fizica pazara

PAZARA TIBERIU CULEGERE DE PROBLEME REZOLVATE DE FIZIC PENTRU STUDENI Editura Academiei Navale Mircea cel Btrn Constana, 2009 CUPRINS CAPITOLUL IOSCILAII.. 7 CAPITOLUL II UNDE ELASTICE I ELECTROMAGNETICE .. 36 CAPITOLUL III TERMODINAMIC . 76 7 CAPITOLUL I OSCILAII 1. Un punct material oscileaz armonic cu amplitudinea A = 5cm i perioada T = 4 s. a) S se gseasc valorile maxime ale vitezei i acceleraiei de micare a punctului material. b) S se gseasc momentul cnd viteza i acceleraia sunt maxime, faza iniial a micrii fiind = 0. a)cos( ) x A t + 122 sT sin( )dxv A tdt + 2cos( )dva A tdt + v = vmax max5sin( ) 1 ( 1)2t v A A + a = amax 22max5cos( ) 14t a A + t b) deoarece = 0, condiiile de maxim vor fi: maxsin 1 (2 1) 2 12v v t t n t n + +maxcos 1 2 22a a t t n t n t unde 12 s 2. S se afle amplitudinea i faza iniial a micrilor descrise de urmtoarele ecuaii:a) 2( ) 20sin 15 x t t b)( ) 3 sin 6, 28 cos 6, 28 xt t t + a) 0 ; 10 ) 30 cos 1 ( 10230 cos 120 ) (22 cos 1sin2 A ttt x b) sin sin sin6, 28 cos cos6, 283 3 33 ( ) sin6, 28 cos6, 283cos cos3 3t ttg x t t t + + 8 cos 6, 2832 cos 2 2 ;3 3cos3tt A _ _ , , 3.Unpunctmaterialexecutooscilaiearmonicduplegeat t t x 2 cos 2 sin 3 ) ( .Caresunt amplitudinea, perioada i faza iniial a micrii? sin sin sin 2 cos cos 23 3 3( ) tg sin 2 cos 2 sin 2 cos 23cos cos3 3t tx t t t t t 2cos 23t _ , Rezult:2 A ; 2 22T ; 3 . 4. Fazainiialaunuipunctmaterialaflatnmicareoscilatoriearmonicestenul.Laoelongaie 12, 4 x cm ,vitezapunctuluimaterialeste 13 / v cms ,iarlaoelongaie 22,8 x cm ,vitezaeste 22 / v cms . S se gseasc ecuaia de micare a punctului material. sin( ) x A t + Dar = 0sin x A t Pentru a afla ecuaia de micare trebuie determinate A i . cosdxv A tdt Din datele problemei se poate scrie: 1 1 1 12 2 2 2sin ; cossin ; cosx A t v A tx A t v A t ' ( )( )2 21 12 2 2 2 22 22 2 21 11 12 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 211sin cos 1sin cos 1 11x vA x vt tA At t x v A x vA A+ + + + ' ' '+ + + + ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 1 2 2 2 1 1 2 2 22 1v vx v x v x x v vx x + + Iar 2 2 21 121x vA ++ 9 5.EnergiatotalaunuimaterialceexecutooscilaiearmonicesteJ Et510 3 . Foramaxim ce acioneaz asupra lui este F = 1,5 10 3 N. S se scrie ecuaia de micare dac perioada de oscilaie este T = 2 s i faza iniial 3 . Legea de micare a corpului este:( ) + t A t x sin ) ( . T 2 Rmne de determinat amplitudinea. 8352max10 42 10 5 , 110 32 AAkAkAFEt 6.AmplitudineadeoscilaieaunuipunctmaterialesteA = 2 cm, energia total 33 10tE J . Pentru ce elongaie fora elastic are valoarea 32, 25 10 N? kFx x k Fee 2222 AEkkAEtt cmAEFxte5 , 122 7. Legea de oscilaie a unui punct material de masg m 2 este:

,_

t t B x 10 cos3110 sin , unde3 5 BS se determine: a)vitezamaxim a punctuluimaterialndecursuloscilaiei imomentulde timpla care se realizeaz, considerat din momentul n care a nceput micarea; b)fora maxim ce acioneaz asupra punctului material n decursul micrii. a) ,_

,_

t tg t t t B x 10 cos610 sin 3 5 10 cos3110 sin

,_

610 sin 106cos10 cos6sin6cos 10 sin3 5 tt t 10

,_

610 cos 100 t vs m v v / 100max pentru 601610 cos ,_

t tb)N A m kA F 22max 8. Un corp execut o micare dat de legea:

,_

+ 46 sin 4 ) (2t t x[cm] Ssedemonstrezecmicareaesteunaoscilatoriearmonicissecalculezeamplitudinea,faza iniial, perioada i viteza micrii.

