Fizikai Szemle - 64. évf. 6. sz. (2014. június) - OSZKepa.oszk.hu/00300/00342/00285/pdf/EPA00342_fizikai... · Bokor Nándor BME Fizikai Intézet Érzi-e valaki a gravitációt?

ményrôl. Az EIR az algoritmust átadta a japánoknak;

A magyarázó szöveggel kiegészített posztert keresd a Fizikai Szemle (www.fizikaiszemle.hu)LETÖLTHETÕ ÉS TÖBB, MINT 3 MÉTER SZÉLESEN, SZÍNESEN KINYO

egy konferencián már mint EIR-JAERI termékrôl be-szélt róla egy japán elôadó.

1980-ban az IAEA ösztöndíj véget ért, hazatérésemután a VVER-1000 projektbe már a gyorsított új algo-ritmus került be HEXÁN néven. Itt megmutatkozott azanalitikus megoldás elônye: a VVER-1000 kazetta át-mérôje több mint 10 szabad úthossz, mégis a megol-

dás pontossága alig csökkent. Szerencsém volt, sze-mélyi változás sem következett be, a stratégia semváltozott meg: a diffúziós egyenlet gyors és pontosmegoldására továbbra is szükség volt. Azóta az anali-tikus próbafüggvényeken alapuló módszerek elterjed-tek a világban. Biztosan tudom, hogy Japánban, azUSA-ban, Svájcban, Németországban – kisebb-na-gyobb változtatásokkal – használják.

A FIZIKA TANÍTÁSA

A GRAVITÁCIÓRÓLavagy: milyen szerepet játszanak világunkban a lovasszobrok? – 2. rész

Bokor NándorBME Fizikai Intézet

Érzi-e valaki a gravitációt?

Az Einstein-elmélet szerint egy test nem úgy hat gravi-tációsan egy tömegpontra, hogy erôt fejt ki rá, hanemúgy, hogy begörbíti maga körül a téridôt, és a tömeg-pont ebben a görbült téridôben halad, a „lehetô leg-egyenesebb” (geodetikus) világvonalon. Közben – minta kabin tömegpontnak tekintett utasának példáin láttuk– nem érzi a gravitációt, azaz a téridô görbületét. Deakkor honnan tudhatjuk, hogy egyáltalán létezik ez agörbület? Meg tudjuk-e mérni? Lehet-e olyan tapasztala-tunk, érzetünk, amely kimutatja ezt a görbületet?

Képzeljük el, hogy kétdimenziós lények, „laposlé-nyek” vagyunk, akik egy gömb felületén élünk. Szá-munkra a gömb fôkörei a geodetikus vonalak. Sajátméretünk elhanyagolhatóan kicsi gömbi világunkgörbületi sugarához képest. (Ez analóg azzal, hogy afenti példákban a kabin utasát tömegpontnak tekin-tettük.) Hogyan tudjuk eldönteni, hogy felületvilá-gunk görbült-e vagy sík? Íme néhány tapasztalatimódszer erre:

(1) Egy laposlény, kezében egy lándzsát tartva elin-dul, ügyelve arra, hogy a lándzsa se jobbra, se balrane forduljon ki az eredeti irányából [1]. Zárt görbén

198 FIZIKAI SZEMLE 2014 / 6

haladva visszajut a kiindulási pontba. Azt tapasztalja,

6. ábra. Gravitációval késztetett rezgômozgás.

K

Fgrav

Mellékletek menüpontjában, a posztert bátran rakjad ki a fizika-elõadó vagy a folyosó falára!MTATHATÓ A MIND A NÉGY RÉSZE!HELYÜNK A VILÁGEGYETEMBEN

hogy a lándzsa most másfelé mutat, mint kiindulás-kor. Ebbôl tudni fogja, hogy görbült felületen él.

(2) Két laposlény szorosan egymás mellett párhu-zamosan elindul egy irányba. Mindketten ügyelnekarra, hogy geodetikus vonalon haladjanak. Azt tapasz-talják, hogy pályavonalaik között csökken a távolság.Ebbôl megtudják, hogy (pozitív görbületû) görbültfelületen élnek.

