SOLICITACIONES EN LOSAS SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 1 FIUBA – Depto. Construcciones y Estructuras 74.01 HORMIGON I SOLICITACIONES EN LOSAS 74.01 HORMIGON I SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 2 FIUBA – Depto. Construcciones y Estructuras 74.01 HORMIGON I TEMARIO DE LA CLASE FLEXION Cálculo de armaduras de losas CORTE Verificación de tensiones tangenciales (τ) TORSION Armadura de torsión Alivianamiento por torsión • SOLICITACIONES EN LOSAS • COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS Losa cruzada – Losa cruzada Losa cruzada – Losa unidireccional Losa cruzada – Voladizo SIEMPRE ENTRA EN JUEGO UNA LOSA CRUZADA
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SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 1
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SOLICITACIONES EN
LOSAS
74.01 HORMIGON I
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 2
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I
TEMARIO DE LA CLASE
FLEXION Cálculo de armaduras de losas
CORTE Verificación de tensiones
tangenciales (τ)
TORSION Armadura de torsión
Alivianamiento por torsión
• SOLICITACIONES EN LOSAS
• COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losa cruzada – Losa cruzada
Losa cruzada – Losa unidireccional
Losa cruzada – Voladizo
SIEMPRE ENTRA EN JUEGO UNA
LOSA CRUZADA
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 3
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I
TEORÍAS DE ANÁLISIS:Lineales
1. ELASTICASNo lineales
2. PLASTICAS
3. VISCOELÁSTICAS
PLACAS PLANAS:
ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS COMPRENDIDOS ENTRE DOS SUPERFICIES QUE EQUIDISTAN DE UN PLANO MEDIO.
METODOS DE CÁLCULO
Elementos finitos1. COMPUTACIONALES
Diferencias finitas
Exactos Resolución de las ecuacionesdiferenciales
2. MANUALESAproximados MARCUS-LÖSER
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 4
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TIPOS DE LOSAS
VOLADIZOS Viga deancho unitario Unica alternativa
LOSASUNIDIRECCIONALES
Viga deancho unitario
LOSASCRUZADAS
Método aprox.(Marcus-Löser)
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 5
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VOLADIZOS
Modelo de cálculo:
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I
LOSAS UNIDIRECCIONALES AISLADAS
Modelo de cálculo:
Se puedesubdividir
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 7
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I
LOSAS UNIDIRECCIONALES CONTINUAS
Modelo de cálculo:
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LOSAS CRUZADAS AISLADAS
Modelo de cálculo:
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SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 9
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LOSAS CRUZADAS CONTINUAS
Modelo de cálculo probable:
Modelo de cálculo definitivo: Surge de compatibilizar apoyos
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pLOSAS CRUZADAS CONTINUAS
Modelo de cálculo probable:
Modelo de cálculo definitivo: Surge de compatibilizar apoyos
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 11
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ESCALERA
Modelo de cálculo:
Esquema real:q
q
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 12
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[ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]mm
tmm
t
mm
t
mtm hHlP
lq
apM ⋅+⋅+⋅
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2
2
2
VOLADIZOS
LA ARMADURA DE TRAMO SE CALCULA CON EL MOMENTO DE
APOYO !!!!!!!
Momento máximo en apoyo:
Carga horizontal(Ver CIRSOC 201)
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 13
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[ ] [ ] [ ]mtm
mtm
t PlqQ +⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2
VOLADIZOS
Corte máximo:
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 14
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I
UNIDIRECCIONALES
NO EXISTEN MOMENTOS DE APOYOS !!!
[ ][ ]
8
2
2m
mt
mtm
lq
trM
⋅= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Momento máximo en tramo
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 15
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I
UNIDIRECCIONALES
[ ][ ]
22
mm
t
mt
lq
Q
⋅= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Corte máximo:
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 16
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I
UNIDIRECCIONALES
[ ][ ]
2
222 2 m
mt
mtm
lqapM
⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Momento máximo en apoyo
Corte máximo:
Según relaciones de luces y cargas en losas
[ ] [ ] [ ]mm
tm
tm laRatrM ⋅=
Momento máximo en tramo
Si existen, considerar carga vertical horizontal en extremo de voladizo.
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 17
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I
HIPOTESIS DE ESTUDIO
1º.- La teoría es lineal en cuanto a las deformaciones.
w: componente del desplazamiento en el eje z
Se cumple con w < 0.05 a
LOSAS CRUZADAS - Hipótesis
0;0
1;1
22
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
<<∂∂
<<∂∂
y
w
x
w
y
w
x
w w
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 18
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I
2º.- Se desprecian las deformaciones poducidas por esfuerzosde corte, para ello debe ser :
No puede haber agujeros ni cargas concentradas.
