1 karena ada dibedakan menjadi membentuk membentuk membentuk BARISAN DAN DERET Barisan dan Deret Keteraturan Pola Tertentu Barisan Geometri = −1 Barisan Aritmetika = + ( − 1) Deret Aritmetika = 2 [2 + ( − 1)] Deret Geometri = −1 −1 Deret Geometri Tak Hingga ∞ = 1−
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
karena ada
dibedakan menjadi
membentuk membentuk
membentuk
BARISAN DAN DERET
Barisan dan Deret
Keteraturan Pola Tertentu
Barisan Geometri
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1
Barisan Aritmetika
𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
Deret Aritmetika
𝑆𝑛 =𝑛
2[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏]
Deret Geometri
𝑆𝑛 =𝑎𝑟𝑛−1
𝑟 − 1
Deret Geometri Tak Hingga
𝑆∞ =𝑎
1 − 𝑟
2
Barisan atau pola bilangan adalah jajaran bilangan dengan urutan tertentu. Tepatnya,
barisan adalah daerah nilai suatu fungsi dengan daerah asal bilangan asli.
Contoh:
1. 𝑈𝑛 = 2𝑛 − 1
adalah suku ke-𝑛 dari suatu barisan, dimana 𝑛 ϵ N = {1,2,3,.....}
Barisan itu adalah : 1,3,5,7, …
2. Diketahui barisan 1
3,
1
6,
1
9
3. Rumus suku ke-𝑛 barisan ini adalah 𝑈𝑛 =1
3𝑛
Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan dimana selisih atau beda dua suku yang
berurutan konstan (tetap).
Misal:
1) 3, 7, 11, 15, 19, …
2) 30, 25, 20, 15, 10, …
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang
demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja
dan dilambangkan dengan c.
Barisan l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik
karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan 2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun
karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Perhatikan kembali contoh barisan 1)!
3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 = 3+ 4 (0)
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
3
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
⋮
Un = 3 + 4 (n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan
adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh
sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
𝑼𝒏 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒃
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika
naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, …, Un-1, Un disebut barisan aritmetika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstan.
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-𝑛 barisan aritmetika a, a + b, a + 2b, …, a + (n-1)b
U1, U2, U3, …, Un
Rumus suku ke-𝑛:
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n
Barisan Geometri
4
Jika kita memulai barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r maka kita
mendapatkan barisan berikut.
Jadi, U1, U2, U3, …, Un-1, Un disebut barisan geometri, jika 𝑈2
𝑈1=
𝑈3
𝑈2= ⋯ =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1=
konstan.
Konstanta ini disebut pembanding atau rasio (r).
Rasio 𝒓 =𝑼𝒏
𝑼𝒏−𝟏
Suku ke-n barisan geometri:
a, ar, ar² , …, arn-1
U1, U2, U3, …, Un
Suku ke n Un = arn-1 → Fungsi eksponen (dalam n)
Catatan:
Suatu barisan geometri disebut barisan geometri turun jika 0 < r < 1 dan
disebut barisan geometri naik jika r > 1.
5
dimana:
𝑎 = 𝑈1= suku awal 𝑏′ = beda baru
𝑏 = beda 𝑟 = rasio/pembanding
𝑈𝑛 = suku ke n 𝑟 ′ = rasio baru
𝑆𝑛 = jumlah suku ke n 𝑘 = banyaknya sisipan
𝑈𝑡 = suku tengah 𝑆 = jumlah tak hingga
Deret
Deret Aritmetika Deret Geometri Deret Geometri Tak Hingga
Bentuk umum:
𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + ⋯
Rumus-rumus
1. 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1
2. 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏
3. 𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)
4. 𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎 + 𝑈𝑛)
5. 𝑆𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑈𝑡
6. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
7. 𝑈𝑡 =𝑎+𝑈𝑛
2
8. 𝑏′ =𝑏
𝑘+1
Bentuk umum:
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯
Rumus-rumus
1. 𝑟 =𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
2. 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1
3. 𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)
1−𝑟, 𝑟 < 1
4. 𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)
𝑟−1, 𝑟 > 1
5. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
6. 𝑈𝑡 = √𝑎 ∙ 𝑈𝑛
7. 𝑟 ′ = √𝑟𝑘+1
Bentuk umum:
𝑆∞ =𝑎
1 − 𝑟
Jika |𝑟| < 1 deret
konvergen
(mempunyai limit
jumlah)
Jika |𝑟| ≥ 1 deret
devergen
6
Deret Geometri
Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret
geometri.
Jadi, bentuk penjumlahan dari barisan geometri U1, U2, U3, …, yaitu U1 + U2 + U3 +
… disebut deret geometri.
a + ar² + … + arn-1 disebut deret geometri.
dimana:
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
o Jumlah n suku
𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)
𝑟−1, jika 𝑟 > 1
=𝑎(1−𝑟𝑛)
1−𝑟, jika 𝑟 < 1 → Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
7
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
𝑈𝑡 = √𝑈1 ∙ 𝑈𝑛 = √𝑈2 ∙ 𝑈𝑛−1 … 𝑑𝑠𝑡
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah
𝑎
𝑟, 𝑎, 𝑎𝑟
Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1. Jumlah S deret
geometri tak hingga adalah
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak
terhingga, terdapat dua kasus yang harus kita perhatikan, yaitu:
Kasus 1
Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).
8
Kasus 2
Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 ini disebut deret geometri divergen
(memencar).
Jadi, deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + …
∑ 𝐔𝐧∞𝒏=𝟏 = a + ar + ar² + …
dimana 𝒏 → ∞ dan -1 < r < 1 sehingga rn → 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat:
Jumlah tak berhingga
𝑆∞ =𝑎
1 − 𝑟
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a + ar2 + ar4 + …
𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍 =𝒂
𝟏 − 𝒓𝟐
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + …
𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑 =𝒂𝒓
𝟏 − 𝒓𝟐
Didapat hubungan:
𝑺𝒈𝒆𝒏𝒂𝒑
𝑺𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍= 𝒓
9
CARA CEPAT MENYELESAIKAN SOAL PADA BARISAN ARITMETIKA
BILANGAN GANJIL
Contoh soal:
1. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali
bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih bilangan terbesar dan terkecil