FISIKA UNTUK SAINS & TEKNIK

Nila AliaPomdi Udianto

Fengky Adie Perdana

FISIKA UNTUK SAINS & TEKNIK

FISIKA TEKNIK

i

FISIKA TEKNIK

ii

FISIKA TEKNIK

Penulis :

Nila Aila

Pondi Udianto

Fengky Adie Perdana

Penerbit :

Polinema Press

FISIKA TEKNIK

iii

FISIKA UNTUK SAINS & TEKNIK

Hak Cipta © Nila Aila

Pondi Udianto

Fengky Adie Perdana

Hak Terbit pada POLINEMA PRESS

Penerbit POLINEMA PRESS, Politeknik Negeri Malang

Jl. Soekarno-Hatta no.09 PO BOX 04 Malang 65141

Telp. (0341) 404424, 404425

Fax. (0341) 404420

UPT. Percetakan dan Penerbitan

Gedung AU ground floor

[email protected]

www.polinemapress.org

press.polinema.ac.id

Anggota APPTI (Asosiasi Penerbit Perguruan Tinggi Indonesia) no.

207/KTA/2016

Anggota IKAPI (Ikatan Penerbit Indonesia) no. 177/JTI/2017

Cetakan Pertama, Juni 2021

ISBN : 978-623-6562-91-8

xiv;161 hlm.; 15,5 x 23 cm

Setting & Layout : Putra Fanda Hita

Cover Design : Putra Fanda Hita

Penyunting : Abd. Muqit

Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak karya tulis ini

dalam bentuk dan dengan cara apapun, termasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari

penerbit. Pengutipan harap menyebutkan sumber.

FISIKA TEKNIK

iv

Sanksi Pelanggaran Pasal 113

Undang-Undang Nomor 28 Tahun 2014

Tentang Hak Cipta

1) Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi

sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara

Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau

pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).

2) Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang

Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana

dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk

Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3

(tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus

juta rupiah).

3) Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang

Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana

dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk

Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 4

(empat) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp1.000.000.000,00 (satu

miliar rupiah).

4) Setiap Orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang

dilakukan dalam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling

lama 10 (sepuluh) tahun dan/atau pidana denda paling banyak

Rp4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah).

FISIKA TEKNIK

v

KATA PENGANTAR

Disiplin Ilmu Fisika Teknik termasuk salah rumpun Ilmu Fisika, sebagai

matakuliah yang bertujuan untuk memberi pemahaman terhadap

mahasiswa tentang besaran, dimensi, satuan vector, dan analisis gaya-gaya

yang wajib dikuasai oleh mahasiswa Teknik sipil. Kehadiran Buku Fisika

Teknik, yang ditulis oleh Nila Alia, Pondi Udianto, dan Fengky Adie

Perdana, sebagai dosen Fisika ini dapat memperkaya pengetahuan bagi

mahasiswa Teknik Sipil. Ketiga penulis ini memiliki kompetensi yang

cukup memadai di bidang Ilmu Fisika. Buku yang ditulisnya membahas

tujuh topik yang perlu dikuasai oleh mahasiswa yatu: (1) pengukuran; (2)

besaran skalar dan besaran vektor; (3) kinematika gerak; (4) dinamika

gerak; (5) statika; (6) usaha dan energi; dan (7) momentum linier dan

impuls.

Secara substansial, para penulis buku ini menjelaskan 7 (tujuh) topik

di bidang Fisika Teknik. Kesatu, menjelaskan pengukuran merupakan hal

yang paling dasar dalam fisika untuk melakukan pengujian suau teori

dengan membandingkan suatu besaran yang diukur dan besaran standar,

sehingga dalam melakukan aktivitas pengukuran diperlukan sistem satuan

yang konsisten. Kedua, menjelaskan besaran skalar merupakan besaran

yang hanya ditentukan oleh besar nilainya saja, misalnya panjang, massa,

waktu, dan kelajuan. Sedangkan besaran vektor merupakan besaran yang

ditentukan oleh besar nilai dan arahnya, misalnya kecepatan, percepatan,

dan gaya. Ketiga, membahas tentang kinematika gerak merupakan salah

satu cabang ilmu fisika yaitu mekanika yang dibagi kedalam tiga cabang

ilmu, yaitu kinematika, dinamika, dan statika. Keempat, menjelaskan

berkaitan dengan dinamika gerak. Kelima, statika yang berkaitan dengan

titik berat benda yang menjadi penyeimbang suatu benda, dimana semua

bagian benda terpusat pada titik tersebut. Keenam, tentang usah dan energi.

Istilah usaha memiliki pengertian yang jelas berbeda dalam fisika dari

artinya dalam kehidupan sehari-hari. Ketujuh, tentang momentum dan

impuls, bahwa eetiap benda yang bergerak mempunyai momentum yang

besarnya berbanding lurus dengan massa dan kecepatan benda.

FISIKA TEKNIK

vi

Kekuatan buku ini sebagai bahan ajar selain materi-materi ajar yang

bersifat teoritis juga dilengkapi dengan contoh-contoh soal yang praktis

dan pelatihan-pelatihan untuk mempermudah pembelajaran bagi

mahasiswa sehingga dapat lebih cepat pemahamannya. Saya menilai buku

ini layak untuk diterbitkan, selain untuk bahan ajar bagi mahasiswa juga

dapat dijadikan bahan rujukan bagi para peminat fisika teknik di

lingkungan perguruan tinggi vokasional di Indonesia. Selamat membaca

dan menyimak.

Bogor, 20 September 2021

Asessor/Editor/Trainer/Penulis,

Dr. H. Abdu Rahmat Rosyadi, S.H., M.H

FISIKA TEKNIK

vii

PRAKATA

Penguasaan ilmu dasar teknik merupakan sesuatu yang mutlak

diperlukan. Fisika merupakan ilmu dasar yang menunjang bidang ilmu lain

baik yang bersifat murni maupun terapan. Dalam kehidupan, kita

seringkali melakukan pengamatan terhadap suatu besaran tertentu.

Pengamatan terhadap suatu besaran fisis akan dilanjutkan dengan

pengukuran besaran tersebut. Mata kuliah fisika teknik tidak terlepas dari

kegiatan pengamatan dan pengukuran dengan menggunakan alat ukur.

Untuk dapat melakukan pengukuran dengan baik diperlukan perhatian

terhadap beberapa faktor diantaranya metode, kondisi alat, hingga analisa

data hasil pengukuran yang selanjutnya menarik kesimpulan. Ketelitian

sangat diperlukan dalam kegiatan pengukuran agar hasil ukur yang

diperoleh sesuai dengan yang diharapkan.

Dalam konteks ilmiah, hasil pengukuran harus dapat dipertanggung

jawabkan baik untuk keperluan praktis maupun sains itu sendiri, sehingga

hasil pengukuran yang dilaporkan harus memenuhi aturan tertentu

sehingga pembaca mendapatkan manfaatnya. Buku ini menyajikan materi

mata kuliah fisika teknik sebagai dasar yang erat kaitannya dengan teknik

mesin utamanya berkaitan dengan pengukuran dan aturan formal yang

perlu diketahui dalam kerangka ilmiah.

Agar dapat berhasil mempelajari dan memanfaatkan buku ini,

berusahalah secara sungguh-sungguh dan memahami teori yang diberikan

dalam kegiatan perkuliahan maupun materi pada buku ini dengan

membacanya. Jika materi belum Anda pahami dalam penjelasan buku ini,

silakan mencari sumber lain ataupun dapat menanyakan kepada penulis

melalui telepon ataupun email.

FISIKA TEKNIK

viii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................................. ii

PRAKATA .............................................................................................. iii

DAFTAR ISI ........................................................................................... iv

DAFTAR GAMBAR ............................................................................. vii

DAFTAR TABEL .................................................................................... x

PENDAHULUAN .................................................................................... 1

BAB I PENGUKURAN .......................................................................... 1

A. Besaran ............................................................................................. 1

B. Sistem Satuan ................................................................................... 1

BAB 2 BESARAN SKALAR DAN BESARAN VEKTOR ................ 21

A. Besaran Skalar ................................................................................ 21

B. Besaran Vektor ............................................................................... 21

BAB 3 KINEMATIKA GERAK ......................................................... 35

A. Gerak Lurus .................................................................................... 35

B. Gerak Melingkar ............................................................................. 51

C. Gerak Parabola ............................................................................... 62

BAB 4 DINAMIKA GERAK ............................................................... 69

A. Medan Grafitasi .............................................................................. 73

B. Energi Potensial Grafitasi ............................................................... 76

C. Potensial Grafitasi........................................................................... 78

D. Hukum Kekekalan Energi Medan Grafitasi .................................... 80

E. Gerakan Planet ................................................................................ 81

F. Hukum Newton .............................................................................. 83

G. Dinamika Gerak Rotasi ................................................................... 92

BAB 5 STATIKA (KESEIMBANGAN) ........................................... 105

A. Titik Berat Benda.......................................................................... 105

FISIKA TEKNIK

ix

B. Keseimbangan .............................................................................. 109

BAB 6 USAHA DAN ENERGI .......................................................... 123

A. Usaha .......................................................................................... 123

B. Energi .......................................................................................... 127

C. Aplikasi Penggunaan W = Ek ..................................................... 129

D. Daya .......................................................................................... 133

BAB 7 MOMENTUM LINIER DAN IMPULS................................ 139

A. Pengertian Momentum dan Impuls ............................................... 139

B. Hukum Kekekalan Momentum ..................................................... 139

C. Tumbukan ..................................................................................... 140

BAB 8 GERAK HARMONIK ........................................................... 145

A. Frekuensi ...................................................................................... 146

B. Proyeksi Gerak Melingkar Beraturan............................................ 146

C. Periode Gerak harmonik ............................................................... 148

D. PHASE ( ) ................................................................................. 150

E. Superposisi dua gerak harmonik sederhana yang frekuensinya .... 150

F. Energi pada gerak harmonis sederhana ......................................... 152

G. Contoh-contoh Gerak Harmonik ................................................... 153

DAFTAR PUSTAKA........................................................................... 159

BIODATA PENULIS........................................................................... 161

FISIKA TEKNIK

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1. vektor dengan panjang dan arah sama ............................... 23

Gambar 2. 2. vektor dengan panjang sama dan arah berlawanan ........... 23

Gambar 2. 3. vektor dengan panjang ...................................................... 23

Gambar 2. 4. Cara jajaran genjang ......................................................... 24

Gambar 2. 5. Cara segitiga ..................................................................... 25

Gambar 2. 6. Pengurangan vektor .......................................................... 25

Gambar 2. 7. Operasi vektor sudut 0O .................................................... 25

Gambar 2. 8. Operasi vektor sudut 90O .................................................. 25

Gambar 2. 9. Operasi vektor sudut 180o (arah R sama dengan kedua

vektor) .................................................................................................... 25

Gambar 2. 10. Penguraian Vektor 90o .................................................... 26

Gambar 2. 11. Cara jajaran genjang ....................................................... 26

Gambar 2. 12. Cara polygon ................................................................... 26

Gambar 2. 13. Penguraian vektor secara analitis .................................... 27

Gambar 2. 14. Vektor tiga dimensi ......................................................... 27

Gambar 2. 15. ilustrasi perakitan baterai ................................................ 29

Gambar 2. 16. Arah putar vektor tiga dimensi ........................................ 29

Gambar 2. 17. Tanda perputaran vektor ................................................. 30

Gambar 3. 1. Skala jarak dan perpindahan ............................................. 35

Gambar 3. 2. Diagram jarak ................................................................... 36

Gambar 3. 3. Diagram kecepatan ........................................................... 36

Gambar 3. 4. posisi titik materi dua dimensi .......................................... 36

Gambar 3. 5. posisi titik materi tiga dimensi .......................................... 37

Gambar 3. 6. Vektor perpindahan........................................................... 38

Gambar 3. 7. Perubahan kecepatan......................................................... 38

Gambar 3. 8. Perubahan percepatan ....................................................... 40

Gambar 3. 9. Diagram percepatan .......................................................... 41

Gambar 3. 10. Grafik percepatan dengan vo=0 ....................................... 42

Gambar 3. 11. Grafik percepatan dengan vo 0.................................... 42

Gambar 3. 12. Grafik perlambatan ......................................................... 42

Gambar 3. 13. Grafik x terhadap t untuk a>0 ......................................... 42

Gambar 3. 14. Grafik x terhadap t untuk a<0 ......................................... 42

Gambar 3. 15. Gerak jatuh bebas............................................................ 43

Gambar 3. 16. Gerak benda dilempar ke bawah ..................................... 43

Gambar 3. 17. Gerak benda dilempar ke atas ......................................... 44

Gambar 3. 18. Arah v pada gerak melingkar .......................................... 50

Gambar 3. 19. Posisi sudut ..................................................................... 51

FISIKA TEKNIK

xi

Gambar 3. 20. Vektor perubahan posisi ................................................. 52

Gambar 3. 21. Perubahan kecepatan sudut ............................................. 52

Gambar 3. 22. Roda bersinggungan ....................................................... 54

Gambar 3. 23. Roda terhubung rantai ..................................................... 54

Gambar 3. 24. Roda setitik pusat ............................................................ 54

Gambar 3. 25. Hubungan s, θ, R............................................................. 55

Gambar 3. 26. Arah percepatan tangensial ............................................. 56

Gambar 3. 27. Benda di luar dinding melingkar ..................................... 57

Gambar 3. 28. Benda di luar dinding melingkar dengan simpangan ...... 57

Gambar 3. 29. Benda di dalam dinding melingkar bawah ...................... 58

Gambar 3. 30. Benda di dalam dinding melingkar atas dengan simpangan

............................................................................................................... 58

Gambar 3. 31. Benda di dalam dinding melingkar bawah dengan

simpangan .............................................................................................. 58

Gambar 3. 32. Benda di dalam dinding melingkar atas .......................... 58

Gambar 3. 33. Benda diputar vertikal bawah.......................................... 58

Gambar 3. 34. Benda diputar vertikal atas dengan simpangan ............... 59

Gambar 3. 35. Benda diputar vertikal bawah dengan simpangan ........... 58

Gambar 3. 36. Benda diputar vertikal atas .............................................. 59

Gambar 3. 37. Benda diputar mendatar .................................................. 59

Gambar 3. 38. Gerak benda pada tikungan ............................................. 59

Gambar 3. 39. Lintasan parabola proyektil yang meninggalkan titik

awalnya .................................................................................................. 60

Gambar 4. 1. Arah gaya grafitasi ............................................................ 66

Gambar 4. 2. Resultan gaya grafitasi ...................................................... 67

Gambar 4. 3. Pesawat menuju lubang hitam ........................................... 70

Gambar 4. 4. gaya tarik benda bermassa M dan m ................................. 78

Gambar 4. 5. arah gaya dan percepatan gerak benda .............................. 79

Gambar 4. 6. gaya tarik menarik ............................................................ 80

Gambar 4. 7. gaya tarik menarik dengan banyak gaya ........................... 80

Gambar 4. 8. gaya yang membentuk sudut θ dengan horisontal ............. 81

Gambar 4. 9. hubungan gaya normal dan gaya berat .............................. 82

Gambar 4. 10. Besar gaya Normal pada beberapa keadaan .................... 82

Gambar 4. 11. Benda digantung terhadap pengaruh aksi-reaksi ............. 82

Gambar 4. 12. T dan W pada benda diam............................................... 83

Gambar 4. 13. T dan W pada benda bergerak ke atas ............................. 83

Gambar 4. 14. T dan W pada benda bergerak ke bawah ......................... 83

Gambar 4. 15. arah percepatan pada katrol............................................. 83

Gambar 4. 16. percepatan pada katrol .................................................... 84

Gambar 4. 17. komponen gaya pada benda di atas bidang miring .......... 84

Gambar 4. 18. komponen momen gaya pada batang ringan ................... 89

FISIKA TEKNIK

xii

Gambar 4. 19. Arah percepatan tangensial momen gaya ........................ 89

Gambar 4. 20. momen inersia bola terhadap sumbu yang menyinggung

permukaan bola ...................................................................................... 91

Gambar 4. 21. Bola menggelinding pada bidang datar ........................... 94

Gambar 4. 22. Bola menggelinding pada bidang miring ........................ 94

Gambar 5. 1. Komponen momen gaya pada poros ............................... 106

Gambar 5. 2. Kompnen koppel ............................................................. 106

Gambar 5. 3. Lampu gantung ............................................................... 107

Gambar 5. 4. Lampu gantung ............................................................... 107

Gambar 5. 5. Keseimbangan stabil benda digantung ............................ 108

Gambar 5. 6. Keseimbangan labil benda digantung ............................. 108

Gambar 5. 7. Keseimbangan indiferen benda digantung ...................... 109

Gambar 5. 8. Keseimbangan stabil di atas bidang datar ....................... 109

Gambar 5. 9. Keseimbangan labil di atas bidang datar ......................... 110

Gambar 5. 10. Keseimbangan indiferen di atas bidang datar ................ 111

Gambar 6. 1. usaha oleh gaya F ............................................................ 117

Gambar 6. 2. (a) pegas diregangkan; (b) panjang normal pegas; (c) pegas

ditekan; (d) grafik F dan x untuk sistem pegas-balok ........................... 118

Gambar 6. 3. usaha dengan gaya pada simpangan 30o .......................... 119

Gambar 6. 4. usaha dengan gaya pada simpangan 30o .......................... 119

Gambar 6. 5. usaha oleh gerak jatuh bebas ........................................... 121

Gambar 6. 6. komponen usaha pada sudut 0o ....................................... 122

Gambar 6. 7. komponen usaha bidang datar dengan gaya pada sudut

............................................................................................................. 123

Gambar 6. 8. komponen usaha pada bidang miring dengan gaya pada

sudut 0o ................................................................................................. 123

Gambar 6. 10. komponen usaha pada bidang miring ............................ 124

Gambar 6. 11. komponen usaha pada bidang miring ............................ 124

Gambar 6. 9. Komponen usaha pada bidang miring dengan gaya pada

sudut .................................................................................................. 124

Gambar 8. 1. Simpangan pada pegas .................................................... 136

Gambar 8. 2. Proyeksi gerak pada lingkaran ........................................ 138

Gambar 8. 3. Sudut phase lingkaran ..................................................... 141

Gambar 8. 4. Gerakan bandul tunggal .................................................. 143

Gambar 8. 5. Zat cair pada pipa U ........................................................ 144

FISIKA TEKNIK

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 1. 1. Besaran dengan Satuan USCS ................................................ 4

Tabel 1. 2. Besaran Pokok dan Turunan dengan Satuan SI ...................... 5

Tabel 1. 3. Definisi Satuan Besaran Standar dalam SI.............................. 6

Tabel 1. 4. Angka Konversi Satuan .......................................................... 7

Tabel 1. 5. Awalan SI ............................................................................. 10

Tabel 1. 6. Dimensi Besaran Dasar ........................................................ 12

Tabel 1. 7. Aturan Angka Penting .......................................................... 14

Tabel 2. 1. Contoh penulisan vektor secara grafis .................................. 23

Tabel 2. 2. Penguraian vektor ................................................................. 27

Tabel 4. 1. Momen Inersia beberapa benda terhadap sumbu putarnya ... 90

Tabel 4. 2. Perbedaan Menggelinding pada Bidang Datar dan Bidang

Miring .................................................................................................... 94

Tabel 4. 3. Besaran dan korelasi gerak translasi dan gerak rotasi ........... 95

Tabel 4. 4. Persamaan gerak translasi dan gerak rotasi untuk GLBB ..... 95

Tabel 5. 1. titik berat benda teratur linier.............................................. 101

Tabel 5. 2. titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogen.... 102

Tabel 5. 3. titik berat benda teratur berbentu bidang ruang homogen ... 103

Tabel 5. 4. titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogen ... 104

Mesin 3D Printing Double Extruders 2X2.1.2 Meter

xiv

PENDAHULUAN

Fisika terapan teknik merupakan mata kuliah dasar bidang rekayasa

yang dalam penerapannya banyak membahas tentang mekanika. Semua

materi dalam mekanika tidak terlepas dari angka dan bilangan hitung dasar

yang telah mahasiswa dapatkan pada jenjang pendidikan sebelumnya,

sehingga penguasaan kemampuan menghitung menjadi wajib dalam mata

kuliah ini. Untuk itu,sebelum Anda mempelajari materi dalam buku ini,

silahkan kerjakan pretest di bawah dalam waktu 20 menit tanpa bantuan

siapapun.

Isilah soal di bawah ini dengan tepat!

1. 2 − 3 x (−4) + 8 − 33: 9 x (8 − 10) + 6 = ⋯

2. 3

4+ 2

1

8− 3

3

4+ 4

1

2− 5

7

12= ⋯

3. 4

3+

2

6−

6

4:

5

2−

2

4 x

7

3= ⋯

4. 1

3+

1

2+

1

4+

1

5−

1

6 = ⋯

5. 27

10 x 1

2

5: 3

6

5= ⋯

6. (1

4+ 2

1

2) : (1

5

6−

7

4) = ⋯

7. (4

2

3+1

1

2)(3

1

5−5

2

3)

3

4+

2

5−

5

3

= ⋯

8. 9𝑥−6

5=

3

4, tentukan nilai 𝑥 = ⋯

9. 4𝑥−8+7𝑥+18

2𝑥−4= 8, tentukan nilai 𝑥 = ⋯

10. 𝑥2 − 8𝑥 = 0, tentukan nilai 𝑥 = ⋯

11. 4𝑥2 − 14𝑥 + 12 = 0, tentukan nilai 𝑥 = ⋯

12. 0,375

5000= ⋯

13. 0,0003 + 0,6

14. 0,543 + 15,738 = ⋯

15. 19,731 − 21,538 = ⋯

16. 0,274 − 1,638 + 6,927 = ⋯

17. 1,32 x 3,405 = ⋯

18. 6,255 ∶ 0,5 = ⋯

19. (0,43 + 0,574) ∶ 0,2 = ⋯

20. −5 (−6)

4(6−8)= ⋯

21. 64

6−7 = ⋯

22. (

1

2)

5

(1

4)

−2 = ⋯

Mesin 3D Printing Double Extruders 2X2.1.2 Meter

xv

23. (23 𝑥 42) ∶ 22 = ⋯

24. 3𝑥 − 12 = 12𝑥 − 40 − 5𝑥, tentukan nilai 𝑥 = ⋯

25. 4% dari 80 = ⋯

26. 31

2% dari 1500 = ...

27. 𝑥5 = 243, tentukan nilai 𝑥 = ⋯

28. 𝑦 = (33 − 8)2, tentukan nilai 𝑦 = ⋯

29. Urutkan dari yang terkecil ke yang tertinggi: 1

6 ; 0,12 ;

3

20

30. Urutkan dari yang terkecil ke yang tertinggi: 3

5 ; 0,45 ;

6

16

31. Jadikan pecahan 27

45 ke dalam bentuk desimal!

32. Jadikan pecahan 7

300 ke dalam bentuk desimal!

33. Jadikan 641

3% ke dalam bentuk desimal!

34. Jadikan 0,043 ke dalam bentuk persen!

35. Jadikan 6,67 ke dalam bentuk persen!

FISIKA TEKNIK

1

BAB I

PENGUKURAN

A. Besaran

Definisi besaran adalah sifat-sifat benda yang dapat diukur, seperti

massa, suhu, panjang. Besaran fisika terdiri dari besaran dasar (pokok),

besaran turunan, dan besaran pelengkap. Besaran dasar (pokok)

merupakan besaran yang tak tergantung pada besaran lain, ada 7 besaran

dasar dalam fisika yaitu massa, suhu, intensitas cahaya, panjang, kuat

arus, jumlah zat, dan waktu. Besaran turunan merupakan besaran yang

diturunkan dari besaran dasar, misalnya kecepatan, percepatan, gaya,

tekanan. Sedangkan besaran pelengkap adalah besaran yang diperlukan

untuk membentuk besaran turunan, misalnya sudut datar dan sudut ruang.

Pengukuran merupakan hal yang paling dasar dalam fisika untuk

melakukan pengujian suau teori, yaitu membandingkan suatu besaran

yang diukur dengan besaran standar, sehingga dalam melakukan aktivitas

pengukuran diperlukan sistem satuan yang konsisten (misalnya

pengukuran panjang, dalam SI satuannya meter). Aktivitas pengukuran

yang dilakukan dengan membandingkan besaran yang diukur dengan

suatu alat ukur disebut pengukuran langsung, misalnya untuk mengukur

temperatur ruang, maka diperlukan termometer. Sedangkan pengukuran

yang dilakukan melalui besaran-besaran lain yang dapat diukur disebut

pengukuran tidak langsung, misalnya untuk mengukur kecepatan

diperlukan mengukur perpindahan benda yang ditempuh dan waktu yang

diperlukan oleh benda untuk berpindah. Hasilnya dari suatu pengkuran

dapat berupa angka (kuantitatif) maupun pernyataan yang merupakan

sebuah kesimpulan (kualitatif).

B. Sistem Satuan

Setiap besaran memiliki satuan yang berbeda dengan besaran

lainnya. Penggunaan satuan dalam kaitannya antara besaran yang satu

dengan besaran yang lain perlu diatur melalui suatu sistem yang disebut

sistem satuan. Sistem satuan dibagi menjadi beberapa, antara lain:

1. Sistem gaussian (cgs)

Sistem gausian (centimeter-gram-second) merupakan satuan

berdasarkan besaran panjang, massa, dan waktu. Dari asal katanya

“Gauss” merupakan satuan dari medan magnet pada

elektrodinamika. Oleh karena itu satuan ini lebih sering digunakan

pada elektrodinamika (listrik magnet) dan sering pula digunakan

pada satuan pengukuran benda-benda berukuran kecil untuk

menghemat penulisan ordo.

FISIKA TEKNIK

2

2. Sistem di USA (USCS) & UK

Sistem satuan yang digunakan di USA dan UK sering disebut

sebagai sistem kebiasaan

Tabel 1. 1. Besaran dengan Satuan USCS

No. Besaran Satuan USCS Simbol satuan

1 Massa Slug Slug

2 Suhu Derajat Rankine ᵒR

3 Panjang Foot Ft

4 Waktu Second S

5 Berat (Gaya) Pound Lb

3. Sistem Internasional (SI)

Sistem Internasional mulai berlaku sejak 1960 pada konferensi

Internasional dari “Bureu of Weights add Measures”. Sistem

Internasional (SI) memiliki sifat antara lain:

a. Bersifat metrik (desimal), tidak sukar dalam perhitungan;

b. Bersifat mutlak,tidak bergantung pada lokasi;

c. Bersifat praktis, sudah banyak dipergunakan;

d. Bersifat koheren, setiap besaran dengan SI dapat dikalikan atau

dibagikan pada besaran dengan SI lain dan menghasilkan

besaran dengan SI juga;

e. Bersifat lengkap, memiliki sejumlah besaran dasar yang

mencakup semua besaran fisis yang ada.

Tabel 1. 2. Besaran Pokok dan Turunan dengan Satuan SI

No. Besaran Pokok Satuan SI Simbol

1 Massa Kilogram Kg

2 Suhu Kelvin K

3 Intensitas Cahaya Candela Cd

4 Panjang Meter M

5 Kuat Arus Ampere A

6 Jumlah Zat Mole Mol

7 Waktu Sekon S

Besaran Turunan

8 Frekuensi hertz Hz

9 Gaya, berat newton N

FISIKA TEKNIK

3

No. Besaran Pokok Satuan SI Simbol

10 Tekanan, tegangan pascal Pa

11 Energi, kerja, kalor joule J

12 Daya watt W

13 Muatan listrik coulomb C

14 Tegangan/potensial volt V

15 Kapasitas listrik farad F

16 Impedansi listrik,

hambatan listrik,

rekatansi

Ohm Ω

17 Konduktansi listrik siemens S

18 Fluks masgnet weber W

19 Induktansi henry H

dst...

Besaran Pelengkap

20 Sudut Datar radian Rad

21 Sudut Ruang steradian Sr

Tabel 1. 3. Definisi Satuan Besaran Standar dalam SI

No Besaran Definisi Satuan

1 Massa 1 Kilogram adalah massa satu silinder yang terbuat

dari platinum-iridium yang disimpan di kota Sevres,

Perancis.

2 Suhu 1 Kelvin adalah xT

16,273

1, dengan T adalah suhu

titik tripel

3 Intensitas

Cahaya

1 candela adalah intensitas cahaya dalam arah tegak

lurus pada permukaan benda hitam seluas

m2

600

1pada suhu cair platina dengan tekanan luar

101.352 N/m2.

4 Panjang 1 meter adalah 1.650.763,72 x panjang gelombang

dalam ruang hampa yang dipancarkan oleh atom

kripton -86 pada peralihan antara tingkat energi 2 P10

dan 5 d5.

