-
Sadrzaj
1 Kinematika 91.1 Koordinatni sistemi u ravni . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 91.2 Brzina u diferencijalnoj formi . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 111.3 Predjeni put . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Ubrzanje u diferencijalnoj
formi . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Kinematicke jednacine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Ravnomerno ubrzano kretanje tela u jednoj dimenziji .
201.5.2 Ravnomerno ubrzano kretanje tela u dve i tri dimenzije
21
1.6 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 221.7 Krivolinijsko kretanje . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 26
1.7.1 Kretanje po kruznici konstantnom ugaonom brzinom 261.7.2
Tangencijalno i radijalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Smisao izvoda i integrala u fizici . . . . . . . . . . . . .
. . . . 29
2 Dinamika 332.1 Sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 342.2 Prvi Njutnov zakon. Inercijalni
sistemi reference . . . . . . . . 372.3 Drugi Njutnov zakon u
diferencijalnoj formi . . . . . . . . . . 382.4 Galilejev princip
relativnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Kauzalnost
klasicne mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1 Resavanje osnovne jednacine Njutnove dinamike . . . .
452.6 Zakon odrzanja impulsa i III Njutnov zakon . . . . . . . . .
. 462.7 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 47
2.7.1 Rad konstantne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 472.7.2 Rad sile koja nije konstantna . . . . . . . . . . . . . .
492.7.3 Rad elasticne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 50
2.8 Snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 512.9 Energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 52
1
-
2 SADRZAJ
2.9.1 Kineticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 532.9.2 Potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 542.9.3 Konzervativne i nekonzervativne sile . . . . . . . . . .
572.9.4 Konzervativne sile i potencijalna energija . . . . . . . .
582.9.5 Energijski dijagrami i stabilnost sistema . . . . . . . .
602.9.6 Ukupna mehanicka energija. Zakon odrzanja energije . 63
2.10 Teorema o kretanju centra masa . . . . . . . . . . . . . .
. . . 652.11 Odredjivanje polozaja centra masa krutih dela
razlicitog oblika 67
2.11.1 Centar masa krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . .
672.12 Redukovana masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 712.13 Kretanje u centralnom polju sila. Problem dva tela . .
. . . . 73
2.13.1 Centralno polje sila . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 732.13.2 Problem dva tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 76
2.14 Kretanje tela promenljive mase. Reaktivno kretanje . . . .
. . 782.15 Kretanje u prisustvu sila otpora . . . . . . . . . . . .
. . . . . 81
2.15.1 Kretanje tela u prisustvu sile otpora
proporcionalnebrzini tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 82
2.15.2 Kretanje tela u prisustvu sile otpora
proporcionalnedrugom stepenu brzine tela . . . . . . . . . . . . .
. . 84
2.16 Rotaciono kretanje krutog tela . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 852.16.1 Kineticka energija pri rotacionom kretanju . . . .
. . . 852.16.2 Izracunavanje momenata inercije krutih tela
razlicitog
oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
862.17 Primeri i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 92
3 Oscilacije 1033.1 Prosto harmonijsko kretanje . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 103
3.1.1 Energija prostog harmonijskog oscilatora . . . . . . . .
1103.1.2 Klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1123.1.3 Oscilovanje klipa u sudu sa idealnim gasom . . . . . .
1183.1.4 Veza sa uniformnim kretanjem po kruznici . . . . . . .
120
3.2 Prigusene oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1223.2.1 Koeficijent prigusenja i period prigusenih
oscilacija . . 1273.2.2 Faktor dobrote . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 128
3.3 Prinudne oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1293.3.1 Amplituda prinudnih oscilacija . . . . . . . . . .
. . . 1313.3.2 Rezonancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 131
3.4 Slaganje oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 132
-
SADRZAJ 3
3.4.1 Slaganje oscilacija istog pravca i istih frekvencija . . .
. 132
3.4.2 Slaganje oscilacija bliskih frekvencija (udari) . . . . .
. 133
3.4.3 Vektorski dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.4.4 Slaganja medjusobno normalnih oscilacija . . . . . . .
137
3.4.5 Modulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
3.4.6 Razlaganje oscilacija. Spektar . . . . . . . . . . . . . .
142
3.5 Primeri i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 147
4 Talasi 161
4.1 Osnovne velicine potrebne za opisivanje talasnog kretanja .
. . 162
4.2 Pravac poremecaja delova sredine . . . . . . . . . . . . . .
. . 164
4.3 Jednodimenzionalni progresivni talas . . . . . . . . . . . .
. . 166
4.3.1 Puls koji se prostire na desno . . . . . . . . . . . . . .
167
4.3.2 Brzina talasa na zici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 168
4.3.3 Refleksija i transmisija . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 171
4.4 Sinusoidalni talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 174
4.4.1 Energija i intenzitet talasa . . . . . . . . . . . . . . .
. 178
4.5 Talasna jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 182
4.5.1 Transverzalni talas na zategnutoj zici . . . . . . . . . .
182
4.5.2 Longitudinalni talas u idealnom gasu . . . . . . . . . .
184
4.5.3 Talasi u krutom telu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
4.6 Sferni i ravanski talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 192
4.6.1 Doplerov efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 196
4.7 Superpozicija talasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 201
4.7.1 Superpozicija i interferencija sinusoidalnih talasa . . .
. 201
4.7.2 Stojeci talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 204
4.7.3 Uslovi formiranja stojeceg talasa na zici ciji su
krajevifiksirani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 207
4.7.4 Stojeci talasi u vazdusnim stubovima . . . . . . . . . .
211
4.7.5 Stojeci talasi u sipkama i na plocama . . . . . . . . . .
214
4.8 Primeri i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 217
5 Analiticka mehanika 225
5.1 Elementi analiticke mehanike . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 226
5.2 Ojler-Lagranzeve jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 228
5.3 Fazni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 228
5.4 Klasicna mehanika i granice njene primenljivosti . . . . . .
. . 231
-
4 SADRZAJ
5.5 Osobine prostora i vremena u klasicnoj mehanici i njihova
vezasa zakonima odrzanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 2345.5.1 Simetrije prostora i vremena. . . . . . . . . . . . .
. . 235
6 Kinematika specijalne teorije relativnosti 2396.1 Brzina
svetlosti i zakon sabiranja brzina . . . . . . . . . . . . 2406.2
Majkelson-Morlijev eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . .
2446.3 Ajnstajnov princip relativnosti . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 2486.4 Posledice specijalne teorije relativnosti . . . . .
. . . . . . . . 250
6.4.1 Istovremenost u Ajnstajnovoj relativnosti . . . . . . . .
2516.4.2 Dilatacija vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2536.4.3 Kontrakcija duzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2626.4.4 Relativisticki Doplerov efekat . . . . . . . . . . . . . .
265
6.5 Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 2676.5.1 Lorencove transformacije . . . . . . . . . . . . . .
. . . 2706.5.2 Relativisticki zakon sabiranja brzina . . . . . . .
. . . 271
6.6 Osnovne kinematicke posledice Lorencovih transformacija . .
. 2736.6.1 Dilatacija vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2736.6.2 Kontrakcija duzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 273
6.7 Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 2746.7.1 Tipovi intervala . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 2766.7.2 Primeri primene invarijantnog intervala . . . .
. . . . . 277
6.8 Prostor Minkovskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 2786.8.1 Grafici u prostor-vremenu . . . . . . . . . . . . .
. . . 2796.8.2 Vektori u prostoru Minkovskog . . . . . . . . . . .
. . 2816.8.3 4-vektori polozaja i brzine . . . . . . . . . . . . .
. . . 281
6.9 Primeri i zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 282
7 Dinamika specijalne teorije relativnosti 3037.1 Relativisticki
izraz za impuls i II Njutnov zakon . . . . . . . . 3037.2
Relativisticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3067.3 4-vektor impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 3117.4 Transformacija impulsa i energije . . . . . . . . . .
. . . . . . 3117.5 Ekvivalencija mase i energije . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3127.6 Energija veze . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 3147.7 Relativnost i elektromagnetizam
. . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.8 Granica izmedju Njutnove i
relativisticke dinamike . . . . . . 317
7.8.1 Kretanje cestice u polju konstantne sile . . . . . . . . .
319
-
SADRZAJ 5
8 Opsta teorija relativnosti 3218.1 Pojave u ubrzanim sistemima
reference . . . . . . . . . . . . . 3228.2 Inercijalne sile . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3248.3 Osobine
inercijalnih sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3258.4
Prostor i vreme u neinercijalnim sistemima reference . . . . .
3258.5 Princip ekvivalencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3298.6 Elementi opste teorije relativnosti . . . . . . . .
. . . . . . . . 331
8.6.1 Prostor i vreme u gravitacionom polju . . . . . . . . .
3318.6.2 Opisivanje kretanja u gravitacionom polju . . . . . . .
3328.6.3 Tri potvrde OTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
8.7 Crne rupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3368.8 Gravitacioni talasi . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 3368.9 Gravitaciona interakcija i neinercijalni
sistemi reference . . . . 3368.10 Princip ekvivalentnosti . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 3378.11 Dilatacija vremena . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.12 Gravitaciono
polje i geometrija. Zakrivljenje prostora. . . . . . 3438.13
Primena OTR na Vasionu, kosmologija. . . . . . . . . . . . . .
3458.14 Granice primenljivosti OTR . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 348
9 Dodatak 3499.1 Numericko modelovanje u dinamici cestice . . .
. . . . . . . . 349
9.1.1 Ojlerov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 3509.2 Maksvelove jednacine i elektromagnetni talasi . . . . . .
. . . 352
9.2.1 Elektromagnenti talasi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3549.3 Dimenziona analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 355
9.3.1 Funkcionalna zavisnost sile otpora sredine pri
kretanjutela kroz nju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 357
9.4 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3599.4.1 Neke vazne formule . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3599.4.2 Linearne jednacine . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 361
9.5 Geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3629.6 Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 3649.7 Diferencijalni racun . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 367
9.7.1 Osobine izvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3689.7.2 Izvodi nekih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 3699.7.3 Razvoj u red nekih funkcija . . . . . . . . . . . . . .
. 370
9.8 Integralni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3719.8.1 Parcijalna integracija . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 373
-
6 SADRZAJ
9.8.2 Totalni diferencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 3749.8.3 Integrali nekih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 3749.8.4 Neki odredjeni integrali . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 376
-
Predgovor
Knjiga koja je pred vama je u pocetku bila zamisljena samo kao
kurs Teorijerelativnosti (specijalne i opste). Skoro uvek kada je
autor zapocinjao razmi-sljanje kako da je koncipira, sretao se sa
problemom sta iz nerelativistickemehanike smatrati poznatim a na
sta ponovo ukazati kod uvodjenja odgo-varajucih pojmova
relativisticke mehanike. Takodje se postavljalo pitanjena koje od
postojecih udzbenika opste i teorijske fizike se pozivati
prilikompisanja. U jednom momentu se doslo do, mozda ne preterano
racionalnog, za-kljucka da je bolje na istom mestu obraditi kljucne
oblasti Njtunove mehanikei prilagoditi ih docnijim potrebama
teorije relativnosti. A onda kada sepocelo sa pisanjem, radi
kompletnosti i konzistentnosti izlaganja, se materi-jal iz
nerelativisticke mehanike prilicno prosirio tako da je nastala
knjiga kojaima prvi (nerelativisticki deo) koji je pisan na nivou
koji se nalazi izmedjunivoa opsteg i teorijskog kursa fizike i
drugi relativisticki koji je takodjepisan na dva nivoa, jedan koji
mogu da sa uspehom da prate i zaintereso-vaniji srednjoskolci, i
drugi koji zahteva poznavanje nekih specijalnih
oblastimatematike.
Iako se knjiga sastoji iz 8 glava, ona se zapravo moze podeliti
na dveoblasti: 1. klasicna mehanika, koja se bavi kretanjem tela
koja su velika uporedjenju sa atomima i krecu se brzinama koje su
mnogo manje od brzinesvetlosti (glave pod nazivom kinemetika,
dinamika, oscilacije, talasi, anal-iticka mehanika), 2.
relativnost, koja predstavlja teoriju koja opisuje kretanjetela
bilo kojom brzinom, u tom smislu i brzinama koje su bliske brzini
svet-losti (kinematika specijalne teorije relativnosti i dinamika
specijalne teorijerelativnosti i opsta teorija relativnosti).
Kako bi, sa sto manje traganja za matematickom literaturom, bilo
mogucepracenje izlaganja datog u knjizi, autor je osmislio i
odgovarajuci matematickidodatak.
