P Un sistema de vasos comunicants està format per dos tubs
ciĺındrics obertsde seccions uniformes S1=S i S2=2S units per la
seva base. Inicialmentcontenen un ĺıquid incompressible de
densitat ρ en equilibri com es mostraa la figura. Al tub més
estret s’hi afegeix una massa m d’un altre ĺıquid dedensitat
desconeguda ρ′ menor que ρ, de manera que ambdós ĺıquids no
esbarregen. Quan s’arriba a la situació d’equilibri en els dos
tubs, els nivells delĺıquid de densitat ρ a cada tub canvien.(a)
Determineu els canvis de nivell h1 i h2 del ĺıquid de densitat ρ a
cadascundels tubs respecte a la posició inicial en funció de S, ρ
i m.(b) Calculeu numèricament h1 i h2 suposant S = 1 cm
2, m = 27.2 g iρ = 13.6 g/cm3.(c) Determineu la pressió
manomètrica hidrostàtica a la interfase entre els dosĺıquids i
calculeu-ne el valor numèric.
1.10 [T ] El tub en forma d’U de la figura té els extrems
tapats. Conté un gas a A,un altre a B i mercuri a C. Les alçades
del mercuri a les dues branques són lesindicades. Si la pressió a
A val 1000 Pa, determineu la pressió al punt B. (Ladensitat del
mercuri és ρ = 13.6×103 kg/m3).
1.11 [C] Calculeu la massa d’aire que conté una habitació del
vostre pis.
1.12 [C] (a) Quant mesura un cub de plat́ı de 20 kg?(b) Quin
diàmetre tindria una esfera d’acer de 20 kg?
1.13 [C] Un tub en forma d’U obert pels dos extrems conté
mercuri. S’aboca una mica d’aigua en el braçesquerre fins que la
seva altura és h1 = 80 cm. En el braç dret s’aboca oli fins que
la seva altura ésh2 = 20 cm. Suposant que els ĺıquids no es
barregen, calculeu el desnivell de mercuri entre els dosbraços.
(La densitat de l’aigua és ρ1 = 10
3 kg/m3, la de l’oli ρ2 = 0.8×103 kg/m3, i la del mercuriρ3 =
13.6×103 kg/m3).
1.14 [C] Un tub en forma d’U de secció uniforme S té un extrem
tapat i un altreobert a l’atmosfera. El tub conté mercuri (M) a la
part central, un gas (G)al braç esquerre i una columna d’aigua (A)
d’altura hA al braç dret. Quanel sistema està en equilibri, la
pressió del gas a la part G és igual a p. (Lasituació de la
figura). Després, s’aboca al braç dret una massa m d’un
altreĺıquid de densitat desconeguda i quan s’arriba a la situació
d’equilibri, el nivelldel mercuri al braç esquerre ha cambiat en
∆h, i la pressió del gas G ha passata ser p′. (a) Determineu
l’augment de pressió p′ − p del gas G en funció dela densitat del
mercuri ρ, ∆h, S i m. (b) Determineu la pressió
manomètricahidrostàtica a la interfase entre el mercuri i l’aigua
a l’estat final.
1.15 [C] Un astronauta està en el Pol Nord d’un planeta acabat
de descobrir que té forma esfèrica (deradi R). L’astronauta
disposa d’un recipient amb un ĺıquid de densitat ρ. A la
superf́ıcie del ĺıquidla pressió és p0; a una profunditat d la
pressió té un valor major p. Amb aquesta informació,determineu
la massa del planeta.
-
1.16 [C] (a) Quina és la diferència de pressions entre
Barcelona (nivell del mar) i la Vall de Núria (altura≈ 2000 m)?
Considereu que l’atmosfera es isotèrmica a temperatura constant t
= 5◦C i es comportacom un gas ideal. (b) Quina diferència de
pressions obtindŕıem si consideréssim que l’aire té unadensitat
homogènia igual a la que té a nivell del mar (1 atm)? (Suposeu
que té 1.29 kg/m3). Estàjustificat prendre la densitat de l’aire
constant entre el nivell del mar i la Vall de Núria?
1.17 [C∗] La paradoxa hidrostàtica.Tres recipients amb simetria
ciĺındrica tenen la cara del fonsamb la mateixa àrea A. Tots
contenen ĺıquid fins a la mateixaalçada h, com s’indica a la
figura. Expliqueu en què consisteix laparadoxa hidrostàtica
comparant, per a cadascun dels recipients,el pes del ĺıquid amb
les forçes de pressió verticals sobre el fons(A) i sobre les
bases anulars (A2).
