Fisica, Introduccion a La Mecanica y Calor

Fisica: Introduccion a la Mecanica y CalorThis book is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 LicenseFisica: Introduccion a la Mecanica y CalorJuan C. InzunzaCopyright 2009 by Universidad de ConcepcionFor any questions about this text, please email: [email protected] Global Text Project is funded by the Jacobs Foundation, Zurich, SwitzerlandThis book is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 LicenseThis edition is in the .pdf format provided to us by the author. We are in the process of converting this edition into the Global Text Project standard format. When this is complete, a new edition will be posted on the Global Text Project website and will be available in a variety of formats upon request.Fisica: Introduccion a la Mecanica y CalorA Global TextUNIVERSIDAD DE CONCEPCIN FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICAS Departamento de Geofsica FSICA: INTRODUCCIN A LA MECNICA Y CALOR Proyecto de Docencia 02-16 Prof. Juan Carlos Inzunza B. Concepcin 2007 PROLOGO El ensear es para m la mejor forma de aprender. En la enseanza de la fsica elobjetivoesensearapensaryrazonar,yparaesosedebeestimularel aprendizajeporproblemas,noslotericos,sinoquetambinprcticos.El aprendizaje por problemas debe tender a terminar con la clase magistral y fo-mentareltrabajoengrupodelosalumnos,conelpropsitodequeaprendan por s solos. Por ello, este curso de Fsica estar disponible en formato pdf en la pgina web www2.udec.cl/~jinzunza/fisica, para que los alumnos puedan de formamsexpeditaobtenersusdocumentosparaestudiardemaneraautno-ma. Lo ideal sera que la asistencia al aula fuera para aclarar las dudas y resol-ver los problemas que se le presentan durante su autoestudio. En el mundo globalizado, en la era de las comunicaciones, el estudiante debe estar preparado para aprender a travs de su propio esfuerzo investigativo, so-bre la base de problemas que se le plantean y que el alumno debe resolver in-dividualoengrupo.Losalumnospuedentrabajardeformaautnomaydes-pus relacionarse con el profesor y el resto de sus compaeros, pero para ello deben realizar un trabajo previo de estudio y tener preguntas para plantearlas o respuestasparadarlasalosotroscompaerosquepreguntan.Estosuponeun cambiodementalidad,uncambioculturalenlosalumnos,dondeldebe aprender a aprender, y eso hay que producirlo, no se produce solo. El alumno esta acostumbrado a una forma de trabajo en la cual viene a la Universidad a or al profesor, donde el primero es el que sabe y el otro el que aprende, no a trabajarenformaautnoma.Hayqueevitarqueelalumnopaseseisoms horasdiarias,cincodasalasemana,escuchando,yluegosevaatratarde aprender a su casa; lo ms sensato sera que dedicara un alto porcentaje de ese tiempo directamente a aprender. Para eso hay que tratar de centrar la actividad docente en el aprendizaje y no en la enseanza, donde el profesor debiera pre-ocuparsedequelosalumnosretenganloexpuestoynosolamentetratarde cumplir el programa de estudio. Este texto a nivel bsico de Introduccin a la Mecnica y Calor, se basa en la experienciadevariosaosdedocenciadepregradoyposgradoenelDepar-tamento de Geofsica de la Universidad de Concepcin. En particular se trat de escribir las clases de la asignatura de Fsica, parte de Mecnica y Calor, la rama de la fsica que se ocupa de describir el movimiento y las transformacio-nesdeenergaproducidasporvariacionesdetemperatura,realizadasdurante v vilos ltimos aos en las aulas. Est diseado para alumnos que realizan un pri-mer curso de fsica universitaria de las carreras de ciencias bsicas, ingenier-as,tecnolgicas,pedagogasyengeneralparatodacarreraquerequieraun cursodeestenivel.Seprofundizaladescripcindealgunosfenmenosen particular, con el uso de matemticas de nivel intermedio, como clculo dife-rencial e integral elemental, pero en todos los casos esta descripcin se puede obviarsielalumnonotienelaformacinenesasherramientasmatemticas, sinquestapierdasuvalidez.Ladescripcindelosfenmenosfsicosse complementaconfigurasesquemticas,enunintentopordarlamayorclari-dad posible al problema. En el texto se ha pretendido hacer la descripcin ne-cesaria, evitando escribir ms de lo que se requiere, para no cansar al alumno con lectura de prrafos extensos. Cada tema tratado se complementa con ejemplos seleccionados, resueltos de-talladamente,quetienencomoobjetivoreforzarlacomprensindelateora. Alfinaldecadacaptuloseplanteanunnmeroconsideradosuficientede problemas, muchos de ellos originales preparados por el autor, especialmente para hacer notar la aplicacin de los contenidos tericos a situaciones reales en diferentes reas de la fsica. La dificultad de su resolucin se puede considerar engeneraldenivelapropiadoaunprimercursodeFsicauniversitaria,aun-que siempre se presenta alguno de elevada dificultad. Se dan los resultados de unnmeroimportantedeproblemasyaquellosquenotienenrespuestaes porquesuresultadovaadependerdelosvaloresqueelalumnoasignealas variablesoporquesuresolucinessimilaraotroproblemaqueyatieneres-puesta, por lo que el alumno se puede asegurar que su resultado ha sido obte-nidoporunprocedimientocorrecto.Losresultadossedanalfinaldecada problema, evitando as el engorroso proceso de ir a las ltimas pginas del tex-to a ver la respuesta, generalmente del problema impar. Juan C. Inzunza Concepcin, Chile Marzo de 2007. vii CONTENIDOS. CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA FSICA. CAPTULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN. CAPTULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. CAPTULO 4. DINAMICA DE LA PARTICULA. CAPTULO 5. TRABAJO Y ENERGIA. CAPTULO 6. TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RIGIDO. CAPTULO 7. MOMENTO LINEAL Y CHOQUES. CAPTULO 8. DINAMICA DE ROTACIN. CAPTULO 9. LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL. CAPTULO 10. MECANICA ELEMENTAL DE FLUIDOS. CAPTULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO. CAPTULO 12. TEMPERATURA, DILATACION TERMICA Y GASES. CAPTULO13.CALORYLAPRIMERALEYDELATERMODINAMI-CA. CAPTULO 14. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR. CAPTULO15.SEGUNDALEYDELATERMODINAMICAYENTRO-PIA. viii ix INDICE. PROLOGOvCONTENIDOSviiINDICEix CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA FSICA.131.1 Introduccin131.2 Definiciones161.3 El mtodo cientfico181.4 Sistemas de magnitudes y unidades191.5 Mltiplos, submltiplos y prefijos211.5.1 Orden de magnitud221.5.2 Estimacin241.5.3 Transformacin de unidades241.5.4 Anlisis dimensional241.6 Sistemas de referencia251.6.1 Coordenadas cartesianas o rectangulares251.6.2 Coordenadas polares261.7 Conceptos bsicos de vectores281.7.1 Igualdad de vectores281.7.2 Multiplicacin de un vector por un escalar291.7.3 Vectores especiales291.7.4 Adicin de vectores y algunas de sus propiedades301.7.5 Representacin de los vectores en coordenadas cartesianas301.7.6 Igualdad de vectores en componentes311.7.7 Suma, resta y multiplicacin por un escalar321.7.8 Producto escalar entre vectores321.7.9 Producto vectorial de vectores33Problemas36 CAPTULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION.392.1 Definiciones392.2 Velocidad y aceleracin422.2.1 Velocidad media422.2.2 Velocidad instantnea432.2.3 Aceleracin media442.2.4 Aceleracin instantnea442.3 Descripcin del movimiento en una dimensin con aceleracin constante472.4 Clculo grfico de x y v552.5 Cuerpos en cada libre592.5.1 Efectos de g en las personas62Problemas64 CAPTULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.753.1 Descripcin del movimiento en dos dimensiones753.2 Movimiento de proyectiles773.3 Movimiento circunferencial843.4 Velocidad y aceleracin angular893.4.1 Cinemtica de rotacin903.4.2 Relacin entre las variables angulares y lineales.913.5 Movimiento relativo94Problemas99 xCAPTULO 4. DINAMICA DE LA PARTICULA.1054.1 Introduccin1054.2 Primera ley de Newton1094.3 Concepto de masa1104.4 Segunda ley de Newton1114.5 Peso1124.6 Tercera ley de Newton1144.7 Fuerza de roce1214.8 Fuerza centrpeta1264.8.1 La descripcin de peralte1284.9 Breve descripcin de aplicaciones de algunas fuerzas en la medicina1314.9.1 Fuerza peso1314.9.2 Fuerza muscular1314.9.3 Fuerza de roce132Problemas135 CAPTULO 5. TRABAJO Y ENERGIA.1435.1 Trabajo realizado por una fuerza constante1435.2 Trabajo realizado por una fuerza variable1465.3 Energa cintica1495.4 Potencia1505.5 Fuerzas conservativas y no conservativas1535.6 Energa potencial1545.7 Conservacin de la energa mecnica1575.8 Energa y la mquina humana1605.8.1 Cmo camina la mquina humana?1625.8.2 Articulaciones artificiales163Problemas164 CAPTULO 6. TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RIGIDO.1716.1 Torque de una fuerza1716.2 Equilibrio de un cuerpo rgido1766.2.1 Centro de gravedad1776.2.2 Centro de masa1776.3 Aplicaciones del torque al cuerpo humano182Problemas186 CAPTULO 7. MOMENTO LINEAL Y CHOQUES.1937.1 Momento lineal1937.2 Impulso1947.3 Conservacin del momento lineal1997.4 Choques2017.4.1 Ejemplos de choques en una dimensin2027.5 Choques en dos dimensiones205Problemas209 CAPTULO 8. DINAMICA DE ROTACIN.2158.1 Energa cintica de rotacin2158.2 Relacin entre torque y aceleracin angular2178.3 Trabajo, energa y potencia en el movimiento de rotacin2228.4 Movimiento de rodadura de un cuerpo rgido2268.5 Momento angular de una partcula2298.6 Rotacin de un cuerpo rgido en torno a un eje fijo2318.7 Conservacin del momento angular235Problemas239 xiCAPTULO 9. LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL.2479.1 La Ley y la fuerza gravitacional2479.2 Fuerza gravitacional y peso2489.3 Energa potencial de la fuerza gravitacional2529.3.1 Velocidad de escape2559.4 Las leyes de Kepler2589.4.1 La tercera ley de Kepler2599.4.2 La segunda ley de Kepler y la conservacin del momento angular2619.5 El campo gravitacional264Problemas266 CAPTULO 10. NOCIONES DE MECANICA DE FLUIDOS.27110.1 Estructura de la materia27110.1.1 Estados de la materia27310.1.2 Plasma27310.1.3 Fluido27410.2 Densidad27410.3 Presin27610.4 La ecuacin hidrosttica27710.4.1 El barmetro28010.5 Ley de Pascal28110.6 Principio de Arqumedes28210.7 Nociones elementales de dinmica de fluidos28510.8 Ecuacin de continuidad28510.9 Ecuacin de Bernoulli288Problemas294 CAPTULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO.29911.1 Movimiento armnico simple29911.2 Masa sujeta a un resorte30511.3 Energa en el movimiento armnico simple30811.4 El pndulo31011.4.1 Pndulo simple31011.4.2 Pndulo fsico31311.4.3 Pndulo de torsin31611.5 Oscilaciones amortiguadas31711.6 Oscilaciones forzadas319Problemas322 CAPTULO 12. TEMPERATURA, DILATACION TERMICA Y GASES32912.1 Temperatura y ley cero de la termodinmica.32912.2 Termmetros y escalas de temperatura33012.3 Termmetro de gas y escala Kelvin33212.4 Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit33712.5 Dilatacin trmica de slidos y lquidos33812.6 Descripcin macroscpica de un gas ideal34212.7 Teora cintica de los gases34612.8 Interpretacin molecular de la temperatura350Problemas354 CAPTULO 13. CALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA36313.1 Definiciones36313.2 Calor36413.3 Capacidad calrica y calor especfico36613.4 Calor latente y cambios de estado37113.4.1 Vaporizacin o evaporacin371 xii13.4.2 Condensacin37313.4.3 Fusin o derretimiento37313.4.4 Solidificacin37313.4.5 Sublimacin37313.4.6 Deposicin37313.4.7 Ebullicin37313.5 Trabajo en procesos termodinmicos37813.6 Primera ley de la termodinmica38313.6.1 Casos particulares38413.7 Procesos termodinmicos38513.7.1 Proceso isobrico38513.7.2 Proceso isovolumtrico38613.7.3 Proceso adiabtico38613.7.4 Proceso isotrmico38713.8 Capacidad calrica de un gas ideal38913.9 Proceso adiabtico de un gas ideal396Problemas399 CAPTULO 14. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR40714.1 Calor y temperatura40714.2 Conduccin de calor40814.3 Conveccin41214.4 Radiacin41414.4.1 Espectro de radiacin41514.4.2 Penetracin de la radiacin electromagntica41714.4.3 Leyes de radiacin419Problemas424 CAPTULO 15. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA Y ENTROPIA.42915.1 Mquinas trmicas43015.1.1 Mquina trmica43015.1.2 Eficiencia trmica43115.2 Segunda Ley de la Termodinmica43115.2.1 Forma de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termodinmica43215.2.2 Enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinmica43315.3 Procesos reversibles e irreversibles43415.4 Mquina de Carnot43515.4.1 Eficiencia de una mquina de Carnot43915.5 Escala de temperatura absoluta.44115.6 Bombas de calor y refrigeradores44115.7 Entropa44315.7.1 Entropa en un proceso reversible de un gas ideal44615.7.2 Entropa en la conduccin de calor44715.7.3 Entropa en una expansin libre44815.7.4 Entropa en la transferencia de calor irreversible450Problemas453 APENDICES461A. lgebra461B. Geometra463C. Trigonometra465D. Derivadas e integrales468E. Datos comunes en el sistema solar y terrestre470F. Factores de conversin de unidades de medida471G. Letras Griegas473 Cap. 1 Introduccin a la Fsica CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA FSICA 1.1 INTRODUCCION. Los adelantos de la ciencia han provocado muchos cambios en el mundo. Por ejemplo, desde Aristteles en el 350 AC y hasta hace 500 aos se crea que la Tierra era plana y que estaba en el centro del universo, hace 70 aos no se co-noca la televisin, los aviones jet ni la forma de prevenir las picaduras denta-les, hace pocos aos se descubri la clonacin de seres vivos, recientemente se descifrelcdigodelgenomahumano(dicenqueDiosestahechoundiablo por esto). La ciencia no es nueva, data de la prehistoria. El ser humano ha es-tado sobre la Tierra desde hace 100 mil aos y desde entonces ha empezado a hacer ciencia. Por ejemplo en el comienzo se descubrieron las primeras regu-laridadesyrelacionesenlanaturaleza.Unadelasregularidadeseralaforma de los patrones de las estrellas que aparecan en el cielo nocturno. Otra eviden-teeraelciclodelclimaalolargodelao,distinguindoseclaramenteelco-mienzo de la temporada de lluvias o la de calor. La gente aprendi a usar estos ciclosparahacerprediccionesysurgieronlosprimerospronsticosdeltiem-po.Deestemodofueronaprendiendomsymsacercadelcomportamiento de la naturaleza. Todos estos conocimientos forman parte de la ciencia, pero la parteprincipalestaformadaporlosmtodosqueseusanparaadquiriresos conocimientos. La ciencia es una actividad humana, formada por un conjunto de conocimien-tos. La ciencia es el equivalente contemporneo de lo que se llamaba filosofa natural. La filosofa natural era el estudio de las preguntas acerca de la natura-leza que an no tenan respuesta. A medida que se iban encontrando esas res-puestas,pasabanaformarpartedeloquehoyllamamosciencia.Laciencia hizo sus mayoresprogresos en el siglo XVI, cuando se descubri que era po-sibledescribirlanaturalezapormediodelasmatemticas.Cuandoseexpre-sanlasideasdelacienciaentrminosmatemticosnohayambigedad,es mas fcil verificarlos o refutarlos por medio del experimento. La ciencia con-tempornea se divide en el estudio de los seres vivos y en el estudio de los ob-jetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias fsicas. Las ciencias delavidasedividenenreascomolabiologa,zoologaylabotnica.Las cienciasfsicassedividenenreascomolafsica,geologa,astronomay qumica. 