Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, … ℤ = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … ℝ = ℚ = = , ∈ ℤ, ≠ 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver ∈ ℕ har vi gitt et utsagn ! . Anta videre at vi vet at følgende to krav er oppfylt: I) ! er sann II) Dersom ! er sann for en ∈ ℕ, så er !!! også sann. Da er ! sann for alle ∈ ℕ. La ! være et naturlig tall, og anta at for hver ≥ ! har vi et utsagn ! . Anta videre at vi vet: I) ! ! er sann. II) Dersom ! er sann for alle slik at ! ≤ < , så er ! også sann. Da er ! sann for alle naturlige tall ≥ ! . Kombinatorikk Dersom vi ønsker å plukke ut elementer fra en mengde av ulike objekter, så kan det gjøres på: = !! !! !!! ! forskjellige måter. Binomialformelen: + ! = ! ! ! !!! ! !!! Mengder og lignende ⊆ = A er en delmengde av B. = { ∈ ∣ ℎ } = Delmengden B er de elementene i A som har egenskap P. Snittet ∩ består av alle elementene som er med i begge mengdene. Unionen ∪ består av alle elementene som er minst i en av mengdene. Trekantulikheten + ≤ + − ≤ −
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Grunnleggende notasjon
ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
ℤ = … ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,…
ℝ = 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙
ℚ = 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 = 𝑎𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0
Induksjonsprinsippet
Anta at for hver 𝑛 ∈ ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃!. Anta videre at vi vet at følgende to krav er
oppfylt:
I) 𝑃! er sann
II) Dersom 𝑃! er sann for en 𝑘 ∈ ℕ, så er 𝑃!!! også sann.
Da er 𝑃! sann for alle 𝑛 ∈ ℕ.
La 𝑛! være et naturlig tall, og anta at for hver 𝑛 ≥ 𝑛! har vi et utsagn 𝑃!. Anta videre at vi vet:
I) 𝑃!! er sann.
II) Dersom 𝑃! er sann for alle 𝑚 slik at 𝑛! ≤ 𝑚 < 𝑘, så er 𝑃! også sann.
Da er 𝑃! sann for alle naturlige tall 𝑛 ≥ 𝑛!.
Kombinatorikk
Dersom vi ønsker å plukke ut 𝑘 elementer fra en mengde av 𝑛 ulike objekter, så kan det gjøres
på: 𝑛𝑘 = !!!! !!! !
forskjellige måter.
Binomialformelen: 𝑎 + 𝑏 ! = !! 𝑏
!𝑎!!!!
!!!
Mengder og lignende
𝐴 ⊆ 𝐵 = A er en delmengde av B.
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ℎ𝑎𝑟 𝑒𝑔𝑒𝑛𝑠𝑘𝑎𝑝𝑒𝑛 𝑃} = Delmengden B er de elementene i A som har egenskap P.
Snittet 𝐴 ∩ 𝐵 består av alle elementene som er med i begge mengdene.
Unionen 𝐴 ∪ 𝐵 består av alle elementene som er minst i en av mengdene.
Trekantulikheten
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 − 𝑏
Homogene differenslikninger
𝑥!!! = 𝑟𝑥! hvis og bare hvis det finnes et reelt tall C slik at 𝑥! = 𝐶𝑟! for alle n.
𝑥!!! + 𝑏𝑥!!! + 𝑐𝑥! = 0 med reelle koeffisienter
Dersom den karakteristiske ligningen 𝑟! + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 har to forskjellige reelle røtter, 𝑟! og 𝑟!,
så er den generelle løsningen til differensligningen:
𝑥! = 𝐶𝑟!! + 𝐷𝑟!!
Dersom den karakteristiske ligningen 𝑟! + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 bare har en (reel) rot 𝑟 ≠ 0, så er den
generelle løsningen til differensligningen:
𝑥! = 𝐶𝑟! + 𝐷𝑛𝑟!
Inhomogene differenslikninger
Anta at 𝑥!! er en løsning av den inhomogene, annenordens differenslikningen:
𝑥!!! + 𝑏𝑥!!! + 𝑐𝑥! = 𝑓(𝑛) (1)
Da vil de andre løsningene av (1) være:
𝑥! = 𝑥!! + 𝑥!!
