- 1. ApresentaoBem-vindo ou bem-vinda! Este o seu segun-do volume
do curso de Fsica Apresentamos os principais conceitos estudados
Fsica!em Fsica. A maioria deles aparece em situaes que podem ser
observadas noseu dia-a-dia, em casa, na rua, no trabalho, no
cu...Com isso, buscamos mostrar a voc que os fenmenos fsicos
ocorrem emtodo lugar e a todo momento e que os conhecimentos da
Fsica esto acessveis momento,a todas as pessoas que tm curiosidade
em relao a eles, mesmo as pessoas queestejam fora das universidades
ou dos laboratrios cientficos.Essa maneira de expor idias - por
meio de situaes comuns, observandoo que ocorre ao nosso redor -
facilita a compreenso dos conceitos cientficos,muitas vezes
abstratos, e ajuda a explicar os mais diversos fenmenos queocorrem
na natureza.Seu livro de Fsica est dividido em dois volumes. No
primeiro, vocaprende um pouco mais sobre os fenmenos fsicos e de
que modo essa cinciaestuda tais fenmenos. Observar fenmenos
relacionados aos movimentos movimentos,analisa foras verifica que
existem diferentes formas de energia na natureza,foras,descobre
fenmenos que ocorrem, por exemplo, quando mergulhamos objetosem
lquidos, e muitas outras questes. Nesta parte da Fsica, a maioria
dosfenmenos estudados so macroscpicos isto , so visveis para todos
ns.macroscpicos,No segundo volume, voc aprende mais coisas sobre o
calor e a temperatu-ra sobre o som sobre a luz e como ela se
comporta, e estuda fenmenosra,som,relacionados eletricidade Alm
disso, v alguns temas de Fsica Modernaeletricidade. Moderna,como a
to falada Fsica Nuclear Nessa parte, voc estuda a
interpretaoNuclear.microscpica dos fenmenos, isto , interpretao
daquilo que no diretamenteobservado a olho nu.Os livros esto
organizados da seguinte maneira.Cada aula abre com a seo Para
comear Ali voc vai comear.encontar uma introduo ao principal
assunto tratado naaula. Apresentamos uma situao, ou uma pergunta,
re-lacionada aos conceitos que sero discutidos.A aula, propriamente
dita, tem incio na seo Fique li-gado A bom ficar bem atento, pois
sero discutidos egado.explicados os conceitos novos.
2. Outras duas sees vo aparecer com freqncia: Com a mo na massa
na qual sugerimos atividades massa, ou exerccios para serem feitos
no decorrer da aula. Passo-a-passo em que apresentamos exemplos ou
Passo-a-passo, exerccios resolvidos detalhadamente. No final da
aula existem mais duas sees importantes: Para terminar na qual
apresentamos, de forma reduzi-terminar, da, os principais conceitos
discutidos. Finalmente, na seo Mos obra voc vai encontrarobra,
alguns exerccios que vo ajudar a fortalecer seus estu- dos.
Esperamos que, a partir deste estudo, voc, caro aluno ou cara
aluna, passea observar de outra forma a natureza que o[a] cerca, e
mais do que isso, saiba quea cincia uma maneira mais organizada de
estudar o que acontece na natureza,e que o conhecimento - que vem
sendo acumulado durante sculos e milnios- fruto da curiosidade de
vrias geraes de homens e de mulheres. Compreendendo melhor a
cincia, possvel observar o mundo com outrosolhos, com os olhos no
apenas de um simples observador, mas de um cidadoou de uma cidad
que compreende muitas coisas e que pode participar daconstruo das
transformaes que ocorrem no mundo de hoje e na
nossasociedade!Desejamos a voc bons estudos!AUTORIAAlberto
GasparCristiano Rodrigues de Mattos - coordenadorErnst W. Hamburger
- supervisorNorberto Cardoso FerreiraRoberta
SimonettiAPOIOUniversidade de So Paulo 3. A UA U L A L A 11 O mundo
da Fsica Acuriosidade do homem pode ser compre- endida de vrias
maneiras: alguns dizem que vem de uma necessidade de sobrevivncia,
outros dizem que uma forma de prazer ou, ainda, no pensamen- to
religioso, que uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coisa no
podemos negar: o homem curioso! l Por que as coisas caem? l O Sol
uma bola de fogo? l A Terra est parada? E a Lua, como ela fica l em
cima? l Quando comeou o tempo? l Como surge o pensamento? l Como
surgiu a vida? Existe vida depois da morte? Essas so perguntas que
o homem vem se fazendo h muito tempo. Algumas sabemos responder,
outras no. Algumas tm mais de uma resposta, a diferena est no mtodo
usado para respond-las. Alguns mtodos permitem conhecer o mundo que
nos cerca, outros nos levam a iluses sobre este mundo. Observe
estes casos:HORSCOPO:ESPELHO, ESPELHO MEU... VOC SABIA? A Lua
energiza seu signo apesar Para vermos inteiramente nosso de estar
em fase com saturno com rosto num espelho plano sufici- o qual
apresenta tenso Voc devetenso. ente que ele tenha metade do ta-
aproveitar as vibraes de mer-manho (altura) do rosto. Tente crio
que completa hoje seu ciclo ciclo. observar este fato. Assim, curta
hoje os seus amigos. Nmero de sorte 23. Os trechos escritos nos
quadros acima poderiam ser encontrados num jornal ou falados pela
televiso. Freqentemente encontramos frases que propem, sugerem, ou
mesmo ordenam que faamos, ou no faamos, certas coisas: No fume no
elevador. Lei Municipal nmero tal. 4. Essa afirmao tenta nos dizer
que se fumarmos no elevador estaremos A U L Asujeitos s penas da
tal lei. Voltemos aos quadros.O primeiro nos diz algumas coisas a
respeito da situao dos astros em quepodemos, ou no, acreditar. Mais
ainda, nos fala para curtir os nossos amigos,1o que bom, e,
indiretamente, prope que joguemos no nmero 23. Dentro doquadro
encontramos palavras que parecem cientficas: energizar
vibraoenergizar, vibrao,tenso fase O texto usa essa linguagem para
tentar nos convencer de que tudotenso, fase.que foi escrito
verdade. Mas os horscopos so produtos da Astrologia que no uma
cincia. Suas definies no so exatas e variam de astrlogo
paraastrlogo. Na verdade o que foi dito a opinio de quem fez o
horscopo e oastrlogo pode, ou no, acertar as suas previses.No
segundo quadro estamos no campo da cincia. Ele procura nos
descreverum fato Se uma pessoa, em qualquer lugar do mundo, seguir
as instrues e sefato.olhar num espelho que tenha, pelo menos,
metade da altura do seu rosto,conseguir ver o rosto por inteiro. No
estamos mais diante de uma opinio mas opinio,sim de um fato, que
pode ser verificado.Devemos ouvir o que as pessoas tm a dizer, porm
devemos ser capazes dejulgar o que foi dito. No porque saiu no
jornal ou deu na tv que verdade!Por outro lado, devemos ter
cuidado, pois julgar no discordar de tudo, oimportante fazer
perguntas ter curiosidade e ir em busca dos fatos e
suasperguntas,explicaes. A cincia e seus mtodos podem nos ajudar a
responder muitasperguntas, a tomar posies e a fazer julgamentos.Uma
questo de mtodoA cincia uma forma de olhar o mundo, mas no a
nica.Muitas pessoas imaginam que as perguntas religiosas esto
completamenteseparadas das perguntas cientficas, mas isso nem
sempre verdade. Por exemplo,Isaac Newton, quando criou o conceito
de fora queria evidenciar a ao de Deus fora,no mundo: suas
perguntas eram religiosas e se confundiam com as cientficas.O mtodo
cientfico tem permitido humanidade construir conhecimentossobre o
mundo, propiciando compreender e controlar a natureza em
algunsaspectos.O mtodo cientfico busca uma verificao dos fenmenos
por meio deobservaes e experincias (fatos), ou seja, busca na
natureza a resposta parasuas perguntas e a confirmao de suas
hipteses (opinies baseadas em fatos).Por exemplo, uma pergunta que
vem sendo feita desde a Antigidade serefere queda dos corpos um
corpo pesado e um leve, soltos ao mesmo tempocorpos:e de uma mesma
altura, chegam juntos ao cho?Vrias pessoas deram solues para essa
pergunta. Os gregos antigos acha-vam que o lugar natural das coisas
pesadas era o solo, por isso caem, sendo queas de maior peso chegam
primeiro. Assim como as coisas leves sobem para o cu,lugar natural
do que leve, como o fogo ou os gases quentes. Essa forma de olhara
queda dos corpos se manteve por muitos milnios, quase como uma
afirmaosagrada, da qual no se podia duvidar, mas, por volta de
1500, cientistas criaramo mtodo experimental que a base do mtodo
cientfico. Um fenmeno que experimental,ocorre em todos os lugares,
como o reflexo de um rosto num espelho, chamadode um fenmeno
natural. Galileu Galilei, o primeiro a escrever sobre esse
mtodo,estudou o fenmeno da queda dos corpos fazendo observaes e
medies dofenmeno, ou seja, ele comeou a observar como, quando e em
que situao ofenmeno ocorria Galileu deixou cair uma bala de canho e
uma de mosquete,ocorria.cem vezes mais leve, do alto da Torre de
Pisa, na Itlia. 5. A U L A Isso permitiu a Galileu chegar seguinte
concluso: 1Dois corpos abandonados, ao mesmo tempo, Homem dede uma
mesma altura,esprito cientfico echegam juntos pesquisador, o
(simultaneamente)italiano Galileuao solo, mesmo queGalilei
(1564-1642)tenham pesosdeu muitas diferentes.contribuies cincia,
principalmente no campo daAstronomia. Figura 1. Torre de Pisa
primeira vista essa afirmao nos surpreende, porque raramente temos
aoportunidade de ver uma formiga e um elefante caindo
simultaneamente deuma mesma altura e verificar se eles chegam
juntos ao cho! Ento usemos o mtodo cientfico, duvidemos dessa
afirmativa!Vamos usaro mtodo experimental para verificar se ela
correta!O mtodo experimentalO que voc vai fazer agora uma
experincia simples para observar a quedados corpos na superfcie da
Terra e conhecer um pouco mais sobre o mtodoexperimental.Pegue uma
folha de papel do seu caderno. Segure a folha sobre a palma damo
esquerda e o caderno sobre a palma da direita, mantendo os dois
mesmaaltura do cho, como mostra a Figura 2. Espere alguns instantes
e solte-os aomesmo tempo. Qual dos dois objetos cai mais
rpidorpido? Voc deve estar pensando que aresposta bvia: o caderno
chega pri-meiro! Afinal ele mais pesado. Pois bem, voc tem razo,
mas so-mente na primeira parte da sua respos-ta. Realmente, nessas
condies, o ca-derno cai mais rpido do que a folha depapel. Ou seja,
apenas confirmamos oque j se esperava. Figura 2 6. Faamos outra
experincia. A U L A Pegue duas folhas iguais de papel. Coloque cada
uma na palma de cada mo.Espere alguns instantes e solte-as ao memo
tempo. Qual dos dois objetos cai 1mais rpido?Provavelmente uma das
duas caiu mais rpido do que a outra. E se vocrepetir essa
experincia diversas vezes, em vrias tentativas, a da direita
cairprimeiro e em outras a da esquerda cair primeiro. Isso
significa que essaexperincia no conclusiva. No podemos afirmar,
antes de fazer a experincia,qual folha cair mais rpido.Mas como
podem dois corpos de mesmo peso no cairem juntos?O que est
atrapalhando?Podemos fazer algumas hipteseshipteses.Talvez o ar
esteja, de alguma forma, atrapalhando a descida das folhas e
demaneira incontrolvel, pois a cada descida as folhas percorrem
caminhos dife-rentes, e chegam em instantes diferentes.Podemos, e
devemos testar essa hiptese hiptese:Pegue duas folhas de papel,
amasse uma completamente, at formar umabola e segure-a com a mo
direita; com a palma da mo esquerda, segure a outrafolha sem
amass-la. Espere alguns instantes e solte-as. Faa novamente
apergunta: qual dos dois objetos cai mais rpidorpido?Nessa
experincia podemos ver claramente que o ar interfere na queda
doscorpos, pois a folha amassada cai rapidamente, e em linha reta,
e a outra no.Ser possvel diminuir a influncia do ar sobre o
movimento da folha de papel?Pegue seu caderno novamente,
sustentando-o sobre a palma da mo direita.E agora coloque a folha
sobre o caderno. Espere alguns instantes e solte-os. Qual rpido?dos
dois objetos cai mais rpidoSe voc repondeu que os dois caem juntos,
maravilha!O que fizemos? Ns controlamos a experincia. Impedimos que
o ar atrapa-lhasse a queda da folha de papel e tambm pudemos ver
que tanto a folha,cho.quanto o caderno, caem juntos at o choCom
essa experincia foi possvel compreender que:Nem sempre, os fenmenos
naturais so observados com facilidade. Para estudar as leis da
natureza, temos de criarcondies adequadas, que possam ser
controladas.Essa foi a grande sacada de Galileu ao criar o mtodo
experimental. Nasprximas aulas, voltaremos a estudar o movimento da
queda dos corpos nasuperfcie da Terra.Demos um exemplo do mtodo
experimental, que a base do mtodocientfico, utilizado pela cincia,
incluindo a Fsica. Mas, o que mesmo Fsica? 7. A U L A O que a
Fsica? 1H cerca de 200 anos, no precisaramos nos preocupar com essa
pergunta.Os conhecimentos que esto includos no que hoje chamamos
Fsica, Qumica,Astronomia (no confunda com Astrologia!), Engenharia
etc. estavam todosdentro do que se chamava Filosofia
NaturalNatural.Mas as informaes sobre as substncias, sobre o
movimento dos astros, aconstruo de mquinas sobre a natureza e os
artefatos construdos peloshomens foram crescendo tanto, que foi
necessrio o estabelecimento decincias diferentes. O escocs James
Watt (1736- 1819) aperfeiooua mquina a vapor. Sua contribuiopara a
Revoluo Industrial foidecisiva.Com Galileu Galilei, houve um grande
avano na cincia. Com a ajuda domtodo experimental, desenvolveram-se
muitas tcnicas que, cada vez mais,foram sendo aplicadas no
dia-a-dia do homem. A inveno da mquina a vapor, em 1769, por James
Watt e, mais asdescobertas de Ampre e outros com relao
eletricidade, fez com que surgis-sem pessoas interessadas tambm em
o que fazer com esses conhecimentos.Pessoas se preocupavam e se
dedicavam a aplicar os conhecimentos da cinciae so agora os
engenheiros, mais interessados na tecnologia, que abandonarama
Filosofia Natural. Daquele conjunto de conhecimentos que era a
Filosofia Natural restou oestudo da Mecnica, do Calor, da
Eletricidade, do Eletromagnetismo, da Luz,etc, que recebeu o nome
de Fsica. 8. As divises da Fsica A U L A A Fsica estuda vrios tipos
de fenmenos da Natureza. Para facilitar o seuestudo costuma-se
dividi-la. At o incio do sculo as principais partes da Fsica 1eram:
a Mecnica a Termodinmica e o Eletromagnetismo Mecnica,
Termodinmica,Eletromagnetismo. No sculo XX, a partir de grandes
descobertas, surgiram novos ramos, entreeles: Fsica Atmica e
Nuclear Mecnica Quntica Relatividade Os novos Nuclear, Quntica,
Relatividade.conceitos introduzidos neste sculo provocaram uma
verdadeira revoluo naFsica. Hoje comum tambm dividir a Fsica em
Clssica (antes de 1900) eModerna (aps 1900). Alguns desses assuntos
sero abordados ao longo donosso curso. O quadro a seguir mostra
algumas perguntas que podem surgir no nossodia-a-dia, e identifica
qual o ramo da Fsica que trata de respond-las. PERGUNTAS QUEM
RESPONDE ALGUNS CONCEITOSl Por que somos jogados para frente
doMECNICAForaEspaonibus quando ele freia bruscamente?Inrcial Por
que nos dias de chuva maisTempoVelocidadedifcil frear um automvel?