5 Kuat Arus 1 Ampere adalah arus listrik yang bila dialirkan

dalam dua kawat lurus sejajar pada jarak 1 meter

dalam ruang hampa menghasilkan gaya sebesar 2 x

FISIKA TEKNIK

4

No Besaran Definisi Satuan

10-7 Newton pada setiap meter kawat.

6 Jumlah Zat 1 mole adalah banyaknya zat yang mengandung unsur

dasar zat yang sama jumlahnya dengan jumlah atom

carbon -12 yang massanya 0,012 kg.

7 Waktu

1 sekon adalah 077,631.192.9 x , dengan

1

0

=

frekuensi pancaran yang dikeluarkan pada peralihan

elektron atom cesium 133 antara dua tingkat

“hyperfine”, yaitu tingkat f=4, mf=0, ke tingkat f=3,

mf=0.

Untuk menyatakan satuan suatu besaran dari sistem satuan tertentu ke

sistem satuan lainnya, misal besaran panjang dengan satuan meter diubah

kedalam satuan mil ataupun foot, maka diperlukan angka yang disebuat

angka konversi. Berikut adalah beberapa angka konversi:

Tabel 1. 4. Angka Konversi Satuan

No Satuan Nilai Konversi No Satuan Nilai

Konversi

Panjang Waktu

1 1 inci 2,54 cm 1 1 Hz 1 s1−

2 1 foot 1’2 in 2 1 tahun 365 hari = 52

minggu = 12

bulan

3 1 foot 0,3048 m 3 1 tahun

kabisat

366 hari

4 1 mil 5280 ft 4 1 hari 24 jam

5 1 mil 1,609 km 5 1 fortnight 14 hari

6 1 mil 1760 yds 6 1 jam 60 menit

7 1 m 39,37 in 7 1 menit 60 s

8 1 yard 0,9144 m 8 1

millenium

1000 tahun

9 1 yard 3 ft = 36 in =

5280 ft

9 1 abad 100 tahun

10 1 furlong 220 yard = 660 ft 10 1 dekade 10 tahun

Massa Daya

1 1 lbm 0,45359 kg 1 1 hp 745,7 Watt

2 1 slug 32,174 lbm 2 1 W 1 J/s

FISIKA TEKNIK

5


Konversi

(pound mass) =

14,59 kg

3 1 mt 1,102 st Luas

4 1 mt 19,684 cwt (lmp) 1 1 ft

2

144 in2

5 1 mt 22,046 cwt (Us) 2 1 in2 6,4516

cm2

6 1 lt 1,016 mt 3 1 m2

1550 in2

7 1 nt 0,9842 lt 4 1 acre 43559,66

ft2

=

0,4047 ha

8 1 pound 0,45359237 kg 5 1 ha 10 m2

Tekanan Volume

1 1

mkg2

/

0,2048 psf 1 1 cc 1 cm3

2 1

cmg2

/

0,0142 psf 2 1 ft

3

1782 in3

3 1 Mpa 10 cmkg2

/ 3 1 L 1 dm3

4 1 Mpa 142 psi 4 1 gallon 3,785412 L

5 1 psi 70,31 cmg2

/ 5 1 barret 158,9873 L

6 1 psi 6900 Pa

Energi Kecepatan

1 1 kw 1,341 hp 1 1 mph

(miles per

hour)

0,8689762

knot

2 1 k cal 3,968 Btu 2 1 knot 1852 km/jam

= 514,44 m/s

3 1 k cal/kg 1,80 Btu/lb

4 1 Rp 0,7457 kw

Gaya

1 1 N 1 skgm2

/ =

100000 dyne

3 1 lb 16 oz

(ounce) =

4448 N

FISIKA TEKNIK

6

1. Kecepatan aliran air pada sebuah selang adalah 0,35

knot. Hitung nyatakan kecepatan aliran air tersebut

dalam satuan m/s!

Jawab:

1 knot = 514,44 m/s

0,35 knot= 0,35 x 514,44 = 180 m/s

2. Sebuah tangki bahan bakar minyak berbentuk silindris

berdiameter 4 meter dengan tinggi 6 meter. Berapa

banyak minyak untuk mengisi tangki tersebut hingga

penuh? Nyatakan dalam satuan liter!

Jawab:

Volume tangki = Lalas x h

= xhD2

41

= ¼ x 3,14 x 42 x 6

= 75,4 m3

Jadi banyak minyak untuk mengisi tangki 75,4 m3

Bila dinyatakan dalam liter:

1 liter = 1 dm3

75,4 m3 = 75,4 x 103 liter

Contoh Soal


Konversi

2 1 dyne = 1

gcm/s2 106

2248−

x lb

(pound)

4 1 lbf

(pound

force)

32,174 pdl

(poundal)

FISIKA TEKNIK

7

1. Debit aliran air dalam suatu pipa sebesar 50 m3/jam.

Tentukan debit tersebut dalam satuan mm3/s dan

ft3/jam!

2. Balok berukuran 5m x 6m x 2m akan diisi bahan

bakar minyak, tentukan berapa banyak bahan bakar

minyak untuk memenuhi balok tersebut dalam

satuan liter dan barret?

3. Ubahlah satuan berikut:

a. 7,7 newton = ...................................... dyne

b. 0,8.10-2 g/cm3 = .................................. kg/m3

c. 8,3.103 N/m2 = .................................... dyne/cm2

d. 90 m/det = .......................................... km/jam

e. 7,8 joule = ........................................... erg

f. 8,9 dyne/cm3 = .................................... N/m3

g. 0,8 . 10-8 m = ...................................... mikro

h. 0,3.10-4 kg = ....................................... mg

Latihan Soal 1.1

Selain angka konversi, ada pula awalan yang dapat diaplikasikan ke

dalam satuan SI untuk membentuk sebuah satuan yang menandakan

kelipatan dari satuan tersebut. Berikut awalan SI yang sering digunakan:

Tabel 1. 5. Awalan SI

No Nama Awalan SI Simbol Faktor Pengali (10n)

1 Yotta Y 10

24

2 Zetta Z 1021

3 Exa (Eksa) E 10

18

FISIKA TEKNIK

8

No Nama Awalan SI Simbol Faktor Pengali (10n)

4 Peta P 10

15

5 Tera T 10

12

6 Giga G 10

9

7 Mega M 10

6

8 Kilo K 10

3

9 Hekto H 10

2

10 Deka Da 10

1

11 Desi d 10

1−

12 Centi c 10

2−

13 Mili m 10

3−

14 Mikro 10

6−

15 Nano n 10

9−

16 Piko p 10

12−

17 Femto f 1015−

18 Atto a 10

18−

19 Zepto z 10

21−

20 Yocto y 10

24−

Cara penulisan bilangan dalam bentuk pangkat seperti di atas sering kali

disebut sebagai notasi ilmiah. Atau biasa ditulis a x 10n.

a disebut sebagai

signifikan, merupakan

bilangan real yang

memenuhi syarat 1 ≤

a ˂ 10

n disebut sebagai

eksponen, merupakan

bilangan bulat yang

Soal Aplikatif

Ban sebuah mobil diperkirakan akan

bertahan hingga 50.000 mil.

Hitunglah berapa banyak putaran

yang dilakukan ban tersebut hingga

mencapai 50.000 mil?

FISIKA TEKNIK

9

Panjang sirkuit balap F1 adalah 5.793 km, nyatakan panjang

sirkuit tersebut degan awalan satuan Mega!

Jawab:

1 Mega = 106 meter

5.793 km = 5.793 x 103 meter

5.793 km = 5.793 x 103 M = 5,793 M

Contoh

Soal

memenuhi positif dan negatif.

Contoh penulisan bilangan dengan notasi ilmiah:

massa bumi adalah 5.970.000.000.000.000.000.000.000 kg = 5,97 x

1024 kg

muatan elektron

Cxx

C 1010

19

196,1

6,1

1

000.000.000.000.000.000.16

1 −==

C. Dimensi

Dimensi menyatakan sifat fisis dari suatu kuantitas, dengan maksut

untuk memudahkan pernyataan suatu besaran turunan dengan

menggunakan besaran dasar yang dinyatakan dengan simbol. Dimensi

bisa pula digunakan untuk mengoreksi suatu persamaan.dengan

memperlakukan sebagai kuantitas aljabar misalnya perkalian dan

pembagian, serta penjumlahan dan pengurangan untuk satuan yang sama.

Dimensi untuk besaran dasar sebagai berikut:

Tabel 1. 6. Dimensi Besaran Dasar

Besaran Dasar Dimensi

Panjang L

Massa M

Waktu T

Suhu Θ

Intensitas Cahaya J

Kuat Arus I

Jumlah Zat N

FISIKA TEKNIK

10

Tentukan dimensi dari

a. Kecepatan

b. Percepatan

c. Gaya

Jawab:

a. Kecepatan (V) = s/t

= L/T = L T-1

b. Percepatan (a) = V/t

= L T-1 / T = L T-2

c. Gaya (F) = m x a

= M L T-2

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

11

1. Tentukan dimensi dari besaran-besaran berikut:

a. Tekanan ( P = Gaya tiap satuan luas )

b. Usaha ( W = Gaya x jarak perpindahan )

c. Daya ( P = Usaha tiap satuan luas )

d. Momentum ( M = Massa x kecepatan )

e. Massa Jenis ( ρ = Massa / volume )

f. Berat Jenis ( S = berat / volume )

g. Energi potensial grafitasi ( Ep = m g h )

h. Energi Kinetik ( Ek = 1/2 m v2 )

i. Momen Inersia ( I = massa x jarak kuadrat )

j. Inpuls ( Inpuls = gaya x waktu )

2. Buktikan bahwa setiap suku persamaan berikut memiliki

dimensi sama

=++ vhgP2

2

1.. konstan

Latihan Soal 1.2

D. Ketidakpastian Pengukuran

Dalam melakukan pengukuran sering kali menghasilkan data ukur

yang tidak sebenarnya, baik karena keterbatasan alat ukur maupun karena

kondsi lingkungan yang disebut dengan ketidakpastian pengukuran.

Pendekatan ketidakpastian hasil perhitungan dapat dituliskan dengan

menggunakan aturan angka penting.

1. Angka Penting

Angka penting merupakan bilangan yang diperoleh dari hasil

perhitungan yang masih dapat dipastikan. Berikut aturan untuk angka

penting:

FISIKA TEKNIK

12

Tabel 1. 7. Aturan Angka Penting

No Aturan Angka Penting Contoh

1 Semua angka bukan nol adalah

angka penting

1234 4 angka penting

52,1 3 angka penting

2 Angka nol termasuk angka penting,

ketika:

Terletak diantara angka bukan

nol

Terletak di belakang angka

bukan nol terakhir dalam

bilangan yang mempunyai

tanda desimal

201 3 angka penting


1300* 2 angka penting


0,004* 1 angka penting

3 Semua angka dalam notasi ilmiah

adalah angka penting

2,40 x 104 3 angka penting

*semua ordo (10n) bukan merupakan angka penting (1300 = 13 x 102,

0,004 = 4 x 10-3)

Pengoperasian dengan angka penting:

a. Penjumlahan dan pengurangan, hasil yang diperoleh harus

memiliki angka di belakang koma yang jumlah digitnya sama

dengan salah satu kuantitas yang dioperasikan dengan jumlah digit

paling sedikit.

Contoh: 1,21 + 2,1 + 8,243

= 11,6

12,48 –

8,3 = 4,2

b. Perkalian dan

pembagian, hasil yang

diperoleh harus

memiliki angka

penting yang sama

jumlahnya dengan

salah satu kuantitas

yang dioperasikan

dengan jumlah digit

paling sedikit.

Contoh: 6,2 : 3, 45 = 1,8

4,2 x 9 = 37,8

Soal Aplikatif

Fungsi dasar karburator pada mobil

adalah “mengatomisasi” bahan

bakar dan mencampurnya dengan

udara agar menghasilkan

pembakaran yang cepat. Asumsikan

bahwa 30,0 cm3bahan bakar

diatomisasi menjadi N tetesan

berbentuk bola, masing-masing

berjari-jari 2,00 10-5 m. Berapa total

luas permukaan tetesan-tetesan

yang berjumlah N tersebut?

FISIKA TEKNIK

13

1. Tuliskan jumlah angka penting pada soal berikut:

a. 250,27

b. 6,9001

c. 9,500

d. 0,0721

e. 600000,3

f. 0,00009

g. 2,7.10-9

2. Bulatkan bilangan di bawah ini menjadi dua angka

penting

a. 9,56936

b. 0,000693

c. 8,9696

d. 45,38254

3. Hitunglah dengan menggunakan aturan angka penting

a. 2,471 + 8,25 = .........................

b. 953,4 - 583,67 = .......................

c. 42,6 + 41,76 - 32,458 = ....................

d. 46,54 : 7,4 = ........................

e. 2,851 x 0,42 =......................

f. 63400 : 1433 = ...............

g. 4,976 + 539,5467 + 73,5 = ................

h. 1,72 x 1,746 + 3,47 =........................

Latihan Soal 1.3

FISIKA TEKNIK

14

2. Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah biasa disebut dengan bentuk baku, untuk

mempermudah penulisan bilangan-bilangan yang besar atau yang terlalu

kecil. Penulisan notasi ilmiah berupa p . 10n dengan p dan10 merupakan

angka-angka penting dan 10n disebut orde (n bilangan bulat positif atau

negatif).

Contoh: - 0,00000435 = 4,35 . 10 -6

- 345000000 = 3,45 . 10 8

Berikut ini beberapa nama alat ukur besaran:

1. Mistar : untuk mengukur suatu panjang benda mempunyai

batas ketelitian 0,5 mm.

2. Jangka sorong :

untuk mengukur suatu panjang benda mempunyai

batas ketelitian 0,1 mm.

3. Mikrometer : untuk mengukur suatu panjang benda mempunyai

batas ketelitian 0,01mm.

4. Neraca : untuk mengukur massa suatu benda.

5. Stop Watch : untuk mengukur waktu mempunyai batas ketelitian

0,01 detik.

6. Dinamometer : untuk mengukur besarnya gaya.

7. Termometer : untuk mengukur suhu.

8. Higrometer : untuk mengukur kelembaban udara.

9. Ampermeter : untuk mengukur kuat arus listrik.

10. Ohm meter : untuk mengukur tahanan ( hambatan ) listrik

11. Volt meter : untuk mengukur tegangan listrik.

12. Barometer : untuk mengukur tekanan udara luar.

13. Hidrometer : untuk mengukur berat jenis larutan.

14. Manometer : untuk mengukur tekanan udara tertutup.

15. Kalorimeter : untuk mengukur besarnya kalor jenis zat.

FISIKA TEKNIK

15

3. Ketidakpastian Pengukuran

Alat ukur dikatakan tepat jika memiliki akurasi yang baik, yaitu hasil

pengukuran menunjukkan ketidakpastian yang kecil. Hal ini bisa terjadi

ketika alat dalam keadaan terkalibrasi dengan baik, pengertian kalibrasi

disini dapat dilakukan dengan membandingkan alat ukur dengan referensi

standar, bila referensi standar tidak ada, maka dapat membandingkan

hasil ukur dengan hasil ukur alat ukur lain yang lebih teliti, dan apabila

masih tidak dapat dilakukan, maka hasil ukur dapat dibandingkan dengan

hasil lain yang dapat digunakan sebagai acuan misalnya melalui hasil

perhitungan secara teoritik. Alat ukur bisa disebut presisi ketika

pengukuran besaran dilakukan berulang, maka alat ukur menghasilkan

data yang sama seperti sebelumnya, sehingga sifat presisi alat ukur

bergantung pada resolusi (mampu mengukur untuk skala perubahan yang

kecil) dan stabilitas (penunjukan hasil baca yang tidak berubah-ubah

selama pengukuran) alat ukur.

Ketidakpastian pengukuran menyatakan besar simpangan hasil ukur

dari nilai benar yang seharusnya. Penulisan ketidakpastian pengukuran

( )x diletakkan setelah penulisan hasil pengukuran yang diawali ,

dengan maksud nilai benar pada pengukuran tersebut berada pada

jangkauan xx −0

dan xx +0

.

Keterangan:

( )xx x =0

satuan yang sesuai

=x besaran yang diukur

=x0nilai yang diperoleh dari pengukuran

=x ketidakpastian pada pengukuran

Berikut beberapa macam ketidakpastian:

a. Ketidakpastian berdasar sumbernya

1) Ketidakpastian oleh adanya nilai skala terkecil (NST) alat ukur

Ketidakpastian yang diperkirakan oleh adanya skala terkecil dapat

dilakukan ketika pengukurannya tunggal (pengukuran hanya dilakukan

satu kali). Hasil pengukuran dengan membaca skala pada alat ukur hanya

dapat dipastikan hingga batas (jumlah angka) tertentu. Misalnya

pengukuran dengan menggunakan mistar dapat digunakan untuk

mengukur dalam jangkauan milimeter saja, skala terkecil mistar sebesar 1

mm, sehingga bila objek yang diukur melebihi 1 mm namun kurang dari

2 mm, maka kelebihan tersebut hanya dapat diperkirakan. Berikut cara

menentukan ketidakpastian pengukuran ( x ) dari skala terkecil:

FISIKA TEKNIK

16

Dalam pengukuran tunggal, meja belajar diukur dengan mistar

dan terbaca skala 94,5 cm, bagaimana penulisan hasil

pengukuran tersebut bila memperhatikan ketidakpastiannya.

Jawab:

NST mistar = 0,1 cm

Sehingga cmx 05,01,0.2/1 ==

Jadi Panjang Meja= ( )cm05,05,94

Contoh

Soal

NSTx .2/1=

(1.1)

Apabila goresan terlalu tajam atau terlalu tipis, maka ketidakpastian bisa

lebih kecil dari NST.2/1 , sehingga menggunakan persamaan:

NSTx .5/1=

(1.2)

2) Ketidakpastian bersistem

Ketidakpastian bersistem memberikan efek tetap terhadap hasil ukur

dan dengan analisa lebih lanjut, efek tersebut tidak akan mempengaruhi

hasil yang diharapkan. Ketidakpastian ini berasal dari keadaan awal,

lingkungan, metode pengamatan, ataupun dasar teori dari suatu

persamaan yang mengabaikan faktor besaran lain dan berpengaruh dalam

eksperimen.Ketidakpastian bersistem terdiri dari:

a) Kesalahan dari lingkungan

Kesalahan ini akibat kondisi lingkungan yang berpengaruh pada

penunjukan skala hasil pengukuran, misalnya suhu dan tekanan

lingkungan.

b) Kesalahan kalibrasi

Kesalahan kalibrasi diakibatkan adanya pergeseran skala pada alat

ukur yang digunakan dibandingkan dengan referensi standar untuk

jenis alat ukur yang sama, misalnya neraca yang terkalibrasi skala

menunjukkan penyimpangan 1 gram, apabila neraca digunakan untuk

mengukur massa, maka menunjukkan hasil yang selalu lebih tinggi 1

gram. Sehingga disarankan setiap kali akan menggunakan alat ukur,

FISIKA TEKNIK

17

lakukan pengkalibrasian dengan referensi standar, baik dengan

menggunakan standar untuk jenis alat ukur yang sama, catatan atau

grafik.

c) Kesalahan Paralaks

Kesalahan arah pandang saat membaca skala, misalnya membaca

skala dengan kepala miring ke kanan atau ke kiri (mata dalam posisi

tidak tegak lurus dengan skala baca) mengakibatkan pembacaan skala

tidak sesuai dengan penunjukan skala pada alat ukur.

Untuk mengetahui adanya ketidakpastian bersistem yaitu dengan

melakukan metode pengukuran dan penggunaan alat ukur yang berbeda-

beda, selanjutnya dianalisis untuk memastikan kontribusi ketidakpastian

bersistemnya. Kemudian dari ketidakpastian bersistem ini dapat

diupayakan pengukuran yang baik yaitu dengan meminimalkan adanya

ketidakpastian pengukuran.

3) Ketidakpastian Acak

Ketidakpastian acak bersifat fluktuatif (tidak tetap) yaitu pengukuran

kadang menunjukkan nilai yang terlalu besar atau nilai terlalu kecil yang

disebabkan oleh lingkungan misalnya gerakan molekul udara, tegangan

listrik, getaran mekanik, perubahan suhu, dan lainnya. Penyebab dari

ketidakpastian acak sering kali diluar kemampuan manusia untuk

mengendalikan, namun bisa diminamilisir seperti pengukuran dilakukan

pada ruang tertutup yang pengaruh anginnya tidak terlalu besar, sumber

tegangan yang tepat (tidak terlalu tinggi), serta pengukuran dilakukan

secara berulang sehingga dapat diperoleh nilai rata-rata hasil pengkuran..

b. Cara menentukan ketidakpastian

Nilai ketidakpastian dapat ditentukan dari banyak faktor, sehingga

untuk menentukan ketidakpastian diperlukan pengetahuan yang cukup

mengenai metode analisis data. Semakin kecil ketidakpastian )( x yang

dicapai, maka semakin tepat hasil pengukuran yang dilakukan. Berikut

cara untuk menentukan nilai ketidakpastian sesuai dengan jenis datanya:

1. Data tunggal atau data yang diperoleh cukup sekali pengamatan

Pengukuran tunggal terjadi karena keterbatasan waktu dan alat ukur,

ketidakpastian hasil yang diukur pada pengukuran tunggal dapat

diperoleh dengan menaksis ralat berdasarkan ½ skala terkecil.

2. Data berulang atau data yang diperoleh lebih dari satu kali

pengamatan

Pada pengukuran berulang, data diperoleh dari hasil rata-rata nilai

sampel yang telah didapatkan dari pengamatan yang ditentukan dengan

cara:

FISIKA TEKNIK

18

n

xxxxx

xx

n

o

n

iio

++++=

==

...321

1

(1.3)

ketidakpastian pada nilai rata-rata dapat dihitung dari deviasi standar

yang ditentukan sebagai berikut:

( )

−

−==

1

221

2

1

n

xxns

ii

nx

x

(1.4)

Ketidakpastian )( x pada data tunggal maupun data berulang

tersebut disebut dengan ketidakpastian mutlak yang memberikan

informasi mengenai “mutu alat ukur yang digunakan namun belum

mengungkapkan mutu pengukuran”. Mutu pengukuran dinyatakan

dengan ketidakpastian relatif, dengan persamaan:

Ketidakpastian relatif = %100.xo

x

(1.5)

Suatu alat disebut baik apabila , dan alat dikatakan jelek

apabila atau .

Pada ketidakpastian relatif dikalikan dengan 100% dengan demikian

dapat disimpulkan bahwa

a) Ketelitian 1% memberikan hak untuk menuliskan sampai dua angka

di belakang koma pada ketelitian mutlaknya

b) Ketelitian 10% memberikan hak untuk menuliskan sampai satu angka

di belakang koma pada ketelitian mutlaknya

FISIKA TEKNIK

19

Hasil pengukuran hambatan dengan menggunakan ohm meter

diperoleh data sebagai berikut:

=== mmm xxx 4,3,3321

, tuliskan data hasil

pengukuran dengan ketidakpastian mutlak dan ketidakpastian

relatif!

Jawab:

=++

=

++=

m

n

x

xxxx

o

o

3,33

433

321

Deviasi standar

( )

−

−=

1

221

2

1

n

xxn ii

nx

==

=

−

−

++−++

mx

x

3,03

1

2222

3

1

2

100102

13

)433()433(3

2

1

2

1

Ketidakpastian relatif = %100.xo

x

= %9%100.3,3

3,0=

Penulisan data hasil pengukuran dengan ketidakpastian relatif

( )%93,3 = mx

Penulisan data hasil pengukuran dengan ketidakpastian mutlak

( )xx x =0

( ) = m3,03,3

Contoh Soal

FISIKA TEKNIK

20

1. Pada pengukuran tunggal suatu balok diperoleh data

panjang (6,25±0,02) cm, lebar (2,526±0,002) cm, dan

tinggi (5,72±0,02) cm. Tentukan:

a. Angka penting volume balok

b. Ketidakpastian mutlak dan ketidakpastian relatif

volume balok

2. Diperoleh data pengukuran berulang suatu balok sebagai

berikut:

No Panjang

(p±Δp) cm

Lebar

(l±Δl) cm

Tinggi

(t±Δt) cm

1 (5,264±0,002) (3,342±0,003) (2,7145±0,0003)

2 (5,259±0,002) (3,346±0,003) (2,7137±0,0003)

3 (5,279±0,002) (3,339±0,003) (2,7151±0,0003)

4 (5,260±0,002) (3,338±0,003) (2,7143±0,0003)

5 (5,264±0,002) (3,347±0,003) (2,7141±0,0003)

Xo

Tentukan:

a. Rata-rata panjang, lebar, dan tinggi balok beserta

deviasi standarnya

b. Ketidakpastian mutlak dan ketidakpastian relatif

volume balok

Latihan Soal 1.4

FISIKA TEKNIK

21

BAB 2

BESARAN SKALAR DAN BESARAN VEKTOR

A. Besaran Skalar

Selain besaran pokok dan besaran turunan, ada jenis besaran lain

berdasarkan sifat yang menyangkut arah, yaitu besaran skalar dan besaran

vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya ditentukan oleh besar

nilainya saja, misalnya panjang, massa, waktu, dan kelajuan.

B. Besaran Vektor

Besaran vektor adalah besaran yang ditentukan oleh besar nilai dan

arahnya, misalnya kecepatan, percepatan, dan gaya. Penulisan besaran

vektor dengan menggunakan huruf kapital dan diberikan topi pada bagian

atasnya (misal: F→

atau F−

), sedangkan secara grafis besaran vektor dapat

dilukiskan sebagai sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan

nilai atau besar vektor dan anak panah (titik ujung) menunjukkan arah

vektor.

Tabel 2. 1. Contoh penulisan vektor secara grafis

No. Contoh Gambar

1 A = B, jika kedua vektor

tersebut mempunyai panjang

dan arah yang sama.

Gambar 2. 1. vektor dengan

panjang dan arah sama

2 −

−

A adalah vektor yang

panjangnya sama dengan

panjang A−

tetapi arahnya

berlawanan dengan arah A−


panjang sama dan arah berlawanan

3 k A

−

adalah vektor yang

panjangnya k kali panjang

A−

, dengan arah yang sama

dengan A−

jika k positif. Dan

berlawanan dengan A−

jika k

negatif.


panjang

FISIKA TEKNIK

22

Sifat-sifat besaran vektor:

1 Komutatif : A

−

+ B−

= B−

+ A−

2 Asosiatif : A

−

+ ( B−

+ C−

) = ( A−

+ B−

) + C−

Sifat lainnya yaitu

a ( A−

+ B−

) = a A−

+ a B−

dan / A−

/ + / B−

/ / A−

+ B−

/

1. Operasi Besaran Vektor (Resultan)

Operasi bilangan vektor digunakan untuk menentukan vektor

pengganti dari dua buah vektor atau lebih yang biasa disebut dengan

resultan.

a. Dua buah Vektor

1) Cara Jajaran genjang, digunakan ketika dua buah vektor setitik

tangkap dan membentuk sudut tertentu

Gambar 2. 4. Cara jajaran

genjang

Resultan :

R = ++ cosFF.2FF 21

2

2

2

1

(2.1)

=

=

sin

R

sin

F

sin

F

1

2

2

1

(2.2)

2) Cara Segitiga, digunakan ketika titik ujung sebuah vektor bertemu

dengan titik tangkap vektor lainnya

a) Penjumlahan dua vektor

FISIKA TEKNIK

23

Gambar 2. 5. Cara segitiga

b) Pengurangan dua vektor

Gambar 2. 6. Pengurangan vektor

Keterangan: A B A B− = + −( )

3) Operasi vektor dalam keadaan istimewa

a) Dua vektor membentuk sudut 0O

Gambar 2. 7. Operasi vektor sudut 0O

b) Dua buah vektor yang saling tegak lurus (sudut 90O)

Gambar 2. 8. Operasi vektor sudut 90O

FISIKA TEKNIK

24

Hitunglah jumlah dari vektor A dan vektor B pada bidang xy

berikut

A= (3,0 i + 3,0 j) m dan B= (3,0 i - 5 j) m

Jawab:

R = A + B

= (3,0 i + 3,0 j) + (3,0 i - 5 j)

= (6,0 i – 2 j)

Sehingga nilai resultan penjumlahan vektor A dan B adalah:

R = =

= m

Contoh

Soal

c) Dua buah vektor yang membentuk sudut 180o (arah resultan sama

dengan arah kedua vektor)

Gambar 2. 9. Operasi vektor sudut 180o (arah R sama dengan kedua

vektor)

4) Penguraian vektor yang saling tegak lurus

Gambar 2. 10. Penguraian

Vektor 90o

/ / / / cosv vX =

(2.3)

/ / / / sinv vY =

(2.4)

/ / / / / /v v vX Y= +2 2

(2.5)

FISIKA TEKNIK

25

b. Lebih dari dua vektor

Untuk menjumlahkan vektor sebidang yang lebih dari dua dapat

menggunakan cara grafis (jajaran genjang & polygon) serta cara analitis.

