This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс
В четырех частях
Часть 2
Минск БГАТУ
2011
2
УДК 51(07) ББК 22.1я7
М34 Рекомендовано научно-методическим советом
факультета предпринимательства и управления БГАТУ. Протокол № 1 от 20 сентября 2011 г.
Составители:
кандидат физико-математических наук, доцент И. М. Морозова, кандидат физико-математических наук, доцент Л. А. Хвощинская,
кандидат физико-математических наук А. А. Тиунчик, старший преподаватель Л. В. Лобанок,
ассистент О. В. Рыкова, ассистент О. Н. Кемеш
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики и теории механизмов и машин БГАТУ
А. Н. Орда; доктор педагогических наук, доцент кафедры теории функций БГУ
Н. В. Бровка
М34
Математика : учебно-методический комплекс. В 4 ч. Ч. 2 / сост. : И. М. Морозова [и др.]. — Минск : БГАТУ, 2011. — 188 с.
ISBN 978-985-519-486-7. Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» предназначен для
студентов дневной формы обучения инженерных специальностей сельскохозяйст-венных высших учебных заведений.
ПРЕДИСЛОВИЕ _______________________________________________ Данное издание – это вторая из четырех частей учебно-методического
комплекса, каждая из которых содержит учебный материал, излагаемый в соответствующем семестре. Вторая часть данного комплекса содержит перечень основных вопросов учебной программы дисциплины «Матема-тика» 2 семестра, учебные материалы по темам: «Комплексные числа», «Неопределенные интегралы», «Определенные интегралы», «Обыкно-венные дифференциальные уравнения». УМК составлен в соответствии с типовой программой дисциплины «Математика», разработанной по мо-дульной технологии обучения. Каждый модуль содержит теоретический материал, соответствующий темам лекций, в который включены задачи с подробными решениями. Также предлагаются задачи для решения с преподавателем на практических занятиях и самостоятельной работы, примерный вариант контрольного теста (образцы итоговых тестовых за-даний даны по уровням и отмечены знаками: репродуктивного уровня – знаком 0, творческого уровня – знаком *), индивидуальное домашнее за-дание (ИДЗ) и решение задач типового варианта ИДЗ для выявления дос-тижений студентов.
В результате изучения дисциплины «Математика» во втором се-местре студент должен знать:
- определение формы записи и действия над комплексными числами - основные методы интегрирования; - приложения определенного интеграла к задачам геометрии
и механики; - основные типы дифференциальных уравнений и методы их
решения; уметь: - производить действия над комплексными числами; - находить неопределенные интегралы; - вычислять с помощью определенного интеграла площади, дли-
ны дуг, объемы и площади тел вращения; - решать основные типы дифференциальных уравнений первого
и второго порядков.
4
ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (2 СЕМЕСТР) _______________________________________________
Модуль 6 Комплексные числа
Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплекс-
ных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами: сложение, умножение, деле-ние. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Многочлены. Тео-рема Безу. Основная теорема алгебры о разложении многочлена на мно-жители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей в сумму простейших дробей четырех типов.
Модуль 7 Неопределенные интегралы
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные
свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Понятие об ос-новных методах интегрирования: непосредственное интегрирование, ме-тод замены переменной (метод подстановки), метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и любых ра-циональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций, теорема Чебышева. Интегрирование некоторых классов функ-ций, содержащих тригонометрические функции. Универсальная и упро-щенные подстановки. Понятие о «неберущихся» интегралах.
5
Модуль 8 Определенные интегралы
Определение определенного интеграла, теорема об условиях его
существования. Основные свойства определенных интегралов, гео-метрический смысл. Вычисление определенных интегралов. Фор-мула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов с помощью методов замены переменной и интегрирования по час-тям. Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными преде-лами интегрирования и от неограниченных функций), теоремы об их сходимости и расходимости. Приложения определенных инте-гралов к некоторым задачам геометрического и физического со-держания. Вычисление площадей плоских фигур, длины дуги кри-вой, объемов и площадей поверхностей тел вращения, работы пе-ременной силы, давления на помещенную в жидкость пластину, ко-ординат центра масс плоской дуги и фигуры, моментов инерции некоторых материальных систем. Численные приближенные мето-ды вычисления определенных интегралов: формулы прямоугольни-ков, трапеций, парабол (Симпсона), точность вычислений.
Модуль 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Понятие о дифференциальных уравнениях n-го порядка и их решениях. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача и теорема Коши, их геометрическая интерпретация, изоклины, графическое интегрирование. Дифференциальные уравнения: с разделенными и разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах и приводящиеся к ним с помощью интегрирующего множителя; методы их интегрирования. Понятие об особых точках и решениях дифференциальных уравнений первого порядка, уравнения Клеро и Лагранжа. Огибающие, ортогональные и изогональные траектории. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков. Задача и теорема Коши, их геометрическая интерпретация и графическое решение в случае второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение
6
порядка. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков, фундаментальная система решений, структура общего решения. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, нахождение его корней, фундаментальной системы решений и общего решения. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения со специальной и неспециальной правой частью. Методы отыскания частного решения (метод спецструктуры и метод вариации произвольных постоянных Лагранжа). Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений n -го порядка и их решение методом исключения. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, их решение с помощью характеристического уравнения системы.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и их систем методом, основанном на применении формулы Тейлора, методами Адамса и Эйлера. Приложения дифференциальных уравнений к решению задач геометрического, физического, химического и экономического содержания.
7
МОДУЛЬ 6 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ________________________________________________
В результате изучения модуля студенты должны: 1) знать а) понятия и определения: комплексное число, мнимая
единица, действительная и мнимая часть комплексного числа, модуль, аргумент, тригонометрическая, показательная форма записи комплексного числа, формулы Эйлера; б) характеризовать связь между формами записи комплексного числа и изображением его на комплексной плоскости; в) моделировать практические задачи на составление уравнений с отрицательным дискриминантом.
2) уметь находить действительную и мнимую части комплексного числа, модуль и аргумент, записывать тригонометрическую и показательную формы числа; представлять синусоидальный ток в комплексной форме.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Попытки решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом привели к возникновению понятия комплексных чисел.