,_

+

,_

+ ,_

+ 212 cos 2 2246 2 cos 1446 sin 4 ) (2ttt t xA = 2; 2 ; 62 T ;,_

+ 212 sin 24 t v 9.Ssedetermineamplitudineaoscilaieiarmoniceaunuicorpdaclaunmomentdatraportul dintre ptratul vitezei i acceleraie are valoarea , iar diferena dintre amplitudine i elongaie este . ( ) + t A x sin( ) + t A v cos( ) + t A a sin2 ( )( )( ) ' + + + ' 2sinsincos22 2 22At A At At Ax Aav 10. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de dou resorturi ideale identice, fiecare cu constanta elasticN/m 40 k ,astfelnctlaechilibrusistemularatcanfigurademaijos,valoareaunghiului fiind de 450. S se determine: a) alungirea resorturilor la echilibru; b) perioada oscilaiilor verticale ale corpului. 11 La echilibru: sin sin 2 sin 2 sine e eF F mg F mg k y mg + unde y este alungirea. 22 sin 10mgyk 2 222 5k mTm k 11.Unresortideal,suspendatvertical,arelegatlacaptulliberuncorpcumasam1,perioada oscilaiilorarmonicefiindT1.Dacseadaugomassuplimentarm2,resortulsealungetecuh,iar pendululoscileazcuperioadaT2.tiindcdiferenantreperioadeledeoscilaieesteT,sseafle: constanta elastic a resortului, perioadele T1 i T2, precum i masa m2. Din datele problemei se pot scrie urmtoarele ecuaii: 11 11 1 122m k kTm T m k 1 22 21 2 2 1 222m m k kTm m T m m k+ + + 1k y m g 1 2( ) ( ) k y h m m g + + 2 1T T T n aceste ecuaii necunoscute sunt:y , T1 i T2, m2 i k. Dup ce se eliminy , se afl pe rnd m2 : 12 222mmg Th T _ , apoi T1 i T2 i k. 12. Un corp execut o micare oscilatorie dat de ecuaia: 12 x = x0 (sint + 31cost). S se afle: a) amplitudinea (A) i faza iniial () a micrii oscilatorii b) raportul dintre Ec i Ep n momentul n care oscilatorul trece prin punctul de elongaie x1=A/4. 0 0 000 0sin16sin cos sin cos sin cos6 3cos6sinsin cos sin cos2 66 6sin6 3 3cos62x x t t x t tg t x t ttt txx x t _ _ _ + + + , , , _ + + _ , + , Rezult: 02;6 3xA 2 2 2; ;2 2 2c p t c pmv kx kAE E E E E + 2 222 211 1 1154 416;2 2 2 2 2p c t pA AkAk kkx kAE E E E _ _ , , 212115421542cpAkEEAk _ , _ , 13.Ssedetermineperioadaipulsaiaunuicorpcumasam = 5 kg suspendat de un resort ce se alungete sub aciunea acestuia cu x = 9,8 cm. La echilibru: 12105ek g gF mg k y mg s T sm y y 14.Ssedetermineamplitudineaifazainiialauneioscilaiiarmonicedaclamomentuliniial corpulcareexecutmicareaseaflladistanax0=1cmfadepoziiadeechilibruiarevitezav0=0,6 cm/s, perioada micrii fiind T = 3,14 s. 2T13 Din condiiile iniiale, la 00(0)0:(0)x xtv v ' Deoarece este o micare armonic: ( ) sin( ) x t A t + ( ) cos( )dxv t A tdt + Atunci, condiiile iniiale devin: 00sin (0) sin(0) cos cosx A x Av A v A ' ; ' 0 0 000 0cossinx v vv ctg arcctgx x Deci, 000sinxAvarcctgx. 15. Un resort suspendat n punctul O are o lungime l = 40 cm. Un corp de greutate G = 20 N, atrnat decellaltcaptalresortuluiiimprimoalungirel=4cm.RidicndcorpulastfelcaOA=42cmi lsndu-l liber, s se afle perioada de oscilaie, fora maxim de ntindere a resortului i s se scrie ecuaia de micare. 2eg lF mg k l mg Tl g La momentul iniial (t = 0): (0) 2(0) 0x cmv ' Corpul oscileaz armonic, deci legea de micare este: ( ) ( ) sin x t A t + ( ) ( ) cos v t A t + Din condiiile iniiale se obine: 14 2(0) sin sin 2 sin 2(0) cos cos 0 cos 02A cmx A A Av A A ' ' ' ' maxF kA 16.Uncorpcumasam=10kgseaflpeunsuportorizontalpecaresepoatemicafrfrecare, fiindracordatladouresorturideconstanteelasticek1=4103N/mik2=5103N/m.npoziiade echilibru,celedouresorturisuntnedeformate.Ssegseasclegeademicareiperioadadeoscilaiea corpului dac la momentul iniial se afl la distana x = 4 cm fa de poziia de echilibru i are o vitez v = 90 cm/s. 1 21 2( ) 0ma k x kxma k k x + + 2 21 21 2 2 2( ) 0 0k k dx dxm k k x xdt dt m++ + + 2 1 21 22k k mTm k k+ + Deci soluia ecuaiei, adic legea de micare va fi de forma( ) sin( ) x t A t + . La t = 0 : 00(0) 4(0) 90 /x x cmv v cms ' Rezult: sin 41 2 2 4;cos 90 45 45 sinAtg arctg AA ' 17. De un resort aezat vertical se suspend o greutate. Sub aciunea ei, resortul se alungete cu l = 5cm. Careeste legeademicare a greutii dac lamomentuliniialea se afl nechilibru i i seimprimo vitez pe vertical n jos v0 = 20cm/s? (g = 10 m/s2). y(t) = Asin(t+) v(t) = Acos(t+) La t = 0: 00(0) 0 (0) sin sin 0 sin 0 020(0) (0) cos cos 20 20y y A Av v v A A A A ' ' ' ' ' ' mg = kl k gm l 15 18.Uncorpcumasam=4kgestesuspendatdeunresortidealceareconstantaelastic N/m 900 k .Corpulestempinsnsuscu50mmfadepoziiadeechilibruiapoiesteeliberatdin repaus. Aflai legea de micare a corpului. Corpul oscileaz armonic, deci legea de micare este: ( ) + t A x sin ; ( ) + t A v cosDin condiiile iniiale (la t = 0): ''' 0 cos50 sin A0 cos A 50 sin A0 v ) 0 ( vmm 50 x ) 0 ( x00 mm 50 A250 sin A ' 1s 15mk 19. Un corp cu masa m = 0,8 kg este suspendat de un resort ideal cu constanta elasticN/m 80 k . Dac se imprim corpului o vitezm/s 0,8 v n momentul cnd acesta se afl la 4 cm n sus fa de poziia deechilibru,ssedeterminelegeademicareacorpuluiconsiderndcvitezaaplicatesteorientatspre poziia de echilibru a corpului. Corpul oscileaz armonic, deci legea de micare este: ( ) + t A x sin ; ( ) + t A v cos 110ksm Din condiiile iniiale (la t = 0): 00(0) 0,04 sin 0,041 0,04 1tg(0) 0,8 / cos 0,8 0,8 2x x m Aarctgv v ms A ' ' 0, 04sinA 20.Ecuaiauneimicrioscilatoriiamortizateeste:t e xt2sin 525 , 0 [m].Careesteviteza punctului material la momentele t = 0, T, 2T, 3T i 4T? 0,25 0,25( ) 0, 25 5 sin 5 cos2 2 2t tv t e t e t +16 2422T (0) 52v ; 1( ) 52v T e ; 2(2 ) 52v T e ; 3( ) 52v T e ; 4( ) 52v T e 21.Unmobilseaflntr-omicareoscilatorieamortizatdescrisdeecuaia ( ) cos( )tx t Ae t + . S se afle momentul n care viteza se anuleaz prima oar. cos( ) sin( )t