-
Fisika Matematika IFisika Matematika I
KontrakKontrak PerkuliahanPerkuliahan
Fisika Matematika IFisika Matematika I
(2 SKS)(2 SKS)
DosenDosen PengampuPengampu
SahrulSahrul HidayatHidayat
10:01:02
SahrulSahrul HidayatHidayat
KompetensiKompetensi yang yang diharapkandiharapkan
MetodeMetode PerkuliahanPerkuliahan
MetodeMetode EvaluasiEvaluasi
MateriMateri KuliahKuliah
ReferensiReferensihttp://staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/http://staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/
-
KOMPETENSIKOMPETENSI
MahasiswaMahasiswa mampumampu menggunakanmenggunakan
BilanganBilangan dandan
PersamaanPersamaan AljabarAljabar Kompleks,Kompleks,
Matriks,Matriks, dandan AnalisaAnalisa
VektorVektor untukuntuk melakukanmelakukan analisisanalisis
gejalagejala fisikafisika..
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
MampuMampu merepresentasikanmerepresentasikan vektorvektor
dandan matrikmatrik dalamdalam
sistemsistem koordinatkoordinat yangyang berbedaberbeda dandan
melakukanmelakukan
operasioperasi vektorvektor dandan matriksmatriks dengandengan
benarbenar
-
METODE PERKULIAHANMETODE PERKULIAHAN
SistemSistem pembelajaranpembelajaran dilakukandilakukan
dengandengan caracara
presentasipresentasi dengandengan menggunakanmenggunakan
fasilitasfasilitas
multimediamultimedia oleholeh dosendosen
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
multimediamultimedia oleholeh dosendosen
LatihanLatihan penyelesaianpenyelesaian soalsoal atauatau
kasuskasus dengandengan
metodemetode diskusidiskusi dandan tanyatanya jawabjawab
PengayaanPengayaan materimateri dilakukandilakukan
dengandengan memberikanmemberikan tugastugas
peroranganperorangan atauatau kelompokkelompok
-
METODE EVALUASIMETODE EVALUASI
MetodeMetode evaluasievaluasi dilakukandilakukan dengandengan
UjianUjian TengahTengah
SemesterSemester dandan UjianUjian AkhirAkhir SemesterSemester..
SelainSelain ituitu
ditambahditambah dengandengan komponenkomponen
penunjangpenunjang daridari kuiskuis
//tugastugas..
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
//tugastugas..
PenilaianPenilaian
KuisKuis :: 1515 %%
TugasTugas :: 1515 %%
UTSUTS :: 3535 %%
UASUAS :: 3535 %%
-
MATERI KULIAHMATERI KULIAH
Bilangan dan Persamaan Aljabar KompleksBilangan dan Persamaan
Aljabar Kompleks
Defenisi bilangan kompleksDefenisi bilangan kompleks
Aljabar bilangan kompleks Aljabar bilangan kompleks
Contoh Penerapan dalam FisikaContoh Penerapan dalam Fisika
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
MatriksMatriks
Defenisi serta aljabar matriks, dan Defenisi serta aljabar
matriks, dan
determinandeterminan
Sistem persamaan linierSistem persamaan linier
Transformasi koordinatTransformasi koordinat
Analisis VektorAnalisis Vektor
Kalkulus diferensial fungsi vektorKalkulus diferensial fungsi
vektor
KalkulusKalkulus Integral fungsi vektorIntegral fungsi
vektor
-
REFERENSIREFERENSI
MaryMary LL.. Boas,Boas, MathematicalMathematical methodsmethods
inin thethe
physicalphysical sciencessciences,, 33rdrd eded..,, JohnJohn
WileyWiley && Sons,Sons,
NewNew York,York, 20062006
10:01:02
Fisika Matematika IFisika Matematika I
KK.. FF.. Riley,Riley, MM.. PP.. HobsonHobson andand SS.. JJ..
Bence,Bence,
MathematicalMathematical MethodsMethods forfor PhysicsPhysics
andand
EngineeringEngineering 33rdrd editionedition
,Cambridge,Cambridge UniversityUniversity
Press,Press, 20062006
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Apa definisi Bilangan Imajiner/komplek?Apa definisi Bilangan
Imajiner/komplek?
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Bilangan Asli ( bilangan hitung)Bilangan Asli ( bilangan
hitung)
-1 Bilangan RasionalBilangan Rasional
1
Pengelompokkan BilanganPengelompokkan Bilangan
3 + 4i 2i
Bilangan Bilangan
Imajiner/KomplekImajiner/Komplek c
Bilangan RealBilangan Real-3
1
2
BilanganBilangan integersintegers0.41
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Bilangan imajiner adalah suatu bentukBilangan imajiner adalah
suatu bentuk bilanganbilangan untuk untuk
mendefinisikan solusi persamaan polinomialmendefinisikan solusi
persamaan polinomial
Arti bilanganArti bilangan imajiner:imajiner:
Atau:Atau:
Bilangan komplek adalah kombinasi dari bilangan real Bilangan
komplek adalah kombinasi dari bilangan real
dan bilangan imajinerdan bilangan imajiner
Bagian real
imajinar
11 + 18i
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
KenapaKenapa munculmuncul istilahistilah bilanganbilangan
komplekkomplek??