Определение. Комплексным числом называется число вида
iyxz += , (6.1)
где yx, – действительные числа, )1(1 2 −=−= ii – мнимая единица.
В технической литературе используют обозначение 1−=j . Число х называется действительной частью комплексного
числа, а у – его мнимой частью и обозначают zx Re= , zy Im= .
8
Запись iyxz += называется алгебраической формой комплекс-ного числа.
Множество всех комплексных чисел обозначают С. При 0=y получим действительное число xix =⋅+ 0 , т. е. R⊂ C. При 0=x получим число вида iyyi =⋅+0 , которое называется
чисто мнимым. Два комплексных числа равны, если равны их действительные
и мнимые части. Числа iyxz += и iyxz −= называются сопряженными.
Если на плоскости введена прямоугольная декартова система координат xOy, то каждому комплексному числу соответствует точка М(х, у) плоскости или вектор ОМ . И наоборот, каждая точка М(х, у) плоскости изображает комплексное число iyxz += (рис. 6.1).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, назы-
вается комплексной плоскостью и обозначается Z , ось Ох – дейст-вительной осью, а ось Оу – мнимой осью.
§ 2. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Определение. Модулем комплексного числа iyxz += называет-ся число
22|| yxOMr +==
и обозначается .|| zr =
Определение. Угол ϕ , образованный вектором OM с положительным направлением оси Ох , называется аргументом комплексного числа и обозначается zarcg=ϕ .
Z
x
y
0 x
y iyxz +=( )yxM ,
ϕ
Рис. 8.1.Рис. 8.1.
Рис. 6.1
9
Аргумент ϕ комплексного числа может быть найден из системы уравнений (см. рис. 8.1)
⇒==ry
rx ϕϕ sin,cos tg
xy
=ϕ .
Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого Zkk ∈,2π . Главное значение аргумента arg zϕ = выбирается из условий:
ππ ≤<− zarg или π2arg0 <≤ z .
Подставим в алгебраическую форму комплексного числа iyxz += формулы соотношения ϕϕ sin,cos ryrx == .
Получим формулу ϕϕ sincos irriyxz +=+= , или
)sin(cos ϕϕ irz += , (6.2)
которая называется тригонометрической формой комплексного числа.
Обозначив символом ϕie комплексное число ϕϕϕ sincose ii += ,
запишем комплексное число (8.2) в показательной форме ϕirz e= . Таким образом, комплексное число имеет 3 формы записи: 1. iyxz += – алгебраическая форма, 2. )sin(cos ϕϕ irz += – тригонометрическая форма, 3. ϕirz e= – показательная форма,
Складывая и вычитая равенства (6.3) и (6.4), находим
i
iiii
2eesin,
2eecos
ϕϕϕϕ
ϕϕ−− −
=+
= .
Формулы (6.3) и (6.4) называются формулами Эйлера. Эти формулы связывают показательную и тригонометрические функции. Пример 6.1. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить точками и векторами на комплексной плоскости: а) iz 1221 −= , б) 42 −=z . Решение. а) Действительная и мнимая части комплексного числа равны 12Im,2Re 11 −==== zyzx
Найдем модуль и аргумент 1z :
,416124)12(2 2222 ==+=−+=+= yxr
.32
34
32412sin,
21
42cos πϕϕϕ −=⇒−=−=
−=====
ry
rx
Следовательно, представление комплексного числа 1z в тригонометрической и показательной формах имеет вид
)3
sin3
(cos4)sin(cos1ππϕϕ iirz −=+= и 3
1 4eπ
ϕ ii erz−
== .
б) 42 −=z .
,0Im,4Re 22 ==−== zyzx
,40)4( 22 =+−=r
040sin,1
44cos ===ϕ−=
−==ϕ
ry
rx
.π=ϕ⇒ Таким образом, .e4)sin(cos42
π=π−π= iiz Числа 1z и 2z изображены на рис. 6.2.
0
π
Рис. 6.2
12
z2
-42
x
z1
-3π
y Z
11
§ 3. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Если комплексные числа заданы в алгебраической форме 111 iyxz += , 222 iyxz += , то операции сложения, вычитания,
умножения и деления этих чисел выполняются по следующим правилам:
Тогда iiiiizzz 1431471024)47(10243221 +=+++=−−−+=− .
Операции умножения и деления удобно проводить и над чис-лами, заданными в тригонометрической или показательной формах (см. [1], гл. VII, § 2,3).
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Рассмотрим синусоидальный ток, закон изменения которого во времени описывается формулой
)sin( ψ+ω= tIi m ,
где mI – амплитуда тока, характеризует максимальное значение тока, ω – угловая частота, ψ+ωt – фаза, характеризует состояние колебания в момент времени t , ψ – начальная фаза.
График тока дан на рис. 8.3.
13
При расчете цепей синусоидального тока используется также по-
нятие действующего значения тока
2mI
I = .
Для облегчения расчетов в электротехнике синусоидальный ток принято изображать вектором (или точкой) на комплексной плоскости
jmm II ψ⋅= e )1( −=j , (6.5)
который называется комплексной амплитудой (рис. 8.4). (обратите внимание на обозначения осей координат!). Модуль этого вектора равен амплитуде mI , а аргумент – начальной фазе ψ тока.
Если комплексную амплитуду разделить на 2 , то получим комплексное действующее значения тока
jmm III ψ== e
22.
Зная комплексную амплитуду или комплексное действующее значение синусоидальной величины, можно осуществить обратный переход и записать выражение для мгновенного значения этой ве-личины. Пример 6.3. Ток меняется по закону )120sin(10 0+ω= ti А. Найти комплексную амплитуду тока и изобразить ее на комплексной плоскости.
+1 0ψ
+j
mI.
