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1
UNIVERSITA’ DELL’AQUILA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELLE STRUTTURE, DELLE ACQUE E DEL TERRENO
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
sul problema di De Saint Venant - Prof. Angelo Luongo
15 Giugno 2009
CASTEL DI SANGRO
LA TEORIA APPROSSIMATA DELLA
FLESSIONE NON UNIFORME (JOURAWSKY)
Francesco D’Annibale [email protected]
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RICHIAMO DELLE RELAZIONI FONDAMENTALI
Si ha flessione non uniforme del solido di De Saint Venant quando l’unica deformazione generalizzata
diversa da zero è il gradiente di curvatura flessionale ' .
La curvatura flessionale induce entrambi i campi di tensione, quello scalare e quello vettoriale .
Le condizioni di equivalenza su B si scrivono:
0, , , tN d M d m 0 t y a
E’ possibile esprimere il campo scalare attraverso la formula binomia della flessione non uniforme:
y yxx
x y x y
T M zM zTz l y x y xI I I I
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3
Il campo di tensione tangenziale y va determinato risolvendo il seguente problema:
in
in 1
0 su
y x
x y
y x
x y
T Ty xI I
T Tx yI I
a
n
La teoria esatta richiede il soddisfacimento di condizioni di equilibrio e di condizioni di compatibilità
cinematica. La teoria approssimata di Jourawsky è invece basata esclusivamente su condizioni di
equilibrio. Poiché il problema dell’equilibrio è indeterminato, una delle due componenti di è scelta
arbitrariamente, in modo da soddisfare delle condizioni di equilibrio in media; l’altra componente è
determinata successivamente imponendo l’equilibrio puntuale.
Poiché il campo scalare soddisfa le condizioni di equivalenza alle basi e il campo vettoriale è
localmente equilibrato, quest’ultimo soddisfa anche la condizione di equivalenza delle forze di taglio
x x y yT T t a a ed il suo momento risultante, dato da tM d y a
è generalmente diverso da
zero. Di conseguenza, il campo è staticamente equivalente ad una forza F t t , applicata in un punto
FF y (centro di flessione) tale da soddisfare la seguente eguaglianza:
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4
F y F x y xx T y T x y d =
Richiedendo che questa valga per ogni , x yT T si determinano le coordinate ,F Fx y del centro di
flessione.
Taglio retto
- Taglio retto secondo y
Se y yTt a la formula binomia del campo si riduce a:
y x
x x
T M zz l y y
I I
L’equazione indefinita di equilibrio e la condizione al contorno sul mantello diventano:
in
0 su
y
x
Ty
I
n
Scegliendo una corda arbitraria e considerando come dominio * una delle due parti separata
da è possibile esprimere il flusso attraverso la corda come:
*yc x
x
Tq S
I
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5
Questa stabilisce che il flusso delle tensioni tangenziali attraverso una corda è proporzionale al
momento statico rispetto all’asse neutro di una delle due parti di sezione tagliate da . Essa
fornisce l’integrale della componente m m della tensione tangenziale nella direzione m
(normale alla corda). Da quest’unica condizione di equilibrio non può dedursi il valore puntuale di
m ma al più il suo valor medio /m c cq b , dove cb è la lunghezza della corda. La miglior
approssimazione fornita dall’equazione del flusso è costm m su , ovvero:
*ym x
x c
TS
I b
detta formula di Jourawsky.
- Taglio retto secondo x
Se x xTt a la formula binomia del campo si riduce a:
yx
y y
M zTz l x xI I
L’equazione indefinita di equilibrio e la condizione al contorno sul mantello diventano:
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6
in
0 su
x
y
T xI
n
Il flusso attraverso la corda è fornito da:
*xc y
y
Tq SI
La tensione tangenziale è fornita da:
*xm y
y c
T SI b
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7
Sezioni monoconnesse di piccolo spessore
Se la sezione è aperta e di spessore sottile è opportuno scegliere una famiglia di corde ortogonali alla
linea media della sezione per descrivere la distribuzione delle tensioni tangenziali dovute a taglio.
Infatti, la componente m , stante il piccolo spessore, è debolmente variabile lungo la corda ed il suo
valore è ben approssimato dal valor medio fornito dalla formula di Jourawsky. Detta s un’ascissa
curvilinea lungo la linea media la formula di Jourawsky fornisce:
*y x
mx
T S ss
I b s
Page 8
8
in cui:
- *xS s è il momento statico del dominio * s staccato su dalla corda s ortogonale a
all’ascissa s, e avente sm quale normale uscente;
- b s è la lunghezza della corda s .