7
-
8 SADRZAJ
Nis, septembar 2008. godine, Autor
-
Glava 1
Kinematika
Fizika, jedna od bazicnih prirodnih nauka, se bavi osnovnim
prinicipima nakojima je zasnovan univerzum. Ona daje osnovu za
druge prirodne nauke-astronomiju, biologiju, hemiju, geologiju,
.... Lepota fizike lezi u jednos-tavnosti osnovnih fizickih teorija
koja se ogleda u malom broju fundamen-talnih koncepata, jednacina i
pretpostavki koje mogu da izmene i prosire naspogleda na svet oko
nas.
Logicki pocetak prezentovanja koncepata fizike se zasniva na
pojmu kre-tanja cijim opisivanjem se bave i kinematika i dinamika,
svaka na svoj nacin.
1.1 Koordinatni sistemi u ravni
Za odredjivanje polozaja cestice u ravni potrebno je izabrati
dva nezavisnabroja - koordinate cijim cemo poznavanjem u svakom
momentu vremenatacno moci da znamo gde se cestica nalazi.1
Najpoznatija su sledeca dva ko-ordinatna sistemi u ravni: 1)
pravougli Dekartov koordinatni sistem - u njemudva broja (x, y)
odredjuju polozaj tacke u odnosu na koordinatni pocetak2
i 2) polarni koordinatni sistem - polozaj tacke je odredjen
koordinatama
1Prostor i vreme u klasicnoj mehanici su neprekidni, sto u
fizickom smislu znaci da telone moze da nestane, a u matematickom
da se mogu primenjivati za opisivanje polozaja ikretanja tela
metode matematicke analize, odnosno da se mogu dobro definisati
izvodi iintegrali odgovarajucih mehanickih velicina.
2Rec je naravno o komponentama vektora polozaja ~r koji je u
ovom slucaju zadatizrazom ~r = x~ex+y~ey, gde su ~ex i ~ey
jedinicni vektori koordinatnih osa. U slucaju kretanjacestice u tri
dimenzije, vektor polozaja ce biti predstavljen izrazom ~r = x~ex +
y~ey + z~ez.
9
-
10 GLAVA 1. KINEMATIKA
(, ).3
Slika 1.1: Dekartov i polarni koordinatni sistem. Koordinata
odgovaraudaljenosti tacke od koordinatnog pocetka, dok je ugao koji
zaklapa vektorpolozaja tacke sa x osom.
Sa slike 1.1 jasno vidi da je veza jednih i drugih koordinata u
ravni zadatarelacijama
x = cos, y = sin, (1.1)
odnosno
=x2 + y2, = arctan
(y
x
). (1.2)
Primer 1. Dekartove koordinate tacke u (x, y) ravni su a) (x, y)
= (1, 1)m, b) (x, y) = (1, 1) m, c) (x, y) = (1,1) m, d) (x, y) =
(1,1) m.Odredi polarne koordinate te tacke.
a) =x2 + y2 =
(1m)2 + (1m)2 =
2m tan = y
x= 1m
1m= 1.
Iz poslednje relacije se za trazeni polarni ugao dobija dva
resenja 45o i225o (odnosno pi/4 i 5pi/4) a na osnovu polozaja tacke
zadate dekartovimkoordinatama x i y tj. na osnovu njihovog znaka da
treba uzeti resenje kojeodgovara manjem uglu jer jedino tada tacka
lezi u prvom kvadrantu. Drugoresenje odgovara tacki koja je
navedena pod c) i tom slucaju tacka lezi utrecem kvadrantu. U slu
vajevima b) i c) koordinata ima istu vrednost kaoi u ostalim
slucajevima, tangens ugla je jednak 1 a na osnovu znaka x iy su
trazeni uglovi 3pi/4 i 7pi/4.
3Dok je oblast definisanosti dekartovih koordinata x i y od do
+, za polarnevazi (0,+), (0, 2pi).
-
1.2. BRZINA U DIFERENCIJALNOJ FORMI 11
Primer 2. Opisati dekartovim i polarnim koordinatama kretanje
pokruznici poluprecnika R, konstantnom ugaonom brzinom .
Kako je u ovom slucaju predjeni ugao za vreme t jednak = t,
audaljenost od koordinatnog pocetka stalno iznosi R, jednacine koje
opisujukretanje u polarnim koordinatama glase
(t) = R,(t) = t,
a u dekartovim
x = R cos(t), y = R sin(t).
Lako je primetiti da je u ovom slucaju pogodnije koristiti
polarne koordinateumesto dekartovih.
1.2 Brzina u diferencijalnoj formi
Posmatrajmo kretanje materijalne tacke (cestice) po nekoj
trajektoriji. Uko-liko ona, za jednake, ma kako male, vremenske
intervale t prelazi jednakeputeve s, kretanje cestice se naziva
ravnomernim. Deljenjem ukupnog pred-jenog puta s, vremenom t za
koje je predjen, ili dela predjenog puta s iodgovarajuceg intervala
vremena t dobija se velicina
v =s
t=
s
t(1.3)
koja se naziva intenzitet brzine cestice4 i jednaka je putu koji
ona predje ujedinici vremena.
Ako je kretanje neravnomerno, velicina koja se dobija deljenjem
predjenogputa i vremena je intenzitet srednje brzine cestice za
dati interval vremena
vsr =s
t. (1.4)
Da bi sto preciznije odredili intenzitet brzine v, kojom se
cestica krece unekom vremenskom trenutku, treba postupiti na
sledeci nacin. Uzima seneki naredni vremenski interval t (koji
sledi za vremenskim trenutkom t),i odredi se put s koji cestica
predje za navedeni interval. Odnos s i t,
4Brzina je vektorska velicina pa je za njeno potpuno poznavanje
neophodno navesti josi pravac i smer kojim se telo krece.
-
12 GLAVA 1. KINEMATIKA
u tom slucaju predstavlja intenzitet srednje brzine cestice za
dati vremenskiinterval. Ukoliko se medjutim za nalazenje ovog
odnosa uzima sve manji imanji vremenski interval t (pri ovome ce se
naravno i predjeni put sman-jivati), u granicnom slucaju kada
vremenski interval bude dovoljno mali (umatematickom smislu tezi
nuli) odnos s/t ce teziti intenzitetu pravebrzine u momentu t. To
se zapisuje na sledeci nacin
v = limt0
s
t. (1.5)
Ukoliko pak zelimo da brzinu odmah definisemo kao vektorsku
velicinu, potrebnoje postupiti na nesto drugaciji nacin.
Slika 1.2: U momentu vremena t cestica se nalazi u tacki 1, ciji
polozajje odredjen vektorom polozaja ~r. Za interval vremena t
cestica prelazi utacku 2 ciji polozaj je odredjen vektorom polozaja
~r +~r, gde je ~r vektorpomeraja, tj. prirastaj vektora polozaja.
Kada t tezi nuli, tacka 2 sekrece ka tacki 1. Pri tome duzina luka
s postaje sve pribliznije jednakaduzini tetive |~r|. U granicnom
slucaju ove dve duzine su jednake jer tetivatada zauzme pravac
tangente na trajektoriju u tacki 1.
Na slici 1.2 je prikazana trajektorija cestice. Za vreme t
cestica cedoziveti pomeraj ~r, koji je jednak prirastaju vektora
polozaja ~r = x~ex +y~ey + z~ez za dati vremenski interval. Ukoliko
prirastaj ~r podelimo in-tervalom vremenom t za koji se desio,
dobicemo srednju vrednost brzinecestice
~vsr =~r
t. (1.6)
Trenutna brzina cestice ~v ce biti jednaka granicnoj vrednosti
vektorapomeraja cestice i vremenskog intervala t za koji se on
desio, uz uslov
-
1.2. BRZINA U DIFERENCIJALNOJ FORMI 13
da vremenski interval tezi nuli,
~v = limt0
~r
t. (1.7)
Drugim recima, brzina je izvod vektora polozaja po vremenu.5 U
fizici jeuobicajeno da se izvodi po vremenu oznacavaju tackom iznad
slova kojeoznacava datu fizicku velicinu tako da se ovaj izraz
cesto pise u obliku
~v =d~r
dt= ~r. (1.8)
Sa slike 1.2 se vidi da vektor trenutne brzine ~v ima pravac
tangente na tra-jektoriju u datoj tacki gde se nalazi cestica u
datom momentu vremena, asmer joj je u smeru kretanja. Intenzitet
brzine je jednak apsolutnoj vrednostiizraza (1.7)
v =
limt0 ~rt = limt0 |~r|t . (1.9)
Kako se sa slike 1.2 vidi da odnos |~r|s
tezi jedinici kada t 0, prethodniizraz moze da se transformise
na sledeci nacin
v = limt0
|~r|t
= limt0
( |~r|s
s
t
)=ds
dt, (1.10)
sto se poklapa sa formulom (1.5). Ako se prodiferencira po
vremenu izrazza vektor polozaja, smatrajuci da su jedinicni vektori
koordinatnih osa kon-stantni, dolazi se do izraza
~v = ~r = x~ex + y~ey + z~ez (1.11)
iz koga, ako ga uporedimo sa dekartovim zapisom brzine
~v = vx~ex + vy~ey + vz~ez (1.12)
za komponente brzine u dekartovom koordinatnom sistemu se
dobija
vx = x =dx
dt, vy = y =
dy
dt, vz = z =
dz
dt. (1.13)
5Vektor polozaja je vektor koji zavisi od vremena i kako cestica
menja polozaj u prostorutako i ovaj vektor menja svoj pravac, smer
i intenzitet.
-
14 GLAVA 1. KINEMATIKA
1.3 Predjeni put
Ukoliko je poznat intenzitet brzine u svakom momentu vremena,
moguce jeizracunati put koji je cestica presla od nekog momenta
vremena t1 do nekogdocnijeg momenta t2. Pocetni korak je deljenje
intervala vremena t2t1 na Nmalih (ne obavezno jednakih) intervala
vremena ti (i je redni broj intervalakoji ide od 1 do N). U skladu
sa izrazom v = ds/dt, moze se smatrati da jeput si, predjen za
interval ti, priblizno jednak proizvodu vi i ti:
si viti (1.14)(ovde je vi-bilo koja vrednost brzine iz intervala
ti jer se moze smatratida se unutar njega brzina toliko malo menja
da se smatra skoro konstatnom- zato je svejedno koja je vrednost
uzeta). Ukupan put koji predje cesticajednak je sumi puteva si
s = s1 +s2 + +sN =Ni=1
si, (1.15)
odnosno, ukoliko u ovaj izraz zamenimo svaki interval njegovom
pribliznomvrednoscu (1.14),
s Ni=1
viti. (1.16)
Ako sada pocnemo da smanjujemo intervale vremena ti, proizvodi
vitice sa sve vecom tacnoscu odredjivati puteve predjene za te
intervale. Ugranicnom slucaju, kada su svi intervali vremena
dovoljno mali, tj. kada tezenuli (N pri tome neograniceno raste),
dobija se tacna vrednost predjenogputa kao granicna vrednost
s = limti0
Ni=1
viti. (1.17)
U matematici se izrazi oblika
limxi0
Ni=1
f(xi)xi (1.18)
za vrednosti promenljive x u nekom intervalu od a do b, nazivaju
odredjeniintegral funkcije f(x), u granicama od x = a, do x = b i
oznacavaju sesimbolom b
af(x)dx. (1.19)
-
1.3. PREDJENI PUT 15
Uporedjujuci izraze (1.17) i (1.18) relativno lako se vidi da
predjeni putcestice u vremenskom intervalu od t1 do t2 moze da se
predstavi odredjenimintegralom funkcije v(t) (ona pokazuje kako se
menja sa vremenom intenzitetbrzine)
s = t2t1
v(t)dt. (1.20)
Slika 1.3: Povrsina srafirane oblasti je priblizno jednaka
proizvodu viti
Odredjeni integral ima prost geometrijski smisao koji moze da se
lakoprimeti upravo na primeru izracunavanja predjenog puta. Na
slici 1.3 se vidida je proizvod viti priblizno jednak povrsini
osencene trake osnove ti.Zbir takvih proizvoda (1.16) je priblizno
jednak povrsini oblasti ogranicenekrivom v(t). Pri deljenju te
oblasti na sve uze i uze trake (ovo odgovaraprocesu ti 0, odnosno N
), zbir povrsina traka daje povrsinuoblasti ispod krive ogranicene
odozdo vremenskom osom a s leva i s desnapravima t = t1 i t = t2.
Ta povrsina je jednaka odredjenom integralu (1.20).Koristeci ovu
formulu i formulu (1.4), srednja brzina moze da se napise
uobliku
vsr =1
t2 t1 t2t1
v(t)dt (1.21)
jer je ukupno vreme kretanja iz formule (1.4) t ustvari jednako
t2 t1. Ge-ometrijski smisao srednje brzine je prikazan na slici
(1.4).
-
16 GLAVA 1. KINEMATIKA
Slika 1.4: Povrsina srafirane oblasti ispod krive v(t) je
jednaka povrsinipravoguaonika visine vsr i osnovice t2 t1.