(3) Két laposlény azonos pontból különbözô irány-ban elindul. Mindketten geodetikus vonalon halad-nak. Egy idô után azt tapasztalják, hogy pályavonalaikmég egyszer metszik egymást. Ebbôl rájönnek, hogygörbült felületen élnek (hiszen sík felületen két egye-nes legfeljebb egyszer metszheti egymást).

Próbáljunk meg a fenti módszerek között olyattalálni, amit egy tömegpont adaptálni tud az általalakott téridô görbületének kimutatására. Az (1) mód-szert nem használható, mert a tömegpont nem képeszárt világvonalon haladva a téridôben visszajutni akiindulási eseményhez. Ha zárt világvonalat nem tu-dunk követni a téridôben, akkor – a (2) és (3) mód-szer analógiájára – két világvonalra van szükségünk agörbület kimutatásához. Ezt a két világvonalat szol-gáltathatja például két különálló tömegpont, de egykiterjedt test két részecskéje is. Nézzük a két függet-len tömegpont esetét.

Ekkor a fenti módszereket a következôképpenalkalmazhatjuk a téridôben:

(2, téridô) Két tömegpontot egymástól kis távolság-ban egyszerre nyugalomból elengedünk. Mindkettôgeodetikus („egyenes”, relaxált, erômentes) világvo-nalat követ, amelyek párhuzamosan indulnak. Ha azttapasztaljuk, hogy a két világvonal közötti „távolság”változik – ennek jele például az, hogy a tömegpontokközötti fizikai távolság változik a sajátidô függvényé-ben, vagy még drámaibb módon az, ha a tömegpon-tok egy idô után összeütköznek –, akkor abból tudnifogjuk, hogy görbült téridô-tartományban járunk.1

1 Feltettük, hogy mindkét tömegpont tömege annyira kicsi, hogyérezhetôen nem görbítik be maguk körül a téridôt. A világvonalakesetleges egymáshoz közeledése tehát nem egymásra gyakorolthatásuk következménye, hanem a téridô – valamilyen harmadik,nagy tömegû test által okozott – görbületéé.

(3, téridô) Két tömegpontot ugyanabból az ese-ménybôl elindítunk két külön geodetikuson (azaz kétkülönbözô irányban). Ha azt tapasztaljuk, hogy a kétvilágvonal ezután is metszi egymást (esetleg többszöris), akkor biztosak lehetünk benne, hogy görbült tér-idô-tartományban élünk.

A FIZIKA TANÍTÁSA 199

Lássunk egy példát az utóbbi módszer alkalmazá-

7. ábra. A 6. ábrán látható alagútban mozgó két kabin világvonala.

R

R–

x

t

Dx t( )

sára. A 6. ábrán (amelyet most megismétlünk) látha-tó alagútban indítsunk el egyszerre két kabint sza-bad, erômentes mozgással. Az egyiket az alagút szá-jánál nyugalomból engedjük el, a másikat néhányméterrel az alagút belsejébôl, parányit az alagút szá-ja felé lökve indítjuk el, éppen olyan kezdôsebes-séggel, hogy az alagút szájáig jusson, mielôtt vissza-fordulna, és a középpont felé kezdene zuhanni. Akét – tömegpontnak tekintett – kabin világvonalát a7. ábra mutatja.

Feltesszük, hogy a téridô begörbítéséhez – kis tö-megsûrûségük miatt – egyik kabin sem tud hozzájá-rulni. Mindketten csupán a nagy tömegû gömb általbegörbített téridô passzív utasai. A gömbhöz képestmindketten szinuszos rezgômozgást végeznek. Ebbôlkönnyen érthetô – és a 7. ábrán közvetlenül is leol-vasható –, hogy hol közelebb, hol távolabb kerülnekegymástól. Minden periódus alatt kétszer találkoznakis, azaz geodetikus világvonalaik pediódusonkéntkétszer metszik egymást. Adódik a kikerülhetetlenkövetkeztetés: a 6. ábrán szereplô mozgás görbülttéridôben történik.

