fizika1

KEMIJSKO-TEHNOLOŠKI FAKULTET U SPLITU SVEUČILIŠTA U SPLITU

ZAVOD ZA FIZIKU

Draga Krpan-Lisica

PRAKTIKUM IZ FIZIKE I. DIO

Split, 2005.

2

Kemijsko-tehnološki fakultet u Splitu Sveučilišta u Splitu

Praktikum iz fizike I. dio

Autorica: Mr. sc. Draga Krpan-Lisica

Recenzenti:

Dr. sc. Mile Dželalija, red. prof. Dr. sc. Ante Bilušić, doc.

Računalna obrada teksta i crteža:

Eni Generalić, dipl. ing. Sva prava pridržana. Niti jedan dio ove publikacije ne smije se umnožiti, pohraniti ili prenijeti u bilo kakvom obliku (fotokopiranjem, elektronički, presnimavanjem ili bilo kojim drugim načinom) bez pismenog dopuštenja autorice.

3

Predgovor Skripta "Praktikum iz fizike I. dio" nastavak su rada započetog 1961. godine osnivanjem Praktikuma iz fizike te pisanjem "Uputa za praktikum iz fizike", 1962. godine. U tome su sudjelovali nastavnici i suradnici Zavoda za fiziku Kemijsko-tehnološkog i Elektrotehničkog fakulteta u Splitu: N. Cindro, J. Vuletin, V. Gotovac, R. Žikić i B. Šimić. Potrebno je naglasiti da su pri tome uvelike korištena iskustva već postojećih sličnih laboratorija, zahvaljujući susretljivosti prof. dr. sc. M. Paića i prof. dr. sc. V. Lopašića sa Zavoda za fiziku Prirodoslovno-matematičkog i Elektrotehničkog fakulteta u Zagrebu. Rad na unaprjeđenju laboratorijskih vježbi te usklađivanje s promjenama nastavnog programa tražili su nove dopune i izmjene. Stoga je uslijedilo nekoliko izdanja skripti (Praktikum iz fizike I. dio, Praktikum iz fizike II. dio, Praktikum iz fizike) kojima su doprinijeli i I. Zanchi, D. Krpan-Lisica te E. Koludrović. "Praktikum iz fizike I. dio" namijenjen je studentima Kemijsko-tehnološkog fakulteta u Splitu, kao priručnik pri izradi laboratorijskih vježbi koje spadaju u nastavni program kolegija Fizika I. U uvodnom dijelu (Mjerenje i prikazivanje rezultata mjerenja) student će se upoznati s pogrješkama koje nastaju pri mjerenju, načinom računanja vrijednosti izravno i neizravno mjerenih veličina te izražavanjem rezultata mjerenja. Odabrane laboratorijske vježbe usklađene su, u smislu međusobnog nadopunjavanja, s nastavnim gradivom koje se obrađuje na predavanjima i seminarima. Svaka vježba sadrži opis uređaja koji se koristi, uputstva za mjerenje te radne zadatke s pripadajućim tablicama za upisivanje podataka dobivenih mjerenjem i računanjem. Budući da je praktički nemoguće uskladiti dinamiku izvođenja pojedinih laboratorijskih vježbi i njima tematski odgovarajućih predavanja, svakoj vježbi prethodi nužno teorijsko objašnjenje. Time je omogućena izrada vježbi iz onog dijela gradiva koje će biti tek naknadno obrađeno na predavanjima. U interesu je svakog studenta da svoje znanje upotpuni i objašnjenjima iz poglavlja Dodatak te, prema potrebi, korištenjem dostupne literature iz fizike. Autorica

4

5

Sadržaj Mjerenje i prikazivanje rezultata mjerenja ............................................................................7 Mjerenje duljine...................................................................................................................17 Gustoća čvrstih tijela ...........................................................................................................25 Gustoća kapljevina...............................................................................................................31 Trenje ...................................................................................................................................37 Elastična opruga...................................................................................................................45 Torzija..................................................................................................................................51 Njihalo .................................................................................................................................59 Napetost površine ................................................................................................................67 Maseni toplinski kapacitet čvrstih tijela ..............................................................................75 Toplina taljenja leda.............................................................................................................83 Dodatak................................................................................................................................87 Literatura..............................................................................................................................97

6

7

Mjerenje i prikazivanje rezultata mjerenja Mjerenje i mjerne jedinice Veličine su mjerljiva svojstva stvari, zbivanja ili stanja. Mjerenjem uspoređujemo istovrsne veličine s ciljem utvrđivanja njihova omjera: taj je omjer broj i svako se mjerenje u načelu sastoji od brojenja. Budući da se mjerenje svodi na uspoređivanje, najpogodnije je da se taj postupak obavlja uvijek s jednakom veličinom, u tu svrhu odabranom, kako bi se rezultati mjerenja mogli međusobno uspoređivati. Dogovorno odabrane veličine, koje se koriste kao referencije, nazivamo jedinicama: njima se daju posebna imena i označuje ih se posebno odabranim simbolima. Mjerenjem utvrđujemo koliko je puta jedinica sadržana u mjerenoj veličini: vrijednost veličine iskazuje se umnoškom broja (iznos veličine) i pripadajuće jedinice. Među nekim veličinama postoje odnosi, određeni fizikalnim zakonima i definicijama, pa je pogodno dogovorom odabrati osnovne veličine, a ostale veličine smatrati izvedenima. Stoga nije potrebno za svaku veličinu odabrati novu jedinicu, već odabiranjem jedinica za osnovne veličine, tzv. osnovnih jedinica, ujedno odabiremo i jedinice za izvedene veličine: te se jedinice izvode istim jednadžbama kojima su i povezane odgovarajuće veličine. Razni mjerni sustavi bili su određeni upravo izborom osnovnih veličina i jedinica. Međunarodni sustav jedinica (SI), usvojen na XI. zasjedanju Opće konferencije za utege i mjere 1960. godine (kasnije dopunjen), temelji se na sedam osnovnih veličina s pripadajućim osnovnim jedinicama (tablica 1.) Tablica 1: Osnovne veličine i jedinice (SI)

Osnovna veličina Osnovna jedinica Simbol

duljina metar m

masa kilogram kg

vrijeme sekunda s

jakost električne struje amper A

termodinamička temperatura kelvin K

svjetlosna jakost kandela cd

količina tvari mol mol

8

Definicije osnovnih jedinica (SI) Metar je duljina puta kojega svjetlost prijeđe u vakuumu za vrijeme od 1/299 792 458 sekunde. Kilogram je masa međunarodne pramjere kilograma. Sekunda je trajanje 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara prijelazu između dviju hiperfinih razina osnovnog stanja cezija 133. Amper je jakost stalne električne struje koja, prolazeći dvama usporednim ravnim vodičima neograničene duljine i zanemarivo malog kružnog presjeka, razmaknutim jedan metar u vakuumu, uzrokuje među njima silu od 2·10-7 njutna po metru duljine. Kelvin je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,16 termodinamičke temperature trojne točke kemijski čiste vode u prirodnoj izotopnoj mješavini. Kandela je jakost izvora monokromatskog zračenja frekvencije 540·1012 herca koji u danom smjeru zrači 1/683 vati po steradijanu. Mol je količina tvari sustava koji sadržava toliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 0,012 kilograma izotopa ugljika 12. Pogrješke pri mjerenju Mjerenjem se nastoji doznati što točnija vrijednost mjerene veličine. Rezultat mjerenja nikad nije apsolutno točan, jer prilikom mjerenja nastaju pogrješke: one mogu biti sustavne i slučajne. Sustavne pogrješke nastaju zbog netočnosti mjerki i mjernih uređaja te ne ovise o osobi koja vrši mjerenje (mjerač). Primjerice, mjeri li se duljina mjerkom kod koje svaki najmanji djelić ljestvice nije točno 1 mm, nego veći, za mjerenu se duljinu sustavno dobivaju premale vrijednosti. U ovom bi se primjeru sustavne pogrješke moglo otkloniti samo uspoređujući korištenu mjerku s ispravnom mjerkom, što nije uvijek jednostavno. Slučajne pogrješke nastaju zbog nedovoljne preciznosti mjerki i mjernih uređaja, ali i zbog nedovoljne preciznosti mjerača, bilo zbog ograničenosti njegovih osjetila, bilo zbog njegove nesavjesnosti ili nedovoljnog znanja. Stoga se pri opetovanom mjerenju iste fizikalne veličine rezultati razlikuju. Primjerice, mjeri li se ista duljina mjerkom razdijeljenom u milimetre, mjerenu duljinu moguće je procijeniti do na desetinku milimetra. Prilikom tog procjenjivanja rezultati neće imati jednake vrijednosti, primjerice: 15,5 mm; 15,4 mm; 15,6 mm. Uporabom preciznije mjerke, razdijeljene u desetinke milimetra, mjerenu duljinu moguće je procijeniti do na stotinku milimetra. Ni prilikom ovog procjenjivanja rezultati neće imati jednake vrijednosti, primjerice: 15,56 mm; 15,54 mm; 15,55 mm. Ipak, uporabom preciznije mjerke pogrješka se smanjuje. Osim o preciznosti mjerke, u oba navedena primjera procijenjena vrijednost ovisi i o preciznosti mjerača, na koju ponajviše utječe njegovo znanje, savjesnost i oštrina osjetila. Navedene osobine mjerača dolaze do izražaja, primjerice, i prilikom očitavanja temperature na

9

termometru sa stupcem žive (crtež 1.), pri čemu treba paziti da oko bude u visini stupca žive u termometru da ne bi došlo do paralakse.

24

23

21

22

22 60 °C.

22 75. °C

položaj oka

22 45. °C

Crtež 1. Aproksimacija stvarne vrijednosti mjerene veličine i pogrješke mjerenja Kao što je već izneseno, prilikom mjerenja neizbježne su pogrješke, zbog čega je nemoguće odrediti stvarnu vrijednost mjerene veličine. Statističkom analizom podataka mjerenja moguće je samo utvrditi da se stvarna vrijednost nalazi, s određenom vjerojatnošću, unutar stanovitog intervala vrijednosti. Da bismo odredili taj interval potrebno je izvršiti niz mjerenja i izračunati pogrješku. Pretpostavimo da je izvršeno n mjerenja neke veličine, x. Podatci mjerenja se unesu u tablicu (x stupac sadrži n podataka ako je izvršeno n mjerenja):

Veličine x xs x – xs ∆x 100x s

⋅∆x

Jedinice %

1.

2.

3.

.

.

n.

x = (xs ± ∆x)

10

Potom se izračuna srednja vrijednost (xs ili x ) izmjerenih podataka: to je iznos koji se najviše približio pravom iznosu mjerene veličine. Srednja vrijednost je aritmetička sredina izmjerenih vrijednosti (zbroj iznosa pojedinačnih mjerenja podijeljen s brojem mjerenja):

n

xx

n

ii

s

∑== 1

Teorija dokazuje da je srednja vrijednost najbolja aproksimacija stvarne vrijednosti mjerene veličine i da se njezina vrijednost može po volji približiti stvarnoj vrijednosti ako se broj mjerenja učini po volji velikim. (Stupac xs sadrži samo jedan podatak.) Da bi se ocijenila točnost mjerenja potrebno je odrediti pogrješku mjerenja. Iako se pogrješka statističkom analizom računa na nešto složeniji način, u okviru ovog praktikuma bit će dovoljna jednostavnija, gruba ocjena pogrješke mjerenja, odnosno razumnog intervala unutar kojeg se nalazi stvarna vrijednost mjerene veličine. U tu svrhu najprije se izračuna razlika iznosa svakog pojedinog mjerenja i srednje vrijednosti (odstupanje od srednje vrijednosti), koju možemo nazvati pogrješkom pojedinačnog mjerenja: x – xs (x – xs stupac tablice sadrži n podataka.) Temeljem ovako dobivenih podataka utvrđuje se maksimalna apsolutna pogrješka, ∆x: to je apsolutna vrijednost najveće pogrješke pojedinačnog mjerenja. (∆x stupac tablice sadrži samo jedan podatak.) Da bi se dobio uvid u prihvatljivost rezultata mjerenja (temeljem ove pojednostavljene ocjene pogrješke mjerenja) računa se maksimalna relativna pogrješka: to je omjer maksimalne apsolutne pogrješke i srednje vrijednosti, a ponajčešće se izražava u postotcima, množenjem utvrđenog omjera sa 100. (I ovaj stupac tablice sadrži samo jedan podatak.) Prikazivanje rezultata mjerenja Rezultat mjerenja zapisujemo tako da, uz sigurne znamenke, zadržavamo samo jednu nesigurnu znamenku. Koju nesigurnu znamenku zadržavamo, pri čemu ostale nesigurne znamenke odbacujemo, zaključujemo temeljem sljedećeg razmatranja maksimalne apsolutne pogrješke, ∆x. Prva znamenka maksimalne apsolutne pogrješke koja je različita od 0 (gledajući znamenke od viših prema nižim dekadskim mjestima), predstavlja nesigurnu znamenku koju u zapisu rezultata zadržavamo, a sve ostale odbacujemo. Pri tome vrijedi dogovor da znamenki koju zadržavamo iznos povećavamo za jedinicu ako je prva znamenka koju odbacujemo jednaka ili veća od 5; u protivnom se iznos zadržane znamenke ne mijenja. Pri dnu tablice zapisujemo rezultat mjerenja, u obliku intervala unutar kojega se nalazi stvarna vrijednost mjerene veličine: x = (xs ± ∆x) pri čemu izvan zagrada treba označiti jedinice.