1.4 Ubrzanje u diferencijalnoj formi
Pretpostavimo da se cestica krece duz neke putanje od jedne do
druge tackeu prostoru, pri cemu se njena brzina menja od neke
pocetne vrednosti ~vi (umomentu vremena ti) do finalne vrednosti
~vf u momentu vremena tf . Poz-navanje trenutnih brzina u tim dvema
tackama omogucuje nam da odredimosrednje ubrzanje cestice.
Srednje ubrzanje cestice, prilikom njenog kretanja od jedne
tacke doneke druge, jednako je odnosu promene (prirastaja) brzine
cestice ~v i in-tervala vremena za koji se ta promena u brzini
desila:
~asr =~vf ~vitf ti =
~v
t. (1.22)
Kako se radi o odnosu vektorske velicine ~v i skalarne t, moze
se zakljucitida je vektor ~asr usmeren duz pravca vektora ~v (slika
1.5). Kako sred-nje ubrzanje zavisi od intervala vremena za koji je
izracunato i menja setokom kretanja cestice, korisno je definisati
trenutno ubrzanje ~a: Trenutnoubrzanje je granicna vrednost odnosa
~v/t kada vremenski interval ttezi nuli
~a = limt0
~v
t=d~v
dt= ~v. (1.23)
Drugim recima, trenutno ubrzanje je (prvi) izvod vektora brzine
po vremenu.Imajuci u vidu da je brzina takodje (prvi) izvod vektora
polozaja po vremenu
-
1.4. UBRZANJE U DIFERENCIJALNOJ FORMI 17
Slika 1.5: Cestica se krece od tacke 1 do tacke 2. Njen vektor
brzine semenja od ~vi na ~vf . Na vektorskom dijagramu, u gornjem
desnom delu slike,je pokazano kolika je razlika ova dva vektora
~v.
i kombinujuci prethodnu jednacinu sa (1.8), dobija se
~a =d
dt
(d~r
dt
)=
d
dt~r = ~r, (1.24)
odnosno
~a = x~ex + y~ey + z~ez. (1.25)
Na osnovu ovog izraza se za dekartove komponente ubrzanja
~a = ax~ex + ay~ey + az~ez (1.26)
dobija
ax = x =d2x
dt2, ay = y =
d2y
dt2, az = z =
d2z
dt2, (1.27)
(komponente ubrzanja su drugi izvodi po vremenu komponenti
vektora polozaja).Vazno je uociti da promena brzine moze da nastane
na dva nacina. Prvo,brzina moze da se menja po intenzitetu (npr.
prilikom kretanja cestice duzprave linije). Drugo, brzina moze da
se menja po pravcu i smeru a da pritom po intenzitetu ostane ista
(npr. prilikom kretanja u ravni). I naravno,postoji mogucnost da se
brzina menja i po intenzitetu i po pravcu i smeru.
-
18 GLAVA 1. KINEMATIKA
Primer 1
Razmotrimo pravolinijsko kretanje duz x ose pri cemu je stalno x
= const.Kako je cestica nepokretna, prirastaj koordinate x je
jednak nuli pa su isrednja i trenutna brzina takodje jednake nuli,
sto je u skladu sa cinjenicomda je izvod konstantne funkcije
nula.
Primer 2
Cestica se krece tako da se njena koordinata menja sa vremenom
po zakonux(t) = Bt + C, gde su B i C konstantni koeficijenti (x je
linearna funkcijavremena). Da bi nasli srednju brzinu, odredimo
pomeraj x, koji je cesticadozivela za vreme t
x+x = x(t+t) = B(t+t) + C = Bt+ C +Bt,
odakle se vidi da je on x = x(t + t) x(t) = Bt. Na osnovu ovoga
jesrednja brzina konstantna i jednaka koeficijentu B,
vsr =x
t= B
a trenutna brzina je takodje konstantna
v = limt0
x
t= B.
Kretanje koje se odvija konstantnom brzinom se naziva
ravnomernim. Uko-liko sa xi oznacimo pocetnu vrednost koordinate,
odnosno vrednost koordi-nate u t = 0, lako je videti da ona
odgovara konstanti C u izrazu za zavisnostx(t). Pomeraj je sa druge
strane s = x xi = Bt, odnosno
s = vt.
Primer 3.
Zavisnost koordinate od vremena je x(t) = At2 + Bt + C, gde su
A,B i Ckonstantni koeficijenti (x je kvadratna funkcija vremena t).
U ovom slucajuje
x(t)+x = A(t+t)2+B(t+t)+C = (At2+Bt+C)+(2At+B)t+At2
-
1.4. UBRZANJE U DIFERENCIJALNOJ FORMI 19
sto za srednju brzinu daje
vsr =x
t= 2At+B + At.
Moze da se primeti da srednja brzina zavisi i od vremenskog
trenutka t ukome se odredjuje ali i od intervala vremena t za koji
se odredjuje. Ugranicnom slucaju, kada t tezi nuli, poslednji clan
gornjeg izraza takodjetezi nuli pa se za trenutnu brzinu dobija
v = 2At+B.
Moze da se primeti da je trenutna brzina linearna funkcija
vremena. Srednjeubrzanje se dobija primenom analogne procedure
v+t = 2A(t+t)+B = (2At+B)+2At, v = 2At, asr =v
t= 2A,
odakle je trenutno ubrzanje
a = 2A, (A =a
2)
konstantno. Rec je dakle o kretanju sa konstantnim ubrzanjem,
odnosnoo jednakoubrzanom kretanju6. Kakav bi bio fizicki smisao
konstanti koje sepojavljuju u zavisnosti koordinate x od vremena?
Kao sto se vidi iz poslednjerelacije konstanta A je jednaka
polovini ubrzanja. Ukoliko se uzme da su upocetnom trenutku vremena
brzina i koordinate bile vi i xi lako se dobija daje B = vi i C =
xi, pa je
x = xi + vit+1
2at2, v = vi + at,
dok je pomeraj s = x xi
s = vit+1
2at2.
6Primeri za ovakvo kretanje su slobodni pad u homogenom polju
Zemljine teze u slucajukada se zanemaruje trenje, i kotrljanje niz
strmu ravan (takodje sa zanemarivanjem trenjaizmedju tela i
podloge.
-
20 GLAVA 1. KINEMATIKA
1.5 Kinematicke jednacine
Ukoliko je poznata zavisnost vektora polozaja cestice od vremena
~r = ~r(t) =x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez (konacne jednacine
kretanja), onda se primenomjednacina (1.8) i (1.23) mogu dobiti
brzina i ubrzanje kao
~v =d~r
dt, ~a =
d~v
dt. (1.28)
1.5.1 Ravnomerno ubrzano kretanje tela u jednoj di-menziji
Kretanje koje se ovako naziva je kretanje duzjednog pravca u
prostoru kojicemo poistovetiti sa x osom, sa konstantnim ubrzanjem
ax =
dvxdt, odakle
sledi da je diferencijal brzine
dvx = axdt (1.29)
a sama brzina je
vx =axdt = axt+ C1 (1.30)
gde je C1 integraciona konstanta. Vrednost integracione
konstante zavisi odpocetnih uslova kretanja. Ako se uzme da je vx =
vxi u trenutnku t = 0, tj. umomentu kada smo poceli da posmatramo
kretanje, zamenom ovih vrednostiu prethodnu jednacinu se dobija
vxi = ax 0 + C1 (1.31)odakle se za trazenu konstantu dobija C1 =
vxi. Sada jednacina (1.30)poprima poznat oblik zakona promene
brzine sa vremenom u slucaju kadase telo ravnomerno ubrzava
vx = vxi + axt. (1.32)
Zavisnost koordinate x od vremena se moze dobiti na osnovu
izraza za brzinuvx =
dxdtodakle je
dx = vxdt (1.33)
a x je u tom slucaju integral (uz koriscenje izraza (1.32))
x =vxdt =
(vxi + axt)dt, (1.34)
-
1.5. KINEMATICKE JEDNACINE 21
odnosno
x =vxidt+
axtdt = vxit+
1
2axt
2 + C2, (1.35)
gde je C2 nova integraciona konstanta. Za nalazenje konstante C2
isko-risticemo pocetni uslov x = xi (gde je xi koordinata koja
opisuje pocetan/inicijalanpolozaj) kada je t = 0. To daje C2 = xi,
pa je izraz koji opisuje zavisnostkoordinate x od vremena, za
konstantno ubrzanje
x = xi + vxit+1
2axt
2. (1.36)
Na osnovu ovog izraza je lako videti da je pomeraj prilikom
kretanja odnultog trenutka (kada smo poceli da posmatramo kretanje)
do vremenskogtrenutka t
x xi = vxit+ 12axt
2. (1.37)
1.5.2 Ravnomerno ubrzano kretanje tela u dve i tridimenzije
Za pocetak pokusajmo da opisemo ravnomerno ubrzano kretanje
cestice udve dimenzije prilikom koga je ubrzanje konstantno i po
pravcu i smeru i pointenzitetu.
Vektor polozaja cestice koja se krece u xy ravni je7
~r = x~ex + y~ey. (1.38)
Ako je poznata zavisnost vektora polozaja od vremena, brzina
~v = vx~ex + vy~ey. (1.39)
se moze dobiti na osnovu relacije (1.28). Kako je ubrzanje ~a
konstantno,konstante su mu i komponente ax i ay. Iz tog razloga
moguce je primenitiodgovarajuce jednacine iz prethodnog paragrafa
nezavisno na obe kompo-nente vektora brzine. Tako zamena vx =
vxi+axt i vy = vyi+ayt u prethodnujednacinu daje
~v = (vxi + axt)~ex + (vyi + ayt)~ey = [vxi~ex + vyi~ey] +
[ax~ex + ay~ey]t, (1.40)
7Pri ovome se velicine x, y i ~r menjaju dok se cestica krece, a
jedinicni vektori koordi-natnih osa ~ex i ~ey ostaju konstantni
tokom tog vremena.
-
22 GLAVA 1. KINEMATIKA
sto se ocigledno moze zapisati kao
~v = ~vi + ~at. (1.41)
Ovaj izraz pokazuje da je brzina cestice u nekom momentu vremena
t jednakavektorskom zbiru vektora pocetne brzine ~vi i dodatnog
vektora ~at koji jeposledica konstantnog ubrzavanja cestice tokom
kretanja.
Slicno, iz jednacine(1.36) se dobija da se x i y koordinate
cestice koja sekrece sa konstantnim ubrzanjem, menjaju sa vremenom
na sledeci nacin
x = xi + vxit+1
2axt
2, y = yi + vyit+1
2ayt
2. (1.42)
Zamena ovih izraza u jednacinu (1.38) daje
~r = (xi + vxit+1
2axt
2)~ex + (yi + vyit+1
2ayt
2)~ey, (1.43)
sto nakon grupisanja clanova moze da se zapise kao
~r = ~ri + ~vit+1
2~at2. (1.44)
Ova jednacina govori da je pomeraj cestice (od pocetnog trenutka
t = 0 donekog trenutka t) ~r = ~r~ri vektorska suma pomeraja ~vit,
koji je posledicapostojanja pocetne brzine ~vi, i pomeraja
12~at2 koji je posledica ravnomernog
ubrzavanja cestice.Na kraju vredi napomenuti da relacije (1.41)
i (1.44) ostaju u vaznosti i u
slucaju kada se kretanje odvija u tri dimenzije, uz uzimanje u
obzir cinjeniceda vektor polozaja i brzina sada imaju tri
komponente, odnosno da su zadatiizrazom
~r = x~ex + y~ey + z~ez, (1.45)
i~v = vx~ex + vy~ey + vz~ez. (1.46)
1.6 Kosi hitac
Telo koje se, u gravitacionom polju, izbaci pod nekim uglom u
odnosu napovrsinu Zemlje, krece se po krivolinijskoj putanji.
Ovakvo kretanje je rela-tivno lako proanalizirati ako se uzmu u
obzir dve pretpostavke: (1) ubrzanje
-
1.6. KOSI HITAC 23
zemljine teze ~g je konstantna velicina u oblasti u kojoj se
telo krece i usmerenoje nanize, tj. ka Zemlji8, (2) zanemaruje se
postojanje otpora vazduha. Uko-liko su ispunjene ove dve
pretpostavke, moze se pokazati da je putanja telaparabola.
Slika 1.6: Parabolicna putanja tela izbacenog nekom brzinom vi i
pod nekimuglom i u odnosu na horizontalu.