tdxv Ae t Ae tdt + + 0 [ cos( ) sin( )] 0tv Ae t t + + + 1tg( ) t t arctg t arctg 1 _ _ + + 1 , , ] 22.Unpunctmaterialcumasam=100g,suspendatdeunresort,oscileazsubaciuneaforei elastice a acestuia. a)dacpentruoelongaiex=1cm,foraelasticarevaloareaF=10 1N,sseaflepulsaiamicrii proprii; b) n prezena unei fore de rezisten (proporional cu viteza) care are valoareaN 103 Rpentru o vitez v = 1 cm/s, care este noua pulsaie a micrii? c) care este decrementul logaritmic al amortizrii? d) dac la momentul iniial corpul este n poziia de echilibru i i se imprim o vitez v0 = 1 cm/s, care va fi ecuaia de micare a lui n condiiile de la punctul b) i care va fi deplasarea maxim a lui fa de poziia de echilibru? a) mk 0 xFk x k Fee ; deci10101021 xFk 110101010 sb) n prezena unei fore de rezisten, corpul va oscila amortizat. Deci, noua pulsaie a micrii va fi: 2 20 17 123101010 vRv v R v Fr 2110 2102211 m m c) 2Td) Corpul oscileaz amortizat i, deci, legea de micare este: ( ) t Ae t xtcos ) (Iar viteza este:( ) ( ) t Ae t Ae t vt tsin cos ) (Din condiiile iniiale (t = 0): ' s cm v vx/ 1 ) 0 (0 ) 0 (0 se obin amplitudinea i faza iniial. ' + ' + '1 sin cos0 cossin cos ) 0 (cos ) 0 () 0 (0 ) 0 (0A AAA A vA xv vx 1120 cos A A 23.UncorpcugreutateaG=49Nexecutoscilaiiamortizatentr-unmediuacruiforde rezistenesteproporionalcuviteza.Cunoscndpseudoperioadadeoscilaie 4T s ,decrementul logaritmic 32 i, tiind c la momentul iniial x = x0 = 10 cm i v = v0 = 20 cm/s, s se determine legea demicareicoeficientuldeamortizare.ncazulncarecoeficientuldeamortizarecretede3ori,sse determine noua lege de micare. 3;4 2T s Din condiiile iniiale, la 00(0)0:(0)x xtv v ' 18 2 2 202 2 2101102 2843( )2ln 6( )464 36 10sTA tT sA t T Ts + ' + + 0( ) cos( )tx t Ae t > este o oscilaie amortizat (cazul rezistenelor mici) ( ) { cos( ) [ sin( )]}[ cos( ) sin( )]t ttdxv t A e t e tdtv Ae t t + (0) cos 10(0) [ cos sin ] 20x A cmv A cm cos 106 cos 8 sin 20(6cos 8sin ) 208 sin 40 sin 10A cmA A cmA cmA cm A ' ; 101 ( 1)10tg arctg 2mGG mg mg 1 11 11 132 6 182m m sm ' 2 2 2 21 1 0 1 1 0( ) ( )1 0 1 2( )t tx t C e C e+ > + este o oscilaie amortizat (cazul rezistenelor mari) 2 2 2 2 11 018 10 15s 3 331 23 331 2( )( ) 3 33t tt tx t C e C ev t C e C e + 1 2 1 21 21 210 3 (0)(0) 3 333 33 20C C x C Cv C CC C + + ' ' 2 2 15 5 3530 50 103 3 3C C C + 19 24.Unoscilatoramortizataremasam=1kgicoeficientuldeamortizare0, 2 / g s .Sse calculeze timpul n care amplitudinea scade la 10% din valoarea sa la momentul t = 0. 22 m m ( )tA t AeLa t = 0:(0) A A La t = : 2( )mA Ae Dar( ) 10% (0) A A . 1 11 ln10 ln1010 ln10102Ae A em 25. Un corp cu masa m = 0,4 kg este suspendat de un resort cu constant elastic k = 200 N/m. Dac pseudopulsaiaestemaimiccu0,005s1 dectpulsaiaproprieapendulului,ssedeterminecoeficientul de rezisten al forei care produce amortizarea (fora de rezisten este proporional cu viteza). 2 2mm 0km00, 005 22 2 2 2 2 2 20 0 00,005k k km m m _ , 22 0, 005k kmm m _ , 26.Uncorposcileazamortizatcufrecvenapropriede1Hz.Ssedeterminepseudopulsaia oscilaiiloramortizatedacamplitudineaacestorascadedela25cmla12,5cmdup10sdelanceperea micrii. Fora de rezisten este proporional cu viteza. Se cunoate c693 , 0 2 ln . 2 20 0( )tA t A e20 00(0)( )A AA A e ' dar10s ;(0) 25 A cm ;( ) 12, 5 A cm 01010025ln 2210 12, 5AeA e ' Se nlocuiete i se afl pseudopulsaia. 27.Uncorpefectueazomicareoscilatorieamortizat,foraderezistenfiindproporionalcu viteza.PseudoperioadaesteT=0,25s.Dacnprimele10sdelancepereamicriiamplitudineaoscilaiilorscadede5ori,sse determine: a) factorul de amortizare a oscilaiilor b) decrementul logaritmic al amortizrii c) perioada proprie a oscilaiilor Se cunoate ln5 = 1,6. a) la t:( )tA t Ae la t = 10 s : ( 10)( )( 10)5tA tA t Ae ++ ( 10) 10 1ln55 10 ln55 10ttAeAe e + b)T c) 0 00 02 2TT 2 2 2 2 20 0 + 02 22T+ 28. Un corp cumasam = 0,25 kg suspendat de un resort idealefectueaz oscilaii amortizate,fora defrnare fiind proporional cuviteza corpului. Dacelongaiamaxim a resortului scade la un sfertdup N = 10 oscilaii complete, efectuate n timpul t = 8,4 s, s se determine: a) coeficientul de amortizare al oscilaiilorb) decrementul logaritmic c) constanta elastic a resortului 21 a)la momentul t: 1tA Aela momentul t + t: ( )2t tA Ae +Dar: ( ) 1 12ln44 ln44 4tt t tA AeA Ae e tt + Coeficientul de amortizare este2m . b)Perioada micrii corpului este: 0, 84tT sN Decrementul logaritmic este: T c)Constanta elastic se determin astfel: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 20 02( )kk m mm T 1 _ + + + + 1 , 1 ] 29.Osferderazrestelegatdeunresortdeconstantelastick.Sferaoscileazncetntr-un lichid vscos de vscozitate . S se calculeze raza sferei n aa fel nct, n timp de o perioad amplitudinea oscilaiei s scad de 2 ori. Fr = v 6 r ( ) 1( )( )( )2( ) 2 ln 22( )tt t T Tt TA tA t TAeA t Ae Ae e TA t T Ae + ++ ;+ 622 3r mrm m Deci ln 23 3m mrT 2 2 20 ( )2 22 22 ln 24 ln 2k mTT m T k _ _ + , , ( )2 22 ln 26 4 ln 2mrmk + 22 30.Asupraunuicorpcumasam=0,5g,aflatladistanax=2cmfadepoziiadeechilibru, acioneaz o for elastic F = 1,936 N. a)daccorpulestelsatliberiseneglijeazfrecrile,careesteecuaiamicriiconsiderndcseafln poziia de echilibru i are vitezacm/s 40 v ? Care este energia total a acestui oscilator? b) dac oscilaia ar fi amortizat, cefactor de amortizare ar trebui s aib mediul pentru ca dup t = 0,23 s, amplitudinea micrii s fie numai 0,2 mm? c)cepulsaieartrebuisaiboforexterioarsinusoidalcareacionndasupracorpuluiarproduce fenomenul de rezonan? a) Fiind o oscilaie armonic, legea de micare este: ( ) + t A t x sin ) (Condiiile iniiale sunt: ' s cm v vx x/ 4 ) 0 (0 ) 0 (00 ( ) + t A t v cos ) ( ' ' 44 0 0 sin4 cos0 sincos ) 0 (sin ) 0 (A AAAA vA x mk La distana x, xFk x k F JkAEt3210 42 b) La momentul t = 0,23 s, amplitudinea are expresia: 23 , 050 ln110110 2 , 0 ) (23 , 0 3 e Ae t At c) 2 202 r 31. Asupra unui corp cu masa m = 2 kg, legat de un resort ideal i de un amortizor, acioneaz o for extern3, 2sin ( ) F t N .Dacrezonanaamplitudinilorseproducelafrecvena4, 8r Hz, amplitudinea la rezonan fiind Br = 2,3 cm, s se determine: a) constanta elastic a resortului i factorul de amortizare; b) amplitudinea oscilaiilor forate la o frecven a forei externe de 4 Hz; c)amplitudineaoscilaiilorforate(frecvenaforeiexterneeste4Hz)ncondiiilenlturrii amortizorului. 