A Miért nem erô a gravitáció? fejezetben láttuk,hogy ha egyetlen tömegpontot tekintünk, az nem találsemmilyen árulkodó jelet a téridô görbületérôl. Mint afenti példa mutatta, két szabad tömegpontból állórendszer már igen. Érthetô, hogy egyetlen kiterjedttest is (mivel több tömegpontból áll, így egyszerretöbb világvonallal pásztázza az adott téridô-tarto-mányt) képes a görbület érzékelésére. A kiterjedt testtömegpont-összetevôi nem tudnak erômentes, szabadmozgást végezni, hiszen érzik a társaik által kifejtett,az egész testet összetartó erôt. Ilyenkor a téridô gör-bületérôl a testben ébredô mechanikai feszültségekárulkodnak. Ezeket árapály-feszültségeknek nevez-zük, mert a Föld óceánjai – mint hatalmas kiterjedttestek – az árapály-jelenséggel mutatják ki a téridôHold és Nap által okozott görbületét.

A fejezetcímben feltett kérdésre most már tudunkválaszolni. A pontszerû tömeggel ellentétben a kiter-jedt test érzékeli a gravitációt (persze csak ha a hatásnagysága eléri az ingerküszöbét). Mint látni fogjuk, haegy test nagy magasságból a Föld – vagy egy fekete

lyuk, vagy más gömbszimmetrikus, nagy tömegû ob-jektum – felé esik, akkor „spagettizálódik”: az esésirányában megnyúlik, a merôleges irányokban össze-nyomódik. Az ezzel járó kellemetlen érzetnek nemvalamilyen gravitációs eredetû meghúzó és összenyo-mó „erô” az oka, hanem az, hogy az egyes tömegpon-tok a görbült téridô geodetikusai mentén igyekezneka maguk relaxált, erômentes mozgását végezni, és atest belsô rugalmas erôi igyekeznek ezt a relaxáltmozgást megakadályozni.

Téridô-görbület Budapesten

Budapesten minden esemény görbült téridôben zaj-lik. Kapásból három olyan nagy tömegû objektum juteszünkbe, amelyek számottevôen beleszólhatnakebbe a görbületbe: az egyik a Föld, amelynek töme-ge 6 1024 kg, és középpontjától 6370 km-re van Bu-dapest. A második a 7 1022 kg tömegû Hold, amely-nek átlagos távolsága tôlünk 380 000 km. Végül pe-dig a tôlünk átlagosan 150 millió km távolságra levôNap, amely 2 1030 kg tömegével uralja naprendsze-rünket. Mi adja a legnagyobb járulékot a téridô-gör-bülethez? A Föld? A Hold? A Nap? Esetleg a Gellért-hegy? Vagy éppen egy mellettünk álló teherautó vagylovasszobor?

Elsô lépésként képzeljük el, hogy egy Budapestfölött lebegô hôlégballon kosarában állunk, és oldalrakinyújtott két kezünkbôl egyszerre két kis kavicsotejtünk el. Egy másodperc múlva újabb kettôt. Hogyanmozog egymáshoz képest a négy szabadon esô ka-vics? A newtoni okoskodás szerint (ami most bôvenelegendô pontosságú) a jelenséget legegyszerûbben a„Földhöz rögzített inerciarendszerbôl” nézve érthetjükmeg: mind a négy kavics a Föld középpontja felégyorsul, emiatt a jobb oldali kavicsok parányit a baloldali kavicsok felé gyorsulnak. Ugyanakkor az elô-ször elengedett két kavics mindig éppen kicsit erô-sebb gravitációs térben van – így parányit nagyobbgyorsulással esik –, mint a fölötte levô másik két ka-vics. Függôleges irányban tehát gyorsulva nô a kavi-csok közötti távolság. (A négy kavics példája érthetô-vé teszi, miért „spagettizálódik” valaki, ha erôs gravi-tációs vonzócentrum felé esik.) Einsteini nézôpontbólugyanezt a kísérletet másképp értelmezzük: egyikkavicsra sem hat erô: relaxált állapotban, szabadonmozognak. Geodetikus világvonalaik fent vázolt visel-kedése azt mutatja, hogy a téridô általuk bejárt tarto-mánya görbült.

A kavicsok egymáshoz képesti gyorsulása – ez az,ami a téridô-görbületet kimutatja – nagyon kicsi (100méter magasból, egymástól 1 méter vízszintes távol-ságra egyszerre elejtett kavicsok a földet érésig körül-belül 16 μm-nyit közelednek egymáshoz). Ilyen gyen-ge téridô-görbület esetén, a görbület bizonyos aspek-tusainak tárgyalásakor valóban jogos a newtoni me-chanika gondolatmenetét használni. Eszerint a kavi-csok egymáshoz képesti gyorsulását a gravitációs erôgradiense okozza. Egy gömbszimmetrikus test által

200 FIZIKAI SZEMLE 2014 / 6

kifejtett gravitációs erô gradiense a (tömeg)/(távol- 1. táblázat

Különbözô égitestek Budapestre gyakorolt gravitációserejének gradiensét meghatározó – (az égitest

tömege)/(az égitest középpontjának Budapesttôl mértátlagos távolsága a köbön) – értékei

égitest Mégitest/x3Budapest–égitest (kg/m3)

Föld 2,3 104

Hold 1,3 10−3

Nap 6 10−4

ság)3 mennyiséggel arányos, ahol a távolság alatt atest középpontjának az adott helytôl mért távolságátértjük. Az 1. táblázat összefoglalja a Földre, Holdra ésNapra vonatkozó (tömeg)/(távolság)3 mennyiség Bu-dapesten érvényes értékeit.

A hôlégballonból kidobott kavicsok példáját el-képzelve megérthetjük, hogy Budapest felett a tér-idô görbületét túlnyomórészt a Föld okozza, hiszena kavicsok Föld felé esésének pontos menetében aHoldnak és a Napnak csak nagyon kicsi perturbálóhatása van. Ezt a konklúziót erôsítik meg az 1. táb-lázat adatai.

A Föld felszínén, például Budapest egy forgalmasutcájában, autók és házak között már kicsit más ahelyzet. Láttuk, hogy a téridô-görbületet – newtoniközelítésben – meghatározó mennyiség a gravitációserô gradiense. Ez – olyan gömbszimmetrikus testesetén, amelyhez „hozzáérünk” – a (tömeg)/(a gömbsugara)3 mennyiséggel arányos, ami viszont, kons-tans szorzótól eltekintve, a gömb átlagsûrûsége.Ebbôl következik, hogy ha például a Föld felszínénegy tömör vasgömbre száll egy légy, akkor – mivel avas sûrûsége nagyobb, mint a Föld 5,5 kg/dm3 átlag-sûrûsége – a légy helyén (pontosabban: a „leszállásieseményben”) a téridô-görbülethez nem a Föld ha-talmas tömege, hanem a vasgömb adja a legnagyobb– de természetesen még mindig igen-igen kicsi –járulékot. (Annak ellenére, hogy a légy, ha a levegô-ben lecsapjuk, a Föld, és nem a vasgömb közepe fe-lé fog esni.)

Ha Földünk, vasgömböstül, lovasszobrostul, te-herautóstul hirtelen eltûnne a világból, akkor azüresen maradt helyen a maradék téridô-görbületbena Hold vagy a Nap hatása-e az erôsebb? A kérdésmegválaszolásához nincs szükség a Föld eltüntetésé-re. Van egy trükk, amellyel le tudjuk választani aFöld görbületokozó hatását a Nap és a Hold hatásá-ról, így az utóbbi kettô függetlenül is vizsgálható. Amár említett árapály-jelenségrôl van szó. Az óceánokegybefüggô hatalmas víztömege közelítôleg gömb-szimmetrikusan veszi körbe a Föld kérgét, így – anagy méret és a speciális geometria miatt – e víztö-meg deformációjában nem a Föld által okozott tér-idô-görbület adja a domináns járulékot. A Föld, aHold és a Nap relatív helyzetérôl és az árapály mér-tékérôl végzett hosszantartó, gondos megfigyelésekazt mutatják, hogy a Földön (így Budapesten is) aHold téridô-görbülethez adott járuléka mintegy két-szer erôsebb a Napénál. Ezt megerôsítik az 1. táblá-zat adatai.2

2 Az árapály-jelenség az itt sugallt képnél jóval bonyolultabb. Azóceánok víztömege nem gömbszimmetrikus, hiszen kontinensekszabdalják. A Gibraltári-szoros által gyakorlatilag elszigetelt Föld-közi-tengerben egészen kicsi szintkülönbségek tapasztalhatók; eztévesztette meg Galileit, amikor Kepler magyarázatát a Holdnak egyennyire „apró effektusra” kifejtett esetleges hatásáról babonánaktartotta. A másik véglet a Fundy-öböl 16 méteres szintkülönbséget iselérô árapálya: itt a Hold relatív mozgása rezonál az öböl víztöme-gének sajátfrekvenciájára.

A Hold vagy a Nap?

Naprendszerünk összes bolygójának mozgását a köz-ponti égitest, a Nap irányítja. A Hold nemcsak hogy atávolabbi bolygók mozgásába nem szól bele, de a Föl-débe is alig. Furcsának érezzük: hogyan lehetséges,hogy ha a Hold téridô-begörbítô hatása erôsebb a Na-pénál, a Föld – mint tömegpont – mégis a Nap körülkering, nem a Hold körül? Miért reagál a Föld, minttömegpont, sokkal érzékenyebben a Nap jelenlétére,mint a Holdéra, de miért reagál az óceánok víztömege,mint kiterjedt test, kétszer annyira érzékenyen a Holdjelenlétére, mint a Napéra? Vajon nem ugyanaz a gra-vitációs hatás érvényesül a két esetben?

Az elôzô pontban röviden már szerepelt a newtonimechanika válasza erre a kérdésre: A tömegpont moz-gását inerciarendszerben Newton 2. törvénye szabjameg. Mivel a Nap gravitációs ereje sokkal nagyobb aHoldénál, a Föld tömegközéppontjának gyorsulását isdominánsan a Nap határozza meg. Az árapály-jelen-ségnél viszont arra vagyunk kíváncsiak, hogy egykiterjedt test részecskéi (vagy két tömegpont) egy-máshoz képest hogyan gyorsulnak. Míg a hatalmasvíztömeg tömegközéppontjának gyorsulását továbbrais a (Nap által dominált) eredô erô határozza meg, avíztömeg egyes részeinek relatív gyorsulása az eredôerô gradiensétôl függ, abban pedig a Hold által oko-zott összetevô kétszer erôsebb a Napénál.

Einstein gravitációelmélete más válaszokat adugyanerre a kérdésre. A Föld, mint tömegpont pályájátaz általános relativitáselmélet geodetikus egyenlete írjale. Azonban már ezen egyenlet jellege is erôsen függattól, milyen vonatkoztatási rendszerben írjuk fel. Abenne szereplô mennyiségek közül egyedül az úgy-nevezett Christoffel-szimbólumok utalnak a téridôgörbületére, de ezek alkalmas vonatkoztatási rend-szerre (lokális inerciarendszerre) áttérve zérussá tehe-tôk. Más szóval: át tudunk térni olyan téridô-koordi-nátákra, amelyeket használva az egyenletben nemmarad nyoma a téridô görbültségének. Tekintsükpéldául a Föld tömegközéppontjához rögzített vonat-koztatási rendszert: ebben a szabadon lebegô rend-szerben a Föld középpontjának a világvonala egyenes(hiszen a középpont áll az origóban), és ebbôl az egyvilágvonalból semmilyen jel nem utal arra, hogy gör-bült körülötte a téridô. A Föld tömegközéppontja nemérzi a téridô görbületét. Térjünk át most egy olyan

A FIZIKA TANÍTÁSA 201

globális vonatkoztatási rendszerre, amely a téridôelég nagy tartományát lefedi ahhoz, hogy beleférjen aNap és a Föld egy évnyi világvonala.3 Egy ilyen vonat-

3 Ez az einsteini elmélet szerint nem lehet inerciarendszer, de eznem kell, hogy zavarjon minket.4 Másképpen: csak a Nap–Föld-rendszert vizsgálva nem tudnánkigazságot tenni Ptolemaiosz és Kopernikusz rendszere között.

koztatási rendszert alkalmas koordinátákkal ellátva –a Napot a térbeli origóba helyezve –, és a világvonala-kat ábrázolva azt látnánk, hogy a Föld világvonalaspirálisan a Napé „köré tekeredik”. Azt is tapasztal-nánk, hogy a két világvonal periodikusan közelebb-távolabb kerül egymáshoz. Ez jelzi ugyan a téridô-görbületet, azt azonban még nem bizonyítja, hogy aNap erôsebben begörbíti maga körül a téridôt, mint aFöld. Ha ugyanebben a vonatkoztatási rendszerben atérbeli origóba a Földet helyezzük, akkor ugyanis aNap világvonala tekeredik a Földé köré.4 Azonbanadjuk hozzá az egészhez például a Vénusz világvona-lát is. Nem számít, hogy a három égitest közül melyi-ket tekintjük nyugvónak: a három geodetikus világ-vonalat páronként egymáshoz képest vizsgálva rögtönkiderül, hogy melyik kettô között lesz a „leghevesebba tánc” (szabatosabban, de newtoni terminológiáthasználva: melyik kettô között lesz a legnagyobb atávolságegységre esô relatív gyorsulás): a Föld és aVénusz között. Így tudjuk meg, hogy mi a szereposz-tás ebben a hármas játékban és ebben a hatalmas tér-idô-tartományban: a Nap által begörbített téridôbenengedelmesen sodródik a (téridô-görbülethez ilyenhatalmas skálán sokkal kevésbé hozzájáruló) Föld ésVénusz. Ebben a példában, mivel a hatalmas tömegûNap a téridô nagyléptékû görbületét határozza meg,két távoli „tömegpont”, a Föld és a Vénusz játszotta apróbarészecskék szerepét. Ezek ugyan maguk is be-görbítik maguk körül a téridôt – mint láttuk, Budapes-ten épp a Föld adja a görbület domináns járulékát –,de egyik sem görbíti be számottevôen a téridôt a má-sik helyén. A Föld és a Vénusz példája erôs közelíté-sekkel és a newtoni és einsteini terminológia bizo-nyos fokú összemosásával próbált fényt deríteni aNap által létrehozott nagyléptékû téridô-görbületre.Az óceánok árapály-jelensége hasonló módon (bárnem szabad tömegpontok mozgásával, hanem egyegybefüggô víztömeg deformációjával) térképezi fel,hogy a Föld által bejárt téridô-tartományban milyenátlagos görbületet okoz a Hold és a Nap. A görbületazonban igazán precízen csak egy-egy infinitezimálistéridô-tartományban – egy-egy esemény közvetlenkörnyezetében – tárgyalható. Az általános relativitás-elméletben a geodetikus deviáció egyenlete írja le,hogy két pontszerû szabad próbatest geodetikus vi-lágvonala milyen gyorsulással közeledik egymáshoz,vagy távolodik egymástól, ha eredetileg infinitezimá-lis téridô-távolságból indítottuk el ôket. Az egyetlentömegpont mozgását leíró geodetikus egyenlettelellentétben – amelyben, mint láttuk, cseles vonatkoz-tatási rendszer választással kimutathatatlanná tehetô agravitáció – a geodetikus deviáció egyenlete eltüntet-

hetetlenül számot ad a téridô görbületérôl. E szerintaz egyenlet szerint ugyanis a próbatestek világvonalá-nak egymáshoz képesti deviációját közvetlenül a Rie-mann-tenzor határozza meg.5 A Riemann-tenzor – a

5 Ezen egyenlet newtoni analógiája az árapály-gyorsulást leíróegyenlet, amelyben a gravitációs erô gradiense szerepel, mint fizi-kai ok.6 Newtoni szóhasználattal: amikor leugrunk, a gravitációs erômegszûnik számunkra, de az erô gradiensét nem tudjuk kiiktatni.

Christoffel-szimbólumokkal ellentétben – olyan fizi-kai mennyiség, amelyet nem lehet matematikaiügyeskedéssel (például koordináta-transzformációval)eltüntetni. Ha valamely vonatkoztatási rendszerben aRiemann-tenzor nem azonosan zérus, akkor hiábaváltunk nézôpontot, onnan nézve sem lesz zérus. Hapéldául leugrunk egy magas szikláról – lokális iner-ciarendszerbe helyezzük magunkat –, akkor nézô-pontunkból lenullázódnak a Christoffel-szimbólumok,de a Riemann-tenzor ott is eseményrôl eseményrekikerülhetetlenül jelzi az általunk bejárt téridô-tarto-mány (példánkban igen-igen kicsi) görbületét.6