LOSAS CRUZADAS - Hipótesis
101
<a
h
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 19
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I
3º - Las deformaciones específicas en la dirección perpendicular al plano son despreciables, al igual que las tensiones.
Esta condición excluye la acción de cargas concentradas, ya que en supunto de aplicación las tensiones serían elevadas.
LOSAS CRUZADAS - Hipótesis
00 ≈≈ zyz σε
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 20
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I
4º - Para placas planas sin esfuerzos membranales, el planomedio es indeformable, o sea:
Se cumple estrictamente si: - la superficie deformada es desarrollable- los apoyos son deplazables
Puede considerarse aproximada si:
- Teoría no lineal Efectos de 2º orden.Si hay esfuerzos membranales:
- Tensiones elevadas, en el plano medio.
LOSAS CRUZADAS - Hipótesis
0
0
00
00
==
==
=
=
z
z
yy
xx
εε
εε
hw ⋅< 2.0
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 21
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I
TORSION EN LOSAS CRUZADAS
FUNCIONAMIENTO ESTRUCTURAL DE LAS PLACAS
Esquema I Esquema II
Lineas isostáticas
Bordes simplemente apoyadosEsquinas impedidas de levantarse
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 22
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I
TORSION EN LOSAS CRUZADAS
El funcionamiento de la placa puede estar representada por dos esquemas:
Esquema I Explica el comportamiento en el centro de la placaAsociado a los momento de tramo (Mx,My)
Esquema II Explica el comportamiento en las esquinas de la placa
Asociado a los momentos trosores.
FisurasEn cara superior
FisurasEn cara inferior
Tensiones de tracción
Tensiones de compresión
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 23
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I
TORSION EN LOSAS CRUZADAS
Losa formada por vigas paralelas
Sin deformación
Con deformación
Q1
Q2
Momentotorsor
RIGIDEZ A TORSION
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 24
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I
2º - Condiciones de borde:
Empotramiento perfecto ó articulación perfecta
METODO APROXIMADO DE MARCUS LÖSER – Validez del método
1º - Losas cuadradas o rectangulares, apoyadas en sus cuatrobordes. Sin presencia de huecos.
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
3º - Considera indeformabilidad de los apoyos. Es decir, vigasrigidas
4º - Las cargas actuantes deben ser uniformementedistribuidas.
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 25
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I
•Se considera la losa formada por fajas de ancho unitario, en lasdirecciones x e y.
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
•Las dos fajas centrales, de cada dirección, tienen el mismodesplazamiento en el punto central.
yx ff =
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 26
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I
• Según las condiciones de apoyo, en la dirección “x-x” y en la “y-y “, el esquema estático puede ser diferente para cada faja.
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
En x-x
En y-y
En x-x
En y-y
lx
lx
ly
ly
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 27
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I
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
JE
lqf
⋅⋅⋅⋅
=384
4ϖ
)(384384
44
yxy
yyy
x
xxx JJJE
lqy
JE
lqxyx ffff =
⋅⋅⋅⋅
==⋅⋅⋅⋅
=⇒=ϖϖ
y
yy
x
xx
m
lqy
m
lqx MM
22 ⋅=
⋅=
Si:
Siendo:
(1)
(2)
Llamando:
x
y
x
y
yx
l
l
qqqq
ϖϖ
ϖε
ρκ
==
⋅=⋅=
;
;
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 28
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I
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
Como: 4)1(1 εκϖκρκ ⋅−⋅=⇒=+
4
44
44
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
x
y
yyxx
yyyxxx
l
l
lqlq
lqlq
ρϖκ
ρϖκϖ
ϖϖ
4
4
4
11
1
εϖρ
εϖεϖκ
⋅+=
⋅+⋅
=
De (1)
Entonces:
De (2)y
y
x
x
m
lqy
m
lqx MM
22 ⋅⋅=
⋅⋅=
ρκ
f (ε, vinculos)
(3)
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 29
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I
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
Por la torsion resulta:
115.0
1
115.0
1
2
2
<⋅⋅
−=
<⋅⋅
−=
yy
xx
m
m
ερυ
εκυ
2
max
2
max
yy
y
y
xx
x
x
lqm
M
lqm
M
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
υρ
υκ
yyy
xxx
MM
MM
⋅=
⋅=
υ
υ
max
max
donde:
Reemplazando en (3) y (4) :
2
max
2
max
yy
xx
lqM
lqM
⋅⋅=
⋅⋅=
β
α
Alivianamientopor torsión
(4)
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 30
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I
LOSAS CRUZADAS – Método de Marcus-Löser
En los apoyos:
r
lqY
r
lqX
y
x
2
2
⋅⋅=
⋅⋅=
ρ
κ
Coeficientes:
m: 8 14.22 24ω: 5 2 1r: - 8 12
IMPORTANTE:Si se utilizan tablas que consideran el alivianamiento portorsión, deberá colocarse la ARMADURA DE TORSION en lasesquinas de las losas.