BilanganBilangan komplekkomplek munculmuncul padapada saatsaat
mencarimencari akarakar--akarakar daridari
persamaanpersamaan polinomialpolinomial
ContohContoh padapada solusisolusi akarakar persamaanpersamaan
kuadratkuadrat::
10:01:02
AkarAkar--akarakar persamaanpersamaan
kuadratkuadrat adalahadalah::
BagianBagian realreal
BagianBagian imajinerimajiner
BilanganBilangan komplekkomplek
-
KenapaKenapa solusisolusi akarakar kuadratkuadrat adaada yang
yang bersifatbersifat komplekkomplek??
BagaimanaBagaimana bentukbentuk fungsifungsi
persamaanpersamaan
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
TidakTidak adaada nilainilai z yang real z yang real
padapada kondisikondisi f(z)f(z) = 0= 0
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PenulisanPenulisan bilanganbilangan komplekkomplek
iyxz += jyxz +=atauatau
xx adalahadalah bagianbagian real real dandan yy adalahadalah
bagianbagian imajinerimajiner
AkarAkar--akarakar pesamaanpesamaan kuadratkuadrat::
10:01:02
AkarAkar--akarakar pesamaanpesamaan kuadratkuadrat::
DapatDapat ditulisditulis sbbsbb::
Bilangan komplek dapat di Bilangan komplek dapat di
representasikan dalam koordinat representasikan dalam
koordinat
xx--y, bentuk tersebut dinamakan y, bentuk tersebut
dinamakan
diagram komplekdiagram komplek (diagram (diagram
Argand).Argand).
-
y2
3
2 + 32 + 3ii
Diagram ArgandDiagram Argand
Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
x
1 2 3
1
Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat
diungkapkan dalam diungkapkan dalam bentuk titik bentuk
titik
di dalam diagram Arganddi dalam diagram Argand
-
y1
2
3
A
Diagram ArgandDiagram Argand
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
x
1 2 3
1
O
A
Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat
diungkapkan dalam bentuk diungkapkan dalam bentuk
vektorvektor di dalam diagram di dalam diagram
ArgandArgand
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
OperasiOperasi PenjumlahanPenjumlahan dandan
PenguranganPengurangan
BagianBagian real real dijumlahkandijumlahkan dengandengan
bagianbagian real real dandan bagianbagian
imajinerimajiner dengandengan bagianbagian imajinerimajiner
10:01:02
PenjumlahanPenjumlahan duadua
bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam
representasirepresentasi diagramdiagram
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
ContohContoh
JumlahkanJumlahkan ketigaketiga bilanganbilangan komplekkomplek
berikutberikut::
1 + 2i; 3 4i; 2 + i
10:01:02
BagianBagian realreal BagianBagian imajinerimajiner
HasilnyaHasilnya
2 - i
-
y1
2
3B
C
Penjumlahan/PenguranganPenjumlahan/Pengurangan
Di dalam Diagram ArgandDi dalam Diagram Argand
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
x
1 2 3
1
O
A
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
Modulus Modulus dandan ArgumenArgumen
Modulus Modulus bilanganbilangan komplekkomplek adalahadalah
nilainilai absolutnyaabsolutnya, , dituliskandituliskan
sbbsbb::
Dalam diagram komplek, Dalam diagram komplek, |||||||| z z
|||||||| adalah jarak/panjang dari titik acuan.adalah jarak/panjang
dari titik acuan.
