Fisica para la Computacion

1

Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de matemáticas

“Resumen de Fisica”

Manuel Alejandro Bojorquez Cetina

Capitulos:

25.- Potencial Eléctrico

26.- Capacitancia

27.- Corriente y Resistencia

28.- Circuitos

2

INDICECarga Eléctrica

Electromagnetismo y carga eléctrica……………………………………………….4

Conductores y Aisladores…………………………………………………………....5

Ley de coulomb………………………………………………………………………..6

Conductores esféricos………………………………………………………………6 y 7

Carga cuantificada y conservada………………………………………………….7

Campos Eléctricos

Campos eléctricos…………………………………………………………………...8

Líneas de campo eléctrico………………………………………………………….8 y 9

Campo eléctrico debido a una carga puntual…………………………………….9

Carga puntual en un campo eléctrico……………………………………………. 9

Ley de Gauss

Flujo de un campo eléctrico………………………………………………………..10

Ley de Gauss………………………………………………………………………....11

Ley de gauss y Ley de Coulomb………………………………………………....11 y 12

Conductor aislado cargado………………………………………………………..13

Aplicación de la ley de Gauss simetría plana………………………………….14

Potencial Eléctrico

Potencial eléctrico…………………………………………………………………..15

Superficies equipotenciales y Cálculo del potencial a partir del campo…16

Potencial debido a una carga puntual……………………………………………17

Potencial debido a una distribución continúa de carga……………………….18

3

Potencial debido a una línea de carga……………………………………..…………18

Calculo del campo eléctrico a partir del potencial…………………………………..19

Capacitancia

Capacitancia……………………………………………………………………………...19

Calculo del campo eléctrico……………………………………………………………20

Calculo de la diferencia de potencial…………………………………………………20

Condensador de placas paralelas…………………………………………………….20

Condensadores en paralelo…………………………………………………………...21

Condensadores en serie……………………………………………………………….22

Corriente y resistencia

Densidad de corriente…………………………………………………………………..23

Corriente de arrastre…………………………………………………………………….23

Resistencia y Resistividad……………………………………………………………..24

Potencia en circuitos eléctricos………………………………………………………25

Circuitos

Trabajo, energía y fem…...……………………………………………………………26

Calculo de Corriente en un circuito de un lazo…………………………………...26

Método potencial…………………………………………………………………….…27

Resistencia en serie…………………………………………………………………….28

Potencia, Potencial y Fem……………………………………………………………..29

4

Carga eléctrica

Electromagnetismo

Los filósofos griegos de la antigüedad sabían que si se frotaba un trozo de ámbar, este atraía pequeñas partículas de paja (La fuerza de esta relación indica nuestra palabra electrón, que se deriva de la palabra griega que significa ámbar).

De estos modestos orígenes, las ciencias de la electricidad y el magnetismo se desarrollaron por separado durante siglos hasta que, en 1820, Hans Christian Oersted encontró un enlace entre ellas; una corriente eléctrica en un alambre puede desviar la aguja de una brújula magnética.

La nueva ciencia del electromagnetismo fue perfeccionada más adelante por investigadores de varios países. Uno de los mejores fue Michael Faraday., un experimentador verdaderamente ingenioso, con talento para la intuición y visualización físicas. A mediados del siglo XIX, James Clerk Maxwell expreso las ideas de Faraday en forma matemática.

Carga Eléctrica

Una carga eléctrica es una característica intrínseca de las partículas fundamentales que conforman los objetos, es decir, que automáticamente acompaña estas partículas dondequiera que existan.

La gran cantidad de carga en todo objeto de uso diario está oculto, por lo general, debido a que el objeto que tiene igual cantidad de dos clases de carga: positiva y negativa. Con esa igualdad o equilibrio de carga, se dice que el objeto es eléctricamente neutro, es decir, no tiene carga neta.

Los objetos cargados interactúan al ejercer fuerzas entre ellos. Para demostrar esto, primero cargamos una barra de vidrio al frotar uno de sus extremos con un trozo de seda. En los puntos de contacto entre la barra y la seda, diminutas cantidades de carga se transfieren de una a otra.

Supóngase que ahora suspendemos la barra cargada desde un hilo para aislarla eléctricamente de sus alrededores, de manera que su carga no pueda cambiar. Si acercamos una segunda barra de vidrio igualmente cargada, las dos barras se repelen entre sí, es decir, cada una experimenta una fuerza dirigida que la aleja de la otra barra. Pero si frotamos una barra de plástico con un trozo de piel, y la

5

acercamos a la barra de vidrio suspendida, las barras se atraen entre sí, es decir, cada una experimenta una fuerza dirigida hacia la otra barra.