1.18 [C∗] En els braços d’un tub en forma d’U que conté
mercuri s’aboca aigua ioli. El mercuri té el mateix nivell en
ambdós braços. A l’altura h0 = 24 cmels dos braços estan
connectats per un tub prim horitzontal que té una clauque
inicialment està tancada. L’altura de la columna d’aigua en el
braçesquerre és h1 = 40 cm.(a) Determineu l’altura de la columna
d’oli h2. (La densitat del mercuri13.6×103 kg/m3 i la de l’oli
0.8×103 kg/m3).(b) Quan obrim la clau, quin tipus de moviment farà
el fluid? Considerantque l’aigua i l’oli no es barregen, i
negligint els efectes de la capil·laritat,determineu les altures
dels ĺıquids en l’estat final d’equilibri.
2. Flotació
2.1 P Una esfera buida de volum V , feta amb un material de
densitat ρ, flota enun ĺıquid de densitat ρ0, quedant parcialment
submergida. Quin volum té lacavitat dintre de l’esfera sabent que
la part submergida és Vs = αV ?
2.2 P La densitat d’un ĺıquid en un recipient varia amb la
profunditat h segons la fórmula:ρ(h) = ρ0 + αh. Hi submergim un
objecte homogeni de densitat ρ. L’objecte s’enfonsa completa-ment,
però no cau fins el fons, quedant en equilibri a una certa
profunditat. A quina profunditath0 quedarà el seu centre de masses
si la seva forma és cúbica i les seves dues cares resten
paral·lelesa la superf́ıcie del ĺıquid?
2.3 P Mesura de la densitat d’un objecte.El principi
d’Arquimedes es pot utilitzar per a medir la densitat d’un cos
homogeni d’un materialdesconegut. Per a fer-ho, l’objecte es pesa
en dos ĺıquids diferents de densitats conegudes. (Es potsubstituir
el segon ĺıquid per aire).(a) Expliqueu en què consisteix el
mètode, deduint la fórmula per a la densitat desconeguda ρ
entermes dels pesos;(b) Si l’objecte pesa tres cops menys en
l’aigua que en l’aire, quina és la seva densitat?
2.4 [T ] Un recipient conté dos ĺıquids no barrejats que tenen
densitats diferents:ρ1 < ρ2. En la interfase entre els ĺıquids
flota un bloc rectangular homogeni dealçada ` totalment submergit,
de densitat ρ3 amb valor ρ1 < ρ3 < ρ2.(a) Determineu la
pressió manomètrica p1 a la superf́ıcie superior i la
pressiómanomètrica p2 a la superf́ıcie inferior del bloc.(b)
Quina porció x del bloc es troba per sobre de la interfase?
2.5 [T ] Una esfera de coure buida pesa, en l’aire, P1 = 17.8 N,
i en l’aigua, P2 = 14.2 N. Determineu elvolum de la cavitat interna
de l’esfera. (La densitat del coure és ρ = 8.9×103 kg/m3).
-
2.6 [C] Quin percentatge del volum d’un iceberg està per sota
del nivell del’aigua? (La densitat de l’aigua de mar és ρ0 = 1.03
g/cm
3, i la del gelés ρ1 = 0.917 g/cm
3).
2.7 [C] Quants pingüins d’aproximadament 10 kg pot soportar
sense enfonsar-se una placa de gel desuperf́ıcie 2 m2 i espessor 50
cm? (Preneu la densitat de l’aigua de mar com 1.025 g/cm3, i la
delgel 0.97 g/cm3; suposeu que la densitat dels pingüins és major
que la de l’aigua).
2.8 [C] En un recipient que conté aigua ĺıquida en el punt de
congelació flota un glaçó. Al fondre’s elgel, què li passa al
nivell d’aigua en aquests dos casos?(a) El glaçó és homogeni,
(b) El glaçó conté algunes bombolles.
2.9 [C] En un tub en forma de U de secció uniforme S tenim un
ĺıquidincompressible de densitat ρ com es mostra a la figura. En
el braç dretdel tub s’aboca una massa m1 d’un altre ĺıquid de
menor densitat (queno es barreja amb el primer) i es posa una massa
m2 de fusta que quedaflotant parcialment submergida. Quan el
sistema arriba a l’equilibri, elnivell del ĺıquid en el braç
esquerre ha canviat en ∆h respecte al seunivell inicial. Determineu
∆h en funció dels paràmetres: m1, m2, S i ρ.
3. Tensió superficial
3.1 P Una bombolla de sabó té un radi R = 2 cm.(a) Sabent que
la tensió superficial del sabó és σ = 7 × 10−2 N/m, calculeu la
diferència de pressióentre dins i fora de la bombolla;(b) Quanta
energia està emmagatzemada en la superf́ıcie de la bombolla?