Como el modelo de cálculocontempla la continuidad de las
losas, la relación de luces y diferencias de cargas, el valor del
momento de apoyo surge del esquema indicado en la figura
Losas Unidireccionales continuas
NO HACE FALTACOMPATIBILIZAR
APOYOS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 36
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. C
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas Cruzadas simétricas
Por la condición de simetríageométrica y de cargas entre
las dos losas, resulta:
X1 = X2
NO HACE FALTACOMPATIBILIZAR
APOYOS
Lx1 = Lx2
d1 = d2
q1 = q1 = q2 =g1
X1 X2
X = X1 = X2
X
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 37
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas Cruzadas no simétricas
Resulta: X1 ≠ X2
HAY QUE COMPATIBILIZAR
APOYOS
Lx1 < Lx2 y d1 ≤ d2
X1X2
X
¿ Que valor de momento X adoptamos para dimensionar el
apoyo?
Condiciones: q1 ≈ q2
lx1 / lx2 ≥ 0.75d2 – d1 ≤ 2 cm
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 38
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con losa cruzada
2XXX 21
p+
=
Si X1 < X2 : X2 - X1 ≤ 0.4 Xp
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramo“Mx1”-”My1”-”Mx2”-”My2”
Xp
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 39
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con losa cruzada
2XXX 21
p+
=
Si X1 < X2 : X2 - X1 > 0.4 Xp
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx1”-”My1”-”Mx2”-”My2”
X1
Para el tramo de L2
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 40
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. C
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ras
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con losa unidireccional
2XXX 21
p+
=
Si X1 < X2 : X2 - X1 ≤ 0.4 Xp
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramo“Mx1”-”My1”-”Mx2”
Xp
Para el tramo de L2
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 41
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COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con losa unidireccional
2XXX 21
p+
=
Si X1 < X2 : X2 - X1 > 0.4 Xp
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx1”-”My1”-”Mx2”
X1
Para el tramo de L2
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 42
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con losa unidireccional
2XXX 21
p+
=
Si X1 > X2 : X1 - X2 ≤ 0.4 Xp
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx1”-”My1”-”Mx2”
Xp
Zona M-
M+ minimo regl.
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 43
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con losa unidireccional
2XXX 21
p+
=
Si X1 > X2 : X1 - X2 > 0.4 Xp
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx1”-”My1”-”Mx2”
X2
Para el tramo de L1
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 44
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OR
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con voladizos
Si X1g < X2 : X2 - X1g > 0.2 X1g
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx2”-”My2”
El voladizo siemprecon X1
X1 = X1g + X1p
Para el tramo de L2
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 45
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con voladizos
Si X1g < X2 : X2 - X1g ≤ 0.2 X1g
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx2”-”My2”
El voladizo siemprecon X1
X1 = X1g + X1pPara el tramo de L2
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 46
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ras
74.0
1 H
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
Losas cruzadas con voladizos
Si X1g > X2 :
Momento resultanteen apoyo
Momentos resultantes en tramos“Mx2”-”My2”
El voladizo siemprecon X1
X1 = X1g + X1pPara el tramo de L2
SOLICITACIONES EN LOSAS
SOLICITACIONES EN LOSAS Lámina 47
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1 H
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I
COMPATIBILIZACIÓN DE APOYOS
CONCLUSIÓN:
La compatibilización entre apoyos es un procedimiento aproximado quese utiliza para determinar el momento de dimensionamiento de un apoyoen común.
¿POR QUE SE APLICA?
Porque por el método de Marcus Löser, para el mismo apoyo se obtienendos valores diferentes de momentos.
¿QUE LOSAS INTERVIENEN?
Siempre interviene una losa cruzada, porque ésta se calcula mediantetablas, y cada una en forma independiente, sin considerar las relacionesentre luces y cargas de las losas contiguas.