Izaberimo koordinatni sistem tako da je y osa usmerena navise. U
ovakoizabranom koordinatnom sistemu ubrzanje zemljine teze je ~g =
0 ~ex +(g)~ey = g~ey. Kako je otpor vazduha zanemaren, komponente
ubrzanjasa kojim se krece telo su ax = 0 i ay = g. Pretpostavimo da
je u trenutkut = 0 telo izbaceno iz koordinatnog pocetka (xi = yi =
0) brzinom ~vi kojazaklapa ugao i sa horizontom kao sto je pokazano
na slici 1.6. Sa slike sevidi da su pocetne koordinate brzine vxi i
vyi sa pocetnim uglom i povezanerelacijama
vxi = vi cos i, vyi = vi sin i. (1.47)
8Ova pretpostavka je tacna ukoliko je oblast u kojoj se telo
krece mala u poredjenjusa poluprecnikom Zemlje (6, 4 106m). Drugim
recima, ovo znaci da se Zemlja smatraravnom u oblasti u kojoj se
telo krece, odnosno u tom delu prostora gravitaciono polje sesmatra
homogenim.
-
24 GLAVA 1. KINEMATIKA
Vektor brzine se menja i po pravcu i po intenzitetu sto je
rezultat postojanjaubrzanja usmerenog u negativnom smeru y ose. Za
to vreme x komponentabrzine ostaje konstantna u vremenu jer duz te
ose nema nikakvog ubrzanja,odnosno vaze relacije9
vx = vxi, vy = vyi gt. (1.48)
U skladu sa jednacinom (1.42), uzimajuci u obzir da je cestica
krenula iz ko-ordinatnog pocetka i da ima navedene komponente
ubrzanja, u proizvoljnommomentu vremena t, njen polozaj u ravni je
odredjen sa
x = vxit, y = vyit+1
2(g)t2, (1.49)
odnosno
x = vi cos it, y = vi sin it 12gt2. (1.50)
Ove dve jednacine predsatvljaju jednacinu trajektorije u
takozvanom param-etarskom obliku (parmetar je vreme t) a da bi je
dobili kao zavisnost y odx iz njih treba eliminisati vreme. Kako je
iz prve jednacine t = x/(vi cos i),druga postaje
y = x tan i g2v2i cos
2 ix2, (1.51)
sto je jednacina parabole koja prolazi kroz koordinatni pocetak.
Jednacina(1.44) za ovakvo kretanje tela glasi (~ri = 0,~a = ~g)
~r = ~vit+1
2~gt2 (1.52)
i prikazana je na slici 1.7. Kao sto se vidi sa slike, moze se
zakljuciti da kre-tanje cestice moze da se shvati kao superpozicija
kretanja opisanog clanom~vit koji odgovara kretanju konstantnom
brzinom (bez ubrzanja) i korigov-anog clanom 1
2~gt2 izazvanog ubrzanjem Zemljine teze.10Moze da se
zakljuci
da je kretanje tela pri kosom hicu superpozicija dva kretanja:
(1) kretanja
9Lako je primetiti da y komponenta brzine, koja se stalno menja,
u najvisoj tackiputanje postaje jednaka nuli.
10Drugim recima, kada ne bi bilo ovog ubrzanja, cestica bi
nastavila da se krece popravoj liniji u pravcu vektora pocetne
brzine ~vi. Vertikalni put koji je telo preslo 12~gt
2 jejednako putu koji bi za isto vreme preslo telo koje slobodno
pada u polju Zemljine tezeza isti vremenski interval.
-
1.6. KOSI HITAC 25
Slika 1.7: Vektor polozaja materijalne tacke.
konstantnom brzinom u horizontalnom pravcu i (2) slobodnog
padanja povertikali.Primer 3. Odredjivanje maksimalne visine i
dometa kosog hica. Kada jerec o odredjivanju maksimalne visine koju
dostize telo koje se krece kao kosihitac, to se moze uraditi
odredjivanjem vremena penjanja u tu tacku (u njojje y komponenta
brzine jednaka nuli) na osnovu jednacine (1.48) i zamenomu izraz za
promenu y koordinate sa vremenom (1.50) koji u tom slucaju dajebas
trazenu visinu. Druga mogucnost je da potrazimo x koordinatu u
kojojfunkcija y = y(x), odredjena relacijom (1.51) ima maksimum. U
tu svrhutreba odrediti izvod navedene funkcije
dy
dx= tan i g
v2i cos2 i
x (1.53)
i pronaci tacku xm u kojoj je on jednak nuli. Lako se vidi da je
pethodnarelacija jednaka nuli kada je x ima vrednost
xm =v2igsin i cos i. (1.54)
Vrednost funkcije y(x) u ovoj tacki je
ym = y(xm) =v2i2g
sin2 i, (1.55)
-
26 GLAVA 1. KINEMATIKA
pa je to i trazena maksimalna visina na koju se moze popeti
telo. Domet semoze dobiti na osnovu simetricnosti trajektorije u
odnosu na pravu postavl-jenu vertikalno na x osu kroz tacku x = xm
pa je domet prosto jednakdvostrukoj vrednosti ove koordinate
D = 2xm =2v2ig
sin i cos i =v2igsin 2i. (1.56)
Zadatak 1. Projektil je (u polju zemljine teze) iz oruzja
ispaljen ka metitako da napusta oruzje istovremeno kada i meta
pocne da pada. Pokazati dali ce, ili ne, projektil da pogodi
metu.
1.7 Krivolinijsko kretanje
1.7.1 Kretanje po kruznici konstantnom ugaonom brzi-nom
Razmotrimo za pocetak kretanje cestice konstantnom ugaonom
brzinom po kruznici. Pri ovome je vektor polozaja cestice zadat
relacijom
~r(t) = r cos(t)~ex + r sin(t)~ey = r(cos(t)~ex + sin(t)~ey) =
r~er, (1.57)
gde je
~er =~r
r= cos(t)~ex + sin(t)~ey (1.58)
jedinicni vektor duz pravca vektora polozaja. Trenutna brzina
cestice je sada
~v =d~r
dt= r( sin(t)~ex + cos(t)~ey). (1.59)
Kako je brzina uvek usmerena po tangenti, moze se pisati da je
~v = v~e ,pri cemu vazi
v = r,~e = sin(t)~ex + cos(t)~ey. (1.60)Treba primetiti da je
intenzitet brzine v = r konstantan jer se kretanjeodvija
konstantnom ugaonom brzinom a telo je stalno na istom rastojanjuod
koordinatnog pocetka r. Ubrzanje kod ovakvog tipa kretanja je
prematome jednostavno
~a =d~v
dt=
d
dt(r~e ) = r
d
dt(~e ) = r
2( cos(t)~ex sin(t)~ey) = 2~r.(1.61)
-
1.7. KRIVOLINIJSKO KRETANJE 27
Slika 1.8:
Pri ovome je intenzitet ubrzanja konstantan i iznosi a = r2 =
v2
ra us-
mereno je suprotno od vektora polozaja tacke, odnosno ka centru
kruzneputanje. Dakle, pri uniformnom kretanju po kruznici ubrzanje
je direktnousmereno ka centru kruznice, ima intenzitet v2/r, gde je
v brzuna cesticea r je poluprecnik. Ovo ubrzanje se u tom smislu
naziva centripetalno iliradijalno.
1.7.2 Tangencijalno i radijalno ubrzanje
Razmotrimo sada kretanje cestice po krivolinijskoj putanji, pri
cemu joj sebrzina menja i po pravcu i po intenzitetu kao sto je
pokazano na slici 1.9.Brzina, kao i uvek, ima pravac tangente na
putanju ali se pravac vektoraubrzanja ~a menja od tacke do tacke
putanje. Taj vektor moze da se razlozina dve komponente: radijalnu
~ar i tangencijalnu komponentu ~a , odnosno
~a = ~ar + ~a . (1.62)
Tangencijalno ubrzanje opisuje promenu intenziteta brzine
cestice. Ono jeparalelno vektoru trenutne brzine a intenzitet mu
je
a =dv
dt. (1.63)
-
28 GLAVA 1. KINEMATIKA
Slika 1.9: Kretanje cestice duz krive linije koja lezi u xy
ravni. Promenavektora brzine i po pravcu i po intenzitetu ukazuje
na to da ubrzanje ~a imaradijalnu ~ar i tangencijalnu komponentu ~a
.
Radijalno ubrzanje opisuje promenu pravca vektora brzine a
njegov intenzitetje odredjen ranije kao
ar =v2
r(1.64)
gde je r poluprecnik krivine u datoj tacki. Kako su navedene dve
komponenteubrzanja ortogonalne jedna na drugu, intenzitet ukupnog
ubrzanje je
a =a2r + a
2 . (1.65)
Kao i u slucaju uniformnog kretanja po kruznici, vektor ~ar, je
prilikom ne-uniformnog kretanja uvek usmeren ka centru krivine
(Slika 1.9). Za datuvrednost brzine, ar je utoliko vece ukoliko je
poluprecnik krivine u datojtacki manji a ima manju vrednost u
tackama u kojima je poluprecnik krivineveci, odnosno tamo gde je
putanja manje zakrivljena. Smer ubrzanja ~a jeili isti kao i smer
brzine ~v (ukoliko ona raste), ili je suprotan od nje (ukolikose
ona smanjuje). Kompletan izraza za ubrzanje je dakle
~a = v2
r~er +
dv
dt~e . (1.66)
Prilikom uniformnog kretanja po kruznici, prilikom koga je v =
const,tangencijalno ubrzanje je nula i ukupno ubrzanje je uvek
radijalno, odnosnocentripetalno.
Ukoliko se pak smer brzine ~v ne menja, nema radijalnog
ubrzanja, odnosnokretanje je jednodimenzionalno a celokupno
ubrzanje je tangencijalno.
-
1.8. SMISAO IZVODA I INTEGRALA U FIZICI 29
1.8 Smisao izvoda i integrala u fizici
Proces granicnog prelaza, pomocu koga se definise izvod se
naziva difer-enciranje. Pojam izvoda ima siroku primenu u mehanici
a i u prakticnosvim drugim oblastima fizike. Upravo problem
odredjivanja trenutne brzineproizvoljnog kretanja je i doveo Njutna
do uvodjenja ovog pojma tako dase on, zajedno sa Lajbnicom, smatra
rodonacelnikom diferencijalnog racuna.Oznaku za izvode oblika
dx/dt, kakve koristimo danas je uveo Lajbnic. Umatematici se ovaj
simbol smatra celinom a ne odnosom dva beskonacnomala prirastaja. U
proceduri nalazenja ove velicine se prvo obrazuju odnosekonacnih
prirastaja x
t, pretpostavljajuci da prirastaji t nisu jednaki nuli.
Nakon toga treba nekom pogodnom tranformacijom tog odnosa
odreditigranicnu vrednost ovog izraza. Drugim recima, ne sme da se
smatra daje prvo napravljen granicni prelaz od x i t na beskonacno
male velicinedx i dt, koje se nazivaju diferencijalima, pa da je
zatim uzet njihov odnos.U stvari, u matematici, pojam izvoda je
stariji od pojma diferencijala,odnosno, diferencijal promenljive se
definise preko izvoda na sledeci nacin:dx = xdt.
Ukoliko nas medjutim interesuje primena matematike u fizici,
treba stalnoimati u vidu to, da se fizicke velicine dobijaju, u
osnovi, kao rezultat merenja,a sva merenja se vrse sa greskom koje
ulaze na odredjeni nacin u dobijenirezultat izvrsenog merenja. Ovo
nam ukazuje na to da je u fizici zapravonemoguce izvrsiti granicni
prelaz t 0, koji se u matematici uvodi koddefinisanja izvoda.
P r i m e r. Merenje brzine kretanja metka kroz vazduh. Zadatak
se svodina merenje rastojanja x i intervala vremena t za koji metak
predje torastojanje. Ukoliko za interval vremena uzmemo preveliku
vrednost, moze dase desi da se za to vreme brzina taneta znatno
umanji zbog otpora vazduha.Odnos x
t, u tom slucaju moze da bude znatno manji od brzine taneta
u
datom momentu vremena. Umanjujuci pak, interval vremena t, moglo
bida se primeti, da, pocev od neke vrednosti, odnos x
t, u granicama tacnosti
merenja, prestaje da se menja. Dalje smanjivanje vremenskog
intervala jebesmisleno, jer pri tome ovaj odnos pocinje da se menja
na neuredjen nacin,odnosno poprima razne vrednosti, od jako velikih
do jako malih.