Massal Como um navio consegue boiar? AceleraoEnergiaDensidadel Como
funciona um termmetro? TERMODINMICACalorEnergia trmical Por que o
congelador fica na partePressosuperior da geladeira?VolumeDilataol
O que ocorre com a naftalina, que Temperaturasome do fundo da
gaveta?Mudanas de estadol Como vemos os objetos? PTICARaio de luz
Reflexol Como os culos ajudam a melhorar a Refraoviso? Lentes
Espelhosl Como se forma a nossa imagem numespelho?l O que a
corrente eltrica? ELETROMAGNETISMOCarga eltrica Corrente eltrical
Como funciona um chuveiro eltrico?Campos eltricosl Para que serve
um fusvel? Campos magnticos Ondas eletromagnticasl O que , de fato,
a luz?FSICAtomos ATMICA/NUCLEARNcleosl O que compe todas as coisas?
Ftonsl O que so microondas? Eltrons 9. A U L A Aplicaes da Fsica 1
Desde tempos imemoriais homens e mulheres investigam os fenmenos
danatureza para poderem viver melhor. Sua curiosidade os fez
aprofundar em seusconhecimentos sobre os ciclos do dia e da noite,
sobre as fases da Lua, as estaesdo ano; sobre como se desenvolvem
plantas e animais, para melhorar a agriculturae as criaes, e assim
produzir mais alimentos; sobre como produzir e controlaro fogo, e
inventar ferramentas que facilitam o trabalho.A construo de casas,
represas, pontes; a utilizao da roda, de carros e dosdiferentes
tipos de mquinas, tudo isso foi sendo incorporado ao conhecimentoda
humanidade.Nos ltimos sculos, a cincia vem avanando muito
rapidamente, assimcomo a tecnologia, que aplica os conhecimentos
cientficos a situaes prticas.Tornou-se possvel fazer mquinas muito
pesadas - os avies - voarem, facilitando,depois, a construo de
outras - as naves espaciais, que levaram o homem Luae que nos
ajudam a desvendar os mistrios do universo.J se conhece muita coisa
sobre o universo e as estrelas mas as pesquisasestrelas,ainda no se
esgotaram. Sabemos que o Sol, a estrela mais prxima da Terra,
essencial para a existncia da vida em nosso planeta
planeta.Praticamente toda energia utilizada na Terra provm do Sol:
ele nos forneceluz e calor que so fundamentais para a manuteno da
vida. E, hoje, existemcalor,equipamentos que permitem aproveitar
mais e melhor essa energia. Um ramo importante da Fsica a Fsica
Nuclear, que deu origem a reatoresnucleares que produzem energia
eltrica Com os conhecimentos desse ramo daeltrica.Fsica tambm foi
possvel construir bombas nucleares, que so as armas dedestruio mais
ameaadoras, para a humanidade e para nosso planeta, jconstrudas.No
entanto, graas a esse mesmo conjunto de conhecimentos,
foramdesenvolvidos equipamentos e tcnicas para a Medicina que
salvam muitasvidas, pois permitem saber como esto funcionando os
rgos no interior docorpo humano. Exemplo disso so as radiografias
(chapas de raios X asX),tomografias e as ultra-sonografias.Os
conhecimentos adquiridos no ramo da Fsica Atmica nos
permitiramconstruir lmpadas especiais que produzem o laser - um
tipo de luz dotada decertas caractersticas que permitem fazer
microcirurgias (como as realizadas nosolhos), abrir cortes e
fech-los em cirurgias diversas, dispensando, em algumassituaes, o
uso do bisturi. O laser tem tambm muitas aplicaes na indstria,como
em dispositivos para cortar metais, em aparelhos de som que fazem
aschamadas leituras digitais e em outros equipamentos. 10. A inveno
dos computadores tambm ocorreu em conseqncia da aplicao A U L Ade
conceitos da Fsica Eletrnica e Microeletrnica. A utilizao
decomputadores vem revolucionando as indstrias com a automatizao
dosprocessos de produo, como, por exemplo, nas fbricas de
automveis, de 1tecidos e de alimentos. Tambm est presente em bancos
e lojas: os cartesmagnticos de bancos e de crdito so usados como
substitutos do dinheiro.Nossa sociedade est aproveitando cada vez
mais os avanos cientficos etecnolgicos que possibilitam uma melhor
qualidade de vida para um nmerocada vez maior de pessoas. O
resultado desses avanos aparecem na maiorquantidade e na melhor
qualidade de alimentos, na melhoria da sade, numavida mais longa,
na maior comunicao entre as pessoas (livros, jornais,
rdio,televiso, informtica), entre outras coisas.Na prxima aula,
vamos dar o primeiro passo dessa longa caminhada pelo Fsica.mundo
da Fsica 11. A UA U L A L A 22 A culpa da barreira!A torcida vibra.
Daquela distncia gol na certa, quase um pnalti. O rbitro conta os
passos regulamentares. A regra diz: so 10 passos (9,15 metros) para
a formao da barreira, mas ela nunca fica na posio correta. Os
jogadores avanam, o rbitro ameaa, mostra o carto amarelo para um ou
outro jogador, eles se afastam, voltam a avanar e a falta acaba
sendo batida assim mesmo. gol?Figura 1 Nem sempre e, muitas vezes,
a culpa da barreira. Todos concordam, torcida, comentaristas,
rbitros, dirigentes, mas parece que nada se pode fazer. Afinal quem
garante que a distncia no estava certa? Ser que os passos do juiz
so um instrumento de medida confivel ? E se ele for baixinho ou
muito alto ou estiver mal-intencionado, querendo prejudicar um dos
times? Voc compraria um terreno medido desse jeito? Muitas sugestes
j foram feitas - at proibir a formao da barreira -, mas ningum
pensaria em dar uma trena ao juiz para que ele, com o auxlio do
bandeirinha, medisse a distncia correta. Seria to absurdo como
levar um juiz de futebol para medir um terreno. So coisas
diferentes que exigem formas diferentes de agir. No futebol, a
preciso das medidas no muito necessria e, de certa forma, toda
aquela movimentao na cobrana de uma falta tambm faz parte do jogo.
Muita gente at acha que se fosse tudo muito certinho o futebol
perderia a graa, mas certamente medir um terreno desse jeito no
teria graa nenhuma. 12. Entretanto, durante muito tempo, as medidas
de comprimento foramA U L Afeitas assim, utilizando partes do corpo
humano como instrumentos de medi-da. O dimetro de um dedo, o
tamanho de um palmo, p ou brao, o compri-mento de um passo foram
utilizados como medidas de comprimento durante2sculos por todos os
povos da Antigidade. comum, at nos dias de hojeouvir dizer: esta
mesa tem 10 palmos ou esta sala tem 30 ps. E, assim,todos os
objetos so medidos comparando-os com outros objetos especiaisque
hoje chamamos de padres padres. medida que o comrcio entre os povos
foi se desenvolvendo, surgiu anecessidade de criar padres
utilizveis por todos. Pense na dificuldade doschineses em
comercializar sua seda com os europeus se ambos no usassem umpadro
comum de comprimento? Porm, de nada adiantaria criar padres se no
fosse possvel compar-los.Para isso foram criados instrumentos de
medida que, com o tempo, foramsendo to aperfeioados que exigiram
que se adotassem padres mais precisos. A histria das grandezas
fsicas a histria da necessidade de fazer medidase de todo o
progresso que da resultou. Apesar de existir uma quantidade
enormede grandezas, unidades e instrumentos de medida, a Fsica
procura operar como menor nmero possvel para simplificar sua tarefa
e tornar mais fcil a troca deinformaes entre todos aqueles que com
ela trabalham ou dela precisam. oque vamos ver em
seguida.Grandezas, padres e unidades Nem tudo pode ser medido. Como
medir a preguia de uma pessoa ou oamor que ela sente por outra?
Seria possvel criar um amormetro? Para osfsicos isso impossvel,
preguia e amor no so grandezas fsicas No d fsicas.para dizer que
algum tem 300 de preguia e 689,5 de amor. Esses nmeros nosignificam
nada porque no existe um padro para essas grandezas. Grandeza
.fsica alguma coisa que pode ser medida, isto , que pode ser
representadapor um nmero e uma unidade. Veja alguns exemplos:lA
distncia da bola barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros
metros.lA bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramasgramas.lO
tempo de uma partida de 90 minutos minutos. No primeiro exemplo, a
grandeza fsica o comprimento e a unidade ajarda ou o metro. No
segundo, a grandeza fsica a massa a unidade omassa,grama um
submltiplo da unidade quilograma. No terceiro exemplo, agrama,
.grandeza fsica o tempo a unidade o minuto, um mltiplo da
unidadetempo,segundo.segundo Nesses exemplos esto trs grandezas
fundamentais comprimento, massafundamentais:e tempo. A partir
dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outrasgrandezas que,
por isso, chamam-se grandezas derivadas . So exemplos
dederivadas.grandezas derivadas a rea de uma superfcie, o volume e
a densidade de umcorpo, a velocidade e acelerao de um automvel, a
fora exercida por ummotor e muitas outras. Veja alguns exemplos
prticos onde aparecem grandezas (*) derivadas esuas unidades:lUm
terreno retangular tem 8 metros de frente por 25 metros de fundo. A
sua2 rea (A) : A = 8 m 25 m = 200 m ou 200 metros quadrados, que
uma unidade de rea.(*) Essas grandezas foram colocadas aqui apenas
para servir de exemplo. Elas seroestudadas mais adiante no curso.
13. 3A U L A l Uma lata de leo de 900 cm (centmetros cbicos) contm
720 g (gramas)3 3de leo. A densidade (d)* desse leo : d = 720 g 900
cm = 0,8 g/cm ou 2l0,8 gramas por centmetro cbico que uma unidade
de densidade. cbico,Um carro percorre 120 km (quilmetros) em 2 h
(horas). A sua velocidademdia (vm)* : vm = 120 km 2 h = 60 km/h ou
60 quilmetros por horahora,que uma unidade de velocidade.Todas
essas unidades so derivadas. O metro quadrado deriva do metro
ometro,grama por centmetro cbico deriva do quilograma e do metro o
quilmetrometro,por hora deriva do metro e do segundosegundo. At h
algum tempo, no havia ainda um conjunto de unidades fundamen-tais
que fosse reconhecido e adotado em todo mundo ( por isso que no
futebol,inventado pelos ingleses, as distncias costumam ser medidas
em jardas). Apartir de 1948, esse conjunto comeou a ser
estabelecido e, em 1960, recebeu onome de Sistema Internacional de
Unidades (SI) Atualmente, s os Estados (SI).Unidos ainda no adotam
o SI, mas passaro a utiliz-lo em breve.O Sistema Internacional de
Unidades (SI)O SI estabelece 7 grandezas fsicas fundamentais das
quais so derivadastodas as outras. So
elas:CORRENTEQUANTIDADEINTENSIDADECOMPRIMENTO
MASSATEMPOTEMPERATURAELTRICADE MATRIALUMINOSAA Mecnica utiliza as
trs primeiras e suas derivadas.Cada unidade fundamental tem um
padro alguma coisa que pode serpadro,reproduzida em qualquer lugar.
Por exemplo, se algum for verificar se umargua tem suas divises
corretas deve utilizar o padro adequado.Os padres de comprimento, o
metro e, de tempo, o segundo tm definies segundo,muito complicadas
devido s exigncias da Cincia e da Tecnologia modernas. O padro de
massa o mais antigo, criado em 1889, e tambm o maissimples (Quadro
1). Cada pas deve ter laboratrios capazes de reproduzir ospadres ou
cpias devidamente aferidas e cuidadosamente guardadas.No Brasil
essa tarefa desempenhada pelo Inmetro, Instituto Nacional
deMetrologia, Normalizao e Qualidade Industrial, do Ministrio da
Indstria edo Comrcio.No necessrio saber essas definies, entretanto
importante saber queexistem os padres, as unidades fundamentais e
derivadas e formas corretas deexpress-las (Quadro 2 - ver pgina
19).QUADRO 1- TRS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI GRANDEZA
NOMESMBOLODEFINIO MetromDistncia percorrida pela luz, no vcuo,
numComprimento intervalo de tempo de 1/299792458 s. Massa de um
cilindro padro de platina-Massa Quilograma kg-irdio conservada no
Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Svres, na Frana. Durao
de 9.192.631.770 perodos daTempoSegundos radiao de transio de dois
nveis do estado fundamental do tomo do csio 133.Observaes1. Note
que os smbolos no so abreviaturas, por isso no tm ponto final.2. As
definies sero discutidas mais adiante no curso, por isso, no
necessrio decor-las. 14. QUADRO 2 - ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO
SIA U L A 2 GRANDEZANOME SMBOLOreaMetro quadrado m2 3VolumeMetro
cbico m VelocidadeMetro por segundom/s AceleraoMetro por segundo ao
quadradom/s2 3 DensidadeQuilograma por metro cbicokg/mExistem
inmeras unidades prticas ainda em uso devido ao costume ou ssuas
aplicaes tecnolgicas. Muitas dessas unidades, principalmente as
deorigem inglesa, tendem a desaparecer com o tempo e serem
substitudas porunidades do SI. Por enquanto elas ainda so muito
usadas e interessanteconhec-las (algumas delas se encontram no
Quadro 3).QUADRO 3- ALGUMAS UNIDADES PRTICAS MAIS USADAS RELAO COM
A UNIDADE GRANDEZANOME (S )SMBOLO ( S) CORRESPONDENTE DO SIMilmetro
v mm 0,001 mvoc deve Centmetro v cm0,01 mter notado que Quilmetro R
km 1.000 malgumas unidades ComprimentoPolegada Y in0,0254 m ou 2,54
cmtm smbolosdiferentes, como aP Y ft0,3048 m ou 30,48 cmpolegada o
pJarda Y yd 0,9144 m ou 91,44 cme a jarda.Milha Y mi 1.609 m ou
1,609 kmEssas Grama vg0,001 kg unidades foramTonelada Rt1.000 kg
adaptadas do Massa Quilate Y-0,0002 kg ou 0,2gingls:Libra Ylb 0,454
kg ou 454gpolegada inches, Arroba Y - 14,688 kg da o smbolo in;
Minuto R min 60 sp feet, por isso TempoHora Rh60 min ou 3.600 sseu
smbolo ft e a Dia R d24 h ou 86.400 sjarda yard, por Hectare
Rha10.000 m2 isso seu smboloyd. Atualmente rea Alqueire (SP) Y -
2,42 hacomum utilizar o Alqueire (MG, RJ e - 4,84 hasmbolo pol.
para GO) Yindicar a unidade Volume Litro R l0,001 m3 ou 1.000
cm3polegada.Quilmetrokm/h(1/3,6) m/spor hora RVelocidade Milha por
hora Y mi/h1,609 km/h N Y-1,852 km/h vSubmtiplos do SI R Mltiplos
do SI Y Unidades no-pertencentes ao SI Algarismos significativos
Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dvida:
comquantos algarismos se escreve uma medida? Tente medir o dimetro
do seu lpis. Que resultado voc obteve? 7 mm?7,1 mm?7,15 mm? Essa
pergunta tem inmeras respostas e todas podem estar
certasrespostas,certas! 15. A U L ASe voc mediu com uma rgua comum,
provavelmente achou 7 mm, ou talvez7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se voc
dispe de um instrumento mais preciso, como um 2micrmetro ou um
paqumetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se vocrepetir a
medida vrias vezes pode ser que em cada uma ache um valor
diferente!Como saber qual o valor correto? Como escrever esse
valor? Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma s
forma deescrev-lo. O valor de uma medida depende do instrumento
utilizado, da escalaem que ele est graduado e, s vezes, do prprio
objeto a ser medido e da pessoaque faz a medida. Por exemplo, a
medida do dimetro do lpis com uma rgua comum serfeita na escala em
que ela graduada (centmetros ou milmetros) e dificilmentealgum
conseguir express-la com mais de dois algarismos. Nesse caso,
certa-mente o segundo algarismo avaliado ou duvidoso. Se for
utilizado um instrumento mais preciso, possvel fazer uma medidacom
um nmero maior de algarismos e, ainda, acrescentar mais um, o
duvidoso. Todos os algarismos que se obtm ao fazer uma medida,
incluindo oduvidoso, so algarismos significativos. Se outra pessoa
fizer a mesma medida,talvez encontre um valor um pouco diferente
mas, ao escrev-lo, dever utilizaro nmero correto de algarismos
significativos. Paqumetro e micrmetro - instrumentos de preciso
Figura 2 - Paqumetro Figura 3 - Micrmetro Uma rgua comum no permite
medidas muito precisas porque noh como subdividir o espao de 1 mm:
a distncia entre os traos muitopequena. O paqumetro e o micrmetro
so instrumentos que utilizamduas escalas, uma fixa, semelhante
escala de uma rgua comum e umaescala mvel que, de maneira muito
engenhosa, permite dividir a menordiviso da escala fixa. No
paqumetro, essa escala corre junto escalafixa, enquanto que no
micrmetro ela est gravada numa espcie decilindro mvel que gira
medida que se ajusta ao instrumento paraefetuar a medida (veja as
Figuras 2 e 3). 16. Passo a passoA U L ASuponha que, ao medir o
dimetro desse lpis com um paqumetro, Maristelaencontre o valor 7,34
mm e Rosinha 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que elas 2tm
certeza do 7 e do 3, mas o ltimo algarismo incerto.Imagine agora
que elas resolvam entrar num acordo e considerar, comomelhor
medida, um valor que seja igual mdia aritmtica dos seus
resultados.Qual ser esse valor?Para achar a mdia aritmtica m basta
somar as medidas de cada um e dividirpor 2 (que o nmero total de
medidas). Assim teremos:7, 34mm + 7, 37mmm=2 14,71mmm== 7,355
mm2Ser correto expressar o dimetro do lpis com tantos algarismos?
claro que no! Se cada uma s teve certeza de dois algarismos e
avalia-ram, discordando, mais um no tem sentido dar uma resposta
com quatroum,algarismos!Nesse caso, para manter a coerncia e
expressar a medida com o nmerocorreto de algarismos significativos,
deve-se desprezar o ltimo algarismoobtido no clculo da mdia
aritmtica. comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo
(o que deve serdesprezado) for maior ou igual a 5 acrescenta-se 1
ao ltimo algarismo que restou.Teremos ento 7,355 mm = 7,36 mm que a
melhor forma de expressar amm,mdia aritmtica das medidas de
Maristela e Rosinha: mantm-se os mesmosdois algarismos dos quais tm
certeza, o 7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passaa ser o 6.
provvel que esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor
dessamedida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras
medidas, a mdiaaritmtica ter um nmero muito maior de parcelas e o
seu valor representarmelhor o dimetro do lpis.Talvez no haja um s
dia em nossas vidas em que no se conviva comalguma forma de medida.
Ao nascer ganham-se os primeiros nmeros: alturae peso (seria
melhor, comprimento e massa). A partir de ento, as grandezas eas
medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez mais variadas
ecomplexas. Temos que nos familiarizar com novos instrumentos de
medida,relgios, balanas, termmetros, medidores de combustvel, de
presso, deconsumo de gua ou energia eltrica e o que mais o
progresso exigir. Noentanto, mais importante que tudo isso,
entender que toda medida resulta deum esforo do homem para
compreender e interpretar a natureza. Fomos ns,seres humanos, que
criamos as grandezas, os padres, as unidades e osinstrumentos de
medida. Portanto, nenhuma medida a expresso da verda-de,
independentemente do nmero de algarismos significativos que
possua.H, certamente, medidas e instrumentos mais confiveis,
processos de medi-o mais adequados a determinados fins. E
importante distinguir uns dosoutros. A vida tem mais barreiras do
que parece e preciso ser capaz deperceber se elas esto distncia
correta, se o juiz mediu corretamente ospassos regulamentares, se
os jogadores no avanaram. Caso contrrio, comodizem os jogadores,
fazer um gol fica muito difcil! 17. A U L A Exerccio 1 Nas palavras
a seguir, procure distinguir quais so, ou no, grandezas 2 fsicas:
cansao, calor, energia rapidez curiosidade trabalho
honestida-energia, rapidez, curiosidade, trabalho, de pontualidade
temperatura, fora acelerao e coragem. de,
pontualidade,fora,Exerccio2 Siga os exemplos e faa as transformaes
de unidades pedidas ao lado: Exemplos Transforme5 cm = 5 0,01 m =
0,05 mI a) 3 cm em m0,75 km = 0,75 1.000 m = 750 mb) 2,5 mm em m5,8
in = 5,8 0,0254 m = 0,14732 m c) 0,8 km em md) 1,2 ft em me) 4,5 in
em mf) 20 yd emmg) 500 mi em m1 m = 1 000 mmIIa) 5memmm1 m = 100
cmb) 0,4 m emmm1 m = 0,00 1kmc) 3memcmd) 1,2 m emcme) 150 m emkmf)
180.000 m emkm3,5 g = 3,5 0,001 kg = 0,0035 kgIII a) 12 g em kgb)
20 t em kgc) 50 lbem kg1 kg = 1.000 gIVa) 0,7 kg em g1 kg = 0,001
tb) 8,2 kg em gc) 300 kg em td) 630.000 kg em t5 min = 5 60 s = 300
sV a) 1,5 min em s1 h 20 min = 1h + 20 min =b) 2 h 15 min em s= (1
3.600 s) + (20 60 s) = c) 5 h 22 min13 s em s= 3.600 + 1.200 =
4.800 s2,8 l = 2,8 0,001 m3VIa) 500l em m 3 3 3 34,5 l = 4,5 1.000
cm = 4.500cmb) 69lem cmExerccio 3 O dimetro de muitas peas
cilndricas (canos, roscas, parafusos etc.) costuma ser dado em
polegadas ou fraes de polegadas. Seguindo o exemplo ao lado, faa as
tranformaes pedidas.Exemplos Transforme em mmI) Transformar 4,5 in
em mm: a) 3,0 in4,5in=4,5 25,4 mm = 114,3 mm b) 6,8 inII)
Transformar 3/4 in em mm:c) 1/4 in3/4 in = 0,75 in = 0,75 25,4 mm =
19,05 mm d) 5/16 in 18. Exerccio 4 A U L A comum encontrar em
nossas estradas uma placa onde est escrito: Velo- cidade mxima 80
km Voc acha que essa placa est certa?km. 2Exerccio 5 Trs pessoas,
utilizando um paqumetro, medem o dimetro de um cilindro e obtm as
seguintes medidas: 38,45 mm, 38,41 mm e 38,42 mm. Qual o valor mdio
dessa medida, expresso com o nmero correto de algarismos
significativos?Exerccio 6 Uma estrela est a 400 anos-luz da Terra.
Isso significa que a luz dessa estrela demora 400 anos para chegar
Terra. Qual a distncia entre essa estrela e a Terra? (Dado:
velocidade da luz no vcuo = 3 108 m/s ou 300.000.000 m/s).Sugestes
A distncia da estrela Terra a distncia percorrida pela luz.
Comovamos ver na prxima aula, essa distncia pode ser calculada
multipli-cando-se a velocidade da luz pelo tempo que ela gasta para
vir daestrela Terra. O tempo deve ser dado em segundos, logo voc
deve transformar anosem segundos. Admita que 1 ano = 365 dias. 19.
A UA U L A L A 33 Bola pra frente N as aulas anteriores,
descrevemos alguns aspectos da Fsica, bem como discutimos algumas
unidades utilizadas nessa cincia, principalmente num de seus ramos:
a Mecnica. exatamente aqui que iniciaremos o estudo da Fsica
propriamente dito. Vamos comear por uma das partes da Mecnica: a
Cinemtica.A Cinemtica o estudo dos movimentos. Mas ela no vai muito
a fundo. Se estivermos interessados em descrever apenas como um
determinado objeto est se movendo, estaremos trabalhando dentro da
Cinemtica. nesse campo que vamos estudar a velocidade dos objetos,
sua acelerao, fazer previses sobre onde poder ser localizado um
objeto que est se movendo com determinadas caractersticas e assim
por diante. Porm, se quisermos conhecer as causas, ou seja, por que
um objeto est se movendo de uma certa maneira, j estaremos em um
outro campo da Mecnica: a Dinmica.Para saber como se movem os
objetos e fazer previses a respeito de seu movimento precisamos,
inicialmente, localiz-los, isto , saber onde eles esto.Figura 1
Localizando os objetos Estdio cheio! O goleiro bate o tiro de meta,
tentando jogar a bola fora de campo para ganhar tempo. A torcida
vaia! Um torcedor tira uma foto do lance e, mais tarde, mostrando a
foto, tenta explicar a situao para o filho: A bola estava a 15 m da
bandeirinha, do lado esquerdo do nosso goleiro, a 6 m de distncia
da lateral esquerda e a 3 m de altura. Aparentemente, a bola estava
localizada. A foto ajudou muito! Na realidade, ele deveria dizer
que os 15 m foram medidos sobre a lateral esquerda e, no, entrando
15 m pelo campo e, assim por diante. Um fato importante que, para
localizarmos um objeto que se movimenta no espao, como o caso da
bola, precisamos fornecer trs distncias. Alm disso, necessrio
explicar como foram feitas as medidas, e a partir de que ponto. No
exemplo, o ponto em questo era uma das bandeirinhas que limitam o
campo. 20. Todavia, os objetos em seu movimento, s vezes podem ser
localizados de A U L Amaneira mais fcil. o caso, por exemplo, das
bolas de bilhar que, em geral,andam apenas sobre uma superfcie
plana.3Figura 2B ILHETE DE SHERLOCK HOLMES PARA SEU ASISTENTE
Quando cheguei aqui, percebi que a bola branca tinha sido movida.
Ontem eu tinha feito uma marca de giz num dos cantos da
tabela,perto de uma das caapas. Eu medi, ento, 80 centmetros sobre
a lateralmaior da mesa. Depois, medi 67 centmetros at a bola. Eu
tinha dado ordens expressas para que nada fosse tocado, pois abola
branca deveria estar com as impresses digitais do criminoso.
Eufechei tudo antes de sair! Hoje, quando cheguei aqui, a situao
tinha mudado. As novasmedidas eram, na mesma ordem, 68 cm e 79 cm.
Algum esteve aqui!A bola no pode ter se deslocado sozinha!
Discutiremos depois.Abraos, SherlockLendo o bilhete deixado pelo
famoso detetive Sherlock Holmes para seuassistente, que estava
chegando ao local do crime, vemos que Holmes procuralocalizar bem a
bola branca. Para tanto, ele utiliza apenas duas distncias, e,
almdisso, um ponto a partir do qual efetuou as medidas das
distncias. No caso, oponto era a marca de giz feita perto da
caapa.Existem situaes cuja localizao do pontoque desejamos estudar
pode ser feita de maneiraainda mais fcil.A Figura 3 mostra um pisto
dentro de ummotor de automvel. O pisto se move, dentro deum
cilindro, para cima e para baixo. Assim sendo,para localizarmos o
ponto P, marcado no cilin-dro, bastar conhecer apenas uma distncia:
porexemplo, sua distncia at a base do pisto 6 cm.Figura 3 21. A U L
A Os objetos mudam de posio - Referenciais 3 Para localizar os
objetos no espao, no plano e ao longo de uma reta, a Fsicautiliza
maneiras especiais. So os sistemas de referncia (ou
referenciais).(a)(b)(c) Figura 4 No primeiro caso, no campo de
futebol, a posio da bola poderia ser dadada seguinte maneira:
escolhemos um ponto O - no caso, a base da bandeirinhae trs eixos
que podem ser entendidos como trs rguas: OX, OY e OZ. Com oauxlio
dessas trs rguas, medimos as distncias: x = 15 m, y = 6 m e z = 3
m.Com esses trs valores podemos localizar a bola de futebol.No
segundo caso, na mesa de bilhar, necessitamos da origem, ou seja,
docanto marcado com giz e das duas distncias. Aqui, houve uma
mudana deposio. Ento teremos duas posies da bola de bilhar:A -
primeira posio: x = 80 cm, y = 67 cmB - segunda posio: x = 68 cm, y
= 79 cmFinalmente, para o pisto, teremos de indicar que a origem a
base do pistoe que a posico do ponto P x = 6 cm.Esses sistemas de
referncia servem para localizar os objetos que estamosestudando e
tambm para auxiliar na compreenso das mudanas de sua posio.Foi
assim que Sherlock descobriu que a bola de bilhar tinha sido
movimentada.Os objetos se movimentamVimos anteriormente que os
referenciais podem nos ajudar a saber quandoa posio de um objeto
varia. A bola de bilhar mudou da primeira posio: quepodemos chamar
de A (x = 80, y = 67), para a posio que poderamos chamar deB (x =
68 cm, y = 79 cm). Falamos, nesse caso, em
deslocamento.Deslocamento apenas uma mudana de posio.Porm, o
deslocamento poderia ter sido feito em 1 segundo, em 1 hora ounum
tempo qualquer.Mais ainda: a bola poderia ter ido diretamente de A
para B ou, ento, terpassado por caminhos os mais variados, com
maior ou menor velocidade etc.Quando estivermos interessados em
conhecer no somente o deslocamentoda bola, mas tambm o percurso que
ela fez, como se deslocou ao longo dessepercurso, se foi mais ou
menos rapidamente, assim por diante, estaremosestudando o movimento
da bola.No movimento de um objeto, estudamos, portanto, como
ocorreram seusdeslocamentos ao longo do tempo e a trajetria (o
caminho, o percurso) que eleseguiu. 22. A U L A 3Figura 5 Na mesma
marchaVamos iniciar nosso estudo dos movimentos por uma situao
bastante simples. A Figura 6 representa um tubo de vidro contendo
leo de cozinha. O tubo tapado com uma rolha de borracha. Se, com
auxlio de uma seringa e de uma agulha de injeo, colocarmos uma gota
de gua dentro do leo, a gota vai descer lentamente, sempre na mesma
marcha.Podemos estudar tambm gotas que subam! claro que, nesse
caso, gua no serve! Mas, se usarmos lcool, podere- mos colocar uma
gota espetando a agulha da seringa na rolha de borracha. Ela vai
subir, tambm, sempre na mesma marcha, isto , sempre com a mesma
velocidade. esse movimento que iremos estudar: o de uma gota de
lcool subindo num tubo contendo leo.J vimos que, para o estudo de
um movimento, necessita- mos de um referencial. O movimento da gota
, de certo modo, parecido com o do pisto. A gota vai andar apenas
numa direo. Assim, bastar apenas uma rgua para ser usada como
referencial. Precisamos tambm saber quando a gota estava em
determinada posio. Ento, ser necessrio um Figura 6relgio ou, melhor
ainda, um cronmetro. Bola pra cima! Vamos supor que a gota de lcool
j estejax (cm) subindo atravs do leo. Se fotografssemos o tubo e o
relgio, de 4 em 4 segundos, ficaramos com um conjunto de fotos
semelhante ao repre- sentado na Figura 7. Os nmeros que aparecem
perto dos relgios representam os instantes em que foram tiradas as
fotos. A primeira foto aquela em que o cronme- tro estava marcando
zero. Depois, temos fotos nos instantes 4, 8 at 32 s. Ns
acrescentamos, nesse conjunto de fotos, um eixo que substitui a
rgua, e outro no qual so indicados os instantes. Vamos supor que,
lendo a posio na rgua em Figura 7 cada foto, obtivssemos a Tabela
1. Ou seja: na primeira foto,a gota estaria na posio x = 18 cm, da
rgua. Na segunda foto ela estaria na posiox = 22 cm etc. No
instante 32 s, a gota se encontraria na posio x = 50 cm. 23. A U L
AAnalisando a Tabela 1 podemos ver, por exemplo, que entre os
instantest1= 4 s e t2 = 20 s, a gota passou da posio x1 = 22 cm
para a posio x2 = 38 cm. 3 TABELA t (s) 1x (cm)Portanto ela se
deslocou38 - 22 = 16 cm0 184 22Porm, entre 4 s e 20 s, decorreram:8
26123020 - 4 = 16 s16342038 Dessa maneira, a gota percorreu 16 cm
em 16 s.2442 Como a gota percorreu o trecho sempre com a mesma2846
marcha, sua velocidade foi de 1 cm/s. Essa foi sua3250 velocidade
mdia.Definimos velocidade mdia como sendo: deslocamentox 2 -
x1vmdia = =tempot 2 - t1 As duas diferenas x2- x1 e t2 - t1 ,
costumam ser representadas por Dx e Dt(D uma letra grega, delta,
assim, lemos delta x e delta t). No necessrio usar obrigatoriamente
os instantes t1 = 4 s e t2 = 20 s.Poderamos usar t1 = 12 s (nesse
caso a posio x1 seria 30 cm - veja na Tabela 1),e t2 = 32 s (nesse
caso, a tabela diz que a posio x2 50 cm). Ento: 50 - 3020 cm vmdia
= == 1 cm / s 32 - 1220 sNesse movimento, como se v, a velocidade
da gota no varia. Ela andasempre em linha reta e na mesma marcha!
Em todos os instantes, a velocidadeda gota igual sua velocidade
mdia. por isso que esse movimento chamadoMovimento Retilneo
Uniforme No necessitamos ento escrever vmdia bastar
Uniforme.escrevermos v (de velocidade).Uma caracterstica do
Movimento Retilneo Uniforme esta: a velocidade em qualquer
instante, igual velocidade mdia.Outras gotas, outras velocidades
TABELA2 Se introduzssemos outras gotas dentro do leo,t (s) x (cm)
por exemplo uma gota maior, poderamos constatar 012 que a
velocidade seria diferente. Se a gota fosse maior, 420 ela subiria
com velocidade maior. Poderamos ter, 828 por exemplo, uma situao
igual quela representada1236 pelo grfico da Figura 8 e pela Tabela
2.16442052 24. x (cm)A U L A 3 Tanto nesse caso, como na situa-o
anterior, todos os pontos do grfi-t (s) co ficam numa reta. Essa
outra carac-terstica do Movimento Retilneo Uni-Figura 8forme.No
Movimento Retilneo Uniforme, o grfico da posio em funo do tempo uma
linha reta.Vamos calcular a velocidade da gota neste caso. Se
escolhermos:t 1 = 4 s ento x1 = 20 cmt 2 = 12 s ento x2 = 36 cmA
velocidade ser:Dx x 2 - x1 36 - 2016 v = vmdia ===== 2 cm / sDt t 2
- t1 12 - 48 Se compararmos os grficos dos dois movimentos, como
est na Figura 8,podemos ver que a reta que representa o movimento
da gota mais rpida, maisinclinada do que a primeira. Pode-se dizer
que: Quanto maior for a velocidade de um objeto, mais inclinada,
comrelao ao eixo dos tempos, a reta que representa esse
movimento.Desce! Vamos voltar e supor, agora, que a gota seja de
gua. Ela vai ser introduzida pela parte superior e descer ao longo
do tubo. Se no mexermos na rgua as posies da gota, em seu
rgua,movimento, vo diminuir, ou seja, os valores da posio vo
decrescer. Poderamos TABELA 3 ter uma tabela como a 3 et (s) x (cm)
um grfico como o da 055Figura 9. 305 4510 3515 2520 15255t (s)
Figura 9 25. A U L A Vamos calcular a velocidade da gota nesse
caso. Se escolhermos: 3t 1 = 5 s ento x1 = 45 cmt 2 =20 s ento x2 =
15 cmA velocidade ser:Dxx 2 - x1 15 - 45 30 v = vmdia = == == - 2
cm / sDtt 2 - t1 20 - 515Qual o significado dessa velocidade
negativa? Ela indica que a gota est sedeslocando no sentido oposto
orientao da rgua. Trocando em midos: agota est indo de posies que
so representadas por nmeros maiores paraposies representadas por
nmeros menores. Porm, se tivssemos invertido argua antes de colocar
a gota, a velocidade seria positiva! Isso porque a gota iriadas
posies menores para as posies maiores. Esse um fato bastante
impor-tante: o sinal da velocidade depende de como colocamos a
rgua!A velocidade depende do referencial.Como localizar a gota em
qualquer instante TABELA4 Vamos supor que tivssemos uma tabela que
t (s) x (cm) descrevesse um movimento uniforme, como os an-8
20teriores, mas que os valores estivessem embaralhados 10 24(Tabela
4). Mais ainda: no meio deles, colocamos umt x par de valores
desconhecidos: t e x . Vamos ver que,6 16se utilizarmos a definio
de velocidade mdia duas4 12vezes, poderemos obter uma funo muito
impor- 12 28tante.2 8Vamos calcular a velocidade mdia escolhendo:
t1 = 8 s ento x1 = 20 cm t2 = 10 s ento x2 = 24 cmA velocidade ser:
Dx x 2 - x1 24 - 20 4 v = vmdia = == = = 2 cm/s Dt t 2 - t110 - 8
2Vamos agora escolher: s entoxt1 = 6 s ento x1 = 16 cmt2 = t s ento
x2 = x cm entoxA velocidade mdia ser:Dxx 2 - x1 x - 16 vmdia = D t
= t - t = t - 6 21Porm, sabemos que vmdia= 2 cm/s, como foi visto
um pouco atrs. 26. Ento, ficaremos com: A U L Ax - 16t - 6 =2 ou
seja,x - 16 = 2 (t - 6)x - 16 = 2 t - 123ento: x=2t+4Esta a chamada
funo horria da posio Ela serve para determinarmosposio.a posio do
objeto que est se movendo em linha reta com velocidade constante,em
qualquer instante. Por exemplo: se fizermos t = 6 s, teremos: x = 2
6 + 4 = 16 cm, que o valor dado na Tabela 4.Podemos fazer o
inverso, calcular em que instante o objeto passou, ou vaipassar,
por determinada posio. Por exemplo: saber, em que instante o
objetovai estar na posio x = 40 cm.Assim, teremos:40 = 2 t + 440 -
4 = 2 t36 = 2 t2 t = 36t = 18 sPor outro lado, para o instante t =
0, teramos x = 4 cm. Esse valor exatamente o 4 que aparece na funo
horria.De maneira geral, podemos escrever a funo horria como:x = x0
+ v tonde: x a posio no instante t; v a velocidade; x0 a posio no
instante t = 0. Um outro grficoNa Figura 6, tnhamos uma gota que
descia pelo TABELA 5tubo com leo numa velocidade constante de 2
cm/s.t (s)v (cm/s)Qualquer que fosse o instante, a velocidade era a
mes- 02ma: 2 cm/s. Assim, uma tabela para a velocidade em 42funo do
tempo e o grfico correspondente seriam: 82v (cm/s) v (cm/s)
122162202 t (s)t (s) Figura 10Figura 11 27. A U L A Aparentemente,
o grfico da Figura 10 no nos d muitas informaes.Todavia, com ele
podemos saber quanto a gota se deslocou entre dois instantes.
3Vamos calcular qual a rea do retngulo que foi desenhado no grfico
davelocidade, que est na Figura 11. A altura do retngulo vale 2
cm/s, e sua base(12 s - 4 s), ou seja, 8 s.Como a rea do retngulo o
produto da base pela altura, teremos: rea = 2 cm/s 8 s = 16 cm.Por
outro lado, consultando a Tabela 2 (Figura 8), veremos que entre
osinstantes 4 s e 12 s, a gota foi da posio 20 cm para a posio 36
cm e, dessamaneira, andou 16 cm, que foi o valor encontrado para a
rea do retngulo.Poderamos pensar que isso foi uma coincidncia.
Porm, voc poder calculara rea de outros retngulos na mesma figura e
verificar que a rea vai ser igualao deslocamento!Passo a passo
TABELA 6Uma pessoa anotou as posies e os tempos parat (s) x (cm) um
objeto movendo-se em linha reta e obteve a056Tabela 6. Construa o
grfico da posio em funo do148tempo e o da velocidade em funo do
tempo. Admi-240tindo-se que esse objeto se mova sempre dessa
ma-332neira, determine o instante em que passa pela posi-424o x =
20 cm e qual a posio nos instantes t = 7,0 s516e t = 3,5 s. Usando
o grfico da velocidade, determine6 8o deslocamento entre 2 s e 6
s.x (cm)6 Os pontos da tabela que do a posio, em fun- o do tempo,
quando colocados num grfico, ficam 30 como o que est na Figura 12.
16 t (s)Figura 12 Se escolhermos dois instantes, e suas respectivas
posies, podemos calcu-lar a velocidade mdia do objeto. Vamos usar,
por exemplo, os valores: t1 = 2 s x1 = 40 cm t2 = 5 s x2 = 16 cmA
velocidade mdia ser:Dx x 2 - x1 16 - 40 - 24v = vmdia == == = - 8
cm / sDt t 2 - t15 - 2 3 28. Como a velocidade constante, e igual A
U L A- 8 cm/s o grfico da velocidade uma retaparalela ao eixo t
como mostra a Figura 13.A posio no instante t = 0 vale 56 cm,
a3funo horria da posio vai ser portanto:x = 56 - 8 t Figura 13Com
auxlio dessa funo, calculamos o ins-tante que o objeto passa pela
posio x = 20 cm:20 = 56 - 8 t20 - 56=-8t - 36=-8t t = 4,5 sPodemos
calcular tambm a posio, x no instante t = 3,5 s x = 56 - 8 3,5 x =
56 - 28 x = 28 cm tv (cm/s) Calculando-se a rea do retngulo no
grfi- 0co da velocidade entre os instantes t = 2 s e t = 6 t -2 1 2
3 45 6 7 t (s)s (Figura 14), vemos facilmente que esse valor -4-
32: -32 cm. Isso pode ser verificado observan- -6do que, entre
esses dois instantes, o objeto foi -8da posio 40 cm para a posio 8
cm. Isto ,voltou 32 cm. Figura 14Passo a passo Pedro mora em So
Pedro da Aldeia que fica a 200 km de So Joo das Almasonde mora Joo.
Exatamente entre as duas cidades, est Meipolis, outra cidadeda
regio. Um carro est a 40 km de So Pedro e vai para So Joo por uma
estradareta, com velocidade constante de 80 km/h. Depois de quanto
tempo vai passarpor Meipolis e quando vai chegar em So Joo? Em
geral, os problemas sobre movimento retilneo uniforme tm um
aspectosemelhante ao descrito acima. Para resolv-lo, necessitamos
definir umreferencial Como dissemos anteriormente, qualquer pessoa
pode definir o seureferencial.sistema de referncia. Suponhamos que
Pedro tivesse definido um e Joo, umoutro. Veremos que as respostas
s questes vo ser as mesmas. Figura 15 29. A U L A Pedro pensou
assim:Joo pensou assim: 3Vou medir as distncias a partir deVou
medir as distncias a partir de So Pedro. O carro partiu de uma
posi- So Joo. O carro partiu de uma posi- o situada a 40 km daqui,
ento, suao situada a 160 km daqui, ento sua posio inicial x0 ser
40. medida posio inicial x0 ser 160. A medida que o tempo passa, os
valores da posi- que o tempo passa, os valores da posi- o vo
aumentando. Ento sua veloci-o vo diminuindo. Ento sua veloci- dade
v positiva, e vale 80 km/h. Logo, dade v negativa, e vale 80 km/h.
Logo, a funo horria da posio vai ser: a funo horria da posio vai
ser: x Pedro = 40 + 80 tx Joo = 160 - 80 t Com essa funo, eu posso
calcular Com essa funo eu posso calcular em que instante o carro
vai passar em que instante o carro vai passar por Meipolis. Basta
que eu faa por Meipolis. Basta que eu faa x Pedro = 100 km, pois
Meipolis est axJoo = 100 km, pois Meipolis est a 100 km daqui.
Ento: 100 km daqui. Ento:100 = 40 + 80 t100 = 160 - 80 t 100 - 40 =
80 t 100 - 160 = - 80 t 60 = 80 t- 60 = - 80 t33t = h = 45 min t =
h = 45 min44 E vai chegar em So Joo quando E, vai chegar em So Joo
quando x Pedro = 200 km x Joo = 0 km pois eu conto as distncias 200
= 40 + 80 t partir daqui. Ento:200 - 40 = 80 t0 = 160 - 80 t 160 =
80 t- 160 = - 80 tt=2ht=2hComo podemos ver, os resultados obtidos
foram idnticos apesar dasfunes horrias serem diferentes. As funes
horrias dependem do referencialque cada pessoa constri. Porm, desde
que o raciocnio seja coerente, osresultados para as questes vo ser
os mesmos.Exerccio 1 Um carro anda 160 km em 2 horas. Qual sua
velocidade mdia? Qual a distncia que ele percorre em 4 horas? Se
essa velocidade for mantida, quanto tempo gastar para percorrer 400
km?Exerccio 2 Um objeto est se movendo numa trajetria retilnea e
suas posies com relao ao tempo esto dadas no grfico da figura
abaixo. Determine: x (m)a) Sua posio no instante t = 0 (x0).x120b)
Sua velocidade mdia. 100c) Sua funo horria.80d) Sua posio no
instante t = 10 s.60e) Quando passa pela posio x = 180 m. 4020 0 1
2 3 4 5 6 7 t (s) 30. Exerccio 3 A U L A Um objeto move-se em uma
trajetria retilnea. O grfico de sua velocidade est na figura
abaixo. v (cm/s)315a) Qual o valor de sua velocidade?10b) Qual seu
deslocamento entre os instantes t = 4 s e t = 20 s?5 048 12 16 20 t
(s)Exerccio 4 Um objeto se move sobre uma trajetria retilnea. As
posies ocupadas por esse objeto, com relao ao tempo, esto dadas na
tabela. Determine:TABELA 7T (S)X (M )110215a) A funo horria da
posio.320b) A posio no instante t = 12 s.425c) O instante no qual a
posio vale 80 m.530Exerccio 5 Considere um problema semelhante ao
do exemplo descrito no texto. Nesse caso, o carro est indo de So
Joo para So Pedro, com uma velocidade de 50 km/h. Em que instante
vai passar por Meipolis e quando vai chegar em So Pedro? v = 50
km/hNesta aula voc aprendeu: que para localizar um ponto precisamos
saber uma, duas ou trs distnciasdo mesmo at um ponto fixo
(referencial); que um corpo em movimento, pode ser localizado por
meio de uma relaochamada funo horria; como obter a funo horria para
um corpo movendo-se com velocidadeconstante; como descrever esse
movimento por meio de grficos e tabelas. 31. A UA U L A L A 44
Acelera Brasil!S uponhamos que tenha sido realizado um estudo que
avalia dois novos veculos do mercado: o Copa e o Duna. As pesquisas
levantaram os seguintes dados:TABELA 1VECULOCOPA DUNA Velocidade
mxima50 m/s (180 km/h) 50 m/s (180 km/h)Velocidade aps 30 m/s (108
km/h) 20 m/s (72 km/h) 10 segundos Levando em conta apenas essas
informaes, voc seria capaz de responder: qual o melhormelhor? Para
poder responder, preciso analisar as informaes fornecidas. lQuanto
velocidade mxima atingida os dois podem andar no mximoa 180 km/h:
houve empate e no podemos responder pergunta. lQuanto velocidade do
veculo aps 10 segundos so diferentes nos doiscasos, mas para
afirmar qual o melhor precisamos saber o que indicaessa medida,
isto , entender o seu significadosignificado. Entendendo mais sobre
a pesquisa Veja como ela foi realizada: inicialmente os veculos
estavam parados; portanto suas velocidades eram nulas (zero). Num
dado momento, o juiz deu a largada e os dois partiram numa pista
reta reta. O primeiro fato importante que voc deve observar que a
velocidade deixa de ser nula aps a largada. Isso quer dizer que
houve variao da velocidade velocidade. O segundo fato importante
que no mesmo tempo (10 segundos) o Copa atinge 30 m/s e o Duna
apenas 20 m/s. A segunda medida relaciona duas grandezas: a variao
da velocidade e o tempo gasto para ocorrer essa variao Observe a
Tabela 2.variao.TABELA 2VECULOCOPADUNA Velocidade inicial 00
Velocidade final30 m/s20 m/s Variao da velocidade30 m/s20 m/s
Intervalo de tempo10 s10 s 32. Veja que a velocidade do Copa variou
de 0 a 30 m/s e a velocidade do DunaA U L Avariou de 0 a 20 m/s nos
mesmos 10 segundos!Voc j sabe qual a velocidade de cada veculo aps
10 segundos, mas...4O que ocorre com a velocidade a cada
instante?TABELA 3 A Tabela 3 indica, para alguns ins-COPADUNA
tantes, o valor da velocidade marcada pelo velocmetro. Observe que,
medi- v (m/s)t (s)v (m/s) t (s) da que o tempo passa, a velocidade0
0 0 0varia para ambos os veculos.6 2 4 2124 8 4Observe que num
mesmo instante,186 126a velocidade do Copa maior do que a248 168do
Duna. Pode-se dizer que o Copa 301020 20melhor, porque arranca mais
rpido.Uma nova grandeza fsicaQuando falamos em arranque, na verdade
estamos nos referindo relaoentre duas grandezas: variao da
velocidade e tempo Essa nova grandeza, que tempo.nos ajudou a
decidir qual dos dois o melhor uma grandeza fsica e recebe onome de
acelerao acelerao. Acelerao uma medida da variao da velocidade de
um corpo num certo intervalo de tempo.Esse o conceito de acelerao
Pode-se tambm definir acelerao com a acelerao.ajuda da Matemtica.
Como calcular a acelerao?Pegue, na Tabela 3, o valor da velocidade
em dois instantes quaisquer ecalcule inicialmente a variao da
velocidade (v), isto , a diferena entre asduas e o intervalo de
tempo correspondente (t). Por exemplo, para o Copa:t1 = 2s e v1 = 6
m/s v = v2 - v1 = 24 - 6 = 18t2 = 8s e v2 = 24 m/s t = t2 - t1 = 8
- 2 = 6 Para calcular a acelerao, basta dividir essa variao pelo
intervalo detempo necessrio para que ela ocorra. Definimos: Dv
Acelerao a = DtAssim teremos: 18a = = 3(?) 6Qual a unidade usada
para a grandeza acelerao acelerao? 33. A U L A Uma unidade para a
acelerao 4Veja que a grandeza acelerao vem da combinao de duas
outras gran-dezas: velocidade e tempo portanto a sua unidade obtida
a partir das tempo,unidades dessas duas grandezas. Observe que a
velocidade do Duna variadois metros por segundo a cada segundo,
assim teremos metro por2segundo por segundo, abreviando m/s s ou
m/s .De forma geral, a unidade da acelerao dada por uma unidade
decomprimento dividida por uma unidade de tempo ao quadrado.
2Portanto, a acelerao do Copa 3 m/s . Lembre-se uma grandeza fsica
Lembre-se:deve sempre vir acompanhada de sua unidade (Aula 2).Nesse
caso, se voc calcular a acelerao para dois instantes de
tempoquaisquer ir obter sempre o mesmo valor Isso quer dizer que a
acelerao novalor.varia Podemos concluir que:varia.Nesse movimento a
acelerao constante.Verifique essa afirmao calculando a acelerao
para quatro intervalos detempo diferentes para o Copa e quatro para
o Duna.Outra maneira de representar um conjunto de dados Os dados
da Tabela 3 podem ser representados por um grfico, bastamarcar os
valores de v e t , isto , v1 e t1,v2 e t2,v3 e t3,v4 e t4,v5 e t5 e
uni-los comuma reta:v (m/s)v (m/s)30 3028 2826 2624 2422 2220 2018
1816 1614 1412 1210 10 88 66 44 220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 34 5
678 910 t (s) t (s)Figura 1. Grficos v X t para o Copa ( esquerda)
e para o Duna ( direita). DunaVoc viu como calcular a v
(m/s)acelerao a partir dos dados 30da Tabela 3. Viu que, com
esses28 26mesmos dados, foi construdo 24 av v8 v4 22 t t8 t4o
grfico da Figura 1. Portanto20o grfico e a tabela represen- 18
16(v8, t8)tam o mesmo conjunto de da-14 12dos Logo, deve ser
possveldos. 108obter o valor da acelerao a 6(v4, t4)4partir do
grfico. Agora, obser-2ve o grfico da Figura 2, que0 1 2 34 5 678
910 t (s)mostra a velocidade do Dunaem funo do tempo.Figura 2.
Grfico v X t para o Duna. 34. Tome dois pontos, por exemplo os
pontos (v4 e t4) e (v8 e t8). A U L APela definio, a acelerao
obtida dividindo-se a variao da velocidade(representada pela linha
pontilhada vertical) pelo intervalo de tempo (represen-tado pela
linha pontilhada horizontal). Assim teremos:416 - 8 8a == = 2 m /
s2 8 - 4 4 Observe o grfico da Figura 3; nele esto representadas as
retas que descre-vem as velocidades do Copa e do Duna em funo do
tempo. Grfico de v x t v (m/s) 30Copa 28 26 24 22 20Duna 18 16 14
12 108642 0 1 234 5 6 78 9 10 t (s)Figura 3. Grfico de v X t do
Copa e do Duna.Observe que a reta que representa o movimento do
Copa mais inclinada,e lembre-se de que ele tem maior acelerao.
Portanto, pode-se afirmar que: Num grfico de velocidade em funo do
tempo v X t(que se l "v versus t"), quanto maior for a acelerao
mais inclinada ser a reta que representa o movimento.Prevendo
resultadosTABELA 4Ser possvel conhecer a velocidade dos veculosem
outros instantes, por exemplo, quando t = 9 v (m/s) t (s)segundos?
v0 = 3t0 = 0A resposta sim! Mas como? Veja: num certo v1 = 6t1 =
1momento, o co-piloto do Copa decidiu anotar os v2 = 9t2 = 2valores
da velocidade, porm, o veculo j estava em v3 = 12 t3 = 3movimento
naquele instante Observe na Tabela 4instante. v4 = 15 t4 = 4os
dados que ele anotou.Voc j conhece duas maneiras de representar um
conjunto de dados:atravs de tabelas e de grficos; mas existe
outra!Vamos calcular outra vez a acelerao do Copa, agora escolhendo
o par (v4, t4)da tabela 4 e um par (v,t) qualquer: t4 = 4s e v4 =
15 m/s t e vv - 15Podemos escrever: a=t-4 35. 2A U L A Sabemos que
a acelerao do Copa 3 m/s , assim: 4v - 153 =t - 4ou seja, v - 15 =
3 (t - 4) v - 15 = 3 t - 12ento: v=3+3tEssa funo matemtica fornece
o valor da velocidade em funo do tempo. Ela chamada de funo horria
da velocidade que descreve o movimento do copa,que recebe o nome de
Movimento Retlineo Uniformemente Variado (MRUV).Retilneo, pois o
veculo anda em linha reta; variado, pois sua velocidade varia;e
uniformemente vem do fato de a acelerao ter sempre o mesmo valor
e,portanto, a velocidade varia sempre da mesma forma(uniforme).
Note que, para o instante t = 0s, obtm-se v 0 = 3 m/s; e, se voc
observar aTabela 4, ver que essa a velocidade inicial, isto , no
instante em que o co-pilotoiniciou as anotaes! De uma maneira
geral, podemos escrever para a velocidade v num instantet
qualquer:v = v0 + a tonde v0 a velocidade inicial (em t=0) e a a
acelerao, que constante.Agora possvel responder qual o valor da
velocidade quando t = 9 s! ssubstituir o tempo na funo horria da
velocidade:v9 = 3 + 3 9 = 3 + 27 = 30 m/sComo saber onde o veculo
estar num certo instante?Na aula passada, voc estudou o Movimento
Retilneo Uniforme (MRU),caso em que a velocidade no varia, ela
constante. Para descrever o MRU vocestudou apenas como varia a
posio em funo do tempo.Nesta aula voc est estudando um movimento em
que, alm de a posiovariar, varia tambm a velocidade.Mas como varia
a posio no MRUV claro que ela varia, pois esse fatoMRUV?caracteriza
um estado de movimento!Voc capaz de se lembrar como foi calculado o
deslocamento do carrono MRU?Foi pelo grfico da velocidade em funo
do tempo (v X t): a rea da figuraformada pelo grfico fornece o
deslocamento.Pode-se fazer de forma semelhante para o caso do MRUV.
O quadro, no final daaula, indica, passo a passo, como obter a funo
horria da posio do MRUV: 1 2 x = x0 + v0 t + at 2onde x 0 a posio
inicial, v 0 a velocidade inicial, e a a acelerao.Nesse caso, como
ser o grfico da posio em funo do tempo? Voc esperaque seja uma reta
como no MRU? 36. Note que essa funo diferente daquela obtida para a
velocidade: elaA U L A 2contm uma terceira parcela proporcional ao
quadrado do tempo (t ). Isso fazcom que o grfico no seja mais uma
reta, mas uma curva. Para construir o grfico de posio (x) por tempo
(t) a partir da funo til, 4inicialmente, fazer uma tabela que
indique os valores de x e t. Para encontrar as .posies, basta
substituir o tempo na funo e calcular o valor de x! Mas preciso
tambm conhecer o valor de x0 e v0. Tome, por exemplo, a Tabela 4.
No instante inicial, isto , quando comeam aanotar os valores de v ,
a velocidade era 3 m/s; portanto, v0 = 3 m/s. Suponha quenesse
instante o carro passou pelo marco 100 m da pista. Portanto, x0 =
100 m. 2Lembre-se de que a acelerao do Copa, nesse exemplo a=3 m/s
. Substituindo esses valores na funo horria da posio temos: 2 x =
100 + 3 t + 1,5 t Essa funo descreve o movimento do Copa e fornece
sua posio x emqualquer instante de tempo t . Como exemplo, vamos
calcular a posio no instante t = 2 s. 2 x = 100 + 3 2 + 1,5 2 x =
100 + 6 + 6 = 112 mProsseguindo dessa maneira, possvel obter os
outros valores e montara Tabela 6:TABELA 6Agora possvel construir o
grfico dav (m/s) t (s) posio em funo do tempo:x0 = 100 t0 = 0v
(m)x1 = 104,5 t1 = 1 155x2 = 112 t2 = 2150x3 = 122,5 t3 = 3145
140x4 = 136 t4 = 4135 130x5 = 152,5 t5 = 5125 120 115 110 105
Figura 410001 2 3 45 t (s)Observe que no se obtm mais uma reta: o
grfico uma curva, que tem onome de parbola. possvel tambm
representar as posies do veculo por intermdio de umeixo orientado,
(lembre-se da Aula 3). Sentido0 x0 = 100 m x1 = 104,5 m x2 = 112 m
x3 = 122,5 m x4 = 136 m x5 = 152,5 m 162,5 t0 = 0 s t1 = 1 s t2 = 2
s t3 = 3 s t4 = 4 s t5 = 5 sFigura 5 37. A U L A Observe na Figura
5 que, nesse caso, os deslocamentos aumentam com otempo: a cada
segundo o deslocamento maior do que no instante anterior. 4Isso
indica que a velocidade est aumentando: o movimento variado,
nessecaso dizemos que ele acelerado acelerado.Breeeeeca! TABELA 5 v
(m/s) t (s)No meio da pista havia um cachorro, v0 = 30t0 = 0havia
um cachorro no meio do pista! De v1 = 25t1 = 1repente o piloto do
Copa avistou o animal e v2 = 20t2 = 2rapidamente acionou os freios.