13Cap. 1 Introduccin a la Fsica La fsica es mas que una rama de las ciencias fsicas: es la ms fundamental de lasciencias.Estudialanaturalezaderealidadesbsicascomoelmovimiento, las fuerzas, energa, materia, calor, sonido, luz y el interior de los tomos. La qumica estudia la manera en que esta integrada la materia, la manera en que los tomos se combinan para formar molculas y la manera en que las molcu-lassecombinanparaformarlosdiversostiposdemateriaquenosrodea.La biologa es an mas compleja, pues trata de la materia viva. As, tras la biolo-ga esta la qumica y tras la qumica esta la fsica. Las ideas de la fsica se ex-tiendenaestascienciasmascomplicadas,poresolafsicaeslamasfunda-mental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general si antes entendemos algo de fsica es lo que vamos a prender en este curso! El entender la naturaleza se busca por diferentes formas: la ciencia, el arte, la religin,cuyasorgenesdatandemilesdeaos.Estasformassondistintas, pero sus dominios se traslapan. La ciencia investiga los fenmenos naturales y el arte es la creacin de los objetos o eventos que estimulan los sentidos, pero ambassoncomparablesdebidoaquesonesfuerzosquemuestrancomoson las cosas y cuales son posibles. Por otra parte, los objetivos de la ciencia y la religin son diferentes, ya que esta ltima se ocupa del propsito de la natura-leza.Lascreenciasyceremoniasreligiosasgeneranconvivenciahumana,sin ocuparse directamente de los mtodos de la ciencia. En este sentido son dife-rentes, como las manzanas con las peras, pero no se contradicen, son comple-mentarias, de manera que no es necesario elegir entre ambas, se pueden adop-tar ambas, entendiendo que tratan aspectos distintos de la experiencia humana. Unapersonarealmentecultaposeeconocimientostantodelareligin,como del arte y de la ciencia. Enestecaptulosedaunabreveexplicacindealgunasdefinicionesdecon-ceptos usados en el curso. Se hace una descripcin de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes fsicas fundamentales y derivadas, se definen los mltiplos, submltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numricos de las magnitudes en ciencias en notacin cientfica, se explica como expresar los valores numricos dando slo su orden de magnitud o haciendo una estimacin de su valor. Se dan reglas de anlisis dimensional, lo que proporciona un mtodo para determinar la forma funcional de las leyes fsicasypermiteverificarsiestbienplanteada.Sedefinenlossistemasde referencias y de coordenadas y finalmente se hace un breve repaso del lgebra vectorial y se presentan algunos ejemplos bsicos. 14Cap. 1 Introduccin a la Fsica Lafigura1.1talvezlaconozcan:esunaimagendenuestraTierra,sobrela cualharemoslamayoradelasaplicacionesdeestecurso.Loscoloressobre los ocanos representan los valores de la temperatura de la superficie del mar, siendo mayores los tonos en rojo y menores los tonos en azul. En la imagen se observaclaramentelapresenciadelfenmenodeElNioenelPacificosur. Se representa tambin un esquema de las nubes en la atmsfera con tonos de colorgrisclaro.EnChileseobservaunfrenteubicadoentrelanovenayd-cima regiones. Figura 1.1. Imagen de satlite modificada de la Tierra. Este es nuestro planeta, al que le estamos dando un muy mal trato, con todos losdesperdiciosycontaminantesqueestamosarrojandoalosros,lagos, ocanos,tierrayatmsfera.NoolvidemosquelosrecursosdenuestraTierra son finitos y no renovables, por lo que a nosotros nos corresponde cuidar estos recursos, para dejarlos de la mejor forma a las futuras generaciones, que tam-binquerrnvivirenunambientelimpio.Lasmedicionesyaindicanquela 15Cap. 1 Introduccin a la Fsica humanidad est consumiendo los recursos de la Tierra mas rpidamente de lo que esta es capaz de renovarlos, por lo que es clara la tendencia a que los re-cursos naturales se agoten. Lo peor de todo es que la distribucin de los recur-sos no es equitativa, ya que una minora de empresas y pases mas ricos se en-riquecen mas y la mayor parte de la poblacin mundial se empobrece mas, in-cluyendo un importante porcentaje de la poblacin que nada tiene. Lo ms que podemos hacer nosotros como profesionales y habitantes de la Tierra, es crear conciencia para no seguir daando nuestro ambiente, que nos permite la vida. Evitemos que el ser humano evolucione rpidamente a una nueva especie, que se podra llamar Homo Furioso, que al final de este siglo se pregunte en que pensaran esos prehistricos Homo Sapiens de principios de siglo que nos de-jaron el planeta en estas lamentables condiciones? 1.2 DEFINICIONES. En esta seccin se dan las definiciones de algunos trminos usados en ciencias y de temas relacionados, que usaremos durante el curso, sin pretender profun-dizar en el contenido terico del concepto definido. Fsica: Es una ciencia fundamental que estudia y describe el comportamiento delosfenmenosnaturalesqueocurrenennuestrouniverso.Esunaciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es des-arrollar teoras fsicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir elmayornmeroposibledefenmenosnaturalesconelmenornmeroposi-bledeleyesfsicas.Estasleyesfsicasseexpresanenlenguajematemtico, por lo que para entender sin inconvenientes el tratamiento del formalismo te-rico de los fenmenos fsicos se debe tener una apropiada formacin en mate-mticas, en este curso basta un nivel bsico de matemticas. Teoracientfica:Sntesisdeunagrancantidaddeinformacinqueabarca diversas hiptesis probadas y verificables de ciertos aspectos del mundo natu-ral.Ningnexperimentoresultaaceptableamenosqueseareproducible,es decir que produzca un resultado idntico independientemente de cuando, don-deyporquiensearealizado.Losresultadosdelosdistintosexperimentosse renenparaformarunateora.Unateoraeslasntesisdetodaslasobserva-cionesrealizadasenlosexperimentos,quedeberahacerposiblepredecirel resultadodenuevosexperimentosantesdequeserealicen.Peronosedebe esperarqueunateoraexpliqueciertosfenmenosdeunavezportodas,sino 16Cap. 1 Introduccin a la Fsica mas bien los coordine dentro de un conjunto sistemtico de conocimientos. La validez de una teora puede probarse nicamente con el experimento. Una teora cientfica no debe contener elemento alguno metafsico o mitolgi-co, se deben eliminar los mitos y prejuicios. Hoy en da se debe tener especial cuidado,puestoquenuestromitoscontemporneosgustandeataviarsecon ropajescientficos,pretendiendoconelloalcanzargranrespetabilidad.Los charlatanessiemprebuscanmencionarelnombredealgngrancientficoen un intento por hacer crebles sus charlataneras. Mecnica. Es una rama de la fsica. Su objetivo es describir (con la cinemti-ca) y explicar (con la dinmica) el movimiento de los cuerpos. Cinemtica.Describeelmovimientodeloscuerpossinpreocuparsedelas causas que lo producen. Dinmica.Describeelmovimientodeloscuerposconsiderandolascausas que lo producen, y las causas del movimiento son las fuerzas. Hiptesis:Suposicinbienfundamentada,consideradacomounhechocuan-do se demuestra experimentalmente. Hecho:Acuerdoentreobservadorescompetentessobreunaseriedeobserva-ciones de un fenmeno particular. Ley: Comprobacin de una hiptesis sin ninguna contradiccin. Una ley fsica seconsideracomotalcuandotodoslosexperimentosobedecenesaley,sien algn caso no se cumple, deja de ser ley fsica. Son las leyes terrestres vli-das en todo el Universo? Hay que usarlas y despus evaluar su resultado. No sedebepretenderbuscarunanuevaleyparaexplicaralgnfenmenoenel cual las leyes ya existentes no parecen encajar satisfactoriamente, porque esto conduce al caos lgico. Aunque se debe estar dispuesto a aceptar nuevas leyes naturales si su adopcin demuestra ser necesaria. Ciencia: Mtodo para dar respuestas a preguntas tericas. La ciencia descubre hechos y formula teoras. Tecnologa:Mtodopararesolverproblemasprcticos,usatcnicasyproce-dimientos para aplicar los descubrimientos de la ciencia. 