INDICE DE CONTENIDOS:Resumen..7Introduccin....8Objetivos.8Marco
terico..9Oscilaciones9Algunas aplicaciones y usos del movimiento
oscilatorio.......9Tipos de oscilaciones10Oscilaciones
libres10Condiciones para las oscilaciones libres...10Caractersticas
de las oscilaciones libres...11Leyes del pndulo
simple..12Movimiento oscilatorio armnico.13Movimiento oscilatorio
armnico simple.15Caractersticas del movimiento oscilatorio armnico
simple...16Ecuaciones del movimiento oscilatorio armnico
simple17Elementos caractersticos de un movimiento armnico
simple19Posicin de equilibrio19Posicin (x)...20Amplitud
(A).21Periodo (T)21Frecuencia de las oscilaciones..21Frecuencia
cclica o angular..22Ecuacin de la aceleracin y la velocidad del
movimiento armnico simple...23Velocidad en funcin de la
posicin.....25Aceleracin en funcin de la posicin..26Ecuacin de la
Velocidad instantnea......27Velocidad mxima28Velocidad
minina..28Pndulo simple..29Leyes del Pndulo.32Ley del
iscrono...33Ley de las longitudes.33Ley de la aceleracin de la
gravedad36El pndulo fsico...37Pndulo de torsin.39Oscilaciones
forzadas y resonancias.40
INDICE DE FIGURAS:Ilustracin 1...11Ilustracin 2...11Ilustracin
3...13Ilustracin 4...14Ilustracin 5...14Ilustracin 6...16Ilustracin
7...17Ilustracin 8...18Ilustracin
9...18Ilustracin10..19Ilustracin11..20Ilustracin12..20Ilustracin13..23Ilustracin14..24Ilustracin15..26Ilustracin16..29Ilustracin17..30Ilustracin18..31Ilustracin19..32Ilustracin20..34Ilustracin21..34Ilustracin22..37Ilustracin23..39Ilustracin24..41
I. RESUMEN:En la realizacin de este informe se analizarn
fenmenos que abarcan las oscilaciones armnicas en un sistema.
Llegando a conocerlas, sus ecuaciones, caractersticas y
aplicaciones para un mejor uso en la ciencia. Conoceremos los tipos
de movimientos diferenciando un movimiento oscilatorio de un
movimiento peridico. Los tipos de movimiento tales como: la
amplitud y la constante de los resortes y variacin de la posicin.
Este laboratorio se realizo por etapas las cuales sern detalladas
ms adelante.
II. ABSTRACT In the accomplishment of this experience there will
be analyzed phenomena that include the harmonic oscillations in a
system; This in this case to working is that of mass - spring. By
means of whom we will analyze and demonstrate the law of Hooke for
this system. We will analyze the behavior of this system when; by
means of the tools offered in the laboratory, we change factors
that must be had in bill at the moment of being employed at this
type of movement you fell like: the extent and the constant of the
springs and variation of the position. This laboratory was realized
for stages which will be detailed later on.
III. INTRODUCCIN:En la naturaleza encontramos diversas formas de
movimiento mecnico, pero uno de los que se encuentra ampliamente
difundida en nuestro entorno es el movimiento vibratorio y
oscilatorio, un ejemplo directo de este tipo de movimiento puede
ser el vaivn de un pndulo; o el vaivn de una rama de un rbol por
accin del aire, todos estamos familiarizados con otros ejemplos de
oscilaciones: las vibraciones de las cuerdas de una guitarra, de
nuestras cuerdas bucales cuando hablamos. Tambin estamos enterados
sobre oscilaciones de otra naturaleza, en las ondas
electromagnticas los vectores de campo elctrico y magntico oscilan,
en los circuitos elctricos pueden tener voltajes y corrientes
oscilantes, etc. A pesar de que mencionamos diferentes ejemplos de
oscilaciones de otra naturaleza; el aparato matemtico que los
describe es el mismo. Esto es de gran utilidad ya que si nosotros
podemos describir cuantitativamente las oscilaciones tendremos la
posibilidad de extender muchas resultados, por ejemplo a los
circuitos oscilantes; a las vibraciones de los tomos y molculas en
un slido. En esto radica la importancia de preocuparnos y estudiar
las oscilaciones.Conocer el movimiento oscilatorio y sus elementos
es un requisito indispensable para hacer una buena descripcin de
las ondas de diversa ndole: mecnica o electromagntica.
VI. OBJETIVOS: Conocer que en la naturaleza estn difundidos los
movimientos vibratorios u oscilatorios Diferenciar entre movimiento
peridico y oscilatorio; adems e interpretar lo que es frecuencia y
periodo de las oscilaciones. Reconocer que el movimiento armnico
simple es el movimiento oscilatorio ms sencillo de describir tanto
cualitativamente como cuantitativamente. Conocer las caractersticas
cinemticas, dinmicas y energticas en un movimiento armnico simple.
Estudiar y conocer el movimiento pendular.