En conclusión a las demostraciones las cargas con el mismo signo eléctrico se repelen entre sí, y cargas con signo eléctrico diferente se atraen. Los términos y los signos positivos y negativos para una carga eléctrica fueron escogidos de manera arbitraria por Benjamín Franklin.

La atracción y repulsión entre cuerpos cargados tienen numerosas aplicaciones industriales, entre las que se incluyen aspersión de pintura electrostática y recubrimiento de polvo, recolectores de polvo de cenizas en chimeneas, impresión de inyección de tinta sin impacto y fotocopiado.

Conductores y aisladores

En algunos materiales, como los metales, en el agua de las tuberías y en el cuerpo humano, parte de la carga negativa puede moverse libremente; a estos materiales los llamamos conductores. En otros materiales, como el vidrio, nada de esta carga se puede mover libremente; a estos materiales se les llama no conductores o aisladores.

Las propiedades de los conductores y aisladores se deben a la estructura y naturaleza eléctrica de los átomos, que están formados por protones, electrones y neutrones. Tanto los protones como los neutrones están contenidos en el núcleo central.

Las cargas de un solo electrón y de un solo protón tienen la misma magnitud, pero signo contrario. Por tanto, un átomo eléctricamente neutro tiene igual cantidad de electrones y protones. Los electrones están cerca del núcleo, porque tienen signo contrario al de los protones del núcleo y, por tanto, son atraídos a este.

Los semiconductores, como el silicio y germanio, son materiales intermedios entre conductores y aisladores. La revolución de la microelectrónica, que ha transformado nuestras vidas de tantas formas, se debe a los dispositivos construidos de materiales semiconductores.

Por último, hay superconductores, así llamados porque no presentan resistencia al movimiento de cargas eléctricas a través de ellos. Cuando una carga se mueve por un decimos que existe una corriente eléctrica en el. Sin embargo en un superconductor la resistencia no solo es muy pequeña, si no precisamente cero. Si

6

en un anillo superconductor establecemos una carga, esta dura “para siempre”, sin necesidad de una batería ni otra fuente de energía para mantenerla.

Ley de Coulomb

La Ley de Coulomb, que establece cómo es la fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales, constituye el punto de partida de la Electrostática como ciencia cuantitativa.

Fue descubierta por Priestley en 1766, y redescubierta por Cavendish pocos años después, pero fue Coulomb en 1785 quien la sometió a ensayos experimentales directos.

Entendemos por carga puntual una carga eléctrica localizada en un punto geométrico del espacio. Evidentemente, una carga puntual no existe, es una idealización, pero constituye una buena aproximación cuando estamos estudiando la interacción entre cuerpos cargados eléctricamente cuyas dimensiones son muy pequeñas en comparación con la distancia que existen entre ellos.

La Ley de Coulomb dice que "la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y tiene la dirección de la línea que las une. La fuerza es de repulsión si las cargas son de igual signo, y de atracción si son de signo contrario".

En términos matemáticos, esta ley se refiere a la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1y q2 ejerce sobre la otra separadas por una distancia r y se expresa en forma de ecuación como:

Por razones históricas la constante electrostática k suele escribirse 1/4лε o

Conductores esféricos

Si se coloca una carga excesiva sobre una capa esférica hecha de material conductor, el exceso de carga se dispersa de manera uniforme sobre la superficie (externa). Por ejemplo, si sobre una capa esférica metálica ponemos un número excesivo de electrones, estos se repelen entre si y tienden a separarse y a

7

extenderse sobre la superficie disponible hasta que se distribuyan de manera uniforme.

La carga esta cuantificada

Cualquier carga q positiva o negativa que se detecte puede escribirse como

Q=ne, n=±1 ,±2 ,±3 ,… .. ,

Donde e, la carga elemental, tiene un valor de

e= 1.60 X 10-19C.

La carga elemental e es una de las constantes importantes de la naturaleza. Tanto el electrón como el protón tienen una magnitud e.

Por lo tanto cuando una cantidad física, tal como la carga, puede tener solo calores discretos en lugar de cualquier valor, decimos que la cantidad esta cuantificada. Por ejemplo es posible hallar una partícula sin carga o con una carga de +10e o -6e; pero, ninguna con una carga de, digamos, 3.57e.

La carga se conserva

Esta hipótesis de conservación de carga, sugerida primero por Benjamín Franklin, se ha mantenido bajo minucioso examen, tanto para cuerpos cargados a gran escala como para átomos, núcleos partículas elementales

En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservación de la carga establece que no hay destrucción ni creación neta de carga eléctrica, y afirma que en todo proceso electromagnético la carga total de un sistema aislado se conserva.