1) Cara grafis

Cara jajaran genjang

Gambar 2. 11. Cara jajaran

genjang

v AB adalah resultan dari A dan

B

v R adalah resultan dari A , B

dan C

Cara Polygon

Gambar 2. 12. Cara polygon

v R adalah resultan dari A , B dan C

2) Cara analitis

Secara analitis, vektor dua dimensi diuraikan menjadi komponen

vektor searah sumbu x dan vektor searah sumbu y dari koordinat cartesius

Gambar 2. 13. Penguraian vektor secara analitis

Penguraian vektor:

Tabel 2. 2. Penguraian vektor

Vektor v x = v cos v y = v sin

v1

v2

1

2

v1 x = v cos 1

v2 x = v cos 2

v1 y = v sin 1

v2 y = v sin 2

FISIKA TEKNIK

26

v3 3 v3 x = v cos 3 v3 y = v sin 3

v x = .............. v y = ............

Resultan / v R / = ( ) ( ) + v vX Y

2 2

Arah resultan: tg =

v

v

Y

X

(2.6)

c. Operasi Vektor tiga dimensi

Untuk vektor tiga dimensi (ruang) dapat diuraikan atas komponen

pada sumbu x, y, dan z.

Gambar 2. 14. Vektor tiga dimensi

i , j , k masing-masing

vektor satuan (karena besar

masing-masing vektor sama

dengan 1 pada sumbu x, y

dan z.

2. Operasi Besaran

(vektor-skalar ; vektor-

vektor)

a. Perkalian vektor –

skalar, hasil dari

perkalian dua besaran ini

adalah besaran vektor.

Contohnya adalah

perkalian vektor A

dengan skalar b (b A

searah A apabila nilai b

> 0, dan berlawanan arah

dengan A apabila nilai

b < 0.

Soal Aplikatif

Sebuah stasiun radar menemukan

sebuah kapal yang akan tenggelam

dengan jarak 17,3 km 136o searah

jarum jam dari utara. Dari stasiun

yang sama, sebuah pesawat

penyelamat terdeteksi pada jarak

horisontal 19,6 km 153o searah

jarum jam dari utara, dengan

ketinggian 2,2 km.

a. Tuliskan posisi vektor dari kapal

yang akan tenggelam terhadap

pesawat, lambangkan i sebagai

timur, j sebagai utara, dan k

sebagai atas!

b. Berapa jarak antara pesawat dan

kapal?

FISIKA TEKNIK

27

Tentukan nilai perkalian titik antara (i . i) dan (i . j) !

Jawab:

Sejenis

i • i = i • i cos 0o

= ( 1 ) • ( 1 ) ( 1 )

= 1

Tak Sejenis

i • j = i • j cos 90o

= ( 1 ) • ( 1 ) ( 0 )

= 0

Contoh

Soal

b. Perkalian vektor – vektor, perkalian dua jenis besaran vektor ini

dibedakan menjadi dua, yaitu:

1) Perkalian titik (Dot Product) yaitu perkalian antar vektor dengan

hasil berupa besaran skalar. Contoh: A • B = C

C merupakan besaran skalar yang besarnya C = / A / • / B / cos

adalah sudut antara A dan B .

Contoh lain adalah mencari nilai usaha (W) = gaya ( F ) •

perpindahan ( x_

) = / F / • / x_

/ cos

FISIKA TEKNIK

28

2) Perkalian silang (Cross Product) yaitu perkalian antar vektor dengan

hasil berupa

besaran

vektor.

Contoh: A x

B = C . C

besaran

vektor yang

besarnya C

= / A / x / B /

sin .

adalah sudut

antara A dan B ,

karena C adalah

vektor maka

memiliki arah

yang selalu tegak

lurus bidang yang

dibentuk oleh

vektor A dan

B ,menurut aturan

sekrup kanan

(berlawanan

arah jarum jam). Contoh dari vektor A diputar ke vektor B

Gambar 2. 16. Arah putar vektor tiga dimensi

Soal Aplikatif

Dalam sebuah ilustrasi perakitan baterai,

sebuah robot pertama-tama mengangkat

sebuah benda lurus ke atas dan kemudian

menggerakkannyake timur membentuk

seperempat lingkaran dengan jari-jari 4,8

cm yang kemudian diletakkkan pada

sebuah bidang vertikal yang membentang

dari timur ke barat. Selanjutnya robot

mengangkat benda tersebut ke atas dan

menggerakkannya ke utara membentuk

seperempat lingkaran dengan jari-jari 3,7

cm yang kemudian diletakkan pada sebuah

bidang vertikal yang membentang dari

utara ke selatan. Hitunglah:

a. Besar perpindahan total dari benda

b. Sudut perpendahan total yang dibentuk

terhadap bidang vertikal

Gambar 2. 15. ilustrasi perakitan

baterai

FISIKA TEKNIK

29

Contoh perkalian silang:

Sejenis

i x i = i • i sin 0o

= ( 1 ) • ( 1 ) ( 0 )

= 0

Tak Sejenis

Untuk mendapatkan hasil perkaliannya

dapat digunakan diagram berikut ini.

Gambar 2. 17. Tanda perputaran vektor

Perjanjiaan tanda untuk putaran :

- POSITIF: berlawanan arah jarum jam

- NEGATIF: Searah jarum jam.

FISIKA TEKNIK

30

1. Tentukan resultan berikut

A (satuan)

B (satuan) α (o)

4 4√3 30

6 2√2 45

4 8 60

8 4 90

2. Gambarkan dan tentukan resultan vektor-vektor berikut:

3. Dua buah vektor masing-masing 4 satuan dan 5 satuan

setitik tangkap dengan resultan √57 satuan, tentukan sudat

yang dibentuk oleh kedua vector tersebut!

4. Resultan dua buah vektor yang saling tegak lurus adalah

40 satuan. Salah satu vektor besarnya 25 satuan. Hitunglah

besar vektor yang lain!

5. Resultan dua buah vektor yang besarnya 18 satuan dan 12

satuan adalah 21 satuan. Jika sudut yang diapit oleh vektor

semula yaitu , hitunglah tg !

6. Dari titik A, Badu berjalan menuju arah Timur sejauh 8 km

dan sampai di titik B keudian melanjutkan perjalanannya

dengan arah Utara sejauh 12 km dan sampai di titik C.

Berapakah jarak AC?

7. Sebuah perahu bergerak ke arah utara dengan kecepatan

15 km/jam, mendapat dorongan dari angin yang arahnya

ke barat dengan kecepatan 8 km/jam. Bagaimanakah

kecepatan dan arah perahu sekarang?

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

31

8. Sebuah benda ditarik oleh dua buah gaya masing-masing

besarnya 4 newton. Kedua gaya itu membentuk sudut

600. Berapakah besar resultan kedua gaya tersebut?

9. Dua buah vektor v1 = 4,5 satuan dan v2 = a satuan

berada pada satu titik tangkap. Jika jumlah kedua

vektor itu 8,5 satuan, dan membentuk sudut 600. Berapa

nilai a?

10. Tiga buah vektor setitik tangkap dan sebidang, v1 = 12

satuan; v2 = 6 satuan. Sudut antara v1 dan v2 adalah 1200.

Jika resultan ketiga vektor tersebut adalah nol. Berapakah

besarnya v3 dan berapa besar sudut yang dibentuk oleh v1

dan v3?

11. Diketahui tiga buah vektor berikut:

Gambarkan:

a. A + B - 3 C

b. 2 C - 12

( 2 B - A )

12. Dua buah gaya F1 dan F2 saling membentuk sudut 30o.

Resultan kedua gaya tersebut 24N. Jika perbandingan

F1 : F2 = 5 : 3, berapakah nilai F1 dan F2 tersebut?

13. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 berada pada satu titik

tangkap, nilai masing-masing sebesar 6 N dan 2 N

saling mengapit sudut 60o, tentukan selisih kedua

vektor gaya tersebut!

14. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 saling membentuk sudut

1200 dan resultan 20N. Jika sudut antara F1 dan

resultannya adalah 60o. Maka besar F1 dan F2 adalah...

15. Diketahui dua buah titik pada koordinat cartesius yaitu a

(0,6) dan b (2,6), jika A= oa dan B= ob, tentukan: (a)

besar A (b) besar B (c) besar A + B (d)

besar A - B

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

32

16. Tiga buah gaya F1, F2 dan F3 bekerja pada satu titik

dengan F1 = 12 N, F2 = 7N dan F3 = 7√3. Jika sudut F1 =

00 terhadap sumbu x; F2 = 1200 terhadap F1; F3 = 900

terhadap F2. tentukan resultan ketiga gaya tersebut!

17. Tentukan resultan dari 5 buah vektor setitik tangkap di

angka 0 pada koordinat cartesius berikut:

No Vektor Sudut Nilai

1. 45o 16 satuan

2. 60o 24 satuan

3. 180o 12 satuan

4. 210o 34 satuan

5. 300o 8 satuan

18. Tentukan resultan dan arah sudut yang terbentuk dari 6

buah vektor setitik tangkap di angka 0 pada koordinat

cartesius berikut:

No Vektor Sudut Nilai

1. 0o 10 satuan

2. 45o 4 satuan

3. 60o 2 satuan

4. 135o 8 satuan

5. 180o 4 satuan

6. 240o 6 satuan

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

33

19. Diketahui dua buah vektor yaitu A = 3 i + 4 j + 5 k dan

B = 2 i - 3 j + 4 k , dari dua vektor tersebut tentukan:

a. Besar tiap vektor

b. Jumlah vektor (A+B) dengan menggunakan vektor

satuan

c. Besar dan arah dari jumlah vektor (A+B)

d. Selisih vektor (A-B) dengan menggunakan vector

satuan

e. Besar dan arah dari selisih vektor (A-B)

f. Dot product (A • B)

g. Cross product (A x B)

20. Tentukan sudut yang diapit oleh vektor A = 3 i + 4 j +

5 k dan B = -2 i - 3 j + k !

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

34

FISIKA TEKNIK

35

Seorang anak berjalan dari X1 ke X2 kemudian menuju X3 yang

ditunjukkan dengan gambar berikut:

Gambar 3. 1. Skala jarak dan perpindahan

Berapakah jarak dan perpindahan gerak anak tersebut?

Jawab:

Jarak dari X1 ke X2 dan X3: 5 + 9 = 14

Perpindahan dari X1 ke X2 dan X3: 5 – 9 = -4

Contoh

Soal

BAB 3

KINEMATIKA GERAK

Salah satu cabang ilmu fisika yaitu mekanika, mekanika ini dibagi

kedalam tiga cabang ilmu, yaitu kinematika, dinamika, dan statika. Bab

ini akan membahas tentang kinematika gerak, yaitu ilmu yang

mempelajari gerak tanpa mengindahkan penyebab gerak tersebut. Dua

jenis kinematika yang dibahas yaitu gerak lurus dan gerak melingkar,

termasuk gerak parabola.

A. Gerak Lurus

Gerak merupakan perubahan kedudukan (jarak) suatu benda dari

titik asalnya (titik acuan), sedangkan gerak lurus yaitu gerak suatu benda

yang lintasannya berupa garis lurus. Contoh: gerak jatuh bebas. Gerak

lurus dibedakan menjadi 2 yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak

lurus berubah beraturan (GLBB).

Perbedaan jarak dan perpindahan pada gerak lurus yaitu jarak

merupakan panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu benda sedangkan

perpindahan adalah perubahan posisi suatu benda yang dihitung dari

posisi awal(acuan) benda tersebut dan tergantung pada arah geraknya.

Perpindahan bernilai positif apabila arah gerak ke kanan, dan bernilai

negatif apabila arah gerak ke kiri.

FISIKA TEKNIK

36

1. Gerak lurus beraturan (GLB)

Yaitu gerak dengan lintasan berupa garis lurus dan kecepatan tetap

(x=v . t), dengan x adalah perubahan posisi, v = kecepatan, dan t =

waktu).

Grafik v terhadap t

Gambar 3. 2. Diagram jarak

Besarnya jarak/perpindahan

sebanding dengan luas bidang

Grafik x terhadap t

Gambar 3. 3. Diagram kecepatan

Kecepatan rata-rata selalu tetap

dalam selang waktu sembarang

Posisi titik materi pada bidang datar dapat dinyatakan dengan

r = x i + y j

FISIKA TEKNIK

37

Hitung dan gambarkan posisi titik materi r = 5 i + 3 j !

Jawab:

/ r / = / 0A / = 2 2

5 3+

= 25 9+ = 34 satuan

Gambar posisi titik materi r = 5 i + 3 j

Gambar 3. 4. posisi titik materi dua dimensi

Contoh

Soal

Posisi titik materi pada ruang tiga dimensi dapat dinyatakan dengan r =

x i + y j + z k

FISIKA TEKNIK

38

Hitung dan gambarkan posisi titik materi r = 4 i + 3 j + 2

k !

Jawab: / r / = 2 2 2

4 3 2+ +

= 16 9 4+ +

= 29 satuan

Gambar posisi titik materi r = 4 i + 3 j + 2 k

Gambar 3. 5. posisi titik materi tiga dimensi

Contoh

Soal

Gerakan titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya

setiap saat diketahui. Perubahan letak titik materi setiap saat disebut

dengan kecepatan. Titik materi yang bergerak dari A yang posisinya r 1

pada saat t1, ke titik B yang posisinya r 2 pada saat t2.

FISIKA TEKNIK

39

Gambar 3. 6. Vektor perpindahan

Vektor

perpindahannyr r r= −2 1

dan selang waktu yang

dipergunakan titik materi untuk

bergerak dari A ke B adalah

t t t= −2 1

Sehingga kecepatan rata-rata:

vr

t

r rt t

= =−

−

2 1

2 1

(3.1)

Kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan titik materi, tetapi

tergantung dari posisi awal ( 1r ) dan posisi akhir (

2r ). Jika ingin

diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi

berada di antara A dan B, maka menggunakan persamaan kecepatan

sesaat

vdr

dt=

(3.2)

Apabila kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap

waktu (t) maka Besarnya kecepatan disebut dengan kelajuan,

/ / / /vdr

dt=

Kelajuan dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang

bersangkutan. Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik

materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen

posisi (r) terhadap waktu (t).

FISIKA TEKNIK

40

Gambar 3. 7. Perubahan kecepatan

Persamaan kecepatan sesaat dari grafik:

v1 = tg 1

(3.3)

v2 = tg 2

(3.4)

Semakin besar derajat kemiringan grafik, maka semakin besar pula nilai

kecepatannya. Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan

fungsi waktu, oleh karena itu, vektor posisi r dapat ditulis sebagai r =

r (t) artinya r merupakan fungsi waktu (t). Kecepatan titik materi pada

sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis

XvdX

dt= ;

YvdY

dt= ;

ZvdZ

dt=

(3.5)

Dengan X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu

Sebaliknya, untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi

kecepatannya maka dapat diselesaikan dengan integral

( )( )

v tdX t

dt=

( ) ( )dX t v t dt= .

( ) ( )dX t v t dt = .

( ) ( )X t v t dt= .

(3.6)

FISIKA TEKNIK

41

Diketahui persamaan kecepatan suatu materi v(t) = 2 t + 5

m/det, tentukan persamaan posisi titik materi tersebut!

Jawab:

r = v dt

2 5t + dt

r = t 2 + 5 t + C meter

Dengan C adalah suatu konstanta, nilai C dapat diperoleh

dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya: t = 0 dan r (t) = 0

maka harga C dapat dihitung C = 0.

Contoh

Soal

Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar,

arah, ataupun keduanya yang disebabkan oleh adanya percepatan dialami

titik materi tersebut. Jika pada saat t1 kecepatan v1 dan pada saat t2

kecepatannya v2, percepatan rata-ratanya dalam selang waktu t = t 2 -t 1

didefinisikan sebagai

av

t

v vt t

= =−

−

2 1

2 1

(3.7)

Dengan percepatan sesaat

aL i m

t

v

t

dv

dt=

→=

0

( )( )

adv

dt

d dr

dt t

d r

dt= = =

2

2

(3.8)

Percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t)

atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu (t). Kecepatan sesaat dari

suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen grafik

kecepatan (v) terhadap waktu (t)

FISIKA TEKNIK

42

Gambar 3. 8. Perubahan percepatan

Persamaan percepatan sesaat dari grafik:

a 1 = tg 1

(3.9)

a 2 = tg 2

(3.10)

Percepatan pada arah masing-masing sumbu bidang/ruang dapat

dituliskan:

adv

dt

d x

dtX

X= =

2

2 (3.11)

adv

dt

d y

dtY

Y= =

2

2 (3.12)

adv

dt

d z

dtZ

Z= =

2

2 (3.13)

Untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap

waktu dengan cara

mengintegralkannya

( )v v a dtt t

t

= + 00

(3.14)

Soal Aplikatif

Sebuah pesawat jet mendarat dengan

kelajuan 100 m/s dan dapat melaju

dengan percepatan maksimum -5 m/s2

hingga berhenti.

a. Ketika pesawat tersebut menyemtuh

landasan, berapa selang waktu

minimal yang dibutuhkan pesawat

sebelum berhenti?

b. Dapatkah pesawat tersebut mendarat

di bandara yang kecil dengan panjang

landasan 0,8 km?

FISIKA TEKNIK

43

2. Gerak lurus berubah beraturan (GLBB)

Yaitu gerak dengan lintasan berupa garis lurus dan perubahan

kecepatannya tetap (a = t

v

). Persamaan GLBB bila kelajuan awal (v0)

dan kelajuan setelah selang waktu t (vt):

Gambar 3. 9. Diagram

percepatan

a = t

vovt −

at = vt - v0

vt = v0 + at (3.15)

Hubungan kedua persamaan di atas menjadi: asvovt 222 +=

Jarak yang ditempuh=luas grafik v terhadap t

x = Luas trapesium

= ( v0 + vt ) . 12

t

= ( v0 + v0 + at ) . 12

t

= ( 2 v0 + at ) . 12

t

x = v0t + 12

at2

(3.16)

GLBB dengan a > 0 disebut dengan percepatan, yaitu ketika

percepatannya searah dengan kecepatan benda. GLBB dengan a<0

disebut dengan perlambatan, yaitu ketika percepatannya berlawanan arah

dengan kecepatan benda.

Grafik v terhadap t

Gambar 3. 10. Grafik

Gambar 3. 11.

Grafik percepatan

Gambar 3. 12.

Grafik

FISIKA TEKNIK

44

Sebuah partikel memiliki kecepatan 4i + 5j m/s saat t0 = 2 s.

Berapakah kecepatan partikel jika percepatannya -8i + 4j m/s2?

Jawab:

vt = v0 + a (t – t0)

= (4i + 5j) + (-8i + 4j) (t - 2)

= (4 – 8 (t – 2))i + (5 + 4 (t – 2))j

= (-4 t + 8)i + (9 t – 18)j m/s

Contoh

Soal

percepatan dengan vo=0

a > 0

v0=0

vt = v0 + at

vt = at

dengan vo 0

a > 0

v0 0

vt = v0 + at

perlambatan

a < 0

v0 0

vt = v0 + at

Grafik x terhadap t

Gambar 3. 13. Grafik x

terhadap t untuk a>0

a > 0; x = v0t + 12

at2

Gambar 3. 14. Grafik x terhadap t untuk

a<0

a < 0; x = v0t + 12

at2

GLBB lainnya adalah gerak vertikal:

FISIKA TEKNIK

45

a. Gerak jatuh bebas: GLBB tanpa kecepatan awal (v0) dimana

percepatannya disebabkan karena gaya tarik bumi dan disebut

percepatan grafitasi bumi (g)

Gambar 3. 15. Gerak jatuh bebas

b. Gerak benda dilempar ke bawah: GLBB dipercepat dengan

kecepatan awal (v0)

Soal Aplikatif

Seorang perempuan dilaporkan

telah jatuh dari lantai 17 sebuah

gedung yang memiliki ketinggian

144 kaki. Perempuan tersebut

mendarat pada sebuah kotak

ventilator besi dan terperosok

sedalam 18 inci hingga menderita

luka ringan. Dengan mengabaikan

gesekan udara, hitunglah:

a. Kelajuan perempuan tersebut

sebelum ia bertumbukan

dengan ventilator

b. Percepatan rata-rata

perempuan tersebut ketika

menabrak kotak ventilator

c. Waktu yang dibutuhkan untuk

menabrak kotak ventilator

vt = g . t (3.17)

y = 12

g t2 (3.18)

FISIKA TEKNIK

46

Gambar 3. 16. Gerak benda dilempar ke

bawah

c. Gerak benda dilempar ke atas: GLBB diperlambat dengan

kecepatan awal (v0)

Gambar 3. 17. Gerak

benda dilempar ke atas

vt = v0 – gt (3.21)

y = v0t - 12

gt2 (3.22)

vt2 = vo

2 - 2 g.h (3.23)

Syarat gerak vertikal ke atas:

a. Benda mencapai ketinggian maksimum jika vt = 0

b. Benda sampai di tanah jika y = 0

Tinggi maksimum:

hm = g2

v2

o (3.24)

vt = v0 + gt (3.19)

y = v0t + 12

gt2 (3.20)

Soal Aplikatif

Seorang mahasiswa teknik mesin yang penuh rasa ingin tahu mendaki

sebuah karang terjal di tepi pantai setinggi 50 m. Ia melempat dua

buah batu secara vertikal ke air pantai dengan perbedaan waktu 1 s

serta mengamati batu-batu tersebut menyebabkan percikan air. Apabila

batu pertama memiliki kelajuan awal 2 m/s, hitunglah:

a. Berapa lama waktu yang dibutuhkan batu kedua untuk menyentuh

air setelah batu pertama dilepaskan?

b. Berapa kecepatan awal yang harus dimiliki batu kedua jika ia

menyentuh air secara bersamaan dengan batu pertama?

FISIKA TEKNIK

47

1. Dalam waktu 5 12

jam, sebuah kendaraan dapat menempuh

jarak sejauh 290 km, tentukan:

a. Berapa kecepatan rata-rata kendaraan?

b. Dengan kecepatan rata-rata tersebut, berapa jarak

ditempuh selama 9 jam?

2. Sebuah partikel bergerak searah dengan sumbu x,

persamaan percepatannya a = 3t + 2 (a dalam m/s2 dan t

dalam detik). Mula-mula partikel tersebut terletak pada x =

5 meter dengan kecepatan 3 m/detik, hitunglah:

a. Posisi partikel pada t = 3 detik

b. Kecepatan partikel pada t = 8 detik

3. Suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x mengikuti

persamaan x = 2t3 + t2 - 3 dengan x dalam meter dan t

dalam detik, tentukan:

a. Persaman kecepatan dan persamaan percepatan

b. Posisi, kecepatan dan percepatan pada t = 2 s

c. Kecepatan rata-rata serta percepatan rata-rata antara t

= 1 s dan t = 2 s

4. Suatu benda dengan kecepatan awal nol dipercepat dengan

ax = 4 m/s2 dan ay = -5 m/s2 selama periode 2 sekon.

Hitunglah nilai dan arah v di akhir waktu itu!

5. Gerakan sebuah partikel merupakan fungsi posisi yang

dinyatakan dengan persamaan a = 2x + 3 (a dalam m/det2

dan x dalam meter) pada saat x = 0 kecepatannya 2

m/detik. Hitunglah kecepatan partikel tersebut pada saat x

= 8 m!

Latihan Soal 3.1

FISIKA TEKNIK

48

6. Benda bergerak sepanjang sumbu x dengan persamaan

61062

1 234 ++−−=−

ttttr . Dimanakah posisi benda

tersebut pada saat kecepatnnya maksimum?

7. Benda bergerak sepanjang sumbu x menurut grafik

percepatan berikut:

Pada saat t = 0, v = 0 dan r = 0. hitunglah posisi benda

pada saat detik ke-10!

8. Benda A dan B bergerak sepanjang sumbu x, menurut

grafik percepatan di bawah ini, keduanya berangkat

bersamaan dari tempat dan menuju arah yang sama, pada

saat t = 0, v = 0 dan r = 0, kapan dan dimanakah A dan B

bertemu kembali?

9. Sebuah perahu berlayar dari A ke B dengan kecepatan 8

km/jam dan kembali dari B ke A dengan kecepatan 12

km/jam, hitunglah:

a. Kecepatan rata-rata perahu

b. Kecepatan arus sungai

Latihan Soal 3.1

FISIKA TEKNIK

49

10. Berilah penjelasan dan tuliskan persamaan gerak grafik-

grafik berikut ini:

11. Sebuah kendaraan bergerak dengan kecepatan 100

km/jam, menempuh jarak 12

s yang pertama dan dengan

kecepatan 50 km/jam, menempuh jarak 12

s yang lain.

Hitunglah kecepatan rata-rata kendaraan tersebut!

12. Sebuah benda P berangkat dari A kearah B dengan

kecepatan 6 cm/s; 5 s kemudian berangkat sebuah benda

Q dari B kearah A dengan kecepatan 3 cm/s. AB = 150

cm, jika gerak P dan Q beraturan, sesudah berapa detik,

terhitung dari berangkatnya P, mereka bertemu dan

berapa jarak AP pada saat itu?

13. Sebuah perahu berlayar arah tegak lurus tepi sungai

dengan kecepatan 6 km/jam, arus sungai membawa

perahu tersebut sejauh 150 m ke hilir. Jika lebar sungai 12

km, tentukan:

a. Kecepatan arus sungai;

b. Waktu yang diperlukan oleh perahu menyeberangi

sungai

Latihan Soal 3.1

.

FISIKA TEKNIK

50

dengan kecepatan awal 50 m/det. Jika panjang lintasan

AB = 850 m. Tentukan posisi dan waktu kedua kendaraan

itu bertemu!

20. Bola dilempar vertikal ke atas dan mencapai ketinggian

maksimum 15 m. Jika grafitasi setempat = 10 m/det2,

hitunglah waktu yang dibutuhkan benda untuk sampai ke

bumi dan hitunglah tinggi maksimum jika kecepatan

awalnya diperbesar 2x semula!

21. Sebuah benda dilemparkan vertikal ke atas dan 4 detik

kemudian tiba di bumi. Bila grafitasi di tempat tersebut

10 m/det2, Hitunglah:

a. Kecepatan awal (v0)?

b. Tinggi maksimum yang dicapai oleh benda ?

22. Sebuah sepatu jatuh bebas dari ketinggian 20 m. Jika

grafitasi pada saat itu = 10 m/det2. Hitung jarak yang

ditempuh sepatu Selama 0,1 detik yang pertama dan

Selama 0,1 detik yang terakhir!

23. Sebuah benda jatuh bebas dari ketinggian ‘h’ m di atas

tanah. (g = 10 m/det2). Selama satu detik terakhir, benda

itu telah menjalani setengah dari seluruh lintasannya.

Hitunglah ‘h’ dan waktu yang diperlukan oleh benda

untuk tiba di bumi!

24. Posisi suatu partikel sebagai fungsi waktu ada pada tabel

di bawah ini

t(det) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s(m) 0 2,2 6,9 13,9 23,1 34,3 47,2 61,6 77,1 93,4 110

Berdasarkan tabel tersebut, hitunglah:

a. Kecepatan rata-rata 4 detik pertama dan seluruh

perjalanan

b. Kecepatan rata-rata pada interval t = 3 detik dan t = 5

detik

25.

Latihan Soal 3.1

FISIKA TEKNIK

51

25. Mobil A dan mobil B berangkat dari tempat yang

sama, mempunyai arah yang sama menurut grafik di

bawah ini

Kapan dan dimanakah mereka bertemu kembali?

Latihan Soal 3.1

B. Gerak Melingkar

Gerak melingkar beraturan yaitu gerak suatu benda dengan kelajuan

konstan pada suatu lingkaran (di sekeliling lingkaran). Kecepatan gerak

melingkar beraturan selalu tetap namun arahnya selalu berubah, arah

kecepatan selalu menyinggung lingkaran, maka v selalu tegak lurus garis

yang ditarik melalui pusat lingkaran ke sekeliling lingkaran tersebut.

Gambar 3. 18. Arah v pada gerak melingkar

Posisi atau kedudukan sebuah titik dalam gerak melingkar dapat

dinyatakan dalam Koordinat Polar. Sebagai = (t) untuk r yang tetap.

FISIKA TEKNIK

52

Dengan demikian posisi titik hanya tergantung dari waktu (t) saja, yaitu

= (r,t) untuk r dan t yang berubah.

1. Besaran pada gerak melingkar

Beberapa besaran pada gerak melingkar antara lain:

Radian

Satu radian ( = 1 radian) adalah besarnya sudut dalam lingkaran

yang panjang busurnya sama dengan jari-jarinya. Satu radian

dipergunakan untuk menyatakan posisi suatu titik yang bergerak

melingkar (beraturan maupun tak beraturan) atau dalam gerak rotasi.

Gambar 3. 19. Posisi sudut

= S

R (radian)

(3.25)

S = panjang busur

R = jari-jari

Keliling lingkaran = 2 x radius, gerakan melingkar dalam 1 putaran = 2

radian.

1 putaran = 3600 = 2 rad.

1 rad =360

2 = 57,30

Frekuensi dan periode

Frekuensi adalah banyaknya putaran per detik (f=n/t) dan memiliki

satuan Hz atau cps (cycle per second), sedangkan periode adalah waktu

yang diperlukan untuk satu kali berputar mengelilingi lingkaran

(T=t/n=1/f) dengan satuan sekon.

Kecepatan linear dan kecepatan sudut (kecepatan anguler)

Kecepatan linear yaitu kecepatan suatu benda untuk mengelilingi

lingkaran (2R) dalam waktu t derik atau dapat diformulasikan V = s

t=

2Rf. Sedangkan kecepatan anguler (sudut) adalah perubahan dari

perpindahan sudut persatuan waktu (setiap saat). Biasanya dinyatakan

dalam radian/detik, derajat perdetik, putaran perdetik (rps) atau putaran

permenit (rpm). Suatu titik materi yang bergerak dari A yang posisinya 1

pada saat t1, ke titik B yang posisinya 2 pada saat t2

FISIKA TEKNIK

53

Gambar 3. 20. Vektor perubahan posisi

Vektor perpindahannya

= 2 - 1 dan selang waktu

yang dipergunakan titik

materi untuk bergerak dari

A ke B adalah t = t2 - t1

Jika ingin diketahui kecepatan sudut sesaat dari titik materi pada suatu

saat, misal saat titik materi berada di antara A dan B dipergunakan

kecepatan sudut sesaat, yang formulasinya

atau secara matematis ditulis

=

d

dt (3.26)

Nilai dari komponen kecepatan sudut sesaat dari suatu titik materi dapat

dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi

terhadap t.

Gambar 3. 21. Perubahan kecepatan sudut

1 = tg 1

(3.27)

2 = tg 2

(3.28)

Sedangkan untuk menentukan posisi titik materi jika dketahui fungsi

kecepatan sudut diselesaikan dengan integral .

( )( )

td t

dt=

( ) ( )d t t dt =

( ) ( )d t t dt =

FISIKA TEKNIK

54

Tali sepanjang 1 meter mengikat sebuah benda kemudian diputar

vertikal. Jika waktu yang digunakan untuk melakukan satu kali

putaran adalah 0,5 sekon. Hitunglah laju putaran dan kecepatan

sudut benda!

Jawab:

Keliling lintasan benda (s) = 2R = 2 x 3,14 x 1 m = 6,28 m

Laju putaran benda (v) = =

Kecepatan sudut benda () = 2

T = = 12,6 rad/s

Contoh

Soal

( ) ( ) t t dt=

(3.29)

untuk 1 putaran maka: = 2

T rad/detik atau = 2 f. Dengan

demikian besar sudut yang ditempuh dalam t detik: = t atau = 2 f

t. Jika V = 2Rf, maka korelasi persamaan pada kecepatan linear (V) dan

kecepatan sudut () adalah:

V = R.

(3.30)

Percepatan sudut

Kecepatan sudut suatu titik materi dapat berubah-ubah setiap saat, baik

besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena

adanya percepatan sudut yang dialami titik materi tersebut. Jika pada saat

t1 kecepatan sudutnya 1 dan pada saat t2 kecepatan sudutnya 2, percepatan sudut rata-ratanya dalam selang waktu t = t2 - t1 didefinisikan:

= =−

−

t t t

2 1

2 1

, dan percepatan sudut sesaatnya

( )( )

= = =d

dt

d d

dt t

d

dt

2

2

(3.31)

FISIKA TEKNIK

55

2. Sistem gerak melingkar pada susunan roda

a. Sistem langsung:

pemindahan gerak melalui

persinggungan roda yang

satu dengan roda yang

lain. Pada sistem langsung

ini kelajuan liniernya

sama, sedangkan kelajuan

anguler tidak sama.

Gambar 3. 22. Roda bersinggungan

v1 = v2, tetapi 1 2

b. Sistem tak langsung:

pemindahan gerak dengan

menggunakan ban

penghubung atau rantai.

Pada sistem ini kelajuan

liniernya sama, sedangkan

kelajuaan angulernya tidak

sama.

Gambar 3. 23. Roda terhubung rantai

v1 = v2, tetapi 1 2

c. Sistem roda pada satu

sumbu (CO-Axle): titik-

titik yang terletak pada

satu jari mempunyai

kecepatan anguler yang

sama, tetapi kecepatan

liniernya tidak sama.

Gambar 3. 24. Roda setitik pusat

A = R = C, tetapi v A v B v C

FISIKA TEKNIK

56

3. Percepatan Tangensial dan Percepatan Sentripetal

Gambar 3. 25. Hubungan s, θ,

R

Diketahui titik A berada pada

lingkaran berjari-jari R dengan titik

pusatnya O. Kemudian bidang lingkaran

tersebut diputar sehingga dalam gerak

linier, A bergerak sampai titik B dengan

menempuh jarak S, sedang sudut yang

ditempuh. Karena adalah sudut

pusat lingkaran dan s adalah busur lingkaran, berlakulah s = . R. Bila

sudut yang ditempuh () cukup kecil, demikian panjang busurnya (s)

cukup kecil dalam waktu (t), maka berlakulah:

v = R

v

t tR=

at = . R

(3.32)

Percepatan di atas

disebut dengan percepatan

tangensial yaitu percepatan

yang arahnya

bersinggungan dengan

lingkaran. Jika suatu benda

melakukan gerak dengan

kelajuan tetap mengelilingi

suatu lingkaran, maka arah

dari gerak benda tersebut

mempunyai perubahan

yang tetap. Dalam hal ini,

benda harus mempunyai

percepatan yang merubah

arah dari kecepatan tersebut. Arah dari percepatan ini akan selalu tegak

lurus dengan arah kecepatan, yakni arah percepatan selalu menuju kearah

pusat lingkaran. Percepatan yang mempunyai sifat-sifat tersebut

dinamakan percepatan sentripetal yang diformulasikan:

Soal Aplikatif

Sebuah kereta melambat saat memutari

tikungan tajam dari 90 km/jam

menjadi 50 km/jam dalam waktu 15

sekon untuk memutari tikungan

tersebut. Bila jari-jari tikungan 150 m,

hitunglah percepatan saat kelajuan

kereta mencapai 50 km/jam dengan

anggapan kereta terus melambat pada

waktu ini dengan kelajuan sama!

FISIKA TEKNIK

57

ar ( tan )kecepa linier pada benda

jari jari lingkaran

2

−

( )a

v

R

R

RRr = = =

2 2

2

. (3.33)

Gambar 3. 26. Arah percepatan

tangensial

Gambar di samping

memperlihatkan bahwa

percepatan tangensial (at)

arahnya tegak lurus dengan

percepatan sentripetal dan

bersinggungan dengan keliling

lingkaran yang berpusat di O.

Gaya yang menyebabkan benda bergerak melingkar beraturan

disebut gaya sentripetal yang arahnya selalu ke pusat lingkaran.

Sedangkan gaya reaksi dari gaya sentripetal (gaya radial) ini disebut gaya

sentrifugal yang arahnya menjauhi pusat lingkaran, diformulasikan

dengan:

F = m . a

Fr = m . ar

Fr = m . v

R

2

atau Fr = m 2 R (3.34)

Keterangan:

Fr = gaya sentripetal/sentrifugal

m = massa benda

v = kecepatan linier

R = jari-jari lingkaran

Gerak melingkar berubah beraturan yaitu gerak suatu benda dengan

percepatan konstan pada suatu lingkaran (disekeliling lingkaran).

Persamaan gerak melingkar dengan sumbu tetap:

t = 0 + .t

(3.35)

= 0t + 1/2 .t 2

(3.36)

t2 = 02 + 2.

(3.37)

Keterangan:

FISIKA TEKNIK

58

Baling-baling kipas angin beputar dengan kecepatan sudut 600

rpm dari keadaan diam selama 50 s. Hitunglah besar sudut yang

telah diputari oleh tabung tersebut dan jumlahputaran selama

waktu tersebut!

Jawab:

Kecepatan sudut () = 600 rpm =

Percepatan sudut (α) =

Sudut yang diputari tabung (∆θ) = 0.t + 1/2 .t 2 = 0 +

Jumlah putaran (n) =

Contoh

Soal

ωt = kecepatan sudut dalam waktu t detik

ωo= kecepatan sudut awal

= posisi sudut

4. Contoh dan persamaan benda bergerak melingkar

a. Gerak benda di luar dinding

melingkar

Gambar 3. 27. Benda di luar dinding

melingkar

w - N = m . R..mR

v 22

=

Gambar 3. 28. Benda di luar

dinding melingkar dengan

simpangan

w cos - N = m .

R..mR

v 22

=

FISIKA TEKNIK

59

b. Gerak benda di dalam dinding

melingkar

Gambar 3. 29. Benda di dalam dinding

melingkar bawah

N – w = m . R..mR

v 22

=

Gambar 3. 30. Benda di dalam dinding

melingkar atas dengan simpangan

N = m . v

R

2

- m . g cos

Gambar 3. 31. Benda di

dalam dinding melingkar

bawah dengan simpangan

N - w cos = m .

R..mR

v 22

=

Gambar 3. 32. Benda di

dalam dinding melingkar atas

N = m . v

R

2

- m . g

Benda dihubungkan tali, diputar vertikal

FISIKA TEKNIK

60

Gambar 3. 33. Benda diputar vertikal

bawah

T = m . g + m .

v

R

2

Gambar 3. 34. Benda diputar vertikal

atas dengan simpangan

T = m .

v

R

2

- m . g cos

Gambar 3. 35. Benda diputar

vertikal bawah dengan

simpangan

T = m . g cos + mv

R

2

Gambar 3. 36. Benda diputar

vertikal atas

T = m . v

R

2

- m . g

c. Benda dihubungkan dengan tali diputar mendatar (ayunan

centrifugal/konis)

FISIKA TEKNIK

61

Gambar 3. 37. Benda diputar mendatar

T cos = m . g

T sin = m . R..mR

v 22

=

Periodenya T = 2

L

g

cos

R adalah jari-jari lingkaran

d. Gerak benda pada sebuah tikungan berbentuk lingkaran mendatar

Gambar 3. 38. Gerak benda pada

tikungan

N . k = m . v

R

2

N = gaya normal

N = m . g

FISIKA TEKNIK

62

Dari keadaan diam, sebuah mobil bergerak dengan percepatan

konstan dan kecepatan 40 m/s selama 10 sekon. Apabila

litasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari 300 m, hitunglah

percepatan saat menyinggung lintasan, percepatan sentripetal

dan percepatan total saat kecepatan 30 m/s!

Jawab:

Percepatan saat menyinggung lintasan:

Percepatan sentripetal saat kecepatan 30 m/s:

Percepatan total:

Contoh

Soal

C. Gerak Parabola

Gerak parabola merupakan gerak dengan lintasan berbentuk

lengkung yang dapat diasumsikan dengan percepatan grafitasi bumi (g)

konstan selama berlangsung gerak dengan arah ke bawah dan

mengabaikan pengaruh hambatan udara.

FISIKA TEKNIK

63

Gambar 3. 39. Lintasan parabola proyektil yang meninggalkan titik

awalnya

Sumber: Serway & Jewett (84; 2004)

Dari gambar lintasan proyektil, dapat diketahui bahwa pada saat

posisi tertinggi (puncak), nilai kecepatan (vy) = 0 dan jarak tembak

maksimal (pada kordinat y) = 0. Sehingga dapat dituliskan persamaan

pada masing-masing kordinat yaitu:

cos0vvx =

(3.38)

tvx = cos0

(3.39)

tgvvy −= sin0

(3.40)

2

02

1sin gttvy −=

(3.41)

Nilai kecepatan total:

v = 2

y

2

x vv +

(3.42)

Keterangan:

x= jarak yang ditempuh benda pada sumbu x

y= jarak yang ditempuh benda pada sumbu y

FISIKA TEKNIK

64

vx= kecepatan di sumbu x

vy= kecepatan di sumbu y

v0= kecepatan awal

t= waktu

g= percepatan grafitasi

Tinggi maksimum proyektil (ymax) dapat dicari dari substitusi nilai t pada

persamaan (vy) ke persamaan jarak yang ditempuh benda pada sumbu y

(y) dengan mengingat vy pada saat posisi tertinggi sama dengan nol

t = g

sinvo (3.43)

sehingga diperoleh persamaan:

ymax= (3.44)

Sedangkan untuk mencari jarak maksimal (xmax) dengan cara yang

sama dengan mencari ymax, namun karena jarak maksimal memiliki

jangkauan yang

merupakan dua kali

waktu yang dibutuhkan

untuk mencapai puncak

(tx = 2 ty)

t = g

sinv2 o

(3.45)

sehingga persamaannya

menjadi:

xmax=

(3.46)

(tidak berlaku jika

dilempar dari puncak;

jadi harus menggunakan

hy −= )

Soal Aplikatif

Ikan Archerfish (panjang 20 hingga 25 cm)

tinggal di perairan payau Asia Tenggara

dari India sampai Filipina. Ika ini

menangkap mangsa dengan

menyemburkan air ke serangga baik yang

sedang terbang maupun diam.serangga

tersebut kemudian jatuh ke dalm air dan

ikan menelannya. Ikan ini memiliki

ketepatan bidikan pada jarak 1,2 m hingga

1,5 m, bahkan terkadang dapat membidik

dari jarak 3,5 m. Bentuk lidah yang

tergulung dan membentuk tabung,

memudahkan ikan menyemburkan air

berkecepatan tinggi dari mulutnya ketika

secara tiba-tiba ikan menutup insangnya.

Apabila ikan ini membidik serangga dari

jarak 2 m dengan sudut 30o diatas sumbu

horisontal, hitunglah kecepatan air yang

harus disemburkan jika jarak jatuh vertikal

yang diperbolehkan dalam lintasan menuju

sasaran tersebut maksimal adalah 3 cm?

FISIKA TEKNIK

65

Seseorang akan menyelam dengan melompat dari tebing pada

arah horisontal dengan kelajuan 1,4 m/s dan menyentuh air 4

sekon kemudian. Hitunglah tinggi tebing dari permukaan air!

Jawab:

Komponen kecepatan:

Komponen gerak vertikal (saat menyentuh air, y = 0),

sehinga:

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

66

1. Sebuah batang OA memiliki panjang 1 meter dan titik B

berada di tengah-tengah OA. Batang diputar beraturan

pada O dengan kelajuan tetap. Bila A dalam 1 sekon

berputar sebanyak 10 kali. Hitunglah kecepatan linear dan

kecepatan sudut titik A & B!

2. Roda belakang sebuah sepeda memiliki jari-jari 30 cm.

Sedangkan jari-jari gigi roda belakang dan roda putaran

kaki masing-masing 6 cm dan 10 cm. Apabila kecepatan

sepeda 16 km/jam dan gigi roda belakang terhubung

dengan roda putaran kaki, hitunglah:

a. Kecepatan sudut roda belakang

b. Kecepatan linier gigi roda belakang

c. Kecepatan sudut roda putaran kaki

3. Sebuah benda bermassa 10 kg diikat dengan tali ketiang.

Jika benda tersebut bergerak melingkar horisontal pada

jari-jari 4 m dan kecepatan sudutnya 100 putaran tiap

sekonnya, berapakah tegangan talinya?

4. Berapa kecepatan maksimum dari mobil yang bermassa m

dan bergerak mengelilingi taman berbentuk lingkarang

yang berjari-jari 30 m, dan koefesien geraknya 0,5?

5. Sebuah partikel bergerak melingkar beraturan. Dua detik

yang pertama menempuh busur sepanjang 60 cm, Bila

jari-jari lingkaran 5 cm, hitunglah:

a. Kelajuan linier

b. Kelajuan anguler

c. Dispacement anguler (sudut pusat yang ditempuh)

6. Ada tiga buah roda yaitu A, B, dan C dengan jari-jari

masing-masing 40 cm, 10 cm, 25 cm. Roda A dan roda B

berada pada satu poros, roda B dan roda C dihubungkan

dengan bebat (sejenis tali ban),

Latihan Soal 3.2

FISIKA TEKNIK

67

apabila roda C berputar 30 kali tiap menit, hitunglah

a. Kecepatan anguler A

b. Percepatan titik O yang berada di tepi roda A

7. Sebuah benda bermassa 35 gram diputar dan diberi beban

penggantung bermassa 125 gram dan g = 10 m/s2. Jika

benda diputar dengan jari-jari putaran yang tetap dan

bidang lintasannya horisontal, hitunglah percepatan

Sentripetal pada benda itu!

8. Benda bermassa 100 gram digantung pada tali dan diputar

vertikal dengan kecepatan tetap 3 m/det pada jari-jari 4

meter. Hitunglah gaya tegangan tali pada saat benda

berada di bawah dan di atas!

9. Partikel bergerak melingkar beraturan pada benda yang

memiliki diameter 2 m, dalam 1 detik, partikel tersebut

menempuh lintasan 1/3 lingkaran. Hitunglah kecepatan

sudut dan kecepatan linear partikel!

10. Roda berbentuk cakram homogen berputar 5.400 rpm.

Hitunglah kecepatan linier sebuah titik yang berada 30 cm

dari sumbu putarnya!

11. Benda bermassa 2 kg, diikat dengan tali dan diputar

vertikal beraturan dengan kecepatan linier 8 m/s,

hitunglah:

a. Tegangan tali pada saat benda berada di titik terendah

b. Tegangan tali pada saat benda berada di titik tertinggi

c. Tegangan tali pada titik yang memiliki sudut 30o

dari garis vertikal melalui pusat lingkaran

12. Mobil bermassa 1 ton, berada pada puncak sebuah bukit

berbentuk setengah lingkaran dengan diameter 8 meter,

saat dipuncak bukit, mobil tersebut memiliki kecepatan 2

m/s, hitunglah gaya normal yang bekerja pada mobil

tersebut!

Latihan Soal 3.2

FISIKA TEKNIK

68

13. Sebuah mobil mempunyai koefisien gesekan antara ban dan

jalan 0,4, jika mobil tersebut berbelok pada belokan yang

berdiameter 16 meter, berapakah kecepatan minimum agar

ban tidak slip?

Latihan Soal 3.2

FISIKA TEKNIK

69

BAB 4

DINAMIKA GERAK

Telah dijelaskan pada bab 3 tentang gerak tanpa mengindahkan

penyebab gerak tersebut. Bab 4 ini membahas tentang gerak dengan

memperhatikan gaya-gaya penyebab gerak tersebut yaitu hukum newton.

Adalah Sir Isaac Newton yang terkenal dengan hukum-hukum Newton I,

II dan III, juga terkenal dengan hukum Grafitasi Umum. Didasarkan pada

partikel-partikel bermassa senantiasa mengadakan gaya tarik menarik

sepanjang garis yang menghubungkannya, Newton merumuskan

hukumnya tentang grafitasi umum yang menyatakan “Gaya antara dua

partikel bermassa m1 dan m2 yang terpisah oleh jarak r adalah gaya tarik

menarik sepanjang garis yang menghubungkan kedua partikel tersebut,

dan besarnya dapat dinyatakan dengan persamaan”.

F = G m m

r

1 2

2

(4.1)

F = Gaya grafitasi (N).

G = Konstanta grafitasi (G = 6,67 x 10-11 N m

kg

2

2)

m = massa benda (Kg)

r = jarak antara kedua partikel (m)

Gaya grafitasi adalah besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju

pusat massa partikel.

Gambar 4. 1. Arah gaya grafitasi

Untuk gaya grafitasi yang disebabkan oleh beberapa massa tertentu, maka

resultan gayanya ditentukan secara geometris. Misalnya dua buah gaya F1

dan F2 yang membentuk sudut , resultan gayanya dapat ditentukan

berdasarkan persamaan:

F F F F F= + +1

2

2

2

1 22 cos

(4.2)

FISIKA TEKNIK

70

Gambar 4. 2. Resultan gaya grafitasi

FISIKA TEKNIK

71

FISIKA TEKNIK

72

1. Dua buah benda masing-masing massanya 8 kg dan 20

kg terpisahkan pada jarak 4 meter satu dengan yang

lain. Tentukan gaya grafitasi antara kedua benda itu!

2. Gaya tarik grafitasi antara du buah benda bermassa

adalah 2,0 x 10-10 N. Bila massa benda adalah 4 kg dan

10 kg. Tentukanlah jarak antara kedua benda itu!

3. Massa 7 kg terpisah pada jarak 2 meter dari massa yang

lain. Gaya grafitasi antara kedua benda adalah sebesar 4

x 10-10. Tentukan massa benda yang lain!

4. Tiga buah bola bermassa masing-masing 1kg, 2kg dan

3kg diletakkan pada titik sudut segitiga sama sisi

dengan panjang sisi 2 meter. Tentukanlah gaya yang

dialami bola bermassa 2 kg dalam susunan ini!

5. Dua buah bola bermassa masing-masing 5 kg terpisah

pada jarak 2 3 meter. Tentukanlah gaya tarik grafitasi

yang dialami oleh bola bermassa 7 kg dan terletak pada

jarak 3 meter dari kedua massa tersebut!

6. Sebuah bola bermassa 2 kg terletak pada titik pusat

sistem sumbu koordinat. Bola lainnya yang masing-

masing bermassa 14 kg, 32 kg dan 26 kg terletak pada

titik-titik koordinat (3,0), (3,4) dan (0,4). Satuan

koordinat dalam meter, hitunglah gaya yang dialami

oleh bola yang bermassa 2 kg!

7. Dua massa masing-masing 4 kg dan 10 kg terpisah

sejauh 1,5 meter. Tentukanlah gaya grafitasi pada massa

1 kg yang terletak pada suatu titik 0,6 meter dari massa

4 kg dan 1 meter dari massa 10 kg!

8. Dua buah benda bermassa 4 kg dan 10,5 kg terpisah

pada jarak 6 meter. Agar gaya tarik grafitasi yang

dialaminya sama

Latihan Soal 4.1

FISIKA TEKNIK

73

dengan nol, Tentukanlah letak bola bermassa 7 kg!

9. Di titik A dan C dari suatu bujur sangkar ABCD ditempatkan

massa sebesar 2 kg dan 1 kg. Bila gaya tarik menarik antara

kedua massa tersebut besarnya 0,4 Gnewton, tentukanlah

panjang sisi bujur sangkar tersebut!

Latihan Soal 4.1

A. Medan Grafitasi

Kuat medan grafitasi (intensitas grafitasi) oleh gaya grafitasi

didefinisikan sebagai Perbandingan antara gaya grafitasi yang

dikerjakan oleh medan dengan massa yang dipengaruhi oleh gaya

grafitasi tersebut. Dalam bentuk persamaan, dapat dinyatakan dengan

g = F

m

(4.3)

Keterangan:

g = kuat medan grafitasi (N.kg-1)

F = Gaya grafitasi (N)

m = Massa benda (kg)

Kuat medan grafitasi dapat ditimbulkan oleh suatu benda bermassa.

Misalkan dua buah benda bermassa masing-masing m dan m’ terpisah

pada jarak r. Maka gaya grafitasi oleh kedua benda itu adalah

F = Gm m

r

'2

(4.4)

Nilai tetapan G =

Bila dihitung kuat medan grafitasi yang dilami oleh massa m’ sebagai

akibat dari gaya grafitasi di atas, maka di peroleh

gF

m

Gm m

r

mG

m

r= = =

'

'

'

2

2

(4.5)

FISIKA TEKNIK

74

Persamaan di atas

menunjukkan kuat

medan grafitasi oleh

benda bermassa m

pada suatu titik

berjarak r dari benda

tersebut.

Kuat medan

grafitasi merupakan

besaran vektor yang

arahnya selalu

menuju ke pusat

benda yang

menimbulkannya.

Sehingga kuat medan

grafitasi di suatu titik

oleh beberapa benda

bermassa diperoleh

dengan

menjumlahkan

vektor-vektor medan

grafitasi oleh tiap-

tiap benda. Sebagai

contoh: Kuat medan

grafitasi yang

ditimbulkan oleh dua

benda yang kuat

medannya saling

membentuk sudut ,

dapat dinyatakan

dengan persamaan:

g g g g g= + +1

2

2

2

1 22 cos (4.6)

Soal Aplikatif

Sebuah pesawat luar angkasa berbentuk

silinder memiliki massa total (pesawat &

penumpang) 1 ton dan panjang 100 m.

Pesawat tersebut berada terlalu dekat

dengan sebuah lubang hitam yang

memiliki massa 100 kali massa matahari.

Bagian depan pesawat mengarah ke

lubang tersebut yang jarak antara ujung

pesawat dan pusat lubang hitam adalah

10 km. Hitunglah:

a. Gaya total yang bekerja pada

pesawat tersebut

b. Selisih antara medan gravitasi yang

diberikan kepada bagian depan

pesawat dan bagian belakang

pesawat. Selisih percepatannya

bertambah sangat cepat ketika

pesawat mendekati lubang hitam.

Perbedaan percepatan tersebut

mengakibatkan badan pesawat

mengalami tekanan yang luar biasa,

dan perlahan membuatnya hancur

Gambar 4. 3. Pesawat menuju

lubang hitam

FISIKA TEKNIK

75

Sebuah satelit memiliki jari-jari 6000 km, jika diketahui kuat

medan gravitasi di permukaan satelit tersebut 6 N/kg. Hitunglah

massa satelit tersebut!

Jawab:

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

76

1. Benda bermassa 3 kg berada pada suatu tempat dibawah

pengaruh gaya grafitasi sebesar 8 x 10-10 N. Tentukanlah

kuat medan grafitasi yang dialami oleh benda tersebut!

2. Tentukanlah kuat medan grafitasi pada suatu titik berjarak

5 meter dari benda bermassa 42 kg!

3. Dua buah bola masing-masing bermassa 0,4 kg dan 0,8 kg

terpisah pada jarak 5 cm. Tentukanlah kuat medan grafitasi

pada suatu titik yang berjarak 5 cm dari kedua massa

tersebut!

4. Tiga buah bola masing-masing bermassa 12 kg, 34 kg dan

20 kg berturut-turut terletak di titik-titik (3,0), (3,4) dan

(0,4). Bila satuan koordinat dalam meter, tentukanlah kuat

medan grafitasi di titik pusat koordinat!

5. Dua buah bola masing-masing bermassa 5 kg terpisah pada

jarak 2 3 . Tentukanlah kuat medan grafitasi pada suatu

titik yang berjarak 3 cm dari kedua massa tersebut!

6. Dua buah benda masing-masing bermassa 0,2 kg terpisah

pada jarak 1,5 meter satu dengan yang lain. Tentukanlah

kuat medan grafitasi di suatu titik yang terletak 0,2 meter

dari massa 0,2 kg dan 0,6 meter dari massa 0,6 kg!

7. Massa bulan ialah 1/81 dari massa bumi, dan jari-jarinya ¼

kali jari-jari bumi. Tentukanlah perbandingan periode

sebuah ayunan yang berada di permukaan bumi dan yang

berada di permukaan bulan!

Latihan Soal 4.2

B. Energi Potensial Grafitasi

Benda bermassa m yang terletak diluar permukaan bumi dengan

jarak r dari pusat bumi, memiliki energi potensial sebesar:

Ep = - G M m

r

.

(4.7)

Keterangan

Ep = Energi potensial grafitasi (joule)

G = Konstanta grafitasi

M = massa bumi (kg)

m = massa benda (kg)

FISIKA TEKNIK

77

r = Jarak pusat benda ke pusat bumi (m)

Persamaan energi potensial grafitasi diawali dengan tanda negatif (-),

hal ini menunjukkan jika benda bergerak di bawah pengaruh gaya

grafitasi. Dari jarak tak terhingga () ke jarak r maka energi potensialnya

akan berkurang, karena dipergunakan untuk menambah energi kinetik

dengan makin besarnya laju benda saat bergerak mendekati bumi.