23 a) max2 202 22 2 2 00222rrrFBm ' max max2 2 2 22 0 00202 22 2rr rF FBm mkm + ; max22max222 2022 2222 2rrrrrrrFmBkkmFmmBkkmm + ;+ 24 max2 2 rrFk mmB +cu2r r b) max2 2 2 2 20( )( ) 42FBm + c) Dac se nltur amortizorul = 0 i max2 20( )( )FBm , cu2 32. Trei corpuri de mas m sunt aezate pe un suport orizontal fiind legate ntre ele i de 2 elemente verticale cu ajutorul a 4 arcuri identice avnd constanta elastic k. tiind c micarea are loc fr frecare, s se determine pulsaiile proprii ale sistemului. 24 Considerm c sistemul din figura de mai sus este deplasat din poziia de echilibru spre dreapta. Cele 3 corpuri se vor deplasa cu x1, x2 i x3 (x1 < x2 < x3). Conform principiului II al mecanicii: 1 1 2 12 2 1 3 13 3 2( )( ) ( )( )ma kx kx xma kx x kx xma kx x + + ' Ecuaiile difereniale ale micrii celor 3 corpuri sunt: 2 21 11 2 1 2 2 22 22 21 2 3 1 2 3 2 22 23 32 3 2 3 2 22 2 02 2 00dx dxm kx kx m kx kxdt dtdx dxm kx kx kx m kx kx kxdt dtdx dxm kx kx m kx kxdt dt + + + + ' ' + Micrilecorpurilorsuntmicrioscilatoriiarmonice(nuexistfrecare),decilegiledemicare (soluiile ecuaiilor de micare) vor fi de forma: 1 1 2 2 3 322 1 11 1 222 2 21 2 222 3 31 3 2sin ; sin ; sincos ; sincos ; sincos ; sinx A t x A t x A tdx dxA t A tdt dtdx dxA t A tdt dtdx dxA t A tdt dt Se nlocuiesc n sistem i se obine: 21 221 2 322 1(2 ) 0(2 ) 0(2 ) 0k m A kAkA k m A kAkA k m A + ' + Sistemul admite pentru A1, A2, A3 soluii diferite de zero dac determinantul su se anuleaz: 25 2122 2222322 02 0(2 2)det 2 0 2 2 00 2(2 2)2 2 0kk mmm k kkk m k k k m kmk m kkk m km _ + + + ' + , + 33. Uncorp demasm se afl pe un suport orizontalcu care interacioneaz printr-o frecare uscat (coeficientuldefrecarefiind).Corpulestelegatdeunsuportfixcuajutorulunuiresortdeconstant elastic k. S se afle legea de micare a corpului. Forele care acioneaz asupra corpului sunt: ;e fF kx F N mg Deci, se va putea scrie: ma kx mg 22220 2dxm kx mgdtdxx gdt+ + Ultima ecuaie este o ecuaie diferenial neomogen de gradul II a crei soluie este de forma: 1 20 00 01220 22 32 201,2 02 31 2 3( ) ( ). : 0( ). : 0( )( )omogent tomogeni t i tomogeni t i tx t x t C gdxecomogena xdtx t C e C eeccaracteristicaix t C e C ex t C g C e C e + + ++ t + + + Alegem urmtoarele condiii iniiale: (0)0:(0) 0x Alatv ' 00 01 2 0 0 3 0 01 2 3 0 2 3 0cos sin( ) (cos sin ) (cos sin )( ) cos ( ) sini te t i tx t C g C t i t C t i tC g C C t i C C tt t + + + + + + Se noteaz: 1 2 32 2 3( )B C CB i C C + ' 26 1 1 0 2 0( ) cos sin x t C g B t B t + + 0 1 0 0 2 02 20 1 0 0 2 0( ) sin cos( ) cos sindxv t B t B tdta t B t B t + 1 1 1 10 2 0 2 2(0)(0) 0 0x C g B C g B Av B B B + + ' ' 20 1 0( ) cos a t B t Se nlocuiete a(t) astfel obinut, precum i x(t) n ec. diferenial a micrii corpului: 2 2 20 1 0 0 1 0 1 0cos cos B t C g B t g + + 20 1 1 201C g g C Deci 1 1B A C g C2 i C3 se determin din sistemul: 1 2 32 2 3( )B C CB i C C + ' 34.Ssegseascamplitudineaifazainiialaoscilaieiarmoniceobinutprincompunereaa dou oscilaii paralele de ecuaii: 14sin x t i 23sin2x t _ ,. S se scrie ecuaia micrii oscilatorii rezultate. 1 14; 0 A 2 23;2A ( )2 21 2 1 2 1 22 cos 5 A A A A A + + 1 1 2 22 2 2 2sin sin 3tgcos cos 4A AA A+ + 35.Ssegseascecuaiademicareapunctuluimaterialsupussimultanaciuniiadouoscilaii paralele de aceeai perioad T = 8 s i amplitudine A = 2 cm. Diferena de faz este 4 , iar faza iniial a unei oscilaii este nul. 2 212 cos 2 2 A A A AA A + + +27 1 1sin 0 sin2 24tg2 2 2 2cos 0 cos4A AarctgA A+ + ++ 124 sT ( )1 1 1sin x A t + 36.Unpunctmaterialefectueazconcomitent2micrioscilatoriiarmonicepedirecii perpendicularentreele.Ecuaiilecelor2micrisunt:x=cost;y=2 cos2 t.Sseafletraiectoria punctului material. 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 12 2 2 2t t t t Prin identificare: cos 22 t x ;cos2 2ytRezult: 2 22 1 14 2y yx x 37.Ssescrieecuaiamicriirezultatedincompunereaadouoscilaiiperpendicularecu frecvenele 1 210 Hz ,fazeleiniiale 1 23 iamplitudinile 10,1m A , 20, 2m A .Sse interpreteze rezultatul. Pentru c( )1 2 1 2 , se poate utiliza formula: 2 222 22cos sinx y xyA B AB+ unde 10,1 A A ; 20, 2 B A ; 2 10 Se obine: ( )2 222 220 0, 2 0,1 0 20,1 0, 2 0,1 0, 2x y xyx y y x + Deci, traiectoria nu este o elips, ci o dreapt, deci micarea este tot o oscilaie liniar. 28 38. Un punct material este supus simultan la dou oscilaii perpendiculare de ecuaiit x sin 2 i t y cos . Care este traiectoria de micare a punctului? cos sin2t t _ + , Deoarece x i y au aceeai pulsaie, se poate scrie: 2 222 22cos sinx y xyA B AB+ unde2 A ;1 B ; 2 12 2 214 1x y+ Rezult c traiectoria este o elips. Elipsa este parcurs n sens trigonometric 2 _ ,. 39.Unpunctmaterialestesupusaciuniisimultaneadouoscilaiiperpendicularedeecuaii t x cos it y2cos . S se gseasc traiectoria micrii rezultante. 2 2cos cos 2 2cos 1 2 12 2x t t t y 40. Se consider urmtoarele oscilaii perpendiculare: a),_