En un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera, sólo existe una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga total se conserva. Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.

8

Campos Eléctricos

El campo eléctrico existe cuando existe una carga y representa el vínculo entre ésta y otra carga al momento de determinar la interacción entre ambas y las fuerzas ejercidas. Tiene carácter vectorial (campo vectorial) y se representa por medio de líneas de campo. Si la carga es positiva, el campo eléctrico es radial y saliente a dicha carga. Si es negativa es radial y entrante.

La letra con la que se representa el campo eléctrico es la E

E= Fq0

Las unidades con las que se mide el campo eléctrico son

NewtonCoulomb

=[ NC

]

Al existir una carga sabemos que hay un campo eléctrico entrante o saliente de la misma, pero este es comprobable únicamente al incluir una segunda carga (denominada carga de prueba) y medir la existencia de una fuerza sobre esta segunda carga.

Algunas características:

En el interior de un conductor el campo eléctrico es 0. En un conductor con cargas eléctricas, las mismas se encuentran en la

superficie. La dirección de E es la fuerza F que actúa sobre la carga de prueba positiva

Líneas de campo eléctrico

Michael Faraday quien introdujo la idea de campos eléctricos en el siglo XIX, considero el espacio alrededor de un cuerpo cargado lleno de líneas de fuerza. Aunque ya no damos mucha realidad a estas líneas, por lo general, ahora llamadas líneas de campo eléctrico, constituyen una buena forma de visualizar los patrones en los campos eléctricos.

La relación entre líneas de campo y los vectores de campo eléctrico es esta:

1. en cualquier punto, la dirección de una línea de campo, o de la tangente a una línea de campo curva, da la dirección de Een ese punto.

9

2. Las líneas de campo se trazan de modo que el número de líneas por unidad de área, medido en un plano perpendicular a las líneas, es proporcional a la magnitud de E.

Esta segunda relación significa que donde las líneas de campo estén más cercanas, E es grande y donde estén alejadas, E es pequeño.

El campo eléctrico debido a una carga puntual

Para encontrar el campo eléctrico debido a una carga puntual q en cualquier punto a una distancia r de la carga puntual, ponemos una carga de prueba positiva q0 en ese punto. Por la ley de coulomb, la magnitud de la fuerza electrostática que actúa sobre q0 es

F= 14 π ε0

|q|∨q0∨¿r2

¿

La dirección de Fse aleja directamente de la carga puntual si q es positiva, y se dirige directamente hacia la carga puntual si q es negativa. La magnitud del vector de campo eléctrico es:

E= Fq0

= 14 π ε0

|q|r2

La dirección de E es la misma que la de la fuerza que actúa sobre la carga de prueba positiva.

Carga puntual en un campo eléctrico

La tarea es determinar lo que ocurre a una partícula cargada cuando está en un campo eléctrico producido por otras cargas inmóviles o que se mueven con lentitud.

Lo que ocurre es que una fuerza electrostática actúa sobre la partícula, dada por

F=q E

en la cual q es la carga de la partícula (incluido su signo) y E es el campo eléctrico que otras cargas han producido en la ubicación de la partícula. La ecuación anterior nos indica que:

La fuerza electrostática Fque actúa sobre una partícula cargada ubicada en

un campo eléctrico externo E, tiene una dirección de Esi la carga q de la particula es positiva y la dirección opuesta si q es negativa.

10

Ley de Gauss

En física la ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss, establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de dicha superficie.

Un aspecto central de la ley de Gauss es una superficie cerrada hipotética llamada superficie de Gauss. Esta puede ser de cualquier forma que queramos, pero la más útil es la que asemeja la simetría del problema que se trate. Por ello es frecuente que la superficie de Gauss sea una esfera, un cilindro o alguna otra forma simétrica. “siempre debe ser una superficie cerrada”, de modo que pueda hacer distinción entre los puntos situados dentro, sobre y fuera de la superficie

Flujo de un campo eléctrico

El flujo eléctrico o flujo del campo eléctrico (Φ) es una magnitud escalar que representa el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Su unidad en el Sistema Internacional es el newton por metro cuadrado y por culombio (N·m2/C).

Una definición provisional para el flujo del campo eléctrico sobre la superficie de Gauss es:

Φ=∑ E ∙∆ A

La definición exacta del flujo del campo eléctrico que pasa por una superficie cerrada se encuentra si se deja que el área de los cuadros que se toman de dicha superficie se hagan más pequeños, aproximándose a un límite diferencial dA. Los vectores de área se aproximan entonces a un límite diferencial dA . Por tanto, la suma de la ecuación anterior se convierte en integral y tenemos, por la definición de flujo eléctrico,

Φ=∮ E ∙ dA

El círculo sobre el signo de la integral indica que la integración ha de tomarse sobre toda la superficie (cerrada). Entonces, como la integración se efectúa sobre una superficie de Gauss cerrada vemos que:

El flujo eléctrico Φ que pasa por una superficie de Gauss es proporcional al número neto de líneas de campo que pasan por esa superficie.

Ley de Gauss

11

La ley de Gauss relaciona el flujo neto Φ de un campo eléctrico que pasa por una superficie cerrada con la carga neta qenc que es encerrada por esa superficie. Nos indica que:

ε 0Φ=qenc (Ley e Gauss).

Si sustituimos en la ecuación la definición del flujo, también podemos escribir la ley de gauss como

ε 0∮ E ∙ dA=qenc

Estas ecuaciones se cumplen solo cuando la carga neta se encuentra en un vacio o en el aire, la carga neta qences la suma algebraica de todas las cargas positivas y negativas encerradas y puede ser positiva, negativa o cero.

Si qenc es positiva, el flujo neto es hacia afuera y hacia adentro si qences negativa.

Ley de Gauss y ley de Coulomb

si las leyes de Gauss y de Coulomb son equivalentes, podríamos deducir una de la otra. Aquí deducimos la ley de Coulomb a partir de la de Gauss y de algunas consideraciones de simetría.

12

La figura ilustra una carga puntual positiva q, alrededor de la cual hemos trazado una superficie de Gauss, concéntrica y esférica, de radio r. Dividamos esta superficie en áreas diferenciables dA. De la simetría de la situación, sabemos que el campo eléctrico E en cualquier punto es perpendicular a la superficie, como dA , y está dirigido hacia fuera desde el interior. Por tanto como el ángulo θentre E y dA es cero, podemos escribir de otra forma la siguiente ecuación para la ley de Gauss:

ε 0∮ E ∙ dA=ε0∮E ∙dA=qenc

O ε 0E∮dA=q

La integral ahora es simplemente la suma de todas las áreas diferenciales dA sobre la esfera, por lo que es solo el área superficial 4 π r2. Al sustituir tenemos:

ε 0E (4 π r2)=q

o bien

E= 14 π ε0

|q|r2

este es exactamente el campo eléctrico debido a una carga puntual, que encontramos al utilizar la ley de Coulomb. Por lo tanto, la ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb.

13

Conductor aislado cargado

Como se vio en el capitulo anterior los conductores son materiales en los que los portadores de carga se mueven libremente. Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la fuerza sobre los electrones libres en el interior del conductor debe desaparecer. Las consecuencias de esto son:

En el interior del conductor, . Inmediatamente afuera del conductor, el campo eléctrico es normal a su

superficie.

Además, esto permite enunciar un teorema que se puede probar mediante la ley de Gauss para los conductores aislados:

La carga en exceso en un conductor aislado debe residir completamente en su superficie externa.

La primera propiedad puede entenderse considerando una placa conductora

situada en un campo externo constante producido por un plano infinito. En equilibrio electrostático, el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero. Si éste no fuera el caso, las cargas libres se acelerarían bajo el campo. Antes de que se aplique el campo externo, los electrones se distribuyen uniformemente por todo el conductor. Cuando se aplica el campo externo, los electrones aceleran hacia la izquierda y producen una acumulación de carga negativa en la superficie izquierda y una carga positiva a la derecha.

Esta distribución de cargas crea su propio campo eléctrico interno, el cual se opone al campo eléctrico externo. El sistema logra el equilibrio electrostático cuando Ein= Eex, lo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero.

Toda carga es generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de

un conductor es cero entonces la carga neta dentro del conductor debe ser cero.

Como , el flujo a través de cualquier superficie de ese tipo es cero, y en consecuencia esa superficie no encierra carga eléctrica neta, por lo tanto la carga en exceso debe estar en la superficie exterior.

14

Además, debe notarse que un objeto cargado ejerce una fuerza apreciable sobre un conductor neutro, porque la carga superficial no está a la misma distancia del objeto

Aplicación de la ley de Gauss simetría plana

La única dirección especificada por la situación física es la dirección perpendicular al plano. Por tanto esta tiene que ser la dirección de E.

Puntos que quedan en planos paralelos están equidistantes al plano y tienen un campo E de la misma magnitud. La superficie Gaussiana que usamos tiene tapas que son dos de esos planos paralelos. El flujo a través de la superficie Gaussiana es cero. Los flujos a través de las dos tapas son iguales.