Apabila mula-mula benda berada di tempat yang jauh tak hingga (r = )

dengan energi kinetik sama dengan nol, maka dalam perjalanan

mendekati bumi, medan grafitasi merubah energi potensial menjadi

energi kinetik. Ketika sampai di permukaan bumi, energi kinetik benda

sama dengan energi potensial grafitasinya.

12

2mv GM m

R=

.

Keterangan:


M = massa bumi (kg)

R = jari - jari bumi (m)

v = kecepatan benda di permukaan bumi (m/s)

Pada medan grafitasi, hukum kekekalan energi mekanik total berlaku,

ditunjukkan dengan persamaan:

Emek = Ek + Ep

Emek = 12

2mv GM m

R−

.

(4.8)

Jika Ep(A)= energi potensial di titik A dan Ep(B)= energi potensial di

titik B, maka beda energi potensialnya sama dengan

Ep(B) - Ep(A) = - G M m (1 1

r rB A

− )

(4.9)

Keterangan:

rA = jarak titik A ke pusat bumi.

rB = jarak titik B pusat bumi.

oleh karena usaha merupakan perubahan energi potensial maka usaha

yang dilakukan sepanjang garis dari A ke B dapat dinyatakan dengan :

WA----> B = - G M m (1 1

r rB A

− )

(4.10)

dengan WA----> B = Usaha dari A ke B.

FISIKA TEKNIK

78

C. Potensial Grafitasi

Potensial grafitasi didefinisikan sebagai tenaga potensial grafitasi

per satuan massa, yang dapat dituliskan dengan persamaan:

vEp

m=

(4.11)

Keterangan:

v = potensial grafitasi (Joule/kg)

Ep = Energi potensial grafitasi (Joule)


Energi potensial grafitasi benda bermassa m’ yang terletak pada jarak r

dari pusat massa benda bermassa m dapat kita nyatakan dengan

persamaan

Ep = - G m m

r

'

(4.12)

Bila massa m’ terletak di sebuah titik (misalkan titik p) maka potensial

grafitasi di titik p yang dialami oleh massa m’ dapat ditentukan dengan

persamaan:

VEp

r

Gm m

r

m= =

−'

'

V Gm

r= − (4.13)

Keterangan:

V = potensial grafitasi pada jarak r dari massa m

m = massa benda

r = jarak tempat yang mengalami potensial grafitasi ke benda

Potensial grafitasi merupakan besaran skalar, sehingga potensial

yang disebabkan oleh berapa benda bermassa merupakan jumlah aljabar

dari potensial grafitasi masing-masing benda bermassa tersebut

Vt = V1 + V2 + V3 + ...... + Vn

Beda potensial antara dua titik dalam medan grafitasi didefinisikan

sebagai potensial di titik yang satu dikurangi dengan potensial di tItik

yang lain. Usaha yang dilakukan untuk membawa massa m dari satu titik

ke titik lain lewat sembarang lintasan sama dengan massa benda (m) kali

beda potensial antara kedua titik tersebut.

WA----> B = m (VB - VA)

(4.14)

Dengan WA----> B = Usaha dari A ke B.

FISIKA TEKNIK

79

1. Hitunglah energi potensial grafitasi yang dialami oleh

massa sebesar 4 kg dan terletak dipermukaan bumi jika

massa bumi 6 x 1024 kilogram. Jari-jari bumi 6,38 x 106

meter dan konstanta grafitasi 6,67 x 1011 Nm2/kg2!

2. Hitunglah energi potansial grafitasi yang dialami oleh

massa sebesar 6 kg dan terletak pada jarak 8 meter dari

suatu benda yang bermassa 50 kg!

3. Benda bermassa 12 kg berada pada suatu tempat memiliki

energi potensial grafitasi yang besarnya sama dengan 8 x

108 joule. Hitunglah potensial grafitasi yang dialami oleh

benda tersebut!

4. Hitunglah potensial grafitasi pada suatu titik yang terletak

4 meter dari suatu benda bermassa 30 kg!

5. Diketahui gambar berikut memiliki massa m1 = 0,3 kg

dan massa m2 = 0,1 kg

a. Hitunglah potensial grafitasi yang disebabkan oleh

massa m1 dan m2 di titik O dan di titik A

b. Hitunglah usaha yang dilakukan untuk mengangkut

massa m = 0,01 kg dari titik A ke titik O

6. Dua massa masing-masing 0,3 kg dan 0,8 kg terpisah

sejauh 0,2 meter, hitunglah:

a. Potensial grafitasi pada titik 0,04 meter dari massa

0,3 kg dan 0,08 meter dari massa 0,8 kg

b. Usaha yang diperlukan untuk memindahkan massa

sebesar 1 kg dari titik jauh tak hingga kesuatu titik

yang terletak 0,08 meter dari massa 0,8 kg

Latihan Soal 4.3

FISIKA TEKNIK

80

D. Hukum Kekekalan Energi Medan Grafitasi

Gerakan benda dalam medan grafitasi yang memiliki energi tidak

sama di semua titik sebaiknya dipecahkan dengan perhitungan potensial

grafitasi. Dengan mengabaikan gaya-gaya gesekan, hukum kekekalan

energi

Ek + Ep = konstan.

Ek(1) + Ep(1) = Ek(2) + Ep(2)

Dengan membatasi gerakan massa m dalam medan grafitasi yang

ditimbulkan oleh titik tunggal yang tetap atau bola homogen bermassa m

Ek = 12

mv2 dan Ep = m V = - G M m

r

Sehingga diperoleh

12

m(v1)2 - G M m

r1

= 12

m(v2)2 - G M m

r2

(v2)2 = (v1)2 + 2G M (1 1

2 1r r− )

(4.15)

Sebuah benda yang dilemparkan lurus ke atas dari permukaan bumi

hanya dapat naik sampai jarak tertentu yaitu pada saat energi kinetik

benda sama dengan nol, kemudian akan kembali lagi ke permukaan bumi.

Jika suatu benda dilemparkan dari permukaan bumi dengan energi kinetik

yang besarnya sama dengan energi potensial dipermukaan bumi, maka

energi totalnya sama dengan nol. Hal ini berarti benda bergerak ke jauh

tak terhingga atau lepas dari bumi. Kecepatan awal yang terjadi ini

disebut kelajuan lepas, dan dapat ditentukan dengan persamaan

12

mv2 = G M m

R

v Rg= 2

(4.16)

FISIKA TEKNIK

81

1. Diketahui massa bulan 6,7 x 1022 kg dan radiusnya 1,5 x

106 meter. Hitunglah berapa kecepatan benda dari

permukaan bulan hingga mencapai jarak yang sama

dengan radius bulan!

2. Sebuah benda ditembakkan ke atas dari permukaan bumi.

Jika percepatan grafitasi di anggap konstan dan besarnya

sama dengan 10 m/det2, jari-jari bumi 6.400 Km,

hitunglah kecepatan benda agar dapat mencapai

ketinggian 500 km!

3. Sebuah titik bermassa dilepaskan dari jarak 3R dari pusat

bola rongga berdinding tipis dari keadaan diam. Bola

tersebut memiliki radius R, massa M dan letaknya tetap.

Gaya yang bekerja pada titik bermassa tersebut hanyalah

gaya grafitasi yang ditimbulkan oleh bola rongga. Jika

pada bola terdapat lubang kecil yang dapat dilalui titik

bermassa saat jatuh, tentukan:

a. Kecepatan ketika tepat sampai pada lubang

tersebut

b. Kecepatan ketika melewati titik pusat bola

4. Hitunglah kecepatan sebuah benda yang jatuh dari

ketinggian h menuju ke permukaan bumi dengan

mengabaikan gesekan!. Nyatakan jawabnya dengan

percepatan g dipermukaan Bumi dan radius bumi R.

Dalam hal ini h dianggap demikian besar sehingga

perubahan percepatan grafitasi harus diperhitungkan.

5. Hitunglah kecepatan benda yang harus ditembakkan dari

permukaan bumi sehingga mencapai ketinggian sama

dengan 2 kali jari-jari bumi!

Latihan Soal 4.4

E. Gerakan Planet

Menurut Keppler (hukum Keppler), perbandingan antara T2 dari

gerakan planet yang mengelilingi matahari terhadap r3 adalah konstan.

T

rc

2

3

= (4.17)

FISIKA TEKNIK

82

Keterangan:

T = periode

r = jari-jari lintasan

( T1 )2 : ( T2 )2 = ( r1 )3 : ( r2 )3

(4.18)

Dan dari gerak melingkar beraturan dapat diperoleh:

v = 2 r

T

(4.19)

Karena planet bergerak pada lintasan yang tetap maka terdapat gaya

sentripetal yang mempertahankan planet tetap pada lintasannya.

Gambar 4. 4. gaya tarik

benda bermassa M dan m

F GM m

r=

2

Gaya sentripetal dalam hal ini adalah gaya

grafitasi yang dialami oleh planet yang

disebabkan oleh matahari. Bila massa planet

m dan massa matahari M maka gaya

grafitasi antara planet dan matahari pada

jarak r, adalah:

(4.20)

Gaya ini merupakan gaya sentripetal, bila selama mengitari matahari

planet bergerak dengan laju tetap sebesar v, maka dapat dinyatakan

bahwa:

GM m

rm

v

r2

2

=

GM

rv= 2

v GM

r=

(4.21)

Jika planet bergerak dengan kelajuan sudut maka dapat dinyatakan

suatu persamaan dalam bentuk: 2 = GM

r 3 (4.22)

Keterangan:

= kelajuan sudut

M = massa matahari

r = jari-jari lintasan

FISIKA TEKNIK

83

F. Hukum Newton

Hukum yang membahas tentang gerak disebut dengan hukum

newton, hukum ini membahas gaya-gaya yang menyebabkan gerak. Gaya

merupakan tarikan atau dorongan yang dapat menimbulkan perubahan

gerak, dengan demikian jika benda ditarik/didorong maka pada benda

bekerja gaya dan keadaan gerak benda dapat dirubah. Gaya termasuk

besaran vektor, karena gaya ditentukan oleh besar dan arahnya.

1. Hukum I Newton

Hukum I Newton atau biasa disebut hukum kelembaman

menyatakan bahwa Jika resultan dari gaya-gaya yang bekerja pada

sebuah benda sama dengan nol (∑F = 0), maka benda tersebut akan tetap

diam (bila dalam keadaan diam) dan bergerak lurus beraturan (bila dalam

keadaan bergerak lurus beraturan). Karena benda bergerak translasi,

maka pada sistem koordinat Cartesius dapat dituliskan Fx = 0 dan Fy

= 0.

2. Hukum II Newton

Hukum II Newton berbunyi ‘percepatan yang ditimbulkan oleh gaya

yang bekerja pada suatu benda berbanding lurus dan searah dengan gaya

itu dan berbanding terbalik dengan massa benda’, atau dapat dituliskan

dalam persamaan:

Gambar 4. 5. arah gaya dan percepatan

gerak benda

a F

m atau F m .a (4.23)

Keterangan

Besaran Notasi MKS CGS

Gaya F newton (N) dyne

Massa M Kg gram

Percepatan A m/det2 cm/det2

FISIKA TEKNIK

84

Pengembangan hukum II newton misalnya:

a. Jika pada benda bekerja banyak gaya yang horisontal maka berlaku:

F = m . a

Gambar 4. 6. gaya tarik

menarik

F1 + F2 - F3 = m . a

Arah gerak benda

sama dengan F1 dan

F2 jika F1 + F2 > F3

Arah gerak benda sama dengan F3 jika F1 + F2 < F3 ( tanda a = - )

b. Jika pada beberapa benda bekerja banyak gaya yang horisontal maka

berlaku:

F = m . a

Gambar 4. 7. gaya tarik menarik dengan banyak gaya

F1 + F2 - F3 = (m1 + m2) . a

c. Jika pada benda bekerja gaya yang membentuk sudut dengan arah

mendatar maka berlaku:

F cos = m . a

Soal Aplikatif

Jarak antara dua tiang telepon

adalah 50 m, saat seekor burung

bermassa 1 kg mendarat di kabel

tengah-tengah kedua tiang, kabel

tersebut turun sejauh 0,2 m.

a. Gambarlah diagram benda

bebas dari soal cerita tersebut

b. Dengan mengabaikan massa

kabel, hitunglah tegangan yang

diberikan burung pada kabel?

FISIKA TEKNIK

85

Gambar 4. 8. gaya yang membentuk sudut θ dengan horisontal

3. Hukum III Newton

Hukum III Newton sering disebut dengan hukum aksi-reaksi,

maksutnya bila sebuah benda A (gaya aksi) melakukan gaya pada benda

B, maka benda B (gaya reaksi) juga akan melakukan gaya pada benda A

yang besarnya sama tetapi berlawanan arah, atau bisa ditulis dengan Faksi

= - Freaksi.

Sebuah peluru yang bermassa 2 gram ditembakkan dari senapan

dengan kelajuan 150 m/s ke sebuah kubus di hadapannya. Jika

peluru menancap ke dalam kubus hingga 8 cm. Hitunglah gaya

yang dilakukan kubus untuk menghentikan peluru!

Jawab:

Laju akhir peluru adalah nol, karena setelah menancap ke kubus,

peluru tidak bergerak kembali, maka:

Tanda negatif menunjukkan perlambatan

Gaya yang dilakukan kubus untuk menghentikan peluru:

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

86

a. Pasangan aksi reaksi pada bidang datar/miring

Gambar 4. 9. hubungan gaya

normal dan gaya berat

w = - N

w = gaya berat benda memberikan gaya

aksi pada lantai.

N = gaya normal (gaya yang tegak lurus

permukaan tempat di mana benda

berada).

Hal ini bukan pasangan Aksi - Reaksi.

(tanda (-) hanya menjelaskan arah

berlawanan)

Macam - macam keadan (besar) gaya normal

N = w cos N = w - F sin N = w + F sin

Gambar 4. 10. Besar gaya Normal pada beberapa keadaan

b. Pasangan aksi reaksi pada benda yang digantung

Gambar 4. 11. Benda digantung terhadap

pengaruh aksi-reaksi

Balok digantung dalam

keadaan diam pada tali

vertikal. Gaya w1 dan

T1 bukanlah pasangan

aksi - reaksi, meskipun

besarnya sama,

berlawanan arah dan

segaris kerja.

Sedangkan yang

merupakan pasangan

aksi - reaksi adalah

gaya: T1 dan T’1, juga

gaya T2 dan T’2

FISIKA TEKNIK

87

Hubungan tegangan tali terhadap percepatan

Gambar 4. 12. T dan W pada

benda diam

a. Bila benda dalam keadaan

diam, atau dalam keadan

bergerak lurus beraturan maka:

T = m . g

T = gaya tegangan tali.


benda bergerak ke atas

b. Benda bergerak ke atas dengan

percepatan a maka:

T = m . g + m . a



benda bergerak ke bawah

c. Benda bergerak ke bawah

dengan percepatan a maka:

T = m . g - m . a


Gerak benda yang dihubungkan dengan katrol

Gambar 4. 15. arah percepatan

pada katrol

Dua buah benda m1 dan m2

dihubungkan dengan karol melalui

sebuah tali yang diikatkan pada ujung-

ujungnya. Apabila massa tali diabaikan,

dan tali dengan katrol tidak ada gaya

gesekan, maka akan berlaku

persamaan-persamaan:

Sistem akan bergerak ke arah m1 dengan percepatan a.

Tinjauan benda m1 Tinjauan benda m2

T = m1.g - m1.a (persamaan 1) T = m2.g + m2.a (persamaan 2)

Persamaan 1 dan 2 dapat disubstitusikan menjadi:

FISIKA TEKNIK

88

m1 . g - m1 . a = m2 . g + m2 . a

m1 . a + m2 . a = m1 . g - m2 . g

( m1 + m2 ) . a = ( m1 - m2 ) . g

a =( )

( )

m m

m mg1 2

1 2

−

+

(4.24)

Persamaan tersebut digunakan untuk mencari percepatan benda yang

dihubungkan dengan katrol. Percepatan benda pada sisitem katrol dapat

juga ditinjau dari keseluruhan sistem:

Gambar 4. 16.

percepatan pada

katrol

Sistem akan bergerak ke arah m1 dengan

percepatan.

Oleh karena itu semua gaya yang terjadi yang

searah dengan arah gerak sistem diberi tanda

positif, yang berlawanan diberi tanda negatif.

F = m . a

w1 - T + T - T + T - w2 = ( m1 + m2 ) . a

w1 - w2 = (m1 + m2 ) . a

( m1 - m2 ) . g = ( m1 + m2 ) . a

a = ( )

( )

m m

m mg1 2

1 2

−

+

Benda bergerak pada bidang miring

Gaya - gaya yang bekerja pada benda:

Gambar 4. 17. komponen gaya

pada benda di atas bidang miring

Gaya gesekan antara permukaan

benda yang bergerak dengan

bidang tumpu benda akan

menimbulkan gaya gesek yang

arahnya senantiasa berlawanan

dengan arah gerak benda. Terdapat dua jenis gaya gesek:

gaya gesek statis (fs): bekerja pada saat benda diam → fs = N.s

gaya gesek kinetik (fk): bekerja pada saat benda bergerak → fk = N.

k

Jika F < fs , benda diam →f = F ; Jika F = fs , benda diam →f = fs ;

Jika F > fs , benda diam →f = fk

FISIKA TEKNIK

89

Benda bermassa 8 kg berada pada bidang datar, jika benda ditarik

ke kanan arah horisontal dengan gaya 20 N, apakah yang terjadi

pada benda tersebut? (.diketahui s = 0,4 dan .k = 0,2)

Jawab:

Gaya gesek statik maksimum:

Karena gaya tarik (20

N) < (32 N) sehingga

benda belum bergerak

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

90

Sebuah lampu digantung seperti pada

gambar. Berapakah gaya tegangan talinya?

Sebuah lampu digantung seperti pada

gambar. Berapakah gaya tegangan talinya?

Benda seberat 200 N digantung dengan

susunan seperti pada gambar.

Hitunglah gaya tegangan talinya!

Benda seberat 200 N digantung dengan

susunan seperti pada gambar. Hitunglah gaya

tegangan talinya!

Dari gambar disamping ini. Tentukan:

a. Gaya tegangan tali

b. Gaya yang dikerjakan engsel terhadap

balok penopang jika massa balok

diabaikan.

Latihan Soal 4.5

FISIKA TEKNIK

91

7. Kendaraan yang massanya 1 ton bergerak dari kecepatan

8 m/det menjadi 15 m/det selama 4 detik. Berapakah

gaya yang bekerja pada kendaraan tersebut?

8. Kendaraan bermassa 1 ton berjalan dengan kecepatan 40

m/det dan memiliki rem yang menghasilkan gaya 4000

N. Hitunglah:

a. Lama rem bekerja sampai kendaraan berhenti

b. Jarak yang ditempuh kendaran selama rem bekerja

9. Benda massanya 8 kg tergantung pada ujung kawat.

Hitunglah besarnya tegangan kawat, jika:

a. Benda bergerak ke atas dengan percepatan 4 m/det2

b. Benda bergerak ke bawah dengan percepatan 4

m/det2

10. Seutas tali dipasang pada katrol yang ujung-ujungnya di

beri beban 8 kg dan 10 kg. Jika gesekan tali dengan

katrol diabaikan, hitunglah percepatan dan tegangan tali!

11. Sebuah benda mula-mula diam bekerja gaya F selama 3

detik, setelah F dihilangkan maka bekerja gaya dari arah

yang berlawanan sebesar 4 N, sehingga setelah 8 detik

kemudian kecepatannya menjadi 0. Hitunglah berapa

besar gaya F!

12. Sebuah benda mula-mula diam berada di atas bidang

datar kasar dengan koefisien gesekan statis 0,4 dan

koefisien gesekan kinetik 0,3, jika massa benda 10 kg,

ditarik dengan gaya 50 newton mendatar, setelah 5 detik

gaya 50 newton dihilangkan, hitunglah jarak yang

ditempuh benda mulai bergerak hingga berhenti kembali!

13. Diketahui gambar berikut

Latihan Soal 4.5

6. Sebuah benda mendapat gaya sebesar 50 N, sehingga dalam

waktu 5 detik kecepatannya menjadi 36 m/det dari keadaan

diam. Berapa berat benda jika g= 10 m/det2?

FISIKA TEKNIK

92

mA = 10 kg dan mB = 40 kg disusun sedemikian hingga terjadi

kesetimbangan, dengan tg = ¾. jika lantai pada bidang

miring licin sempurna, hitunglah mC

14. Sebuah benda mula-mula dalam keadaan diam berada pada

bidang miring kasar dengan sudut kemiringan 30o dan

koefisien gesekan kinetiknya 0,2. Jika massa benda 6 kg dan

ditarik dengan gaya 15 newton, tentukan arah gerak benda,

dan jarak yang ditempuh selama 4 detik!

Latihan Soal 4.5

G. Dinamika Gerak Rotasi

Dalam gerak translasi, besaran yang membuat benda bergerak linier

disebut dengan gaya, sedangkan pada gerak rotasi besaran yang

menimbulkan gerak disebut dengan momen gaya. Momen gaya ( )

didefinisikan sebagai perkalian gaya dengan lengan momen panjang garis

yang ditarik dari pusat rotasi tegak lurus ke garis kerja gaya). Peninjauan

dari sebuah batang ringan (massa diabaikan) ujung) ditekan sebagai pusat

lingkaran dan diujung lain terdapat gaya F membentuk sudut .

Gambar 4. 18. komponen momen gaya

pada batang ringan

= F l Sin.

(4.25)

Momen gaya adalah besaran

vektor maka mempunyai

arah. Positif jika arah putar

searah dengan arah jarum

jam, sedangkan negatif jika

arah putar berlawanan arah

dengan arah jarum jam

1. Momen Inersia

Sebuah benda bermassa m diikat dengan seutas tali panjangnya l.

Kemudian pada benda diberikan gaya F sehingga benda dapat berputar

dengan sumbu putar O.

FISIKA TEKNIK

93

Gambar 4. 19. Arah percepatan

tangensial momen gaya

Percepatan tangensial yang di dapat

oleh benda massa m menurut

hukum II Newton: F = m . at

Ruas kiri dan kanan dikalikan

dengan r, sehingga diperoleh:

F . r = m . at . r

F . r = m . ( . r) . r

F . r = m . r 2 . ,

(4.26)

m . r 2 disebut dengan momen inersia (I ), sehingga momen gaya

dapat dituliskan = I .

karena benda terdiri dari komponen-komponen massa kecil. Momen

Inersia dari total komponen massa dapat ditulis

I = m . r 2

(4.27)

Besarnya momen inersia sebuah benda tergantung dari bentuk benda dan

sumbu putarnya.

Tabel 4. 1. Momen Inersia beberapa benda terhadap sumbu putarnya

No

.

Gambar Nama Momen Inersia

1

Batang

Kurus

terhadap

sumbu

terhadap

pusat dan

tegak lurus

pada

panjangnya.

IM

=2

12

2

Batang

Kurus

terhadap

sumbu

terhadap

sumbu yang

melalui

IM

=2

3

FISIKA TEKNIK

94

No

.


salah satu

ujungnya

dan tegak

lurus pada

panjangnya.

3

Cincin tipis

terhadap

sumbu

silinder.

I M R= 2

4

Cincin tipis

terhadap

salah satu

diameternya

.

IM R

=2

2

5

Silinder

pejal

terhadap

sumbu

silinder.

IM R

=2

2

6

Silinder

berongga

(atau cincin)

terhadap

sumbu

silinder.

( )IM

R R= +2

1

2

2

2

7

Silinder

pejal (atau

cakram)

terhadap

diameter

pusat.

IM R M

= +2 2

4 12

FISIKA TEKNIK

95

Diketahui sebuah bola bermassa M dengan jari-jari R.

Bagaimanakah persamaan momen inersia bola terhadap sumbu

yang menyinggung permukaan bola jika momen inersia terhadap

pusat massa adalah !

Jawab:

Gambar 4. 20. momen inersia bola terhadap sumbu yang

menyinggung permukaan bola

Contoh

Soal

No

.


8

Cincin tipis

terhadap

salah satu

garis

singgungnya

.

IM R

=3

2

2

9

Bola pejal

terhadap

salah satu

diameternya

.

IM R

=2

5

2

10

Kulit bola

tipis

terhadap

salah satu

diameternya

.

IM R

=2

3

2

FISIKA TEKNIK

96

2. Energi Kinetik Rotasi

Sebuah benda tegar yang berotasi dengan laju sudut mengelilingi

suatu sumbu tetap. Masing-masing partikel yang massanya m mempunyai

energi kinetik: Ek mV m r= =1

2

1

2

2 2 2 , r adalah jarak masing-masing

partikel terhadap sumbu rotasi, dengan demikian energi kinetik total (Ek

total) dapat ditulis:

Ek m r m r= + +1

21 1

2

2 2

2 2( .... )

Ek m r=1

2

2 2( )

( )Ek Itotal

=1

2

2

(4.28)

3. Momentum sudut (anguler)

Benda yang massanya (m) yang berada pada posisi (r) relatif

terhadap titik O dan mempunyai momentum linier (p). Sedangkan

besarnya momentum sudut (L) didefinisikan

pxrL = , jika diketahui P = m . v sehingga momentum sudut

menjadi:

L = m . v . r

L = m ( . r ) r

L = m r2

L = I .

(4.29)

Bila tidak ada gaya luar yang bekerja pada benda, maka momentum sudut

sebuah benda atau suatu sistem adalah konstan (tetap) dan ini disebut

Hukum Kekekalan Momentum Anguler.

L 1 = L 2

I 1 . 1 = I 2 . 2

(4.30)

FISIKA TEKNIK

97

4. Peristiwa menggelinding pada bidang datar dan bidang miring

Tabel 4. 2. Perbedaan Menggelinding pada Bidang Datar dan Bidang

Miring

Diketahui sebuah bola (pejal) menggelinding tanpa slip pada

lintasan datar dengan kecepatan 4 m/s. Massa bola (pejal) 15

kg dan jari-jarinya 10 cm, hitunglah momentum translasi,

energi kinetik translasi, momentum sudut terhadap pusat

massa, dan energi kinetik rotasi!

Jawab:

Momentum translasi/linier bola:

Energi kinetik translasi/linier bola

Kecepatan sudut:

Momen inersia terhadap pusat massa bola:

Momentum sudut terhadap pusat massa bola:

Energi kinetik rotasi:

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

98

Pada bidang datar Pada bidang miring

Gambar 4. 21. Bola

menggelinding pada bidang

datar

Agar silinder dapat

menggelinding (melakukan dua

macam gerakan translasi dan

rotasi) maka bidang alasnya

harus kasar, artinya ada gaya

gesekan antara silinder dengan

alasnya. Apabila bidang alasnya

licin maka silinder akan

tergelincir yang berarti hanya

melakukan gerak translasi saja.

Gerak Translasi

F - fg = m . a dan

N - m.g = 0

Gerak Rotasi.

gaya gesek saja yang dapat

menimbulkan momen gaya.

= I .

= fg . R

I . = fg . R

Gambar 4. 22. Bola menggelinding

pada bidang miring

Gerak Translasi.

m . g sin - fg = m . a dan

N = m . g cos

Gerak Rotasi.

= I .

= fg . R

I . = fg . R

Dengan mensubstitusikan kedua

persamaan di atas dan memasukkan

nilai momen inersia di dapat

percepatan benda saat menggelinding

turun dari bidang miring.

5. Korelasi gerak translasi dan gerak rotasi

Persamaan-persamaan pada gerak translasi dan gerak rotasi terdapat

hubungan yang saling berkaitan, penyebab gerak translasi adalah gaya,

sedangakan penyebab gerak rotasi adalah momen gaya.

Tabel 4. 3. Besaran dan korelasi gerak translasi dan gerak rotasi

FISIKA TEKNIK

99

GERAK TRANSLASI GERAK ROTASI Korelasiny

a

Pergeseran

linier

S Pergeseran

sudut s = . R

Kecepatan

linier v

ds

dt= Kecepatan

sudut

=

d

dt v = . R

Percepatan

Linier a

dv

dt= Percepatan

sudut

=

d

dt a = . R

Kelembama

n translasi

(massa)

M Kelembama

n rotasi

(momen

inersia)

I I = m.r2

Gaya F = m . a Torsi

(momen

gaya)

= I . = F . R

Energi

kinetik Ek m v=

1

2

2

Energi

kinetik Ek m v=

1

2

2

-

Daya P = F . v Daya P = . -

Momentum

linier

p = m.v Momentum

anguler L = I . -

Persamaan gerak translasi dan gerak rotasi dengan percepatan tetap pada

gerak lurus berubah beraturan dan gerak melingkar berubah beraturan.

Tabel 4. 4. Persamaan gerak translasi dan gerak rotasi untuk GLBB

Gerak Translasi (Arah Tetap)

untuk GLBB

Gerak Rotasi (Sumbu Tetap)

untuk GMBB

vt = v0 + at t = 0 + .t

s = vot + 1/2 a t 2 = 0t + 1/2 .t 2

vt 2 = v0

2 + 2 a.s t2 = 02 + 2.

FISIKA TEKNIK

100

1. Sebuah batang panjang 1 meter dengan poros diujung

batang, batang dalam keadaan horizontal kemudian

dilepaskan. Jika g = 10 m/s2, hitunglah:

a. Percepatan sudut pada saat dilepaskan

b. Percepatan sudut pada saat batang berada 30o dari

mula-mula

c. Percepatan sudut batang pada saat keadaannya

vertikal

2. Sebuah bola digantungkan pada seutas tali yang

panjangnya 0,5 m sehingga dapat berayun. Ketika bola

tersebut berada pada posisi 30o terhadap garis vertikal,

mempunyai kecepatan 1 m/s. Hitunglah:

a. Percepatan sentripetal

b. Percepatan tangensial

c. Percepatan bola pada posisi 30o terhadap garis

vertikal

3. Sebuah batu gerinda berjari-jari 4 cm diputar dengan

kecepatan sudut 10 rad/s serta percepatan sudut 6 rad/s2.

Tentukan percepatan tangensial dan arah percepatan batu

gerinda!

4. Sebuah roda berputar mula-mula dengan 1 = 8 rad/s.

Setelah interval 2 sekon, putarannya dipercepat sehingga

2 = 26 rad/s. Carilah percepatan sudut rata-rata selama

waktu itu!

5. Percepatan sudut suatu roda adalah 10 rad/s2. Carilah

waktu yang digunakan untuk perubahan kecepatan sudut

dari 80 rad/s menjadi 300 rad/s!

6. Sebuah partikel berputar pada lingkaran yang

mempunyai persamaan = 4t2 + 3t, dengan diukur

dalam radian dan t dalam detik. Carilah kecepatan sudut

dan percepatan sudut sesudah 5 sekon!

7.

Latihan Soal 4.6

Latihan Soal 4.6

FISIKA TEKNIK

101

7. Sebuah roda yang berputar pada kecepatan 5

putaran/detik mengalami percepatan sudut sebesar 3

rad/s2. Berapakah waktu diperlukan agar mencapai

kecepatan sudut sebesar 20 putaran/detik dan berapa

jumlah putaran yang telah dilakukan roda dalam waktu

itu?

8. Lingkaran berputar dengan persamaan at = 3t + 4 (a

dalam m/s2 dan t dalam detik). Bila jari-jari lingkaran 1

m sedangkan pada keadaan awal kecepatan tepi

lingkaran 3 m/s, hitunglah:

a. Kecepatan sudut pada saat t = 5 detik

b. Percepatan radial dan percepatan tangensial pada

saat t = 5 sekon

c. Sudut yang ditempuh selama 4 detik

9. Suatu benda, mula-mula diam ( = 0 dan = 0 pada t =

0) dipercepat dalam lintasan melingkar berjari-jari 1,2 m

mengikuti persamaan = 100 t2 - 36 t + 12.

Tentukanlah:

a. Posisi sudut

b. Kecepatan sudut benda itu sebagai fungsi waktu

c. Komponen percepatan tangensial serta komponen

percepatan sentripetalnya

10. Sebuah roda bermassa 4 kg dengan jari-jari 30 cm,

berputar dengan kecepatan 260 rpm, hitunglah momen

inersia dan energi kinetik rotasi benda itu!

11. Sebuah bola bermassa 0,5 kg dengan jari-jari 4 cm

berputar dengan 20 putaran/detik pada sebuah sumbu

melalui titik pusatnya. Berapakah energi kinetik rotasi

dan momentum sudutnya?

12. Baling-baling suatu pesawat bermassa 80 kg dengan

radius girasi 90 cm. Berapakah momen inersia baling-

baling itu?

agar baling-baling dapat dipercepat dengan percepatan

Latihan Soal 4.6

Latihan Soal 4.6

FISIKA TEKNIK

102

sudut 3 putaran/s2?, berapa pula torsi yang diperlukan?

13. Gambar dibawah ini menunjukkan gaya 40 N

dikerjakan secara tangensial pada tepi roda berjari-jari

20 cm. dan bermomen inersia 40 kg.m2, hitunglah:

a. Percepatan sudut

b. Kecepatan sudut roda 5 detik setelah roda

mulai berputar dari keadaan diam

c. Energi kinetik rotasi setelah 5 detik

14. Perhatikan dan selesaikan soal berikut

Gambar disamping

menunjukkan massa = 500

gram menggantung pada

ujung tali yang dililitkan

pada tepi roda dengan jari-

jari r = 12 cm. Setelah

dilepas dari keadaan diam,

diketahui bahwa massa

dalam waktu 5 detik turun

sebanyak 2 meter.

Berapakah momen inersia

roda!


Gambar disamping

menunjukkan sistem katrol.

Momen inersia sistem katrol itu

adalah I = 1,8 kg.m2 dengan r1 =

40 cm dan r2 =10 cm.

Berapakah percepatan sudut

sistem katrol dan berapakah

tegangan tali T1 dan T2?

16. Suatu roda gila (flywhell) berjari-jari 10 cm, dan momen

inersianya 0,5 kg m2 dililiti seutas tali. Tali ini ditarik

oleh gaya tegangan yang tetap sebesar 30 N sehingga

roda berputar melalui sudut 2 radian. Jika kecepatan

sudut awal 2 rad/s, hitunglah kecepatan sudut akhir roda!

Latihan Soal 4.6

Latihan Soal 4.6

FISIKA TEKNIK

103

17. Suatu cakram besar sedang berputar melalui poros

vertikal yang melalui titik pusatnya dengan I = 4000 kg

m2. Pada saat cakram berputar dengan kecepatan 0,150

putaran/detik. Seorang yang bermassa 80 kg meloncat

pada cakram hingga jatuh pada jarak 2,5 m dari poros

perputaran cakram. Berapakah kecepatan perputaran

sesudah itu?

18. Diketahui bola pejal menggelinding beraturan pada lantai

datar dengan kecepatan 30 m/s. Tanpa menghiraukan

gesekan, sampai seberapa tinggikah benda dapat naik?


Diketahui massa A = 4 kg dan massa B = 3kg,

a. Jika massa katrol diabaikan, Hitunglah percepatan

dan gaya tegangan tali jika g = 10 m/s2!

b. Jika massa katrol 2 kg, Hitunglah percepatan dan

gaya tegangan tali jika g = 10 m/s2!

20. Perhatikan gambar dan selesaikan soal berikut

Diketahui Massa A=massa B = 6 kg. tg = 0,75, k =

0,2.

a. Jika massa katrol diabaikan. Hitung percepatan dan

gaya tegangan tali!

Latihan Soal 4.6

Latihan Soal 4.6

FISIKA TEKNIK

104

b. Jika massa katrol 2 kg. Hitung percepatan dan gaya

tegangan tali!

21. Diketahui dua buah katrol dilekatkan menjadi satu

masing-masing berjari-jari 10 cm dan 20 cm.

benda A diikatkan dengan tali yang ujungnya dililitkan

pada katrol besar dan benda B dihubung kan dengan

katrol kecil, jika massa A = 2 kg dan massa B = 8 kg dan

g = 10 m/s2. Hitunglah percepatan benda A dan B serta

gaya tegangan talinya. Jika momen insersia kedua katrol

= 1,84 kg m2.

22. Jika sebuah bola pejal, sebuah silinder dan sebuah cincin

yang massanya sama, bergerak tanpa tergelincir dan

mulai bergerak dari ketinggian h. manakah yang

mempunyai kecepatan pada saat di dasar, buktikan!

23. Sebuah silinder pejal bermassa 10 kg dihubungkan

dengan tali yang massanya diabaikan ke katrol dan

digantungkan sebuah benda massa 5 kg. Jika massa katrol

2 kg, silinder pejal tidak slip, hitung percepatan pada

pusat silinder pejal dan hitung gaya-gaya tegangan tali!

24. Jika sebuah bola pejal, sebuah silinder dan sebuah cincin

yang massanya sama, bergerak tanpa tergelincir dan

mulai bergerak dari ketinggian h. manakah yang

mempunyai kecepatan pada saat di dasar, buktikan!

Latihan Soal 4.6

Latihan Soal 4.6

FISIKA TEKNIK

105

BAB 5

STATIKA (KESEIMBANGAN)

A. Titik Berat Benda

Sebelum mempelajari keseimbangan, harus dipahami dulu tentang

titik berat benda. Pengertian titik berat yaitu titik yang menjadi

penyeimbang suatu benda, dimana semua bagian benda terpusat pada titik

tersebut. Benda disebut homogen apabila massa jenis tiap-tiap bagian

benda sama. Berikut persamaan titik berat benda homogen:

1. Untuk benda linier (berbentuk

garis) x

l x

l

n n

0 = .

; yl y

l

n n

0 = .

(5.1)

2. Untuk benda luasan (benda

dua dimensi) x

A x

A

n n

0 = .

; yA y

A

n n

0 = .

(5.2)

3. Untuk benda ruang

(berdimensi tiga) x

V x

V

n n

0 = .

; yV y

V

n n

0 = .

(5.3)

Sifat-sifat titik berat:

1. Benda homogen mempunyai sumbu simetri atau bidang simetri,

maka titik beratnya terletak pada sumbu simetri atau bidang simetri

tersebut.

2. Untuk benda homogen yang mempunyai dua bidang simetri (bidang

sumbu) maka titik beratnya terletak pada garis potong kedua bidang

tersebut.

3. Benda yang mempunyai tiga buah bidang simetri yang tidak melalui

satu garis, maka titik beratnya terletak pada titik potong ketiga

simetri tersebut.

4. Letak titik berat benda padat bersifat tetap, tidak tergantung pada

posisi benda.

Tabel 5. 1. titik berat benda teratur linier

Nama benda Gambar benda letak titik

berat

Keterangan

1. Garis lurus

x0 = 12

l

z = titik

tengah garis

FISIKA TEKNIK

106

Nama benda Gambar benda letak titik

berat

Keterangan

2. Busur

lingkaran

y Rtali busur AB

busur AB0 =


3. Busur

setengah

lingkaran

yR

0

2=

Tabel 5. 2. titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogen

Nama benda Gambar benda Letak

titik berat

Keterangan

1. Bidang

segitiga

y0 = 13

t

t = tinggi

z =

perpotongan

garis-garis

berat

AD & CF

2. Jajaran

genjang,

Belah

ketupat,

Bujur

sangkar

Persegi

panjang

y0 = 12

t

t = tinggi

z =

perpotongan

diagonal AC

dan

BD

3. Bidang

juring

Lingkara

n

y Rtali busur AB

busur AB0

23

=


FISIKA TEKNIK

107

Nama benda Gambar benda Letak

titik berat

Keterangan

4. Bidang

setengah

Lingkara

n

yR

0

4

3=


Tabel 5. 3. titik berat benda teratur berbentu bidang ruang homogen

Nama benda Gambar benda Letak titik

berat

Keterangan

1. Bidang

kulit

Prisma

z pada titik

tengah garis

z1z2 y0 = 12

l

z1 = titik berat

bidang alas

z2 = titik berat

bidang atas

l = panjang sisi

tegak.

2. Bidang

kulit

silinder.

tanpa

tutup )

y0 = 12

t

A = 2 R.t

t = tinggi

silinder

R = jari-jari

lingkaran alas

A = luas kulit

Silinder

3. Bidang

Kulit

Limas

T’z = 13

T’ T

T’T = garis

tinggi ruang

FISIKA TEKNIK

108


berat

Keterangan

4. Bidang

kulit

Kerucut

zT’ = 13

T T’

T T’ = tinggi

kerucut

T’ = pusat

lingkaran alas

5. Bidang

kulit

setengah

bola.

y0 = 12

R

R = jari-jari

Tabel 5. 4. titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogen


berat

Keterangan

1. Prisma

beraturan

.

z pada titik

tengah garis

z1z2

y0 = 12

l

V = luas alas

kali tinggi

z1 = titik berat

bidang alas

z2 = titik berat

bidang atas

l = panjang sisi

tegak

V = volume

Prisma

2. Silinder

Pejal

y0 = 12

t

V = R2 t

t = tinggi

silinder

R = jari-jari

Lingkaran alas

FISIKA TEKNIK

109


berat

Keterangan

3. Limas

pejal

Beratura

n

y0 = 14

T T’

= 14

t

V = luas alas

x tinggi

3

T T’ = t =

tinggi

limas beraturan

4. Kerucut

pejal

y0 = 14

t

V = 13

R2 t

t = tinggi

kerucut

R = jari-jari

lingkaran alas

5. Setengah

bola

Pejal

y0 = 38

R

R = jari-jari

bola.

B. Keseimbangan

Statika merupakan ilmu yang mempelajari tentang keseimbangan

benda. Benda dikatakan seimbang apabila benda tersebut dalam keadaan

diam atau pusat massanya bergerak dengan kecepatan tetap. Dalam

kaitannya dengan pusat massa, terdapat satu besaran yang menyebabkan

benda bergerak yang disebut momen gaya dengan persamaan:

= d . F (5.4)

Keterangan: = momen gaya

d = lengan momen

F = gaya

Perjanjian tanda untuk Momen Gaya:

Momen gaya yang searah jarum jam bertanda positif.

Momen gaya yang berlawanan arah jarum jam bertanda negatif

Diketahui sebuah poros dengan lengan momen d, maka besar momen

gayanya adalah:

FISIKA TEKNIK

110

Gambar 5. 1. Komponen momen gaya pada

poros

(5.5)

Besaran lainnya yaitu koppel atau dua gaya

yang sama besar tetapi berlawanan arah dan

memiliki garis-garis kerja yang berbeda.

Momen koppel terhadap semua titik sama

besar, yaitu : F . d Gambar 5. 2. Kompnen

koppel

Secara umum keseimbangan benda digunakan pada benda tegar

(benda yang tidak berubah bentuk bila diberi gaya luar) dalam bentuk

partikel. Pengertian partikel disini yaitu benda dengan ukuran yang dapat

diabaikan, sehingga benda dapat digambarkan sebagai titik dan gerak

yang dialami hanyalah gerak translasi. Keseimbangan dibagi menjadi tiga

macam:

1. Keseimbangan translasi, yaitu apabila benda tak mempunyai

percepatan linier (a = 0), hal ini terjadi ketika benda diam atau

bergerak lurus beraturan atau F = 0 atau Fx = 0 dan Fy = 0.

Fx = Resultan gaya pada komponen sumbu x.

Fy = Resultan gaya pada komponen sumbu y.

2. Keseimbangan rotasi, yaitu apabila benda tidak memiliki percepatan

anguler atau benda tidak berputar ( = 0), hal ini terjadi ketika

benda diam atau bergerak melingkar beraturan.

3. Keseimbangan translasi dan rotasi, apabila benda mempunyai kedua

syarat keseimbangan yaitu F = 0 dan = 0.

FISIKA TEKNIK

111

Soal Aplikatif

Soal Aplikatif Lampu sorot taman bermassa 20 kg dan ditopang ujungnya oleh

sebuah batang horisontal ringan yang tergantung pada tiang.

Gambar 5. 3. Lampu gantung

Lampu juga ditopang oleh seutas kabel pada sudut 30o terhadap

tiang horisontal. Hitunglah:

a. Tegangan pada kabel

b. Gaya horisontal dan vertikal yang diberikan batang horisontal

oleh tiang vertikal

Lampu sorot taman bermassa 20 kg dan ditopang ujungnya oleh

sebuah batang horisontal ringan yang tergantung pada tiang.

Gambar 5. 4. Lampu gantung

Lampu juga ditopang oleh seutas kabel pada sudut 30o terhadap

tiang horisontal. Hitunglah:

c. Tegangan pada kabel

d. Gaya horisontal dan vertikal yang diberikan batang horisontal

oleh tiang vertikal

FISIKA TEKNIK

112

Diketahui sebuah batang dengan poros pada ujungnya, batang

memilki panjang 60 cm dengan massa 1 kg. Pada tengah batang

dilakukan gaya sebesar 10 N dengan arah 30o terhadap garis

hubung dari poros ke titik kerja gaya. Hitunglah percepatan sudut

rotasi batang!

Jawab:

Momen inersia terhadap sumbu rotasi:

Momen gaya yang bekerja pada batang:

Percepatan rotasi batang saat dikenai gaya:

Diketahui sebuah batang dengan poros pada ujungnya, batang

memilki panjang 60 cm dengan massa 1 kg. Pada tengah batang

dilakukan gaya sebesar 10 N dengan arah 30o terhadap garis

hubung dari poros ke titik kerja gaya. Hitunglah percepatan sudut

rotasi batang!

Jawab:

Momen inersia terhadap sumbu rotasi:

Momen gaya yang bekerja pada batang:

Percepatan rotasi batang saat dikenai gaya:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

Pada benda yang diam (Statis) terdapat 3 macam keseimbangan benda

statis, yaitu Stabil (mantap / tetap), Labil (goyah / tidak tetap), dan

Indiferen (sebarang / netral). Berikut penjelasan dengan contoh ketiga

macam keimbangan statis:

1. Pada benda yang digantung

a. Keseimbangan stabil terjadi apabila gaya yang diberikan pada benda

tersebut dihilangkan, maka benda akan kembali ke kedudukan

semula. Sebuah papan empat persegi panjang digantungkan pada

sebuah sumbu mendatar di P (sumbu tegak lurus papan). Titik berat

Z dari papan terletak vertikal di bawah titik gantung P, sehingga

papan dalam keadaan ini setimbang stabil. Jika ujung A papan di

putar sedikit sehingga titik beratnya semula (Z), maka kalau papan

dilepaskan ia akan berputar kembali kekeseimbangannya semula.

FISIKA TEKNIK

113

Gambar 5. 5. Keseimbangan stabil

benda digantung

Hal ini disebabkan karena adanya

suatu koppel dengan gaya berat G

dan gaya tegangan tali T yang

berputar kekanan. (G = N),

sehingga papan tersebut kembali

kekeseimbangannya semula yaitu

seimbang stabil.

b. Keseimbangan labil terjadi apabila gaya yang diberikan pada benda

dihilangkan, maka benda tidak akan dapat kembali ke kedudukan

semula.

Gambar 5. 6.

Keseimbangan labil

benda digantung

Jika titik gantung P tadi sekarang berada

vertikal di bawah titik berat Z maka papan

dalam keadaan seimbang labil Kalau ujung A

papan diputar sedikit naik kekiri sehingga titik

beratnya sekarang (Z’) di bawah titik beratnya

semula (Z), maka kalau papan dilepaskan ia

akan berputar turun ke bawah, sehingga

akhirnya titik beratnya akan berada vertikal di

bawah titik gantung P.

Hal ini disebabkan karena adanya suatu koppel dengan gaya berat G

dan gaya tekanan (tegangan tali) T yang berputar kekiri (G = T),

sehingga papan turun ke bawah dan tidak kembali lagi

kekeseimbangannya semula.

c. Keseimbangan indiferen terjadi apabila gaya yang diberikan pada

benda dihilangkan, maka benda akan berada dalam keadaan

keseimbangan, tetapi di tempat yang berlainan.

FISIKA TEKNIK

114

Gambar 5. 7.

Keseimbangan

indiferen benda

digantung

Jika titik gantung P berimpit dengan titik berat

Z, maka papan dalam keadaan ini setimbang

indiferen. Kalau ujung A papan di putar naik,

maka gaya berat G dan gaya tekanan T akan

tetap pada satu garis lurus seperti semula (tidak

terjadi kopel) sehingga papan di putar

bagaimanapun juga ia akan tetap seimbang

pada kedudukannya yang baru.

2. Pada benda yang terletak di atas bidang datar

a. Keseimbangan stabil, terjadi apabila gaya yang diberikan pada

benda tersebut dihilangkan, maka benda akan kembali ke

kedudukan semula.

Gambar 5. 8.

Keseimbangan stabil di

atas bidang datar

Sebuah pararel epipedum siku-siku

(balok) diletakkan di atas bidang datar,

maka dalam keadaan ini seimbang

stabil, gaya berat G dan gaya tekanan

N yang masing-masing bertitik

tangkap di Z (titik berat balok) dan di

A terletak pada satu garis lurus.

Jika balok tersebut diputar naik sedikit dengan rusuk B sebagai

sumbu perputarannya, maka gaya tekanan N akan pindah ke B,

dan dalam keadaan ini akan pindah ke B, serta akan timbul

suatu koppel dengan gaya-gaya G dan N yang berputar ke

kanan (G = N) sehingga balok tersebut kembali

keseimbangannya semula yaitu seimbang stabil. Kesimpulannya

jika sebuah benda yang dalam keadaan seimbang stabil

diadakan perubahan kecil, maka titik berat benda tersebut akan

naik (sehingga timbul koppel)

b. Keseimbangan labil, terjadi apabila gaya yang diberikan pada

benda dihilangkan, maka benda tidak akan dapat kembali ke

kedudukan semula. Sebuah pararel epipedum miring (balok

miring) yang bidang diagonalnya AB tegak lurus pada bidang

alasnya diletakkan diatas bidang datar, maka dalam keadaan ini

FISIKA TEKNIK

115

setimbang labil, gaya berat G dan gaya tekanan N yang masing-

masing melalui rusuk B dari balok tersebut terletak pada satu

garis lurus.

Gambar 5. 9. Keseimbangan

labil di atas bidang datar

Titik tangkap gaya tekanan N

ada pada rusuk N. Jika balok

tersebut diputar naik sedikit

dengan rusuk B sebagai

sumbu putarnya, maka gaya

tekanan N yang berputar

kekiri (G = N), sehingga

balok tersebut akan turun

kebawah dan tidak kembali

lagi ke keseimbangannya

semula.

Kesimpulannya jika sebuah benda yang dalam keadaan

seimbang labil diadakan perubahan kecil, maka titik berat benda

tersebut akan turun (sehingga timbul koppel).

c. Keseimbangan indiferen, terjadi apabila gaya yang diberikan

pada benda dihilangkan, maka benda akan berada dalam

keadaan keseimbangan, tetapi di tempat yang berlainan. Sebuah

bola diletakkan diatas bidang datar, dalam keadaan ini bola

seimbang indiferen.

Gambar 5. 10.

Keseimbangan indiferen di

atas bidang datar

Jika bola dipindah / diputar,

maka gaya berat G dan gaya

tekanan N akan tetap pada satu

garis lurus seperti semula (tidak

terjadi koppel), sehingga bola

berpindah / berputar

bagaimanapun juga ia akan tetap

seimbang pada kedudukan yang

baru.

Kesimpulannya jika sebuah benda yang dalam keadaan

setimbang indiferen diadakan perubahan kecil, maka titik berat

benda tersebut akan tetap sama tingginya seperti semula

(sehingga tidak timbul koppel).

FISIKA TEKNIK

116

Diketahui sebuah roda pada mobil berbentuk silinder pejal

berdeameter 50 cm dan memiliki massa 30 kg dapat

menanggung beban sebesar 3000 N. Jika koefisien gesek statik

antara roda dan jalan adalah 0,2, hitunglah percepatan

maksimum mobil agar tidak terjadi selip!

Jawab:

Momen inersia terhadap pusat massa roda:

Gaya gesek statik maksimum antara roda dengan jalan:

Torsi maksimum yang memutar roda:

Percepatan sudut maksimum roda:

Percepatan translasi maksimum agar roda tidak selip:

Diketahui sebuah roda pada mobil berbentuk silinder pejal

berdeameter 50 cm dan memiliki massa 30 kg dapat

menanggung beban sebesar 3000 N. Jika koefisien gesek statik

antara roda dan jalan adalah 0,2, hitunglah percepatan

maksimum mobil agar tidak terjadi selip!

Jawab:

Momen inersia terhadap pusat massa roda:

Gaya gesek statik maksimum antara roda dengan jalan:

Torsi maksimum yang memutar roda:

Percepatan sudut maksimum roda:

Percepatan translasi maksimum agar roda tidak selip:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

117

1. Hitunglah nilai tegangan tali pada susunan kesetimbangan

ini

2. Hitunglah T1 dan T2 dari susunan kesetimbangan berikut

3. Diketahui rangkaian dengan mA = 15 kg dan mB = 60 kg

disusun sedemikian hingga terjadi kesetimbangan, dengan

tg = ¾. Hitunglah:

a. mC jika lantai pada bidang

miring licin sempurna

b. mC jika bidang miring kasar

dengan koefisien gesekan

statis 0,2

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

118

4. Gaya 8 N, 6 N, 5 N, 3 N, 7 N, 9 N dan 4 N bekerja

terhadap persegi panjang yang sisi-sisinya berukuran: 4

m x 2 m seperti terlihat pada gambar, tentukan jumlah

aljabar momen gaya dengan pusat:

a. Titik A

b. Titik B

c. Titik C

d. Titik O

5. Sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m

bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N, tentukan:

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-

sumbu yang melalui A, B dan C

c. Letak titik tangkap gaya Resultannya

6. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan berat diabaikan

bekerja 5 buah gaya. Jika tg = ¾, tentukan besar dan

letak dari gaya resultannya!

7. Gaya 8 N, 6 N, 5 N, 3 N, 7 N, 9 N dan 4 N bekerja

terhadap persegi panjang yang sisi-sisinya berukuran: 4

m x 2 m seperti terlihat pada gambar, tentukan jumlah

aljabar momen gaya dengan pusat:

Latihan Soal

Latihan Soal

7. Batang AB dengan panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-

ujungnya, tentukan besar dan letak gaya resultannya!

FISIKA TEKNIK

119

8. Sebuah batang homogen AB panjangnya 8m dan

massanya 50 kg ditahan pada kedua ujungnya.

Dimanakah beban 1000 N diletakkan pada batang itu

agar tekanan-tekanan di A dan B memiliki perbandingan

2 : 1. Berat batang dianggap bertitik tangkap di tengah-

tengah batang.

9. Diketahui batang AB homogen, memiliki massa 25 kg,

panjang 4 meter, menumpu pada lantai di A dan pada

tembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 2 meter;

batang AB menyilang tegak lurus garis potong antara

lantai dan tembok vertikal.

Berapa besarnya gaya K

mendatar yang harus di

berikan pada batang di A

supaya batang tetap

seimbang? Hitung juga

tekanan pada A dan B!

10. Batang AB yang homogen, memiliki massa 25 kg dan

panjang 4 meter, bersandar di atas tembok yang

tingginya 2 meter. Ujung A dari batang menumpu pada

lantai dan berjarak 4 meter dari tembok.

Berapa besarnya gaya

K mendatar yang harus

diberikan pada batang

di A supaya batang

tetap seimbang? Hitung

juga gaya-gaya tekanan

pada A dan C!

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

120

11. Sebuah balok kayu bermassa 20 kg dikerjakan gaya K =

80 N yang mengarah kebawah yang garis kerjanya

berimpit dengan garis kerja gaya berat balok.

Tentukan letak dan besar gaya tekanan N

(gaya reaksi) yang dilakukan bidang terhadap

balok tersebut!

12. Balok kayu, memiliki massa 10 kg, panjang 20 cm

dikerjakan gaya K = 80 N.

Tentukan letak dan besar gaya tekanan

N (gaya reaksi) yang dilakukan bidang

terhadap balok!

13. Batang AB bermassa 12 kg, panjang 5 meter. Ujung B

diikat dengan tali dan ujung tali yang lain diikat di C pada

sebuah tembok vertikal. Ujung A dari batang bertumpu

pada tembok itu juga. Dalam keadaan seimbang, tali

membuat sudut 300 dengan tembok.

Hitunglah:

a. Gaya tegangan tali

b. Tekanan tembok di A

c. Sudut yang dibuat batang

dengan tembok

14. Diketahui batang seberat 60 N seperti pada gambar.

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

121

Berapa besar tegangan pada kabel pendukungnya dan

berapa komponen dari gaya yang dikerjakan oleh engsel

pada batang!

15. Batang lurus homogen AB (massanya 12 kg), di A

dihubungkan dengan tembok vertikal oleh sebuah sendi,

sehingga batang AB dapat berputar pada bidang yang

tegak lurus pada tembok. Tengah-tengah batang AB

dihubungkan dengan tali pada tembok sedemikian

sehingga tali tersebut tegak lurus pada tembok dan

kencang. Batang tersebut membentuk sudut 600 dengan

tembok. Pada ujung B dari batang digantungkan benda

massanya 30 kg.