Рис. 6.4
tω
i
0 ψ
Im
Рис. 6.3
14
Решение. Из условия находим ампли-туду mI и начальную фазу ψ тока:
0120,10 =ψ=mI . По формуле (8.5) находим комплексную амплитуду:
=⋅=⋅= ψ jjmm II
0120e10e
=+= )120sin120(cos10 00 j
A.66,85)23
21(10 jj +−=+−=
Комплексная амплитуда изображена на рис. 6.5. Пример 6.4. Задано комплексное действующее значение тока
jI 1010 −= А. Записать выражение для его мгновенного значения. Решение. Найдем действующее значение I тока как модуль ком-плексного действующего значения I тока:
14,14210)10(10|| 22 ==−+== II А.
Амплитуда mI тока вычисляется по формуле
2022102 =⋅=⋅= II m А.
Определим начальную фазу ψ как аргумент комплексного числа I
из уравнения 11010tg −=−=ψ .
Поскольку число jI 1010 −= расположено в четвертой четвер-
ти, то 045−=ψ . Записываем выражение для мгновенного значения синусоидального тока:
)45sin(20)sin( 0−ω=ψ+ω= ttIi m А.
+1
+j
0
mI.
°=ψ 120
-5
8,66
Рис. 6.5
15
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ _______________________________________________
1. Даны комплексные числа iz 531 += , iz 432 −= , iz 213 −= .
Найти число ( )
3
231
zzzz
z⋅+
= .
2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексные числа:
а) iz 221 −= ; б) iz −=2 ; в) iz += 33 .
3. Решить уравнения а) 0542 =++ xx ; б) 092 =+x .
4. Ток меняется по закону )6
5sin(90 πω −= ti А. Найти
комплексную амплитуду I тока и изобразить ее на комплексной плоскости.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1 1. Даны комплексные числа iz 321 −= , iz 342 += , iz += 23 .
Найти число 2
2321
zzzz
z+⋅
= .
2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексное число
iz +−= 3 .
16
Вариант 2 Даны комплексные числа iz 541 −= , iz 412 −= , iz 223 += .
Найти число ( )
3
3221z
zzzz
+= .
2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексное число
iz 44 −= .
Домашнее задание 1.Даны числа .23,52,3,21 4321 iziziziz −=+=−=+=
Вычислить
а) 2
431z
zzz +⋅ ; б) 42
23
31
zzzz
++ ; в)
1
4322 )(
zzzz ⋅− .
2. Представить числа iziz 333,232 21 −=−= в тригономет-рической и показательной формах, изобразить их на комплексной плоскости .
Задание 2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексное число
iz 22 −−= . Решение. Действительная и мнимая части комплексного числа равны 2Im,2Re −==−== zyzx
Найдем модуль и аргумент z :
( ) ,22844)2(2 2222 ==+=−+−=+= yxr
122=
−−
==xytgϕ , так как число z находится в третьей четверти
комплексной плоскости, то πϕ43
−= .
Следовательно, представление комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах имеет вид
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=+=
43sin
43cos22
43sin
43cos22)sin(cos ππππϕϕ iiirz и
43
22eπ
ϕ ii erz−
== .
25
МОДУЛЬ 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ______________________________________________ В результате изучения модуля студенты должны: 1) знать а) понятия и определения: первообразная, неопределенный
интеграл, основные свойства неопределенного интеграла, таблицу неопределенных интегралов, формулу интегрирования по частям; простейшие рациональные дроби I-IV типов, правильная и неправильная рациональные дроби, схема интегрирования дробно-рациональной функции, формулировка теоремы о разложении дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей; тригонометрические и иррациональные функции, универсальная подстановка; б) характеризовать методы непосредственного интегрирования, замены переменной и по частям в неопределенном интеграле; виды простейших рациональных дробей; виды интегралов от тригонометрических и иррациональных функций;
2) уметь находить неопределенные интегралы по таблице интегралов, используя методы непосредственного интегрирования, поднесения под знак дифференциала, замены переменной и интегрирования по частям; интегрировать простейшие рациональные дроби I-IV типов, выделять целую часть неправильной рациональной дроби, разлагать правильную рациональную функцию на сумму простейших дробей I-IV типов; вычислять интегралы от простейших иррациональных и тригонометрических функций.
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
Определение. Первообразной функцией для функции )(xf на промежутке Х называется такая функция )(xF , производная которой равна данной функции, т.е.
26
)()( xfxF =′ для любых Xx∈ .
Например, xsin есть первообразная функции xcos для любого действительного х, так как xx cos)(sin =′ , xln есть первообразная
функция x1 на промежутке ),0( ∞+ , т. к.
xx 1)(ln =′ .
Если )(xF и )(xΦ – две первообразные для одной и той же
функции )(xf , то CxFx +=Φ )()( , где С – постоянная. Определение. Совокупность всех первообразных CxF +)(
функции )(xf называется неопределенным интегралом от функции )(xf и обозначается
∫ += CxFxxf )()( d .
Функция )(xf называется подынтегральной функцией, а xxf d)( подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла
1. ( ) )()( xfxxf =′∫ d или ∫ = xxfdxxf d)())(d( .
2. ∫ +=′ Cxfxxf )()( d или ∫ += Cxfxf )()(d .
3. ∫ ∫= xxfcxxcf dd )()( (с = const).
4. [ ]∫ ∫ ∫+=+ xxfxxfxxfxf ddd )()()()( 2121 .
5. Если )(xF – первообразная функции )(xf , а )(xuu = – дифференцируемая функция, то ∫ += CuFuuf )()( d .
27
Таблица неопределенных интегралов
1. ∫ += Cuud 2. ∫ =Cud0
3. Cuuu ++
=∫+
1d
1
α
αα ( 1−≠α ), 4. , ∫ +−= C
uuu 1d2
5. ∫ += Cuuu lnd 6. ∫ += Cu
uu 2d
7. ∫ += Ca
auau
u
lnd ,
( 1,0 ≠> aa ) 8. ∫ += Cu uu ede
9. ∫ +−= Cuuu cosdsin 10. ∫ += Cuuu sindcos
11. ∫ += Cuu
u tgcos
d2 12. ∫ +−= Cu
uu ctg
sind
2
13. ∫ +=+
Cau
auau arctg1d
22
14. ∫ +
−+
=−
Cauau
auau ln
21d
22
15. ∫ ++−
=−
Cauau
aauu ln
21d
22
16. ∫ +=
−C
au
ua
u arcsind22
17. Cauuau
u+++=
+∫ 22
22lnd 18. Cauu
au
u+−+=
−∫ 22
22lnd
19. Cuu
u+=∫ |
2tg|ln
sind 20. ∫ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+= Cuu
u42
tglncosd
21. ∫ +−= Cuuu coslndtg 22. ∫ += Cuuu sinlndctg
28
Пример 7.1. Найти ( )∫ − xxx d2
.