17Cap. 1 Introduccin a la Fsica Modelo:Conceptointroducidoporloscientficosparaayudarseavisualizar posiblesprocesosdentrodeunsistemafsico.Unmodeloseusapararepre-sentar la realidad fsica y debe tener en cuenta dos aspectos conflictivos entre s: a) tiene que ser lo bastante simple para como para ser elaborado con mto-dosmatemticamenterigurosos,b)debeserrealistaparaquelosresultados obtenidosseanaplicablesalproblemaconsiderado.Lasencillezdelmodelo, subellezamatemtica,esincompatibleconlafidelidadalproblemareal.Lo bello raramente es fiel y lo fiel raramente es bello. Matemticas: Es el lenguaje de las ciencias, es lo que establece una conexin entre la teora y el experimento. Las leyes Fsicas se expresan en lenguaje ma-temtico, en general de nivel muy avanzado. Religin: Se ocupa del propsito de la naturaleza, no se preocupa por usar los mtodos de la ciencia, tiene que ver con la Fe y la adoracin de un ser supre-mo, que es Dios. Ciencia y religin no son contradictorias, son complementa-rias. No es necesario elegir entre ambas, se pueden adoptar las dos. 1.3 EL MTODO CIENTFICO. Elmtodocientficoesunmtodoefectivoparaadquirir,organizaryaplicar nuevos conocimientos. Su principal fundador fue Galileo (1564-1642). Se ba-sa en la formulacin de hiptesis y en la recopilacin de pruebas objetivas que tratendeprobarlaveracidaddetaleshiptesisestablecidaspreviamente.El mtodo cientfico puede dividirse a grandes rasgos en varios pasos: a.Observar el medio natural. b.Hacerse una pregunta sobre el comportamiento del medio. c.Formular una hiptesis y derivar de ella predicciones que puedan ser de-mostradas. d.Planear un experimento que pueda verificar esa hiptesis. e.Analizarlosdatosobtenidosdeeseexperimento.Silosdatoscoinciden con las derivaciones de la hiptesis, se podr decir que sta funciona y es vlida en ese contexto. f.A partir de esa hiptesis demostrada, elaborar una Teora. g.Nuevamente acudir a la Naturaleza para contrastarla. 18Cap. 1 Introduccin a la Fsica h.Si la Teora se cumple y demuestra, a partir de ella se formular una Ley, que tratar de describir el fenmeno. Antes de Galileo, la mayor parte de los experimentos no seguan este orden de pensamiento,sinoquesebasabanenlaobservacindelmedioyemisinde teoras, sin mayor comprobacin posterior de stas. La novedad que trajo con-sigoelmtodocientficofuequesetrabajabaconhiptesisquedebanser demostradas.Todoellosupusoungranavanceparalafsicacomociencia, puesto que se empez a observar la naturaleza y a afirmar expresiones, hoy en da tan comunes como parece que va a llover. Estemtodonosiemprehasidolaclavedelosdescubrimientos,enmuchos casos gran parte del progreso de la ciencia se ha debido a resultados obtenidos por error o por casualidad. 1.4 SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medicin se expresa con un nmero seguida de un smbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo yelanchodeunasalasonmedidasdirectas,perolasuperficiedelasalaes unamedidaindirecta.GranpartedelaFsicatienequeverconlamedidade cantidadesfsicastalescomodistancia,tiempo,volumen,masa,temperatura, etc.LasleyesFsicasseexpresanentrminosdecantidadesbsicasquere-quieren una definicin clara, llamadas magnitudes fsicas fundamentales. En mecnicalasmagnitudesfsicasfundamentalessontres:longitud,tiempoy masa.Sellamanmagnitudesfsicasfundamentalesporqueestndefinidasen forma independiente de cualquier otra magnitud fsica. Paraqueseantilesdebenserinvariablesyreproduciblesysedebedefinir una unidad de medida nica para la magnitud fsica, llamada patrn de medi-da. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patro-nes de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes f-sicasfundamentalesenMecnica,sonlasquesedanenlatabla1.1.Estese conocetambincomoelsistemaMKS(abreviaturasdemetro,kilogramoy segundo).TambinexisteelsistemaCGScuyasunidadesdemedidasonel centmetro,gramoysegundo,yelsistemainglsdeingeniera,queesextre- 19Cap. 1 Introduccin a la Fsica madamente confuso, por lo que no lo usaremos en este curso. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las reas de las ciencias. La definicin operacional actual de las magnitudes fsicas fundamentales se da a continuacin. Tabla 1.1. Unidades de medida de las magnitudes fsicas fundamentales en mecnica. Magnitud FsicaUnidad de medida SmboloLongitudMetrom TiempoSegundos MasaKilogramokg Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medicin de longitud, pero se han abandonado por razones de precisin. Desde 1983, la unidad de longi-tud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vaco du-ranteuntiempode1/299792458segundos.Depasoestadefinicinestablece que la rapidez de la luz en el vaco es de 299 792 458 m/s. Tiempo: En 1967 se defini el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192 631 770 periodos de la radiacin de tomos de cesio 133. Con un reloj atmi-co de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiacin con una precisin de una parte en 1012, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 aos. Masa:Desde1987seconsideracomounidaddemasa,elkilogramo,quese define como la masa de una aleacin de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de Pars, Fran-cia. Este patrn es confiable porque dicha aleacin es muy estable. Las otras magnitudes fundamentales de la Fsica, que con las anteriores suman siete en total, estn indicadas en la tabla 1.2. Encienciasseusanmuchasotrasmagnitudesfsicas,queseobtienencomo unacombinacindelasmagnitudesfsicasfundamentales.Sellamanmagni-tudesfsicasderivadas,porquesederivandelasmagnitudesfsicasfunda-mentales. Por ejemplo: 20Cap. 1 Introduccin a la Fsica rea = longitud por longitud, se mide en m2 aceleracin = longitud/tiempo al cuadrado, se mide en m/s2