+2 6cos 3 ) ( t t xit t y6cos 2 ) (; b),_

+2 2sin ) ( t t xit t y4cos 2 ) (. S se gseasc traiectoria particulei care este supus simultan acestor oscilaii. a) Pentru c au aceeai pulsaie, se poate folosi formula: 2 222 22cos sinx y xyA B AB+ A = 3;B = 2 ;2 29 2 24 9 36 x y + b)( ) sin sin cos cos sin cos cos22 2 2 2 2 2 2 4x t t t t t t _ + + , 222cos 1 14 2yt 41. Ecuaia traiectoriei unui corp supus la dou micri oscilatorii armonice cu aceeai pulsaie este: 4x2 + 9y2 6xy = 27 cm2. S se determine: a) amplitudinile de oscilaie ale proieciilor corpului pe axele OX si OY; b) defazajul dintre oscilaii. 4x2 + 9y2 6xy = 27: 36 2 22 233 2 6 4x y xy+ Deoarece corpul oscileaz dup axele Ox i Oy, ecuaia traiectoriei poate fi de forma: 2 222 22cos sinx y xyA B AB+ Dup identificare: A = 3 ; B = 3 ; sin2 = 3/4 3arcsin2 3 30 CAPITOLUL II UNDE ELASTICE I ELECTROMAGNETICE 1. O membran elastic dreptunghiular de lungime L i lime l, cu marginile fixate rigid, este pus n vibraie. S se demonstreze c frecvena vibraiei libere a membranei poate lua doar anumite valori i s se gseasc o soluie particular a ecuaiei undelor n aceast situaie. 22 21c t 2 2 22 2 2 21x y c t + ( , , ) ( , )i txy t f xy e ;i t i tf fe ex x y y 2 2 2 22 2 2 2;i t i tf fe ex x y y 22 22( , ) ; ( , )( ) ( , )i t i t i tf x yi e f x y i e f x y et t 2 2 2 22 22 2 2 2 2 21 1( , ) ( , )i t i t i tf f f fe e f xy e f xyx y c x y c 1 + + ] 2 2kc ( , ) ( ) ( ) f xy gx hy ( ) ; ( )f dg f dhhy gxx dx y dy 2 2 2 22 2 2 2( ) ; ( )f dg f dhhy gxx dx y dy 2 2 22 2 2( ) ( ) ( ) ( )dg dhhy gx gx hydx dy c+ 2 222 2( ) ( ) ( ) ( ) |:dg dhhy gx kgx hy ghdx dy+ 2 222 21 1 dg dhkgdx h dy+ 31 2 222 21 1 dg dhkgdx h dy a ca bb c ' Dac a = b, atunci un c, astfel nct a cb c '. 222222222 22 222101( ) 0dgdgggdxdxdhdhk hkdyh dy + ' ' + 1 1( ) sin cos gx A x B x + 2 2 2 22 2( ) sin ( ) cos ( ) hy A k y B k y + Membranaaremarginilefixaterigidrezultcfunciadeund( , , ) xy t arevaloarea0pentreg conturul. (0, , ) 0( , , ) 0( , 0, ) 0( , , ) 0y tLy tx tx l t ' 1122 220 (0) ( ) 0(0) 0sin 0( ) ( ) 0 ( ) 00(0) 0( ) (0) 0( ) 0sin 0 ( ) ( ) 0i ti ti ti tB g hy egA LgL hy e gLBhgx h eh lA k l gx h le ' ' ' 2 2 2 2sin 0 ,sin 0 ,L L m m Zk l k l n n Z ' 2 kckc c 2 2 22n n mkl l L _ _ _ + + , , , 2 2 2 22 2c n m c n ml L l L _ _ _ _ + + , , , , 1 2 1 2( , , ) sin sin ( , , )i t i tm nxy t A xA ye xy t A A eL l 32 2. De cte ori trebuie s creasc temperatura absolut a unui gaz ideal pentru ca lungimea de und a unui sunet care se propag prin el s creasc cu o fraciune f ? 1 0 0f + RTc; c ( )012 0 0 021 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 11 1 1;1;RTRTc cc T T Tfc T T T RT RTc c _ +' , 3. Fie o coard elastic semiinfinit, una din extremiti oscilnd dup legea0, 5cos 20t . a) Aflai frecvena i perioada oscilaiilor extremitii. b) Calculai lungimea de und a undelor elastice transversale care se propag n coard cu viteza c = 0,5 m/s. c)Cediferendefazexistntreoscilaiilepunctelordepecoardaflatelaodistan5 x cm unul de altul? d) La ce distan se afl dou puncte de pe coard ale cror oscilaii sunt defazate cu 6 rad ? a) ( ) cos A t kx 0, 5cos 20t 12020 102 2s ; 1110 T s b)0, 05 c cT m c)( )1 10, 5cos 20 t kx ( )2 20, 5cos 20t kx ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 120 20 kx kx k x x k x unde 2k d)'6 ; '' ' ' k x xk 4.Ssedemonstrezecocoarddelungimelfixatlaambelecapetepoateoscilalibernumaicu frecvene care sunt multiplii ntregi ai unei valori inferioare care urmeaz a fi determinat. 33 Ecuaia undelor pentru o coard este: 22 21c t 2 22 2 21x c t Capetele fiind fixate, pe coard se va propaga o und progresiv i una regresiv datorit reflexiei la capete.Vorapareundestaionare.Prinurmare,elongaiaoscilaieiunuipunctoarecaredepecoardva depindedepoziiaacestuia,darvaoscilaiarmonicntimp.Soluiaecuaieiundeivafisubformaunui produs dintre o funcie care descrie oscilaia armonic i o funcie care d distribuia elongaiei n funcie de x. ( , ) ( )i tx t f x e i t dfex dx; i ti e ft 2 22 2i t d fex dx ; 222i te ft ( )2 2 222 2 2 210i t i td f d f fe e fdx c dx c + Soluia acestei ecuaii este de forma: 1 2( ) sin cos f x C x C xc c +unde C1 i C2 sunt dou constante arbitrare. Se pot scrie condiiile la limit deoarece coarda este fixat la ambele capete: 21(0, ) 0 (0) 0 0sin 0 ,( , ) 0 ( ) 0 sin 0t f Cl l n nc c l t f l C lc ' ; 2nc ncl l Frecvena fundamental (frecvena oscilaiei fundamentale) se obine pentru n = 1: 2fcl Celelalte frecvene sunt multiplii ntregi ai acestei valori. 5.Oundelectromagneticplancadelaincidennormalpeolamcufeeplan-paralelede grosimel.Lamaesteformatdintr-osubstancupermeabilitateamagneticrelativ1r iacrei permitivitateelectricscadeliniardelavaloarea1pefaasuperioarla0pefaainferioar.Sseafle timpul n care unda electromagnetic strbate lama. 34 Fie un strat de grosime dy care este strbtut de und cu viteza c n timpul dt. 0 0 01l ldy dy dyc dt dt dydt c c c unde este timpul n care unda strbate ntreaga lam. 0 01 1 1( ) ( )rcy y ( ) y a by 11 1 11 00 0 1 0(0) ; (0)( ) ; ( )aa a al l a bl a bl bl bl ' ; ' ' ' 1 01( ) y yl 1 00 11cyl _ , ( )3 32 20 1 00 1 0 10 1 023lly dyl _ , 6.Ssededucrelaiavectorialcaresestabiletentrevitezadepropagareauneiunde electromagnetice plane n vid i componentele saleEr siBr. Din ecuaiile lui Maxwell: 0 cErot H jt + uruur uur 0 cEH jt + uruur uur n vid nu exist cureni de conducie i deci,0cj uur. Unda fiind armonic plan: rikr rrr , unde i este numrul imaginar ikr este vectorul de und. it Ecuaia lui Maxwell se va scrie: 0 0ik H i E k H E r uur ur r uur ur 2k k r r r, under este versorul direciei de propagare a undei. 35 0 0 02 2 2 2 1H E H E H ET cT T c r uur ur r uur ur r uur ur Dar cc cc rr r r 0 2cH Ec ruur ur, iar 0 01c deoarece unda se propag n vid. 0 0 0 0 0c H E c H E c H E c B E r uur ur r uur ur r uur ur r ur ur SauE B c ur ur r 7. Din cauza refraciei din atmosfera terestr, poziia unghiular real a unei stele difer puin de cea aparent. Evaluai eroarea n determinarea poziiei unghiulare a unei stele observate sub un unghi de 450 fa de vertical. Indicele mediu de refracie al atmosferei este n = 1,0003. Din legea refraciei: ( )0 0 0sin sin sin cos cos sin sin n n n n n + + Dar eroarea este foarte micsin icos 1 Se obine: 0 0sin cos sin n n n + 2 2 21, 0003 1 1, 0003 0, 00032 2 2 + + 8.Oundestedirijatsubununghii0fadenormalntr-oatmosferncaretemperaturase modificcontinuuduplegea 20T ay by T + ,undeaibsuntconstantepozitive.Neglijndabsorbia undei, s se afle nlimea maxim la care are loc ntoarcerea undei. Seconsiderunstratdegrosimeinfinitdemic,aflatlanlimeay.Peaceststratpresupunemc vitezaundeiscadecudc,iarunghiulderefracievafimaimicdectunghiuldeincidencuovaloare infinitezimal di. 36 Se aplic legea refraciei pentru acest strat: ( ) ( )cdcidi i di icdc cidi idc cdi ici 1sinsin cos cos sinsinsin sin sin Dar1 cos diidi di sin . cdcii di 1sincos1 cciicciic icdcii dcdcii d0 00 0ln ) ln(sinsin) (sinsin) (sin 000 0sin sinlnsinsinlnciciccii unde i0 i c0 sunt constante (sunt valori cunoscute). constci sin Pe de alt parte, viteza sunetului are expresia: ( ) RT yc sinsin ( ) ( )( )i Rconst i const T y T yRT y , unde este o constant. nlimealacareundancepesrevinlasuprafaaPmntuluiestenlimealacareareloc fenomenuldereflexietotalpentructemperaturancepescreascideci,vacreteiunghiulde inciden; la aceast nlime 2 i . Se obine: 201 11 ( ) ( ) T y T y ay by T + ( )12201ay by T + 20 220 1,2 214102b b a Tay by T ya _t , + Se alege soluia cu +. 