Решение. Возведем подынтегральную функцию в квадрат и разобъем интеграл на сумму трех табличных интегралов:
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в числителе подынте-гральной функции:
( )dxxx
x∫ +
−22
2
434 = ( )
( ) =+−+
∫ dxxx
xx22
22
444
( ) −++
∫ dxxx
x22
2
44
( ) Cхarctgxx
dxxdxdx
xxx
+−−=+
−=+
− ∫∫∫ 2241
24
44
22222
2
=
Cхarctgx
+−−2
21.
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ (МЕТОД ПОДСТАНОВКИ)
При вычислении неопределенных интегралов методом замены переменной применяют два типа подстановок: либо )(xu ϕ= , либо
)(tx ψ= , где )(xϕ и )(tψ — некоторые функции.
29
После подстановки полученный интеграл может оказаться проще исходного.
Частным случаем метода замены переменной является метод подведения под знак дифференциала, основанный на формуле
)(dd)( xxx ϕ=ϕ′ .
Например, xxx
lndd1= , 2
2
d21
2dd xxxx == и т.п.
Пример 7.4. Найти ∫ + xx d)12sin( . Решение. Сделаем замену переменной
2112 −
=⇒=+uxux , uxduux d
21d,
21d =′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= .
Тогда ==⋅=+∫ ∫ ∫ uuuuxx dsin21d
21sind)12sin(
=+−= Cucos21 Cx ++−= )12cos(
21 .
Можно этот интеграл находить иначе, предварительно преобра-зовав выражение под знаком дифференциала:
)12(d21)2(d
21d +== xxx ,
так как дифференциал от постоянной 0dd =′= xсc . Значит,
∫ ∫ =+⋅+=+ )12(d21)12sin(d)12sin( xxxx ==+ ux 12
∫ ++−=+−== CxCuuu )12cos(21cos
21dsin
21 .
Пример 7.5. Найти ∫ −13xdx .
30
Решение.
∫ ∫∫∫ =+===−=−−
=−
=−
Cuuduux
xxd
xxd
xdx ln
31
3113
13)13(
31
13)3(
31
13
Cx +−= 13ln31 .
Пример 7.6. Найти ∫+
dxx
x
2sin9
2cos2
.
Решение. ∫∫ =+
===+ x
xdxdxdxdxx
x
2sin9
)2(sin21)2(sin
212cos
2sin9
2cos22
CxxCuuu
duux +++=+++=+
=== ∫ 2sin92sinln219ln
21
9212sin 22
2.
Пример 7 .7. Найти ∫ xxx
lnd .
Решение. Поскольку )(ln1 ′= xx
, то подводя x1 под знак
дифференциала xd , получаем )(lndd1 xxx
= .
Тогда ∫∫ = .ln
)(lndlnd
xx
xxx Обозначив ux =ln , получим табличный
интеграл вида ∫ +=+= CxCuuu lnlnlnd .
Пример 7.8. Найти .ln5
dxx
x∫
Решение. 5 6 6
5 5ln lnln ln 1n .6 6
x u xdx xd x x u u du c Cx
= = = = = + = +∫ ∫ ∫
Пример 7 .9. Найти ( )∫ + arctgxxx
21d .
31
Решение. ( ) ∫∫ ==+
=+ arctgx
arctgxdarctgxdx
dxarctgxxx )()(
11d
22 =
= ∫ +=+=== CarctgxCuuduuarctgx lnln .
Пример 7.10. Найти ∫ + 9d
4xxx .
Решение. Введем x под знак дифференциала. Тогда
===+
====+
∫∫ uxx
xxxxx
x
xx 2
222
2
22
4 3)(
d21
d21
2dd
9
d
CxxCuuu
u+++=+++=
+= ∫ |9|ln
21|3|ln
21
3
d21 4222
22.
Пример 7.11. Найти dxx
x∫ + 2sin4
2sin .
Решение. dxx
x∫ + 2sin4
2sin=
==
=+=
+∫ dtxdxxtx
dxx
xxcossin2
,sin4sin4
cossin2 2
2 =∫ tdt ( ) CxCt ++=+ 2sin4lnln .
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Если )(xu и )(xv - непрерывно дифференцируемые функции, тогда uvvuuv dd)(d += . Интегрируя обе части полученного равенства и учитывая, что ∫ = uvuv)(d , получим формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
∫ ∫−= uvuvvu dd .
Среди интегралов, берущихся по частям, выделяют три основ-ных класса интегралов:
32
1. ∫⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧xx
xx
x
n de
cossin
, здесь полагают xnxuxu nn dd 1−=⇒= .
2. ∫
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
x
xxxx
x
xn d
arcctgarctg
arccosarcsin
ln
, здесь полагают 1
dd1
+=⇒=
+
nxvxxv
nn .
3. ∫⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
xxxx d
sincos
e , полагают либо xu e= , либо xev xdd = и
дважды интегрируют по частям.
Пример 7.12. Найти ∫ −+ .d)2( 8 xex x Решение. Применим формулу интегрирования по частям, полагая
( ) xxxuxu dd2d2 =′+=⇒+=
( ) xx exxvxev 88x-8x-8
818-de
81dedd −− −=−==⇒= ∫∫ .
Тогда ( ) ∫∫ −−− ++−=+ xexexexx xxx d812
81d)2( 888 =
= ( ) ( ) CexeCexe xxxx +−+−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅++− −−−− 8888
6412
81
81
812
81 .
Замечание. Иногда формулу интегрирования по частям приме-няют несколько раз подряд.
Пример 7.13. Найти ∫ .d2cos2 xxx Решение. Применим формулу интегрирования по частям, полагая
сводятся к табличным после предварительного выделения полного квадрата в квадратном трехчлене с последующей заменой переменной.