∈0 (EA+EA )=σA

Donde σA es la carga encerrada por la superficie de Gauss. Esto da

E= σ2∈0

(Hoja de carga)

Dos placas conductoras

La figura muestra una sección transversal de una placa conductora infinita y delgada, con exceso de carga positiva. Como la placa es delgada y my grande, podemos suponer, en esencia, que todo el exceso de carga esta sobre las dos caras grandes de la placa.

La carga se dispersa sobre las dos caras con una densidad de carga superficial uniforme, de magnitud σ 1 ,

esta carga crea un campo eléctrico de magnitud E=σ1∈0

Como el exceso de carga es positivo, el campo está dirigido alejándose de la placa.

Esta imagen ilustra una placa idéntica con exceso de carga negativa con la mima magnitud de densidad de carga superficial σ 1. La única diferencia es que ahora el campo eléctrico está dirigido ahora hacia la placa.

15

Como las placas son conductoras, cuando las distribuimos así, el exceso de carga sobre una placa

atrae el exceso de carga sobre la otra, y todo el exceso de carga se mueve sobre las caras interiores en dos

veces σ 1. En consecuencia, el campo eléctrico en

cualquier punto entre las placas tiene la magnitud

E=2σ 1∈0

= σ∈0

Potencial Eléctrico

Cuando una fuerza electrostática actúa entre dos o más partículas cargadas dentro de un sistema de partículas, podemos asignar una energía eléctrica potencial U al sistema. Además, si el sistema cambia su configuración de un estado inicial i a un estado final f, la fuerza electrostática realiza un trabajo w sobre las partículas. Entonces sabemos que el cambio ∆ U resultante en la energia potencial del sistema es:

∆ U=U f−U i=−w

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica.

V=Uq

Nótese que el potencial eléctrico es un escalar; no un vector.

la diferencia de potencial eléctrico ∆ V entre dos puntos cualesquiera i y f, en un campo eléctrico, es igual a la diferencia de energía potencial por carga unitaria entre los 2 puntos:

∆ V =V f −V i=U f

q−

U i

q=∆U

q

Podemos definir la diferencia de potencial entre los puntos i y f como:

∆ V =V f −V i=−W

q (Diferencia de potencial definida)

16

La unidad SI será el potencial, que viene de la ecuación anterior, es el joule por coulomb. Esta combinación se presenta con tanta frecuencia que se utiliza una unidad especial para representarla: el volt (abreviado V). Así,

1 volt= 1 joule por coulomb.

Superficies equipotenciales.

Los puntos adyacentes con el mismo potencial eléctrico forman una superficie equipotencial, que puede ser una superficie imaginaria o una superficie física real. Un campo eléctrico no realiza trabajo W sobre una partícula equipotencial. Lo cual indica que W debe ser 0 si Vf=Vi . Debido a la independencia de la trayectoria del trabajo ( y por tanto la energía potencial y potencial), W=0 para cualquier trayectoria que enlace los puntos i y f, sin considerar si esa trayectoria se encuentra por completo sobre la superficie equipotencial.

Algunas propiedades de las superficies equipotenciales se pueden resumir en:

Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales y se dirigen hacia donde el potencial disminuye.

El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo.

Dos superficies equipotenciales no se pueden cortar.

Calculo del potencial a partir del campo

Podemos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos i y f cualesquiera en un campo eléctrico, si conocemos el vector de campo eléctrico E de punta a punta de cualquier trayectoria que enlace esos puntos. Para hacer el cálculo, tenemos el trabajo realizado por el campo sobre una carga de prueba positiva cuando la carga se mueve de i a f y luego empleamos la ecuación de la diferencia de potencial definida

Si se conoce el campo eléctrico en toda una región, la ecuación

V f −V i=−∫i

f

E ∙ ds

Nos permite calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del campo.

17

Si escogemos que el potencial Vi en el punto i sea 0, entonces la ecuación anterior se convierte en

V=−∫i

f

E ∙ ds

Potencial debido a una carga puntual

Imaginemos que movemos una carga positiva de prueba q0 de un punto P al infinito. Como no importa la trayectoria que tomemos, escojamos la más sencilla, una recta que se extiende radialmente desde la partícula fija y que pasa por P hasta el infinito.

Para usar la ecuación anterior de potencial debemos evaluar el producto punto

E ∙ ds=Ecosθds

Suponiendo que el campo eléctrico Eesta dirigido radialmente hacia afuera desde

la particula fija, el desplazamiento diferencial ds de la particula de prueba a lo largo

de su trayectoria tiene la misma que E. Eso significa que en la ecuacion anterior el angulo θ=0 y cos 0=1.debido a que la trayectoria es radial, escribamos ds como dr. Entonces sustituyendo los límites de R e ∞

V f −V i=−∫R

∞

E ∙dr

A continuación hacemos Vf=0 y Vi=V. Entonces, para la magnitud del campo eléctrico en el sitio de la carga de prueba, sustituimos en la ecuación

E= 14 π ε0

q

r2

Con estos cambios, la ecuación de la diferencia de potencial nos da entonces

0−V= −q4 π ε 0

∫R

∞1r 2

dr= q4 π ε0 [ 1r ]

R

∞

=1

4 π ε0

qr

En conclusión:

Una partícula cargada positivamente produce un potencial eléctrico positivo, cargada negativamente produce un potencial negativo.

18

Para N cargas puntuales la formula cambia de la siguiente manera:

V=∑i=1

n

V i=1

4 π ε0

q i

ri

Potencial debido a una distribución continúa de carga

Cuando una distribución de carga q es continua, no podemos utilizar la suma de la ecuación anterior para hallar el potencial V en un punto P. en lugar de ello, debemos seleccionar un elemento diferencial dq, determinar el potencial dV en P debido a dq y luego integrar sobre la distribución de la carga.

dV = 14 π ε0

dqr (dq positivo o negativo)

Aquí r es la distancia entre P y dq. Para hallar el potencial V total en P, integramos para sumar los potenciales debidos a todos los elementos de carga.

V=∫ dV=¿ 14 π ε 0

∫ dqr

¿

Potencial debido a una línea de carga

Consideremos un elemento diferencial dx de la varilla, como se muestra en la figura. Este elemento de la varilla tiene una carga diferencial de :

dq= ⅄dx

Este elemento produce un potencial eléctrico dV en el punto P. si tratamos el elemento como carga puntual, podemos utilizar la siguiente ecuación para escribir el potencial dV como

dV = 14 π ε0

dqr

= 14 π ε0

⅄dx¿¿

19

Ahora encontremos el potencial total V producido por la varilla en el punto P, si integramos la ecuación anterior a lo largo de la longitud de la varilla, de x=0 a x=L, encontramos:

V= ⅄4π ε0

ln ¿¿

Calculo del campo a partir del potencial

La componente del campo en cualquier dirección es el negativo de la rapidez del cambio de potencial con distancia en esa dirección:

E s=−∂V

∂ s

Las componentes x,y,z de E se pueden hallar con:

E x=−∂V∂ x

; E y=−∂V

∂ y; E z=

−∂V∂ z

.

Cuando Ees uniforme, la ecuación anterior se reduce a:

E=−∆ V∆ s

Donde s es perpendicular a las superficies equipotenciales. El campo eléctrico es cero en la dirección paralela a una superficie equipotencial.

Capacitancia

La capacitancia es la razón de cargo obtenido por el potencial adquirido de los

conductores. Unidad de capacidad es de Coulomb por Volt y se llama como Farad

(F).

C=QV

Donde se es la capacitancia del conductor, Q es la cantidad de carga ganada y V es el potencial .

20

Calculo del campo eléctrico

Para relacionar el campo eléctrico presente entre las placas de un condensador, con la carga q en cada placa, usaremos la ley de Gauss:

ε 0∮ E ∙ dA=q

Aquí q es la carga encerrada por una superficie de Gauss y ∮ E ∙ dA es el flujo

eléctrico neto que pasa por esa superficie. En todos los casos E tendrá una

magnitud uniforme y los vectores E y dA serán paralelos. La ecuación se reduce entonces a:

q=ε 0EA

Calculo de la diferencia de potencial

La diferencia de potencial entre las placas de un condensador esta relaciona al campo Epor

V f −V i=−∫i

f

E ∙ ds

Condensador de placas paralelas

Suponiendo que las placas de un condensador con placas paralelas son tan grandes, y están tan cerca la una de la otra, que podemos despreciar el efecto marginal del campo eléctrico en los bordes de las placas, tomando E constante en toda la región entre las placas. Entonces

q=ε 0EA

La ecuación produce

V=∫−¿¿

+¿ Eds=E∫0

d

ds=Ed ¿

Si ahora sustituimos q y V en la relación q=CV, encontramos

C=ε0 A

d(condensador de placas paralelas)

21

Condensadores en paralelo

Características:

1. La carga total de los condensadores en paralelo es igual a la suma de todas las cargas.

q=q1+q2+q3+….+qn

2. La diferencia de potencial es igual en todos los condensadoresV=V1=V2=..=Vn

Debido a estas características la capacitancia equivalente es entonces:

Ceq =qv=c1+c2+…+cn

o lo que es lo mismo :

Ceq=∑j=1

n

C j (n condensadores en paralelo).