Se la sezione non gode di simmetria rispetto all’asse baricentrico parallelo a t occorre determinare
anche la posizione del centro di flessione.
Se y yTt a l’ascissa del centro di flessione è fornita da:
tF
y
MxT
=
in cui tM è il momento torcente rispetto a G del campo dovuto a taglio retto yT .
Se x xTt a l’ordinata del centro di flessione è fornita da:
tF
x
MyT
=
in cui tM è il momento torcente rispetto a G del campo dovuto a taglio retto xT .
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9
Sezioni tubolari simmetriche
Se la sezione è biconnessa o pluriconnessa la condizione di equilibrio espressa dalla formula di
Jourawsky non è da sola sufficiente a determinare la tensione media sulla corda. Infatti, per isolare un
domino * è necessario considerare C corde (con C grado di connessione della sezione).
Tuttavia, se la sezione gode di proprietà di simmetria, il grado di iperstaticità si abbassa. E’ infatti
sempre possibile considerare un dominio * , anch’esso simmetrico, per il quale gli sforzi di
scorrimento risultino a due a due uguali. Nel caso di sezione tubolare la simmetria rende il problema
isostatico ed è possibile esprimere la tensione tangenziale attraverso la formula di Jourawsky, come:
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10
*12
y xm
x
T S ss
I b s
in cui:
- *xS s è il momento statico del dominio * s staccato su dalle corde simmetriche A e B;
- b s è la lunghezza della corda s .
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11
ESERCIZIO TAGLIO N. 1 – PROFILO IPE
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm
5 10 Ny
hbaa
T
Page 12
12
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x
2724,80 mm ; I 18455902, 27 mmA
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
3
: 0,50
: 0,191.5
: 0,50
s
s
s
Page 13
13
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
22 2 2
I
2.7 10 N/mmI
191.58.5 , 0 0, 50 12.97 N/mm8.5 2
191.5 191.52 8.5 50 5.6 5.6 2 2 2
0 39.37 N/mm ,
yx
y
Ts S s
b sT
k
ks s s s
sks s
s
2 22 2 2
3 3 3
2 23 3 3 3
191.5 51.79 N/mm , 191.5 39.37 N/mm2
191.58.58.5 2
0 0 N/mm , 50 12.97 N/mm
s s
ks s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Page 14
14
ESERCIZIO TAGLIO N. 2 – PROFILO IPE
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm
5 10 Ny
hbaa
T
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15
Lo stato di sollecitazione indotto sulla sezione dalla forza tagliante Ty è staticamente equivalente ad una forza tagliante
applicata sul centro di taglio e ad un momento torcente Mt derivante dal trasporto di Ty .
62.5 10 N mm2t ybM T
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x
2724,80 mm ; I 18455902, 27 mmA
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
: 0,50
: 0,191.5
: 0,50
s
s
s
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16
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
22 2 2
I
2.7 10 N/mmI
191.58.5 , 0 0, 50 12.97 N/mm8.5 2
191.5 191.52 8.5 50 5.6 5.6 2 2 2
0 39.37 N/mm ,
yx
y
Ts S s
b sT
k
ks s s s
sks s
s
2 22 2 2
3 3 3
2 23 3 3 3
191.5 51.79 N/mm , 191.5 39.37 N/mm2
191.58.58.5 2
0 0 N/mm , 50 12.97 N/mm
s s
ks s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Page 17
17
SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME
62.5 10 N mmtM
- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:
31 3
32
1 2 3
1 100 8.5 20470.831 183 5.6 10712.63
51654.2
i i i i
jj
K G J G J
K G G K
K G G
K K K K G
Page 18
18
- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:
tt
tt1 1 t3
tt 2 2
990762 N mm
518475 N mm
i ij
j
jj
jj
MM KK
MM K MK
MM KK
- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:
2t1max1 max3
1
2t 2max2
2
8,5 411.39 N/mm
5,6 271.03 N/mm
MJMJ
Page 19
19
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione
Page 20
20
ESERCIZIO TAGLIO N. 3 – PROFILO T
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
100 mm80 mm6 mm8 mm
5 10 Ny
hbaa
T
Page 21
21
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x0
1192 mm ;I 1133696,93 mm ;
72,85 mm.G
A
y
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
: 0, 40
: 0,96
s
s
Page 22
22
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
I
44 10 N/mmI
8 96 , 0 0, 40 40.85 N/mm8
2 8 40 96 6 96 6 2
0 108.93 N/mm , 96 120.74 N/mm ,
yx
y
G
G G
G
Ts S s
b sT
k
ks s y s s
sks y s y
s s y
2
2 2 96 0 N/mms
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Page 23
23
ESERCIZIO TAGLIO N. 4 – PROFILO T
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
1
2
4
100 mm80 mm6 mm8 mm
5 10 Ny
hbaa
T
Page 24
24
Lo stato di sollecitazione indotto sulla sezione dalla forza tagliante Ty è staticamente equivalente ad una forza tagliante
applicata sul centro di taglio e ad un momento torcente Mt derivante dal trasporto di Ty .