Tentukan:

a. Diagram gaya-gaya

b. Gaya tegangan dalam tali

c. Besar dan arah gaya sendi

16. Sebuah bidang miring AB (panjangnya 50 meter)

bersendi pada kakinya yaitu titik A. Puncak B

dihubungkan oleh tali BC dengan tembok vertikal yang

melalui A. Bidang miring bersudut 300 dengan horisontal

dan tali BC arahnya mendatar. Pada bidang miring dan

tembok vertikal bersandar sebuah bola berjari-jari 5 meter

dan massanya 15 kg, jika berat bidang miring diabaikan,

Hitunglah:

a. Gaya-gaya

tekanan oleh

bidang miring dan

tembok pada bola

b. Gaya tegangan

dalam tali

c. Gaya sendi

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

122

FISIKA TEKNIK

123

BAB 6

USAHA DAN ENERGI

A. Usaha

Hampir semua isilah-istilah yang digunakan pada bab sebelumnya,

baik kecepatan, gaya, massa dan lainnya memiliki makna yang mirip baik

dalam fisika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Namun istilah usaha

memiliki pengertian yang jelas berbeda dalam fisika dari artinya dalam

kehidupan sehari-hari.

Jika suatu gaya (F) menyebabkan perpindahan sejauh

−

x , maka gaya

(F) melakukan usaha sebesar W, yaitu

W = F .

−

x . cos

(6.1)

Gambar 6. 1. usaha oleh gaya F

Keterangan:

W = usaha

F = gaya

= sudut antara

gaya dan

perpindahan

−

x =

perpindahan

Usaha merupakan besaran skalar dengan satuan N.m atau joule. Tanda

dari usaha bergantung dari arah F relatif terhadap

−

x . Usaha yang

dilakukan oleh gaya yang bekerja dikatakan positif ketika proyeksi F

terhadap

−

x memiliki arah yang sama dengan perpindahannya. Usaha

merupakan suatu perpindahan energi, jika usaha yang dilakukan pada

sebuah sistem bernilai positif, maka energi dipindahkan pada sistem

tersebut. Jika usaha yang dilakukan pada sebuah sistem bernilai negatif,

maka energi dipindahkan dari sistem. Bagaimana usaha yang dilakukan

oleh pegas? Gaya yang dilakukan oleh sebuah pegas berubah seiring

perubahan posisinya. Jika pegas ditarik atau ditekan sejauh jarak pendek

dari posisi setimbangnya, maka pegas mengerjakan sebuah gaya pada

balok yang dapat dinyatakan sebagai

−

x

F

F F cos

F cos

FISIKA TEKNIK

124

(6.2)

Keterangan:

x= posisi balok relatif terhadap posisi setimbangnya

k= konstanta pegas (ukuran kekakuan pegas)

tanda negatif pada persamaan gaya pegas menunjukkan bahwaarah gaya

yang dikerjakan oleh pegas selalu berlawanan terhadap perpindahan dari

posisi setimbangnya.

FISIKA TEKNIK

125

Gambar 6. 2. (a) pegas diregangkan; (b) panjang normal pegas; (c) pegas

ditekan; (d) grafik F dan x untuk sistem pegas-balok

Sumber: Serway & Jewett (191; 2004)

FISIKA TEKNIK

126

Seorang mendorong gerobak dengan posisi 30o terhadap

horisontal dan gaya sebesar 60 N. Berapakah usaha yang

dilakukan oleh gaya pada gerobak saat dipindahkan sejauh 5

meter?

Jawab:

Gambar 6. 3. usaha dengan gaya pada simpangan 30o

W = F .

−

x . cos

= 60 N . 5m . cos 30o

= 270 joule

Seorang mendorong gerobak dengan posisi 30o terhadap

horisontal dan gaya sebesar 60 N. Berapakah usaha yang

dilakukan oleh gaya pada gerobak saat dipindahkan sejauh 5

meter?

Jawab:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

Soal Aplikatif

Soal Aplikatif

Suspensi truk sering kali memiliki “pegas-pegas bantuan” yang

dipasangkan untuk beban-beban yang lebih berat. Pengaturan tersebut

disebut pegas daun dengan sebuah pegas kawat bantuan yang

dipasangkan di atas roda. Pegas bantuan dipasangkan ketika pegas

daun utama ditekan dengan jarak yo dan kemudian membantu

menyokong setiap tambahan beban. Konstanta pegas dari pegas daun

adalah 5,25 x 105 N/m, konstanta pegas bantuan 3,60 x 105 N/m, dan

yo = 0,5 m, hitunglah:

a. Berapa tekanan dari pegas daun untuk sebuah beban seberat 5 x

105 N/m?

b. Berapa besar usaha yang dilakukan dalam menekan pegas-pegas

ini?

FISIKA TEKNIK

127

Benda bergerak dengan energi kinetik 150 Joule dari keadaan

diam. Apabila benda berpindaah sejauh 20 m, hitunglah usaha

dan gaya rata-ratanya jika arah gaya sama dengan arah

perpindahan benda!

Jawab:

Usaha yang dilakukan gaya

Gaya jika arah gaya sama dengan arah perpindahan benda (θ

= 02)

Benda bergerak dengan energi kinetik 150 Joule dari keadaan

diam. Apabila benda berpindaah sejauh 20 m, hitunglah usaha

dan gaya rata-ratanya jika arah gaya sama dengan arah

perpindahan benda!

Jawab:

Usaha yang dilakukan gaya

Contoh

Soal

Contoh

Soal

B. Energi

Suatu sistem dikatakan mempunyai energi/tenaga, jika sistem

tersebut mempunyai kemampuan untuk melakukan usaha. Besarnya

energi suatu sistem sama dengan besarnya usaha yang mampu

ditimbulkan oleh sistem tersebut. Oleh karena itu, satuan energi sama

dengan satuan usaha dan energi juga merupakan besaran skalar. energi

dapat digolongkan menjadi beberapa macam, diantaranya Energi

mekanik (energi kinetik + energi potensial), energi panas, energi listrik,

energi kimia, energi nuklir, energi cahaya, energi suara, dan sebagainya.

1. Energi Kinetik

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap benda yang

bergerak.

Ek = ½ m v2

(6.3)

Usaha = perubahan energi kinetik

W = Ek = Ek2 – Ek1

(6.4)

Keterangan:

Ek = Energi kinetik

m = massa benda

v = kecepatan benda

FISIKA TEKNIK

128

2. Energi Potensial adalah rgi yang dimiliki oleh suatu benda karena

pengaruh tempatnya (kedudukannya). Energi potensial ini juga

disebut energi diam, karena benda yang diam juga dapat memiliki

energi potensial.

Gambar 6. 5. usaha oleh

gerak jatuh bebas

Jika tiba-tiba tali penggantung pada

gambar disamping putus, benda akan

jatuh.dalam hal ini benda melakukan

usaha, karena adanya gaya berat (w)

yang menempuh jarak h. Besarnya

Energi potensial benda sama dengan

usaha yang sanggup dilakukan gaya

beratnya selama jatuh menempuh jarak

h.

Ep = w . h = m . g . h (6.5)

Energi potensial yang

dimiliki pegas merupakan

energi yang dimiliki pegas

karena keelastikannya.

Gaya pegas (F) = k . x

(6.6)

Ep Pegas (Ep) = ½ k. x2

(6.7)

Hubungan usaha dengan

Energi Potensial:

Keterangan:

k = konstanta gaya pegas

x = regangan

W = Ep = Ep1 – Ep2

(6.8)

m

m h

h

Soal Aplikatif

Soal Aplikatif

Sebuah mesin pemancang beton bermassa

2100 kg digunakan untuk memasukkan

rangka baja ke dalam tanah. Mesin

tersebut jatuh sejauh 5 m sebelum

menyentuh bagian atas rangka baja dan

ini menggerakkan baja tersebut 12 cm

lebih jauh ke dalam tanah sebelum

akhirnya berhenti. Dengan menggunakan

pertimbangan-pertimbangan energi,

hitunglah gaya rata-rata yang dikerjakan

rangka baja pada mesin pemancang

beton ketika mesin tersebut dihentikan!

Sebuah mesin pemancang beton bermassa

2100 kg digunakan untuk memasukkan

rangka baja ke dalam tanah. Mesin

tersebut jatuh sejauh 5 m sebelum

menyentuh bagian atas rangka baja dan

ini menggerakkan baja tersebut 12 cm

lebih jauh ke dalam tanah sebelum

akhirnya berhenti. Dengan menggunakan

pertimbangan-pertimbangan energi,

hitunglah gaya rata-rata yang dikerjakan

rangka baja pada mesin pemancang

beton ketika mesin tersebut dihentikan!

FISIKA TEKNIK

129

Benda bermassa 2 kg digantungkan pada ujung pegas dan pegas

mengalami pertambahan panjang 5 cm. Hitunglah besar energi

potensial jika penyimpangan pegas 3 cm!

Jawab:

Berat benda yang digantungkan pada pegas

Benda bermassa 2 kg digantungkan pada ujung pegas

dan pegas mengalami pertambahan panjang 5 cm.

Hitunglah besar energi potensial jika penyimpangan

pegas 3 cm!

Jawab:

Berat benda yang digantungkan pada pegas

Konstanta pegas:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

3. Energi Mekanik

Energi mekanik (Em) adalah jumlah antara energi kinetik dan energi

potensial suatu benda.

Em = Ek + Ep

Hukum kekekalan energi mekanik: Energi tidak dapat diciptakan

dan tidak dapat dimusnahkan

Em1 = Em2

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

(6.9)

C. Aplikasi Penggunaan W = Ek

Aplikasi penggunaan usaha sama dengan energi kinetiknya terjadi

pada bidang datar dan bidang miring. Berikut persamaan aplikasi W =

Ek:

Konstanta pegas:

Energi potensial pegas ketika terjadi penyimpangan 3 cm:

Energi potensial pegas ketika terjadi penyimpangan 3 cm:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

130

1. Pada bidang datar dengan gaya pada sudut 0o

- fk . s = ½ m (Vt2 – Vo

2)

fk = w . k

2. Pada bidang datar dengan gaya pada sudut

F cos - fk . s = ½ m (Vt2 – Vo

2)

fk = (w – F sin ) k

3. Pada bidang miring dengan gaya pada sudut 0o

Vo

Vo fk

fk

s

s

F

F

Vo

Vo

fk

fk

s

s

V

o

V

o

N

N

s

s

w cos

w cos

w sin

Gambar 6. 6. komponen usaha pada sudut 0o

Gambar 6. 7. komponen usaha bidang datar dengan gaya pada

sudut

FISIKA TEKNIK

131

- w sin - fk . s = ½ m (Vt2 – Vo

2)

fk = (w cos ) k

4. Pada bidang miring dengan gaya pada sudut

(F cos - w sin - fk) . s = ½ m (Vt2

– Vo2)

fk = (w cos - F sin ) k s

s

F

F

N

N

F sin Fcos

F sin Fcos

V

o

V

o

w

w

w cos

w cos

w sin

w sin

Gambar 6. 8. komponen usaha pada bidang miring dengan gaya pada sudut 0o

Gambar 6. 9. Komponen usaha pada bidang miring dengan

gaya pada sudut

FISIKA TEKNIK

132

Mobil bermassa 800 kg didorong pada lintasan dengan

kemiringan 15o sejauh 200 m. Hitunglah kerja maksimum yang

diperlukan untuk mendorong mobil jika kelajuan mobil saat

didorong adalah tetap! (tanpa gesekan)

Jawab:

Gambar 6. 10. komponen usaha pada bidang miring

Ketinggian lintasan

Usaha:

Mobil bermassa 800 kg didorong pada lintasan dengan

kemiringan 15o sejauh 200 m. Hitunglah kerja maksimum yang

diperlukan untuk mendorong mobil jika kelajuan mobil saat

didorong adalah tetap! (tanpa gesekan)

Jawab:

Gambar 6. 11. komponen usaha pada bidang miring

Ketinggian lintasan

Usaha:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

133

D. Daya

Pada pembahasan usaha sebagai metode perpindahan energi, daya

digunakan untuk membedakan gaya dengan kemampuan menghasilkan

energi yang cepat atau lambat. Misalnya adalah seseorang mendorong

balok menaiki bidang

miring, usaha yang

dilakukan orang tersebut

adalah sama baik ketika

menggunakan bidang

miring pendek ataupun

panjang, meskipun gaya

yang diperlukan lebih kecil

ketika menggunakan bidang

miring yang lebih panjang

(gaya harus bekerja lebih di

sepanjang jarak yang lebih

besar). Hal ini disebabkan

gaya yang dikerjakan oleh

bidang miring arahnya 90o

terhadap perpindahan (h),

sehingga tidak memberikan

usaha pada balok. Contoh

ini menunjukkan adanya

selang waktu yang berbeda

selama usaha dilakukan.

Daya didefinisikan

sebagai laju waktu dari perpindahan energi, atau didefinisikan sebagai:

6.10

Dengan W adalah usaha; F= gaya; s= perpindahan; t= waktu; v=

kelajuan.

Satuan daya adalah watt, sedangkan kilowatt-jam merupakan satuan

energi bukan daya (jumlah energi yang dipindahkan oleh listrik ke

perangkat listrik selama satu periode).

Soal Aplikatif

Soal Aplikatif

Seseorang yang memiliki rumah di

pegunungan terpencil berencana

untuk memasang sistem

pembangkit listrik tenaga air.

Sungai terdekat lebarnya 3 m dan

dalam 0,5 m. Air megalir 1,2 m/s

di tepi air terjun setinggi 5 m.

Pembuatnya hanya dapat

menjanjikan efisiensi 25% dalam

mengubah energi potensial sistem

air-bumi menjadi energi listrik.

Hitunglah daya yang akan

diperoleh. (PLTA berskala besar

yang memanfaatkan air terjun yang

jauh lebih besar, biasanya lebih

efisien)

Seseorang yang memiliki rumah di

pegunungan terpencil berencana

untuk memasang sistem

pembangkit listrik tenaga air.

Sungai terdekat lebarnya 3 m dan

dalam 0,5 m. Air megalir 1,2 m/s

di tepi air terjun setinggi 5 m. Pembuatnya hanya dapat

menjanjikan efisiensi 25% dalam

mengubah energi potensial sistem

air-bumi menjadi energi listrik.

Hitunglah daya yang akan

diperoleh. (PLTA berskala besar

yang memanfaatkan air terjun yang

jauh lebih besar, biasanya lebih

efisien)

FISIKA TEKNIK

134

Gaya 60 N digunakan untuk menarik benda agar berpindah

sejauh 40 m dalam waktu 10 s. Jika arah gaya sama dengan arah

perpindahan benda, hitunglah daya yang dilakukan gaya tersebut!

Jawab:

Arah gaya sejajar dengan perpindahan sehingga daya:

Gaya 60 N digunakan untuk menarik benda agar

berpindah sejauh 40 m dalam waktu 10 s. Jika arah

gaya sama dengan arah perpindahan benda,

hitunglah daya yang dilakukan gaya tersebut!

Jawab:

Arah gaya sejajar dengan perpindahan sehingga

daya:

Contoh

Soal

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

135

1. Sebuah benda meluncur di atas papan kasar sejauh 4 m,

mendapat perlawanan gesekan dengan papan sebesar

150 newton. Berapa besar usaha dilakukan oleh benda?

2. Gaya sebesar 50 newton bekerja pada sebuah gaya. Arah

gaya membentuk sudut 30o dengan bidang horizontal.

Jika benda berpindah sejauh 50 m. Berapa besarnya

usaha?

3. Gaya sebesar 60 newton menyebabkan benda yang

massanya 12 kg (g = 10 m/s2) berpindah horizontal

sejauh 8 m. Hitunglah besar usaha dan besar perubahan

energi potensial!

4. Hitunglah besar usaha jika sebuah elevator yang

beratnya 1000 N dinaikkan setinggi 60 m hitung pula

energi potensial elevator setelah dinaikkan!

5. Berapa besar usaha untuk menaikkan 2 kg setinggi 3 m

di atas lantai? Berapa pula besar energi potensial benda

pada kedudukan yang baru ? (g = 10 m/s2)

6. Untuk menaikkan kedudukan benda yang massanya 300

kg ke tempat x meter lebih tinggi, diperlukan kerja

sebesar 10.000 joule. Berapakah nilai x? (g = 9,8 m/s2)

7. Gaya sebesar 200 newton dapat menggerakkan benda

dengan daya 1 HP. Berapakah besar kecepatan benda?

8. Benda massanya 8 kg, jatuh dari ketinggian 5 m di atas

tanah ( g = 9,8 m/s2) Berapa nilai energi kinetik benda

pada saat mencapai tanah?

9. Benda massanya m kg bergerak di atas papan kasar

dengan kecepatan 12 m/s. Jika besarnya koefisien

gesekan 0,3. Hitunglah waktu dan jarak yang ditempuh

benda setelah benda berhenti (g = 10 m/s2)!

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

136

10. Sebuah bom yang massanya m kg ditembakkan dengan

kecepatan 500 m/s oleh meriam yang panjangnya 5 m.

Berapa besar gaya yang diperlukan untuk menembakkan

bom tersebut?

11. Gaya sebesar 100 newton bekerja pada benda bermassa

40 3 kg. Arah gaya membentuk sudut 30o dengan

horizontal. Hitung kecepatan benda setelah berpindah

sejauh 15 m!

12. Benda beratnya w Newton (g = 9,8 m/s2) mula-mula

dalam keadaan diam. Gaya besarnya 15 newton bekerja

pada benda selama 8 detik. Jika gaya telah melakukan

usaha sebesar 3000 joule, berapa w dan berapa besarnya

daya dalam watt?

13. Kereta api seberat 225.000 newton bergerak dengan

kecepatan 62 km/jam. Kereta api itu dihentikan oleh rem

yang menghasilkan gaya gesek sebesar 8000 newton.

Berapa besar usaha gaya gesek dan berapa jarak

ditempuh kereta api selama pengereman (g = 9,8 m/s2)?

14. Sebuah batu bermassa 0,2 kg (g = 9,8 m/s2) dilemparkan

vertical ke bawah dari ketinggian 30 m dan dengan

kecepatan awal 10 m/s. Berapa energi kinetik dan energi

potensial 1 detik setelah bergerak?

15. Di dalam suatu senapan angin terdapat sebuah pegas

dengan konstanta pegas 25.000 dyne/cm. Ketika peluru

dimasukkan, per memendek 3 cm. Hitunglah berapa

kecepatan peluru ketika keluar dari senapan itu!

(Gesekan peluru dengan dinding senapan diabaikan,

massa peluru 4 gram)

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

137

16. Sebuah benda dijatuhkan bebas dari ketinggian 300

m jika grafitasi setempat 10 m/s2 maka hitunglah

kecepatan dan ketinggian benda saat Ek = 5 Ep!

17. Sebuah benda jatuh bebas dari ketinggian 85 m (g =

9,8 m/s2). Hitunglah kecepatan benda waktu tiba di

tanah?

18. Sebuah peluru bermassa 5 gram bergerak dengan

kecepatan 500 m/s mengenai paha seorang pencuri

dan menembus sedalam 2 cm. Hitunglah gaya yang

diderita paha pencuri tersebut?

19. Seseorang dengan berat 600 N memanjat sebuah

pohon setinggi 10 m dengan kecepatan konstan

selama 10 sekon. Berapa daya yang dilakukan

orang tersebut?

20. Sebuah bola lampu hemat energi engan daya 30 W

mampu menghasilkan tingkat penerangan yang

sama dengan lampu biasa yang bekerja pada daya

100 W. Masa pakai bola lampu hemat energi

tersebut adalah 10.000 jam dengan harga jual Rp.

150.000, sedangkan lampu biasa memiliki masa

pakai 800 jam dengan harga jual Rp. 10.000.

Hitunglah penghematan total yang didapat dengan

menggunakan satu bola lampu hemat energi selama

masa pakainya dibandingkan dengan menggunakan

bola lampu biasa dalam periode waktu yang sama,

dengan asumsi biaya energi Rp. 800 per kW-jam!

21. Sebuah benda dijatuhkan bebas dari ketinggian 300

m jika grafitasi setempat 10 m/s2 maka hitunglah

kecepatan dan ketinggian benda saat Ek = 5 Ep!

22. Sebuah benda jatuh bebas dari ketinggian 85 m (g =

9,8 m/s2). Hitunglah kecepatan benda waktu tiba di

tanah?

23. Sebuah peluru bermassa 5 gram bergerak dengan

kecepatan 500 m/s mengenai paha seorang pencuri dan

menembus sedalam 2 cm. Hitunglah gaya yang diderita

paha pencuri tersebut?

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

138

FISIKA TEKNIK

139

BAB 7

MOMENTUM LINIER DAN IMPULS

A. Pengertian Momentum dan Impuls

Setiap benda yang bergerak mempunyai momentum yang besarnya

berbanding lurus dengan massa dan kecepatan benda. Suatu benda yang

bermassa m bekerja gaya F yang konstan, maka setelah waktu t benda

tersebut bergerak dengan kecepatan:

vt = v0 + a . t

vt = v0 + m

F. t

F . t = m . vt – m.vo

(7.1)

Impuls = momentum

Momentum ialah hasil kali sebuah benda dengan kecepatan benda itu

pada suatu saat. Momentum merupakan besaran vector yang arahnya

searah dengan Kecepatannya. Satuan dari mementum adalah kg m/det

atau gram cm/det. Sedangkan impuls adalah: Hasil kali gaya dengan

waktu yang ditempuhnya. Impuls merupakan besaran vector yang

arahnya se arah dengan arah gayanya. Perubahan momentum adalah

akibat adanya impuls dan nilainya sama dengan impuls.

IMPULS = PERUBAHAN MOMENTUM

B. Hukum Kekekalan Momentum

Misalkan benda A dan B masing-masing mempunyai massa mA dan

mB dan masing-masing bergerak segaris dengn kecepatan vA dan vB

dengan vA > vB. Setelah tumbukan kecepatan benda berubah menjadi vA’

dan vB’. Bila FBA adalah gaya dari A yang dipakai untuk menumbuk B

dan FAB gaya dari B yang dipakai untuk menumbuk A, maka menurut

hukum III Newton:

FAB = - FBA

FAB . t = - FBA . t

mA vA’ – mA vA = - (mB vB’ – mB

vB)

mA vA + mB vB = mA vA’ + mB vB’

arah kekanan v +

arah ke kiri v -

(7.2)

Jumlah momentum dari A dan B sebelum dan sesudah tumbukan

adalah sama/tetap. Hukum ini disebut sebagai hukum kekekalan

momentum linier.

FISIKA TEKNIK

140

Sebuah mainan dari plastik bermassa 500 gram jatuh ke

lantai dengan kecepatan 8 m/s dan memantul kembali

dengan kecepatan 5 m/s. Jika waktu tumbukan antara

mainan dengan lantai adalah 0,3 sekon, hitunglah impuls

dan gaya yang dilakukan lantai pada mainan!

Jawab:

Momentum sebelum tumbukan

Momentum setelah tumbukan

Impuls yang dilakukan laintai pada mainan

Gaya yang dilakukan laintai pada mainan

Sebuah mainan dari plastik bermassa 500 gram jatuh ke

lantai dengan kecepatan 8 m/s dan memantul kembali

dengan kecepatan 5 m/s. Jika waktu tumbukan antara

mainan dengan lantai adalah 0,3 sekon, hitunglah impuls

dan gaya yang dilakukan lantai pada mainan!

Jawab:

Momentum sebelum tumbukan

Momentum setelah tumbukan

Impuls yang dilakukan laintai pada mainan

Gaya yang dilakukan laintai pada mainan

Contoh

Soal

Contoh

Soal

C. Tumbukan

Pada setiap jenis tumbukan berlaku hukum kekekalan momentum

tetapi tidak selalu berlaku hukum kekekalan energi mekanik karena

sebagian energi mungkin diubah menjadi panas akibat tumbukan atau

terjadi perubahan bentuk. Macam-macam tumbukan yaitu:

1. Tumbukan elastis sempurna, yaitu tumbukan yang tak mengalami

perubahan energi, Koefisien restitusi e = 1

2. Tumbukan elastis sebagian, yaitu tumbukan yang tidak berlaku

hukum kekekalan energi mekanik sebab ada sebagian energi yang

diubah dalam bentuk lain, misalnya panas, Koefisien restitusi 0 < e

< 1

3. Tumbukan tidak elastis, yaitu tumbukan yang tidak berlaku hukum

kekekalan energi mekanik dan kedua benda setelah tumbukan

melekat dan bergerak bersama-sama, Koefisien restitusi e = 0

FISIKA TEKNIK

141

Nila koefisien restitusi (e) untuk semua jenis tumbukan dapat dicari

dengan menggunakan persamaan:

BA

BA

vv

vve

−

−−=

||

(7.3)

||; BA vv = kecepatan benda A dan B setelah tumbukan.

vA ; vB = kecepatan benda A

dan B sebelum tumbukan

Energi yang hilang setelah

tumbukan dapat dicari

dengan persamaan:

Ehilang = Eksebelum tumbukan -

Eksesudah tumbukan

Ehilang = ½ mA vA2 + ½ mB

vB2 – ½ mA (vA’)2 + ½

mB (vB’)2

Tumbukan yang terjadi jika

bola dijatuhkan dari

ketinggian h meter dari atas

lantai

Kecepatan bola waktu

menumbuk lantai

vA = gh2

Kecepatan lantai sebelum dan sesudah tumbukan adalah 0

vB = vB’ = 0

Dengan memsukkan persamaan tumbukan elstis sebagian

BA

BA

vv

vve

−

−−=

||

0

0|

−

−−=

A

A

v

ve

A

A

v

ve

|

−=

h

he

'=

h’ = tinggi pantulan

h = tinggi bola jatuh

Untuk mencari tinggi pntulan ke-n dapat dicari

dengan:

hn = h0 e2n

(7.4)

Soal Aplikatif

Soal Aplikatif

Foto stroboskopis berkecepatan

tinggi menunjukkan bahwa ujung

dari tongkat golf bermassa 200 g

diayunkan dengan kelajuan 55 m/s

sesaat sebelum mengenai sebuah

bola golf yang sedang berada

dalam keadaan diam. Setelah

terjadi tumbukan, ujung tongkat

golf tersebut mengayun (dalam

arah yang sama) dengan kelajuan

40 m/s. Cari kelajuan bola golf

setelah terjadi benturan!

Foto stroboskopis berkecepatan

tinggi menunjukkan bahwa ujung

dari tongkat golf bermassa 200 g

diayunkan dengan kelajuan 55 m/s

sesaat sebelum mengenai sebuah

bola golf yang sedang berada

dalam keadaan diam. Setelah

terjadi tumbukan, ujung tongkat

golf tersebut mengayun (dalam

arah yang sama) dengan kelajuan

40 m/s. Cari kelajuan bola golf

setelah terjadi benturan!

FISIKA TEKNIK

142

Benda A bermassa 0,8 kg bergerak ke kanan dengan kecepatan

50 m/s bertumbukan dengan benda B bermassa 1,8 kg yang

bergerak ke kanan juga dengan kecepatannya 20 m/s. Jika

setelah terjadi tumbukan, benda B bergerak ke kanan dengan

kecepatan 30 m/s, hitunglah koefisien elastisitasnya!

Jawab:

Momentum benda A sebelum tumbukan

Momentum benda B sebelum tumbukan

Momentum benda B setelah tumbukan

Momentum benda A setelah tumbukan

Kecepatan benda A setelah tumbukan

Koefisien elastisitas

Benda A bermassa 0,8 kg bergerak ke kanan dengan kecepatan

50 m/s bertumbukan dengan benda B bermassa 1,8 kg yang

bergerak ke kanan juga dengan kecepatannya 20 m/s. Jika

setelah terjadi tumbukan, benda B bergerak ke kanan dengan

kecepatan 30 m/s, hitunglah koefisien elastisitasnya!

Jawab:

Momentum benda A sebelum tumbukan

Momentum benda B sebelum tumbukan

Momentum benda B setelah tumbukan

Contoh

Soal

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

143

1. Seorang pemain bisbol akan memukul bola bermassa 1

kg yang datang padanya dengan kecepatan 12 m/s, saat

dipukul, bola bersentuhan dengan pemukul dalam waktu

0,01 detik sehingga bola berbalik arah dengan kecepatan

18 m/s, hitunglah:

a. momentum awal

b. momentum akhir

c. perubahan momentumnya

d. gaya yang diderita bola

2. Dua buah benda bermassa 4 kg dan 10 kg bergerak

berlawanan arah dengan kecepatan masing-masing 12

m/s dan 8 m/s. Jika terjadi tumbukan sentral, hitunglah:

a. Kecepatan masing-masing benda dan hilangnya

energi jika tumbukannya elastis sempurna

b. Kecepatan masing-masing benda dan energi yang

hilang jika tumbukannya tidak elastis sama sekali

3. Massa perahu sekoci 220 kg bergerak dengan kecepatan

2 m/s. dalam perahu tersebut terdapat orang dengan

massa 60 kg. Tiba-tiba orang tersebut meloncat dengan

kecepatan 5 m/s. Hitunglah kecepatan sekoci sesaat

(setelah orang meloncat)

a. arah loncatan berlawanan dengan arah sekoci

b. arah loncatan searah dengan arah perahu

4. Benda jatuh di atas tanah dari ketinggian 10 m. Ternyata

benda terpantul setinggi 1 meter. Hitunglah:

a. Koefisien kelentingan

b. Kecepatan pantulan benda

c. Tinggi pantulan ketiga

5. Sebuah peluru bermassa 0,05 kg ditembakkan dengan

kelajuan 500 m/s yang diarahkan pada sepotong kayu

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

144

bermassa 3,5 kg dan digantung pada seutas tali. Jika

peluru berada di dalam kayu, hitunglah kecepatan kayu

sesaat setelah tumbukan!