Der 𝑥!! er en vilkårlig løsning av den homogene ligningen
𝑥!!! + 𝑏𝑥!!! + 𝑐𝑥! = 0
Konvergens av følger
Konvergerer: lim!→! 𝑎! = 𝑎
Divergerer: lim!→! 𝑎! = ∞
Definisjon av konvergens
Følgen 𝑎! konvergerer mot et tall a dersom det for ethvert reelt tall 𝜀 > 0 (uansett hvor lite),
finnes det et tall 𝑁 ∈ ℕ slik at 𝑎! − 𝑎 < 𝜀 for alle 𝑛 ≥ 𝑁. I såfall skriver vi
lim!→!
𝑎! = 𝑎
Kontinuitet
En funksjon 𝑓 er kontinuerlig i et punkt 𝑎 ∈ 𝐷! dersom følgende gjelder. For enhver 𝜀 >
0 (uansett hvor liten), finnes det en 𝛿 > 0 slik at når 𝑥 ∈ 𝐷! og 𝑥 − 𝑎 < 𝛿, så er 𝑓 𝑥 −
𝑓(𝑎) < 𝜀.
Bruk definisjonen av kontinuitet til å vise at funksjonen 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 2 er kontinuerlig i punktet
a = 2.
ℎ = 𝑥 − 2 𝑥 = 2+ ℎ
skal finne en 𝛿 > 0 slik at når ℎ = 𝑥 − 2 < 𝛿, så er 𝑓 𝑥 − 𝑓 2 < 𝜀
𝑓 𝑥 − 𝑓 2 = 5𝑥 + 2 − (5 ∙ 2+ 5) = 5𝑥 − 10 = 5 2+ ℎ − 10 = 5 ℎ
Kan 5 ℎ bli mindre enn 𝜀 ved å sørge for at ℎ = 𝑥 − 2 er tilstrekkelig liten? Velger 𝛿 = !!, da er
ℎ = 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 = !!, og da er
𝑓 𝑥 − 𝑓 2 = 5 ℎ < 5 ∙𝜀5 = 𝜀
Skjæringssetningen
Anta at 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ er en kontinuerlig funksjon hvor 𝑓(𝑎) og 𝑓(𝑏) har motsatt fortegn. Da
finnes det minst et tall 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) slik at 𝑓 𝑐 = 0.
Korollar 5.2.2
Anta at 𝑔: 𝑎, 𝑏 → ℝ og ℎ: 𝑎, 𝑏 → ℝ er to kontinuerlige funksjoner slik at 𝑔 𝑎 < ℎ 𝑎 og
𝑔 𝑏 > ℎ 𝑏 . Da finnes det en 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 slik at 𝑔 𝑐 = ℎ 𝑐
The Intermediate-Value Theorem
Anta at 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ er en kontinuerlig funksjon. Hvis L er et reelt tall slik at 𝑓 𝑎 < 𝐿 <
𝑓(𝑏) eller 𝑓 𝑏 < 𝐿 < 𝑓(𝑎), da finnes det i hvertfall et tall 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) slik at 𝑓 𝑐 = 𝐿.
Ekstremalverdisetningen
Et punkt 𝑎 er et maksimumspunkt for funksjonen 𝑓:𝐷! → ℝ dersom 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) for alle
𝑥 ∈ 𝐷!. Vi kaller 𝑎 et minimumspunkt dersom 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) for alle 𝑥 ∈ 𝐷!. Med et fellesnavn
kaller vi slike punkter for ekstremalpunkter.
La 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da har
𝑓 både maksimums- og minimumspunkt(er).
Definisjonen av grenseverdier
Anta at 𝑓 er definert i nærheten av 𝑎. Vi sier at 𝑓(𝑥) nærmer seg 𝑏 som grenseverdi når 𝑥 går
mot 𝑎 dersom følgende gjelder. For ethvert tall 𝜀 > 0 (uansett hvor lite) finnes det et tall 𝛿 > 0
slik at 𝑓 𝑥 − 𝑏 < 𝜀 for alle 𝑥 slik at 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿. lim!→! 𝑓(𝑥) = 𝑏
Derivasjon
𝑓! 𝑎 = lim!→!
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎ℎ = lim
!→!