Analógia a laposlények világából

A laposlények görbült kétdimenziós világa sokszorszolgál tanulságos analógiákkal, amikor a görbülttéridô egyes aspektusait akarjuk megérteni. Az elôzô-ekben használtunk is már ilyen analógiát. Segítsé-günkre lehet akkor is, amikor az elôzô pontban tár-gyalt problémát (miért a Nap körül keringünk, amikora Hold erôsebben görbíti be a téridôt?) akarjuk vizua-lizálni. Képzeljünk el most egy olyan kétdimenziósvilágot, amely – egy domborzatos földgömb-modell-hez hasonlóan – alapvetôen gömbfelület, de apróhegyek-völgyek teszik változatossá. Ebben a – meta-foránál nem sokkal komolyabban veendô – analógiá-ban a téridônek a Nap, illetve a Hold által okozottgörbületkomponense felel meg a teljes gömbfelület,illetve a rajta levô dombocskák görbületének.

Az egyszerûség kedvéért a laposlények világábanis nevezzük „Egyenlítônek” és „északi iránynak” azt,amit egy magunk elé képzelt földgömb-makettenezeknek hívunk. Induljon el két pontszerû laposlényaz Egyenlítô két távoli pontjából, északi irányba. Az,ahogyan geodetikus pályáik egymáshoz közelednek,végül az északi sarkon összefutnak, majd ezután isperiodikusan metszik egymást a déli és északi sarko-kon, egyértelmûen jelzik a két pontszerû lény számá-ra, hogy görbült felületen élnek. Közben ugyan mind-ketten dombokon és völgyeken is áthaladnak – ame-lyek görbületi sugara lehet akár lényegesen kisebb,mint a teljes gömbé –, expedíciójuk (pályáik nagylép-tékû relatív viselkedése) mégis a teljes bejárt tarto-mány átlaggörbületét jelzi számukra, amit dominán-san a gömb sugara határoz meg.

Hogyan tudják érzékelni a laposlények a dimbes-dombos táj görbületét (világuk görbületének fino-mabb struktúráját)? Képzeljünk el például egy körlap

202 FIZIKAI SZEMLE 2014 / 6

alakú, kiterjedt tárgyat! (Metaforánkban ez a körlapfelel meg a Földnek, pereme pedig az óceánoknak.)Ez az eredetileg sík körlap rugalmas anyagú kell le-gyen, mert miközben halad a kétdimenziós világban,minden pontja mindig a felülethez kell simuljon. Ahelyzetet bonyolítja, hogy a körlap maga is begörbítimaga körül a kétdimenziós világot. Ezt például úgyképzelhetjük el, hogy amerre jár, maga is behorpaszt-ja a felületet, amelybe belesimul.7 Haladjon a körlap

7 Az einsteini gravitációelméletben is az okozza a fô matematikainehézséget, hogy a tömegek egyfelôl tevékeny alakítói a téridônek,ugyanakkor mozgásuk a téridô parancsának engedelmeskedik. Afentiekben többször használtam a próbatest fogalmát. Ez az ideali-zált fogalom olyan tömegpontot jelent, amely a neki parancsolótéridôt „készen kapja”, de ô maga – kis tömege miatt – a téridôvizsgált tartományának begörbítésébe nem szól bele.

középpontja geodetikus vonal mentén. Miközben akörlap minden pontja a bonyolult domborzatú felület-be simul, a peremében mechanikai feszültségek lép-nek fel, amit a peremen élô pontszerû laposlényekmegfigyelhetnek. Ezek a mechanikai feszültségek akörlap által lefedett felülettartomány átlaggörbületérôl

adnak információt. Ugyanakkor ez egyfajta differenciá-lis mérési módszer: a speciális szimmetria a mért gör-bületnél kompenzálja a körlap által okozott behorpa-dásból származó (egyébként messze legerôsebb) kom-ponenst. Marad maga a nagy gömb és a dimbes-dom-bos táj járuléka, ezek eredô görbületét mutatja ki aperemben ébredô feszültség. A laposlények ezek utánúgy tudják szétválasztani a nagy gömb és a domborzatgörbületjárulékait, hogy keresztül-kasul hurcolják akörlapot kétdimenziós világukban, és gondosan meg-figyelik, mikor milyen irányú és nagyságú deformációkjelentkeznek a peremben. Ha például egy kis dombgörbületi sugara fele az egész gömb sugarának, azt apontszerû laposlények éppúgy képesek megállapítani,ahogy mi is, jól idôzített megfigyelésekkel (a Nap és aHold változó relatív helyzetét kihasználva) tapasztala-tilag alá tudjuk támasztani, hogy a Hold árapály-okozóhatása kétszer erôsebb a Napénál.