3.2 P Dos capil·lars de radis r1 = 0.5 mm i r2 = 1 mm formen un
tub en U que contéaigua com s’indica a la figura. Quant val la
diferència d’altures del ĺıquid ∆h alsdos capil·lars? Podem
suposar que el coeficient de tensió superficial de l’aigua ésσ =
0.073 N/m, i l’angle de contacte entre l’aigua i la paret del tub
és θ = 30◦.
3.3 P (exam.2013).Un sistema de vasos comunicants format per dos
tubs verticals contémercuri (M) a la part central. El braç dret
és un capil·lar del radi r queestà obert a l’atmosfera, mentre
que el braç esquerre conté un gas (G)que desemboca a una bombolla
de sabó. El gas pot passar lliuremententre la bombolla i el tub, i
la clau (L) entre el tub i l’exterior estàtancada. El dispositiu
permet mesurar el coeficient de tensió superficialdel sabó σs
sabent altres paràmetres. Quan el sistema està en
equilibri(situació de la figura), la bombolla té radi R i el
desnivell del mercurientre els dos braços és h.
(a) Determineu la tensió superficial de la bombolla σs en
funció dels parameters: h, R, r, ρ, θ, σ,i g, on ρ és la densitat
del mercuri, θ i σ són l’angle de contacte i el coeficient de
tensió superficialentre el mercuri i les parets del capil·lar,
respectivament, i g és l’acceleració de la gravetat. Suposeuque
90◦ < θ < 180◦.(b) Calculeu el valor de σs sabent que R = 1
cm, h = 1.18 cm, r = 0.3 mm, ρ = 13.6 g/cm
3,θ = 120◦, σ = 0.48 N/m, i g = 9.8 m/s2.(c) Què passarà amb
la bombolla en els primers instants, quan s’obre la clau L i el
braç esquerrequeda obert a l’atmosfera?(d) Determineu el nou
desnivell h′ entre els dos braços.
3.4 [T ] Des de quina altura mı́nima ha de caure una gota de
radi R per a que es disgregui en N gotesidèntiques més petites?
(La seva tensió superficial és σ i la seva densitat ρ).
Considereu que lesgotes tenen forma esfèrica i que la temperatura
no varia.
-
3.5 [T ] Tensiòmetre de Du Noüy.La tensió superficial es pot
mesurar amb el mètode de l’anell de DuNoüy que consisteix en
determinar la força necessària per tal de de-sprendre un anell
lleuger metàl·lic que toca la superf́ıcie del ĺıquidsense
submergir-se. La força es realitza contra la tensió
superficialdel ĺıquid que actua al llarg de la circumferència de
l’anell i es mesuraamb un dinamòmetre de torsió.(a) Calculeu la
força necessària per treure un anell d’alumini de lasuperf́ıcie
de l’aigua. (Dades anell: diàmetre interior, d1 = 50 mm,diàmetre
exterior, d2 = 52 mm, altura h = 10 mm; densitat de l’alumini, ρ =
2.6×103 kg/m3, tensiósuperficial de l’aigua, σ = 0.073 N/m.)(b)
Quin percentatge de la força calculada constitueix la força de
tensió superficial?
3.6 [C] Entre els millors vins dels Cellers Jean Leon de l’Alt
Penedès n’hi ha un que portael nom “11250”. A l’etiqueta llegim
que 11250 és el nombre de gotes que hi caben enuna ampolla de vi i
també “el nombre dels secrets que la composen”. Sense
pretendredesvetllar tots els secrets que tanca una ampolla de Jean
Leon, podem plantejar-nos lasegüent pregunta: Quina energia cal
per a fraccionar el contingut d’una ampolla de vide 0.75 l en 11250
gotes? Suposem que l’energia superficial inicial del vi és
menyspreablei el coeficient de tensió superficial del vi és σ =
0.045 N/m.
3.7 [C∗] Sobre la superf́ıcie de l’aigua s’han col·locat una
agulla d’acer. Calculeu el diàmetre màximque pot tenir l’agulla
per tal que romangui flotant a la superf́ıcie sense
enfonsar-se?(Dades: densitat de l’acer ρ = 7.7 × 103 kg/m3, tensió
superficial σ = 0.073 N/m.)
3.8 [C∗] Quin valor hauria de tenir la constant d’acceleració
gravitatòria d’unplaneta per a què una persona pogués “caminar”
sobre l’aigua? (Considereuque les soles de les sabates no es
mullen). La tensió superficial de l’aigua ésσ = 0.073 N/m.
