Datum: Juni 2016 Ref.: Dr. Reto Berger (BER) [email protected]Förderkurs Mathematik im Seefeld Inhaltsverzeichnis Ü1: Terme in Faktoren zerlegen / Binomische Formeln Ü2: Bruchterme kürzen Ü3: Addition und Subtraktion von Brüchen Ü4: Multiplikation und Division von Brüchen Ü5: Doppelbrüche Ü6: Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Ü7: Lineare Gleichungen mit Brüchen Ü8: Quadratische Gleichungen 1: Zerlegen in Linearfaktoren Ü9: Quadratische Gleichungen 2: Lösungsformel Ü10: Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Ü11: Lineare Funktion: Mathematik der Geraden Ü12: Lineare Funktion: Umkehrung Ü13: Lineare Funktion: Geradengleichung Lösungen
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Förderkurs Mathematik im Seefeld - gymthun.ch · Repetition Algebra Ü11 Die Lineare Funktion / Mathematik der Geraden Jede lineare Gleichung der Form kann in einem (kartesischen)
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• Kleinster gemeinsamer Nenner suchen (kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV) • Bruchterme auf kgV erweitern; auf einen Bruch reduzieren • Bruchterm vereinfachen (falls möglich)
Bsp:
Übungen: Addition und Subtraktion von Brüchen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Repetition Algebra Ü4
Multiplikation und Division von Brüchen
Vorgehen:
• Zuerst: Wenn möglich kürzen • Multiplikation: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner • Division: Zweiter Bruch umkehren (reziprok), dann multiplizieren • Bruchterme vereinfachen (falls möglich): kürzen und ausrechnen
Bsp: Multiplikation:
Division:
Übungen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( )
7.
8.
9. ( )
10.
Repetition Algebra Ü5
Doppelbrüche
Vorgehen:
Doppelbrüche sind grundsätzlich eine andere Schreibweise für die Division zweier Brüche und sind dem entsprechend als Bruchdivision zu lösen: Der grösste Bruchstrich wird durch ein Divisionszeichen ersetzt.
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nr. 7-10: Zähler und Nenner zuerst gleichnamig machen (ein Bruch), dann dividieren:
7.
8.
9.
10.
Repetition Algebra Ü6
Lineare Gleichungen mit 1 Variablen
Vorgehen:
• Gleichung auf beiden Seiten vereinfachen • Terme, welche die Variable enthalten, auf eine Seite nehmen; übrige
Terme auf die andere Seite • Zusammenfassen; evtl. ausklammern • nach auflösen • ev. Lösungskontrolle durch einsetzen von in die Ausgangsgleichung
Bsp. 1: ( ) ( )
Bsp. 2: Gleichung mit Parametern (Buchstaben) ( ) ( )
Übungen: Löse die folgenden Gleichungen nach der Variablen auf
1.
2. ( ) ( )
3. ( )( ) ( ) ( )
4.
5.
6.
7. ( ) ( )
8. ( ) ( ) ( )
9. ( ) ( ) ( )
10. ( ) ( ) ( ) ( )
Repetition Algebra Ü7
Lineare Gleichungen mit Bruchtermen
Vorgehen:
• Hauptnenner HN finden (kgV aller Nenner), alle Brüche gleichnamig machen durch Erweitern auf HN, beide Seiten als je einen Bruch schreiben.
• Beide Seiten der Gleichung mit dem HN multiplizieren („Brüche wegschaffen“). • Terme, welche die Variable enthalten, auf eine Seite nehmen; übrige Terme auf
die andere Seite. • Auflösen nach . • Lösungskontrolle durch Einsetzen von in die Ausgangsgleichung: Nenner darf nicht
0 ergeben. Falls doch, ist es keine gültige Lösung.
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen: Löse die folgenden Gleichungen nach der Variablen auf
1.
2.
3.
4.
( )
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Repetition Algebra Ü8
Quadratische Gleichungen 1: Zerlegen in Linearfaktoren
Vorgehen:
• Gleichung in Grundform ( ) bringen • Term ( ) in Linearfaktoren zerlegen • Faktoren setzen und nach auflösen Lösungen und
Bsp. 1:
Bsp. 2:
Übungen: Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
*12.
(zuerst Brüche wegschaffen)
Repetition Algebra Ü9
Quadratische Gleichungen 2: Lösungsformel
mit den Lösungen √
und
√
Vorgehen:
• Gleichung in Grundform ( ) bringen • und bestimmen und in die Lösungsformel einsetzen
Bsp:
Übungen: Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen
1.
2.
3. ( ) ( )
4. ( ) ( )
5.
6. (
)
(
)
7.
8. √
9.
10.
Repetition Algebra Ü10
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten
Vorgehen: Additionsmethode
• Gleichungssystem vereinfachen und in Grundform bringen: ( ) ( )
• Gleichungen mit multiplizieren so, dass oder • Gleichungen addieren und nach der verbleibenden Variable ( oder )
auflösen • Lösung in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach der andern
Variablen auflösen
Bsp: (1) –
(2) –
Übungen: Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme
Jede lineare Gleichung der Form kann in einem (kartesischen) -Koordinatensystem grafisch als Gerade interpretiert werden. Vorgehen:
• Lineare Gleichung nach auflösen in die Form: • Zeichnung: Punkt ( ): Schnittpunkt der Geraden mit -Achse Steigungszahl : Steigung der Geraden auf eine (positive) -Einheit
Bsp: Gerade gegeben durch die
Gleichung Zeichne die Gerade ins
nebenstehende Koordinatensystem ein.
Übungen 1: Zeichne die folgenden Geraden ins Koordinatensystem ein: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Repetition Algebra Ü12
Umkehrung:
Jede Gerade in einem Koordinatensystem kann als lineare -Gleichung beschrieben werden. Vorgehen: durch Ablesen
• : Schnittpunkt der Geraden mit -Achse • : Steigungszahl als Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im
rechtwinkligen Steigungsdreieck
Übungen 2:
Bestimme die Gleichungen der folgenden Geraden durch Ablesen: