Fisica ufmg acustica roteiros

DFis/ICEx/UFMG – Prof. Maurílio Nunes Vieira - Experimentos em Acústica – Projeto PEG 2008/69

Exp 1 - Vibrações Mecânicas 1/10

Exp. 1 - Vibrações Mecânicas

1.Objetivos

• Analisar o comportamento de um sistema massa-mola com atrito

excitado por uma força alternada senoidal;

• Estudar a influência do amortecimento na dinâmica do oscilador

massa-mola;

• Analisar o comportamento transitório do oscilador;

• Estudar a dependência da impedância mecânica com a

freqüência.

2. Introdução

2.1.Oscilador massa-mola sem atrito

Considere o sistema massa-mola da figura 1.

De acordo com a Lei de Hooke, a força que a mola exerce sobre a massa é sxF −= , onde s é a constante elástica da mola e x é a respectiva

deformação. No equilíbrio, igualando-se a força elástica com o peso, temos:

sLmg = . (1)

Se o sistema for, de alguma forma, deslocado da posição de equilíbrio teremos, de acordo com a 2ª. lei de Newton:

→+=−→=++− sxdt

xdmsLmg

dt

xdmmgxLs

2

2

2

2

)(

02

2

=+ sxdt

xdm . (2)

m m

L

l

x

s

Figura 1:Oscilador massa-mola. Na figura central, o oscilador está em repouso (x=0)

DFis/ICEx/UFMG - Prof. Maurílio Nunes Vieira - Experimentos em Acústica – Projeto PEG 2008/69


Esta equação admite como solução:

)cos()( 0 φω += tAtx , (3)

onde ms /0 =ω é a freqüência angular, sendo as constantes A e φ

calculadas em função da posição e velocidade iniciais da massa.

2.2.Oscilador amortecido

Considere que no sistema da figura 2 haja apenas atrito viscoso, isto é, que a

força de atrito atrF é proporcional à velocidade da massa. Assim:

dt

dxRF matr −= ,

onde mR é uma constante positiva denominada resistência mecânica.

A equação que descreve a oscilação deste sistema é, portanto,

02

2

=++ sxdt

dxR

dt

xdm m . (4)

A equação do movimento pode ser reescrita como

02

02

2

=++ xdt

dx

m

R

dt

xd m ω , (5)

que admite a solução (exercício 1):

)cos()( φωβ+=

−tAetx d

t , (6)

onde mRm /21=β é o coeficiente de amortecimento e 22

0 βωω −=d é a

freqüência natural angular do sistema amortecido. Note que o amortecimento

diminui a freqüência de oscilação do sistema, mas esta diminuição pode ser

desprezível dependendo das características do oscilador.

m

Rm s

Fig. 2 - Oscilador massa-mola amortecido



2.3. Oscilador forçado

Se o oscilador da figura 2 for excitado por uma força alternada harmônica )cos()( tFtf ω= , a equação do movimento será

)cos(2

2

tFsxdt

dxR

dt

xdm m ω=++ . (7)

Este sistema terá uma resposta (“solução”) transitória e uma resposta permanente. O comportamento transitório corresponde às oscilações livres do sistema (Equação 6). Matematicamente, é a solução homogênea da equação 7, obtida com 0)( =tf , resultando na equação 6 da seção anterior.

As oscilações transitórias decaem com te

β− e tornam-se insignificantes após

um intervalo de tempo longo o suficiente para que 1>>tβ . A partir daí,

considera-se que as oscilações estejam em regime estacionário.

Para determinar a resposta estacionária, que é a solução particular da equação 7, vamos reescreve-la usando exponenciais complexas, lembrando

que ][)cos()(tj

FeretFtfωω == . Desta forma,

tjFes

dt

dR

dt

dm m

ω=++ x

xx

2

2

. (8)

Como a força externa é uma função harmônica (co-senóide) com freqüência ω e o sistema é linear, o deslocamento em regime permanente

poderá ter comportamento oscilatório de mesma freqüência, isto é, tje

ωAx = ,

onde A é uma constante a ser definida. Substituindo-se tje

ωAx = na equação

8 e resolvendo-a para A , obtém-se:

)]([ω

ωω

ω

smjRj

Fe

m

tj

−+=x , (9)

onde o termo )/( ωω smjRm −+ é denominado impedância mecânica. Ele será

discutida com mais detalhes posteriormente.

Superpondo os regimes transitório e estacionário, temos a solução completa do oscilador forçado (exercício 3):

)sin()cos( Θ−++= −t

Z

FtAex

m

d

t ωω

φωβ , (10)

onde |)/(| ωω smjRZ mm −+= = 2/122])/([ ωω smRm −+ e ]/)/[( mRsmarctg ωω −=Θ

são, respectivamente, a magnitude e a fase da impedância mecânica. Um exemplo do comportamento das componentes de regime transitório e permanente do movimento é dado na figura 3.



Fig. 3 – Respostas em regime transitório e permanente no oscilador forçado

2.4 Reatâncias, resistência e impedância mecânica

Se o sistema massa-mola for reduzido a apenas uma massa oscilando sem

atrito (s = Rm = 0), a velocidade, dt

dxu = , será

massa

jtF

mj

Fe

Xu

)(==

ω

ω

. (11)

Portanto, a velocidade é á razão entre a força externa e a grandeza

complexa mjmassa ω=X denominada reatância mecânica. A reatância

representa a oposição que a massa exerce à oscilação e sua magnitude aumenta linearmente com a freqüência (figura 4, à esquerda).

De forma semelhante, para uma mola isolada, a velocidade será:

mola

jtF

js

Fe

Xu

)(

/=

−=

ω

ω

, (12)

Onde a reatância da mola, ω/jsmola −=X , apresenta uma relação inversa

com a freqüência. As reatâncias são termos imaginários e estão associadas a alguma forma de armazenamento de energia. Note o sinal algébrico oposto das reatâncias da massa e da mola.

No caso do oscilador completo (Fig. 2), a velocidade resultante é:



0 1 2 3 4 5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

s = 15,88 N/m

m = 20 g

ωm

s/ω

Imp

ed

ância

(N

s/m

)

frequência (Hz)

re

im

mZ

mRω/s

m⋅ω

Θ

re

im

mZ

mRω/s

m⋅ω

Θ

re

im

mZ

mRω/s

m⋅ω

re

im

mZ

mRω/s

m⋅ω

Θ

Fig. 4 – Esquerda: dependência das reatâncias mecânicas da massa e da mola com a

freqüência. Direita: diagrama da impedância mecânica para uma dada freqüência

)/( ωω

ω

smjR

Fe

m

j

−+=u , (13)

de onde se define a impedância mecânica m

Z como:

mm jXR +==)(

)()(

ω

ωω

u

FZ

alt

m. (14)

A impedância mecânica apresenta uma parcela imaginária (a reatância resultante) e uma parcela real (a resistência mecânica). A impedância representa a oposição que o oscilador exerce à oscilação numa dada freqüência.

A impedância mecânica )(ωm

Z pode ser representada no plano

complexo como na Figura 3, à direita. Vê-se que o módulo da impedância é

|)/(| ωω smjRZ mm −+= = 2/122])/([ ωω smRm −+ e o ângulo de fase é

]/)/[( mRsmarctg ωω −=Θ .

3. Exercícios

1. Resolva a equação 2. Dica: A solução deve ser uma função )(tf tal que

a sua derivada segunda seja proporcional a ela mesma ( )('' tf α )(tf ).

2. Resolva a equação 5. Dica: Assuma que x seja um fasor teγ

Ax = e o

substitua na equação 5 para encontrar γ em função de mR , m e 0ω (ou,

de β e dω ). Você encontrará uma solução da forma



)(tjtj

dd eeet ωωβ −−

+=21

AAx . Calcule, então, a parte real de x para

encontrar a equação 6.

3. Substitua tje

ωAx = na equação 8 para obter a equação 9.

4. Deduza a solução completa do oscilador forçado. Dica: Use o resultado do exercício 3 na equação 9. Depois calcule a parte real de x e então some à equação 6.

5. Demonstre as equações 11, 12 e 13.

6. Escreva a impedância mecânica do oscilador forçado na forma Θ= j

meZm

Z , em que mZ representa a magnitude e Θ , a fase da

impedância mecânica.

7. Demonstre que xf

FZm

π2= . Dica: Desenvolva a partir da equação 14.

8. Represente, no plano complexo, a impedância do sistema (explicite a magnitude e a fase da impedância):

a) 5=mR Ns/m, 40=s N/m, 2=m kg, 10=ω rad/s

b) 5=mR Ns/m, 40=s N/m, 2,0=m kg, 10=ω rad/s

9. Determine a constante da mola equivalente e freqüência natural de oscilação nos seguintes casos:

4. Bibliografia

1. LE Kinsler, AF Frey, AB Coppens, JV Sanders, Fundamentals of Acoustics (3rd. Ed.) - Wiley, New York (1982) – Cap 1

2. NH Fletcher, TD Rossing, The Physics of Musical Instruments – Springer-Verlag, New York (1991) – Cap 1

3. Relatórios dos estudantes Mainda Silva Araújo (bolsista PEG), Saulo Araújo do Nascimento (bolsista ProNoturno) e José Eduardo Silva (Estágio Docente).

4. Transparências usadas no seminário 1.

m

s s

m

s

s

m

s

s

(a) (b) (c)



5. Parte Prática

5.1 Material

• Corda fina de nylon “Coats and Clark” modelo T26

• Gerador de áudio e vibrador mecânico Pasco

• Driver mecânico Pasco

• Sensor de movimento rotativo e interface Pasco

• Duas molas, cada uma com massa mM = (2,77 ± 0,01) g e constante elástica s = (18,30 ± 0,03) N/m

• Tarugo de alumínio com massa m = (16,0 ± 0,1) g

• Freio magnético

• Suportes para montagem

• Software para tratamento de dados (e.g., Origin ou QtiPlot, http://soft.proindependent.com/qtiplot.html )

5.2.Procedimentos

Montagem

Fig. 5 - Montagem

O fio deve dar uma volta completa em torno da roldana para o evitar

deslizamento.



Observações:

� A magnitude F da força harmônica )(tf não será medida. Nos

gráficos dos itens 6 e 7, a amplitude poderá ser normalizada. No Exp. 2 há uma maneira de estimar-se a magnitude desta força.

� Trabalhe numa faixa de freqüências entre 3 e 10 Hz.

� Ajuste a magnitude da força (no gerador de áudio) para que o sistema tenha oscilações estáveis na ressonância. Não mude mais a amplitude da força durante as medidas.

� Ajuste a taxa de amostragem para pelo menos 100 Hz.

� Faça medidas mais detalhadas próximo à freqüência de

ressonância ( 0ω ), incluindo-a, pois a amplitude do deslocamento

varia drasticamente com pequenas variações na freqüência.

� Faça um relatório sobre o experimento. Anexar a solução dos exercícios.

� Inserir unidades e incertezas das medidas.

Massa efetiva do oscilador (veja anexo). Cada mola incrementa, efetivamente, a massa do oscilador em mM/3. Quanto ao sensor rotativo, verificou-se experimentalmente que seu momento de inércia contribui efetivamente com um aumento de (22,5 ± 0,1) g, na massa do oscilador.

1. Oscilações livres

(a) Calcular a freqüência natural não-amortecida, 0ω , com os valores

das massas (tarugo, mola e sensor) e constantes das molas.

(b) Com o sensor rotativo. Sem o efeito do freio magnético, registrar as oscilações livres do oscilador através da interface Pasco, ajustar curvas (função harmônica exponencialmente amortecida) e

determinando os valores de dω e β. Note que o próprio sensor de

movimento rotativo já introduz atrito significativo.