62 10 N mm2t ybM T
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x0
1192 mm ;I 1133696,93 mm ;
72,85 mm.G
A
y
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
: 0, 40
: 0,96
s
s
Page 25
25
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
*
x
3 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
I
44 10 N/mmI
8 96 , 0 0, 40 40.85 N/mm8
2 8 40 96 6 96 6 2
0 108.93 N/mm , 96 120.74 N/mm ,
yx
y
G
G G
G
Ts S s
b sT
k
ks s y s s
sks y s y
s s y
2
2 2 96 0 N/mms
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME
62 10 N mmtM
Page 26
26
- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:
31
32
1 2
1 96 6 691231 80 8 13653.33
20565.3
i i i i
jj
K G J G J
K G G
K G G
K K K G
- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:
tt
tt1 1
6tt2 2
672199 N mm
1.328 10 N mm
i ij
j
jj
jj
MM KK
MM KK
MM KK
- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:
2t1max1
1
2t 2max 2
2
6 583.50 N/mm
8 778 N/mm
MJMJ
Page 27
27
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione
Page 28
28
ESERCIZIO TAGLIO N. 5
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Sia: 410 NyT
Page 29
29
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
13600 mm ; I 8221 10 mm .A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
3
4
5
: 0, 40
: 0,100
: 0, 200
: 0, 40
: 0,100
s
s
s
s
s
Page 30
30
*
x
4 4
x
211 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 22 2 2 2
I
1.21 10 N/mmI
20 50 , 0 0, 40 0.34 N/mm20 2
4020 40 50 20 100 20 2
0 0.34 N/mm , 100 1.56 N/mm
yx
y
Ts S s
b sT
k
sks s s s
ks s
s s
33 3 3
2 2 23 3 3 3 3 3
44 4 4 4 4 4 4
402 20 40 50 2 20 100 100 20 10020 2 2
0 3.11 N/mm , 100 3.72 N/mm , 200 3.11 N/mm
20 50 , 0 0, 40 0.34 20 2
sks s
s s s
sks s s s
2
5 5 5
2 25 5 5 5
N/mm
4020 40 50 20 10020 2
0 0.34 N/mm , 100 1.56 N/mm
ks s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Page 31
31
ESERCIZIO TAGLIO N. 6
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Sia: 43 10 NyT
Page 32
32
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
16000 mm ; I 18033 10 mm .A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali
1
2
: 0,100
: 0,300
s
s
Page 33
33
*
x
4 4
x
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
2 2
I
1.66 10 N/mmI
10 150 , 0 0, 100 2.5 N/mm10
10 100 150 20 150 20 2
0 1.25 N/mm , 300 1.25 N/mm
15
yx
y
Ts S s
b sT
k
ks s s s
sks s
s s
s
20 3.12 N/mm
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Page 34
34
ESERCIZIO TAGLIO N. 7
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Sia:
20 kNyT
Page 35
35
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
3 4x
2296 mm ; I 11561.82 10 mm .A
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO:
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
4
: 0,50
: 0,50
: 0, 200
: 0,50
s
s
s
s
Page 36
36
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto
*
x
3 4
x
I
1.73 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
211 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 22 2 2 2
3 3
2 38.19 , 0 0, 50 5.46 N/mm2 2
1 502 50 38.19 2 4 88.19 2 4 2
0 1.37 N/mm , 50 9.0 N/mm
1 502 50 38.19 2 4 52 4 2
sks s s s
ks s
s s
ks
33
2 2 23 3 3 3 3 3
24 4 4 4 4 4 4
0 88.19 2 4 88.19 2
0 9.0 N/mm , 200 4.91 N/mm , 88.19 15.72 N/mm1 2 2 111.81 , 0 0, 50 9.67 N/mm2 2
ss
s s sks s s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Poiché la forza di taglio non è applicata sull’asse di simmetria essa genera momento torcente sulla sezione.