9.Oundsepropagporninddintr-unpunctAsituatntr-unmediuncarevitezasadepropagare estec1 i ajunge ntr-un punct situat ntr-unmediun care viteza sa de propagareeste c2. S se demonstreze cdininfinitateadedrumuriposibile,undasepropagpeaceldrumprincareajungedinAnBntimpul minim. 37 Se noteaz: CD = d i CI = x. 11AIct ; 22IBct ( )22 2 2211 21 2 1 2( )h d xh x AI IBt t t t t xc c c c+ + + + + t este timpul n care unda parcurge distana de la A la B i este o funcie de distana x.Timpul este minim dac derivata sa de ordinul I este 0 i derivata sa de ordinul II este pozitiv. ( )2 2 221 2 1 2121 1 sin sin dt x d x i rdx c c c ch xh d x ++ La suprafaa de separaie dintre cele dou medii are loc refracia undei i, deci: 1 2sin sin i rc cRezult c0dtdx . ( )( )( )( )22222 221 222 2 22 12 2 2 221 1 221 1d xxh d xh xh d x h x dtdx c h x ch d x+ + + + ++ ( ) ( )2 21 23 32 2 22 1 2121 1 h hc ch xh d x + _++ , Rezult c 22dtdx > 0. Deci, timpul n care unda ajunge n B este minim. 10.Ocoardelasticestentinsdeoforde100Niaremasapeunitateadelungime 10 / g m . Un capt al corzii oscileaz dup legea:0,1sin 6, 28t . S se calculeze: a) viteza de propagare a undei pe coard b) frecvena i perioada oscilaiei c) lungimea de und 38 d) defazajul dintre captul corzii i un punct situat la distana de 3 m de acest capt. a)100 /Fc ms b) 16, 28 1 12s T s c)100 cT m d)( )1 22 350t t kx kx x 11. S se calculeze coeficientul de reflexie R la suprafaa aer-fier i la suprafaa aer-ap; tiind c: pentru aer:311, 293 / kmm , 1340 / c ms pentru fier: 3 327,8 10 / kmm , 25000 / c ms pentru ap: 3 3310 / kmm , 31450 / c ms ( )( )21 221 2z zRz z+; 1 1 aerz c ; 2 2 fierz c ; 3 3 apaz c ( )( )22aer fieraer fieraer fierz zRz z+ ( )( )22aer apaaer apaaer apaz zRz z+ 12.Cuctseschimbfrecvenaperceputdeunobservatornrepausfadeceaemisdeosurs, dac sursa sedeprteaz deobservator cuovitezegal cujumtateavitezei undei? Frecvena undeiemise de surs este450 Hz . RR SSc vc vt m Observatorul este n repaus:0Rv . Sursa se deprteaz: R SScc v +, unde c este viteza undei, iar vS este viteza sursei. 39 450 3002R SSc cHzcc vc ++ Frecvena se schimb cu450 300 150 Hz 13. Ce valoare trebuie s aib efortul unitar ntr-o coard cu modul Young 11 210 / E N m pentru ca frecvena fundamental a oscilaiei longitudinale s coincid cu prima armonic a oscilaiei transversale? Frecvena primei armonice a oscilaiei transversale are valoarea t t 21, unde 2tcl i Tc , T tensiunea n coard. Pentru oscilaia longitudinal frecvena fundamental are expresia 2lcl , unde Ec . T E TlElt l4212211 Efortul unitar are expresia FS . Pentru coard, ST . m V l SSl l l 10 24 4 4 4 2, 5 10 /4E T E T T EE E N mS S 14.Osarcinqpozitivestedistribuituniformninterioruluneisferedielectriceomogenecu permitivitatea . Se cere intensitatea cmpului electric n afara sferei i n interiorul ei. Cmpul electric n interiorul sferei i n exteriorul ei are direcia razei sferei din motive de simetrie: Se folosete forma integral a legii lui Gauss: DdS q r r Pentru un mediu omogenD E r r. Atunci, pentru punctele din exteriorul sferei se va putea scrie: 40 20 20 044q qEndS q E R ER rr Pentru punctele din interiorul sferei se va putea scrie: 20'4qE r unde q reprezint sarcina din interiorul sferei de raz r. 3330043'43rrq q qRR _ , Deci, intensitatea cmpului electric n interiorul sferei este: 30 04q rER 15. Se d o distribuie liniar de sarcin, a crei densitate este (sarcina pe unitatea de lungime). S segseascexpresiaintensitiicmpuluielectricladistanardeaceastadacdistribuiadesarcinse gsete n vid. Din considerente de simetrie,Eur are o direcie radial ca n figura de mai jos: Pentruadeterminacmpulelectricseconsiderosuprafacilindricacreiaxdesimetrieo constituiedistribuialiniardesarcin.Seobservcfluxulcmpuluielectricestediferitdezerodoarpe suprafaalateralacilindrului.Pebaze,fluxulestenuldeoareceunghiuldintrenormaliintensitatea cmpului electric este 2. Deoarece 0D E , legea lui Gauss se scrie: ( )0 0022EndS q E rh h Er rr 16. Permitivitatea unei sfere neomogene de raz R aflat n vid variaz dup legea: 0( ) 2rrR _ + , S se calculeze cmpul electric creat de o sarcin Q distribuit n ntregul volum al sferei. 41 Se aplic legea lui Gauss: DndS Q r r Pentru r < R, unde R este raza sferei, rezult: ( )32 2int 0 int 3 204 2 44 2r r QrD r Q r Q Q ER R R r R _ + + , Pentru r > R, rezult: 20 2044QE r Q Er 17.Unmediuneomogendar izotrop, caracterizat princonstantele i ,este strbtut de uncurent staionardedensitatejr.Ssearatecnmediulrespectivexistsarcinidevolumissecalculeze densitatea a acestora. Conform legii lui Gauss: D ur D E ur ur j E r ur Decij _ ,r Dar ( )ab a b b a +r r r Rezult: j j j _ _ + , ,r r r Deoarece densitatea de curentjr este aceeai n orice punct al mediului: 0 j r Atunci: j _ ,r 18.OsferderazancrcatcusarcinaQestenvelitntr-unstratdielectriccupermitivitatea relativ r astfel nct raza sferei astfel construit este b. S se determine potenialul la care se afl sfera. Se aplic legea lui Gauss pentru o suprafa sferic cu raza r, unde a < r < b. 42 0 rEdS Q ur ur Cmpul din interiorul dielectricului va fi: 204rQEr Pentru o suprafa sferic cu raza r > b din afara dielectricului, legea lui Gauss este: 0EdS Q ur ur Se obine: 204QEr Potenialul sferei este: 2 20 0 0 01 14 4 4 4b b br r a a b a aQ dr Q dr Q QV Edr Edr Edrr r a b b _ + + + , ur r ur r ur r 19. S sedeterminecmpulmagneticninteriorul unei bobine toroidale (o bobin toroidaleste un solenoiddelungimefinit,curbatsubformaunuitor).SecunoscnumruldespireNicurentulcaretrece prin bobin. Liniilecmpuluimagneticformeazcercuriconcentriceninteriorultorului.Seapliclegealui Ampere pe un contur circular de raz r : 0Bdl I ur r unde 0I IN . 0 02 B r NI Se obine: 0 02INBr 20.SsedeterminecmpulmagneticninteriorulinexteriorulunuicilindruderazRprincare circul un curent de densitate j, tiind c liniiledecmp sunt cercuri concentricen plane perpendiculare pe axa cilindrului. 43 ninteriorulcilindruluisecalculeazcmpulmagneticfolosindlegealuiAmperepeuncontur circular cu centrul pe axa cilindrului aflat ntr-un plan perpendicular pe cilindru de raz r < R : 0CBdl jdS ur r r ur unde S este suprafaa care se sprijin pe conturul C. 202 B r j r Se obine: 02jrBnexteriorulcilindruluisecalculeazcmpulmagneticfolosindlegealuiAmperepeuncontur circular cu centrul pe axa cilindrului aflat ntr-un plan perpendicular pe cilindru de raz r > R . Se obine relaia: 22 0022jRrB j R Br 21.ntr-oregiuneaspaiuluiexistuncmpmagneticuniformparalelcuaxaOz.Mrimealui variaz n timp dup legea: 0sin B B t S se determine cmpul electric n fiecare punct. Pentruacalculacmpulelectricsealegeunconturcircularderazrntr-unplanperpendicularpe axa Oz. Se aplic legea induciei electromagnetice: dEdldt ur r unde este fluxul magnetic prin suprafaa 2S r . 2 Edl rE ur r 20sin BS rB t Se obine: 20 012 cos cos2rE rB t E rB t 22.Unpunctmaterialoscileazdupecuaia t y2sin 10 .Dacaceastoscilaiesepropagsub forma unei unde plane, fr pierderi, cu viteza s m c / 300 , s se afle: a) ecuaia de oscilaie a unui punct material al mediului, atins de und, situat la distana x de sursa de unde; 44 b)ecuaiadeoscilaieaunuipunctmaterialsituatla m x 600 desurs.Ssecalculezevitezade micare a acestui punct las t 8 de la nceperea micrii; c) ecuaia punctelor atinse de und las t 4 de la nceperea oscilaiilor. a)( ) kx t A y cost y2sin 10Prin comparaie, rezult: 10 A ; 2 600ckDeci:,_