Com o auxílio da equação 22

0 βωω −=d determine 0ω e compare

com o valor calculado no item (a);

Expresse, em função da constante de tempo βτ /1= , os tempos

necessários para a amplitude cair a 5% e 1% do valor máximo. Identifique estes tempos nos dados registrados. O ruído nas medidas impedirá a visualização de oscilações com amplitudes tendendo a zero



(c) Com atrito extra introduzido pelo freio magnético. Introduzir mais atrito através do freio magnético e repetir o procedimento anterior.

(d) Sobre amortecimento. Tente aumentar o efeito do freio magnético até cessar as oscilações no movimento livre do oscilador, medindo o valor correspondente de β. O sobre amortecimento ocorre quando

βωβωω <→<−= 0

22

0 0d . (Por quê?)

2. Impedância mecânica

(a) Determine a amplitude da oscilação para várias freqüências de excitação, tomando o cuidado de tomar valores antes e depois da freqüência de ressonância.

(b) Utilizando a expressão estudada no exercício 7,

xf

FZm

π2= ,

determine a impedância mecânica em função da freqüência e da força aplicada ao sistema e trace um gráfico. Como F não foi

medida no experimento, normalize a impedância.

Use a expressão |)/(| ωω smjRZ mm −+= = 2/122])/([ ωω smRm −+ para

o ajuste de curva.

(c) No gráfico, identifique termos dominantes (resistência, reatância da massa ou da mola) à medida que a freqüência varia.

3. Transitórios. Analisar qualitativamente o comportamento transitório do oscilador. Retire o amortecedor magnético e registre curvas para algumas relações entre a freqüência natural e a forçante como, por

exemplo, 0/ωω = 0,2; 0/ωω = 0,8; 0/ωω =1,0; 0/ωω = 1,2; 0/ωω =2,0;

0/ωω =4,0.

A coleta deve ser iniciada antes de o sistema iniciar suas oscilações.

Observe as curvas e tente identificar o término do período transitório em cada caso.



6. Anexo: Massas Equivalentes

6.1 Mola1

Seja uma mola com massa Mm , em movimento, com um alongamento x

além de seu comprimento em repouso l .

A massa de um segmento infinitesimal qualquer da corda, dm , pode ser

expressa como →+

=+

=xl

dsmds

xl

mdm M

M ηdmdm M= , onde 10, ≤≤+

= ηηxl

s.

A extremidade da corda desloca-se com uma velocidade dtdxv /= . Um

segmento infinitesimal qualquer, por sua vez, tem velocidade dtdsu /= =

vudtdxdtxld ηηη =→≈+ //)]([ .

A energia cinética do elemento de massa dm da corda esticada é, então,

=⋅⋅= 2

21 udmdK H →=⋅ ηηηη dvmvdm HH

22

212

21 )()( == ∫

1

0

22

21 ηη dvmK H

→

1

0

32

21

3

ηvmH .

3

2

21 v

mK H= Logo, a massa equivalente da mola vibrante é

3

Hm.

6.2 Sensor rotativo

A energia cinética K de um cilindro de raio R e massa m , girando em torno

de seu centro de massa, sem translação, é == 2

21 ωcmIK

→⋅ 22

21

21 )/()( RvmR

2

21

21 )( vmK ⋅= . Ou seja, sua massa equivalente é 2/m . O

sensor rotativo, porém, tem uma construção mais complexa, havendo vários cilindros de materiais diferentes. Determinou-se, experimentalmente, para um dos sensores rotativos, o valor de gm )1,05,22( ±= para a sua massa

equivalente a partir da medição da freqüência de ressonância ( )14,6( Hz e

dos valores das massas do tarugo de alumínio ( g0,16 ) e das molas ( gx 77,22 ).

1 Cortesia do Prof. Carlos Heitor D´Ávila Fonseca.

l

x

repouso

esticada

s ds

dtdxv /=

xl +

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