Page 37
37
SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME:
2
6t
206000 N/mm 0,3
50 10 N mmy
E
M T
- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:
31
226
2
61 2
1 46 2 122.673
4 200 1004 9.14 10d 2 200 100 1004 4 2
9.143 10
i i i i
jj
K G J G J
K G G
GGK Gsb s
K K K G
Page 38
38
- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:
tt
tt1 1
tt 2 2
13.41 N mm
999987 N mm
i ij
j
jj
jj
MM KK
MM KK
MM KK
- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:
2t1max1
1
2t2max2
2t2max2
2 0.22 N/mm
4 6.25 N/mm2 4
2 12.5 N/mm2 2
MJ
Mb
Mb
Page 39
39
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione
Page 40
40
ESERCIZIO TAGLIO N. 8
Data la sezione in figura, sollecitata da due forze taglianti Ty e Tx:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
100 kN
100 kNy
x
T
T
Page 41
41
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
4 4y
9900 mm ; I 11137.7 10 mm ;
I 8008,3 10 mm .
A
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO y
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per Ty :
Diagramma delle tensioni tangenziali per Ty
1
2
3
4
: 0,100
: 0,100
: 0, 200
: 0, 200
s
s
s
s
Page 42
42
*
x
4 4
x
I
8.9 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
211 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 22 2 2 2
10 189.9 , 0 0, 100 12.57 N/mm10 2
10010 100 189.9 10 89.9 10 2
0 12.57 N/mm , 100 20.64 N/mm
sks s s s
ks s
s s
33 3 3
2 23 3 3 3
23 3
4 4 4
24 4 4 4
1002 10 100 189.9 2 10 100 89.9 10 89.910 2 2
0 41.27 N/mm , 200 39.45 N/mm
89.9 44.9 N/mm
10 115.110
0 0 N/mm , 200 20.67
sks s
s s
sks s
s s
2 N/mm
Page 43
43
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO x
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per Tx :
Diagramma delle tensioni tangenziali per Tx
1
2
3
4
5
6
: 0,100
: 0,100
: 0,100
: 0,100
: 0, 200
: 0, 400
s
s
s
s
s
s
Page 44
44
*
y
3 4
y
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
3
I
1.25 10 N/mmI
10 100 , 0 0, 100 12.48 N/mm10
10 100 100 10 100 10 2
0 12.48 N/mm , 100 18.73 N/mm
xy
x
Ts S sb s
Tk
ks s s s
sks s
s s
s
23 3 3 3 3 3
44 4 4
2 24 4 4 4
5 5
66 6 6
6 6
10 100 , 0 0, 100 12.48 N/mm10
10 100 100 10 100 10 2
0 12.48 N/mm , 100 18.73 N/mm
0
10 200 10 2
k s s s
sks s
s s
s
sks s
s
2 2 2
6 6 6 60 0 N/mm , 200 24.97 N/mm , 400 0 N/mms s
Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione yF del centro
di taglio.
Page 45
45
100
10
100
2 40
400
60
110.08 200 89.92
10
10 10
10
55.85 mm
c a b x F
a
b
c
F
F F F T y
F ds
F ds
F ds
y
La sezione è, dunque, sollecitata anche da momento torcente, dato da:
6t 5.58 10 N mmx FM T y
Page 46
46
ESERCIZIO TAGLIO N. 9
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
70 kNyT
Page 47
47
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4 4x
4 4y
8200 mm ; I 3551.8 10 mm ;
I 1787.3 10 mm .
A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
4
: 0,110
: 0, 200
: 0,110
: 0,110
s
s
s
s
Page 48
48
*
x
3 4
x
I
1.97 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
3 3
10 100 , 0 0, 110 21.68 N/mm10
10 110 100 20 100 20 2
0 10.84 N/mm , 200 10.84 N/mm , 100 20.7 N/mm
10 110 100 20 2010
ks s s s
sks s
s s s
ks
3
2 23 3 3 3
4 4
2000 100 10 1002
0 21.68 N/mm , 110 0 N/mm
0
s
s s
s
Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione xF del centro
di taglio.