Sem perder v3 = 15t3 = 3tempo, o seu co-piloto anotou os valores da
v4 = 10t4 = 4velocidade: v5 = 5 t5 = 5 v6 = 0 t6 = 6 Note que a
velocidade agora est dimi-nuindo o veculo est freando!nuindo:Qual
ser agora o valor da acelerao nesse caso? Pegue, por exemplo: t1 =
1 s e v1 = 25 m/s t4 = 4 s e v4 = 10 m/sCalculando a acelerao: v 4
- v1 10 - 25 ento: a = - 5 m/s 2a== t 4 - t1 4-1 Observe que o
valor da acelerao negativo! O sinal da acelerao oposto ao da
velocidade (que positiva). Isso indica que o movimento desacelerado
isto , o carro est freando.Observe o grfico v X t nesse
caso:desacelerado,Veja que a reta tem uma inclinao v (m/s)diferente
do caso em que o movimento acelerado quando a velocidade
cresce.35Abaixo esto representados os grficos 30v X t para os trs
casos; quando o movi- 25mento acelerado (a > 0); quando
20desacelerado (a < 0), ambos exemplos de15Movimento Retilneo
Uniformemente 10Variado e; no caso especial, quando a ace- 5lerao
nula (a = 0): nesse caso, a veloci-dade no varia e temos um exemplo
de 0 1 2 3 45 6 t (s)Movimento Retilneo Uniforme - MRU(Aula
3).Figura 6 38. MRUVMRUV MRUA U L A 4 acelerado
desaceleradodesacelerado v constante v a>0 va fat grande e
pequeno -> fat pequeno. N constante nos dois casos!Mas o que
ocorre com a fora de atrito quando o corpo est parado?Atritoesttico
e atrito dinmico Se no h algum puxando ou empurrando o armrio, no
haver motivopara que o solo impea seu movimento (Figura 6); mas, se
comeamos aempurrar o armrio com uma fora pequena, que no suficiente
ainda para queele se mova, (por exemplo, o armrio sendo empurrado
por uma pessoa),podemos ver que aparece uma fora de atrito para
impedir que o armrio ande,e, medida que mais pessoas vo empurrando,
a fora de atrito vai aumentando,at que, finalmente, um nmero
suficiente de pessoas consiga empurrar oarmrio. Isso significa que
a fora de atrito parou de crescer. FR N = FRNF fat PAPAFigura
6Podemos fazer um grfico do comportamento da fora de atrito em
relao fora que est sendo aplicada no armrio (Figura 7) fat
EstticoDinmico 450F Figura 7. Grfico fat X F Enquanto a fora de
atrito est aumentando, o armrio no se move.Chamamos, nessa situao,
o atrito de: atrito estticoesttico. 88. Quando a fora que est sendo
feita sobre o armrio aumenta o suficiente A U L Apara moviment-lo,
a fora de atrito passa a ter seu valor constante, chamamosento,
nessa situao, o atrito de atrito dinmico. Um exemplo muito comum
disso acontece quando empurramos um carro:10inicialmente comeamos a
fazer uma certa fora e vamos aumentando essafora at que o carro
comece a andar; nesse momento, a fora que fazemos paraempurrar o
carro menor do que no instante anterior em que o carro aindaestava
parado. preciso observar que, em cada uma dessas situaes, o
coeficiente deatrito diferente apesar de estarmos olhando para o
mesmo corpo, ou seja,estando ele parado ou em movimento. Por isso,
haver o coeficiente de atrito esttico (e) e o coeficiente de
atritocintico (c ), que sero usados, dependendo se o objeto que est
sob a ao dafora de atrito estiver parado ou se movendo.Aspectos
positivosdafora deatrito Nem sempre a fora de atritonos atrapalha
nas tarefas que temosque cumprir. Ao contrrio, muitasvezes ela nos
ajuda. Por exemplo, quando andamos,estamos empurrando o cho paratrs
e este nos empurra para frente,permitindo que andemos. Imaginese
caminhssemos sobre uma su-perfcie de gelo, ou mesmo por umcho cheio
de cera, teramos pro- Figura 8blemas para nos deslocar, pois
nohaveria atrito. Um automvel anda para a frente quando seus pneus
empurram o chopara trs e este os empurra para frente. Quando o
carro faz uma curva, isso ocorreporque existe o atrito entre o pneu
e o cho; se no houvesse esse atrito o carrosairia reto nas curvas.
Em vrias indstrias, existem esteiras para transporte de material,
desdegros de trigo a limalha de ferro (esta ltima para ser jogada
em fornos). Essasesteiras transportam o material porque existe um
atrito entre elas e o material. Seno houvesse, o material ficaria
escorregando na esteira sem conseguir sair dolugar. Vrios so os
exemplos em que o atrito nos ajuda em nosso dia-a-dia. Mas,
voltemos ao problema do armrio. Como j fizemos o
isolamentoisolamento,agora vamos ao segundo passo: construir as
equaes dinmicas usando adinmicas,segunda lei de Newton.2 passo -
equaes dinmicasQual ser a fora mnima que deve ser feita para que o
armrio se mova,supondo que o armrio tenha um peso de 200 kg e que o
coeficiente de atritoesttico entre o solo e o armrio e seja igual
0,5? 89. A U L A Sabendo que ele no vai se mover no sentido
vertical, por isso, podemosescrever que a soma das foras na
vertical igual a zero:10P - N = 0 -> N = PSupondo a fora mxima
que podemos fazer para que o armrio estejaprestes a se mover, mas
que ainda no tenha se movido:F - fat = 0 => F = fatObteremos,
ento, duas equaes dinmicas: N=Pe F = fat Podemos, assim, passar
para o terceiro passo que resolve esse sistema deduas equaes e duas
incgnitas (F e N):Soluodasequaes dinmicasNa primeira equao temos
que: N = P = mg = 200 kg 10 m/s = 2.000 N N = 2.000 N Na segunda
equao, precisamos lembrar da relao entre a fora de atritoe a fora
normal: F = Fat = m N = 0,5 2.000 = 1.000 N F = 1.000 N E essa a
fora mxima que podemos fazer antes que o armrio se mova. Essafora
equivalente a levantar um peso de 100 kg. Com isso, pudemos prever
a fora mnima que devemos fazer para que oarmrio esteja prestes a se
mover. Mas precisamos de alguma forma diminuir afora de atrito para
empurrar com mais facilidade o armrio. Uma soluo jhavia sido dada,
que simplesmente diminuir o peso do armrio, com issodiminumos a
fora normal e, conseqentemente, a fora de atrito. Mas s vezes isso
no suficiente. Precisamos controlar a fora de atrito deoutra forma:
a nica forma que nos resta, fora controlar o peso do armrio,
controlar a fora de atrito pelo coeficiente de atrito (). No
coeficiente de atrito,est a informao se o atrito entre duas
superfcies grande ou no. Se o atrito entre o cho e o armrio grande,
temos que colocar algummaterial entre o armrio e o cho que diminua
o coeficiente de atrito. Vamos supor que o cho de madeira. Uma
forma de diminuir o atrito seriacolocar um pano entre o armrio e o
cho. Alguns mveis poderiam ser rapidamentemovimentados com essa
soluo, principalmente os de fundo muito spero. Uma outra forma
seria colocar cera no cho. Assim como a gua provoca aderrapagem de
um carro, por se transformar numa pequena camada entre opneu e o
asfalto, fazendo com que o carro perca o contato com o asfalto, a
cerafaria o mesmo papel, seria uma pequena camada entre o mvel e o
cho de modoque este deslizaria pela madeira. Andar num cho
encerado, uma experinciamuito comum e pode provocar grandes quedas
e escorreges! Essas so solues que podem ser aplicadas em vrias
situaes, por exem-plo quando queremos pendurar um quadro ou prender
uma estante na parede;fazemos um furo e colocamos uma bucha, mas
quando posicionamos o parafuso,temos dificuldade para gir-lo at o
fim da bucha. Isso pode ser solucionadocolocando-se um pouco de leo
de cozinha, ou mesmo um lubrificante dentro dabucha, que tem a funo
de diminuir o atrito entre o parafuso e a bucha. 90. Vimos nesta
aula: A U L AO conceito de fora de atrito ( fat ).10ll sua relao
com a fora normal ( N );que pode ser representada pela equao: Fat =
Nl vimos tambm como resolver situaes em que o atrito atrapalha
nossoservio, ou seja, podemos planejar para antecipar as
conseqncias domovimento de um corpo em situaes onde haja atrito;l e
outras situaes em que o atrito nos ajuda a realizar movimentos ou
tarefas.Exerccio 1 Para pensar: nas fbricas de automvel, so
pintados carros de vrias cores. O que aconteceria se a lataria do
carro fosse muito lisa? A tinta se prende- ria na lataria?Exerccio
2 Na figura abaixo, vemos um plano, que tem uma inclinao segundo o
ngulo q com a horizontal. Qual ser a inclinao mxima que o plano
pode ter sem que a caixa escorregue ladeira abaixo? Suponha que a
massa m da caixa seja igual a 100 kg e que o coeficiente de atrito
esttico seja igual a 0,5.Exerccio 3 Um operrio deseja empurrar uma
caixa de 100 kg, sobre uma superfcie de madeira, mas no sabe quanta
fora no mnimo ter que fazer para conseguir seu intento. Para
descobrir, ele precisa obter o coeficiente de atrito esttico entre
o fundo da caixa e a superfcie. Portanto, realiza a seguinte
experincia: coloca a caixa sobre um pedao de madeira e, com seu
macaco hidrulico, vai inclinando o conjunto como vemos na figura
abaixo. Finalmente, ele mede o ngulo em que a caixa comea a
deslizar. Faz isso vrias vezes e descobre um valor mdio de 26,50,
para o ngulo. Dadas essas informaes, qual o coeficiente de atrito
entre a caixa e a madeira? 91. A UA U L A L A1111 Vamos dar uma
voltinha?A patinadora desliza sobre o gelo, braos estendidos,
movimentos leves, msica suave. De repente encolhe os braos junto ao
corpo, gira velozmente como um pio, volta a estender os braos e pra
por alguns instantes. O pblico, encantado, aplaude.Cristiana,
comovida, assiste cena pela televiso. Ento, uma pergunta lhe
ocorre. Por que sempre que giram desse jeito os patinadores
encolhem os braos e, quando querem parar, voltam a estend-los? Ser
que isso tem alguma coisa a ver com a Fsica? claro que sim. Tudo
tem a ver com a Fsica. Se ela fizer essa pergunta a um fsico, ele
provavelmente lhe dir que a patinadora encolhe os braos para girar
mais depressa, devido ao princpio da conservao do momento angular
uma angular. forma complicada de explicar uma idia razoavelmente
simples. Suponha que um corpo est girando e no h nenhuma ao externa
atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo
estiver no seu eixo de rotao, mais rapidamente ele pode girar, ou
vice-versa. Se a distribuio da massa se afastar do eixo de rotao,
ele vai girar mais lentamente. Figura 1aObserve a Figura 1a. Com os
braos encolhidos, a massa da patinadora est mais concentrada junto
ao seu eixo de rotao, por isso ela gira mais rapidamente do que com
os braos abertos. Abrindo os braos, ela distribui sua massa de
forma a afast-la ao mximo do seu eixo de rotao. Assim, o seu
movimento fica mais lento e mais fcil de parar.Uma demonstrao
experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmao. 92. A U
L A11 Figura 1b Observe a Figura 1b. Uma pessoa sentada numa
cadeira giratria, segurandodois halteres com os braos estendidos,
posta a girar. Se ela encolher os braos,trazendo os halteres para
junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento derotao aumenta. Se
ela voltar a estend-los, a rapidez diminui, sem que para issotenha
sido feita qualquer ao externa. Essa compensao entre rapidez de
rotaoe distribuio de massa explicada pelo tal princpio da conservao
do momentoangular.angular Mas essas no so as nicas caractersticas
interessantes do movimentode rotao. Um pio, por exemplo, s pode
permanecer em equilbrio en-quanto gira; as bicicletas s podem se
manter em equilbrio devido aomovimento de rotao de suas rodas.Veja
na Figura 2 que, graas rotao, o pio se mantm emp sozinho, em
equilbrio, apoiado apenas numa extremidadedo seu eixo. A prpria
Terra mantm constante a inclinao doseu eixo graas ao seu movimento
de rotao. Figura 2O movimento de rotao est sempre presente em nosso
dia-a-dia. Todos osveculos tm rodas, quase todas as mquinas tm
eixos e polias que giram ligadaspor correias e engrenagens.
Infelizmente, nem todos os aspectos da rotaopodero ser estudados
neste curso. Muitos exigem uma formulao matemticamuito complicada,
mas algumas noes bsicas necessrias sua compreensosero vistas
aqui.Rotao: um movimento peridico Imagine uma roda de bicicleta ou
a polia de um motor girando. Durante essemovimento, cada ponto da
roda ou da polia descreve circunferncias, continu-amente. Em outras
palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidasvezes pela
mesma posio. Por isso, o movimento de rotao considerado um
peridico.movimento peridico O nmero de circunferncias, ou ciclos
descritos numa unidade de tempo ciclos, a freqncia desse movimento.
Assim, se cada ponto da polia de um motordescreve 600 ciclos em 1
minuto, dizemos que essa polia gira com uma freqnciade 600 ciclos
por minuto. Nesse caso, ao invs de ciclos, costuma-se dizerrotaes.