11

Kao primjer, u sljedećoj tablici prikazan je niz vrijednosti mjerenja mase, m, izračunate su pogrješke i zapisan je rezultat mjerenja.

Veličine m ms m – ms ∆m 100⋅∆

sm

m

Jedinice g g g g %

1. 0,2670 0,0012

2. 0,2550 -0,0108

3. 0,2690 0,0032

4. 0,2680 0,0022

5. 0,2700

0,2658

0,0042

0,0108 4,06

m = ms ± ∆m = (0,27 ± 0,01) g

Određivanje srednje vrijednosti i maksimalne apsolutne pogrješke neizravnim mjerenjem Pojedine fizikalne veličine ne mjere se izravno, već se određuju pomoću jedne ili više drugih veličina koje su podesnije za mjerenje, zbog čega govorimo o neizravnom mjerenju. Neka je tražena veličina, u, funkcija od x: u = u (x) Izravnim mjerenjem određeno je da je x = (xs ± ∆x) Srednja vrijednost us funkcija je srednje vrijednosti xs i jednostavno je izračunamo: us = u (xs) Maksimalnu apsolutnu pogrješku ∆u računamo kao što slijedi: u = u (x) ∆u = u (x + ∆x) – u (x) Pogrješke ∆u i ∆x su u pravilu vrlo male prema u i x, pa ih možemo smatrati diferencijalima, du i dx: du = u (x + dx) – u (x) (1.)

12

Razvojem funkcije u(x + dx) u Taylorov red i zadržavanjem samo linearnih članova reda:

xx

uxuxxu d

d

d)()d( +=+

jednadžba (1.) poprima oblik

xx

uu ∆=

d

dd

odnosno

xx

uu ∆=∆

d

d

Budući da derivacija, x

u

dd

, može imati pozitivan ili negativan predznak, za računanje

maksimalne apsolutne pogrješke, ∆u, koristimo apsolutnu vrijednost derivacije, iznos koje izračunamo za x = xs:

xx

uu

sx

∆=∆d

d

Konačan zapis neizravno mjerene veličine u je: u = (us ± ∆u) Primjer Opseg kruga, O, funkcija je polumjera, r: O = 2π r Izravnim mjerenjem određeno je da je: r = (0,015 ± 0,001) m Temeljem iznesenog izračuna se srednja vrijednost i maksimalna apsolutna pogrješka opsega kruga: Os = 2π rs = 2π · 0,015 m = 0,0942 m ∆O = 2π · ∆r = 2π · 0,001 m = 0,0063 m Konačan zapis neizravno mjerenog opsega kruga je: O = (0,094 ± 0,006) m

13

Ako je tražena veličina u funkcija više veličina koje se određuju izravnim mjerenjem, primjerice dviju: u = u (x, y) računanje srednje vrijednosti, us, i maksimalne apsolutne pogrješke, ∆u, vrši se na analogan način, kao što slijedi. Izravnim mjerenjem utvrđeno je da je: x = (xs ± ∆x) y = (ys ± ∆y) Srednja vrijednost us je funkcija srednjih vrijednosti xs i ys: us= u (xs, ys) Maksimalna apsolutna pogrješka, ∆u, je:

yy

ux

x

uu

sx

sysx

sy

∆∂∂+∆

∂∂=∆

(Primjećujemo da je kod funkcije više varijabli maksimalna apsolutna pogrješka određena parcijalnim derivacijama.) Konačan zapis neizravno mjerene veličine u je: u = (us ± ∆u)

14

15

VJEŽBA 1.

Mjerenje duljine

16

17

Mjerenje duljine Pomična mjerka Pomična mjerka (crtež 1.1.) pruža mogućnost mjerenja duljine točnošću desetinke, dvadesetinke ili pedesetinke milimetra, ovisno o izvedbi. (U praksi se pomična mjerka ponajčešće koristi za očitavanje desetinki milimetra, dok se za očitavanje manjih dijelova milimetra koristi mikrometarski vijak.)

1 7 17110 6 16105 154 20143 9 19132 8 1812

00 642 8

Š N

1 3 5 7 9

Crtež 1.1. Pomična mjerka se sastoji od tijela – štapa (Š), po kojemu se može pomicati okvir – nonius (N). Na štapu i noniusu su pripadajuće ljestvice, koje se međusobno razlikuju. Ljestvica štapa ima milimetarsku podjelu. Ljestvica noniusa baždarena je ovisno o mogućoj točnosti mjerenja. Objasnimo to.

Načelo baždarenja ljestvice noniusa na to čnost k

1 milimetra

Odabranu duljinu ljestvice štapa, DŠ (izraženo u milimetrima), uspoređuje se s jedan milimetar kraćom duljinom, DN, na noniusu. Duljina DN podijeljena je na k dijelova, čime se postiže da je svaki podiok ljestvice noniusa, dN, kraći od odgovarajućeg (k-tog) podioka ljestvice štapa, dŠ, za iznos 1/k milimetra:

mm 11ŠŠNŠ

NŠ kk

D

k

D

k

D

k

DddR =

−−=−=−=

Upravo postojanje razlike R omogućuje mjerenje duljine točnošću k

1 milimetra.

18

Primjer 1: Mjerenje duljine to čnošću 101

milimetra

k = 10

DŠ = 10 mm; mm 10

10ŠŠ ==

k

Dd

DN = 9 mm; mm 10

9NN ==

k

Dd

mm) 0,1( mm 10

1mm

10

9

10

10NŠ ==

−=−= ddR

Dakle, ovakvom mjerkom moguće je očitavanje desetinki milimetra. Pogledajmo pobliže kako se to radi.

1 70 6 10543 92 8

00 642 8

mmŠTAP

NONIUS1 3 5 7 9

Crtež 1.2. Na crtežu 1.2. uspoređeno je 10 dijelova ljestvice štapa s 10 dijelova ljestvice noniusa (u nultom položaju). Očito je da je prvi zarez ljestvice noniusa pomaknut ulijevo za jednu desetinku milimetra u odnosu na prvi zarez ljestvice štapa; drugi zarez ljestvice noniusa pomaknut je ulijevo za dvije desetinke milimetra u odnosu na drugi zarez ljestvice štapa; treći zarez ljestvice noniusa pomaknut je ulijevo za tri desetinke milimetra u odnosu na treći zarez ljestvice štapa i tako redom. Stoga proizlazi da će se pri pomaku noniusa udesno za jednu desetinku milimetra podudariti prvi zarezi ljestvice noniusa i ljestvice štapa, pri pomaku za dvije desetinke milimetra podudarit će se drugi zarezi, pomakom za tri desetinke milimetra podudarit će se treći zarezi i tako redom. Ovako baždarena ljestvica omogućuje da očitanjem pripadajućeg broja zareza na noniusu, koji se podudara s bilo kojim zarezom na štapu, očitamo broj desetinki milimetra za koji je pomaknut nonius.

19

Primjer 2: Mjerenje duljine to čnošću 501

milimetra

k = 50

DŠ = 50 mm; mm 5050Š

Š ==k

Dd

DN = 49 mm; mm 50

49NN ==

k

Dd

mm) 0,02( mm 50

1mm

50

49

50

50NŠ ==

−=−= ddR

Dakle, ovakvom mjerkom moguće je očitavanje pedesetinki milimetra. Na crtežu 1.3. uspoređeno je 50 dijelova ljestvice štapa s 50 dijelova ljestvice noniusa (u nultom položaju).

cm10 5432

00 642 8

ŠTAP

NONIUS3 5 7 91

Crtež 1.3. Radi lakšeg očitavanja, na ljestvici noniusa brojčano je označen svaki peti podiok

)mm 10

1mm

50

15( =⋅ , odnosno brojčano su označene desetinke milimetra.

Mjerenje Predmet, duljinu kojega trebamo izmjeriti, umetne se između krakova Š i N pomične mjerke, nonius se lagano pritisne u smjeru izdanka štapa te se izvrši očitavanje na sljedeći način:

1. Na ljestvici štapa uoči se položaj nultog zareza ljestvice noniusa (u odnosnu na 0 na štapu) te se očita broj cijelih milimetara.

2. Na ljestvici noniusa pronađe se onaj zarez, računajući od nultog, koji se podudara s

nekim zarezom ljestvice štapa te se očita broj desetinki milimetra, a moguće i stotinki, ovisno o izvedbi mjerke.

Vrijednost mjerene duljine dobije se zbrajanjem očitanja pod 1. i 2.

20

Zadatak Izmjeriti zadanu duljinu te podatke mjerenja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine d ds d – ds ∆d 100s

⋅∆d

d

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

d = ds ± ∆d

Mikrometarski vijak Mikrometarski vijak (crtež 1.4.) služi za mjerenje duljine točnošću stotinke milimetra. Sastoji se od tijela T, s maticom, i vijka, s bubnjem B, koji se može zakretati u matici. Pomoću pripadajućih mjernih ljestvica t i b okretanje vijka se može pratiti.

10 2

( )t ( )b

T

40

100 Bt

b

grubo okretanje vijka

fino okretanje vijka (čekrk)

Crtež 1.4. Hod vijka je duljina linearnog pomaka vijka pri jednom punom okretu (360°), odnosno duljina za koju se pri tome međusobno pomaknu dodirne površine čeljusti vijka (t) i (b). Pomak vijka razmjeran je kutu njegova zakreta, odnosno pripadajućem luku, na čemu se temelji mjerenje duljine mikrometarskim vijkom. Naime, hod vijka je malen u odnosu na opseg kruga što ga opiše bubanj pri zakretanju, pa se mjerenje vrlo male duljine linearnog pomaka vijka svodi na mjerenje znatno većih kutova, odnosno lukova zakreta bubnja. Što je hod vijka manji, točnost mjerenja je veća. Vijak koji se koristi na vježbama ima hod iznosa 0,5 mm. Ljestvica t je baždarena na podioke duljine 0,5 mm. Puni krug na bubnju (ljestvica b) podijeljen je na 50 dijelova, što

21

omogućuje očitavanje stotinki milimetra (pomak bubnja za 1 podiok odgovara linearnom pomaku vijka za 0,5 mm /50 = 1/100 mm = 0,01 mm). Mjerenje Između površina (t) i (b) umetne se tijelo, duljinu kojega treba odrediti, koristeći kraj vijka za grubo okretanje, nakon čega se izvrši završno fino pritezanje bubnja. Očitavanje izmjere d vrši se na sljedeći način:

1. Na ljestvici t očita se cijeli broj polovica milimetra (počevši od 0 na ljestvici do ruba bubnja).

2. Na ljestvici b očita se broj stotinki milimetra, pri čemu se može procijeniti i broj

tisućinki milimetra. Vrijednost mjerene duljine dobije se zbrajanjem očitanja pod 1. i 2. Zadatak: Izmjeriti zadanu duljinu te podatke mjerenja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine d ds d – ds ∆d 100s

⋅∆d

d

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

d = ds ± ∆d

22

23

VJEŽBA 2.

Gustoća čvrstih tijela

24

25

Gustoća čvrstih tijela Gustoća neke tvari definirana je diferencijalnim kvocijentom mase i obujma:

V

m

d

d=ρ (2.1.)

Ako je tvar homogena (gustoća je jednaka u svakom djeliću te tvari) izraz (2.1.) može se pisati u obliku:

V

m=ρ (2.2.)

Gustoća je brojčano jednaka masi jediničnog obujma; SI jedinica za gustoću je kilogram po kubičnom metru (kg m-3). Gustoća ovisi o temperaturi, jer i obujam ovisi o temperaturi. Ipak, u malom temperaturnom intervalu promjena obujma čvrstih tijela i kapljevina je zanemarivo mala pa njihovu gustoću možemo smatrati konstantom. Određivanje gustoće čvrstih tijela pomoću uzgona Gustoću čvrstih tijela odredit ćemo temeljem Arhimedova zakona, prema kojemu tijelo uronjeno u tekućinu prividno gubi na težini onoliko koliko teži tijelom istisnuta tekućina. Naime, na tijelo uronjeno u tekućinu djeluje uzgon: to je sila, smjera suprotna smjeru sile teže, iznosa jednaka težini istisnute tekućine: U = G' odnosno U = m' g gdje je m' masa istisnute tekućine, a g ubrzanje sile teže. Ako je tekućina homogena U = ρ' V g (2.3) (ρ' je gustoća tekućine, a V obujam istisnute tekućine, odnosno obujam uronjenog tijela.) Zbog male gustoće plinova iznos uzgona u plinovima se ponajčešće zanemaruje, za razliku od iznosa uzgona u kapljevinama. Ovu činjenicu koristit ćemo pri određivanju gustoće čvrstog tijela, ρ.

26

a) b) c)

d0

d

( - )d d0

d'

( - )d' d0

N

G

N'

U

G

Crtež 2.1.

Na crtežu 2.1.a prikazana je neopterećena elastična opruga, duljine d0. Ako na oprugu objesimo tijelo težine G (crtež 2.1.b), opruga se deformira (produlji); iznos deformacije određen je razlikom duljina opterećene opruge, d, i neopterećene opruge, d0. Kao reakcija na deformaciju u opruzi se javlja elastična sila (sila napetosti), N, koja nastoji poništiti deformaciju. U ravnotežnom položaju iznosi težine tijela i napetosti opruge su jednaki: G = N (2.4.) Uronimo li tijelo u kapljevinu gustoće ρ' (crtež 2.1.c), zbog pojave uzgona, U, napetost opruge se smanjuje (N') pa se smanjuje i deformacija; iznos deformacije određen je razlikom duljina opterećene opruge, d', i neopterećene opruge, d0. U novonastaloj situaciji uvjet ravnoteže tijela glasi: G = N' + U (2.5.) Iz relacija (2.4.) i (2.5) slijedi N = N' + U odnosno U = N – N' (2.6.) Omjer relacija (2.4.) i (2.6.) daje:

'NN

N

U

G

−= (2.7.)

27

Težina tijela, G, određena je umnoškom mase i ubrzanja sile teže (G = mg), pa za homogeno tijelo, gustoće ρ, obujma V, primjenom izraza (2.2.) i (2.3.) slijedi:

'' NN

N

Vg

Vg

−=

ρρ

odnosno

'

'NN

N

−= ρρ (2.8.)

Napetost elastične opruge je razmjerna njenoj deformaciji (detaljnije u vježbi 5.): N = K (d – d0) (2.9.) N' = K (d' – d0) (2.10.) gdje je K konstanta elastične opruge, pa izrazi (2.9.) i (2.10.) s (2.8.) daju

'

' 0

dd

dd

−−= ρρ (2.11.)

Da bi se temeljem izraza (2.11.) izračunala gustoća čvrstog tijela, ρ, potrebno je znati gustoću kapljevine, ρ' (u našem slučaju vode), pri temperaturi mjerenja. Pored toga, potrebno je izmjeriti duljinu neopterećene opruge, d0, duljinu opterećene opruge, d, (obješeno tijelo je u zraku) i duljinu opterećene opruge, d' (obješeno tijelo je uronjeno u vodu). Mjerenje Potrebne duljine (d0, d, d') izmjere se pomoću vertikalne ljestvice (milimetarska podjela) postavljene iza opruge, na stalku na kojem visi opruga. Da bi se izbjegla pogrješka nastala zbog paralakse, očitavanje treba vršiti tek kada se preklope kazaljka na opruzi i njena slika u zrcalu, koje se nalazi na stalku (pogled treba biti usmjeren okomito na kazaljku). Najprije se izmjeri duljina neopterećene opruge, d0. Potom se na oprugu objesi aluminijski valjak, gustoću kojega treba odrediti; kad valjak zauzme ravnotežni položaj očita se duljina opterećene opruge, d. Nakon toga se valjak potpuno uroni u vodu pa se, kad zauzme ravnotežni položaj, očita duljina opterećene opruge, d'. Ovisnost gustoće vode, ρ', o temperaturi, t, prikazana je u tablici 2.1.

28

Tablica 2.1: Ovisnost gustoće vode o temperaturi

t/°C ρ'/kg m-3

0 999,84 2 999,94 4 999,97 6 999,94 8 999,85 10 999,70 12 999,50 14 999,24 16 998,94 18 998,60 20 998,20 22 997,77 24 997,30 26 996,78 28 996,23 30 995,65 32 995,03 34 994,37

Zadatak Odrediti gustoću aluminijskog valjka koristeći izraz (2.11.). Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine d0 d d' t ρ ρs ρ – ρs ∆ρ 100

s

⋅∆ρρ

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

ρ = ρs ± ∆ρ

29

VJEŽBA 3.

Gustoća kapljevina

30

31

Gustoća kapljevina Gustoća neke tvari definirana je diferencijalnim kvocijentom mase i obujma:

V

m

dd=ρ (3.1.)

Ako je tvar homogena (gustoća je jednaka u svakom djeliću te tvari) izraz (3.1.) može se pisati u obliku:

V

m=ρ (3.2.)

Gustoća je brojčano jednaka masi jediničnog obujma; SI jedinica za gustoću je kilogram po kubičnom metru (kg m-3). Gustoća ovisi o temperaturi, jer i obujam ovisi o temperaturi. Ipak, u malom temperaturnom intervalu promjena obujma čvrstih tijela i kapljevina je zanemarivo mala pa njihovu gustoću možemo smatrati konstantom. Određivanje gustoće kapljevina pomoću uzgona Gustoću kapljevina odredit ćemo temeljem Arhimedova zakona, prema kojemu tijelo uronjeno u kapljevinu prividno gubi na težini onoliko koliko teži tijelom istisnuta tekućina. Naime, na tijelo uronjeno u tekućinu djeluje uzgon: to je sila, smjera suprotna smjeru sile teže, iznosa jednaka težini istisnute tekućine. Zbog male gustoće plinova iznos uzgona u plinovima se ponajčešće zanemaruje, za razliku od iznosa uzgona u kapljevinama. Ovu činjenicu koristit ćemo pri određivanju gustoće kapljevine, ρ. Kad čvrsto tijelo, obujma V, potpuno uronimo u vodu, gustoće ρ', tijelo istisne jednaki obujam vode (V), mase m', pa je iznos uzgona jednak težini istisnute vode: U' = G' odnosno U' = m' g (3.3.) gdje je g ubrzanje sile teže. Temeljem izraza (3.2.) slijedi: U' = ρ' V g (3.4.)

32

Ako isto tijelo potpuno uronimo u alkohol, gustoće ρ, tijelo istisne jednaki obujam alkohola (V), mase m, pa je iznos uzgona jednak težini istisnutog alkohola: U = G odnosno U = m g (3.5.) Temeljem izraza (3.2.) slijedi: U = ρ V g (3.6.) Omjer izraza (3.6.) i (3.4.) daje:

Vg

Vg

U

U

'' ρρ=

odakle slijedi da je gustoća alkohola:

'

'U

Uρρ = (3.7.)

Da bi se temeljem izraza (3.7.) izračunala gustoća alkohola, ρ, treba znati gustoću vode, ρ', pri temperaturi mjerenja; pored toga treba odrediti iznos uzgona u vodi, U', te iznos uzgona u alkoholu, U. Mjerenje Iznosi uzgona u vodi, U', i uzgona u alkoholu, U, odrede se tako da se najprije vaganjem izmjeri masa istisnute vode, m', i masa istisnutog alkohola, m, a potom se izračunaju iznosi uzgona.

Crtež 3.1.

33

Prije početka vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteži: polaganim okretanjem puceta na sredini drvenog postolja podigne se i oslobodi ležaj vage (crtež 3.1.). Ako postoji problem tehničko osoblje će ga otkloniti, a ako je vaga ispravna (kazaljka je na ništici), treba ju ponovno zakočiti. Na kukicu s jedne strane vage pomoću konca se objesi ronilo, čime se poremeti ravnoteža. Da bi se ravnoteža ponovno uspostavila na zdjelicu s druge strane vage stavi se tara: u tu svrhu koristi se olovna sačma, a za fino uravnoteživanje komadići papira. Napomena: Svako stavljanje (skidanje) nepoznate mase ili utega na zdjelicu vage vrši se dok je vaga zakočena. Provjeravanje ravnoteže vage vrši se na već opisani način. Nakon uspostavljanja ravnoteže pod ronilo se podmetne stalak sa čašom, u koju se ulije toliko vode da ronilo bude potpuno potopljeno. Zbog djelovanja uzgona tijelo postaje prividno lakše pa se ravnoteža poremeti (provjeriti). Da bi se ponovno postigla ravnoteža na zdjelicu s te strane vage treba staviti utege. Kad se ravnoteža uspostavi masa utega jednaka je masi istisnute vode, m'; iznos uzgona u vodi, U', jednak je težini istisnute istisnute vode, prema izrazu (3.3.). Nakon završenog mjerenja s vodom, ronilo treba dobro osušiti te, sa suhim ronilom, ponovno provjeriti ravnotežu vage: ako je ravnoteža poremećena treba dodati ili oduzeti nešto papirića. Potom ronilo treba uroniti u alkohol te, na već opisani način, izmjeriti masu istisnutog alkohola, m. Težinu istisnutog alkohola, odnosno iznos uzgona u alkoholu, U, izračunati prema izrazu (3.5.). Ovisnost gustoće vode, ρ', o temperaturi, t, prikazana je u tablici 3.1. Tablica 3.1: Ovisnost gustoće vode o temperaturi

t/°C ρ'/kg m-3

0 999,84 2 999,94 4 999,97 6 999,94 8 999,85 10 999,70 12 999,50 14 999,24 16 998,94 18 998,60 20 998,20 22 997,77 24 997,30 26 996,78 28 996,23 30 995,65 32 995,03 34 994,37

34

Zadatak Odrediti gustoću alkohola koristeći izraz (3.7.). Rezultate mjerenja i računanja uvrstiti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine d0 d d' t ρ ρs ρ – ρs ∆ρ 100

s

⋅∆ρρ

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

ρ = ρs ± ∆ρ

35

VJEŽBA 4.

Trenje

36

37

Trenje Trenje je otpor gibanju tijela zbog postojanja sile trenja između tijela i površine s kojom je ono u doticaju. (Smjer sile trenja suprotan je smjeru gibanja tijela.) Razlikujemo trenje mirovanja i trenje gibanja. Trenje može postojati između površina različitih agregatnih stanja (čvrsto, kapljevito, plinovito). Posebno ćemo proučavati trenje između dviju čvrstih površina, za koje vrijedi Coulombov zakon trenja, prema kojemu je sila trenja razmjerna sili pritiska (okomitoj komponenti sile) među doticajnim površinama, općenito: F = µ P Omjer sile trenje i sile pritiska nazivamo koeficijentom trenja:

P

F=µ

Koeficijent trenja je bezdimenzijska veličina, iznos koje ovisi o materijalu i strukturi (obrađenosti) doticajnih površina te o mehanizmu trenja. S obzirom na mehanizam trenja razlikujemo trenje klizanja i trenje kotrljanja. U okviru ove vježbe proučavat ćemo samo trenje klizanja, uzrok kojega su privlačne molekularne sile koje djeluju između bliskih slojeva dviju doticajnih površina (adhezija). Trenje mirovanja (statičko trenje) Trenje mirovanja je otpor gibanju tijela zbog postojanja sile trenja mirovanja između tijela i površine s kojom je ono u doticaju. Sila trenja mirovanja između dviju čvrstih površina određena je graničnom silom potrebnom za pokretanje tijela iz stanja mirovanja, ako pokretanje ne sprječava nijedna druga sila, a razmjerna je sili pritiska (Coulombov zakon trenja): PF MM µ= Omjer sile trenja mirovanja i sile pritiska nazivamo koeficijentom trenja mirovanja (koeficijent statičkog trenja):

P

FMM =µ (4.1.)

Mjerenje potrebno za određivanje koeficijenta trenja mirovanja vrši se na podlozi kojoj se može mijenjati kut nagiba prema horizontali. Opisat ćemo i koristiti dvije mjerne metode.

38

Metoda I. Tijelo mase m postavljeno je na horizontalnu podlogu. Za tijelo je privezan konac, prebačen preko koloture K , na kraju kojega visi privezana zdjelica Z (crtež 4.1.)

Mg

mg

FM

N

N

P'

K

Z

Crtež 4.1. Na zdjelicu se stavljaju utezi sve dok se sustav ne pokrene. Ako je trenje klizanja konca po koloturi zanemarivo, u trenutku pokretanja sila trenja mirovanja jednaka je težini zdjelice s utezima: FM = Mg (4.2.) (Objašnjenje: N = Mg i FM = N) Budući da je na horizontalnoj podlozi sila pritiska jednaka ukupnoj težini tijela: P = mg (4.3.) izrazi (4.2.) i (4.3.) s (4.1.) daju

mg

MgM =µ

odnosno

m

MM =µ (4.4.)

39

Metoda II. Tijelo mase m postavljeno je na kosinu promjenljivog kuta nagiba (crtež 4.2.).

mg

mg sin

FM

P'

mg cos

Crtež 4.2. Kut nagiba kosine se povećava sve dok se tijelo ne pokrene iz mirovanja (θM). U tom trenutku sila trenja mirovanja jednaka je onoj komponenti težine tijela koja je paralelna s podlogom: FM = mg sin θM (4.5.) Budući da je sila pritiska jednaka onoj komponenti težine tijela koja je okomita na podlogu: P = mg cos θM (4.6.) izrazi (4.5.) i (4.6.) s (4.1.) daju:

M

M

cos

sin

θθµ

mg

mgM =

odnosno Mtgθµ =M (4.7.) Kut θM nazivamo kutom trenja. Trenje gibanja (kinetičko trenje) Trenje gibanja je otpor gibanju tijela zbog postojanja sile trenja gibanja između tijela i površine s kojom je ono u doticaju. Sila trenja gibanja između dviju čvrstih površina razmjerna je sili pritiska (Coulombov zakon trenja): FG = µG P (4.8.)

40

Omjer sile trenja gibanja i sile pritiska nazivamo koeficijentom trenja gibanja (koeficijent kinetičkog trenja):

P

FGG =µ (4.9.)

Koeficijent trenja gibanja moguće je odrediti na više načina, od kojih ćemo jedan opisati i koristiti.

mg

P'

FG

mg sin

mg cos

Crtež 4.3. Na crtežu 4.3. prikazano je tijelo mase m postavljeno na podlogu kojoj je poznat kut nagiba, θ (θ > θM). Na tijelo djeluje konstantna rezultanta sila usmjerena niz kosinu. Iznos rezultante sile određen je razlikom one komponente težine tijela koja je paralelna s podlogom i sile trenja gibanja: mg sin θ – FG = ma (4.10.) Budući da je i u ovom slučaju sila pritiska jednaka onoj komponenti težine koja je okomita na podlogu: P = mg cos θ prema izrazu (4.8.) sila trenja gibanja je FG = µG mg cos θ (4.11.) Iz izraza (4.10.) i (4.11.) slijedi: mg sin θ – µG mg cos θ = ma odnosno

41

g sin θ – µG g cos θ = a (4.12.) Uz poznati kut nagiba, θ, i poznato ubrzanje, a, koeficijent trenja gibanja moguće je odrediti temeljem relacije (4.12.):

θθ

θµcoscos

sin

g

a

g

gG −=

odnosno

θ

θµcos

tgg

aG −= (4.13.)

Ubrzanje, a, određujemo na osnovi sljedećeg razmatranja. Tijelo, jednom pokrenuto iz mirovanja, zbog djelovanja rezultante konstantne sile klizi niz kosinu jednoliko ubrzano:

2

21

ats =

Temeljem mjerenja prijeđenog puta, s, i vremena gibanja, t, moguće je izračunati ubrzanje:

2

2t

sa = (4.14.)

Mjerenje koeficijenta trenja mirovanja Metoda I. Tijelo postaviti na kraj horizontalne podloge. U zdjelicu stavljati utege (u koracima od najviše 2 g). Kad se sustav pokrene zabilježiti ukupnu masu utega i zdjelice, M. Metoda II. Postaviti tijelo na kraj horizontalne podloge te joj polako povećavati nagib. Zabilježiti kut θM kod kojega se tijelo pokrene niz kosinu. Mjerenje koeficijenta trenja gibanja Podesiti nagib kosine na kut veći od kuta trenja (θ > θM). Tijelo postaviti na vrh kosine te zapornom urom izmjeriti vrijeme gibanja niz kosinu, t. Metrom izmjeriti duljinu kosine, s.

42

Zadatak 1. Odrediti koeficijent trenja mirovanja koristeći metodu I. i izraz (4.4.). Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke

Veličine M m µM µMs µM – µMs ∆µM 100⋅∆

Ms

M

µµ

Jedinice

1.

2.

3.

µM = µMs ± ∆µM

Zadatak 2. Odrediti koeficijent trenja mirovanja koristeći metodu II. i izraz (4.7.). Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine θM µM µMs µM – µMs ∆µM 100⋅∆

Ms

M

µµ

Jedinice

1.

2.

3.

µM = µMs ± ∆µM

Zadatak 3. Odrediti koeficijent trenja gibanja korištenjem izraza (4.13.); ubrzanje tijela izračunati prema izrazu (4.14.). Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine θ s t a µG µGs µG – µGs ∆µG 100⋅∆

Gs

G

µµ

Jedinice

1.

2.

3.

µG = µGs ± ∆µG

43

VJEŽBA 5.

Elastična opruga

44

45

Elastična opruga Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se međusoban položaj molekula u tijelu, zbog čega se tijelo deformira: mijenja oblik i dimenzije. Kao reakcija na deformaciju, između molekula tijela javlja se sila koja se protivi deformaciji i drži ravnotežu vanjskoj sili. Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja uzroka koji ju je izazvao; ako je deformacija trajna, tijelo je neelastično. Svako tijelo ima granicu elastičnosti: deformacija postaje trajna kad uzrok, koji ju je izazvao, prijeđe graničan iznos karakterističan za to tijelo. U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon, prema kojemu je deformacija tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala. Valjanost Hookeova zakona provjerit ćemo pomoću opruge. Na crtežu 5.1.a prikazana je vertikalno obješena opruga duljine d0. Ako tijelo mase m objesimo na dno opruge (masa opruge zanemariva prema masi tijela) težina tog tijela, G, predstavlja vanjsku silu koja izaziva deformaciju (produljenje opruge), d – d0, (d0 je duljina neopterećene, a d duljina opterećene opruge). Prema Hookeovu zakonu:

GK

dd1

0 =−

odnosno G = K (d – d0) (5.1.) K je konstanta opruge: ona je brojčano jednaka sili potrebnoj za jediničnu deformaciju opruge; SI jedinica je njutn po metru (N m-1). Iznos konstante opruge ovisi o dimenzijama opruge i o materijalu od kojeg je opruga načinjena.

a)

d0

b)

d

c)

u

d u +

( = 0)t( = 0)F'

G

G

N

N

F'

N'

d)

d u +

G

N

N'

Crtež 5.1.

46

Kao reakcija na deformaciju u opruzi se javlja elastična sila (sila napetosti), N, koja nastoji poništiti deformaciju (crtež 5.1.b). Sila N usmjerena je suprotno od sile G, a, kad je tijelo u ravnotežnom položaju, po iznosu joj je jednaka: N = G Primjenom relacije (5.1.) slijedi N = K (d – d0) Dakle, u ravnotežnom položaju tijela iznos sile napetosti je razmjeran ravnotežnom produljenju opruge. Pretpostavimo da neka vanjska sila F', djelujući prema dolje, pomakne tijelo iz ravnotežnog položaja za iznos u, čime se opruga dodatno produlji za isti iznos (crtež 5.1.c). To, ujedno, znači da se i napetost opruge dodatno povećala, i to za iznos N', razmjeran produljenju, u, pa vrijedi vektorski zapis:

uKNrr

⋅−=' (5.2.) (predznak minus usklađuje smjer N' prema smjeru pomaka, u, koji mu je suprotan). Kad se sustav prepusti sam sebi (sila F' prestane djelovati - crtež 5.1.d) sila N', predstavlja rezultantu silu koja djeluje na tijelo nastojeći ga vratiti u ravnotežni položaj, zbog čega ju nazivamo povratnom silom. Iznos povratne sile, prema (5.2.), razmjeran je pomaku tijela iz ravnotežnog položaja. Zbog djelovanja povratne sile, N', tijelo se počinje gibati. Budući da N' nije konstantna sila tijelo se giba nejednoliko. Međutim, gibanje k ravnotežnom položaju je nejednoliko ubrzano, dok je gibanje od ravnotežnog položaja nejednoliko usporeno. Razmotrimo pobliže gibanje tijela u polju elastične sile, N'. Pretpostavimo da je ukupna energija tijela konstantna (nema gubitka energije). U početnom položaju (donji granični položaj), u trenutku t = 0, tijelo miruje (EK = 0), a potencijalna energija je najveća (najveća udaljenost od ravnotežnog položaja). Kad sila F' prestane djelovati, zbog djelovanja povratne sile N' (u tom položaju ima najveći iznos) tijelo se počinje gibati k ravnotežnom položaju. Budući da povratna sila djeluje u smjeru gibanja, tijelo se približava ravnotežnom položaju ubrzano: potencijalna energija prelazi u kinetičku, a povratna sila se smanjuje. U ravnotežnom položaju kinetička energija ima najveći iznos, a povratna sila iščezava (u = 0), Međutim, zbog raspoložive kinetičke energije tijelo se nastavlja gibati u istom smjeru, prelazeći s druge strane ravnotežnog položaja. Čim tijelo prijeđe ravnotežni položaj ponovno se javlja povratna sila, ali ona sada djeluje u smjeru suprotnom od smjera gibanja pa se tijelo usporava: kinetička energija prelazi u potencijalnu, a povratna sila se povećava. U gornjem graničnom položaju tijelo se zaustavlja (EK = 0), potencijalna energija je najveća, jer je najveća udaljenost od ravnotežnog položaja. Iz istog razloga i povratna sila ima najveći iznos: zbog djelovanja te sile tijelo se, mijenjajući smjer, počinje gibati ubrzano k ravnotežnom položaju, prelazi ga, nakon čega se giba usporeno, do zaustavljanja u početnom (donjem graničnom) položaju. Nakon ovoga gibanje se ponavlja na jednak način: kažemo da tijelo titra (oscilira) oko ravnotežnog položaja, izvodeći jednostavno harmoničko gibanje.

47

Titrajno vrijeme (period), T, je vrijeme trajanja jednog titraja: ovisi o masi titrala (oscilatora), m, i o konstanti opruge, K, prema izrazu:

K

mT π2= (5.3.)

(Za one koji žele znati više: izvod jednadžbe gibanja jednostavnog harmoničkog titrala te izraza za titrajno vrijeme, T, nalazi se u Dodatku.) Provjeravanje Hookeova zakona Mjerenje Opruga vertikalno visi, učvršćena na gornjem kraju. Pri slobodnom, donjem kraju opruge pričvršćena je kazaljka, koja služi kod očitavanja duljine opruge. U tu svrhu na vertikalan nosač iza opruge postavljeno je zrcalo s milimetarskom ljestvicom. Da bi se pri mjerenju duljine izbjegla pogrješka nastala zbog paralakse, očitavanje se vrši tek kada se kazaljka preklopi s njenom slikom u zrcalu (pogled treba biti usmjeren okomito na kazaljku). Najprije se očita duljina neopterećene opruge, d0. Potom se dno opruge optereti utegom, težina kojega je 0,3 N. Kad uteg zauzme ravnotežni položaj očita se duljina opterećene opruge, d. Nakon toga se na dno opruge redom dodaje po jedan uteg jednake težine (0,3 N) i zabilježi se pripadajuća ravnotežna duljina opruge. Zadatak 1. • Izmjeriti ovisnost duljine opruge, d, o opterećenju, G. Temeljem relacije (5.1.)

izračunati konstantu opruge, K. Podatke mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine G d0 d d – d0 K Ks K – Ks ∆K 100s

⋅∆K

K

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

K = Ks ± ∆K

• Na milimetarskom papiru nacrtati graf ovisnosti produljenja o opterećenju. • Obrazložiti rezultate

48

Određivanje titrajnog vremena Mjerenje Na oprugu se objesi tri utega (ukupna težina 0,9 N). Sustav se malo povuče prema dolje pa pusti da slobodno titra. Da bi pogrješka mjerenja bila što manja zapornom urom izmjeri se vrijeme trajanja deset titraja pa se izračuna vrijeme jednog titraja, T. Zadatak 2. Mjerenjem trajanja deset titraja, odrediti titrajno vrijeme, T, za slučaj kada su na oprugu obješena tri utega (ukupna težina 0,9 N). Podatke mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine 10T T Ts T – Ts ∆T 100s

⋅∆T

T

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

T = Ts ± ∆T

Zadatak 3. Korištenjem vrijednosti konstante opruge, K, iz prvog zadatka, temeljem izraza (5.3.) izračunati titrajno vrijeme, T, (srednju vrijednost i maksimalnu apsolutnu pogrješku) za slučaj kada su na oprugu obješena tri utega (ukupna težina 0,9 N). Usporediti rezultate drugog i trećeg zadatka, odnosno rezultate izravnog i neizravnom mjerenja titrajnog vremena.