6. Bola seberat 8 newton bergerak dengan kelajuan 2 m/s dan

menumbuk sentral bola lain yang beratnya 15 N dan

bergerak berlawanan arah dengan kecepatan 8 m/s.

Hitunglah kelajuan masing-masing bola sesudah

tumbukan, apabila:

a. koefisien restitusinya 1/3

b. tumbukan tidak lenting sama sekali

c. tumbukan lenting sempurna

7. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 3 m di atas sebuah

lantai lalu memantul setinggi 0,8 m. Hitunglah koefisien

restitusi antara bola dan lantai!

8. Sebuah truk dengan berat 80.000 newton bergerak ke arah

utara dengan kecepatan 8 m/s bertumbukan dengan truk

lain yang massanya 4 ton dan bergerak ke Barat dengan

kecepatan 20 m/s. Kedua truk menyatu dan bergerak

bersama-sama. Hitung besar dan arah kecepatan truk

setelah tumbukan!

9. Dua buah benda A dan B yang masing-masing massanya

30 kg dan 50 kg bergerak segaris lurus saling mendekati.

A bergerak dengan kecepatan 12 m/s dan B bergerak

engan kecepatan 5 m/s. Kedua benda kemudian

bertumbukan sentral. Hitunglah energi kinetik yang hilang

jika sifat tumbukan tidak lenting sama sekali!

10. Sebuah peluru bermassa 10 gram ditembakkan pada

ayunan balistik yang massanya 5 kg, sehingga ayunan naik

0,2 cm setelah umbukan. Peluru mengeram di dalam

ayunan, hitunglah energi yang hilang!

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

145

BAB 8

GERAK HARMONIK

Setiap benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan

mempunyai percepatan yang tetap. Hal ini menunjukkan pada benda

senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arah maupun besarnya. Apabila

gaya selalu berubah-ubah, maka percepatannya juga berubah ubah. Gerak

yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik,

gerak ini dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, sehingga

dapat juga disebut dengan gerak harmonik. Gerak periodik yang bergerak

bolak balik melalui sebuah lintasan yang sama disebut dengan osilasi

(getaran).

Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada partikel yang bergetar

sama dengan nol disebut posisi seimbang. Sebuah contoh diketehui benda

bermassa m digantungkan pada ujung pegas, dan pegas mengalami

pertambahan panjang, dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama

dengan gaya pegas F dengan resultan gaya sama dengan nol, dan beban

diam.

Gambar 8. 1. Simpangan pada pegas

Dari posisi seimbang, diberikan simpangan sejauh y dan pada beban

bekerja gaya F yang cenderung menggerakkan beban keatas. Gaya pegas

merupakan gaya penggerak, meskipun gaya pegas sebanding dengan

simpangan pegas.

F = - k y dengan k merupakan tetapan pegas

(8.1)

Persamaan tersebut mengindikasikan bahwa semakin kecil simpangan

maka semakin kecil pula gaya penggerak. Saat beban dilepas dari

P

O

Q

FISIKA TEKNIK

146

kedudukan P, beban akan bergerak bolak balik sepanjang garis P-O-Q.

Gerak bolak-balik tersebut disebut dengan getaran dan getaran yang gaya

penggeraknya sebanding dengan simpangannya disebut Gerak Harmonis

(Selaras). Tanda negatif (-) harus selalu digunakan karena arah F dan Y

selalu berlawanan. Pada gerak harmonis ini berlaku hukum II Newton

yaitu: F = m . a (8.2)

Dengan gaya pemulih gerak benda: F = - k . y

Apabila persamaan 8.1 dan 8.2 disubstitusi, maka menghasilkan

persamaan differensial gerak harmonik sederhana berikut:

− = + =k y md y

dtatau

d y

dt

k y

m.

.2

2

2

20

(8.3)

Pada getaran, simpangan yang terbesar dan terjauh disebut dengan

Amplitudo (A). Saat simpangan benda y, maka percepatannya adalah:

a = m

ky

m

F −=

(8.4)

A. Frekuensi

Satu getaran yaitu gerakan dari P-O-Q-O-P, waktu yang dibutuhkan

untuk melakukan satu getaran tersebut disebut dengan periode (T),

sedangkan banyaknya getaran dalam satu detik disebut dengan frekuensi.

T = t/n = 1/f (sekon)

(8.5)

f = n/t = 1/T (Hertz)

(8.6)

B. Proyeksi Gerak Melingkar Beraturan

Keterkaitan gerak melingkar dengan gerak harmonik ditunjukkan

dengan contoh gerak bolak-balik piston menjadi gerak putaran pada

sebuah kendaraan bermotor ataupun gerak putar pada sebuah mesin jahit

menjadi gerak bolak-balik jarum mesin jahit.

FISIKA TEKNIK

147

Gambar 8. 2. Proyeksi gerak pada lingkaran

Diketahui gambar 8.2, gerak melingkar beraturan titik C dalam tiap-

tiap saat diproyeksikan pada garis tengah AB, titik proyeksinya yaitu titik

D bergerak dari O-A-O-B-O, dengan kata lain titik D bergerak menyusuri

AB bolak-balik. Amplitudo gerak titik D adalah R dan periodenya sama

dengan periode gerak melingkar beraturan. Bila dalm t detik titik C

menempuh sudut , maka

= .t

(8.7)

Pada waktu yang sama titik D mempunyai simpangan

y = A sin → y = A sin .t

(8.8)

Kecepatannya saat itu adalah

vt = v cos → vt = v cos .t → vdy

dtA t= = + cos ( )

(8.9)

Percepatan saat itu : at = ac sin = 2 A sin .t (8.10)

Oleh karena arah percepatan ke bawah, maka tandanya negatif :

adv

dtA t= = − + 2 sin ( )

(8.11)

Bila massa titik D adalah m, besar gaya yang bekerja pada titik itu :

F = m.a = -m 2 A sin .t

A

B

O C

D

V

V

R

FISIKA TEKNIK

148

F = - m 2 y

(8.12)

F = - k . y (karena m 2 merupakan bilangan konstan sehingga dapat

dituliskan dengan k)

Persamaan tersebut menyatakan bahwa gaya yang bekerja pada titik D

sebanding dengan simpangannya. Jadi proyeksi gerak melingkar

beraturan adalah Gerak Harmonis.

Jika persamaan di atas merupakan persamaan gerak mulai dari titik

setimbang, maka persamaan secara umum ketika tidak mulai dari titik

kesetimbangan adalah y = A sin (.t + o )

(8.13)

C. Periode Gerak harmonik

Persamaan 8.12 menunjukkan bahwa k = m 2, jika waktu t dalam

persamaan y = A sin ( t + o ) ditambah dengan maka

y A t= + +sin [ ( / ) ] 2

= + +A tsin ( ) 2

y A t= +sin ( )

Jadi fungsi tersebut berulang kembali setelah selang waktu 2

. Oleh

karena itu,2

adalah periode gerak harmonik, atau T =

2

Karena 2 =k

m maka diperoleh :

Tm

k= =

22

(8.14)

dan m

kf

2

1

2

1==

(8.15)

jadi :

= =22

fT

(8.16)

FISIKA TEKNIK

149

Ketika ditarik dengan gaya 10 N, sebuah pegas mengalami

pertambahan panjang 2 cm, hitunglah:

a. Konstanta pegas

b. Simpangan pegas jika diberi gaya 12 N

c. Simpangan pegas jika digantungkan beban 3 kg

d. Kecepatan osilasi pegas ketika digantungkan beban 500 g

Jawab:

a. Konstanta pegas

b. Simpangan pegas ketika diberi gaya 12 N

c. Ketika digantungkan beban 3 kg, pegas mengalami gaya

tarik sebesar

Sehingga simpangan pegas adalah:

d. Kecepatan osilasi pegas ketika digantungkan beban 500 g

Contoh

Soal

Contoh

Soal

FISIKA TEKNIK

150

D. PHASE ( )

Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak

meninggalkan titik seimbang dibagi dengan periodenya.

Gambar 8. 3. Sudut phase lingkaran

Bila titik Q bergetar t detik maka phasenya :

Q

t

T= =

360

(8.17)

Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya : ( )

=+

= +t T

T

t

T1

(8.18)

Keadaan titik Q sesudah bergetar sama dengan keadaan titik Q saat

bergetar. Lebih gampang dipahami bahwa titik-titik yang phasenya

t

T

t

T

t

Tdst, , .......1 2+ + keadaannya sama.

Titik-titik yang phasenya sama mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 ,

4,..... dst. Sedangkan titik-titik yang keadaannya berlawanan mempunyai

perbedaan phase : 1

21

1

22

1

23

1

2, , , ............dst .

E. Superposisi dua gerak harmonik sederhana yang frekuensinya

sama

Permisalan sebuah benda melakukan 2 gerak harmonik secara

bersama-sama dengan persamaan :

y1 = A1 sin ( t + 1 ) dan y2 = A2 sin ( t + 2 )

secara matematis resultan geraknya: y = y1 + y2

A sin ( t + ) = A1 sin ( t + 1 ) = A2 sin ( t + 2 )

Menurut persamaan trigonometri :

A sin ( t + ) = A sin t cos + A cos t sin

(8.19)

A1 sin ( t + 1 ) = A1 sin t cos 1 + A1 cos t sin 1 (8.20)

FISIKA TEKNIK

151

A2 sin ( t + 2 ) = A2 sin t cos 2 + A2 cos t sin 2 (8.21)

sehingga diperoleh hubungan persamaan:

A cos = A1 cos 1 + A2 cos 2

(8.22)

A sin = A1 sin 1 + A2 sin 2

(8.23)

jadi tg

=

+

+

A A

A A

1 2

1 2

sin sin

cos cos

1 2

1 2

(8.24)

Sedangkan amplitudo resultan gerak diperoleh dengan mengkuadratkan

persamaan di atas:

A2 = A1 2 + A2

2 + 2 A1 A2 cos ( 1 - 2 )

atau

( )A A A A A= + + −1

2

2

2

1 2 1 22 cos

(8.25)

Penyelesaian dengan cara grafis dapat dilakukan dengan menggambar

masing-masing persamaan gerak harmonis kemudian dijumlahkan secara

aljabar dari masing-masing amplitudo setiap detik getarannya.

Misalkan dua buah gerak harmonis masing-masing :

y1 = 3 sin ( t + 30o ) dan y2 = 2 sin ( t + 60o )

Cara matematis.

A1 = 3 cm dan A2 = 2 cm

( )A A A A A= + + −1

2

2

2

1 2 1 22 cos

( )A = + + −3 2 2 3 2 30 602 2 . . cos

A = + +9 4 121

23

A = ....................

=

+

+arc tag

A A

A A

1 2

1 2

sin sin

cos cos

1 2

1 2

= .......

Persamaan gerak superposisinya : y = ............ sin ( t + ....... )

FISIKA TEKNIK

152

F. Energi pada gerak harmonis sederhana

Energi pada gerak harmonik sederhana adalah kekal .

E(total) = Ep + Ek

(8.26)

Ep = 1

2k y2

= 1

2m 2 A2 sin2 ( t + )

(8.27)

Ek = 1

2m v2

= 1

2m A cos ( t + )2

= 1

2m 2 A2 cos2 ( t + )

(8.28)

E(total) = Ep + Ek

= 1

2m 2 A2 sin2 ( t + ) +

1

2m 2 A2 cos2 ( t + )

=1

2m 2 A2 ( sin2 ( t + ) + cos2 ( t + ))

Soal Aplikatif

Soal Aplikatif

Piston pada sebuah mesin bensin berosilasi dengan gerak

harmonik sederhana sehingga posisinya berubah ubah seperti

pesamaan:

y = (4,0 cm) cos (2t + π/6),

dengan t dinyatakan dalam detik. Pada saat t = 0, hitunglah

(a) posisi piston

(b) kecepatan piston

(c) percepatan piston

(d) periode dan amplitudo gerak piston

FISIKA TEKNIK

153

=1

2m 2 A2 atau E(total) =

1

2k A2

(8.29)

G. Contoh-contoh Gerak Harmonik

1. Gerak bandul tunggal

Gambar 8. 4. Gerakan bandul tunggal

Diketahui bandul O tergantung pada tali yang panjangnya . Bandul

diberi simpangan . Saat dilepas, bandul melakukan gerak bolak-balik

menyusuri AOB. Bila massa bandul m, berat w = m.g, maka saat bandul

berada di A, persamaan gaya penggeraknya yaitu:

F1 = m.g sin = m.g

1AO

(8.30)

karena sudut kecil, AO1 dapat disamakan dengan : AO = y

F1 = m.g

y → F1 = y

gm

.

(8.31)

gm. adalah bilangan tetap, jadi F1 = k.y

Persamaan tersebut menyatakan bahwa gaya penggerak sebanding

dengan simpanganny dan bandul melakukan gerak Harmonis. Karena

gerakan bandul gerak harmonik, periodenya dapat dicari dari rumus

periode Gerak harmonis.

B

O1

O

A

F1

w = m.g

FISIKA TEKNIK

154

T=

gm

m

.2

T = g

2

(8.32)

Keterangan:

T = waktu ayun bandul dalam detik,

= panjang bandul dalam meter, dan

g = percepatan grafitasi dalam m/det2.

2. Gerak zat cair dalam pipa U

Gambar 8. 5. Zat cair pada pipa U

Pipa U yang luas penampangnya sama (A) sebagian berisi zat cair,

permukaan zat cair menempati posisi O. Bila panjang zat cair dan

massa jenisnya , maka massa seluruh zat cair = .A. Kemudian zat

cair diberi simpangan y, perbedaan tinggi permukaan zat cair pada kedua

kaki menjadi 2y. Berat zat cair yang tingginya 2y merupakan gaya

penggerak zat cair.

Jika F = 2y .A.g, sedangkan 2A g adalah bilangan tetap k, maka dapat

dituliskan F = k.y, dengan gaya penggerak sebanding simpangannya,

gerak zat cair tersebut merupakan gerak Harmonis.

O

2y

y

FISIKA TEKNIK

155

Periode gerak zat cair dapat dicari dengan persamaan berikut :

T = k

m2

= gA

lA

..2

..2

T = g

2

(8.33)

FISIKA TEKNIK

156

1. Sebuah benda melakukan gerak harmonis sederhana

dalam 10 detik dengan 200 getaran. Pada saat simpangan

30 cm kecepatannya ½ kali kecepatan maksimumnya.

Hitunglah amplitudo getaran ini!

2. Suatu pegas ketika diberi beban 2 kg, maka akan

bertambah panjang cm2

40

, kemudian beban di tarik

lagi ke bawah sejauh 3 cm dan dilepaskan. Hitunglah

besar energi kinetik pada saat 1/3 detik. g = 10 m/s2!

3. Suatu benda melakukan gerak harmonis sederhana, suatu

ketika perbandingan energi potensial dan energi

kinetiknya adalah 1. Pada saat itu geraknya ke atas dan

simpangan berada di bawah titik setimbang. Jika

amplitudo gerak harmonis sederhana 10 cm dan waktu

untuk mencapai keadaan itu 1/15 detik Hitunglah

kecepatan gerak harmonis sederhana saat itu!

4. Suatu benda melakukan gerak harmonis sederhana pada

saat simpangannya 5 cm di atas titik setimbang. Apabila

percepatannya 1000 2 cm/s2 menuju titik setimbang dan

arah geraknya ke bawah. Hitunglah waktu yang

dibutuhkan untuk mencapai keadaan tersebut jika pada

saat itu kecepatannya 100 3 cm/s!

5. Sebuah benda bergetar harmonik sederhana dengan

persamaan y = 4 sin ( 3 t + /6), y dalam meter, t

dalam detik, dan besaran sudut dalam radian. Tentukan :

a. Amplitudo, frekuensi dan periode geraknya

b. Posisi, kecepatan dan percepatan pada saat t = 2

detik

c. Kecepatan dan percepatan maksimumnya

d. Ek dan Ep saat t = 1 detik jika m = 100 gram

e. Energi totalnya

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

157

6. Sebuah benda yang massanya 0,5 kg dihubungkan

dengan pegas ideal yang konstanta pegasnya 25 N/m,

benda tersebut bergetar pada bidang horisontal yang

licin tanpa gesekan. Tentukan:

a. Energi sistem dan kecepatan maksimum benda

apabila amplitudo = 4 cm.

b. Kecepatan benda pada saat simpangannya 3 cm.

c. Energi kinetik dan energi potensial sistem pada saat

simpangannya 3 cm

7. Sebuah benda serentak melakukan dua gerak harmonik

sederhana dengan persamaan:

y1 = 15 sin ( 30 t + /3)

y2 = 20 sin ( 30 t + /6)

(y dalam cm dan besaran sudut dalam radian)

Tentukan:

a. Persamaan gerak resultan

b. Simpangan gerak resultan pada saat t = 0,2 detik

8. Sebuah pegas dapat memanjang hingga 32 cm jika di

tarik gaya 0,5 N. Sebuah benda yang massanya 50 gram

digantungkan pada ujung pegas kemudian diberi

simpangan 32 cm dari titik seimbangnya setelah itu

dilepaskan, hitunglah:

a. Periodenya

b. Persamaan gerak dari benda tersebut

c. Kecepatan, percepatan, energi kinetik, energi

potensial pada saat simpangannya 20 cm

9. Dua getaran selaras masing-masing dinyatakan dengan

persaman: y1 = 12 sin 8t dan y2 = 15 sin (8t + /4)

amplitudo dalam cm. Hitunglah:

a. Periode masing-masing getaran

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

158

b. Beda fase kedua getaran

c. Kecepatan dan percepatan maksimum masing-

masing getaran selaras tersebut

d. Resultan getaran dari dua getaran selaras

tersebut

10. Berapa simpangan getaran selaras yang bergerak

vertikal, agar pada saat itu energi potensialnya

sama dengan energi kinetiknya, jika amplitudo 8

cm!

11. Benda yang bermassa 100 gram bergetar selaras

vertikal dengan amplitudo 4 cm dan frekuensinya

10 cps. Pada suatu ketika fasenya 1/12, hitunglah:

a. Simpangan pada saat itu

b. Gaya yang bekerja pada saat itu

c. Energi potensial terhadap kedudukan

setimbang pada saat itu

d. Kelajuan dan perlajuan benda pada saat itu

e. Energi kinetik benda pada saat itu

12. Ditentukan persaman getaran adalah y = 8 sin

50t, y dalam cm dan t dalam detik, tentukan:

a. Persamaan percepatannya

b. Percepatan maksimumnya

c. Bila fasenya = 1/5, berapa lama benda bergetar

d. Hitung besarnya kecepatan getar pada saat t =

1/60 detik

13. Suatu benda melakukan gerak harmonis sederhana

pada saat simpangannya 8 cm di atas titik

setimbang yang mempunyai kecepatan ½ kali

kecepatan maksimumnya denga arah gerak ke

bawah, sedangkan percepatan maksimum gerak

harmonis sederhana adalah 80002 3 cm/s2

Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai

itu!

Latihan Soal

Latihan Soal

FISIKA TEKNIK

159

DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, Mikrajuddin. 2007. Fisika Dasar 1 (Edisi Revisi). Bandung:

ITB Press.

Buckla, D., Mc Lanchlan, W. 1992. Applied Electronics Instrumentation

and Measurement, Macmillan Publishing Comp.

Bueche, Frederick J. 2006. Fisika Universitas . Jakarta: Erlangga.

Cromer, Alan H.1994. Fisika untuk Ilmu-ilmu Hayati. Yogyakarta: UGM

Press.

Fazely, Ali R. 2015. Foundation of Physics for Scientists and Engineers,

Volume 1: Mechanics, Heat and Sound. 1st Edition. E-book:

bookboon.com.

F. W. Sears, M. W. Zemansky. 1982. Fisika untuk Universitas 1:

Mekanika, Panas, Bunyi. Bandung: Penerbit Binacipta.

G. Woan. 2000. The Cambridge Handbook of Physics Formulas.

Cambridge: Cambridge University Press.

Giancoli, Dauglas C. 1988. Physics for Scientist and Engineers. 2nd Ed.

Prentice Hall.

Halliday David, Robert Resnick, and Jearl Walker. 2008. Fundamentals

of Physics. 8th Ed.: John Wiley & Sons (Asia).

Halman, J.P. 1999. Experimental Methods For Engineers, Mc-Graw Hill

International Edition.

Kane, Joseph W dan Morton M Sternheim. 1991. Fisika edisi ke 3.

Bandung: ITB Press.

Newman, Jay. 2008. Physics of the Life Sciences. DOI: 10.1007/978-0-

387-77259-2_1. Springer Science & Business Media, LLC.

Nolan, Peter J., 1993. Fundamentals of College Physics. Melbourne,

Australia: Wm. C. Brown Publisher.

Ohanian, Hans C. 1989. Physics. 2nd. Norton.

Paul G, Hewitt. 1993. Conceptual Physics. 7th edition. Harper Collins

College Publisher: San Fransisco.

Pujiyanto, Eka. 2004. Sains Fisika. Jakarta: Erlangga.

P. A. Tipler. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1.

Jakarta: Penerbit Erlangga.

Radi, Hafez A. & John O. Rasmussen. 2012. Principles of Physics for

Scientists and Engineers. Berlin, Germany: Springer-Verlag Berlin

and Heidelberg GmbH & Co.KG.

R. Feynman. 1964. The Feynman Lectures on Physics Volume 1. London:

Addison-Wesley Publishing Company.

Sears, Francis Weston. 1991. University Physics. Canada: Addison

Wesley.

FISIKA TEKNIK

160

Serway & Jewett. 2004. Physics for Scientist and Engineers. 6th Edition.

Pomona: Thomson Brooks/Cole.

Stanford A. L. & J. M. Tanner. 1985. Physics for Students of Science and

Engineering. Georgia nstitute of Technology: Academic Press.

Soedojo, Dr. Peter. 1999. Fisika. Jogjakarta: CV. Andi Offset.

Sulistyo. 2007. Intisari Belajar Fisika. Bandung: Pustaka Setia.

Sunardi. 2006. Fisika. Bandung: Ytrama Widya.

Supardi, Bibit. 2004. Jelajah Fisika. Jakarta: Erlangga.

Sutrisno.1982. Fisika Dasar. Bandung: ITB Press.

Young Hugh D. & Roger A. Freedman. 2002. Fisika Universitas Jilid 1.

10th. Jakarta: Erlangga.

FISIKA TEKNIK

161

BIODATA PENULIS

Nila Alia

Lahir di Pamekasan, 24 september. Penulis dibesarkan di Kediri, Jawa

Timur dan menempuh Pendidikan dasar di SDN Banjarmlati II Kediri

(1997-2003), kemudian melanjutkan ke SMP Negeri 4

Kediri (2003-2006) dan pendidikan menengah di

SMA Negeri 5 Kediri (2006-2009). Ia melanjutkan S1

pendidikan fisika di Universitas Negeri Surabaya

(2009-2013), Pascasarjana pendidikan sains (fisika) di

Universitas Sebelas Maret Surakarta (UNS) tahun

2014-2015. Saat ini, penulis berprofesi sebagai staf

pengajar di Politeknik Negeri Malang dari tahun

2016-sekarang terutama pada mata kuliah fisika.

Buku-buku yang pernah ditulis diantaranya adalah buku praktikum fisika

(Pendukung Mata kuliah Fisika Teknik) dan buku Operational Amplifier

(OpAmp).

Pondi Udianto

Lahir di Tulungagung, 13 Agustus. Lulus dari SDN 1 Bandung tahun

1982, kemudian melanjutkan di SMPN 1 Bandung hingga lulus tahun

1985. Selanjutnya melanjutkan ke SMPP Negeri Tulungagung yang

kemudian berubah nama menjadi SMAN 2

Tulungagung dan lulus tahun 1988. Pendidikan S1

ditempuh di Jurusan Fisika FMIPA Universitas

Brawijaya dan lulus tahun 1993. Pada tahun 1994

diterima sebagai dosen Proyek di Politeknik

Universitas Brawijaya Malang dan menjadi PNS pada

tahun 1996. Pendidikan S2 di tempuh di Pasca Sarjana

Teknik Mesin Universitas Brawijaya dan lulus tahun

2010.

Fengky Adie Perdana

Penulis Lahir di Wonogiri, 28 Januari. Menempuh

pendidikan di SDN 2 Mojoreno pada tahun 1996-

2002, SMPN 1 Sidoharjo tahun 2002-2005, SMAN 2

Wonogiri tahun 2005-2008, kemudian melanjutkan S1

Pendidikan Fisika UNS tahun 2009-2013, S2

Pendidikan Fisika UNS tahun 2014-2015, dan

terhitung dari tahun 2018-sekarang, penulis

menempuh S3 pendidikan IPA (Riset Bidang Energi)

POLINEMA PRESSPOLITEKNIK NEGERI MALANG

Jl. Soekarno-Hatta no.09 PO BOX 04 Malang 65141Telp. (0341) 404424, 404425

Fax. (0341) 404420UPT. Percetakan dan Penerbitan

Gedung AU ground [email protected]

www.polinemapress.org9 786236 562758

ISBN : 978-602-66956-9-7

Fengky Adie Perdana Ĩ ÑŌÞÕÒŒ I MOÒǾ ŇÒ J ŎŌŎŊÒǾÒÆ ČÐ ĤMŌÞMǾÒB Ì ÑŌÑÖŐÞO ŐÑŌŇÒŇÒÔMŌ ŇÒ Ĭ GÍ Č Mojoreno pada tahun 1996 -2002, SMPN 1 Sidoharjo tahun 2002 -2005, SMAN 2 Wonogiri tahun 2005 -2008, kemudian melanjutkan S1 Pendidikan Fisika UNS tahun 2009 -2013, S2 Pendidikan Fisika UNS tahun 2014 -2015, dan terhitung dari tahun 2018 -sekarang, penulis menempuh S3 pendidikan IPA (Riset Bidang Energi)

Pondi Udianto I MOÒǾ ŇÒ İ ÞÕÞŌŊMŊÞŌŊÆ ĈĊ ĖŊÞŒPÞŒB I ÞÕÞŒ ŇMǾÒ Ĭ GÍ Ĉ ĘMŌŇÞŌŊ PMOÞŌ 1982, kemudian melanjutkan di SMPN 1 Bandung hingga lulus tahun 1985. Selanjutnya melanjutkan ke SMPP Negeri Tulungagung yang kemudian berubah nama menjadi SMAN 2 Tulungagung dan lulus tahun 1988. Pendidikan S1 ditempuh di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Brawijaya dan lulus tahun 1993. Pada tahun 1994 diterima sebagai dosen Proyek di Politeknik Universitas Brawijaya Malang dan menjadi PNS pada tahun 1996. Pendidikan S2 di tempuh di Pasca Sarjana Teknik Mesin Universitas Brawijaya dan lulus tahun 2010.

Nila Alia Lahir di Pamekasan, 24 september. Penulis dibesarkan di Kediri, Jawa Timur dan menempuh Pendidikan dasar di SDN Banjarmlati II Kediri (1997-2003), kemudian melanjutkan ke SMP Negeri 4 Kediri (2003-2006) dan pendidikan menengah di SMA Negeri 5 Kediri (2006-2009). Ia melanjutkan S1 pendidikan fisika di Universitas Negeri Surabaya (2009-2013), Pascasarjana pendidikan sains (fisika) di Universitas Sebelas Maret Surakarta (UNS) tahun 2014-2015. Saat ini, penulis berprofesi sebagai staf pengajar di Politeknik Negeri Malang dari tahun 2016-sekarang terutama pada mata kuliah fisika. Buku-buku yang pernah ditulis diantaranya adalah buku praktikum fisika (Pendukung Mata kuliah Fisika Teknik) dan buku Operational Amplifier (OpAmp).

FISIKA UNTUK SAINS & TEKNIK

Documents