4. Dinàmica de fluids
4.1 P Un pantà desguassa en una planta de producció d’en-ergia
elèctrica que està a 50 m per sota de la presa d’aigua,com indica
la figura. El desguaç es fa a través d’una canon-ada que es va
fent progressivament més estreta. L’aiguaentra en el tub a una
velocitat v1 = 5 m/s. La secció dela canonada quan arriba a la
planta de producció és 5 copsmenor que la que té al sortir del
pantà.(a) Calculeu la diferència de pressions p2 − p1 entre els
ex-trems;(b) És positiva o negativa? De què depèn el signe?
4.2 P Determineu la velocitat de sortida d’un ĺıquid (fluid
ideal) en funció del temps a través d’unorifici en el fons d’un
dipòsit ciĺındric obert a l’atmosfera, si sabem l’altura inicial
del ĺıquid H, lasecció del dipòsit SD i la de l’orifici S (S �
SD). Quant de temps trigarà a buidar-se el dipòsit, siH = 1.8 m,
SD = 10 m
2, i S = 100 cm2?
4.3 P Calculeu en km/h la velocitat d’un avió provëıt d’un
tubde Pitot. El ĺıquid manomètric del qual és mercuri, essentla
diferència d’altures entre els nivells dels dos braços h =49 mm.
Suposeu que la densitat de l’aire és ρ = 1.293 kg/m3
i la del mercuri ρm = 13.6 × 103 kg/m3.
-
4.4 P L’aire comprimit flueix de manera estacionària des d’un
dipòsita través d’una mànega de diàmetre D = 3 cm, i surt a
l’atmosfera apartir d’una obertura de diàmetre d = 1 cm, tal i com
es mostra ala figura. La pressió manomètrica dins del dipòsit
és p = 0.25 kPa,amb la densitat de l’aire corresponent ρ = 1.26
kg/m3. Suposem quela densitat de l’aire ρ es la mateixa en el
dipòsit i la mànega.(a) Determineu la velocitat v de l’aire a la
sortida.(b) Trobeu la pressió p′ i la velocitat v′ de l’aire a la
mànega.
4.5 [T ] Un tanc cobert conté aigua fins a una alçada h = 11
m. L’aire està a una pressió p = 4 atm. Alfons del tanc hi ha un
forat petit a través del qual l’aigua s’escapa. Calculeu a quina
velocitat surtl’aigua en els primers instants.
4.6 [T ] Un dipòsit ciĺındric de grans dimensions obert a
l’atmosfera conté aigua fins a una alçada h.Fem un orifici de
forma rectangular d’amplada a i alçada h2 − h1, on h1 (h2) és la
distància delcostat superior (inferior) fins al nivell de l’aigua
(vegeu la figura).
(a) Determineu el cabal Q d’aigua que surt a l’instant
inicial,integrant per tota la superf́ıcie de l’orifici.(b) Suposem
ara que h2 = h1 + δ, amb δ molt petita, de maneraque podem
menysprear la diferència de profunditats a les que estroben els
costats superior i inferior del rectangle. Quin resultatpodem
esperar en aquest cas? Utilitzant la fórmula obtinguda enl’apartat
(a), determineu el cabal en aquest ĺımit.Ajut: (1 + x)α ≈ 1 +
αx.
4.7 [C] Una mànega de jard́ı que té un diàmetre intern de 1.2
cm està connectada a un aspersor amb25 orificis, cadascun de 1.5
mm de diàmetre. Si l’aigua en la mànega té una velocitat de 1
m/s, aquina velocitat surt pels orificis de l’aspersor?
4.8 [C] El dispositiu de la figura serveix per a conèixer el
cabal que circulaen tot moment per una canonada. Consisteix en un
estrenyiment idos tubs verticals oberts. Trobeu la relació que hi
ha entre el cabalQ, la secció S1 de la canonada, la secció S2 de
l’estrenyiment, i ladiferència d’altures h en les dues
columnes.
4.9 [C] Considereu un dipòsit obert de grans dimensions. A la
part de sotahi ha aigua fins a una altura ha, i a la de sobre
petroli fins a una alturaha+hp com es mostra a la figura. Suposeu
que el petroli té una densitatinferior a la de l’aigua, i que els
dos ĺıquids no es barregen. Fem un orificia una altura h del terra
(h < ha).(a) Determineu la velocitat v a la que sortirà l’aigua
en els primersinstants, en funció de ρa, ρp, ha, hp i h. Negligiu
els efectes de laviscositat.(b) Calculeu el valor de v sabent que
ρp = 0.9ρa, ha = 1 m, hp = 2 m ih = 0.3 m.
4.10 [C] L’aigua continguda en un dipòsit esdescarrega a
través d’una canonada comes mostra a la figura. A quin punt la
pres-sió és menor? Considereu que la secciótransversal en el
punt 1 és igual a la delpunt 4, la secció transversal en el punt
2és igual a la del punt 3, i la viscositat del’aigua és
negligible.