49

VJEŽBA 6.

Torzija

50

51

Torzija Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se međusoban položaj molekula u tijelu, zbog čega se tijelo deformira: mijenja oblik i dimenzije. Kao reakcija na deformaciju, između molekula tijela javlja se sila koja se protivi deformaciji. Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja uzroka koji ju je izazvao; ako je deformacija trajna tijelo je neelastično. Svako tijelo ima granicu elastičnosti: deformacija postaje trajna kad uzrok koji ju je izazvao prijeđe graničan iznos karakterističan za to tijelo. Torzija (uvrtanje, uvijanje) je deformacija čvrstog tijela koja nastaje djelovanjem zakretnog momenta vanjskog para tangencijalnih sila: tijelo se tordira (uvrće, uvija) oko svoje uzdužne osi. Na crtežu 6.1. prikazano je tijelo, oblika valjka, učvršćene gornje baze. Na donju bazu djeluje par tangencijalnih sila, zakretni moment* kojih je paralelan s uzdužnom osi tijela, zbog čega dolazi do deformacije uvrtanja ili torzije. Deformacija se očituje u tome što se svaki poprječni sloj valjka zakrene za kut koji je razmjeran njegovoj udaljenosti od učvršćenog kraja, zbog čega se svaka izvodnica valjka spiralno deformira. Na crtežu 6.1. istaknuta je samo izvodnica AB, koja je, zakretanjem donje baze za kut θ, prešla u položaj AB'.

F-F

B

B'

AUčvr ćeni krajš

Crtež 6.1. U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon za torziju, prema kojemu je deformacija tijela, mjerena kutom θ, za koji je zakrenut radijalni presjek na koji djeluje tangencijalni par vanjskih sila, razmjerna momentu tog para sila, Mv:

* Detaljnije u Dodatku I.

52

V

1M

C=θ

odnosno MV = C θ C je konstanta torzije: ona je brojčano jednaka momentu sile potrebnom za jedinični kut zakreta. Konstanta torzije ima dimenzije momenta sile; SI jedinica je njutn metar (N m = kg m2 s-2). Iznos konstante torzije ovisi o dimenzijama tijela i o materijalu od kojeg je tijelo načinjeno. Da bismo odredili konstantu torzije promatrat ćemo sustav prikazan na crtežu 6.2.: na elastičnoj žici Ž obješena je ploča P.

FM v

-F

Ž

P

Crtež 6.2. Sustav se prvotno nalazi u stanju ravnoteže. Ako se djelovanjem zakretnog momenta vanjskog para tangencijalnih sila, MV, ploča zakrene za mali kut θ, u žici nastaje deformacija uvrtanja ili torzije. Kao reakcija na deformaciju u žici se javlja torzijski zakretni moment elastičnih sila, MT, koji teži vraćanju ploče u ravnotežni položaj, zbog čega ga možemo nazvati i povratnim zakretnim momentom. Torzijski zakretni moment, MT, jednakog je iznosa kao i zakretni moment vanjskih sila, MV, ali je suprotna smjera, pa u vektorskom zapisu vrijedi:

θrr

CMT −= (6.1.) Dakle, u području elastičnosti torzijski zakretni moment, MT, razmjeran je kutu zakreta, θ. (Predznak minus usklađuje smjer torzijskog zakretnog momenta elastičnih sila, MT, sa smjerom kuta zakreta, θ, koji mu je suprotan.) Kad se sustav prepusti sam sebi (MV prestane djelovati), zbog postojanja torzijskog zakretnog momenta, MT, javlja se kutno gibanje*. Budući da uzrok gibanja nije konstantna veličina, gibanje sustava je nejednoliko. Međutim gibanje k ravnotežnom položaju je nejednoliko ubrzano, dok je gibanje od ravnotežnog položaja nejednoliko usporeno.

* Detaljnije u Dodatku I.

53

Razmotrimo pobliže gibanje promatranog sustava u polju elastičnih sila. Pretpostavimo da je ukupna energija sustava konstantna (nema gubitka energije). U početnom položaju, u trenutku t = 0, sustav miruje (EK = 0), a potencijalna energija je najveća (najveći iznos θ). Djelovanjem torzijskog zakretnog momenta elastičnih sila, MT (u tom položaju ima najveći iznos), sustav se počinje gibati k ravnotežnom položaju. Budući da se smjer MT, dakle i smjer kutnog ubrzanja, α, podudara sa smjerom kutne brzine, ω, sustav se približava ravnotežnom položaju ubrzano: potencijalna energija prelazi u kinetičku. Smanjivanjem kuta zakreta torzijski zakretni moment, MT, opada pa opada i kutna akceleracija, α. U ravnotežnom položaju kinetička energija ima najveći iznos, a torzijski zakretni moment, MT iščezava. Međutim, zbog raspoložive kinetičke energije sustav se nastavlja gibati, tordirajući se u suprotnom smjeru. Čim sustav prijeđe ravnotežni položaj ponovno se javlja torzijski zakretni moment, MT, ali je sada njegov smjer, a time i smjer kutne akceleracije, α, suprotan smjeru kutne brzine, ω, pa se sustav usporava. Povećanjem kuta zakreta kinetička energija prelazi u potencijalnu, a torzijski zakretni moment raste. Kad kut zakreta poraste do iznosa jednakog početnom (najveći iznos θ) sustav se zaustavlja (Ek = 0), a potencijalna energija ima najveći iznos. Djelovanjem torzijskog zakretnom momenta, MT (u ovom položaju ima najveći iznos), sustav se, mijenjajući smjer, počinje gibati ubrzano ka položaju ravnoteže, prelazi ga, nakon čega se giba usporeno do zaustavljanja u početnom položaju. Nakon ovoga gibanje se ponavlja na jednak način: kažemo da sustav titra (oscilira) oko ravnotežnog položaja izvodeći kutno harmoničko gibanje. Ovo gibanje nazivamo torzijsko titranje, a sustav koji titra torzijsko titralo (oscilator). Titrajno vrijeme (period), T, je vrijeme trajanja jednog titraja: ovisi o momentu tromosti torzijskog titrala, I, i o konstanti torzije, C, prema izrazu:

C

IT π2= (6.2.)

(Za one koji žele znati više: izvod jednadžbe gibanja kutnog harmoničkog titrala te izraza za titrajno vrijeme, T, nalazi se u Dodatku.) Određivanje konstante torzije Temeljem relacije (6.2.) moguće je odrediti konstantu torzije, C, korištenjem izmjerenog titrajnog vremena, T, i izračunatog momenta tromosti, I. Da bi se, pritom, izbjegla možebitna sustavna pogrješka izračuna momenta tromosti, potrebno je vršiti mjerenje s različitim momentima tromosti. U tu svrhu aluminijska ploča (crtež 6.2.) ima na sebi rupice u koje se umeću valjci poznate mase: stavljanjem ovih valjaka na aluminijsku ploču mijenja se moment tromosti. Moment tromosti sustava, I, je: I = I0 + Iv (6.3.) I0 je moment tromosti žice i ploče, s obzirom na os sustava, a u našem slučaju iznosi: I0 = 4,755·10-3 kg m2

54

Iv je moment tromosti valjaka, s obzirom na os sustava. Nalazi li se na ploči n valjaka, mase m, na udaljenosti r od osi sustava, tada je: Iv = n m r2 (6.4.) Dakle, moment tromosti valjaka, a time i ukupni moment tromosti sustava, I, može se promijeniti mijenjanjem broja valjaka, njihove mase ili njihove udaljenosti od osi sustava. (Napomena: pri računanju Iv račun je nešto pojednostavljen: svaki valjak je smatran točkastom masom zbog njegova malog polumjera u odnosu na udaljenost od osi vrtnje.) Mjerenje Zadani broj, n, valjaka poznate mase, m, postavi se na zadanu udaljenost od osi sustava, r, iznos koje se izmjeri metrom. Sustav se zakrene oko osi za mali kut, θ, te se prepusti sam sebi. Zapornom urom izmjeri se titrajno vrijeme, T. Zadatak • Odrediti konstantu torzije, C, mjerenjem titrajnog vremena sustava sa: 1. dva veća valjka na manjoj udaljenosti 2. četiri veća valjka na manjoj udaljenosti 3. četiri veća valjka na većoj udaljenosti 4. dva manja valjka na manjoj udaljenosti 5. četiri manja valjka na većoj udaljenosti (Masa manjeg valjka je 49,35 g, a masa većeg valjka 98,70 g.) Temeljem izraza (6.4.) i (6.3.) izračunati moment tromosti valjaka, Iv, i moment tromosti sustava, I, a temeljen relacije (6.2.) izračunati konstantu torzije, C. Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke. • Na milimetarskom papiru nacrtati graf T = T(I).

Veličine n m r Iv I T C Cs C – Cs ∆C 100s

⋅∆C

C

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

C = Cs ± ∆C

57

VJEŽBA 7.

Njihalo

58

59

Njihalo Titranje je periodično gibanje: ono se ponavlja u određenom vremenskom intervalu. Vrijeme trajanja jednog titraja je titrajno vrijeme (period), T. Broj titraja u jedinici vremena je frekvencija titranja:

T

f1=

SI jedinica za frekvenciju je herc (Hz = s-1). Iako uzrok titranja može biti različit, za sva titranja zajedničko je to što je gibanje izmjenično u dva suprotna smjera u odnosnu na ravnotežni položaj, pri čemu potencijalna energija prelazi u kinetičku i obratno, što se ponavlja na jednak način ako nema gubitka energije. U nekim slučajevima titranje nastaje djelovanjem sile teže (sila gravitacije): izvede li se tijelo, koje visi, iz ravnotežnog položaja, sila teže ga vraća k ravnotežnom položaju; to tijelo nazivamo njihalom, a titranje tog tijela nazivamo njihanjem. Matematičko njihalo Matematičko njihalo je materijalna točka, mase m, obješena o nerastezljivu nit bez mase. Ovo se njihalo može aproksimirati tijelom malih dimenzija, obješenim o vrlo lagan, gotovo nerastezljiv konac. Izvede li se to tijelo iz ravnotežnog položaja i pusti, ono se njiše (titra) zbog djelovanja sile teže. Jednadžba gibanja matematičkog njihala vrijedi u prvoj aproksimaciji i za ovakvo njihalo.

mg

m

l

O

Crtež 7.1. Objasnimo gibanje matematičkog njihala u polju sile teže. Razmotrimo situaciju koja nastaje kad na njihalo djeluje zakretni moment* neke vanjske sile, MV, zbog čega se ono otkloni od ravnotežnog položaja za kut θ, u određenom smjeru (crtež 7.1.) Zakretni

* Detaljnije u Dodatku I. uz vježbu 6.

60

moment sile teže, M, djelujući u suprotnom smjeru, uravnotežuje zakretni moment vanjske sile, MV: VMM

rr−=

(Predznak minus usklađuje smjer zakretnog momenta sile teže, M, sa smjerom zakretnom momenta vanjske sile, MV, koji mu je suprotan.) Kad se njihalo prepusti samo sebi (MV prestane djelovati) zakretni moment sile teže, M, vraća njihalo k ravnotežnom položaju: θθ sin 0 mglM

rr−= (7.1.)

0θr

je jedinični vektor (vektor smjera) kuta otklona:

θθθr

r=0

Zbog djelovanja zakretnog momenta sile teže javlja se kutno gibanje. Budući da uzrok gibanja nije konstantna veličina, gibanje njihala je nejednoliko. Međutim, gibanje k ravnotežnom položaju je nejednoliko ubrzano, dok je gibanje od ravnotežnog položaja nejednoliko usporeno. Razmotrimo pobliže gibanje njihala u polju sile teže. Pretpostavimo da je ukupna energija sustava konstantna (nema gubitka energije). U početnom položaju, u trenutku t = 0, njihalo miruje (EK = 0), a potencijalna energija je najveća (najveći iznos θ). Djelovanjem zakretnog momenta sile teže, M (u tom položaju ima najveći iznos), njihalo se počinje gibati k ravnotežnom položaju. Budući da se smjer M, dakle i smjer kutnog ubrzanja, α, podudara sa smjerom kutne brzine, ω, njihalo se približava ravnotežnom položaju ubrzano: potencijalna energija prelazi u kinetičku. Smanjivanjem kuta otklona zakretni moment sile teže, M, opada pa opada i kutno ubrzanje, α. U ravnotežnom položaju kinetička energija ima najveći iznos, a zakretni moment sile teže, M, iščezava. Međutim, zbog raspoložive kinetičke energije, njihalo se nastavlja gibati, otklanjajući se od ravnotežnog položaja u suprotnom smjeru. Čim njihalo prijeđe ravnotežni položaj ponovno se javlja zakretni moment sile teže, M, ali je sada njegov smjer, a time i smjer kutnog ubrzavanja, α, suprotan smjeru kutne brzine, ω, pa se njihalo usporava. Povećanjem kuta otklona kinetička energija prelazi u potencijalnu, a zakretni moment sile teže raste. Kad kut otklona poraste do iznosa jednakog početnom (najveći iznos θ) njihalo se zaustavlja (EK = 0), a potencijalna energija ima najveći iznos. Djelovanjem zakretnog momenta sile teže, M (u ovom položaju ima najveći iznos), njihlo se, mijenjajući smjer, počinje gibati ubrzano k ravnotežnom položaju, prelazi ga, nakon čega se giba usporeno do zaustavljanja u početnom položaju. Nakon ovoga gibanje se ponavlja na jednak način: kažemo da sustav titra (njiše se) oko ravnotežnog položaja. Titrajno vrijeme (period), T, matematičkog njihala ovisi o duljini njihala, l, i o ubrzanju sile teže, g, prema izrazu:

61

g

lT π2= (7.2.)

(Za one koji žele znati više: izvod jednadžbe gibanja matematičkog njihala i izraza za titrajno vrijeme, T, nalazi se u Dodatku.) Fizičko njihalo Fizičko njihalo je svako čvrsto tijelo koje se može njihati oko čvrste horizontalne osi koja ne prolazi njegovim težištem. Izvede li se to tijelo iz ravnotežnog položaja i pusti, ono se njiše (titra) zbog djelovanja sile teže.

mg

d

T

O

Crtež 7.2. Objasnimo gibanje fizičkog njihala u polju sile teže. Razmotrimo situaciju koja nastaje kad na fizičko njihalo djeluje zakretni moment neke vanjske sile, MV, zbog čega se njihalo otkloni od ravnotežnog položaja za kut θ, u određenom smjeru, što je prikazano na crtežu 7.2. Zakretni moment sile teže, M, djelujući u suprotnom smjeru, uravnotežuje zakretni moment vanjske sile, MV: VMM

rr−=

(Predznak minus usklađuje smjer zakretnog momenta sile teže, M, sa smjerom zakretnog momenta vanjske sile, MV, koji mu je suprotan.) Kad se njihalo prepusti samo sebi (MV prestane djelovati) zakretni moment sile teže, M, vraća njihalo k ravnotežnom položaju: θθ sin 0 mgdM

rr−= (7.3.)

0θr

je jedinični vektor (vektor smjera) kuta otklona:

θθθr

r=0

62

Zbog djelovanja zakretnog momenta sile teže javlja se kutno gibanje, analogno onom kod matematičkog njihala (pogledati): fizičko njihalo titra (njiše se) oko ravnotežnog položaja. Titrajno vrijeme (period), T, fizičkog njihala ovisi o momentu tromosti (moment inercije) njihala, I, njegovoj masi, m, udaljenosti težišta od osi, d, i o ubrzanju sile teže, g, prema izrazu:

mgd

IT π2= (7.4.)

(Detaljnije u Dodatku.)

Određivanje ubrzanja sile teže pomo ću matemati čkog njihala Temeljem mjerenja titrajnog vremena matematičkog njihala, T, i njegove duljine, l, može se odrediti ubrzanje sile teže, g, korištenjem relacije (7.2.):

224T

lg π= (7.5.)

Mjerenje Kao aproksimacija matematičkog njihala koristi se metalna kuglica obješena na jedan kraj tankog konca, drugi kraj kojega je prebačen preko šiljka (radi što točnijeg određivanja točke vješanja). Duljina konca može se mijenjati namatanjem oko šiljka. Metrom se izmjeri duljina l1 (od šiljka do gornje tangencijalne površine kuglice) te duljina l2 (od šiljka do donje tangencijalne površine kuglice). Duljina njihala izračuna se kao aritmetička sredina izmjerenih duljina:

2

21 lll

+= (7.6.)

Titrajno vrijeme mjeri se zapornom urom (da bi pogrješka mjerenja bila što manja izmjeri se vrijeme trajanja deset titraja, pa se izračuna vrijeme jednog titraja). Iza njihala postavi se indikator ravnotežnog položaja. Zaporna ura se pokrene u trenutku kad konac prolazi pored šiljka indikatora, u određenom smjeru, a zaustavi se u trenutku kad konac, nakon odbrojenih deset titraja, prolazi pored šiljka indikatora u istom smjeru. (Pogled treba biti usmjeren okomito na konac i indikator, radi izbjegavanja pogrješke nastale zbog paralakse.) Zadatak 1. Proizvoljno mijenjati duljinu konca te izmjeriti l1, l2 i pripadajuće titrajno vrijeme, T. Korištenjem izraza (7.6.) izračunati duljinu, l, a korištenjem izraza (7.5.) izračunati ubrzanje sile teže, g. Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

63

Veličine l1 l2 l T g gs g–gs ∆g 100⋅∆

sg

g

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

g = gs ± ∆g

Određivanje omjera titrajnih vremena fizi čkog njihala Fizičko njihalo koje se koristi na vježbama je metalni prsten, a os oko koje se njiše može se mijenjati:

a) os je okomita na ravninu prstena (njihanje lijevo-desno; crtež 7.3.a) b) os leži u ravnini prstena (njihanje naprijed-natrag; crtež 7.3.b)

Oa

a) b)

Ob

Crtež 7.3. Promjenom položaja osi mijenja se i raspored mase oko osi, a time i moment tromosti (pokušajte izvesti): Ia = 2 mr2

2

23

mrI b =

64

Zbog promjene momenta tromosti mijenja se i titrajno vrijeme pa je omjer b

a

T

T različit od

1:

15,13

4

2

2

b

a

b

a

b

a ====I

I

mgd

I

mgd

I

T

T

π

π (7.7.)

Iznos ovog teorijskog rezultata može se provjeriti mjerenjem titrajnih vremena Ta i Tb te

računanjem omjera b

a

T

T.

Mjerenje Mjerenje titrajnih vremena Ta i Tb vrši se zapornom urom (da bi pogrješka mjerenja bila što manja mjeri se vrijeme trajanja deset titraja pa se izračuna vrijeme jednog titraja). Pri mjerenju se koristi indikator ravnotežnog položaja koji se postavi iza oznake njihala. Zaporna ura se pokrene u trenutku kad oznaka na njihalu prolazi pored šiljka indikatora, u određenom smjeru, a zaustavi se u trenutku kad oznaka na njihalu, nakon odbrojenih deset titraja, prolazi pored indikatora, u istom smjeru. (Pogled treba biti usmjeren okomito na oznaku i indikator, radi izbjegavanja pogrješke nastale zbog paralakse.) Zadatak 2.

Zapornom urom izmjeriti titrajna vremena Ta i Tb te izračunati omjerb

a

T

T. Rezultate

mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine Ta Tb b

a

T

T

sT

T

b

a

sT

T

T

T

−

b

a

b

a ∆b

a

T

T 100

b

a

b

a

⋅

∆

sT

T

T

T

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

b

a

b

a

b

a

T

T

T

T

T

T

s

∆±

=

65

VJEŽBA 8.

Napetost površine

66

67

Napetost površine Slobodna površina kapljevine ponaša se slično napetoj, elastičnoj opni: opire se povećanju. Ova pojava posljedica je djelovanja međumolekularnih privlačnih sila u kapljevini. Objasnimo detaljnije. Razmotrimo kako položaj pojedine molekule kapljevine utječe na njezino stanje u polju međumolekularnih sila. Uočimo, stoga, dvije molekule, jednu unutar kapljevine, a drugu na njezinoj površini (crtež 8.1.)

F = 0

F = 0

Crtež 8.1. Molekula u nutrini kapljevine okružena je sa svih strana istovrsnim molekulama pa su privlačne sile koje na nju djeluju u svim smjerovima jednakog iznosa i međusobno se poništavanju. Dakle, ova molekula je u ravnotežnom stanju u polju međumolekularnih sila: njezina potencijalna energija je minimalna. Kod molekule na slobodnoj površini kapljevine različita je situacija: iznad nje su molekule zraka, a ispod nje molekule kapljevine. Susjedne molekule kapljevine privlače uočenu molekulu silama koje su većeg iznosa od sila kojima ju privlače susjedne molekule zraka. Stoga se sile međusobno ne poništavaju, već tvore rezultantnu silu, F (usmjerena prema nutrini kapljevine). Dakle, molekula na površini kapljevine nije u ravnotežnom stanju u polju međumolekularnih sila: ona ima veću potencijalnu energiju nego molekula unutar kapljevine. Budući da svaki sustav teži k stanju najmanje potencijalne energije, površina kapljevine teži da bude što manja pa se opire povećanju. Da bi se površina kapljevine povećala treba izvršiti rad, ∆R, razmjeran povećanju površine, ∆S: ∆R = σ ∆S σ je koeficijent površinske napetosti, ili, kraće, napetost površine kapljevine:

S

R

∆∆=σ (8.1.)

Napetost površine kapljevine brojčano je jednaka radu potrebnom za jedinično povećanje površine; SI jedinica za napetost površine je džul po metru kvadratnom (J m-2), odnosno njutn po metru (N m-1).

68

Napetost površine ovisi o vrsti kapljevine te o sredini s kojom je površina kapljevine u dodiru. Određivanje napetosti površine kapljevine pomoću torzijske vage Podižemo li polako s površine kapljevine žičani prsten koji je s njom u dodiru, površina kapljevine se povećava zbog nastajanja opne kapljevine (crtež 8.2.a): ova opna ima dvije cilindrične površine koje graniče sa zrakom. Na crtežu 8.2.b prikazan je horizontalni presjek opne: unutarnja površina je promjera d1, a vanjska promjera d2.

d2 d1

ZRAK

KAPLJEVINA

Crtež 8.2. Da bi se površina kapljevine povećala treba izvršiti rad, jer je potrebno, duž određenog puta, svladati silu F, koja nastoji vratiti prsten na površinu kapljevine. Ako se rad vrši duž puta ∆y (u smjeru osi y) tada je ∆R = F∆y (8.2.) Budući da se podizanjem prstena oblikuju dvije cilindrične površine, pripadajućih promjera d1 i d2, ukupno povećanje površine je ∆S = (d1 π + d2 π) ∆y (8.3.) Kako je debljina žice zanemariva u usporedbi s d1 i d2, može se računati, uz dobru aproksimaciju, da je d1 približno jednako d2 te se izraz (8.3.) može pisati sa srednjim promjerom d:

69

∆S = 2dπ ∆y (8.4.) Uvrštavanjem izraza (8.2.) i (8.4.) u (8.1.) slijedi

π

σd

F

2= (8.5.)

Odredi li se srednji promjer prstena, d, i iznos sile, F, iz izraza (8.5.) može se izračunati napetost površine kapljevine, σ. Mjerenje Srednji promjer žičanog prstena, d, odredi se postavljanjem prstena na komad milimetarskog papira: izmjeri se unutarnji i vanjski promjer, d1 i d2, u odabranom smjeru, a zatim unutarnji i vanjski promjer, d1

' i d2', u smjeru okomitom na prijašnji. Srednji promjer

izračuna se kao aritmetička sredina izmjerenih vrijednosti:

4

'2

'121 dddd

d+++= (8.6.)

Iznos sile F se može odrediti pomoću torzijske vage (crtež 8.3.). Osnovni dio vage je čelična žica nategnuta između dva diska, D1 i D0. Na sredini žice pričvršćena je kazaljka K , na kojoj visi žičani prsten. Ispod prstena je postolje P, koje se može dizati i spuštati pomoću diska D2. Na postolje se postavi posuda s kapljevinom kojoj treba odrediti napetost površine.

D2

K0

P

D1

D0

Crtež 8.3.