Razlog lezi u tome sto je tacnost bilo kog merenja to manja sto
je manjavelicina koja se meri. Na primer, nije narocito tesko
izmeriti duzinu od okojedan metar sa tacnoscu do jednog milimetra,
tj. sa relativnom tacnoscu od1/1000. Ali izmeriti sa istom
relativnom tacnoscu rastojanje reda milimetra
-
30 GLAVA 1. KINEMATIKA
je znatno teze. Dakle, sto je manji vremenski interval t, to je
manja tacnostsa kojom je izracunat odnos prirastaja x
t. Iz ovoga sledi da ako interval
vremena smanjimo na beskonacno malu velicinu, vrednost pomenutog
odnosanece teziti ni jednoj odredjenoj vrednosti. Ovo nam ukazuje
na to da zboggresaka koje uvek postoje pri merenju, granicni prelaz
t 0, ne moze dase ostvari u ranije navedenom strogo matematickom
smislu. Drugim recima,izracunavanje trenutne brzine, odnosno izvoda
v = x, na osnovu fizickihmerenja je moguce samo priblizno, i u tom
slucaju se izjednacava sa odnosomkonacnih prirastaja x
t. Optimalna vrednost intervala vremena, pri kojem je
tacnost izracunavanja trenutne brzine maksimalna, odredjena je
konkretnimuslovima. Mali, ali konacni prirastaji x i t, ciji odnos
sa dovoljnomtacnoscu aproksimira izvod x, u fizici se nazivaju
fizicki beskonacno malevelicine. Oznacavaju se na potpuno isti
nacin kao i diferencijali i sa njimase operise kao sa
diferencijalima. Na taj nacin, u fizici pod izvodima sesmatra odnos
konacnih, ali dovoljno malih prirastaja funkcije i argumenta,a ne
granicna vrednost tog odnosa.
Ovaj zakljucak vazi, ne samo za izvode koordinata, vec i za
izvode svihfizickih velicina. Pretpostavimo, na primer, da je
potrebno odrediti gustinumaterije u nekoj tacki prostora. U tom
slucaju se postupa na sledeci nacin.Opkoli se data tacka prostora
zatvorenom povrsi koja na taj nacin obuh-vata zapreminu V koja u
sebi sadrzi tacku u kojoj odredjujemo gustinu.Oznacimo sa m masu
materije koja se nalazi u datoj zapremini. Odnos
sr =m
V(1.67)
se naziva srednjom gustinom materije u zapremini V . Srednja
gustina,uopsteno govoreci, zavisi od oblika zapremine u kojoj se
nalazi data tacka(za istu vrednost zapremine kojoj odgovaraju njeni
razliciti oblici oni moguda obuhvate razlicite mase). Da bi
eliminisali tu zavisnost, uvodi se (prava)gustina materije koja se
dobija putem granicnog prelaza V 0. Kaze seda u tom slucaju srednja
gustina sr tezi odredjenoj granicnoj vrednosti ,koja se naziva
gustinom materije u datoj tacki prostora
= limV0
m
V=dm
dV(1.68)
i predstavlja prvi izvod mase po zapremini. Ova velicina na taj
nacin zavisisamo od tacke na koju se odnosi.
-
1.8. SMISAO IZVODA I INTEGRALA U FIZICI 31
Medjutim, ukoliko se u ovoj formuli, granicni prelaz shvata u
strogomatematickom smislu, on za realna tela ne moze da bude
uradjen zbog atom-ske strukture materije. Pri smanjivanju zapremine
u njoj ce se pre ili kasnijenaci samo mali broj molekula, a ponekad
i ni jedan. Osim toga, molekulivrse termalno kretanje, odnosno
jedni molekuli odlaze iz uocene zapreminea neki dolaze u nju. Iz
tih razloga se broj molekula u premalenoj zaprem-ini brzo i
neuredjeno menja u vremenu. Ovo znaci da ce se pri
smanjenjuzapremine, odnos m/V takodje brzo i neuredjeno menjati od
nule, kadaunutar izabrane zapremine nema molekula, do vrlo velikih
vrednosti kada se unjoj nadju molekuli. Drugim recima, pri
beskonacnom smanjenju zapremine,odnos m/V ne tezi odredjenoj
granicnoj vrednosti, pa prilikom odredji-vanja gustine materije,
velicine m i V ne mogu da budu proizvoljno male.Zapremina mora da
ima makroskopske razmere, tj. da sadrzi dovoljno velikibroj
molekula. Sa druge strane, ova zapremina mora da bude i dovoljno
malada bi se materija sadrzana u njoj mogla smatrati priblizno
makroskopski ho-mogenom. Ukoliko su oba zahteva ispunjena, ovako
dobijeni odnos m/Vse u fizici naziva izvodom mase po zapremini.
Velicine m i V , koje zado-voljavaju navedene uslove, se u fizici
nazivaju fizicki beskonacno male a sanjima se postupa kao sa
matematickim diferencijalima. U matematickomsmislu, tome odgovara
zamena realnog tela idealizovanim modelom u komeje masa neprekidno
rasposredjena po datom delu prostora u kome se ononalazi.
Situacija sa integralima je analogna. U matematici je integral
odredjengranicnom vrednoscu b
af(x)dx = lim
xi0
f(xi)xi. (1.69)
Interval (a, b) se pri tom deli na N podintervala x1,x2, ...,xN
. Duzinasvakog od njih se mnozi vrednoscu funkcije u proizvoljnoj
tacki unutar datogpodintervala. Nakon toga se formira suma
f(xi)xi i uzima njena granicna
vrednost kada N , sto odgovara cinjenici da tada duzina svakog
pod-intervala tezi nuli. U fizici, zbog gresaka pri merenju, ili
pak iz principi-jelnih razloga (na primer zbog atomske strukture
materije), deljenje inter-vala na podintervale duzine manje od neke
odredjene (cija velicina zavisi odkonkretnog slucaja) gubi smisao.
Iz tog razloga, granicni prelaz xi 0 nemoze da se izvrsi do kraja
odnosno mora da se prekine na odredjenoj duzinipodintervala. Ovo
znaci, da u fizici integral nije granicna vrednost sume, vecsuma
konacno velikog broja dovoljno malih sabiraka oblika f(xi)xi.
-
32 GLAVA 1. KINEMATIKA
-
Glava 2
Dinamika
U prethodnoj glavi kretanje je opisivano preko velicina kao sto
su pomeraj,brzina, ubrzanje, odnosno trazen je oblik zavisnosti
ovih velicina od vremena.Pitanja koja su u vezi sa uzajamnim
delovanjem tela koja dovode do promenestanja kretanja nisu
razmatrana. U ovoj glavi ce biti upravo razmatrano onosto izaziva
izmene u stanju kretanja cestice a oblast fizike koja se time
bavise zove dinamika. Dva glavna pojma - fizicke velicine koje u
vezi s tim trebarazmotriti su sile koje deluju na objekat i njegova
masa. Osnovu takozvaneklasicne1 ili njutnovske dinamike cine tri
zakona koja je pre vise od tri stotinegodina formulisao Isak Njutn.
Njutnovi zakoni nastali su uopstavanjem ve-likog broja
eksperimentalnih rezultata. Mehanika bazirana na njima je
nakonformulisanja postigla tako velike uspehe da su mnogi fizicari
XIX veka biliubedjeni u njenu svemogucnost. Smatralo se da je,
objasniti neku fizicku po-javu, znacilo svesti je na mehanicke
procese koji se pokoravaju Njutnovim za-konima. Ipak, sa razvojem
nauke su otkrivene nove cinjenice koje nisu mogleda se uklope u
okvire postojece teorije. Te cinjenice su uspesno objasnjenenovim
teorijama - specijalnom teorijom relativnosti i kvantnom
mehanikom.U specijalnoj teoriji relativnosti (STR), koju je
formulisao Albert Ajnstajn1905. godine, podvrgnute su radikalnom
razmatranju njutnovske predstave oprostoru i vremenu. To je dovelo
do formulisanja mehanike velikih brzinaili, kako se drugacije kaze,
relativisticke mehanike. Ova nova mehanika, nijemedjutim ponistila
njutnovu mehaniku. Jednacine relativisticke mehanike ugranicnom
slucaju, za brzine male u poredjenju sa brzinom svetlosti, prelazeu
jednacine klasicne - nerelativisticke mehanike. Na taj nacin je
njutnova
1Pod terminom klasicna dinamika misli se na dinamiku
makroskopskih tela koja sekrecu brzinama koje nisu jako velike,
odnosno koje su puno manje od brzine svetlosti.
33
-
34 GLAVA 2. DINAMIKA
mehanika ustvari sadrzana u ajnstajnovoj i sluzi, kao i ranije,
za opisivanjekretanje tela cija je brzina znatno manja od brzine
svetlosti. Analogna jesituacija i sa odnosom klasicne i kvantne
mehanike koja je nastala dvadesetihgodina proslog veka kao rezultat
razvoja fizike atoma. Jednacine kvantnemehanike takodje u granicnom
slucaju (za tela cije mase znatno prevazilazemase atoma) daju
jednacine klasicne - nekvantne mehanike. Iz toga sledi daje i u
ovom slucaju njutnova mehanika na odredjen nacin sadrzana u
novojkvantnoj mehanici.2
2.1 Sile
Verovatno svako ima, u skladu sa iskustvima iz svakodnevnog
zivota, osecajza pojam sile. Kada odgurnemo prazan tanjir od sebe,
mi ustvari delujemosilom na njega. Slicno, kada bacimo ili udarimo
loptu mi delujemo ust-vari nekom silom na nju. U ovim primerima
pojam sila je u vezi sa nekommisicnom aktivnoscu i sa odredjenim
promenama u stanju kretanja nekogdrugog tela na koje se deluje.
Sile, medjutim ne izazivaju uvek promene ustanju kretanja. Na
primer, dok sedite i citate ovu knjigu, na vas deluje grav-itaciona
sila a vase telo svejedno ostaje i dalje nepokretno. Takodje,
ukolikopokusamo da odgurnemo neku veliku stenu ili zid kuce
verovatno necemouspeti u tome iako sve vreme delujemo silom na dati
objekat.
Mozemo takodje da se zapitamo da li je nacin kretanja Meseca oko
Zemljeizazvan delovanjem neke sile. Njutn je na ovo i slicna
pitanja odgovorio takosto je oznacio silu kao uzrok promene brzine
objekta. Na taj nacin, da bise odrzalo uniformno kretanje nekog
objekta, nema potrebe za postojanjemsile.3 Kako promene u brzini
tela nastaju delovanjem sila, njih treba shvatatikao fizicke
velicine (fizicku velicinu) koje telu saopstavaju odredjeno
ubrzanje.
Sta se desava kada vise sila deluje na telo? U tom slucaju, telu
sesaopstava ubrzanje koje je rezultat ukupnog delovanja svih sila.
Kada saber-emo vektorski sve sile koje deluju na telo onda se
dobija takozvana rezultujuca
2Ova analiza pokazuje da dalji razvoj naucne misli, nakon
formulisanja njutnovemehanike, nije ponistio klasicnu mehaniku vec
je samo ukazao na njenu ogranicenost upogledu primene. Klasicna
mehanika, bazirana na Njutnovim zakonima, jeste prema tomemehanika
tela velikih (u poredjenju sa masom atoma) masa, koja se kreci
relativno malim(u poredjenju sa brzinom svetlosti) brzinama.
3Brzina kojom se krece Mesec nije konstantna jer se on krece po
zakrivljenoj putanjuoko Zemlje, sto znaci da se njegova brzina
svakog momenta menja, makar po pravcu. Ovepromene u brzini upravo
izaziva Zemlja delujuci gravitacionom silom na njega.
-
2.1. SILE 35
sila.4
Prostom analizom delovanja tela u prirodi se primecuje da ima
jako punosila pa se moze postaviti pitanje da li se mogu nekako
klasifikovati kao i da limozda medju njima ima odredjen broj
osnovnih u smislu da sve ostale moguda se svedu na njih.
Kada rukom povucemo (dovoljno jako) oprugu prikacenu drugim
krajemo npr. zid razvuci cemo je. Ako dovoljno jako povucemo
stacionarna kolicada savladamo silu trenja izmedju njih i podloge,
uspecemo da ih pokrenemo.Ako sutnemo nogom fudbalsku loptu, prvo
cemo je usled udarca deformisati aonda i naterati da se krece. Svi
ovi primeri su primeri klase sila pod nazivomkontaktne sile,
obzirom da se desavaju prilikom kontakta dva objekta.
Slika 2.1: Neki primeri kontaktnih sila. U svim slucajevima sila
deluje natelo, uokvireno isprekidanom linijom, putem odredjenih
posrednika.
Druga klasa sila su sile koje deluju na objekte preko
odgovarajuceg polja,pri cemu nema direktnog kontakta tela koja
interaguju. Gravitaciona sila jeprimer takve sile.5
Drugi uobicajen primer za silu cije se delovanje prenosi putem
polja jeelektricna sila kojom jedno naelektrisano telo deluje na
drugo. To mogu bitina primer elektron i proton u atomu vodonika.
Treci primer je delovanjemagnetne sipke na komad gvozdja. Sile koje
drze na okupu cestice koje cineatomsko jezgro su takodje sile koje
deluju preko odgovarajuceg polja ali, zarazliku od ostalih
pobrojanih, imaju veoma kratak domet. One su interakcijakoja je
dominantna kada se ove cestice nalaze na rastojanju reda 1015
m.
Kroz istoriju, naucnici su,6 bili zbunjeni idejom da tela mogu
da delujujedna na druga a da nisu u kontaktu. Da bi se prevazisao
taj, ispostavilo
4Na osnovu ovoga je jasno da moze da se desi da se brizna tela
ne menja cak i kadna njega deluje vise sila, ukoliko je njihova
rezultanta jednaka nuli, tj. ukoliko se njihovodelovanje medjusobno
ponistava.