Irodalom1. Bokor N., Laczik B.: Vektorok párhuzamos eltolásának szemlél-

tetése. Fizikai Szemle 51/7–8 (2011) 240–250.

A FÖLDFELSZÍN FORGÁSA EGY ÁLTALÁNOS PONTBAN– kiegészítés a Coriolis-hatás tárgyalásához Woynarovich Ferenc

MTA, Wigner FK, SZFI

Nemrégiben Fizika és földrajz határán – tanítható-ea Coriolis-erô? címmel cikk jelent meg a FizikaiSzemlében [1]. Ebben a szerzô bemutatja, hogyan le-het a tehetetlenségi erôk fogalmának a bevezetésenélkül szemléltetni és kvantitatív vizsgálat tárgyávátenni a tehetetlenül mozgó testek eltérülését forgókoordinátarendszerben. A cikkben a szerzô a legegy-szerûbb esettel foglalkozik: a forgástengelytôl arramerôlegesen induló, a nyugvó rendszerben egyene-sen és egyenletesen mozgó pont forgó rendszerbenkirajzolt pályáját elemzi. Ez a leírás, miközben jólszemlélteti a dolog lényegét, a Föld felszínén közvet-lenül csak a pólusok közelében alkalmazható, hiszena földfelszín egy általános pontjához rögzített koordi-nátarendszer mozgása sokkal összetettebb annál,mintha valamelyik saroknál lenne. Ezért, ha szeret-nénk megérteni és megértetni, hogyan mûködikmindez egy 0 < ϕ < π/2 szélességi körön, tehát a for-gástengelytôl távol, arra nem is merôleges síkban,további megfontolásokra és magyarázatokra vanszükség.

A kérdés a szögsebesség vektorjellegét ismerve, ésa vektoriális szorzat tulajdonságait kihasználva köny-nyen tárgyalható, de a középiskolások nem tanulnaksem a vektoriális szorzatról, sem a szögsebesség vek-tor voltáról, ezért olyan leírást kell találni, amely eze-ket az eszközöket nem használja. A probléma analógazzal, hogyan tárgyalható elemi módszerekkel a Fou-

cault-inga síkjának forgása: az is nagyon szemléletes apólusokon, de nem triviális a pólusoktól távol. Erreegy lehetséges értelmezést ad az „érintô kúp konst-rukció” [2], amely arra épül, hogy az inga mozgása aFöld elfordulása során – a gömb felszínén értelmezhe-tô módon – önmagával „párhuzamosan” tolódik el.

Jelen munkában egészen más oldalról, de [1] elem-zéséhez jól illeszthetô módon közelítünk a kérdéshez:kiválasztjuk a Föld forgásából adódó mozgás azonkomponensét, amely lokálisan egy adott pont körüliforgásként érzékelhetô.

Amíg a pólusok közelében a földfelszín mozgásaegyetlen ω szögsebességû forgás, addig egy általánoshelyzetû pont környezetében a felszín mozgása há-rom részbôl tehetô össze:

i. az adott szélességi körön való körmozgás,ii. a horizont ω sinϕ szögsebességû forgása,iii. a horizont síkjának egy ω cosϕ szögsebességû

„elbillenése”.Ez jól szemléltethetô az 1. ábra segítségével. A ϕ

szélességi körön elhelyezkedô O ponthoz illesztettkoordinátarendszer x, y és z tengelye rendre keletre,északra és a zenit felé mutat. Miközben a Föld a ten-gelye körül ϑ szöggel elfordul, az O pont a pályájánϑRcosϕ ívet fut be. Eközben az y tengely mindvégig atôle Rctgϕ távolságra levô O ′ pont felé mutat, ezért akoordinátarendszer ϑ sinϕ szöggel elfordul az egyéb-ként ϑ cosϕ szöggel kimozduló z tengely körül. Nyil-

A FIZIKA TANÍTÁSA 203