70

Vagu je najprije potrebno baždariti. U tu svrhu postolje P se pomoću diska D2 postavi u najniži mogući položaj. Disk D1 se postavi u položaj 0. Žičani prsten se objesi o kukicu na kazaljki K pa se tordiranjem čelične žice pomoću diska D0 vaga uravnoteži (kazaljka K se postavi u položaj 0). Potom se na prsten pincetom objesi žičani jahač poznate težine (5 mN), zbog čega se poremeti ravnoteža (kazaljka K više nije u položaju 0). Vaga se ponovno uravnoteži tordiranjem čelične žice pomoću diska D1, koji sada pokazuje kut zakreta θ1. Ako se na prsten objesi još jedan jahač (jednake težine), da bi se ponovno uspostavila ravnoteža potrebno je zakrenuti disk D1 za kut θ2. Ponavljanjem ovog postupka, daljnjim dodavanjem po jednog jahača jednake težine, dobit će se ovisnost kuta torzije, θ, o opterećenju, G. Dobiveni rezultati, uneseni u tablicu, služe za crtanje baždarnog grafa θ = θ (G):

Veličine Jedinice 1. 2. 3. 4. 5. 6.

G

θ

Nakon baždarenja vage vrši se mjerenje potrebno za određivanje iznosa sile F, koja nastoji vratiti prsten na površinu kapljevine. U tu svrhu s prstena se skinu utezi, disk D1 se postavi u položaj 0 te se, ako je potrebno, korigira i nulti položaj kazaljke K (pomoću diska D0). Plitka staklena posuda s kapljevinom postavi se na postolje P. Pomoću diska D2 postolje se polagano podiže, dok prsten ne dotakne površinu kapljevine. Uslijed toga ravnoteža vage se poremeti, zbog čega je postolje P potrebno dalje podizati, dok se ravnoteža ponovno ne uspostavi. Nakon toga potrebno je polako podizati prsten s površine kapljevine, uslijed čega se površina kapljevine povećava (oblikuju se cilindrične opne), pazeći da vaga stalno bude u ravnoteži (kazaljka K u položaju 0). To se postiže tako što se jednom rukom polako okreće disk D1 prema većim kutovima, uz istovremeno spuštanje postolja P okretanjem diska D2 drugom rukom. Postupak se nastavlja sve dok se prsten ne otkine od površine kapljevine (pucanje opne). Zabilježi se kut zakreta diska D1, θ F, a temeljem baždarnog grafa θ = θ (G) odredi se iznos sile, F, koja odgovara tom kutu zakreta. Uvrštavanjem vrijednosti d i F u izraz (8.5.) izračuna se napetost površine kapljevine. Upozorenje:

• Nije dopušteno dodirivati prsten ni unutarnju stijenku posude, jer na iznos napetosti površine kapljevine znatno utječe čak i vrlo mala količina nečistoće.

• Prilikom ponavljanja mjerenja potrebno je odstraniti kapljice s prstena prislanjanjem prstena na komad upijača.

71

Zadatak Izbaždariti vagu te na milimetarskom papiru nacrtati baždarni graf θ = θ (G). Izvršiti mjerenja potrebna za određivanje d i F te pomoću dobivenih podataka, korištenjem izraza (8.5.), izračunati napetost površine vode, σ. Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablice. Izračunati pogrješke.

Veličine d1 d2 d1' d2' d

Jedinice

Veličine θF F σ σs σ – σs ∆σ 100⋅∆

sσσ

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

σ = σs ± ∆σ

72

73

VJEŽBA 9.

Maseni toplinski kapacitet čvrstih tijela

74

75

Maseni toplinski kapacitet čvrstih tijela Da bi se neko homogeno tijelo, mase m, zagrijalo od temperature T1 do temperature T2 potrebno mu je dovesti količinu topline Q:

∫=2

1

d T

T

TcmQ (9.1.)

c je maseni toplinski kapacitet tijela, a znači promjenu topline pri promjeni temperature, u jediničnoj masi tijela:

T

Q

mc

dd1= (9.2.)

Maseni toplinski kapacitet ovisi o tvari od koje je tijelo načinjeno i o temperaturi. U malom temperaturnom intervalu maseni toplinski kapacitet može se smatrati konstantnim pa se izraz (9.1.) može pisati Q = c m (T2 – T1) (9.3.) odakle slijedi

)( 12 TTm

Qc

−= (9.4.)

Maseni toplinski kapacitet brojčano je jednak količini topline potrebne da se jediničnoj masi povisi temperatura za jedan stupanj; SI jedinica za maseni toplinski kapacitet je džul po kilogramu i kelvinu (J kg-1 K-1). Da bi se prilikom određivanja masenog toplinskog kapaciteta smanjila pogrješka mjerenja, sustav u kojem se mjerenje vrši potrebno je što bolje izolirati od okoline, zbog čega se mjerenje vrši u kalorimetru. Kalorimetar se sastoji od dviju ili više posuda, postavljenih jedna unutar druge, stijenke kojih su međusobno odvojene plutenim čepovima. Objasnimo načelo određivanja masenog toplinskog kapaciteta čvrstih tijela. Dovedu li se u međusobni kontakt dva sustava različitih temperatura, izolirana od okoline kalorimetrom, toplina će prelaziti s toplijeg na hladniji sustav, dok se ne uspostavi termička ravnoteža (izjednačene temperature). Prema zakonu očuvanja energije količina topline koju je jedan sustav dobio, Q1, jednaka je količini topline koju je drugi sustav izgubio, Q2: Q1 = Q2 (9.5.) Dva sustava, koja međusobno izmjenjuju toplinu u kalorimetru, jesu voda i tijelo, maseni toplinski kapacitet kojega treba odrediti.

76

Ako u vodu mase m, masenog toplinskog kapaciteta c1 i temperature T1, uronimo tijelo mase m2, masenog toplinskog kapaciteta c2 i temperature T2 (pri čemu je T2 > T1), za ravnotežnu temperaturu sustava, T, vrijedit će: T1 < T < T2 Količina topline koju je voda dobila iznosi: Q1 = m1 c1 (T – T1) Količina topline koju je tijelo izgubilo iznosi: Q2 = m2 c2 (T2 – T) Temeljem zakona očuvanja energije, (9.5.), slijedi: m1 c1 (T – T1) = m2 c2 (T2 – T) a odatle

)()(

22

1112 TTm

TTmcc

−−= (9.6.)

Mjerenjem u kalorimetru promatrani sustav se izolira od okoline, čime se smanjuje pogrješka mjerenja. Pored toga, potrebno je izvršiti i određene korekcije. Naime, zagrijano tijelo, uronjeno u vodu, grije ne samo vodu, nego i posudu te onaj dio termometra koji je uronjen u vodu. Korekcija se vrši tako što se masi vode, m1, u izrazu (9.6.) dodaje tzv. vodeni ekvivalent posude i vodeni ekvivalent termometra. Razmotrimo te korekcije. Na zagrijavanje posude mase m3, masenog toplinskog kapaciteta c3, za razliku temperature ∆T, utroši se količina topline Q3 = m3 c3 ∆T (9.7.) Jednaka količina topline zagrijala bi za jednaku razliku temperature, ∆T, vodu mase m1

*, masenog toplinskog kapaciteta c1: Q3 = m1

*c1 ∆T (9.8.) Uspoređivanjem relacija (9.7.) i (9.8.) slijedi da je vodeni ekvivalent posude:

1

33

*1 c

cmm = (9.9.)

77

Slično je razmatranje i za vodeni ekvivalent termometra. Da bi se uronjeni dio termometra, obujma V, zagrijao za neku razliku temperature ∆T, utroši se količina topline Q4 = V cv ∆T (9.10.) gdje je cv obujmeni toplinski kapacitet termometra (J m-3 K-1). Jednaka količina topline zagrijala bi za jednaku razliku temperature, ∆T, vodu mase m1

** , masenog toplinskog kapaciteta c1: Q4 = **

1m c1 ∆T (9.11.) Uspoređivanjem relacija (9.10.) i (9.11.) slijedi da je vodeni ekvivalent termometra:

1

v**1 c

cVm = (9.12.)

Zbirna korekcija se vrši tako da se, umjesto stvarne mase vode u kalorimetru, m1, u izraz (9.6.) uvrsti vodeni ekvivalent kalorimetra, M, pa je

)()(

22

112 TTm

TTMcc

−−= (9.7.)

gdje je M = m1 + m1

*+m1**

odnosno

11

331 c

cV

c

cmmM v++=

U našem slučaju vodene vrijednosti posude i termometra su već određene i njihov zbroj iznosi 0,030 kg pa je vodeni ekvivalent kalorimetra (izražen u kilogramima): M = m1 + 0,030 Upozorenje: Potrebno je raditi brzo i s pokrivenim kalorimetrom, jer isparavanje vode ima za posljedicu smanjivanje mase m1.

78

Mjerenje Tijelu, maseni toplinski kapacitet kojega treba odrediti, vaganjem se izmjeri masa, m2. Potom se tijelo, obješeno o kukicu na plutenom čepu, uroni u čašu ključajuće vode, u kojoj se drži desetak minuta, da bi se postigla temperatura T2 = 373,15 K (t2 = 100 °C). Za to vrijeme izmjeri se masa praznog kalorimetra, m1', te masa kalorimetra s vodom, m1''. Masa vode, m1, dobije se kao razlika: m1 = m1'' – m1' Vodi u kalorimetru termometrom se izmjeri početna temperatura, t1. Tijelo, koje je poprimilo temperaturu ključajuće vode, izvadi se iz vode, držeći za čep, i zadrži par trenutaka u pari iznad nje, da se voda ocijedi, a zatim se brzo umetne u kalorimetar kroz rupu na poklopcu, koja se začepi tim čepom. Uz stalno miješanje vode u kalorimetru miješalicom, na termometru treba promatrati porast temperature vode te zabilježiti maksimalnu temperaturu, t. Uvrštavanjem svih potrebnih podataka u izraz (9.7.) izračuna se srednji maseni toplinski kapacitet tijela, za temperaturni interval od 100 °C do t °C. Za maseni toplinski kapacitet vode uzeti vrijednost 4186,7 J kg-1 K-1

Zadatak Odrediti srednji maseni toplinski kapacitet danog tijela. Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke

Veličine m2 m1' m1'' m1 M T1 T T2 c2 c2s c2–c2s ∆c2 1002s

2 ⋅∆c

c

Jedinice

1.

2.

3.

4.

5.

c2 = c2s ± ∆c2

81

VJEŽBA 10.

Toplina taljenja leda

82

83

Toplina taljenja leda Dovođenjem topline nekoj čvrstoj tvari njezina temperatura raste dok se ne dostigne temperatura tališta. Daljnjim dovođenjem topline temperatura se neće povećavati sve dok tvar ne prijeđe iz čvrstog u kapljevito agregatno stanje, a tek nakon toga temperatura nastale taline će rasti. Količinu topline koju je potrebno dovesti jedinici mase čvrste tvari, pri temperaturi tališta, da bi se pretvorila u kapljevinu iste temperature, nazivamo toplinom taljenja; SI jedinica je džul po kilogramu (J kg-1). Da bi se odredila toplina taljenja leda, u vodu mase m1 i temperature T1, ubaci se led mase m2 i temperature 273,15 K (0 °C). Voda predaje ledu dio svoje energije usred čega joj temperatura pada sve dok se ne postigne ravnotežna temperatura sustava, T2. Toplina koju je voda predala ledu iznosi: Q1 = m1 c (T1 – T2) gdje je c maseni toplinski kapacitet vode (c = 4186,7 J kg-1 K-1). Jedan dio primljene topline potroši se na taljenje leda, pri temperaturi tališta 273,15 K: Q2' = m2 q gdje je q toplina taljenja leda. Taljenjem leda mase m2 i temperature 273,15 K nastaje voda iste mase i iste temperature. Da bi se ta voda zagrijala do ravnotežne temperature sustava, T2, potroši se drugi dio primljene topline: Q2" = m2 c (T2 – 273,15) Prema zakonu očuvanja energije vrijedi: Q1 = Q2' + Q2" odnosno m1 c (T1 – T2) = m2 q + m2 c (T2 – 273,15) Odavde slijedi da je toplina taljenja leda:

−−−= )15,273()( 221

2

1 TTTm

mcq (10.1)

Pri računanju topline taljenja leda potrebno je u obzir uzeti i toplinu koju led dobiva zbog hlađenja posude i termometra. Korekcija se vrši tako što se masi vode, m1, u izrazu (10.1.),

84

dodaje tzv. vodeni ekvivalent posude i vodeni ekvivalent termometra. Razmotrimo te korekcije. Posuda mase m3, masenog toplinskog kapaciteta c3, koja se ohladi za razliku temperature ∆T, predaje ledu količinu topline: Q3 = m3 c3 ∆T (10.2.) Jednaka količina topline zagrijala bi za jednaku razliku temperature, ∆T, vodu mase m1

*, masenog toplinskog kapaciteta c1: Q3 = m1

*c1 ∆T (10.3.) Uspoređivanjem relacija (10.2.) i (10.3.) slijedi da je vodeni ekvivalent posude:

1

33

*1 c

cmm = (10.4.)