Пример 7.16. Найти ∫ ++.
56d
2 xxx
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат
)332(56 222 +⋅+=++ xxxx 4)3(53 22 −+=+− x . Тогда
∫ ∫ =+++−+
=++−
⋅=
−=
=−==+
=−+
CxxC
uu
uu
uxux
ux
xx
2323ln
41
22ln
221
4d
dd3
3
4)3(d
22
Cxx
+++
=51ln
41 .
Пример 7.17. Найти ∫+−
−
5129d)1(xxxx
2 .
Решение.
∫∫∫
∫
=+−
=⋅+
−+
==+
=
=−
=+−
−=
=+−=
=+−+⋅⋅−=+−=
+−−
uuuu
u
u
uxux
ux
xxxx
x
xxxxxxxx
2
2
d1
191d
31
1
13
2
d31d,
32
,23
5129d)1(
1)23(
544322)3(51295129
d)1(
22
2
22
35
∫ ∫∫ −+=−++
⋅=+
−+
= )1ln(181arctg
91
1)1d(
21
91
1d
91d
191 2
2
2
22 uuuu
uuu
uu
.)23(arctg91)5129ln(
181arctg
91 2 CxxxCu +−−+−=+−
Для нахождения интегралов вида ∫ ∫++
+++
+ xcbxax
nmxxcbxax
nmx d,d22
можно предложить еще один способ, который не использует замену переменной. Если 0≠m , то в числителе можно выделить слагае-мое, равное производной квадратного трехчлена
( )′++=+ cbxaxbax 22 .
Пример 7. 18. Найти dxxx
x∫
+−
−
84
152
.
Решение.
( ) =−=′
+−=+−
−∫ 4284
84
15 2
2xxxdx
xx
x ( ) ( )2
5 2 4 10 12
4 8
xdx
x x
− + −=
− +∫
( )∫
+−
+−=
84
942252 xx
x=
( )+
+−
+−∫
84
8425
2
2
xx
xxd
( )=
+−∫
22 229
x
dx
= ( ) Cxxxx ++−+−+++− 422ln9845 22 .
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рациональной функцией называют дробь вида
01
01
)()(
bxbxbaxaxa
xQxP
nn
mm
n
m
+++
+++=
……
,
где )(xPm , )(xQn – многочлены степеней m и n соответственно.
36
Если nm ≥ , то дробь называется неправильной, а если nm < – правильной.
Если дробь неправильная, то выделяют целую часть. Для этого числитель делят "уголком" на знаменатель.
Например, дробь 1
322
3
+++xx
x является неправильной, так как
в числителе стоит многочлен третьей степени, а в знаменателе – второй. Разделим числитель на знаменатель:
xxx
x
222
3223
3
++
+−
2212
−++
xxx
222
3222
2
−−−
+−−−
xx
xx
5 При делении на каждом шаге мы знаменатель 12 ++ xx умножили
на такую степень x , чтобы при вычитании полученного после этого многочлена старшие степени уничтожались (сначала мы умножили на
x2 , затем на ( 2− )). Следовательно, неправильную дробь можно представить в виде:
1522
132
22
3
+++−=
+++
xxx
xxx .
Из алгебры известно, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших (элементарных) ра-циональных дробей следующих четырех типов:
I тип ax
A−
II тип kaxA
)( − (k = 2, 3, 4,…)
III тип qpxxBAx++
+2
IV тип lqpxxBAx
)( 2 +++ (k = 2, 3, 4,…)
37
где k , l – натуральные числа, A , B , C , a , p , q – постоянные, причем 042 <− qp (квадратный трехчлен qpxx ++2 не имеет действительных корней).
Интегралы от простейших дробей находятся следующими спо-собами:
I тип ax
A−
lnA dx A x a Cx a
= − +−∫
II тип kaxA
)( −
(k = 2, 3, …) ( ) ( )1( ) 1kk
A Adx Cx a x a k−= +− − −∫
III тип qpxx
BAx++
+2
Способ интегрирования рассматри-вался в §4.
IV тип lqpxxBAx
)( 2 +++
(k = 2,3, …)
Способ интегрирования рассматри-вается в [7] гл.8.
Интегрирование правильной рациональной дроби )()(
xQxP
n
m ( nm < )
производят по следующей схеме: 1) Раскладывают знаменатель на неприводимые множители (ли-
нейные и квадратичные)
lkn qpxxaxxQ )()()( 2 ++⋅⋅−= … .
2) Представляем правильную рациональную дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами:
………
+−
++−
+−
=++⋅⋅−
= kk
lkm
n
m
axA
axA
axA
qpxxaxxP
xQxP
)()()()()(
)()(
221
2
.)()()( 222
222
11l
ll
qpxxCxB
qpxxCxB
qpxxCxB
++
+++
++
++
++
++ …
38
Т. е. каждому множителю kax )( − в знаменателе соответствует
сумма k дробей вида ii
axA
)( − ( 1=i , 2, … , k ), а каждому
множителю lqpxx )( 2 ++ – сумма l дробей вида:
jjj
qpxxCxB
)( 2 ++
+, ( 1=j , 2, … , l ).
3) Находим неопределенные коэффициенты разложения. Для определения коэффициентов iA ( 1=i , 2, … , k ), jB , jC
( 1=j , 2, … , l ) правую часть разложения приводят к общему знаменателю и приравнивают числитель полученной дроби к )(xPm .
Затем, а) либо приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях
x (метод неопределенных коэффициентов); б) либо придают x частные значения, в первую очередь значе-
ния корней знаменателя (метод частных значений); в) либо комбинируют оба указанных приема. 4) Вычисляем интегралы. В общем случае интеграл от
рациональной функции всегда может быть выражен через элементарные функции: степенную, xln и xarctg .
Разложение подынтегральной функции на сумму простейших дробей имеет вид
33)3)(3(32
++
−+=
+−+
xC
xB
xA
xxxx .