5Gravitaciona sila nas drzi na Zemlji, odgovorna je za
egzistenciju i kretanje tela unasem planetnom sistemu a moze se
reci i da dominira u celom kosmosu.
6Ukljucujuci Njutna.
-
36 GLAVA 2. DINAMIKA
Slika 2.2: Neki primeri sila koje deluju posredstvom polja.
Odgovarrajucesile putem svojih polja deluju na isprekidano
uokvirena tela.
se, konceptualni problem, Majkl Faradej (1791-1867.) je uveo
pojam polja.U skladu sa tim pristupom, kada se objekat 1 nadje u
prostoru u nekojtacki P blizu objekta 2, kaze se da objekat 1
interaguje sa objektom 2 (npr.gravitaciono) preko polja koje
postoji u tacki P kreirano od strane objekta2. Analogno tome, u
tacki u kojoj se nalazi objekat 2 takodje postoji poljekoje kreira
objekat 1. U realnosti, oba objekta kreiraju odgovarajuca poljau
prostoru oko sebe.7
Treba imati u vidu da razlika izmedju kontaktnih sila i sila
cije se delo-vanje prenosi putem polja nije tako ostra kao sto bi
moglo da se pomisli naosnovu napred izlozenog.
U okviru klasicne fizike se srecemo samo sa gravitacionim i
elektromag-netnim silama, kao i sa silama trenja i elasticnim
silama. Poslednje dve,medjutim imaju veze sa medjumolekularnim
interakcijama koje imaju elek-tromagnetnu prirodu pa se prema tome
svode na ovaj tip interagovanja.Gravitacione i elektromagnetne su
pak fundamentalne interakcije jer ne moguda se svedu na neke
druge.
Osim ovih dveju fundamentalnih interakcija postoje jos dve i to:
jakanuklearna sila koja deluje izmedju subatomskih cestica i slaba
nuklearna silakoja se ispoljava prilikom odredjenih radioaktivnih
raspada.
7Ukoliko se radi o masivnim i naelektrisanim telima onda ona u
prostoru oko sebestvaraju gravitaciono, elektricno, a ako se krecu,
i magnetno polje.
-
2.2. PRVI NJUTNOV ZAKON. INERCIJALNI SISTEMI REFERENCE37
Jake i slabe sile su takozvane kratkodometne (ovo znaci da je
lakoosloboditi se njihovog delovanja-treba se samo udaljiti od
izvora te sile),ispoljavaju se na rastojanjima manjim od
1012cm.
Elektromagnetne i gravitacione sile su pak dalekodometne i sa
rastojan-jem opadaju po zakonu obrnutih kvadrata.
Ako zelimo da utvrdimo da li u nekom delu prostora deluje
elektromag-netna sila potrebno je u taj deo prostora uneti neko
naelektrisanje na osnovucijeg ponasanja mozemo da zakljucimo
postoje li ili ne ove sile. Takodje jedobro poznato da se one mogu
eliminisati takozvanim Faradejevim kave-zom.
Sa gravitacionim silama situacija je malo drugacija - naime one
se, u prin-cipu, ne mogu ponistiti. Medjutim zahvaljujuci cinjenici
da one svim telimasaopstavaju jednako ubrzanje, eliminacija
gravitacionog polja se moze izvrsitilokalno, prelaskom u sistem
reference koji slobodno pada u gravitacionompolju. Na pojave koje
se desavaju u takvom sistemu reference, homogenogravitaciono polje
ne utice.
2.2 Prvi Njutnov zakon. Inercijalni sistemi
reference
Prvi Njutnov zakon se moze formulisati na sledeci nacin: Svako
telo nalazise u stanju mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog
kretanja, sve dok gadejstvo drugih tela ne primora da promeni to
stanje.
Telo koje se nalazi u takvom stanju se naziva slobodnim telom a
kretanjeslobodnim kretanjem ili kretanjem po inerciji.
Da li u prirodi postoje takva (slobodna) tela? Odgovor glasi ne.
Slobodnatela su fizicka apstrakcija. Mozemo medjutim da se zapitamo
koji bi to biokriterijum da utvrdimo da li je telo slobodno ili ne?
Odgovor koji se nameceje da je rec o telima koja nisu pod dejstvom
sila, tj. koja ne interaguju sadrugim telima.
Iako to do sada nije posebno naglasavano, izbor referentnog
sistema uokviru kinematike nije bitan. Drugim recima svi sistemi
reference su kine-maticki ekvivalentni.
U dinamici to medjutim nije tako. Naime, prvi Njutnov zakon ne
vazi usvim sistemima reference.8 Sistemi reference u kojima vazi I
Njutnov zakon se
8Da bi se u ovo uverili dovoljno je da zamislimo dva sistema
reference koji se, jedan u
-
38 GLAVA 2. DINAMIKA
nazivaju inercijalnim.9 Inercijalnih sistema ima beskonacno
mnogo. Bilo kojisistem koji se krece pravolinijski i ravnomerno u
odnosu na neki inercijalnisistem je takodje inercijalan.
2.3 Drugi Njutnov zakon u diferencijalnoj formi
Prvi Njutnov zakon govori o tome sta se desava sa telom ukoliko
na njegane deluju sile (ili je njihova rezultanta jednaka nuli).10
Drugi Njutnov zakondaje odgovor na pitanje sta se desava sa telom
ukoliko na njega deluje nenultarezultujuca sila. Imajuci u vidu da
se opisivanje kretanje u sustini svodina odredjivanje zavisnosti
koordinata, kojima opisujemo polozaj cestice, odvremena, mozemo da
se zapitamo kako izgleda jednacina cijim resavanjem seto moze
dobiti?
Ako materijalna tacka nije izolovana, usled interakcije sa
drugim telimanjen impuls ~p = m~v se menja (u izolovanom sistemu
vazi zakon odrzanja im-pulsa). Kako opisati promenu impulsa u
vremenu? Prirodno je za merute promene uzeti njegov izvod po
vremenu ~p = d~p
dt. Ono sto izaziva tu
promenu su interakcije posmatranog tela sa okruzenjem. Ta
interakcija za-visi od polozaja posmatranog tela u odnosu na druga
a ponekad i od brzinei moze da se opise nekom funkcijom koordinata
i brzina (ustvari relativnebrzine datog tela i njegovog relativnog
polozaja u odnosu na druga tela sakojima interaguje) ~F (~r,~v)
koju nazivamo silom koja daje meru te interakcije,odnosno
izrazom
d~p
dt= ~F . (2.1)
Ovaj izraz ustvari kazuje da je brzina promene impulsa jednaka
sili koja delujena telo i to predstavlja II Njutnov zakon.11 Ova
jednacina koja predstavljamatematicki izraz II Njutnovog zakona se
naziva jednacinom kretanja telaili osnovnom jednacinom dinamike.
Ukoliko u nju zamenimo izraz za
odnosu na drugi, krecu sa nekim ubrzanjem. Ukoliko neko telo u
odnosu na jedan od njihmiruje, u odnosu na drugi ce se ocigledno
kretati sa nekim ubrzanjem.
9Sam zakon se naziva zakonom inercije. Sistemi reference u kojim
I Njutnov zakon nevazi se nazivaju neinercijalnim.
10Kao sto je naglaseno u prethodnom paragrafu ono ostaje u
stanju mirovanja iliravnomernog pravolinijskog kretanja.
11Drugim recima izvod impulsa materijalne tacke po vremenu je
jednak sili koja na njudeluje.
-
2.3. DRUGI NJUTNOV ZAKON U DIFERENCIJALNOJ FORMI 39
impuls, ~p = m~v, i izvrsimo naznaceno diferenciranje, dobija
se
dm
dt~v +m
d~v
dt= ~F (2.2)
Za tela kod kojih masa ne zavisi od vremena (prvi sabirak jednak
nuli),12
ovaj izraz moze da se pise i u sledeca dva vida:
md~v
dt= ~F , (2.3)
odnosnom~a = ~F , (2.4)
iz kojih se vidi da je u tom slucaju proizvod mase tela i
njegovog ubrzanjajednak rezultujucoj sili.
Osnovni zadatak mehanike se sastoji, kao sto je vec vise puta
napomenuto,u odredjivanju konkretnog oblika funkcije ~F (~r,~v) i u
resavanju na osnovu togadobijene diferencijalne jednacine
d~p
dt= ~F (~r,~v) (2.5)
cije resenje je formalnog oblika
~p(t) =
~F (~r,~v)dt. (2.6)
P r i m e r. Oscilovanje harmonijskog klatna (za male
elongacije) bezuracunavanja efekta trenja se moze opisati sledecim
izrazom
x(t) = A cos2pit
T= A cost. (2.7)
Ako se ovaj izraz diferencira jedan puta po vremenu, dobija se
brzina klatnaa nalazenjem jos jednog izvoda, ubrzanje
x = 2piAT
sin2pit
T= A sint,
12Dve su mogucnosti da ovo bude slucaj i obe ce naknadno biti
razmotrene - jedna jeda se masa tela menja sa vremenom zbog toga
sto se menja kolicina supstancije koja cinitelo (na primer raketa
koja trosi gorivo) a druga da se masa tela menja u toku
promenenjene brzine, sto se desava kada se telo krece velikom
brzinom.
-
40 GLAVA 2. DINAMIKA
x = (2piA
T
)2cos
2pit
T= 2A cost = 2x.
Mnozenjem druge jednacine masom tela m i uvodjenjem oznake k =
m2
ona postaje
mx = kx. (2.8)Uporedjivanjem ovog izraza sa II Njutnovim zakonom
se vidi da je sila kojadeluje na harmonijsko klatno oblika ~F =
kx~ex i da ona zavisi samo odelongacije,13 odnosno istezanja opruge
harmonijskog klatna.14
2.4 Galilejev princip relativnosti
Iz jednacine (2.4) kojom se izrazava drugi Njutnov zakon se vidi
da ona nemaisti vid u svakom sistemu reference iz prostog razloga
sto ubrzanje nije istou sistemima reference koji se krecu jedni u
odnosu na druge ubrzano. Sto setice izraza za silu, on bi trebao da
ima isti oblik jer zavisi samo od relativnogpolozaja i relativnih
brzina a to su velicine koje ne zavise od izbora sistemareference.
U svakom slucaju iz ovoga se vidi da drugi Njutnov zakon zavisiod
izbora sistema reference i da sasvim sigurno nije isti u sistemima
koji sekrecu ubrzano.
Neka je sa S oznacen inercijalni sistem reference a sa S neki
drugi in-ercijalni sistem koji se u odnosu na prvi krece
translatorno konstantnombrzinom ~V . Neka je poznato kretanje
materijalne tacke u odnosu na prvisistem. Postavlja se pitanje kako
odrediti njeno kretanje u odnosu na drugisistem kao i da li je ono
u nekoj vezi sa kretanjem u odnosu na prvi sis-tem reference.
Zadatak se ustvari sastoji u nalazenju formula koje daju vezu
13Pazljivi citaoci ce u ovome prepoznati Hukov zakon koji daje
vezu izmedju velicinedeformacije i intenziteta primenjene sile koja
je izaziva.
14Taj rezultat je medjutim priblizan i vazi samo ukoliko
istezanje opruge nije veliko(elasticna deformacija). Velicina k
koja se pojavljuje u ovim izrazima je poznata podnazivom
koeficijent elasticnosti ili krutost opruge. Prostim ogledom se
medjutim mozeutvrdi da se proces ovakvog oscilovanja, u realnim
uslovima, sa vremenom gasi usledtrenja-otpora vazduha, odnosno
sredine u kojoj se vrsi oscilovanje. To naravno znaci
dadiferencijalna jednacina kojom opisujemo ovo kretanje nije
kompletna i da joj se zapravomora dodati jos i clan koji opisuje
otpor sredine, odnosno trenje. Trazena jednacina u tomsluv caju ima
oblik
mx = kx bx.
-
2.4. GALILEJEV PRINCIP RELATIVNOSTI 41
izmedju koordinata (x, y, z) koje opisuju kretanje tacke u
sistemu S sakoordinatama (x, y, z) u sistemu S u datom momentu
vremena.
Slika 2.3:
Radi jednostavnosti cemo pretpostaviti da su odgovarajuce
koordinatneose medjusobno paralelne i da su oba koordinatna pocetka
bila na istommestu, tj. da su se sistemi potpuno poklapali u
trenutku t = 0s. Osim toga,moze se smatrati da je brzina ~V
paralelna x osi15.