600 2cos 10xt yb) la m x 600 :,_

t y2cos 10

,_

tdtdyv2sin210la s t 8 :0 vc) las t 4 :( ) 10 2 cos 10 y 23. Ecuaia de oscilaie neamortizat a unui punct material estet y 5 , 2 sin . Undele plane produse nmediulnconjurtorsepropagneamortizatcuvitezas m c / 100 .Careesteelongaia,vitezai acceleraia unui punct atins de und situat la distanam x 20 de surs la momentuls t 1 ? ( ) kx t A y cos ;t y 5 , 2 sinPrin comparaie, rezult: 1 A ; 5 , 2 40ckDeci:,_

405 , 2 cosxt y

,_

405 , 2 sin 5 , 2xtdtdyv ;,_

405 , 2 cos 25 , 62xtdtdvaLa distana x i la momentul t se obin relaiile: 1 y ;0 v ; 225 , 6 a 45 24.Ssegseascelongaia,vitezaiacceleraiaunuipunctsituatladistana12 x deosursde unde plane, la momentul6Tt . Amplitudinea de oscilaie este cm A 5 , iar perioada este s T 1 . ( ) kx t A y cos ; ( ) kx t Adtdyv sin ; ( ) kx t Adtdva cos2 22T 611cos 5 y ; 611sin 10 v ; 611cos 202 a 25.Ssegseascdiferenadefazntrepuncteleceoscileazaflatela m x 101 , respectiv m x 162 desursadeunde.Secunosc:perioadadeoscilaies T 04 , 0 ivitezadepropagarea undei s m c / 300 . ( )1 1cos kx t A y ;( )2 2cos kx t A y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 12x xcTx x k kx t kx t 26. S se calculeze diferena de faz ntre dou puncte aflate pe direcia de propagare a unei unde la distanam 2 unul de cellalt. Lungimea de und este m 1 . ( ) ( ) ( ) 421 2 2 1x x k kx t kx t 27.Ssecalculezeindicelederefracieasunetuluilasuprafaadeseparaieaer-sticl,cunoscnd densitateasticlei 3/ 2600 m kg ,modululdeelasticitate 2 10/ 10 7 m N E ivitezasunetuluin aer s m c / 340 . 1sin sincrci ;r n i nsticla aersin sin sticlaccrisinsin; aersticlannrisinsin 46 Ecnccnrin naersticlaaer aer sticlasinsin 28. tiindviteza c0 a sunetului n aer la 0 0C, s secalculeze timpulde propagare a sunetului n aer de la sol pn la nlimea h, dac temperatura variaz liniar pe aceast distan de la T1 la T2. by a y T ) ( hT Tb T bh TT bh aT aT h TT Tbh a h Ta T2 12 12121) () 0 () () 0 ( ' ;'' yhT TT y T1 21) (+ dyy RTdty RTdtdy y RTc) () ( ) (

,_

2112121 202) (1) (T TR T Thdyy T Rdyy RTdthoho 29.OundsonorplanesteemisdelasuprafaaPmntuluisubunghiul 0030 i fade vertical.tiindcdependenadenlimeahdeasupraPmntuluiatemperaturiiatmosfericeestedatde expresia ( )12021 ) (1]1

+ Hh H ahT h T , s se determine distana de la locul emisiei la care unda sonor revine lasuprafaa Pmntului.Secunosc:25 , 0 a ;km H 25 .Sevapresupunecaerulsecomportcaungaz ideal. Seconsiderunstratdegrosimeinfinitdemic,aflatlanlimeay.Peaceststratpresupunemc vitezaundeiscadecudc,iarunghiulderefracievafimaimicdectunghiuldeincidencuovaloare infinitezimal di. Se aplic legea refraciei pentru acest strat: ( ) ( )cdcidi i di icdc cidi idc cdi ici 1sinsin cos cos sinsinsin sin sin Dar1 cos diidi di sin . cdcii di 1sincos1 cciicciic icdcii dcdcii d0 00 0ln ) ln(sinsin) (sinsin) (sin 47 000 0sin sinlnsinsinlnciciccii unde i0 i c0 sunt constante (sunt valori cunoscute). constci sin Pe de alt parte, viteza sunetului are expresia: ) (h RTc) ( ) ( sin) (sinh T h TRconst i consth RTi , unde este o constant. nlimealacareundancepesrevinlasuprafaaPmntuluiestenlimealacareareloc fenomenul de reflexie total pentru c temperatura ncepe s creasc i deci va crete i unghiul de inciden; la aceast nlime 2 i . Se obine: ( )1]1

+ 1 211) ( ) ( 1120Hh H ahT h T h T ( )1]1

+ 1 21212210Hh H ahT( )

,_

t + aTH h T H aHh ah11 1 0 1 2022 , 1 02 2 2 Se alege soluia cu +. 30. S se demonstreze c funcia,_

+ + ,_

cxt fcxt f ) t , x (2 1verific ecuaia unidimensional a undelor, indiferent de forma funciilor f1 i f2. Ecuaia unidimensional a undelor este: 222 221t c x Se noteaz cu cxt i cu cxt + i se calculeaz derivatele pariale ale funciei n raport cu x i t. c ddfc ddfdxdddfdxdddfx1 12 1 2 1+ ,_

+

,_

++

,_

2222122 222212221 1 1df ddf dc dxdc df ddxdc df dx 48 ++ ddfddfdtdddfdtdddft2 1 2 1 22221222+ df ddf dt nlocuind, se observ c se verific ecuaia undelor. 31. S se demonstreze c funcia: 0 0 0sin sin sin ) , , , (cnzbmyalxAe t z y xt i a) satisface ecuaia tridimensional a undelor dac:

,_

+ + 2022022022 2 2cnbmalcb) se anuleaz n 0si 0 a x x , n 0si 0 b y y i n 0si 0 c z z dac l, m i n sunt numere ntregi. Ecuaia tridimensional a undelor este: 222 2222221t c z y x + + 0 0 0 0sin sin coscnzbmyalxAealxt i 0 0 02022sin sin sincnzbmyalxAealxt i

,_

Analog, se calculeaz pentru derivatele n raport cu y i cu z. 0 0 02022sin sin sincnzbmyalxAebmyt i

,_

0 0 02022sin sin sincnzbmyalxAecnzt i

,_

0 0 0sin sin sincnzbmyalxAe itt i 0 0 0222sin sin sincnzbmyalxAett i nlocuind n ecuaie, se obine:

,_

,_

,_

22202020c alalal

,_

+ + 2022022022 2 2cnbmalc b) n0 0 x ; n0 0 y ; n0 0 z ; n0 sin0 l a xdac l este numr ntreg; n0 sin0 m b xdac m este numr ntreg; 49 n0 sin0 n c xdac n este numr ntreg. 32.Pesuprafaadesepararedintredouplcitransparente,cuindiciiderefracie21 n i 41 , 12 n ,cadeunfasciculdeluminsubunghiuldeincideni.Careestevaloareamaximaunghiuluii astfel nct lumina s ias din a doua plac? Deoarece n2 < n1, raza refractat se va deprta de normal. La suprafaa de separare dintre placa a 2-a i aer fasciculul de lumin se va deprta i mai mult de normal pentru c 2substana de lucru fiind un gaz perfect. 12 T1= ct.: 211121 12 12ln lnppRTVVRT Q L > 0 absQ Q 12 23: transf. politrop:const pV ; + 1RC CV ( ) ( )1 2 23 23 23 231T TRL dT C C dU Q LV ( ) dT C dT C dT C C dT C pdV dT C L dU QV V V V + 223 23 23 ( )23 2 11VRQ C T T _ , < 0 cedatQ Q 23 34: T2=ct.: 432342 34 34ln lnppRTVVRT Q L < 0 cedatQ Q 34 4-1: transf. politrop:const pV ; + 1RC CV 86 ( ) ( )2 1 41 41 41 411T TRL dT C C dU Q LV ( ) dT C dT C dT C C dT C pdV dT C L dU QV V V V + 241 41 41 ( )41 1 21VRQ C T T _ , > 0 absQ Q 41 1234absLQ=R( )2 41 21 321 1 21ln lnln1vV VT TV VV RRT C T TV+ _+ ,

41. S se demonstreze c n cazul unui proces adiabatic aplicat unui gaz ideal este adevrat relaia: pV=ct. S se calculeze lucrulmecanicefectuat n cursul unui astfelde proces, cndgazul trecedin starea caracterizat prin parametrii 1 1 1, , p VTn starea caracterizat prin parametrii 2 2 2, , p V T . L dU Q + Fiind o transformare adiabat Q = 0 i deci0 Q . 0 + pdV dT CV unde 1 RCV 01 + pdVRdT Pentru c este un gaz ideal ecuaia de stare este: ( ) ( ) RdT Vdp pdV RT d pV d RT pV + nlocuind, se obine: + +VdVpdpVdVpdppdV Vdp pdVVdp pdV0 01 ct pV ct V p + ln ln 1 111121212121+ + + + + V ct V ct V ctdVVctpdV LVVVVVV Dar:ct V p V p 2 2 1 1. nlocuind constanta se obine: 11 1 2 2V p V pL 87 42. S segseasc cretereaenergieiinterne U a unuimolde lichid(presupusgaz ideal R23CV ), care se dilat izobar de lal V 51 la l V 102 , procesul avnd loc la presiunea 2m / N 20 p . La gazele ideale, n transformarea izobar, energia intern depinde de temperatur i volum: ) (T U U dTTUdUV

,_

; dar VVTUC ,_

1; rezult:dT C dUV RpVT RT pV Pentru 1 mol de gaz se va scrie: ( )1 21 1 2 223V V pRV p V pC T C UV V 43.Ssecalculezelucrulmecanicefectuatdeocantitatede0,25kgamoniacntr-otransformare izotermlatemperaturade270Ccunoscndvolumuliniialalgazului 301 , 0 m V ipresiuneafinala acestuiaatm p 17 , 1 . 0 0ln lnVVRTmVVRT Q Lamoniac mol kgamoniac/ 31 Fiind o transformare izoterm T = const.: pmRTpVVRTpV pV pV V pamoniac 00 0 00 0 0lnpVmRTRTmLamoniac amoniac 44.ntr-unmotorDieselseaspiraeratmosfericlapresiunea 2 5/ 0 1 m N p ilatemperatura C t015 . Aerul este apoi comprimat adiabatic pn ce volumul scade de 15,6 ori. tiind c lucrul mecanic cheltuit la comprimare este de 1260 J se cere: a) masa de aer aspirat la o curs a pistonului b) temperatura aerului la sfritul comprimrii c) presiunea aerului la sfritul comprimrii 88 Se d exponentul adiabatic pentru aer = 1,4 i densitatea aerului3/ 3 , 1 m kgaer a) 1 111V m mVmaer aer aer 1 1112211 1 2 22121pVVpVV p V pVdV ctpdV LVVVVcomprimare 6 , 15112VV

,_

21121 12 2 2 1 1VVpVV pp V p V p ( )4 , 0114 , 01 111 4 , 1116 , 15 14 , 04 , 06 , 15 14 , 1 16 , 15 6 , 15 pLV V pp pV Lcomprimarecomprimare b)RTV p 11 1;RTV p 22 2; 12211 222 211 1VVVVT TTV pTV p

,_

c)

,_

21121 12 2 2 1 1VVpVV pp V p V p 45.ntr-uncilindruseaflocantitatedeaerla2 51/ 10 m N p ,K T 3001 ,ocupndvolumul l V 301 . Gazul din cilindru este supus la urmtoarele transformri: 1. O nclzire izocor pn la2 52/ 10 5 , 1 m N p 2. O destindere izobar pn lal V 603 3. O rcire izocor pn la1 4p p 4. O comprimare izobar pn la starea iniial. Se cunosc: grad g J CV / 7 , 0 ;grad g J Cp / 1 , 1 ;kmol kg / 9 , 28 . Aerul se consider gaz ideal. S se afle: 89 a) Masa aerului din cilindru. b) Temperatura la sfritul fiecrui proces. c) Lucrul mecanic efectuat i cantitatea de cldur schimbat de aerul din cilindru n fiecare proces. a) 11 11 1 1 1 1 1RTV pm RTmV p RT V pb) 1 2: izocor: 2 1V V ;121 22211ppT TTpTp ;2 52/ 10 5 , 1 m N p 2 3: izobar: 3 2p p ;232 33322VVT TTVTV ; l V 603 4 1: izobar: 1 4p p ;141 41144VVT TTVTV 3 4: izocor: l V V 604 3 ;211 441324433ppT TTpTpTpTp c) 1 2: izocor: 120 L ;( )2112 12 2 1TV VTQ U CdT C T T 2 - 3: izobar: ( ) ( )2123 2 3 2 3 2VVL pdV p V V RT T ( )3223 3 2Tp pTQ CdT C T T 3 4: izocor: 340 L ;( )4334 34 4 3TV VTQ U CdT C T T 4 1: izobar: ( ) ( )1441 1 1 4 1 4VVL pdV p V V RT T ( )1441 1 4Tp pTQ CdT C T T 90