Приведя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
).3()3()3)(3(32 −++++−=+ xCxxBxxxAx
Для определения коэффициентов CBA ,, применяем метод ча-стных значений. Будем полагать в последнем равенстве х равным корням знаменателя:
⇒==−=
−===
CBA
xxx
1812181293
330
.32,
32,
31
==−= CBA
Поэтому
∫∫∫ ∫ +−−
+−=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
−+−=
−+
3)3(d
32d
31d
332
332
31
d93
3
2
xx
xxx
xxxx
xxx
∫ +++−+−=++
+ .|3|ln32|3|ln
32||ln
31
3)3(d
32 Cxxx
xx
40
Пример 7.21. Найти ∫ +−− x
xxxx d
)1(2
22
25
.
Решение. Дробь )1(2
22
25
+−−
xxxx является неправильной. Выделим
целую часть:
35
25 2
xx
xx
+
−−
xxx 24 +
223 −−− xx
Следовательно,
∫ ∫ ∫ +++
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++
−=+−− x
xxxxxx
xxxxxx
xxxx d
)1(2
2d
)1(2d
)1(2
22
232
22
23
22
25
.
Вычислим последний интеграл. Разложение на простейшие элементарные дроби будет иметь вид:
1)1(2
2222
23
++
++=+++
xDCx
xB
xA
xxxx .
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
22223 )()1()1(2 xDCxxBxAxxx +++++=++ .
Применим метод неопределенных коэффициентов, т.е. будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x :
3x CA+=1 , 2x DB +=1 ,
x A=0 , 0x B=2 ,
откуда находим 0=A , 2=B , 1=C , 1−=D .
41
Значит,
∫ ∫∫ ∫ ++
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+−=+−−
1dd2
2d
112
2d
)1(2
22
2
22
2
22
25
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
∫∫ =+++
−−−=+
+ xxx
xx
xx arctg
1)1(d
21)1(2
21d
2
22
2 .arctg)1ln(212
22
2
Cxxx
x+++−+
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
I. Интегралы вида
( ) ( ) ( ) xbaxbaxbaxxR s sn mn mn m d,,,, 2 21 1∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++ … ,
где R – рациональная функция, ss nmnmnm ,,,,,, 2211 … – целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ktbax =+ ,
где k – наименьшее общее кратное показателей корней 1n snn ,,2… , т. е. ),,,( 21 snnnНОКk …= .
Пример 7.22. Найти ( )∫ +−+ 32132d
4 xxx
.
Решение. ( ) ∫∫ =−
=
=
−=
=+
=
=+−+ 2
3
3
4
4
4 )1(d2
d2d2
3
32
4)4,2(
32132d
tttt
ttx
tx
tx
НОК
xxx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+=−+−
=− ∫ ∫∫ ∫ 1
)1(dd2d1
1)1(21
d2tttt
tt
ttt
( ) =+−+= Ctt 1ln2 ( ) Cxx +−−++ 132ln322 44 .
42
II. Интегралы вида
( )∫ + dxbxaxp
nm ,
где ba, - постоянные, отличные от нуля, pnm ,, - рациональные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановок Чебышева в следующих случаях:
1) если p - целое число, то имеем , рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
2) если ( ) nm 1+ – целое число, то применяется подстановка , где знаменатель дроби , 0n sa bx u s p r s s+ = − = > ;
3) если ( ) pnm ++1 - целое число, то используется подстановка nsn xubxa =+ .
Пример 7.23 Найти ∫+ 47 1 xx
dx .
Решение. Так как ,21,4,7 −==−= pnm то
( ) 221231 −=−−=++ pnm - целое число. Имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Тогда
( )
( ) =−−=
−==+=
+∫ −
−
duuudx
uxxux
xxdx
452
412424
47 121
,1,1
1
( ) ( ) ( ) =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−=
−−∫ duuuuuu
4522121472 1
2111
( ) =++−=−−= ∫ Cuuduu21
611
21 32 Cx
xx++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 4
26 131
61 .
43
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I. Рассмотрим интегралы вида
∫ ⋅ xdxx nm cossin .
1. Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положи-тельное, то от нечетной степени отделяем один множитель и вно-сим его под знак дифференциала. Оставшуюся четную степень вы-ражаем через дополнительную функцию с помощью формул
3. а) 7(7 2 ) xx e dx−∫ ;б) (1 3 )cos8x xdx+∫ ;в) ∫ xdxarctg4 .
72
4. а) 3
27x dx
x−∫ ; б) 2 8 52dx
x x+ +∫ ; в) ∫+−
+
136)35(
2 xxdxx
.
5. а) 3
( 1)( 7)dx
x x x−− −∫ ; б) 2( 8)( 3)
dxx x+ +∫ ; в) 2
3( 2)( 4)
dxx x− +∫ .
6. а) 8
2 7dxx −∫ ; б) ∫ −+
−3
6
32332x
dxx.
7. а) ∫ dxx2
cos4 4 ; б) ∫ xdx5sin 3 ; в) 3
4 5cosdx
x+∫ .
Вариант 30
1. а) 34
3(5sin 2 2 )xx x dxx
− + +∫ ; б) 2
2
2 7 5x x dxx+ −
∫ ;
в) 2 16dx
x +∫ ; г) 5
1 3dx
x−∫ ; д) 2144
dxx+
∫ .
2. а) ∫+ 23
32x
xdx; б) ∫ )(cos2 x
x
edxe
; в) ∫ xxdx2cos
2sin.
3. а) 7(4 3) xx e dx−−∫ ; б) (7 2 )cos8x xdx−∫ ; в) ∫ + dxx )5ln( .
4. а) 2
8x dxx +∫ ; б)
2 4 32dx
x x+ −∫ ; в) ∫ +−
− dxxx
x2410
3102 .
5. а)5
( 1)( 5)( 2)dx
x x х− + −∫ б) 2( 8)( 1)dx
x x+ +∫ в) 2
5( 4)( 2)
dxx x x− −∫ .
6. а) 6
4 3dx
x−∫ ; б) ∫ −+− dxx
x345
344
.
. а) 4sin 3xdx∫ ; б) ∫ xdx5cos3 ; в) 2
5 sindx
x−∫ .