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)𝑥 − 𝑎 = lim
∆!→!
𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎)∆𝑥
𝑓𝑔
!
𝑎 =𝑓! 𝑎 𝑔 𝑎 − 𝑓 𝑎 𝑔! 𝑎
𝑔 𝑎 !
𝑓! 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝐷 ln 𝑓 𝑥
Middelverdisetningen
Anta at funksjonen 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ er kontinuerlig, og at den er deriverbar i alle indre punkter
𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . Da finnes det et punkt 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 slik at
𝑓! 𝑐 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Asymptoter
Grafen har en vertikal asymptote når grenseverdien lim!→!! 𝑓 𝑥 er lik ∞ eller −∞ og
lim!→!! 𝑓 𝑥 er lik ∞ eller −∞
Linjen 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 er en skråasymptote for funksjonen 𝑓 når 𝑥 → ∞ dersom avstanden mellom
linjen og funksjonsgrafen går mot null når 𝑥 går mot ∞:
lim!→±!
𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Metode for skråasymptoter:
I) Beregn lim!→!!(!)!
Dersom grenseverdien ikke finnes, er det ingen asymptote.
Dersom lim!→!!(!)!= 𝑎, så:
II) Beregn lim!→! 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 . Dersom denne grensen ikke finnes er det ingen
asymptote. Dersom lim!→! 𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏, så er 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 en asymptote for 𝑓
når 𝑥 → ∞
Injektive funksjoner
Anta at 𝑓:𝐷! → 𝑉! er injektiv. Vi definerer den omvendte funksjonen 𝑔: 𝑉! → 𝐷! ved å la 𝑔(𝑦)
være det entydig bestemte elementet 𝑥 ∈ 𝐷! slik at 𝑓 𝑥 = 𝑦. Sagt med symboler er altså:
𝑔 𝑦 = 𝑥 dersom 𝑓 𝑥 = 𝑦
Derivasjon av injektive funksjoner
Anta at 𝑓 er en kontinuerlig, strengt monoton funksjon som er deriverbar i punktet 𝑥 med
𝑓! 𝑥 ≠ 0. Da er den omvendte funksjonen 𝑔 = 𝑓!! deriverbar i punktet 𝑦 = 𝑓 𝑥 , og
𝑔! 𝑦 =1
𝑓! 𝑥
Cotangens and shit
tan 𝑥 = !"#!!"#!
𝐷 tan 𝑥 = !!"#! !
cot 𝑥 = !"#!!"#!
𝐷 cot 𝑥 = − !!"#! !
𝐷 arcsin 𝑥 =1
1− 𝑥!
𝐷 arccos 𝑥 = −1
1− 𝑥!
𝐷 arctan 𝑥 =1
1+ 𝑥!
𝐷 arccot 𝑥 = −1
1+ 𝑥!
𝐷 sin 𝑥 = cos 𝑥
𝐷 cos 𝑥 = −sin 𝑥
Definisjon av integralet
Anta at 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ er en begrenset funksjon. Dersom 𝑓(𝑥)!! 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)!
! 𝑑𝑥 sier vi at 𝑓 er
integrerbar på 𝑎, 𝑏 .
sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
1cos! 𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
1sin! 𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
Omdreiningslegemet rundt x-aksen
𝑉 = 𝜋!
!𝑓(𝑥)!𝑑𝑥
Omdreiningslegemet rundt y-aksen
𝑉 = 2𝜋𝑥!
!𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Lengden til en graf
𝐿 = 1+ 𝑓′(𝑥)! 𝑑𝑥!
!
Integrasjon
𝑢 𝑥 𝑣! 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑢! 𝑥 𝑣 𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑔!!′(𝑢)𝑑𝑢 𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑢 = 𝑢′ ∙ 𝑑𝑥 I substitusjon
𝑑𝑢1+ 𝑢! ! =
12(𝑚 − 1)
𝑢(1+ 𝑢!)!!! +
2𝑚 − 32(𝑚 − 1)
𝑑𝑢1+ 𝑢! !!!
Annet
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥! + 𝑏𝑥 +𝑏2
!
−𝑏2
!
+ 𝑐 = 𝑥 +𝑏2
!
+ 𝑐 −𝑏2
!
Related Documents