Slično je razmatranje i za vodeni ekvivalent termometra. Naime, uronjeni dio termometra, obujma V, koji se ohladi za razliku temperature ∆T, predaje ledu količinu topline: Q4 = V cv ∆T (10.5.) gdje je cv obujmeni toplinski kapacitet termometra (J m-3 K-1). Jednaka količina topline zagrijala bi za jednaku razliku temperature, ∆T, vodu mase m1

** , masenog toplinskog kapaciteta c1: Q4 = **

1m c1 ∆T (10.6.) Uspoređivanjem relacija (10.5.) i (10.6.) slijedi da je vodeni ekvivalent termometra:

1

v**1 c

cVm = (10.7.)

Zbirna korekcija se vrši tako da se, umjesto stvarne mase vode u kalorimetru, m1, u izraz (10.1.) uvrsti vodeni ekvivalent kalorimetra, M, pa je

−−−= )15,273()( 221

2

TTTm

Mcq (10.8.)

gdje je M = m1 + m1

*+m1**

odnosno

11

331 c

cV

c

cmmM v++=

85

U našem slučaju vodene vrijednosti posude i termometra su već određene i njihov zbroj iznosi 0,030 kg pa je vodeni ekvivalent kalorimetra (izražen u kilogramima): M = m1 + 0,030 Mjerenje Vaganjem se odredi masa praznog kalorimetra, m1'. Zatim se u kalorimetar ulije voda (3–4 cm od ruba kalorimetra) te se izmjeri masa vode i kalorimetra, m1". Masa vode u kalorimetru, m1, jednaka je razlici izmjerenih masa: m1 = m1" – m1' Nakon što se izmjeri početna temperatura vode, t1, u kalorimetar se ubaci led (30–40 g). Prati se promjena temperature, uz stalno miješanje, te se zabilježi najniža temperatura, t2. Ponovnim vaganjem određuje se ukupna masa: m3 = m1" + m2

gdje je masa m2 masa leda ubačenog u kalorimetar. Uvrštavanjem svih potrebnih podataka u (10.8.) izračuna se toplina taljenja leda. Zadatak Odrediti toplinu taljenja leda. Rezultate mjerenja i računanja unijeti u tablicu. Izračunati pogrješke.

Veličine m1' m1'' m1 M T1 T2 m3 m2 q qs q – qs ∆q 100

s

⋅∆q

q

Jedinice

1.

2.

3.

q = qs ± ∆q

DODATAK

88

89

Dodatak uz vježbu 5. (Elastična opruga) Izvedimo jednadžbu gibanja jednostavnog harmoničkog titrala (oscilatora), mase m, na koji djeluje povratna sila, iznos koje je razmjeran pomaku iz ravnotežnog položaja, općenito:

uKFrr

−= (1.) gdje je uuu ⋅= 0

rr

( 0ur

je jedinični vektor ili vektor smjera pomaka u).

Prema 2. Newtonovu zakonu

amFrr

= gdje je a

r pravocrtno ubrzanje, pa stoga vrijedi

2

2

dd

t

umF

rr

= (2.)

Iz jednadžbi (1.) i (2.) slijedi diferencijalna jednadžba gibanja jednostavnog harmoničkog titrala

uKt

um

rr

−=2

2

dd

odnosno

0dd

2

2

=+ um

K

t

u rr

(3.)

Rješenje jednadžbe (3.) je funkcija koja predstavlja vremensku promjenu pomaka titrala od ravnotežnog položaja: )sin(0 ϕω += tAuu

rr (4.)

A - amplituda (najveći pomak od ravnotežnog položaja)

)( ϕω +t - faza titranja

ϕ - početna faza (t = 0)

ω - kutna brzina

90

Uvrštavanjem funkcije (4.) i njezine druge derivacije u jednadžbu (3.) dobivamo:

0)sin()sin(2 =+++− ϕωϕωω tAm

KtA

što je ispunjeno ako je

m

K=2ω

Budući da je T

πω 2= , slijedi da je

K

mT π2=

91

Dodatak uz vježbu 6 (Torzija) I. Kružno gibanje (rotacija) tijela oko čvrste osi je gibanje kod kojeg svaka čestica tijela opisuje kružnicu u ravnini okomitoj na os, s polumjerom jednakim udaljenosti čestice od osi. Ako svaka čestica tijela, umjesto kružnice, oko osi opisuje luk, govorimo o kutnom gibanju. I kutno i kružno gibanje opisuje se ostvarenim kutom zakreta:

θθθ 0

rr=

θ je iznos kuta zakreta, a 0θr

jedinični vektor (vektor smjera) kuta zakreta. Smjer 0θr

borealan je s obzirom na napredovanje polumjera koji opisuje kut. (Borealni smjer, prema nekom zakretanju, određuje ispruženi palac desne ruke, ako se ostali prsti svinu u smjeru zakretanja.) Kutna brzina opisuje se vremenskom promjenom kuta zakreta:

td

dθωr

r=

gdje je θr

d promjena kuta zakreta ostvarena u vremenu dt. Kutno ubrzanje opisuje se vremenskom promjenom kutne brzine:

td

dωα =

gdje je ωrd promjena kutne brzine ostvarena u vremenu dt.

Kod gibanja oko čvrste osi svi spomenuti vektori (θr

,ωr i αr ) leže na osi. Da bi se pri gibanju tijela oko neke čvrste osi ostvarila promjena kutne brzine, na tijelo treba djelovati silom F

r, tako da ona ostvaruje zakretni moment (moment sile), M

r, s

obzirom na promatranu os. Zakretni moment je definiran vektorskim umnoškom

FrMrrr

×= gdje je r

r vektor najkraće spojnice od osi do hvatišta sile koja djeluje na tijelo.

Iznos zakretnog momenta, M, određen je umnoškom iznosa vektora, koji tvore vektorski umnožak, i sinusa kuta među njima:

FrrFMr

r∠= sin

92

Smjer zakretnog momenta, definiran jediničnim vektorom 0Mr

, određuje se pravilom desne

ruke za smjer vektorskog umnoška: prsti desne ruke, postavljeni u smjer prvoga vektora u vektorskom umnošku, zakrenu se prema drugom vektoru, pri čemu ispruženi palac pokazuje smjer vektorskog umnoška. Ako je poznat iznos zakretnog momenta, M, i njegov smjer, određen jediničnim vektorom

0Mr

, zakretni moment se može prikazati njihovim umnoškom:

MMM 0

rr=

odnosno

FrrFMMr

r

rr∠= sin0

Svojstvo tijela da se opire promjeni kutne brzine nazivamo momentom tromosti (moment inercije) tijela s obzirom na promatranu os. Moment tromosti, I, ovisi o rasporedu mase tijela s obzirom na os i jednak je zbroju umnožaka mase svake čestice tijela, dm, i kvadrata udaljenosti te čestice od osi:

dmrI ∫= 2

II. Izvedimo jednadžbu gibanja kutnog harmoničkog titrala (oscilatora), momenta tromosti I, na koji djeluje torzijski zakretni moment elastičnih sila (povratni zakretni moment), iznos kojega je razmjeran kutu zakreta od ravnotežnog položaja, općenito:

θrr

cM −= (1.) gdje je

θθθ ⋅= 0

rr

( 0θr

je jedinični vektor ili vektor smjera kuta zakreta θ.)

Kutno gibanje određeno je zakonom gibanja

αrr

IM = gdje je αr kutno ubrzanje, pa stoga slijedi:

2

2

d

d

tIM

θr

r= (2.)

Jednadžbe (1.) i (2.) daju diferencijalnu jednadžbu gibanja kutnog harmoničkog titrala:

93

θθ rr

Ct

I −=2

2

d

d

odnosno

0d

d2

2

=+ θθ rr

I

C

t (3.)

Rješenje jednadžbe (3.) je funkcija koja predstavlja vremensku promjenu kuta zakreta:

)sin(0 ϕωθθθ += tM

rr (4.)

Mθ - najveći kut zakreta

)( ϕω +t - faza titranja

ϕ - početna faza (t = 0)

ω - kutna brzina Uvrštavanjem funkcije (4.) i njezine druge derivacije u jednadžbu (3.) dobivamo:

0)sin()sin(2 =+++− ϕωθϕωθω tI

Ct MM

što je ispunjeno ako je

I

C=2ω

Budući da je T

πω 2= , slijedi da je:

C

IT π2=

94

Dodatak uz vježbu 7. (Njihalo) Matematičko njihalo Izvedimo jednadžbu gibanja matematičkog njihala mase m, duljine l. Uzrok gibanja matematičkog njihala je zakretni moment sile teže:

θθ sin0 mglMrr

−= (1.)

0θr

je jedinični vektor (vektor smjera) kuta otklona:

θθθr

r=0

Kutno gibanje je određeno zakonom gibanja

αrr

IM = gdje je αr kutno ubrzanje, pa stoga vrijedi

2

2

d

d

tIM

θr

r= (2.)

Jednadžbe (1.) i (2.) daju

θθθsin

d

d02

2

mglt

Ir

r

−= (3.)

Ako je kut otklona malen vrijedi: θθ ≈sin pa jednadžba (3.) prelazi u

θθθ ⋅−= 02

2

d

d rr

mglt

I

odnosno

0d

d2

2

=+ θθ rr

I

mgl

t (4.)

Budući da je moment tromosti ovog njihala, u odnosu na promatranu os: 2mlI = (5.) jednadžbe (4.) i (5.) daju konačan oblik diferencijalne jednadžbe gibanja matematičkog njihala:

95

0d

d2

2

=+ θθ rr

l

g

t (6.)

Rješenje jednadžbe (6.) je funkcija koja predstavlja vremensku promjenu kuta otklona, θ :

)sin(0 ϕωθθθ += tM

rr (7.)

Mθ - najveći kut otklona

)( ϕω +t - faza titranja

ϕ - početna faza (t = 0)

ω - kutna brzina Uvrštavanjem funkcije (7.) i njezine druge derivacije u jednadžbu (6.) dobivamo

0)sin()sin(2 =+++− ϕωθϕωθω tl

gt MM

što je ispunjeno ako je:

l

g=2ω

Budući da je T

πω 2= , slijedi da je

g

lT π2=

Fizičko njihalo Uzrok gibanja fizičkog njihala je zakretni moment sile teže:

θθ sin0 mgdMrr

−= (8.)

Uočava se analogija jednadžbi (8.) i (1.): razlika je jedino u tome što u jednadžbi (8.) veličina d (udaljenost težišta od osi) zamjenjuje veličinu l (udaljenost materijalne točke od osi) u jednadžbi (1.). Stoga je i izvod jednadžbe gibanja fizičkog njihala identičan izvodu jednadžbe gibanja matematičkog njihala pa ga ne treba ponavljati, već se odmah može napisati diferencijalna jednadžba gibanja fizičkog njihala:

0d

d2

2

=+ θθ rr

I

mgd

t (9.)

Jednadžba (9.) je analogna jednadžbi (4.) kod matematičkog njihala, ali za razliku od nje, predstavlja konačan oblik. Naime, u ovu jednadžbu nije uvršten poseban oblik momenta

96

tromosti, kao što je to učinjeno za matematičko njihalo, u jednadžbi (6.). Razlog tomu je činjenica da fizičko njihalo može biti bilo koje čvrsto tijelo pa se moment tromosti, I, razlikuje od tijela do tijela: on ovisi o obliku tijela, o njegovoj masi i o raspodjeli mase oko osi. Temeljem razloga analogije vrijedi i:

I

mgd=2ω

odnosno

mgd

IT π2=

97

Literatura 1. N. Cindro, Fizika I., Školska knjiga, Zagreb, 1985.

2. P. Kulišić, Mehanika i toplina, Školska knjiga, Zagreb, 2002.

3. L. Rađa-Ljubić, J. Vuletin, J. Tudorić-Ghemo, S. Botrić, Praktikum iz opće fizike I. dio, FESB, Split, 2002.

4. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley Publ. Co., London, 1970.

5. R. Resnick, D. Halliday, K. Krane, Phisycs, John Wiley & Sons, New York, 2002.

6. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, New York, 2004.

98

99

ZAVRŠIO VJEŽBE Ime i prezime: __________________________ Datum: __________________________ Ovjerio: __________________________ M.P.