73
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
1. Найти интегралы
а) 23
1(3 5 4cos )х х х dxх
− + −∫ , б) 3 2
2
4 8 7x x dxx+ −
∫ ;
в) 2 79dx
x +∫ ; г) 29
dxx+∫ ; д)
215dx
x−∫ .
Решение
а) Вычислим данный интеграл, используя основные правила ин-
тегрирования и таблицу основных неопределенных интегралов. 1
2 2 33
1(3 5 4cos ) 3 5 4 cosх xх х dx dx x dx xdx x dxх
−− + − = − + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
23 333 23 1 5 35 4sin 3 4sin2ln 3 3 ln 3 3 2
3
xxx xx c x x x c= − + − + = − + − + .
б) Чтобы вычислить данный интеграл, необходимо вначале вы-полнить почленное деление числителя на знаменатель, далее ис-пользуем правила интегрирования и таблицу основных интегралов.
=−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
−+∫ ∫ ∫ ∫∫ 222
23
784784784xdxdxxdxdx
xxdx
xxx
221 74 8 7 2 8 .
2x x c x x c
x x⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅ − + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
в) ( ) .7979
1
7979 222 cxarctgx
dxx
dx+=
+=
+∫ ∫
г) ∫ ∫ ∫ ++=+==+==++
=+
.29lnln2929
)29(29
cxcuuduxu
xxd
xdx
74
д) 2 2 22 2
arcsin15 ( 15)
dx dx du u cax a ux
= = = + =− −−
∫ ∫ ∫
arcsin15x c= + .
2. Найти интегралы
а) ∫ −dx
xx
21187 ; б) ∫
+dx
e
ex
x
35
5
; в) 2 2cos 4
dxx tg x−
∫ .
Решение
Найдем данные интегралы, используя внесения под знак диффе-ренциала числа и коэффициента и сведение его к табличным неоп-ределенным интегралам.
а) ∫∫ ∫∫ =−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=
−=
−=
− 2
2
2
2
22 118)11(
111
27
118217
1187
1187
xxd
xdxdx
xxdx
xx
∫ ∫ =+−=−==−=−−
−= cuuduux
xxd ln
227
227118
118)118(
227 2
2
2
cx +−− 2118ln227 .
б) ( )∫∫∫ ∫ ===+=
+
+=
+=
+ uduue
e
ed
e
eddxe
e x
x
x
x
x
x
x
513
3
)3(51
3
51
35
5
5
5
5
5
5
= cecu x ++=+ 3522
51 5 .
в) 22 2 2coscos 4 4
dx dx dtgxdtgx tgx uxx tg x tg x
= = = = = =− −
∫ ∫
= cctgxcu
u
du
u
du+=+=
−=
−∫∫ 2
arcsin2
arcsin24 222
.
75
3. Найти интегралы
а) 2(3 7) xx e dx−−∫ ; б) (8 5)sin 3x xdx+∫ ; в) ln(3 )x dx+∫ .
Решение
Данные интегралы относятся к интегралам, которые берутся с помощью формулы интегрирования по частям, т. е. ∫ ∫−= vduuvudv .
а) 22 2 2
3 7 3(3 7) 1
2
xx x x
u x du dxx e dx
dv e dx v e dx e−
− − −
= − ⇒ =− = =
= ⇒ = = −∫ ∫
2 2 2 21 1 1 3(3 7) ( ) 3 (3 7)2 2 2 2
x x x xx e e dx x e e dx− − − −= − ⋅ − − − ⋅ = − − + =∫ ∫2 21 3(3 7)
2 4x xx e e c− −= − − − + .
б) ( ) −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
−=⇒=
=⇒+==+∫ xx
xvxdxdv
dxduxuxdxx 3cos
3158
3cos313sin
8583sin)58(
( ) ∫∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=⋅−− xdxxxdxx 3cos
383cos
315883cos
31 = ( ) ( )18 5 8 5 cos3
3x x x+ − + +
+ 8 1 8sin 3 sin 33 3 9
x c x c⋅ + = + 1 (8 5) cos3 .3
x x= − +
в) 1ln(3 )
3ln(3 ) ln(3 )3
u x du dx xdxxx dx x xxdv dx v dx x
= + ⇒ =++ = = + − =
+= ⇒ = =∫ ∫
∫
3 3 3ln(3 ) ln(3 ) (1 )3 3
xx x dx x x dxx x
+ −= ⋅ + − = + − − =
+ +∫ ∫
3ln(3 ) ln(3 ) ln 33
dxx x dx x x x x cx
= ⋅ + − + = ⋅ + − + + ++∫ ∫ .
76
4. Найти интегралы
а) 2( 5)
2x dx
x++∫ ; б) ∫
++ 80182 xx
dx ; в) dxxx
x∫ +−
−
8413
2.
Решение: а) Данное дробно-рациональное выражение является неправиль-
ной дробью, выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель уголком.
2 5 922 2
x dx x dxx x+ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫
2 92
dxxdx dxx
= − + =+∫ ∫ ∫
2
2 9ln 22x x x c= − + + + .
б) Данные неопределенный интеграл находим, используя выде-
ление полного квадрата в знаменателе.
( ) ( )∫∫ ∫−+
=+−+⋅+
=++ 19808181928018 222 x
dx
xx
dx
xx
dx=
= ( )2 2ln 9 9 1 ln 9 18 80 .x x c x x x c+ + + − + = + + + + +
в) Найти dxxx
x∫ +−
−
8413
2 .
( ) =−=′
+−=+−
−∫ 42134
13413 2
2 xxxdxxx
x
= ∫∫∫ +−+
+−−
=+−
−+−
1345
13442
23
134
16)42(23
222 xxdxdx
xxxdx
xx
x=
77
∫ ∫ =++⋅−
++−
−=
92225
134)42(
23
222 xxdx
xxxd
= ++−=+−
++− ∫ 134ln23
3)2(5134ln
23 2
222 xx
xdxxx
5 23 3
xarctg c−+ + .
5. Найти интегралы
5. а)15
( 8)( 10)dx
x x x−− +∫ ; б) 2( 7)( 7)
dxx x+ −∫ ; в) 2
2( 1) ( 11)
dxx x+ −∫ .