22

Condensadores en serie

Características:

1. La carga en un circuito en serie es igual para todos los condensadoresq=q1=q2=q3=….=qn

2. En un circuito en serie el potencial total del circuito es igual a la suma de las diferencias de potencial de los condensadores.

V=V1+V2+..+Vn

La capacitancia equivalente del ejemplo es entonces :

C eq=qV

= 11C1

+1C2

+1

C3

o

1Ceq

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

`Podemos fácilmente extender esto a cualquier numero n de condensadores como

1Ceq

=∑j=1

n1C j

(n condensadores en serie)

23

Densidad de corriente

La densidad de corriente eléctrica se define como una magnitud vectorial que tiene unidades de corriente eléctrica por unidad de superficie. Matemáticamente, la corriente y la densidad de corriente se relacionan como:

J= iA

Vectorialmente la podemos expresar como:

I= J ∙ A

Corriente de arrastre

Cuando en un conductor no hay una corriente que pase por él, sus electrones de conducción se mueven al azar. Cuando en el conductor existe una corriente que pase por él, estos electrones en realidad, se mueven al azar, pero ahora tienden a desplazarse con un corriente de arrastre Vd (también llamada velocidad de desplazamiento) en la dirección opuesta a la del campo eléctrico aplicado que causa la corriente. El número de portadores de carga en un tramo L de un alambre es nAL, donde n es el número de portadores por unidad de volumen. La carga total de los portadores en el tramo L, cada uno con carga e, es entonces

q=(nAL)e

La ecuación i=dqdt

indica que la corriente es la rapidez de transferencia de carga

en una sección transversal, de modo que aquí tenemos

i=qt=nALe

L/V d

=nAeV d

Despejando Vd y recordando la ecuación J=i/A, obtenemos

Vd=i

nAe= J

ne

o bien, extendida a forma vectorial

J=(ne) V d

24

Resistencia y resistividad

La característica del conductor que entre aquí es la resistencia eléctrica. Calculamos resistencia entre dos puntos de un conductor si aplicamos una diferencia de potencial V entre esos puntos y medimos la corriente i que resulta. La resistencia R es entonces

R=Vi

La unidad para la resistencia es el volt por ampere. Esta combinación ocurre con tanta frecuencia que le damos un nombre especial, ohm (símbolo Ω)

Si escribimos la ecuación i=VR

vemos que el término “resistencia” es un nombre

apropiado. Para una diferencia de potencial dada, cuanto mayor es la resistencia (a la corriente), menor es la corriente.

Si en lugar de tratar con la corriente i que pasa por el resistor, tratamos con la densidad de corriente j en el punto en cuestión. En lugar de la resistencia de un objeto tratamos con la resistividad ρ del material :

ρ=EJ

Las unidades para ρ son el ohm por metro (Ω m)

Con frecuencia hablamos de la conductividad σ de un material. Esta es simplemente el reciproco de su resistividad, de modo que

σ=1ρ

La definición de conductividad nos permite escribir la ecuación de resistividad en la forma alternativa

J=σ E

25

Potencia en circuitos eléctricos

La cantidad dq de carga dq que se mueve entre estas terminales en el intervalo de tiempo dt es igual a idt. Esta carga dq se mueve por medio de una reducción de potencial, de magnitud V, y en consecuencia su energía eléctrica potencial decrece en magnitud en la cantidad de:

dU=dqV=idtV.

La potencia P relacionada con esa conversión es la rapidez de conversión dU/dt, que es

P=iV.

Además, esta potencia P es la rapidez con la que esa energía se transfiere de la batería al dispositivo.

La unidad de la potencia, es el volt-ampere podemos escribir esto como:

1V ∙ A=(1 JC )(1 C

s )=1 Js=1W

Para un resistor o algún otro tipo de dispositivo con resistencia R, podemos combinar las ecuaciones (R=V/i) y la ecuación (P=iV) para obtener, para la rapidez de disipación de energía eléctrica debida a la resistencia, ya sea

P=i2R

O bien P= V 2

R

26

a

Circuitos

Trabajo, Energía y Fem

Se denomina fuerza electromotriz (FEM) a la energía proveniente de cualquier fuente, medio o dispositivo que suministre corriente eléctrica. Para ello se necesita la existencia de una diferencia de potencial entre dos puntos o polos (uno negativo y el otro positivo) de dicha fuente, que sea capaz de bombear o impulsar las cargas eléctricas a través de un circuito cerrado.