fuerza = masa por aceleracin, se mide en Newton, N = kg m/s2 densidad = masa/volumen, se mide en kg/m3, etc. Tabla 1.2. Unidades de medida de las magnitudes fsicas fundamentales. Magnitud FsicaUnidad de medida Smbolo TemperaturaKelvinK Corriente elctricaAmpereA Intensidad luminosaCandelaCd Cantidad de sustancia Molmol 1.5 MULTIPLOS, SUBMULTIPLOS Y PREFIJOS. Teniendo en cuenta que la Fsica estudia el comportamiento del universo, los valoresnumricosdelasmagnitudesfsicasvaranenunrangomuyamplio, desde cantidades muy pequeas a muy grandes. Por ejemplo, para comprender elorigendelUniverso,alosastrofsicosycosmlogoslespreocupaactual-mentesaberquepasoentreelBigBangyelminsculoinstante10-43s!,o comodeterminarbienlaedaddelUniversocuyasltimasmedicionesdanun valor de 1.45x1010 aos, con una incertidumbre de un par de miles de millones de aos. La Tierra tiene una edad de 4600 millones de aos. Especialistas han estudiadolacronologadelaBibliaparacalcularcuantotiempohapasado desdelosdasdelEdn,sumandolaedaddeAdnysusdescendientes.En 1650 el arzobispo irlands James Ussher propuso que Dios creo la Tierra el 22 de octubre del ao 4004 antes de nuestra era, valor que no concuerda con las mediciones. Los valores numricos de la fsica pueden ser muy complicados de leer en su formatradicional,porloquegeneralmenteseexpresanenpotenciasde10, queeslanotacincientfica.Ejemplosdealgunosvalorescomunessemues-tran en la tabla 1.3. 21Cap. 1 Introduccin a la Fsica Tabla 1.3. Algunos valores numricos de magnitudes fsicas conocidas. Masa (kg) Sol Humano Electrn 2 x 1030 70 9.1 x 10-31 Longitud (m) Distancia Tierra - Sol Cancha de ftbol Dimetro ncleo atmico 1.5 x 1011 90 10-14 Tiempo (s) Edad de la Tierra Edad de estudiante UdeC Duracin choque nuclear 1.5 x 1017 5 x 108 10-22 Sielexponentedelapotenciade10espositivo(onegativo)elvalordela magnitudfsicaesunmltiplo(osubmltiplo).Paramedirmagnitudesmuy grandes o muy pequeas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medicin que tienen nombres especiales, como por ejem-ploelaoluzqueesladistanciaquerecorrelaluzenunao,iguala9.45x 1015 m, o el Angstrom que es igual a 10-10 m. En la tabla 1.4 se dan los nom-bres de los prefijos del Sistema Internacional. 1.5.1 Orden de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de 10 ms cercana al valor verdadero de una magnitud fsica conocida cuyo valor numrico se conoce. Para indicarla se usa el smbolo vrgula, ~. Cuando se compara entre magnitudes fsicas simila-res, se dice que una magnitud fsica difiere de la otra en un orden de magnitud, cuando es mayor o menor en un factor de 10. Ejemplo 1.1. El orden de magnitud de 1 es cero 100, el orden de magnitud de 10 es uno 101, el orden de magnitud de 100 es dos 102, etc. Ejemplo1.2.a)DeterminarelordendemagnituddelamasadelaTierra, cuyovaloresaproximadamente6x1024kg.b)SilamasadelSol1030kg, en cuantos rdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? 22Cap. 1 Introduccin a la Fsica Solucin: a)considerando que 6 es un valor mas cercano a 10 = 101 que a 1 = 100, su orden de magnitud es 6 101, por lo tanto el orden de magnitud de la ma-sa de la Tierra es 6 x 1024 101x1024 1025 kg 10 Ykg del orden de 25. b)Si la masa del Sol 1030 kg, en cuantos rdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Solucin: 52530101010Tierra la de masaSol del masa= = Por lo tanto la masa del Sol es 5 rdenes de magnitud mayor (cien mil veces mas grande) que la masa de la Tierra. Tabla 1.4 Prefijos del Sistema Internacional. Potencia 10xPrefijoSmbolo -24yoctoy -21zeptoz -18atto.a -15femtof -12picop -9nanon -6micro -3milim -2centic -1decid 1decada 2hectoh 3kilok 6megaM 9gigaG 12teraT 15petaP 18exaE 21zetaZ 24yotaY 23Cap. 1 Introduccin a la Fsica 1.5.2 Estimacin. Hacer una estimacin es asignar un valor numrico razonable a una magnitud Fsicaconocida,cuyovalorverdadero,enelmomentodeusaresamagnitud, no se conoce. Ejemplo 1.3. Estimar la edad de los alumnos del curso de Fsica I. Solucin: Considerando que los alumnos ingresan a la universidad a la edad aproximada de 18 aos, que el curso de Fsica I lo realizan en el segundo se-mestre, que algunos alumnos ingresan a la carrera tiempo despus de egresar delaenseanzamediayqueesprobablequeelcursodefsicanoloestn cursando en el semestre que corresponde, se puede considerar que la edad de los alumnos del curso de Fsica I varia entre 18 y 22 aos, por lo que se pue-de estimar como edad de cualquier alumno en 20 aos. Su orden de magni-tud es ~ 10 aos. 1.5.3 Transformacin de unidades. Muchos clculos en Fsica requieren convertir unidades de un sistema a otro. Lasunidadespuedenconvertirsesustituyndolasporcantidadesequivalentes. En toda respuesta numrica de los problemas siempre debe escribirse las uni-dades en el resultado final. Ejemplo 1.4. Transformar 18 km/hora a m/s. Solucin: Se sabe que 1h = 3600 s y que 1 km = 1000 m, entonces: smkmmshrhrkm5110003600118 = 1.5.4 Anlisis dimensional. Seusaparaverificarquetodoslostrminosdeunaecuacintenganlasmis-masdimensiones,loquegarantizaquelaecuacinestplanteadaenforma 24Cap. 1 Introduccin a la Fsica correcta.Cuandosehaceelanlisisdimensional,lostrminosnoseoperan conellgebracorriente,porejemplolasunidadesdemedidanosesumano restan, solo se comparan sus unidades entre trminos de la ecuacin a dimen-sionar, generalmente se usa el smbolo [ ] en cada trmino al hacer el anlisis. Ejemplo1.5.Hacerelanlisisdimensionalparaelsiguientemodelofsico , donde v se mide en m/s, x en m y a en m/s2.ax v vo22 2+ = Solucin: se escriben las unidades de medida en cada trmino de la ecuacin, considerando que las unidades no se suman ni restan y que el 2 es un nmero sin unidades de medida que no multiplica a la unidad de medida: []==+= + =22222 22 22smsmmsmsmsmax v vo Por lo tanto la expresin es dimensionalmente consistente. 1.6 SISTEMAS DE REFERENCIA. Enmecnicasetratanproblemasrelacionadosconladescripcindelmovi-miento de un objeto en el espacio, por lo que se requiere un mtodo para co-nocer la posicin de ese objeto. Para esto se definen los sistemas de coordena-das y marcos de referencia. Un sistema de coordenadas usado para indicar las posiciones en el espacio consta de: 1.Un punto de referencia fijo O, llamado origen. 2.Un conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada. 3.Instrucciones sobre como identificar un punto en el espacio respecto al ori-gen y a los ejes. 1.6.1 Coordenadas cartesianas o rectangulares. Unsistemadecoordenadasfrecuentementeusadoeselsistemade coordena-dascartesianoorectangular,quesemuestraenlafigura1.2,conejesxsa- 25Cap. 1 Introduccin a la Fsica liendo del plano de la figura, eje y horizontal y eje z vertical. En este sistema unpuntoParbitrarioseidentificacontrescoordenadasidentificadaspor (x,y,z), con los valores positivos de los ejes hacia fuera del plano de la figura, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente en cada eje, como se indica en lafigura1.2.Eselespaciocomnenelquevivimos,sellamaespaciotridi-mensionalporquetienetresdimensiones,paraindicarlousamosensmbolo 3D. En ocasiones bastan dos o una coordenadas para fijar la posicin del obje-to, estos se llaman espacio bidimensional (2D) o unidimensional (1D), respec-tivamente. Figura 1.2. Coordenadas cartesianas. 1.6.2 Coordenadas polares. Otro sistema de coordenadas conocido es el de las coordenadas polares (r,) (figura 1.3), donde r es la distancia desde el origen al punto (x,y), generalmen-te llamado radio, y el ngulo entre el eje x y r, por convencin, considerado positivocuandoesmedidoensentidoantihorariodesdeelejexhaciar.La relacin entre las coordenadas cartesianas y polares es rsen y , cos r x = = . Se deja como ejercicio al alumno demostrar que sus relaciones inversas son: 26Cap. 1 Introduccin a la Fsica 2 2y x r,xytan+ == Figura 1.3. Coordenadas polares. DepasoaprovechemosderecordarelteoremadePitgorasylasfunciones trigonomtricas bsicas seno, coseno y tangente, que se definen para un trin-gulo rectngulo, como el que se muestra en la figura 1.4, estas son: 2 2 2y x r + = ryhipotenusaopuesto catetosen = = rxhipotenusaadyacente catetocos = = xyadyecente catetoopuesto catetotan = = 27Cap. 1 Introduccin a la Fsica Figura 1.4. Un tringulo rectngulo. 