V. MARCO TEORICO:1.- OSCILACIONES:Oscilacin, del latn
oscillatio, es la accin y efecto de oscilar. Este verbo hace
referencia a los movimientos de vaivn a la manera de un pndulo o,
dicho de ciertos fenmenos, a la intensidad que crece y disminuye de
forma alternativa con mayor o menor regularidad. Tambin se conoce
como oscilacin a cada uno de los vaivenes de un movimiento
oscilatorio. En diversos campos cientficos, la oscilacin es la
variacin, perturbacin o fluctuacin de un sistema en el tiempo. Se
conoce como oscilador armnico al tipo de sistema que, cuando se
deja fuera de su posicin de equilibrio, regresa hacia ella mediante
oscilaciones sinusoidales Para la fsica la oscilacin es un
movimiento que repite de un lado a otro partiendo de una posicin de
equilibrio. Un ciclo es el recorrido que supone ir desde una
posicin a la otra y luego regresar, de manera tal que se pasa dos
veces por la posicin de equilibrio. La frecuencia de la oscilacin
es el nmero de ciclos por segundos, que se mide en hercios (Hz).2.-
ALGUNAS APLICACIONES Y USOS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO: La
oscilacin forzada del pistn sobre el cilindro del motor de un
automvil. La oscilaciones de los electrones en los cables
conductores derivados a un osciloscopio se muestran la razn de
denominarse corriente alterna. Las oscilaciones de las partculas en
un slido que ha sido golpeado En medicina la respuesta de nuestro
corazn o de la cabeza a ciertos estmulos elctricos; registran
seales vibratorias en una pantalla, placa o papel
(electrocardiograma, electroencefalograma) que sirven para
analizar, diagnstico clnico. Existen otras aplicaciones en radio,
televisin, telefona celular, etc.
3.- TIPOS DE OSCILACIONES:3.1. Oscilaciones libres Las
oscilaciones libres, las cuales son gobernadas por la accin de las
fuerzas internas, nos sirven de modelo de comparacin a muchos
fenmenos que suceden en la naturaleza as por ejemplo tenemos:Las
comunicaciones entre nosotros se hacen a travs de movimientos
oscilatorios (vibraciones de las partculas) que al incidir en
nuestro cuerpo este oscila o vibra.En otros casos cuando calentamos
el extremo de una varilla de fierro, las oscilaciones moleculares
se hacen ms intensas de tal modo que aumenta la temperatura en toda
la varilla.Las oscilaciones libres con sus caracterstica
constituyen un modelo fsico aproximado para explicar los fenmenos
ssmicos, y tambin la ondas electromagnticas dentro de las cuales
destacan las ondas de radio, tv.etc.3.1.1. Condiciones para las
oscilaciones libresPara que en un sistema se produzca oscilaciones
libres deben cumplirse dos condiciones:1. Al desplazarse el cuerpo
de su posicin de equilibrio. En el sistema debe surgir una fuerza
dirigida hacia dicha posicin y por lo tanto tiende a volver el
cuerpo en ella.2. El rozamiento debe ser suficientemente pequeo en
el sistemas de lo contrario las oscilaciones se amortiguan.Grafico
de sismo El estudio de los sismos se realiza con un sismgrafo, el
cual aproximadamente desarrolla oscilaciones libres.3.1.2.
Caractersticas de las oscilaciones libres: En consecuencia las
oscilaciones libres se caracterizan por ser ideales y peridicas es
decir se repiten en iguales intervalos de tiempo por ejemplo
tenemos:Ilustracin 1 Periodo de oscilaciones del bloque
3.2. PNDULO SIMPLE (se profundizara en la pgina 29) Ilustracin
2: Periodo de oscilaciones de un pndulo El pndulo simple depende de
la longitud y gravedad
El pndulo simple es aquel dispositivo que est constituido por
una masa de pequeas dimensiones, suspendida de un hilo inextensible
y de peso despreciable. Cuando la masa se desva hacia un lado de su
posicin de equilibrio y se abandona, oscila alrededor de esa
posicin con un movimiento oscilatorio y peridico, cuya trayectoria
es casi una lnea recta 3.2.1. Leyes del pndulo simple El perodo no
depende de la masa que oscila. El perodo es directamente
proporcional a la raz cuadrada de la longitud del pndulo. El perodo
es inversamente proporcional a la raz cuadrada de la aceleracin de
la gravedad.Qu diferencia existe entre las oscilaciones libres del
pndulo y el bloque?La diferencia se encuentra en lo siguiente:1. La
trayectoria del bloque es rectilnea y la del pndulo es curvilnea.2.
El tipo de fuerza interna que sobre el bloque acta es la fuerza
elstica () que resulta directamente proporcional del
desplazamiento.Mientras que sobre el pndulo acta una componente
proporcional a la funcin seno del desplazamiento angular () .A
estas fuerzas las podemos llamar fuerzas recuperadoras).Cmo
caracterizamos estas diferencias entre oscilaciones libres?Las
oscilaciones libres realizadas en trayectoria rectilnea y cuya
fuerza interna es proporcional al opuesto de la posicin de la masa
oscilante se les denomina Oscilaciones armnicas. Porque
matemticamente obedecen a una ley representada por una funcin o
.
Ilustracin 3 Movimiento armnicoPara la descripcin grafica de un
movimiento armnico utilizamos las funciones trigonomtricas seno o
coseno ya que estas son funciones peridicas
Las parte grafica de la funcin seno y coseno en un intervalo
representa un periodo o ciclo; esta representa una variacin
completa en una funcin senoidal o cosenoidal.
3.2. Movimiento oscilatorio ArMONICO:Los fenmenos oscilatorios o
vibratorios se presentan en fsica con mucha frecuencia. Ejemplos de
movimientos oscilatorios son los pndulos de los relojes, que
oscilan de izquierda a derecha, o los objetos colgados de un
muelle, que oscilan arriba y abajo, o incluso otros como las
vibraciones de las molculas en el interior de los cuerpos.En todos
los casos, la partcula material realiza un movimiento de vaivn, con
una cierta amplitud, en torno a un punto que tomamos como origen
llamado posicin de equilibrio. El movimiento oscilatorio cuyo
origen se encuentra en el punto medio de su trayectoria (lo que
implica que las amplitudes a ambos lados del origen son iguales) se
conoce como movimiento vibratorio. En la naturaleza se observa
tambin oscilaciones no mecnicas como pueden ser los cambios de
temperatura a lo largo del da, que oscilan en torno al valor medio.
En este caso no oscila una partcula sino el valor de una cierta
magnitud fsica, como la temperatura. Estas oscilaciones no mecnicas
se visualizan con ms dificultad que las oscilaciones mecnicas, por
lo que utilizaremos en general un modelo mecnico. Cuando una
partcula realiza un movimiento oscilatorio, las magnitudes que lo
caracterizan (posicin, velocidad, aceleracin, etc.) se repiten a
intervalos regulares de tiempo. Decimos entonces que el movimiento
oscilatorio es peridico y al tiempo de repeticin se le llama perodo
(T). Hemos de tener en cuenta que hay movimientos peridicos como el
que realiza la Luna alrededor de la Tierra o el de la Tierra
alrededor del Sol, que no son oscilatorios porque la partcula no
toma valores mximos y mnimos en torno a la posicin de
equilibrio.
Ilustracin 4:
Tres ejemplos de movimiento vibratorio
Se llama oscilacin o vibracin completa al movimiento realizado
durante un perodo, es decir, una ida y una vuelta, tal y como se
indica en la figura:Ilustracin 5:
El movimiento indicado por las cuatro flechas representa una
vibracin completa o ciclo.Una magnitud importante en un movimiento
oscilatorio peridico es su frecuencia, que se define como el nmero
de oscilaciones que realiza la partcula en la unidad de tiempo. Se
mide en s-1 o hertzios (Hz) en honor al fsico alemn Heinrich Hertz
(1857-1894).
Entre los movimientos oscilatorios peridicos, el ms importante y
al mismo tiempo ms habitual es el movimiento vibratorio armnico
simple (m.a.s.). Un movimiento es armnico cuando la funcin que lo
representa es armnica como es el seno o el coseno. Podemos dar una
primera definicin de m.a.s. como un movimiento peridico, vibratorio
y que puede ser representado por una funcin armnica.
3.2.1. MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMNICO SIMPLE.
Un cuerpo describe un movimiento peridico cuando las variables
de posicin, x, velocidad v y aceleracin a de su movimiento toman
los mismos valores despus de un intervalo de tiempo cte. denominado
periodo. Ej.: Movimiento circular uniforme, el pndulo o un cuerpo
unido a un muelle. En los dos ltimos casos el movimiento de vaivn
se produce sobre la misma trayectoria (arco o recta). Decimos que
es un movimiento oscilatorio o vibratorio.Movimiento oscilatorio o
vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a
uno y otro lado de su posicin de equilibrio repitiendo para cada
intervalo de tiempo sus variables cinemticas.Oscilacin es lo mismo
que vibracin. Sin embargo se suele hablar de vibracin para designar
oscilaciones rpidas o de alta frecuencia.Cualquier cuerpo que sea
apartado de su posicin de equilibrio estable tender a recuperar el
equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa
posicin.
Ejemplo: Un cuerpo suspendido de un hilo permanecer en
equilibrio estable en la vertical. Si es apartado de la posicin de
equilibrio y se suelta oscilar alrededor de su posicin de
equilibrio. Se detendr por la friccin del aire.Supongamos un muelle
que se aparta de su posicin de equilibrio estable. Sobre l aparecen
fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su posicin de
equilibrio.
Ilustracin 6:
En este caso la es la ley de Hooke.
=-k k es una cte. caracterstica de cada muelle (N/m)
Una partcula tiene un movimiento oscilatorio armnico simple
(MAS) cuando oscila bajo la accin de fuerzas restauradoras que son
proporcionales a la distancia respecto de la posicin de equilibrio
y cuyo sentido es hacia la posicin de equilibrio. Cualquier cuerpo
con MAS se le llama oscilador armnico.
3.2.1.1. Caractersticas de un movimiento armnico simple:
Vibracin u oscilacin: Distancia recorrida por la partcula en un
movimiento completo de vaivn. Centro de oscilacin, O: Punto medio
de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas
por la partcula mvil Elongacin, y. Distancia que en cada instante
separa la partcula mvil del centro de oscilacin O, tomado como
origen de las elongaciones. Coordenada de la posicin de la partcula
en un momento dado. Consideramos positivos las valores de esta
coordenada a la derecha del punto O y negativos a la izquierda.
Amplitud A, valor mximo de la elongacin. Periodo T, tiempo empleado
por la partcula en efectuar una oscilacin completa. Frecuencia, f
o, nmero de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa
del periodo f = 1/T ( Hz) Pulsacin o frecuencia angular o velocidad
angular, w, N de periodos comprendidos entre 2 unidades de
tiempo.
3.2.1.2. Ecuacin fundamental del movimiento armnico simple:
En la figura se ha representado la posicin x de un pndulo que
oscila despus de haber sido desplazado un pequeo ngulo en funcin
del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.
Ilustracin 7:
Si lo hacemos oscilar desde su posicin vertical con un pequeo
impulso obtendremos una grfica similar solo que para t = 0, x = 0.
La primera grfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno.
Ambas grficas representan el mismo movimiento con la nica
diferencia de la posicin inicial de oscilacin.
Si comparamos el movimiento del pndulo con el de una partcula
que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la
amplitud de la oscilacin y el mismo periodo (es decir, ajustamos la
w de la partcula para que coincida el T).
Ilustracin 8:
sin nmeroPara un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que
su posicin es x = A cos (wt).
Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las
posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuacin
describe los dos movimientos.
Ilustracin 9:En general, si la elongacin no es A, basta con
introducir una fase que ajuste la posicin inicial x = A cos (wt +
). Para t = 0 x = A cos
Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.En general,
la ecuacin del movimiento armnico simple la escribiremos
x =A cos (wt +) wt + fase del movimiento. Al cabo de una
oscilacin completa la fase aumenta en 2 rad y vuelve a la misma
posicin cos (wy + )= cos (wt + + 2) Cte. de fase o fase inicial. Si
t = 0 se obtiene la posicin inicial xo= A cos
La ecuacin puede escribirse indistintamente en funcin del seno o
del coseno x = A sen (wt+)
3.2.1.3. Elementos caractersticos de un M.A.S.Entre ellos
tenemos:a. Posicin de equilibrio (P.E.):Es aquella posicin donde la
fuerza resultante es nula (fR = o) y adems la rapidez del cuerpo
oscilante es mxima y a partir de esta posicin se definen las
diversas posiciones del cuerpo oscilante en cualquier instante de
tiempo Ilustracin 10:
Tenga en cuenta que las posiciones del cuerpo que oscila se
definen a partir de la P.E. por comodidad matemtica ya que en
realidad tambin se pueden definir a partir de otra posicin
diferente.Cuando el plano de oscilacin es horizontal coinciden la
deformacin del resorte y la posicin del bloque, es decir = x pero,
si el plano de oscilacin es inclinado, se cumple lo mismo?
b. Resorte deformado una longitud x0Ilustracin 11:
c. Resorte deformado una longitud x1Ilustracin 12:
En este caso no coincide la posicin de equilibrio (P.E.) con la
posicin donde el resorte est sin deformar, es por ello en ste
ejemplo no coincide la posicin con la deformacin por ello ser
importante en estos casos, antes de analizar las oscilaciones,
definir previamente su posicin de equilibrio
d. Posicin (x)Es aquel vector que se traza a partir del origen
de coordenadas, que usualmente lo hacemos coincidir con la posicin
de equilibrio (P.E.) hasta el objeto. Este vector nos define la
posicin del objeto en un instante cualquiera respecto a la posicin
de equilibrio (P.E.)e. Amplitud (A) Es el mximo alejamiento del
cuerpo que oscila respecto a la posicin de equilibrio, esto es
equivalente a que el objeto oscilante llega a uno de los extremos.
Por eso planteamos xmax = A f. Periodo (T):Es el tiempo que demora
un vaivn u oscilacin. Es constante en un M.A.S. el periodo tambin
se suele definir como el mnimo intervalo de tiempo que debe
transcurrir para que el cuerpo oscilante exhiba las mismas
caractersticas cinemticas.g. Frecuencia de las oscilaciones (f):Es
una magnitud fsica escalar que nos permite determinar el nmero de
oscilaciones libres en un cierto intervalo de tiempo,
matemticamente se define por f = Unidades: < > Hertz (Hz)
Siendo el nmero de oscilaciones o vaivenes: N. f =
h. Frecuencia cclica o angular ( )Es una magnitud fsica escalar
que nos expresa el nmero de oscilaciones que se desarrollan en un
intervalo de tiempo igual a 2s. Y matemticamente queda expresado
por = =2nfUnidad: rad/S 3.2.1.4. Fase de las oscilaciones armnica
simple: Llamada simplemente fase, y viene a ser la expresin que
sigue al signo de seno o coseno. En los cursos de matemticas es
llamado argumento. Por lo dicho si la posicin de un cuerpo que
experimenta un M.A.S. viene dada por x = Asen (t + 0)
Entonces su fase ser t + 0 la cual se expresa en radianes (rad).
En las matemticas (trigonometra) a la fase se le denomina
argumento. Conocida la fase para instante dado y la amplitud de las
oscilaciones, podemos definir para dicho instante la posicin del
cuerpo oscilante. No solamente podemos determinar la posicin, sino
tambin su velocidad y aceleracin, ya que estas magnitudes como
sabemos en el M.A.S. varan armnicamente. Con esto establecemos que
al contar con la fase (t + 0) y conocer la amplitud (A) se puede
definir el estado mecnico del sistema oscilante en cualquier
instante. Fase inicial 0Viene a ser la fase del M.A.S. evaluada en
el instante inicial, es decir t0 ella nos permite determinar las
condiciones inciales del M.A.S. es decir la posicin (x) y la
velocidad (v) en t=0. Grficamente podemos deducir el valor de la
fase inicial (0) si utilizamos un movimiento circunferencial
uniforme (M.C.U.) de radio R=A, cuyo centro est por encima de la
posicin de equilibrioIlustracin 13:
En la figura el ngulo de fase inicial (0) se mide a partir da le
vertical (OP) en sentido antihorario.1. Si el M.A.S. empieza en x =
0 (P.E.) hacia la derecha 0 = 0 rad2. Si el M.A.S. empieza en x = 0
(P.E.) hacia la izquierda 0 = rad3. Si el M.A.S. empieza en x =
+A/2, 0 = rad4. Si el M.A.S. empieza en x = +A, 0 = rad5. Si el
M.A.S. empieza en x = -A, 0 = rad6. 3.2.1.5. ECUACION DE LA
VELOCIDAD Y LA ACELERACION EN EL M.A.S:Estas ecuaciones las podemos
obtener en forma prctica, tambin haciendo uso del M.C.U.
Ilustracin 14:
En el mismo intervalo de tiempo t, el cuerpo que experimenta el
M.A.S. y la partcula que desarrolla el M.C.U. presentan el mismo
desplazamiento horizontal. Esto nos permitir plantear que la
velocidad y aceleracin del cuerpo que desarrolla el M.A.S. son
iguales a la componente horizontal de la velocidad y aceleracin de
la partcula que experimenta el M.C.U.La velocidad del oscilador
luego de t segundos es v y la componente horizontal de la partcula
que realiza movimiento circunferencial uniforme es Acos (o + ) de
lo cual se desprende que
, como .
a. Velocidad en funcin de la posicin ( :Usando Del grafico
anterior:
Reemplazando:
A partir de esta expresin podemos determinar la velocidad mxima
(max), la cual se obtiene en la posicin de equilibrio (x=0).mx
mx
Ahora determinaremos la aceleracin, en el movimiento
circunferencial uniforme solo hay aceleracin centrpeta la cual como
sabemos se calcula con cp =R = A.luego, graficando tendremos:
Ilustracin 15:
El cuerpo unido al resorte tiene una aceleracin dirigida hacia
la izquierda y la partcula que realiza movimiento circunferencia
uniforme tiene la componente horizontal dada por H = cp sen (0 + )
hacia la izquierda, dichas aceleraciones deben ser iguales.cpSiendo
cp y al reemplazar se obtiene:
b. Aceleracin en funcin de la posicin ( :Se tiene el factor ,
que no es otra cosa que la posicin del cuerpo que experimenta
M.A.S. entonces tenemos:
A partir de esta expresin, se tendr la mxima aceleracin si la
posicin es mxima, es decir:mx = Amx Demostrando la velocidad y
aceleracin:Luego de haber determinado las ecuaciones de la
velocidad y de la aceleracin en el M.A.S. con ayuda del M.C.U.,
podemos pasar a demostrarlas, pero haciendo uso de las derivadas ya
que dichas magnitudes se definen con dicho operador matemtico. La
ecuacin de posicin de un cuerpo que experimenta M.A.S. en un
instante cualquiera, como ya lo hemos planteado queda expresado
por:
A partir de esta ecuacin podemos hallar la ecuacin de la
velocidad y aceleracin instantnea.c. Ecuacin de la velocidad
instantnea:La velocidad es la variacin de la posicin respecto al
tiempo y se obtiene derivando la posicin respecto al tiempo
Donde Velocidad mxima:Planteamos que debe ser mximo, se sabe que
mx = 1 mx Ecuacin de la aceleracin instantnea:Al ser el M.A.S. un
movimiento rectilneo, no posee aceleracin normal. As, la aceleracin
total coincide con la aceleracin tangencial y, por tanto, ya que la
aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto
al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin de la
velocidad respecto al tiempo.
d. Aceleracin mxima:Se debe tener en cuenta que el mximo valor
de la expresin es 1.mx
Cuando un cuerpo o partcula realiza oscilaciones armnicas, su
posicin (coordenadas), su rapidez y su aceleracin tambin cambian
armnicamente. Como se ha demostrado la velocidad del cuerpo
oscilante esta expresada por la funcin coseno, mientras que la
posicin y la aceleracin por la funcin seno. Esto nos permite
plantear, de acuerdo a criterios trigonomtricos, que las
oscilaciones de la velocidad adelantan en fase a las oscilaciones
de la posicin en , mientras que las oscilaciones de la aceleracin
adelantan en fase a las oscilaciones de la posicin en rad. Ahora lo
establecido lo podemos expresar grficamente sobre sistemas de
coordenadas.Ilustracin 16:
3.2.1.6. PNDULO SIMPLEUn pndulo simple se define como una
partcula de masamsuspendida del punto O por un hilo inextensible de
longitudly de masa despreciable.Si la partcula se desplaza a una
posicin(ngulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta,
el pndulo comienza a oscilar.Ilustracin17:El pndulo describe una
trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radiol.