Un dispositivo fem realiza trabajo sobre cargas para mantener una diferencia de potencial entre sus terminales de salida. Si dW es el trabajo que el dispositivo realiza para forzar una carga positiva dq del terminal negativo al positivo, entonces la fem (trabajo por unidad de carga) del dispositivo es

ε=dWdq

El volt es la unidad SI de fe masi como de diferencia de potencial. Un dispositivo ideal de fem es aquel que carece de cualquier resistencia interna. La diferencia de potencial entre sus terminales es igual a la fem. un dispositivo real de fem tiene resistencia interna. La diferencia de potencial entre sus terminales es igual a la fem, solo si no hay corriente que pase por el dispositivo.

Calculo de la corriente en un circuito de un lazo

Método de energía

La ecuación (P=i2R) indica que, en un intervalo de tiempo dt, una cantidad de energía dada por i2R dt aparecerá en el resistor de la figura como energía térmica

R

27

Durante el mismo intervalo, una carga dq= i dt se habrá movido por la batería B, y el trabajo que la batería habrá realizado en esta carga, de acuerdo con la ecuación, es

dW=εdq= ε i dt

Del principio de conservación de energía, el trabajo de la bacteria (ideal) debe de ser igual a la energía térmica que aparece en el resistor:

ε id t=i2Rdt.

Esto nos da

ε=iR

Método de potencial

Supóngase que comenzamos en cualquier punto del circuito de la figura anterior y mentalmente avanzamos alrededor del circuito en cualquier dirección, sumando algebraicamente las diferencias de potencial que encontremos. Entonces, cuando regresemos al punto de partida debemos asimismo haber regresado a nuestro potencial inicia.

Regla del lazo: la suma algebraica de los cambios en el potencial, encontrados en un recorrido completo de cualquier lazo de un circuito debe ser cero.

En la figura anterior empecemos en el punto a, cuyo potencial es Va y mentalmente caminemos en el sentido de las manecillas del reloj, alrededor del circuito hasta que estemos de regreso en a. como hicimos un recorrido completo de lazo, nuestro potencial inicial debe ser igual a nuestro potencial final es decir,

Va+ε-iR= Va

El valor Va se cancela de esta ecuación, que se convierte en

ε−iR=0

Al despejar I de esta ecuación obtenemos el mismo resultado, i=εR

, que el método

de energía. Si aplicamos la regla del circuito a un recorrido completo en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, la regla nos da

−ε+ iR=0

Regla de la resistencia: para un movimiento por una resistencia en la dirección de la corriente, el cambio de potencial es –iR; en la dirección opuesta es +iR.

28

Regla de la FEM: para un movimiento por un dispositivo ideal de fem en la dirección de la flecha fem, el cambio de potencial es +ε ; en la dirección opuesta es –ε .

Para el caso de lazos múltiples

Regla de la unión: La suma de las corrientes que entran a cualquier unión (también llamada nodo) deber ser igual a la suma de las corrientes que salen de esa unión). Con frecuencia esta regla es llamada regla de unión de kirchhoff (o ley de corriente de kirchhoff)

Resistencia en serie

Características:

Cuando se aplica una diferencia de potencial V en resistencias conectadas en serie, las resistencias tienen corrientes i idénticas.

La suma de las diferencias de potencial en las resistencias es igual a la diferencia de potencial aplicada.

Por lo tanto podemos deducir las siguientes ecuaciones:

i= εReq

(donde Req es la suma de las resistencias).

Por lo tanto la extensión a n resistencias es

Req=∑j=1

n

R j

NOTAS:

Para hallar la diferencia de potencial entre cualquier dos puntos en un circuito, comencemos en un punto y recorramos el circuito hasta el otro, siguiendo cualquier trayectoria y sumemos algebraicamente los cambios de potencial que encontremos.

29

Potencia, potencial y fem.

La rapidez neta P de transferencia de energía del dispositivo de fem a los portadores de carga está dada por la ecuación:

P=iV,

donde V es el potencial en los terminales de dispositivo fem. De la ecuación anterior podemos sustituir V=ε−ir para hallar:

P=i(ε−ir ¿=iε−i2r

Vemos que el término i2res la rapidez Pr de transferencia de energía a energía térmica dentro del dispositivo fem:

Pr=i2r (rapidez de disipacion interna)

Entonces el termino iε debe ser la rapidezPfem con la que el dispositivo fem transfiere energía a los portadores de carga y a energía térmica interna. Por consiguiente.

Pfem=iε

Resistencia en paralelo

Características

Cuando se aplica una diferencia de potencial V en resistencias conectadas en paralelo, todas las resistencias tienen la misma diferencia de potencial V.

Las resistencias conectadas en paralelo pueden ser sustituidas con una resistencia equivalente Req ,que tiene la misma diferencia de potencial V y la misma corriente total i que las resistencias reales.

Por tanto se pueden deducir las siguientes ecuaciones:

ieq=VReq

1Req

=∑j=1

n1R j

(n resistencias en paralelo)