Logo, a freqncia de 600 rpm (rotaes por minuto). Se adotarmoso SI,
a unidade de tempo deve ser o segundo Portanto, como essa polia
descrevesegundo.600 ciclos em 60 segundos (1 minuto), a sua
freqncia ser:600 ciclos = 10 ciclos / s 60 segundos 93. A U L A A
unidade ciclos/s denominada hertz cujo smbolo Hz. Portanto,
ahertz,freqncia dessa polia, no SI, de 10 Hz. fcil ver que 1 Hz =
60 rpm rpm.11Se um ponto passa vrias vezes pela mesma posio, h um
intervalo detempo mnimo para que ele passe por duas vezes por essa
posio. o intervalode tempo que ele gasta para descrever apenas uma
volta ou um ciclo Esseciclo. movimento.intervalo de tempo
denominado perodo do movimentoQual ser o perodo do movimento de
rotao da polia do nosso exemplo?Para responder essa pergunta,
vamos, inicialmente, adotar o minuto comounidade de tempo. Se a
polia descreve 600 ciclos em 1 minuto, para determinaro seu perodo,
preciso calcular o tempo que ela gasta para descrever 1
ciclociclo.Uma regra de trs simples resolve o problema:600 ciclos 1
minuto 1 ciclo x minutosLogo, teremos:1 x = min 600que o perodo do
movimento da polia, em minutos.Se fizermos o mesmo clculo
utilizando o segundo, como unidade de tempo,vamos obter:1x = s,
10que o perodo do movimento da polia, em segundos.Observe que
quando a freqncia era 600 rpm, o perodo era 1/600 min,quando a
freqncia era 10 Hz, o valor do perodo era 1/10 s. fcil ver que
ovalor do perodo sempre o inverso do valor da freqncia.
Simbolizando afreqncia com f e o perodo com T podemos representar
essa relao pelaexpresso: 11 f = ou ainda:T = Tf Sempre que o perodo
estiver em segundos a freqnciacorrespondente ser dada em
hertzhertz.Passo-a-passo Qual a freqncia e perodo do movimento dos
ponteiros de um relgio? Um relgio geralmente tem trs ponteiros: (a)
um, que marca os segundos,(b) um, que marca os minutos e (c) um,
que marca as horas. Cada um deles, temfreqncia e perodo
diferentes.a) O ponteiro dos segundos d uma volta a cada 60
segundos. Portanto, o seu perodo : T = 60 s Como a freqncia o
inverso do perodo, temos: 11 f = =Hz T 60 94. b) O ponteiro dos
minutos d uma volta por hora, ou 60 minutos, ou 3.600 A U L A
segundos. Logo, o seu perodo em segundos, : A freqncia : T = 3.600
s 11 1 1 f = = Hz T 3.600c) Com raciocnio semelhante, voc pode
obter para o ponteiro das horas: 1 T = 43.200 s e f
=Hz43.200Passo-a-passoUm satlite de telecomunicaes fica parado em
relao Terra. Qual operodo e a freqncia desse satlite?Para que o
satlite fique parado em relao Terra, preciso que eleacompanhe o
movimento de rotao do planeta. Isso significa que, quando aTerra
der uma volta em torno do seu eixo, o satlite tambm dever fazer
omesmo (veja a Figura 3). Logo, o perodo do satlite igual ao perodo
da Terra.Portanto: T = 1 dia, ou T = 24 h, ou T = 86.400 s 11A
freqncia : f = 1 rotao/dia, ou f =rotaes/hora, ou f =Hz24 86.400
rraa Te odnte vim MoMo vim ento d o S a t li t eFigura 3Velocidade
angularSuponha que um disco est girando. Numintervalo de tempo Dt
seus raios descrevem ouvarrem um determinado ngulo Dj (veja a
Fi-gura 4).A relao entre esse ngulo e o tempo gastopara descrev-lo
a velocidade angular dodisco. Matematicamente: Dj w = Dt Figura 4
95. A U L A Como no SI os ngulos so medidos em radianos, a unidade
de velocida-de angular rad/s. Assim, se um disco gira descrevendo
um ngulo de 60,11que igual a p/3 rad, num intervalo de tempo de 2
segundos, sua velocidadeangular ser: p p w = 3 = rad / s 2 6A
rigor, essa a velocidade angular mdia nesse intervalo de
tempo.Entretanto, como vamos estudar apenas movimentos de rotao em
que avelocidade angular constante, no haver, aqui, distino entre
velocidadeangular mdia e velocidade angular instantnea. Ambas sero
chamadas sim-plesmente de velocidade angular angular.Veja como se
faz para transformar graus em radianos: Relaes entre graus e
radianospSabe-se que p rad = 180, logo 1 = rad .180Ento, para
transformar um ngulo em graus para radianos basta multiplicaro seu
valor por p . 180 ppExemplo: 60 = 60 rad = rad 180 3Para
transformar radianos em graus, s inverter o procedimento
multiplicando180por p p p 180Exemplo: rad = = 60 3 3 p Se a
velocidade angular de um disco for constante, ele descreve
ngulosiguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto
para dar uma voltacompleta, que corresponde a um ngulo de 360 ou 2p
rad, ser sempre igual.Portanto, o perodo e a freqncia do disco
sero, tambm, constantes. Almdisso possvel, nessas condies,
relacionar essas trs grandezas. Ao descrever uma volta completa, o
disco varre um ngulo Dj igual a 2 p rad.Como o intervalo de tempo
Dt para dar uma volta completa igual ao perodo,T, a velocidade
angular desse disco ser: Dj2pw = w = DtT1Mas f = , portanto,
podemos escrever:T1 w = 2p w = 2 pfT 96. Movimento Circular
UniformeA U L A et r da formigui a Suponha que um disco gire com
veloci- dade angular constante. Como vimos, a fre-11ajin qncia e o
perodo tambm sero constantes.haTr Nesse caso, cada ponto desse
disco descreve um Movimento C ircular Uniforme (MCU) (MCU). Se voc
vir uma formiguinha apavorada agar- rada a um disco girando no seu
toca-discos, voc estar vendo a coitadinha descrever um movimento
circular uniforme. Isso vale tam- bm, por exemplo, para qualquer
ponto de Figura 5 uma polia ligada a um motor que gira com freqncia
de rotao constante.Como se pode equacionar o movimento circular
uniforme? Que variveisdevemos escolher para equacionar o movimento
circular uniforme, lembrandoque equacionar um movimento estabelecer
uma relao matemtica entre duasde suas variveis (posio tempo,
velocidade tempo etc.). As mesmas variveisdo MRU ou do MRUV?A
resposta no Em vez de uma equao da posio em funo do tempo, no.por
exemplo, ser mais til uma equao do ngulo descrito em funo dotempo,
uma equao angular Isso porque a posio no uma varivel muito
angular.conveniente, pois um mvel com MCU passa seguidamente pelo
mesmo ponto.Isso no acontece com o ngulo D j que esse mvel descreve
ou varre enquantose movimenta. Os seus valores nunca se repetem.
Cada vez que o mvel passapelo mesmo ponto, o valor do ngulo
acrescido de 360 ou 2 p rad.Assim, possvel estabelecer uma relao
matemtica entre esse ngulo e oinstante em que ele est sendo
descrito, porque no existem dois ngulos iguaispara instantes
diferentes. Essa equao, conhecida como equao ou lei angulardo MCU,
expressa por:j = j0 + wtVeja a deduo no quadro abaixo: Deduo da lei
angular de um MCUtLembrando a definio de velocidade angular Dj w =
(1) Dtt0 fcil ver, na figura, que D j = j - j0 (2), como D t = t -
t0 .0 Fazendo t0 = 0, temos D t = t (3), substituindo (1) e (2), em
(3), obtemos: Figura 6 j - j w = j = j0 + w t tonde j o ngulo, ou
fase, no instante t e j0 o ngulo ou fase inicial no
instanteinicial,t0 = 0. 97. A U L A Sabendo-se o ngulo descrito por
um mvel num certo instante e o raio dacircunferncia descrita, fcil
determinar a posio de um mvel em MCU.11Suponha, por exemplo, que a
nossa pobre formiguinha, ainda mais apavo-rada, est presa a uma
roda de bicicleta de 0,5 m de raio, que gira com um perodoconstante
de 2 s. Se acionarmos um cronmetro no instante em que o raio da
rodaem que est a formiguinha descreve um ngulo nulo, qual ser a
posio dacoitadinha depois de 4,2 s?Para resolver esse problema,
preciso, inicialmente, determinar o ngulodescrito por esse raio no
instante t = 4,2 s. Isso significa aplicar a lei angular doseu
movimento e calcular o valor de j para t = 4,2 s. Para determinar a
lei angular,j = j0 + wt, basta determinar o valor de w j que o
ngulo inicial j0 = 0, conformeo enunciado (o cronmetro foi acionado
quando o ngulo era zero). Lembrandoque w = 2 p/T e T= 2s obtemos w
= p rad/s. Assim, a lei angular do movimentodo ponto A :j=ptNo
instante t = 4,2 s o ngulo descrito :rad180 0Localizao da
formiguinhaj = p 4, 2 s = p 4, 2 = 756 0 sp Onde estar ento a pobre
formiguinha?5m 0, fcil, basta desenhar um ngulo de 756,r=36isto , 2
360 + 36 e a localiz-la. Veja aFigura 7. Figura 7Velocidade de um
ponto material em MCUAt agora s falamos em velocidade angular de um
ponto material. umavelocidade meio esquisita - ela sempre nos
obriga a imaginar que existe umsegmento de reta ligando o ponto ao
centro da circunferncia. Seno, nopoderamos falar em ngulos
descritos ou varridos Mas claro que, estando em varridos.movimento,
o ponto vai percorrer distncias em intervalos de tempo, isto ,
eletem tambm uma velocidade. Essa a sua velocidade (v) sem
sobrenome, a que (v),temos nos referido at aqui, no estudo dos
outros movimentos. Muitos gostamde cham-la de velocidade linear ou
escalar para distingui-la da velocidadeangular, mas isso no
necessrio pois no estamos introduzindo um novoconceito.Se
calcularmos o valor da velocidade v de um ponto material com
MCU,vamos obter sempre o mesmo resultado. Isso porque esse ponto
percorredistncias (arcos de circunferncia) iguais em tempos iguais.
Em cada ciclo, porexemplo, o percurso sempre o mesmo, o comprimento
da circunferncia. Otempo gasto para percorr-la tambm, pois, nesse
caso, o tempo o perodo (T),e o perodo no MCU constante.Alis, a
partir dessa observao, podemos obter uma expresso para ovalor de v
no MCU. Como o comprimento da circunferncia 2pr e o tempopara
descrever 1 ciclo igual ao perodo T, dividindo-se o comprimento
dopercurso, 2pr, pelo tempo gasto para descrev-lo (T), tem-se o
valor davelocidade. Logo: 2 pr v =T 98. 1 Essa expresso pode ser
escrita como v = 2 pr A U L A T 11 1 Lembrando que f = , temos T v
= 2 prf Lembrando ainda que, se: 2p w =Tpodemos achar uma relao
entre a velocidade v e a velocidade angular w desseponto material.
Basta fazer2p v = r To que nos leva a: v=wrEssas relaes nos ajudam
a perceber uma propriedade muito importante domovimento circular: a
velocidade v do ponto material depende da freqncia(ou perodo) do
movimento e do raio da circunferncia descrita, enquanto avelocidade
angular w depende apenas da freqncia (ou perodo), mas nodepende do
raio. Esse, alis, um resultado esperado j que num MCU, avelocidade
angular constante.Passo-a-passo Os pneus de um carro tm 60 cm de
dimetro, com calotas de 30 cm dedimetro. Suponha que o carro esteja
com velocidade de 108 km/h. Determine:a) a velocidade de um ponto
localizado na borda de um pneu (v p);b) a velocidade angular (wp)
desse ponto;c) a velocidade angular (wc) de um ponto na borda de
uma das calotas;d) a velocidade (vc) desse ponto;e) a freqncia e o
perodo do movimento desses pneus.a) Se os pneus no esto derrapando,
os pontos localizados nas suas bordas, em contato com o cho, tm a
mesma velocidade do carro. Portanto, a velocida- de de um ponto
localizado na borda de um pneu :vp = 108 km/h ou vp = 30 m/sb)
Lembrando que v = wr, podemos escrever:vvp = wp r wp = p r Mas,
como o ponto est na borda do pneu de 60 cm de dimetro, o raio : 60
cmr= = 30 cm = 0,3 m 230 m / s Portanto, wp = wp = 100 rad/s 0, 3
mc) Como a velocidade angular constante, wp = wc Logo, a velocidade
angular de um ponto na borda da calota :wc = 100 rad/s 99. A U L A
d) Lembrando, novamente, que v = wr, podemos escrever vc = wc rc,
onde rc o raio da calota.11 Como rc = 30 cm 2 = 15 cm = 0,15 m,
temos: vc = 100 0,15 vc = 15 m/se)Como a relao entre velocidade
angular e freqncia w = 2 pf, pode-se obter f fazendo: w f=2p
Portanto, a freqncia do movimento dos pneus :100 f= f @ 16 Hz
(aproximadamente)2p Isso significa que o pneu d 16 voltas por
segundo ou 960 rotaes por minuto.11 Sendo: T = , o perodo de
movimento do pneu : T =s f16 Movimentos circulares acoplados Os
motores, em geral, tm uma freqncia de rotao fixa que depende
daforma como eles so construdos e das suas condies de utilizao.
Entretanto, asmquinas acionadas por eles tm, quase sempre, sistemas
girantes que exigemdiferentes freqncias de rotao fornecidas, muitas
vezes, por um s motor. Paraisso, o eixo desse motor acoplado a
polias de diferente