Estudiaremos su movimiento en la direccin tangencial y en la
direccin normal.Las fuerzas que actan sobre la partcula de masamson
dos el pesomg La tensinTdel hilo
Descomponemos el peso en la accin simultnea de dos
componentes,mgsen en la direccin tangencial ymgcos en la direccin
radial. Ecuacin del movimiento en la direccin radialLaaceleracin de
la partculaesan=v2/ldirigida radialmente hacia el centro de su
trayectoria circular.La segunda ley de Newton se escribeman=T-mg
cosConocido el valor de la velocidadven la posicin angular podemos
determinar la tensinTdel hilo.La tensinTdel hilo es mxima, cuando
el pndulo pasa por la posicin de equilibrio,T=mg+mv2/lEs mnima, en
los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero,T=
mgcos0 Principio de conservacin de la energaEn la posicin=0el
pndulo solamente tiene energa potencial, que se transforma en
energa cintica cuando el pndulo pasa por la posicin de
equilibrio.Ilustracin18: Comparemos dos posiciones del pndulo:En la
posicin extrema=0, la energa es solamente potencial.E=mg(l-lcos0)En
la posicin, la energa del pndulo es parte cintica y la otra parte
potencial
La energa se conservav2=2gl (cos-cos0)La tensin de la cuerda
esT=mg(3cos-2cos0)La tensin de la cuerda no es constante, sino que
vara con la posicin angular.Su valor mximo se alcanza cuando=0,el
pndulo pasa por la posicin de equilibrio (la velocidad es mxima).
Su valor mnimo, cuando=0(la velocidad es nula). Ecuacin del
movimiento en la direccin tangencialLa aceleracin de la partcula
esat=dv/dt.La segunda ley de Newton se
escribemat=-mgsenLarelacinentre la aceleracin tangencialaty la
aceleracin angular esat=l. La ecuacin del movimiento se escribe en
forma deecuacin diferencial(1)Medida de la aceleracin de la
gravedad
3.2.1.6.1. LEYES DEL PNDULO:1) Ley de las masas:Suspendamos de
un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de
coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de
masas y sustancias diferentes. Por ejemplo: una piedra, un trozo de
hierro y un corcho. Saqumoslo del reposo simultneamente.
Verificaremos que todos tardan el mismo tiempo en cumplir las
oscilaciones, es decir, que todos van y vienen simultneamente. Esto
nos permite enunciar la ley de las masas:Ilustracin19:
Las tres ms de la figura son distintas entre s, pero el periodo
(T) deoscilacin es el mismo. (T1=T2=T3)Los tiempos de oscilacin de
varios pndulos de igual longitud son independientes de sus masas y
de su naturaleza,o tambinEl tiempo de oscilacin de un pndulo es
independiente de su masa y de su naturaleza.2) Ley del
iscrono:Dispongamos dos de los pndulos empleados en el experimento
anterior. Separmoslo de sus posiciones de equilibrio, de tal modo
que los ngulos deamplitud sean distintos (pero no mayores de 6 o 7
grados).Dejmoslo libres: comienzan a oscilar, y notaremos que,
tambin en este caso, los pndulos van y vienen al mismo tiempo. De
esto surge la llamada Ley del isocronismo (iguales
tiempos):Parapequeos ngulos de amplitud,los tiempos de oscilacin de
dos pndulos de igual longitud son independientes de las
amplitudes,o tambin:El tiempo de oscilacin de un pndulo es
independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequea
amplitud son iscronas).La comprobacin de esta ley exige que los
pndulos tengan la misma longitudpara determinar que en efecto los
pndulos son iscronos*, bastarverificar que pasan simultneamente por
la posicin de equilibrio. Se llegara notar que las amplitudes de
algunos de ellos disminuyen ms que las de otros, pero observaremos
que aquella situacin subsiste.Si disponemos de un buen cronmetro,
podemos aun mejorar los resultados de esta experimentacin.