Решение: Данные интегралы будем решать, используя разложение выра-
жений на простейшие дроби а) Т.к. каждому множителю знаменателя ( )x a− соответствует
слагаемое A
x a−, получим разложение
15( 8)( 10) 8 10
dx A B C dxx x x x x x
− ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠∫ ∫ .
Приведем дроби к общему знаменателю и сравним числители условия и разложения на простейшие дроби
15 ( 8)( 10) ( 10) ( 8).A x x Bx x Cx x− = − + + + + −
Найдем неопределенные коэффициенты А,В,С с помощью мето-да частных значений
15 30 : 15 80 ,80 16
15 58 : 15 144 ,144 48
15 110 : 15 780 .780 52
x A A
x B B
x C C
= − = − ⇒ = =
= − = ⇒ = − = −
= − − = ⇒ = − = −
78
Подставим найденные коэффициенты в разложение подынте-гральной функции на простейшие дроби, получим
3 5 115 16 48 52( 8)( 10) 8 10
dx dxx x x x x x
⎛ ⎞− −− ⎜ ⎟= + + =− + ⎜ − + ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
3 5 1ln ln 8 ln 10 .16 48 52
x x x c= − − − + +
б) Т. к. множителю ( )x a− соответствует дробь A
x a−, а множи-
тель ( 2 2x a+ ), если а>0, дробь 2 2
Bx Cx a
++
, то получим:
2 2 .( 7)( 7) 7 7
dx A Bx C dxx x x x
+⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ − − +⎝ ⎠∫ ∫
Приведем дроби к общему знаменателю и сравним числители условия и разложения на простейшие дроби
2( 7) ( )( 7) 1A x Bx C x+ + + − = .
2 27 7 7 1Ax A Bx Bx Cx C+ + − + − = .
Сравним коэффициенты при соответствующих степенях х: 2
0
: 0: 7 0: 7 7 1
x A Bx B Cx A C
+ =− + =
− =
1 1 1; ;56 56 8
B A C⇒ = − = = − .
2 2
111 5656 8( 7)( 7) 7 7
xdx dxx x x x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + =⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
79
2 2
1 11 56 8ln 756 7 7
xx dx
x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟= − + − =
+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
2 2
1 1 1ln 756 56 7 8 7
xdx dxxx x
= − − − =+ +∫ ∫
( )22 2
1 1 1 2 1ln 756 56 2 7 8 7
xdx dxxx x
= − − ⋅ − =+ +
∫ ∫
21 1 1 1ln 7 ln 7 .56 112 8 7 7
xx x arctg c= − − + − ⋅ +
в) 2 2
2 .( 1) ( 11) 1 ( 1) 11
dx A B C dxx x x x x
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠
∫ ∫
2
2 2
( 1)( 11) ( 11) ( 1) 210 11 11 2 2
A x x B x C xAx Ax A Bx B Cx Cx C
+ − + − + + =
− − + − + + + =
2
0
: 0: 10 2 0: 11 11 2
x A Cx A B Cx A B C
+ =− + + =
− − + =
1 1 1; ;72 72 6
C A B⇒ = = − = − .
2 2
1 1 12 72 6 72( 1) ( 11) 1 ( 1) 11
dx dxx x x x x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + + =
+ − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
1 1 1ln 1 ln 11 .72 6( 1) 72
x x cx
= − + + + − ++
6. Найти интегралы
а) 4
7 3 8dx
x− +∫ ; б) 3
32 7xdx
x x+∫ .
80
Решение: Данные интегралы будем решать при помощи замены корня
(корней).
а) 2
84 4 28 8 8
7 2 7 2 2 77 3 8 2
x tdx tdt tdt tdtx t
t t tx dx tdt
+ =⋅
= + = = = = − =− − −− +
=∫ ∫ ∫ ∫
7 7 71 2 2 28 4 4 17 7 72
2 2 2
ttdt dt dtt t t
⎛ ⎞− + ⎜ ⎟= − ⋅ = − = − + =⎜ ⎟
⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
7 7 74 4 ln72 2 22
dtdt t t ct
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= − + = − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−
⎝ ⎠
∫ ∫
7 74 14 ln 4 8 14ln 8 .2 2
t t c x x c= − − − + = − + − + − +
б) =+
=+
===
==
+ ∫ ∫∫ 26
26
6,
6)3,2(
2
3
23
5
563 tdtt
ttdtt
dttdxtx
НОК
xxdx
=
−+
−−
−
+−
+
+−
=
884
442
2
42
2
2
2
2
223
3
tttt
t
tt
t
tt
t
∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+− dt
ttt
28426 2
81
= =++−===+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+− cxxxxtctttt 636
2324622ln84
22
36
( ) cx ++−= 2ln48 6 . 7. Найти интегралы
а) ∫ xdx23sin 4 ; б) 3 2sin 10 cos 10x xdx∫ ; в)
cos 2dxx +∫ .
Решение: а) Данный интеграл вычислим путем понижения степени с ис-
пользованием формул: 2
2cos1sin 2 xx −= ,
22cos1cos2 xx +
= . Тогда
∫ ∫∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= dxxdxxxdx
2224
23cos1
23sin
23sin
=
( ) ∫∫∫∫ =+⋅−=+− xdxxdxdxdxxx 3cos413cos2
41
413cos3cos21
41 22
=
( )=++−=+
+⋅− ∫ ∫∫ xdxdxxxdxxxx 6cos813sin
61
41
26cos1
413sin
31
21
41
= cxxxcxxxx ++−=+⋅++− 6sin4813sin
61
836sin
61
81
813sin
61
41
б) 3 2
cos101sin 10 cos 10 sin10
10sin10 10
x t
x xdx xdx dt
xdx dt
=
= − = =
= −
∫
2 2 2 2sin 10 sin10 cos 10 (1 cos 10 )sin10 cos 10x x xdx x x xdx= = − =∫ ∫
82
( )2 2 2 4 2 4(1 ) ( 10 ) 10 ( ) 10t t dt t t dt t dt t dt= − ⋅ − = − − = − − =∫ ∫ ∫ ∫