1.7 CONCEPTOS BSICOS DE VECTORES. Las magnitudes fsicas con las que trataremos en el curso pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes fsicas escalares quedan completamente defini-das mediante un nmero y sus respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm3 o la temperatura del aire de 20 C, son un esca-lar.Paralasmagnitudesfsicasvectorialesdebeespecificarsesumagnitud (un nmero con sus unidades), su direccin (un nmero que puede ser un n-gulo si el espacio es bi o tridimensional) y su sentido (que indica hacia adonde sedirigeoapuntaelvector),porejemplounavelocidadde80km/hhaciael noreste. Un vector se representa grficamente como un trazo dirigido (flecha) y se simboliza mediante letras maysculas o minsculas, con una flecha sobre la letra o escrita en negrita, como V oV, r or, OP oOP. La longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el punto desde donde se comien-za a dibujar el vector se llama punto de aplicacin, la direccin se mide desde algnejedereferencia,generalmentehorizontal,elsentidoestadadoporla punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama lnea de accin. En la figura 1.5, el vector A tiene magnitud A, su punto de aplicacin es O y su direccin es grados sobre la horizontal. 1.7.1 Igualdad de vectores. Dos o ms vectores son iguales si: a) apuntan en la misma direccin, b) si sus magnitudessoniguales.Enlafigura1.6,d c b a= = = independientemente de la ubicacin de los vectores en el espacio. 28Cap. 1 Introduccin a la Fsica Figura 1.5. Representacin de un vector. Figura 1.6 Igualdad de vectores. 1.7.2 Multiplicacin de un vector por un escalar. El resultado de multiplicar un vector por un escalar es un vector, de magni-tuddistintaydedireccinigual(ocontraria)alvectororiginal.Enlafigura 1.7 se muestra queb 2 B =yd 3 2 D = . Figura 1.7. 1.7.3 Vectores especiales. Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0). 29Cap. 1 Introduccin a la Fsica Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1). 1.7.4 Adicin de vectores y algunas de sus propiedades. os vectores se pueden sumar en forma geomtrica por diversos mtodos, ta- Lles como los que se muestran en la figura 1.8, a) el mtodo del polgono o b) el mtodo del paralelogramo. Figura 1.8. a) Mtodo del polgono, b) mtodo del paralelogramo. dems los vectores cumplen con las siguientes propiedades del lgebra: Conmutatividad de la suma: a + b= a + b. ) + c = a + (b + c). vectores. o aditivo de a y se es-ctores es un caso especial de adicin, donde el vector restan-.7.5 Representacin de los vectores en coordenadas cartesianas. as componentes vectoriales de un vector son aquellas que sumadas dan como A Asociatividad de la suma: a + b + c = (a + bDistributividad de la multiplicacin por un escalar en la suma de Conmutatividad del producto: a b= b a , a a= a2. Asociatividad del producto: a ( b + c) = a b +a c Inverso aditivo: si a + b = 0, entonces b es el inverscribe b = -a. La resta de vedo se suma con su inverso aditivo: a - b= a +(- b). La divisin entre vectores no est definida. 1 Lresultadoelvectororiginal.Lascomponentesvectorialesdeunvectorenel espacio se calculan a lo largo de un conjunto de 3 lneas mutuamente perpen- 30Cap. 1 Introduccin a la Fsica dicularesquesecortanenunmismopunto,esdecirenlneasparalelasalos ejesdeunsistemadecoordenadascartesiano.Losvectoresunitariosylas componentesvectorialesdelvectorAenestasdireccionessedesignanpor k j i,, y por Ax, Ay, Az, respectivamente, tal que: kA jA iA Az y x+ + = En el plano (x, y) de la figura 1.9, se tiene: ector: jA iA Ay x + =V Componentes:Ax = A cos,Ay = A sen agnitud: M2y2xA A A + = Direccin:tan = Ay/Ax Figura 1.9. Componentes de un vector.1.7.6 Igualdad de vectores en componentes. os vectores son iguales si todas sus componentes son iguales, esto es, A = B si Ax = Bx,Ay = By y Az = Bz. D 31Cap. 1 Introduccin a la Fsica 1.7.7 Suma, resta y multiplicacin por un escalar. sdelosvectores.Parael asotridimensionalserealizantresoperacionesescalaresporcadaoperacin Seoperasobrelascomponentesescalaresanlogacvectorial, como se indica, donde representa un escalar: ( )( )( ) ( ) ( )kB A jB A iB A B AkB jB iB kA jA iA B Az z y y x xz y x z y x+ + + + + = ++ + + + + = + ( )( )( ) ( ) ( )kB A jB A iB A B AkB jB iB kA jA iA B Az z y y x xz y x y x + + = + + + + = z ( ) ( ) ( )kA jA iA Az y x + + = .7.8 Producto escalar entre vectores. mo resultado un escalar, se lee A punto , y se define como: 1 El producto escalar entre vectores da coB cos AB B A = onde A y B es la magnitud y es el ngulo entre los vectores A y B. Aplica-o a vectores unitarios y a las componentes de un vector, se tiene: dd 1 kkjjii= = = z z y y x xB A B A B A B A0 kjkiji+ + = = = = 32Cap. 1 Introduccin a la Fsica 1.7.9 Producto vectorial de vectores. El producto vectorial entre vectores da como resultado un vector, se lee A cruz , y se define como:B ABsen C co , B A C = n = a por la regla de la mano derecha o del tornillo derecho, es un vector perpendicular al plano formado por A y B. El producto vecto-rial se calcula resolviendo el siguiente determinante: donde A y B es la magnitud y es el ngulo entre los vectores A y B, y la di-reccin de C esta dadC z y xz y xB B BA A AkjiB A = Aplicado a vectores unitarios, se obtiene que: ji0 kk , ikj , kjikjjii= = = = = = Ejemplo 1.6. Un gato se mueve en el plano (x,y) desde la posicin P1 en (-3,-5) m hasta la posicin P2 en (10,2) m. (a) Dibujar los vectores de posicin y escribirlosencoordenadascartesianas.Calcular(b)lavariacindelaposi-in del gato, (c) magnitud la variacin y (d) su direccin.c Solucin: a) en la figura 1.10 se dibuja el diagrama vectorial. 33Cap. 1 Introduccin a la Fsica Figura 1.10. Ejemplo 6. Posiciones: jy ix r1 1 1+ =j5 i3 r1 = jy ix r2 2 2+ =j2 i10 r2+ = b) La variacin de la posicin es la d siciones del objeto, sto es la posicin final menos la posicin inicial denotada por iferencia entre las por e . ( )( ) m j7 i13 j5 i3 j2 i10 r r r1 2+ = + = = Magnitud:m 8 , 14 ) 7 ( ) 13 ( r2 2= + = c) d)Direccin: 3 . 28137tan = = Ejemplo 1.7: Una hormiga camina por el borde de un CD de 6 cm de radio, odeandolamitaddeldisco.Calcular:(a)lavariacindesuposicin,(b) s la po-icin inicial, que se elige en el origen, y fla posicin final. rcunto camina?, (c) su variacin de posicin si completa el crculo. Solucin: Usando el sistema de referencia de la figura 1.11, donde i es 34Cap. 1 Introduccin a la Fsica a) i fr r r = , de la figura 11 j0 i12 r , j0 i0 rf i+ = + = cm i12 r = Figura 1.11. b)Se pide distancia d recorrida desde i hastafpor el borde (por ejemplo el superior) del disco, si P es el permetro, entonces: cm 8 . 18 cm 6 R R 221P21d = = = = = se observa quer d c)Hay que calcularrdespus que la hormiga ha dado una vuelta comple-ta. i fr r r = cm 0 j0 i0 r 0 r ri f = = = = 35Cap. 1 Introduccin a la Fsica PROBLEMAS. 1.1Escribir usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud del ecuador, radios del ncleo y tomo, segundos de un milenio, edad de laTierra,volumendeunapulga,masadelSol,distanciadelaestrella ms cercana a la Tierra (despus del Sol). 1.2El Sol es un adulto joven de apenas casi 5 mil millones de aos, escri-ba laedad del Sol sin y con prefijos del Sistema Internacional. (Cuando el Sol se apague, se acabar la fuente de energa que mantiene todos los procesos sobre la Tierra y por lo tanto la vida sobre ella.) R: 1.57x1017 s. 1.3La energa que la Tierra recibe del Sol es del orden de 220 watts/m2, es-timarlacantidaddeenergasobretodalasuperficieterrestre.Expresar el resultado con prefijos. 1.4Estimar la cantidad de kilmetros que tu has caminado desde que naciste a la fecha. 1.5Estimar el nmero de pinos y su valor en pesos para un bosque de pinos tpico de la 8 Regin. 1.6Si durante un evento de lluvia en la zona cayeron 25 mm de agua, esto es 25 lt/m2, estime la cantidad de agua que cay sobre la Baha Concep-cin. A cuantas casas se podra abastecer con agua durante todo un da con esa cantidad? 