Procedemos a tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o
100 oscilaciones. Dividiendo esos tiempos por el nmero de
oscilaciones obtendremos el de una sola (en casos de mucha precisin
se llegan a establecer tiempos para 1.000, lo que reduce el error
por cada oscilacinDe este modo puede verificarse que en rea1id~ se
cumple la ley.(*)Iscronos tiempos iguales.3) ley de las
longitudes:Suspendamos ahora tres pndulos cuyas longitudes
sean:Pndulo A = (10cm) 1 dm.Pndulo B = (40 cm) 4 dm.Pndulo C = (90
cm) = 9 dm.Ilustracin20:
Ilustracion21:
Procedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden:1)Elde 1
dm.Yelde4dm.2)Elde 1 dm.Yelde9dm.Observaremos entonces que:a)El de
menor longitud va ms ligero que el otro, o sea: a menor longitud
menor tiempo de oscilacin y a mayor longitud mayor tiempo de
oscilacin.b)Mientras el de 4 dm.Cumple una oscilacin, el de 1
dm.Cumple dos oscilaciones.c)Mientras el de 9 dm.Cumple una
oscilacin, el de 1 dm.Cumple tres oscilaciones.Esta circunstancia
ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes:Los
tiempos de oscilacin(T)de dos pndulos de distinta longitud (en el
mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las
races cuadradas de sus longitudes.En smbolos
T1 y T2: tiempos de oscilacin;l1y l2: longitudes.Para nuestro
caso es:T1=1oscilacin yl1=1dmT2= 2 oscilaciones yl2 =4
dm.Luego:
sea: 1/2=1/2Ahora para:T1=1oscilacin yl1=1T3=3oscilaciones
yl3=9luego:
sea: 1/3=1/34) Ley de las aceleraciones de las gravedades:Al
estudiar el fenmeno de la oscilacin dejamos aclarado que la accin
gravitatoria tiende a hacer parar el pndulo, pues esa es la posicin
ms cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la
aceleracin de la gravedad ejerce una accin primordial que
evidentemente debe modificar el tiempo de oscilacin del pndulo.Si
tenemos presente que la aceleracin de la gravedad vara con la
latitud del lugar, resultar que los tiempos de oscilacin han de
sufrir variaciones segn el lugar de la Tierra.En efecto, al
experimentar con un mismo pndulo en distintos lugares de la Tierra
(gravedad distinta) se pudo comprobar que la accin de la aceleracin
de la gravedad modifica el tiempo de oscilacin del pndulo.Por
ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilacin es T1, y la
gravedad g1, en Ro de Janeiro el tiempo de oscilacin es T2 y la
gravedad g2, se verifica la siguiente proporcionalidad:
Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud
(por tanto, distinta gravedad) se puede verificar proporcionalidad
semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de la Ley de las
aceleraciones de la gravedad:Los tiempos de oscilacin de un mismo
pndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente
proporcionales a las races cuadradas de las aceleraciones de la
gravedad.3.2.1.6.2. EL PNDULO FSICOUn pndulo fsico es cualquier
cuerpo rgido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo
la accin de la fuerza de gravedad.Ilustracin22:
La distancia desde el punto de apoyo hasta al centro de gravedad
del cuerpo es igual ab. En la misma Figura se representan las
fuerzas que actan sobre el cuerpo rgido. Si el momento de inercia
respecto a un eje que pasa por O del cuerpo rgido es, la segunda
ley de Newton de rotacin da como resultado,
Se debe observar que la fuerza de reaccinRque ejerce el pivote
enOsobre el cuerpo rgido no hace torque, por lo que no aparece en
la ecuacin. Adems, tambin es necesario resaltar queesta ecuacin
diferencial no es lineal, y por lo tanto el pndulo fsico no oscila
con M.A.S. Sin embargo, para pequeas oscilaciones (amplitudes del
orden de los 10),, por tanto,
Es decir, para pequeas amplitudes el movimiento pendular es
armnico.La frecuencia angular propia es:
el periodo y la frecuencia propios sern:
La cinemtica del movimiento pendular para pequeas oscilaciones
es en funcin de las variables angulares (elongacin angular,
velocidad angular y aceleracin angular),
3.2.1.6.3. PNDULO DE TORSIN
Consiste en un hilo o alambre de seccin recta circular
suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo
extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I
conocido o fcil de calcular (disco o cilindro).Al aplicar
unTorqueen el extremo inferior del hilo, ste experimenta una
deformacin de torsin. Dentro deloslmites devalidezdelaleydeHooke,
el ngulo de torsin es directamente proporcional al
momentotorsionalaplicado,de modoque
Donde::es el coeficiente de torsin del hilo o alambre de
suspensin, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la
naturaleza del material. Para el caso de unhilo o alambre es
siendoD: el dimetro del alambre,L: su longitud yG: el modulo de
rigidez del material que loconstituye.
Ilustracin23:
3.3. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA:Si no intervienen
factores externos el movimiento de un oscilador se repite con su
frecuencia natural , que se determina, por ejemplo, conforme a las
ecuaciones. Cuando existe una pequea fuerza de amortiguamiento, la
frecuencia no cambia mucho respecto a este valor.Ocurre otra clase
interesante de situaciones cuando aplicamos una fuerza senoidal
externa al oscilador.Por ejemplo, el tmpano humano vibra al ser
expuesto a la fuerza peridica de una onda sonora o una molcula
vibra cuando absorbe una onda electromagntica de una frecuencia
determinada. Las oscilaciones resultantes se conocen como
oscilaciones forzadas y tienen importantes aplicaciones no solo en
mecnica, sino tambin en acstica, en circuitos elctricos y en fsica
atmica.Las frecuencias forzadas se dan en la frecuencia de la
fuerza externa no en la frecuencia natural del sistema vibratorio.