Neka se u momentu vremena t cestica nasla u polozaju oznacenom
saM . Tada je ~OM = ~OO + ~OM . Za navedeno vreme, koordinatni
pocetakdrugog sistema je iz polozaja O presao u polozaj O, pri cemu
je ~OO = ~V t,sto dovodi do relacije16
~r = ~r + ~V t, t = t, (2.9)
gde su ~r i ~r vektori polozaja materijalne tacke u jednom,
odnosno drugom
15Ove pretpostavke ne umanjuju opstost zakljucaka koji ce
slediti, zato sto prelaz naopste formule moze da se izvrsi
dopunskom translacijom koordinatnog pocetka (u nekudrugu tacku) i
rotacijom koordinatnih osa.
16Vreme u njutnovoj mehanici je apsolutno.
-
42 GLAVA 2. DINAMIKA
sistemu reference. Projekcije ovog izraza na koordinatne ose
su:
x = x + V t, y = y, z = z, t = t. (2.10)
Odgovarajuca inverzna transformacija je
~r = ~r ~V t, t = t, (2.11)
odnosno
x = x V t, y = y, z = z, t = t. (2.12)Ove formule predstavljaju
resenje postavljenog zadatka. One se zovu Galile-jeve
transformacije. Formulama za transformaciju prostornih koordinata
jepridruzena i formula t = t da bi se eksplicitno istakla cinjenica
da je u nerel-ativistickoj kinematici vreme apsolutno, tj. ne
transformise se pri prelaskuiz jednog u drugi sistem reference.
Diferenciranje izraza za Galilejeve transformacije jednom po
vremenu17
dajed~r
dt=d~r
dt+ ~V , (2.13)
odnosno
~v = ~v + ~V , (2.14)
gde je sa ~v, oznacena brzina materijalne tacke u sistemu S, a
sa ~v u sistemuS . Dobijena formula predstavlja takozvani
nerelativisticki zakon sabiranjabrzina.
Diferenciranjem ovog izraza jos jednom po vremenu, imajuci u
vidu da jebrzina kretanja drugog sistema reference konstantna,
dobija se
d~v
dt=d~v
dt, (2.15)
odnosno
~a = ~a. (2.16)
Ovde je ~a, ubrzanje materijalne tacke u sistemu S, a ~a u
sistemu S i ovedve velicine su jednake u oba sistema reference.
Drgugim recima ubrzanje jeinvarijantno u odnosu na Galilejeve
transformacije. Kako je izraz za silu isti
17Kako je t = t onda je svejedno da li se izvodi traze po
vremenu merenom iz S ili S.
-
2.5. KAUZALNOST KLASICNE MEHANIKE 43
u oba sistema reference moze da se zakljuci da je drugi Njutnov
zakon imaisti oblik u oba sistema reference, tj.
m~a = ~F (2.17)
uz uslove da je ~a = ~a i ~F = ~F . Jednacine koje ostaju
neizmenjene priprelasku od jednog sistema reference na drugi se
nazivaju invarijantnim. Nataj nacin, jednacine Njutnove mehanike su
invarijantne u odnosu na Galile-jeve transformacije. Iz ovog
principa zapravo sledi potpuna ravnopravnostsvih inercijalnih
sistema reference.
Da li iz ovoga moze da se zakljuci da jedno isto kretanje
izgleda isto u svimsistemima reference? Odgovor je ne! Kretanje
tela koja padne sa stola koji senalazi u vagonu koji se krece
jednoliko je pravolinijsko ako se gleda u odnosuna vagon. To isto
kretanje, ukoliko se gleda iz sistema reference koji je vezanza
prugu je parabolicno iako su Njutnovi zakoni isti u oba sistema
reference!Zasto je to tako? Kretanje izgleda razlicito jer je drugi
Njutnov zakon (os-novni zakon dinamike) izrazen takozvanom
diferencijalnom jednacinom kojasama po sebi nije dovoljna da se
kretanje u potpunosti odredi. Da bi kre-tanje moglo da se odredi na
jedinstven nacin, ovim jednacinama moraju dase dodaju i takozvani
pocetni uslovi, tj. da se odredi pocetni polozaj telai pocetna
brzina. Ovi podaci sluze da se, u toku procesa resavanja
difer-encijalnih jednacina, pomocu njih odrede konstante
integracije koje se tomprilikom pojavljuju. U navedenom primeru
diferencijalna jednacina je istau oba sistema reference ali su
upravo pocetni uslovi razliciti. U sistemu ref-erence vezanom za
vagon, telo pada sa stola bez pocetne brzine, tj. ona jeu tom
slucaju jednaka nuli. U drugom sistemu reference, telo ima
pocetnubrzinu u horizontalnom pravcu i ona je jednaka brzini
vagona.
2.5 Kauzalnost klasicne mehanike
Vektorska jednacina kretanja, kojom se izrazava II Njutnov zakon
za mater-ijalnu tacku cija masa se ne menja sa vremenom (2.4), se
moze zapisati ukoordinatnoj formi kao
md2x
dt2= Fx, m
d2y
dt2= Fy, m
d2z
dt2= Fz, (2.18)
sto ustvari predstavlja projekciju polazne jednacine m~r = ~F na
koordinatneose. Na taj nacin je data jednacina (2.4) ekvivalentna
trima skalarnim difer-
-
44 GLAVA 2. DINAMIKA
encijalnimi jednacinama (2.18). Svaka od njih je drugog reda.18
Da bi se lakseproanalazirala situacija i izvukli neki dovoljno
opsti zakljuci pretpostavimoda na cesticu, koja moze da se krece
samo po pravoj liniji deluje duz togpravca sila f konstantna i po
intenzitetu i po pravcu. Neka se cestica upocetnom vremenskom
trenutku nalazila u taci xi i neka je imala pocetnubrzinu vi.
Umesto tri skalarne diferencijalne jednacine (2.18) za
opisivanjekretanja cestice nam je sada dovoljna samo prva (ukoliko
x osu orijentisemou smeru kretanja cestice)
md2x
dt2= f. (2.19)
Nakon prve integracije po vremenu se dobija
v =dx
dt=
f
mt+ C1 (2.20)
a nakon druge
x =f
2mt2 + C1t+ C2, (2.21)
gde su C1 i C2 konstante integracije (lako je proveriti,
neposredno zamenom,da je poslednja relacija najopstije resenje
polazne diferencijalne jednacine-opste resenje). Na ovom mestu
valja uociti da je broj konstanti koje sepojavljuju u opstem
resenju diferencijalne jednacine jednak njenom redu.Medjutim, da bi
reseje diferencijalne jednacine opisivalo konkretno kretanjekod
koga je x(0) = xi i v(0) = vi, konstante integracije moraju da se
odredeupravo iz tih uslova, sto dovodi do dveju algebarskih
jednacina (u ovomslucaju trivijalnih) po nepoznatim konstantama
C2 = vi, C1 = xi. (2.22)
Imajuci u vidu ovaj rezultat, izrazi za koordinatu i brzinu
cestice u vremen-skom trenutku t (2.21) i (2.20) postaju
x =f
2mt2 + vit+ xi, (2.23)
odnosno
v =f
mt+ vi. (2.24)
18Red diferencijalne jednacine je odredjen redom najviseg izvoda
koji se pojavljuje unjoj
-
2.5. KAUZALNOST KLASICNE MEHANIKE 45
Jednacina (2.21) je takozvano partikularno resenje polazne
diferencijalnejednacine (ovo znaci da je ta jednacina, za date
pocetne uslove, jednoznacnoresena). Na ovaj nacin je resavanjem
polazne diferencijalne jednacine, zadate pocetne uslove, kretanje
cestice potpuno odredjeno. U ovom iskazu seogleda kauzalnost19
klasicne mehanike.
Uopstenje na tri dimenzije.
U ovom slucaju se dobijaju, kao sto smo videli, iz jedne
vektorske diferenci-jalne jednacine drugog reda (2.4) tri skalarne
diferencijalne jednacine (2.18)takodje drugog reda za cije
jednoznacno resavanje (dobijanje partikularnogresenja) je potrebno
sest poetnih uslova (tri pocetne koordinate (xi, yi, zi) itri
komponente pocetne brzine (vxi, vyi, vzi)).
Uopstenje na sistem od N tela
U ovom slucaju imamo N polaznih vektorskih diferencijalnih
jednacina dru-gog reda sto dovodi, nakon projektovanje na
koordinatne ose do 3N skalarnihdiferencijalnih jednacina drugog
reda. Njihovim resavanjem se dobija opsteresenje koje sadrzi 6N
integracionih konstanti koje mogu da se odrede jed-noznacno iz isto
toliko pocetnih uslova kojima je zadat pocetni polozaj telai
njegova pocetna brzins.
2.5.1 Resavanje osnovne jednacine Njutnove dinamike
U cilju prostijeg zapisivanja ogranicimo se u ovom delu na
kretanje materi-jalne tacke u jednoj dimenziji, i recimo da je duz
linije kretanja postavljenax osa. Videli smo do sada da se
odredjivanje konacnih jednacina kretanja,odnosno zavisnosti
koordinata koje opisuju polozaj tela svodi na
resavanjediferencijalne jednacine tipa mx = F . Kako izraz za silu
moze da zavisi odpolozaja tela, njegove (relativne) brzine u odnosu
na telo sa kojim interagujei od vremena, potrebno je resiti
jednacinu opsteg oblika
mx = F (x, v, t). (2.25)
Uopsteno govoreci ova jednacina ne moze uvek biti resena
egzaktno po x(t),20
ali je moguce dobiti njeno resenje u nekim posebnim slucajevima.
Zapravo,
19Uzrocno-posledicna povezanost ...20Precizan iskaz je da ona ne
moze uvek da se resi analiticki ali je uvek moguce resiti je
numericki sa zeljenom tacnoscu.
-
46 GLAVA 2. DINAMIKA
skoro sva kretanja koja inace razmatramo u mehanici se mogu
svesti na trispecijalna slucaja a to su slucajevi u kojima je sila
F funkcija samo vremenat, prostorne koordinate x ili pak brzine
tela v.
Sila je funkcija samo vremena: F = F (t).Kako je a = d2x/dt2,
potrebno je dva puta integraliti a = F/m da bi se
dobilo x(t). Za pocetak se F = ma pise kao
mdv
dt= F (t), (2.26)
pa se onda razdvajaju promenljive i vrsi integracija obeju
strana jednacine
2.6 Zakon odrzanja impulsa i III Njutnov za-
kon
Razmotrimo zatvoren sistem, koji se sastoji od dve interagujuce
materijalnetacke. Kao sto je dobro poznato, u tom slucaju vazi
zakon odrzanja impulsa,oblika
~p1 + ~p2 = const, (2.27)
koji govori o tome da se ukupan impuls takvog sistema ne menja
sa vre-
Slika 2.4:
menom. Diferenciranjem ove relacije jedan puta po vremenu,
dobija se
~p1 + ~p2 = 0, (2.28)
sto na osnovu II Njutnovog zakona (2.1) daje
~F21 + ~F12 = 0, (2.29)
-
2.7. RAD 47
odnosno~F12 = ~F21. (2.30)
U ovim izrazima su ~F12 i ~F21 sile kojima materijalne tacke
deluju jednana drugu.21 Formula (2.29) i (2.30) predstavljaju
matematicki iskaz trecegNjutnovog zakona22: Sile interakcije dveju
materijalnih tacaka su jednake pointenzitetu, deluju duz pravca
koji ih spaja i suprotnog su smera.
2.7 Rad
U ovom poglavlju ce biti prvo uveden koncept rada izvrsenog od
strane nekesile na nekom telu.
Skoro sve fizicke velicine koje su do sada pomenute (brzina,
ubrznje,sila, ...) imaju isti smisao u fizici kao i u svakodnevnom
zivotu. Ovde cebiti obradjen rad koji u fizici ima smisao koji je
ponekad razlicit od onog usvakodnevnom zivotu.
2.7.1 Rad konstantne sile
Slika 2.5:
21Ovo mogu biti na primer sile koje se javljaju usled
gravitacione interakcije ove dvecestice.
22Treci Njutnov zakon ne vazi uvek. U potpunosti vazi samo u
slucajevima kontaktnihinterakcija, tj. kada se tela koja interaguju
nalaze u neposrednom dodiru, kao i u slucajuda su tela koja
interaguju nalaze na nekom rastojanju ali u stanju mirovanja.
-
48 GLAVA 2. DINAMIKA
Da bi razumeli na sta se misli pod pojmom rad u fizici,
proanalizirajmosituaciju u kojoj se silama jednakog intenziteta pod
razlicitim uglovima delujena telo u pokusaju da se ono pomeri.