100
10
200
10
28.15 mm
a y F
a
F
F T x
F ds
x
La sezione è, dunque, sollecitata anche da una momenti torcente, dato da: 6
t 110 9.67 10 N mmy FM T x
Page 49
49
ESERCIZIO TAGLIO N. 10
Data la sezione (in figura), sollecitata da una forza tagliante T:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
380 mm90 mm80 mm20 mm50 kN
abcsT
Page 50
50
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4I
4II
22000 mm ; I 671773333.34 mm ;
I 216651878.78 mm ;45 ;140.18 mm;140.18 mm.
G
G
A
xy
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO I
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per TI :
Diagramma delle tensioni tangenziali per TI
1
2
3
: 0,90
: 0,80
: 0,380
s
s
s
Page 51
51
*III
II
4 4I
II
I
1.63 10 N/mmI
Ts S sb s
Tk
211 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
3 3
220 77.52 , 0 0, 90 1.61 N/mm20 2 2
90 2 220 90 77.52 20 141.67 20 2 2 2 2
0 1.61 N/mm , 80 3.08 N/mm
2
sks s s s
sks s
s s
ks
33
2 2 23 3 3 3 3 3
90 2 80 2 220 90 77.52 20 80 141.67 20 84.6 0 2 2 2 2 2 2
0 3.08 N/mm , 380 0 N/mm , 119.64 3.91 N/mm
ss
s s s
Page 52
52
SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO II
Diagramma delle tensioni tangenziali per TII
1
2
3
4
5
6
: 0,90
: 0,80
: 0,380
: 0,90
: 0,80
: 0,380
s
s
s
s
s
s
*III
I
5 4II
I
I
5.26 10 N/mmI
Ts S sb s
Tk
Page 53
53
211 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 22 2 2 2
220 148.5 , 0 0, 90 2.65 N/mm20 2 2
90 2 220 90 148.5 20 212.13 20 2 2 2 2
0 2.65 N/mm , 80 5.79 N/mm
sks s s s
sks s
s s
33 3 3
2 23 3 3 3
44 4 4 4 4
90 2 80 2 220 90 148.5 20 80 212.13 20 268.7 20 2 2 2 2 2 2
0 5.79 N/mm , 380 14.12 N/mm
220 148.5 , 0 0, 20 2 2
sks s
s s
sks s s
24 4
55 5 5
2 25 5 5 5
6 6
90 2.65 N/mm
90 2 220 90 148.5 20 212.1320 2 2 2 2
0 2.65 N/mm , 80 5.79 N/mm
90 2 80 220 90 148.5 20 80 212.1320 2 2 2 2
s
sks s
s s
ks
66
2 26 6 6 6
220 268.7 2 2
0 5.79 N/mm , 380 14.12 N/mm
ss
s s
Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione xF del centro
di taglio.
Page 54
54
II
90
10
80
20
380
30
2 50.18 2 249.8 2 130.2
20
20
10
722.3 mm
a b c F
a
b
c
F
F F F T x
F ds
F ds
F ds
x
La sezione è, dunque, sollecitata anche da una coppia torcente, il cui modulo è:
7t
2 390 760.6 3.80 10 N mm2F GM T x x T
Page 55
55
ESERCIZIO TAGLIO N. 11
Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:
1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;
2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;
3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;
4) determinare la posizione del centro di taglio.
Siano:
200 mm300 mm10 mm
50 kNy
abs
T
Page 56
56
Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2
4x
33800 mm ; I 1177628942.9 mm .A
- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:
Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio
1
2
3
4
5
: 0, 200
: 0,500
: 0, 200
: 0, 200
: 0, 200
s
s
s
s
s
Page 57
57
*
x
5 4
x
I
4.24 10 N/mmI
yx
y
Ts S s
b sT
k
21 1 1 1 1 1 1
22 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
3 3 3
10 355.08 , 0 0, 200 3.01 N/mm10
10 200 355.08 10 355.08 10 2
0 3.01 N/mm , 500 5.25 N/mm , 355.08 5.69 N/mm
1010
ks s s s
sks s
s s s
ks s
3
2 2 23 3 3 3 3 3
4 4 4
24 4 4 4
5 5
55.08 2
0 0 N/mm , 200 0.38 N/mm , 55.08 0.06 N/mm
20010 200 55.08 20 144.92 20 2
0 0.19, 200 1.42 N/mm
10 200 3520
s
s s s
ks s
s s
ks
5
25 5 5 5
500 2005.08 10 500 355.08 10 200 55.082 2
20 200 144.92 20 144.92
0 1.2, 200 0 N/mm
s
s s
- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).
Poiché la forza di taglio non è applicata sull’asse di simmetria essa genera momento torcente sulla sezione, pari a:
7t 10 N mmyM T a