Sin embargo, la amplitud de la oscilacin depende de la relacin
entre la frecuencia natural y de la fuerza aplicada que en forma
apropiada puede producir una oscilacin de gran amplitud por
ejemplo, cuando empujamos a un amigo en un columpio al hacerlo
exactamente al mismo tiempo en cada ciclo provocamos que nuestro
amigo se mueva en un arco cada vez mas grande.Suponemos que se
trata de un oscilador real el que hace una fuerza amortiguadora.
(De lo contrario, la energa que suministran las fuerzas externas
continuara acumulndose, la amplitud crecera sin lmite).
Consideremos el oscilador amortiguado de la figura a, que
presentamos de nuevo en la figura b. Su frecuencia natural es , y
suponemos que el amortiguamiento es tan pequeo que no modifica la
frecuencia en forma considerable. A continuacin, aplicamos una
fuerza senoidal , la cual suponemos tiene una amplitud constante
Cuando la aplicamos por primera vez el movimiento queda dominado
por trminos transitorios de vida breve que se extinguen en un
tiempo caracterstico del tiempo de vida amortiguada . Examinaremos
el movimiento en el estado estacionario luego que esos trminos se
han vuelto despreciables.En la figura, se muestra el movimiento
resultante cuando la frecuencia de impulso es la mitad de la
natural. Advirtase que es una oscilacin senoidal simple, pero en la
frecuencia de la fuerza externa y no en la frecuencia natural . La
figura contiene el movimiento con una fuerza externa de la misma
amplitud pero con . Ilustracion 24:
VI. CONCLUSIONES: Es muy importante conocer el Movimiento
Armnico Simple, ya que el teorema de Fourier establece que
cualquier clase de movimiento peridico puede considerarse como la
superposicin de movimientos armnicos simples. Desde el punto de
vista histrico, cabe sealar la importancia de las oscilaciones de
un pndulo como instrumento de medida del tiempo, al ser el periodo
independiente de la amplitud de la oscilacin, y que este hecho fue
conocido por Galileo.
Las oscilaciones pueden encuadrarse dentro de la dinmica de una
partcula, pero hay muchos ms sistemas oscilantes que una masa unida
a un muelle elstico o un pndulo simple. Las oscilaciones tienen,
por tanto, entidad propia como unidad aparte
Las oscilaciones se presentan en varios fenmenos de la
naturaleza
Se caracterizan por el periodo, la amplitud, la frecuencia y el
amortiguamiento.
Las oscilaciones forzadas sin amortiguamiento pueden producir
comportamiento resonante.
VIII. BIBLIOGRAFIA: L. Landau - E. Lifshitz. 2007. Curso
Abreviado de Fsica Terica. Editorial MIR. Volumen 1.456pp Asociacin
Fondo de Investigacin y Editores. 2004. Fsica una Visin Analtica
del Movimiento. Editorial Lumbreras. Volumen2. 1027pp Walter Prez
Terrel. 2002. Fsica Teora y Problemas. Editorial San Marcos.
Volumen1. 665pp Jorge Mendoza Dueas. 2003. Fsica General. Editorial
San Marcos. Volumen1. 670pp.
IX. APENDICE:EL PENDULO DE FOULCAULT Imagen 1Galileo Galilei,
despus de haber inventado su telescopio y hacer observaciones hacia
el firmamento, comenz a refutar de varias formar el argumento de
los filsofos como Aristteles que pregonaban la inmovilidad de la
tierra. En su poca, Galilei no encontr un argumento o experimento
que pudiese convencer de manera irrefutable su posicin acerca de la
movilidad de nuestro planeta. Galilei, a pesar de haber trabajado
con los pndulos y haber establecido varias de sus propiedades, no
pudo advertir la invariabilidad del plano de oscilaciones de un
pndulo. Por los aos 1851 el francs Len Foulcault pudo demostrar a
travs de sus observaciones, sobre su clebre pndulo en el interior
de la cpula del panten de Paris, que nuestro planeta es un sistema
rotatorio y no un cuerpo fijo. La explicacin del comportamiento del
pndulo en los polos es mas bsica que cuando se encuentro en algunos
de los hemisferios. La trayectoria que va marcando el pndulo en 24
horas (ver imagen 1) se explica con la conservacin de su plano de
oscilacin. Esto es consecuencia de las fuerzas sobre la masa
oscilante (fuerza de gravedad y tensin) no la hacen desviarse en
ningn momento hacia un costado. Toda persona sabe hoy en da que la
tierra rota en todo instante, pero si no se toma en cuenta la
rotacin de la tierra, se creer que es el pndulo que desva su plano
de oscilacin. Un pndulo al estar oscilando en uno de los
hemisferios terrestres varia su plano de oscilacin, esto es
consecuencia del efecto de coriolis, que es una fuerza inercial que
se presente en un sistema de referencia rotatorio como es nuestro
planeta.
OSCILACIONESPgina 39