ArgumenArgumen adalahadalah sudutsudut yang yang
dibentukdibentuk oleholeh |||||||| z z |||||||| dengandengan
sumbusumbu x x
10:01:02
ArgumenArgumen adalahadalah sudutsudut yang yang
dibentukdibentuk oleholeh |||||||| z z |||||||| dengandengan
sumbusumbu x x positippositip didi dalamdalam diagram diagram
komplekkomplek. . NilaiNilai argumenargumen dihitungdihitung
sbbsbb::
ContohContoh: : HitungHitung modulus modulus dandan
argumenargumen daridari bilanganbilangan komplekkomplek z = 2 z = 2
3i3i
Modulus:Modulus:
ArgumenArgumen:: Karena x positif dan y negatif, maka Karena x
positif dan y negatif, maka
terletak dikuadran 4, jadi argumen z terletak dikuadran 4, jadi
argumen z
adalah adalah 5656 atau 304atau 304
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PerkalianPerkalian BilanganBilangan KomplekKomplek
i2= 1Catatan:
Hitung perkalian z1 = 3 + 2i dan z2 = 1 4i
10:01:02
Operasi perkalian bilangan komplek berlaku sifat komutatif dan
asosiatif
Modulus dan argumen perkalian bilangan komplek memiliki
sifat:
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
HitungHitung hasilhasil kali kali bilanganbilangan
komplekkomplek zz11 = 3 + 2i = 3 + 2i dandan zz22 = = 1 1
4i4iCekCek untukuntuk operasioperasi perkalianperkalian
berlakuberlaku ||||||||zz22zz22|||||||| = = ||||||||zz11||||||||
||||||||zz22||||||||
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
Sederhanakan Bentuk bilangan berikut:Sederhanakan Bentuk
bilangan berikut:
1.1.
2.2.
3.3.
4.4.
5.5.
6.6.
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
0136
:berikutkuadrat persamaan akar Cari.7
2 =+ xx
2
52366x
=
komplekbentuk dalam Solusi23
2
1166
2
166
2
ix
x
x
=
=
=
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02
=
=
=
3
2
i
i
ii
Pangkat dari bilangan imajinerPangkat dari bilangan imajiner
( )iii
i
ii
==
==
=
3
22
1
11
=
=
=
=
=
7
6
5
4
3
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
iii
=
=
=
==
==
7
6
5
4
3
1
111
1
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
KonjugatKonjugat KomplekKomplek
KonjugatKonjugat komplekkomplek daridari z z diberidiberi
simbolsimbol zz**
KonjugateKonjugate komplekkomplek daridari zarizari z= x + z= x
+ iyiy adalahadalah zz** = x = x iyiy
10:01:02
KonjugatKonjugat komplekkomplek daridari zz
memilikimemiliki nilainilai xx dandan yy yang yang
samasama, , tetapitetapi jikajika dikalikandikalikan
akanakan menghasilkanmenghasilkan bilanganbilangan
real real tanpatanpa komponenkomponen
imajinerimajiner
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
TentukanTentukan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari z = a
+2i + 3ibz = a +2i + 3ib
KonjugatKonjugat komplekkomplek diperolehdiperoleh dengandengan
menggantimengganti ii dengandengan ii
Konjugat kompleknya:
ixwwz ixy 5 dimana )23( +== +
10:01:02
TentukanTentukan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari ::
ixwwz ixy 5 dimana )23( +== +
Konjugat kompleknya:
SifatSifat konjugatkonjugat komplekkomplek::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PembagianPembagian bilanganbilangan komplekkomplek
MengubahMengubah bagianbagian pembilangpembilang
sehinggasehingga menjadimenjadi real, real, dengandengan
caracara
mengalikanmengalikan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari
pembilangpembilang
10:01:02
EkspresikanEkspresikan bilanganbilangan komplekkomplek
berikutberikut dalamdalam bentukbentuk z = x + z = x + iyiy
i
iz
41
23
+
=
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
KalikanKalikan dengandengan konjugatkonjugat komplekkomplek
daridari pembilangpembilang::
SifatSifat pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek:
:
10:01:02
SifatSifat pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek:
:
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
UngkapanUngkapan bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam
bentukbentuk polarpolar
Bentuk polar adalah bentuk fungsi eksponensial, definisi
fungsi eksponensial adalah sbb:
Jika z = i, maka:
10:01:02
Jika z = i, maka:
Cos Sin
dinamakandinamakan persamaanpersamaan EulerEuler
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
NotasiNotasi polar polar bilanganbilangan komplekkomplek
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PerkalianPerkalian dandan pembagianpembagian bilanganbilangan
komplekkomplek dalamdalam notasinotasi
polarpolar
dan
10:01:02
PerkalianPerkalian::
dan
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
PembagianPembagian::
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
TeoremaTeorema dede--MoivreMoivre
DalamDalam notasinotasi komplekkomplek
berlakuberlaku hubunganhubungan::PersamaanPersamaan Euler
Euler
menyatakanmenyatakan::
MakaMaka berlakuberlaku
hubunganhubungan::
10:01:02
hubunganhubungan::
TeoremaTeorema dede--MoivreMoivre
( ) ninrerz ninnn sincos +==
+==n
in
rerz nninn sincos//1/1
SelanjutnyaSelanjutnya dapatdapat diturunkanditurunkan
hubunganhubungan::
BilanganBilangan komplekkomplek
pangkatpangkat nn
BilanganBilangan komplekkomplek
akarakar pangkatpangkat nn
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
UngkapkanUngkapkan coscos 33 dandan sin 3sin 3 dalamdalam coscos
dandan sin sin
MenurutMenurut teoremateorema dede--MoivreMoivre::
RealReal ImajinerImajiner
10:01:02
BagianBagian real real dandan bagianbagian imajinerimajiner
dapatdapat dipisahdipisah sbbsbb::
RealReal ImajinerImajiner
BagianBagian RealReal
BagianBagian ImajinerImajiner
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
( )81 i+HitungHitung nilainilai daridari::
iz +=1
Modulus:Modulus:
ArgumenArgumen::
2=r
=
DalamDalam notasinotasi polar:polar:4/2 iez =
10:01:02
ArgumenArgumen::
4 =
( ) ( ) 161621 284/8 ===+ ii eei
12sin2cos =+ i
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
DenganDengan menggunakanmenggunakan teoremateorema
dede--MoivreMoivre buktikanbuktikan bahwabahwa
berlakuberlaku hubunganhubungan::
10:01:02
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
UntukUntuk kasuskasus n=1 n=1
berlakuberlaku hubunganhubungan::
NyatakanNyatakan coscos33 dalamdalam bentukbentuk coscos 33
dandan coscos
10:01:02
DenganDengan demikiandemikian::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
BilanganBilangan KomplekKomplek
MencariMencari solusisolusi persamaanpersamaan zznn= 1= 1
MenurutMenurut rumusrumus Euler : Euler : kike ik 2sin2cos2
+=
= 1 ; = 1 ; untukuntuk k = 0,1,2,3k = 0,1,2,3
= 2k
10:01:02
DapatDapat dituliskandituliskan: :
JadiJadi solusisolusi persamaanpersamaan zznn = 1 = 1
adalahadalah
k=nk=n--11
-
TentukanTentukan solusisolusi ((akarakar--akarakar) )
persamaanpersamaan zz33 = 1= 1
UntukUntuk n =3:n =3:
SolusiSolusi persamaanpersamaan didi atasatas adalahadalah
::
FisikaFisika MatematikaMatematika II
10:01:02
SolusiSolusi persamaanpersamaan didi atasatas adalahadalah
::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
LogaritmaLogaritma komplekkomplek dandan pangkatpangkat
komplekkomplek
BilanganBilangan komplekkomplek dapatdapat dituliskandituliskan
dalamdalam bentukbentuk::
DenganDengan: : argarg z = z = +2n+2nn = 0,1,2,3,.n =
0,1,2,3,.
DenganDengan mengoprasikanmengoprasikan logaritmalogaritma
padapada keduakedua ruasruas, , diperolehdiperoleh::
10:01:02
DenganDengan mengoprasikanmengoprasikan logaritmalogaritma
padapada keduakedua ruasruas, , diperolehdiperoleh::
TentukanTentukan nilainilai daridari LnLn ((--ii))
Modulus :Modulus : 1)1( 2 === rz ArgumenArgumen ::20
1tan 1
=
=
JadiJadi nilainilaiLnLn 1 = 01 = 0
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
SederhanakanSederhanakan bilanganbilangan komplekkomplek z = iz
= i--2i2i
OperasikanOperasikan logaritmalogaritma padapada
fungsifungsi::
LnLn ii dapatdapat ditulisditulis dalamdalam bentukbentuk::
10:01:02
LnLn ii dapatdapat ditulisditulis dalamdalam bentukbentuk::
z z dapatdapat disederhanakandisederhanakan sbbsbb::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
FungsiFungsi HiperbolikHiperbolik
TrigonometriTrigonometri sudutsudut komplekkomplek::
DidefinisikanDidefinisikan::
AnalogiAnalogi dengandengan fungsifungsi
trigonometritrigonometri, , berlakuberlaku jugajuga untukuntuk
fungsifungsi
10:01:02
AnalogiAnalogi dengandengan fungsifungsi
trigonometritrigonometri, , berlakuberlaku jugajuga untukuntuk
fungsifungsi
hiperbolikhiperbolik::
-
FisikaFisika MatematikaMatematika II
HubunganHubungan trigonometritrigonometri dengandengan
fungsifungsi hiperbolikhiperbolik::
10:01:02
PersamaanPersamaan identitasidentitas dalamdalam
trigonometritrigonometri jugajuga
berlakuberlaku untukuntuk fungsifungsi hiperbolikhiperbolik
-
ContohContoh AplikasiAplikasi
IRVR =
dt
dILVL =
IdVC =
10:01:02
FisikaFisika MatematikaMatematika II
C
I
dt
dVC =
tieII 0=
RIeRIV tiR ==
0
LIieLIiV tiL == 0
ICi
eICi
V tiC 11
0 ==
IC
LiR
VVVV CLR
+=
++=
1
ImpedansiImpedansi (Z)(Z)