Ukoliko nas zanima koliko je silaefikasna u pomeranju tela jasno je
da moramo da, osim intenziteta, uzmemou obzir i pravac delovanja
sile. Lako se takodje dolazi do zakljuciti da je zapomeranje tela
na duzem putu potrebno izvrsiti veci rad. Sledeca definicijaove
fizicke velicine je u skladu sa navedenom analizom: Rad A izvrsen
naobjektu, od strane kostantne sile je jednak proizvodu komponente
sile u pravcukretanja tela i rastojanja na koje je sila pomerila
telo
A = Fd cos . (2.31)
Razlika izmedju navedeno i intuitivnog shvatanja rada se lako
uocava uko-liko proanaliziramo izvrseni rad prilikom drzanja u
rukama nekog teskogpredmeta odredjeno vreme. Na kraju datog
vremenskog intervala prirodnoce se javiti osecaj umora u misicima
iako predmet nije pomeren.U skladu sagore navednom definicijom rada
nikakav rad medjutim nije izvrsen. Mi smodelovali nekom silom na
dati predmet ali kako on nije pomeren sa mesta nakome se nalazio na
pocetku posmatranja, rad nije izvrsen.23
Na osnovu jednacine (2.31), rad koji se izvrsi nad telom je
jednak nulikada sila deluje pod pravim uglom u odnosu na pravac duz
koga telo moze dase pomera.24 Takodje se moze zakljuciti da znak
rada zavisi od ugla izmedjupomeraja25 ~d i sile ~F . Tako je rad
sile koja podize telo u vis, u polju zemljineteze, pozitivan jer su
smer sile i smer pomeraja isti. Ukoliko nas u ovomistom primeru
kretanja zanima rad gravitacione sile, lako se zakljucuje da jeon
negativna jer je sila suprotno usmerena od pomeraja. Na kraju
zakljcimoda rad konstante sile moze da se, na osnovu definicije
skalarnog proizvoda,zapise kao
A = ~F ~d = ~F ~r, (2.32)
gde je sa ~r oznacen vektor pomeraja ~d = ~r2 ~r1.
-
2.7. RAD 49
Slika 2.6:
2.7.2 Rad sile koja nije konstantna
Posmatrajmo cesticu koja se pomera duz x ose pod dejtvom sile
koja nijekonstantna. Neka se cestica pri tome pomera u smeru
porasta koordinateod x = xi do x = xf . U ovom slucaju rad ne moze
da se pize da se racunana osnovu formule A = Fd cos jer se
postavlja pitanje koju vrednost uzetiza silu obzirom da ona nije
kontantna vec se menja. Medjutim, moze da sepostupi slicno kao u
situaciji kada je trazen izraz za predjeni put kod kretanjakoje se
ne odvija konstantnom brzinom. Naime, posmatra se mali pomerajx
unutar koga se sila moze smatrati konstantnom pa je rad izvrsen na
tompomeranju
A = Fx, (2.33)
sto je jednako povrsini osencenog dela na slici 2.6(a). Ako se
pretpostavida je kriva zavisnosti sile od predjenog puta podeljena
na veliki broj takvihintervala, ukupan rad ce priblizno biti jednak
zbiru sabiraka oblika (2.33)
A xfxi
Fx. (2.34)
23Ustvari, rad se ipak vrsi dok se predmet drzi u rukama obzirom
da se misici naiz-menicno kontrahuju i opustaju i na taj nacin
deluju na nase ruke. Na taj nacin je radizvrsen nad nasim telom a
ne nad predmetom.
24Tada je ugao = pi/2.25Prisetimo se ovde da je vektor pomeraja
~r koji je ovde oznacen sa ~d, jednak ~r2~r1.
-
50 GLAVA 2. DINAMIKA
Ako sada pretpostavimo da dimenzija intervala x tezi nuli,
odnosno ukolikobroj intervala tezi beskonacnosti, vrednost sume
(2.34) tezi vrednosti kojaje jednaka povrsini ispod krive
zavisnosti sile F od predjenog puta, odnosnointegralu (2.33)
limx0
xfxi
Fx = xfxi
Fdx. (2.35)
Kako je rad sile na pomeranju od xi do xf jednak ovoj povrsini,
moze sepisati
A = xfxi
Fdx. (2.36)
Ukoliko posmatrana sila deluje pod nekim uglom u odnosu na
pomeranje(koje se vrsi duz x ose) potrebno je u izraz staviti
projekciju sile na x osu,odnosno Fx = F cos ( je ugao izmedju
pravca sile i pravca duz koga se vrsipomeranje), pa je rad
A = xfxi
Fxdx = xfxi
F cos dx. (2.37)
Prirodna generalizacija dosadasnjih izraza za rad, koja bi se
odnosila narad sile koja nije konstanta na pomeranju tela od tacke
odredjene vektorompolozaja ~ri do tacke odredjene vektorom ~rf
je
A = ~rf~ri
~F d~r. (2.38)
U skladu sa time se elementarni rad (rad na elementarnom
pomeranju telad~r = dx~ex + dy~ey + dz~ez, definise kao
dA = ~F d~r = Fxdx+ Fydy + Fzdz. (2.39)
2.7.3 Rad elasticne sile
Primer sile koja nije konstantna je sila koja se javlja pri
elasticnom istezanjuopruge (za relativno mala istezanja u odnosu na
situaciju kada je oprugarelaksirana). Kako je navedeno ranije ta
sila, za slucaj kada se opruga
isteze i sabija duz x ose je oblika ~F = kx~ex, odnosno uvek je
usmerenaka ravnoteznom polozaju (x = 0).
Kako je elementaran rad ove sile
dA = ~F d~r = kxdx, (2.40)
-
2.8. SNAGA 51
Slika 2.7:
ukupna rad na pomeranju tela zakacenog za kraj opruge (Slika
2.7) od tackexi u tacku xf je
26
A = xfxi
(kx)dx = 12kx2
xfxi=
1
2kx2i
1
2kx2f . (2.41)
Ukoliko je finalna tacka koordinatni pocetak, koji je smesten u
tacku u kojojje opruga relaksirana, rad je jednak A = 1
2kx2i . Vazno je primetiti da rad ove
sile zavisi samo od pocetne i krajnje tacke u kojima se telo
nalazi kao i to daje jednak nuli u slucaju kada se one
poklapaju.
2.8 Snaga
Zamislimo da imamo dva automobila jednakih masa ali sa
razlicitim mo-torima, jedan sa slabijim a drugi sa jacim motorom.
Prvo cemo jednim aonda drugim automobilom da se popnemo na brdo
(smatramo da su i po-lazna i krajnja taka putanje iste.). Potpuno
je ocigledno da ce automobilace izvrsiti isti rad nasuprot
gravitacionoj sili ali ce onom koji ima jaci motorza to trebati
krace vreme. Iz ovog primera je jasno da je sa prakticne strane
26Uz koriscenje integralaxndx = x
n+1
n+1 za n = 1.
-
52 GLAVA 2. DINAMIKA
bitno da znamo ne samo rad koji ce izvrsiti neka masina vec i
koliko brzo cega uraditi. Brzina vrsenja rada je nova fizicka
velicina koja se naziva snaga.
Ukoliko neka spoljasnja sila, za vreme t izvrsi rad A, njena
srednjasnaga je
Psr =A
t. (2.42)
Na slicna nacin kao sto smo dolazili do trenutne brzine i
ubrzanja, mozemoda definisemo trenutnu snagu P kao granicnu
vrednost
P = limt0
A
t=dA
dt, (2.43)
gde je sa dA oznaceno beskonacno mali prira vstaj rada koji se
desava zavreme dt. Koristeci izraz (2.39), izraz za trenutnu snagu
postaje
P =dA
dt= ~F d~r
dt= ~F ~v. (2.44)
Jedinica za snagu u SI je dzul u sekundi (J/s), odnosno wat
(W).27
2.9 Energija
Energija je jedna od najvaznijih fizickih velicina i pojmova u
fizici i tehnici,zbog svog izuzetnog znacaja za dosadasnji i buduci
razvoj i opstanak ljud-skog roda. U svakodnevnom zivotu o energiji
obicno razmisljamo kao ogorivu koje koristimo za transport i
zagrevanje, o elektricnoj energiji kojukoristimo za osvetljavanje i
pokretanje masina, o energiji koju unesemo u or-ganizam kroz hranu,
... Energija ima jako puno oblika u kojima se pojavljujea ukljucena
je prakticno u sve procese u prirodi i nasem okruv zenju. Onamoze
da se prenosi sa tela na telo, da menja oblike, medjutim, ne moze
dase pojavi niotkuda niti da nestane bez traga. U tom smislu, ona
predstavljajednu od fizickih velicina koje se ocuvavaju
(konzervisu) u svim procesima.28.Bez obzira na otkrica raznih
oblika energije, eksperimenti su uvek pokazivalida zakon ocuvanja
ostajen na snazi. Konceptualno veoma bitan doprinos
27Stara jedinica za snagu je konjska snaga (KS) cija je veza sa
sadasnjom jedinicom 1KS=746 W.
28Ova cinjenica je zasnovana na eksperimentima a prvi koji je
ukazao na nju je bioengleski biolog Majer na osnovu proucavanja
toplotnog bilansa zivih organizama
-
2.9. ENERGIJA 53
proucavanju raznih oblika energije je dao i Albert Ajnstajn
ukazujuci navezu mase i energije,29 odnosno na to da je i masa
jedan od oblika energije.
Na osnovu ovoga je jasno da ne postoji dovoljno prosta, a
istovremenodovoljno precizna, definicija energije. Pre svega se
moraju imati u vidu njeneosnovne osobine a to su da ima razne
oblike kao i to da se ocuvava u procesimau prirodi. Energiju bi u
principu mogli da definisemo kao sposobnost tela daizvrsi rad, pri
cemu moramo biti oprezni pri ovakvom shvatanju energije, jermoramo
imati u vidu da ponekad nije moguce iskoristiti svu energiju
kojuima telo svrhu vrsenja rada.
2.9.1 Kineticka energija
Tela pod dejstvom sila menjaju svoju brzinu pa se moze reci da
je rad silevezan upravo za promenu brzine. Ta veza se moze izraziti
preko fizickevelicine koja se zove kineticka energija tela.
U cilju lakseg dobijanja rezutata30 pretpostavimo da se telo
krece u jednojdimenziji (duz x ose) i da na njega deluje
rezultujuca sila Fx. Uzimajuci uobzir drugi Njtunov zakon u obliku
max = Fx, moze se pisati
A = xfxi
Fxdx = xfxi
maxdx. (2.45)
Ukoliko se rezultanta Fx menja duz x ose, menja se i ubrzanje te
integracijuu gornjem izrazu nije moguce uraditi u opstem slucaju,
te cemo pribecisledecem nizu transformacija
a =dv
dt=dv
dt
dx
dx=dx
dt
dv
dx= v
dv
dx. (2.46)
Zamena ovog izraza za ubrzanje u prethodni izraz za rad dovodi
do
A = xfxi
mvdv
dxdx =
vfvi
mvdv = vfvi
d
(mv2
2
), (2.47)
odnosno
A =mv2
2
vfvi=mv2f2
mv2i
2. (2.48)
Velicina 12mv2 predstavlja energiju koju cestica poseduje usled
toga sto se
krece i koja se zove kineticka energija. Na osnovu poslednje
jednacine se
29Ova veza je data, verovatno siroj javnosti, najpoznatijom
relacijom iz fizike, E = mc2.30Koji je kao sto cemo kasnije videti
lako generalizovati.
-
54 GLAVA 2. DINAMIKA
moze reci da je ukupan rad sila koje deluju na cesticu jednak
promeni njenekineticke energije.
Promena kineticke energije usled delovanja sile trenja
Pretpostavimo da se telo krece po nekoj horizontalnoj povrsini
koja je takvada ne moze da se zanemari postojanje trenja izmedju
tela i podloge.
Slika 2.8: Usporavanje tela koje klizi po horizontalnoj povrsi
izazvano gu-bitkom kineticke energije.
U tom slucaju, po vetna kineticka energija tela se smanjuje sa
vremenomjer stalno mora da se vrsi rad na savladavanju sile trenja
koja ima smersuprotan smeru kretanja tela. Pretpostavimo d a je u
toku nekog intervalavremena, telo preslo rastojanje d (Slika 2.8)
pri cemu je na pocetku kretanjaimalo brzinu ~vi a na kraju ~vf .
Sila koja izaziva usporavanje tela je sila trenja~Ftr koja ima smer
suprotan od smera kretanja tela. Obzirom na to da jesmer pomeraja
suprotan, rad koji je izvrsen na savladavanju nje je
A = ~Ftr ~d = Ftrd, (2.49)
sto mora da bude, prema (2.48), jednako promeni kineticke
energije, odnosno
Ftrd =mv2f2
mv2i
2. (2.50)
2.9.2 Potencijalna energija
U prethodnom poglavlju je uvedena kineticka energija, kao
energija koju teloposeduje usled svog kretanja. U ovome ce biti
uvedena druga forma energijepod nazivom potencijalna energija koja
je u vezi sa relativnim polozajem tela
-
2.9. ENERGIJA 55
koja interaguju, odnosno sa polozajem tela u polju neke sile.
Ona se obicnooznacava sa Ep ili sa U , a kako je vezana za rel