1.7Transformar10m/sakm/h,300000km/ham/s,250Gltam3,1.25 kg/m3 a gr/cm3, 500 hPa a atm, 4500 m2 a cm2. 1.8LaTierratieneunaedadde4600millonesdeaosyelserhumanoha estadosobreelladesdehaceunos150milaos.SilaedadlaTierrala hacemosequivalenteaunda,cuntossegundostieneelserhumano sobre la Tierra? 1.9Paralasexpresiones 3Bt At x + = y 2Bt 3 A v + = dondexsemideen m, t en s y v en m/s, determine las unidades de medida de A y de B. 36Cap. 1 Introduccin a la Fsica 371.10Demuestre que las ecuacionescte,ax 2y gh v ) 2 / 1 ( p2= + + v v202+ =g / l 2 T =son dimensionalmente correctas, donde x, h y son lon-gitudes,vyv0sonvelocidad(m/s),aygaceleracin(m/s2),Ttiempo (s), p presin (kg/ms2), y densidad (kg/m3). 1.11Un vector de 5 unidades se orienta en direccin positiva del eje x, y otro de 3 unidades se orienta en 230. Determine la suma y la resta de estos vectores, grfica y analticamente. 1.12El vector A se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coorde-nadas polares (8,60) y el vector B se extiende desde el origen hasta un puntoquetienecoordenadaspolares(3,340).Calcularsuproductoes-calar, vectorial y el ngulo que forman los vectores. 1.13Sij3 i4 A + = yj5 iB + =, calcular su producto escalar, vectorial y el ngulo que forman los vectores. Dibujar todos los vectores. 1.14Paralossiguientesvectores:j3 i2 V1+ =,k2 j5 . 1 i3 V2+ + =, k5 j7 i5 . 2 V3 =, calcular la magnitud y direccin de cada vector. 1.15Para los vectores del problema 1.14 calcular: a) su suma, b) 3V2 V1, c) 5V3 + V2, d) 2V1 +3V2 0.5V3. Dibujar los vectores y los resultados. 1.16 Para los vectores del problema 1.14, calcular a) el producto escalar en-tre cada par de vectores, f) el producto vectorial entre cada par. 1.17El vector F1 tiene una magnitud de 5 unidades y el vector F2 tiene una magnitud de 10 unidades. Ambos vectores forman un ngulo de 120 en-tre si. Calcular su producto escalar y vectorial. 1.18Demostrar que: z z y y x xB A B A B A B A + + = 1.19Demostrar que:0 kkjjii= = = 1.20Demostrar que:jik , ikj , kji= = = Cap. 2 Movimiento en una dimensin. CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION. Lacinemticaeslaramadelamecnicaqueestudialageometradelmovi-miento. Usa las magnitudes fundamentales longitud, en forma de camino reco-rrido,deposicinydedesplazamiento,coneltiempocomoparmetro.La magnitud fsica masa no interviene en esta descripcin. Adems surgen como magnitudes fsicas derivadas los conceptos de velocidad y aceleracin. Para conocer el movimiento del objeto es necesario hacerlo respecto a un sis-tema de referencia, donde se ubica un observador en el origen del sistema de referencia, que es quien hace la descripcin. Para un objeto que se mueve, se pueden distinguir al menos tres tipos de movimientos diferentes: traslacin a lolargodealgunadireccinvariableperodefinida,rotacindelcuerpoalre-dedor de algn eje y vibracin. Generalmente el movimiento de traslacin en el espacio est acompaado de rotacin y de vibracin del cuerpo, lo que hace quesudescripcinseamuycompleja.Poresto,seconsideraunestudiocon simplificacionesyaproximaciones,enelcualseproponeunmodelosimple paraestudiarcadamovimientoenformaseparada,.Laprimeraaproximacin esconsideraralcuerpocomounapartcula,lasegundaesconsiderarsloel movimientodetraslacin,unaterceraaproximacinesconsiderarelmovi-miento en una sola direccin. 2.1 DEFINICIONES. Antesdehacerladescripcindelmovimiento,esnecesariodefiniralgunos conceptos y variables fsicas que se usarn en este curso. Cinemtica: describe el movimiento de los cuerpos en el universo, sin consi-derar las causas que lo producen. Movimiento: es el cambio continuo de la posicin de un objeto en el transcur-so del tiempo. Partcula: el concepto intuitivo que tenemos de partcula corresponde al de un objeto muy pequeo que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejem-ploungranodearena.Elconceptofsicoabstractoesunaidealizacindeun objetoconsideradocomounpuntomatemticosindimensiones,quetendr sloposicin,masaymovimientodetraslacin.Estosignificaquecualquier 39Cap. 2 Movimiento en una dimensin. objetopuedeserconsideradocomopartcula,independientedesutamao, considerando su masa concentrada en un punto que lo representa. Ejemplos de objetosquesepuedenconsiderarcomounapartculasonuntomo,unahor-miga, un avin, la Tierra, etc., en este ltimo caso se justifica si se estudia su movimiento de traslacin en torno al Sol. Posicin:eslaubicacindeunobjeto(partcula)enelespacio,relativaaun sistema de referencia. Es un vector y se denota por: k z j y i x r + + =(2.1) donde x, y y z son los valores de la posicin en cada direccin, e son los vectores unitarios en la direccin de cada eje x, y y z, respectivamente. En unadimensinessimplemente k j iy ,i x r=.Esunadelasvariablesbsicasdel movimiento,juntoconeltiempo,enelSIsemideenmetros.Laposicinse puede dibujar en un sistema de referencia en una y dos dimensiones como se muestra en la figura 2.1a y 2.1b respectivamente: Figura 2.1a: Posicin en una dimensin. Figura 2.1b: Posicin en dos dimensiones. Desplazamiento:eldesplazamientosedefinecomoelcambiodeposicinde una partcula en el espacio (para indicar cambios o diferencias finitas de cual-quier variable en fsica se usa el smbolo delta, ). Es independiente de la tra-yectoriaquesesigaparacambiardeposicin.Paradeterminarlosedebeco-nocerlaposicininicial iryfinal frdelapartculaenmovimiento.E1des- 40Cap. 2 Movimiento en una dimensin. plazamiento es un vector, que puede ser positivo, negativo o cero, en el SI se mide en metros; se dibuja en el esquema de la figura 2.2. En una dimensin y en dos dimensiones, el desplazamiento es: i x x xi f) ( = (2.2) ) ( ) ( j y i x j y i x r r ri i f f i f+ + = =

Figura 2.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones. Trayectoria: es la curva geomtrica que describe una partcula en movimiento enelespacio,yserepresentaporunaecuacindelatrayectoria.Enunadi-mensin es una recta y = cte, paralela al eje x; en dos dimensiones puede ser una parbola y = a + bx2o una circunferencia x2 + y2 = r2 u otra curva. Distancia: es la longitud que se ha movido una partcula a lo largo de una tra-yectoria desde una posicin inicial a otra final. Su valor numrico en general no coincide con el valor numrico del desplazamiento, excepto en casos muy particulares. Tiempo:Queseltiempo?Noesfcildefinirfsicamenteelconceptode tiempo. Es ms simple hablar de intervalo de tiempo, que lo podemos definir como la duracin de un evento, o si consideramos la posicin y sus cambios, podemosdecirqueeltiempoesloquetardaunapartculaenmoversedesde una posicin inicial a otra final. 41Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 2.2 VELOCIDAD Y ACELERACION. Para describir el movimiento debemos definir otras variables cinemticas, que son la velocidad y la aceleracin. 2.2.1 Velocidad media. Para una partcula que se mueve en direccin del eje x, desde la posicin ini-cial xi que en un instante inicial ti se encuentra en el punto P, hasta la posicin final xf que en un instante final tf se encuentra en el punto Q, el desplazamien-todelapartculaenelintervalodetiempo i ft t t = es. x x xi f = Se eligeelsistemadereferenciaquesemuestraenlafigura2.3.Sedefinela componentexdelavelocidadmedia mxvdelapartculacomoelcambiode posicin en un intervalo de tiempo por la expresin: i fi fmxt tx xtxv== (2.3) Figura 2.3 Sistema de referencia en una dimensin para definir la velocidad media. De su definicin se obtiene que la unidad de medida de la velocidad media en el SI es el cuociente entre la unidad de medida de longitud y de tiempo, esto es m/s, que se lee metros por segundo. La velocidad media es independiente de la trayectoriaenelmovimientodesdePaQ,esunvectorypuedeserpositiva, negativaocero,segnelsignoovalordeldesplazamiento(yaquet>0 siempre). En una dimensin, si la posicin x aumenta con el tiempo (xf > xi) x > 0, entonces0 vmx >, y la partcula se mueve en direccin positiva del eje x, y viceversa si x < 0. 42Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Unainterpretacingeomtricadelavelocidadmediasepuedeilustrarenun grfico x/t llamado grfico posicin - tiempo. La recta PQ es la hipotenusa del tringulo de lados x y t, que se muestra en la figura 2.4. La pendiente de la recta PQ, que tiene el mismo valor numrico que la mxv, est dada por la tan-gente del ngulo que forma la pendiente con el eje horizontal, cuyo valor es: pendientetx== tan Figura 2.4aFigura 2.4b Notar que el grfico de la figura 2.4 no es un sistema de referencia en dos di-mensiones,apesardetenerdosejes,yaqueelejehorizontalnoesdeposi-cin, sino de tiempo. 2.2.2 Velocidad instantnea. Es la velocidad de la partcula en un instante determinado. Si se considera que el intervalo de tiempo t se puede hacer cada vez ms y ms pequeo, de tal maneraqueelinstantefinaltftiendeacoincidirconelinstanteinicialti,en-toncessedicequeelintervalodetiempotiendeacero,oseat0.Enel lmite cuando t 0,rtambin tiende a cero, por lo que la partcula se en-cuentra en una posicin instantnea. Por lo tanto se puede definir el vector ve-locidad instantneav de la siguiente forma: 43Cap. 2 Movimiento en una dimensin. dtr dtrlim v0 t == (2.4) Lavelocidadinstantnea,quellamaremossimplementevelocidad,puedeser positiva (negativa) si la partcula se mueve en direccin positiva (negativa) del eje x, o cero, en este caso se dice que la partcula est en reposo. La velocidad tiene la misma interpretacin geomtrica que la velocidad media y en la figura 2.4b se ilustra en el grfico x/t una curva de pendiente positiva, que representa una velocidad positiva. Rapidez. Se define como rapidez instantnea v a la magnitud o valor numrico del vec-tor velocidad, por lo tanto es siempre positiva. 2.2.3 Aceleracin media. Lonormalesquelavelocidaddeunapartculaenmovimientovareenel transcursodeltiempo,entoncessedicequelapartculatieneaceleracin.Se definelaaceleracinmediaamcomoelcambiodevelocidadenunintervalo de tiempo, lo que se escribe como: i fi fmt tv vtva== (2.5) La aceleracin media es un vector, su unidad de medida en el SI es el resulta-dodedividirlaunidaddemedidadevelocidadydetiempo,estoes(m/s)/s, que se lee m/s2. 2.2.4 Aceleracin instantnea. Es la aceleracin a de la partcula en un instante determinado. De manera an-loga a la definicin de la velocidad, se escribe: 44Cap. 2 Movimiento en una dimensin. dtv dtvlim a0 t == (2.6) Como vector, si la aceleracin es positiva (negativa) apunta en direccin posi-tiva(negativa)delejex,independientementedeladireccindelmovimiento de la partcula. Puede existir una aceleracin positiva o negativa y la partcula puede estar aumentando su velocidad, y viceversa. En el esquema de la figura 2.5 se muestra para algunos casos el sentido de la aceleracin para diferentes valores y signos de la velocidad. Figura 2.5 Esquema de diferentes sentidos de la aceleracin. Si la aceleracin es constante, entonces la rapidez promedio se puede calcular como el promedio aritmtico entre los distintos valores de rapidez de la forma: ( )f i mv v v + =21 Una interpretacin geomtrica de la aceleracin se obtiene del grfico rapidez versus tiempo o grfico v/t, donde la pendiente de la curva representa el valor numrico de la aceleracin, como se ve en la figura 2.6. Si la rapidez, esto es la pendiente de la curva, es positiva (negativa), la aceleracin es positiva (ne-gativa). En el grfico se observa una curva con pendiente positiva que dismi- 45Cap. 2 Movimiento en una dimensin. nuye su valor hasta cero, que representa un movimiento con aceleracin posi-tiva, pero disminuyendo su valor, luego la pendiente se hace negativa, aumen-tando negativamente su valor y lo mismo ocurre con la aceleracin. a pendientetv= == tan Figura 2.6 Grfico rapidez versus tiempo. La aceleracin tambin se puede escribir como: 22dtx ddtx ddtddtv da == = que corresponde a la segunda derivada de la posicin respecto al tiempo. La aceleracin tambin puede variar en el tiempo, pero esa variacin no tiene significado fsico de importancia, por lo que no se le da un nombre en particu-lar.Aunqueda/dtpodrarepresentarollamarsealgoascomosacudno empujn. Tambin puede existir un d(empujn)/dt y as hasta el infinito. Ejemplo 2.1: Una partcula se mueve en direccin x > 0 durante 10 s con ra-pidez constante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular: a)sudesplazamientoenlosprimeros10s,b)laaceleracinmediaencada intervalo de tiempo, c) la rapidez media del movimiento. 46Cap. 2 Movimiento en una dimensin.

Solucin: Datos t1 = 10 s, vi = 18 km/h = 5 m/s, t2 = 5 s, vf = 25 m/s a)m ssmt v xtxv 50 10 5 = = = = b)para t1:vi = cte => a = 0 para t2: 245/ ) 5 25 (smss mtva === c) sm s mv vvf im152/ ) 25 5 (2=+=+= 2.3DESCRIPCINCINEMTICADELMOVIMIENTOENUNADI-MENSIN CON ACELERACIN CONSTANTE. E1 movimiento de una partcula se describe por completo si se conoce su po-sicin en cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes cambios de los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y descri-birlos. Algunos cambios son difciles de describir, como por ejemplo los mo-vimientos de una nube, formada por billones de gotitas de agua que se mueven al azar y pueden evaporarse o unirse para formar gotas ms grandes, o bien los cambios de opinin de una mujer. Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta en que posi-cin se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si la aceleracina vara en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y difcildeanalizar.Uncasosimpledemovimientoesaquelqueserealizaen una direccin con aceleracin constante. Si la aceleracin es constante, enton-ces la ma a = , lo que significa que la velocidad cambia de manera uniforme en todo el movimiento. Consideremos primero el caso de una partcula que se mueve en direccin del eje x con la magnitud de la aceleracin a constante. Si v0 es el valor de la ve-locidad o rapidez en el instante inicial t0, y v su valor en el instante t, de la de-finicin de a se tiene: 47Cap. 2 Movimiento en una dimensin. = = = = = ) (0 00 0t t a v vdt a adt dv adt dvdtdvattttvvo )0 0( ) ( t t a v t v + = (2.7) La ecuacin 2.7 permite determinar la velocidad v = v(t) de una partcula que se mueve en una direccin con aceleracina constante, para cualquier instan-te t > t0. Como v0, a y t0 son valores conocidos, se observa que v es una fun-cin lineal del tiempo t, por lo tanto el grfico rapidez versus tiempo o grfico v/t es de la forma que se muestra en la figura 2.7a. Para a < 0, y para el caso deunapartculaqueestdisminuyendosurapidez,losgrficosv/tya/tse muestran en la figura 2.7b. Figura 2.7a. Grficos v/t y a/t, para a > 0. Figura 2.7b. Grficos v/t y a/t, para a < 0. 48Cap. 2 Movimiento en una dimensin. El valor de la pendiente de la tangente a la curva v(t) en el grfico v/t es igual al valor numrico de la aceleracin. Para el movimiento con aceleracin cons-tante v(t) es la ecuacin de una recta. Conocidav=v(t)sepuedeusarladefinicindelavelocidadparaobtenerla posicin de la partcula en cualquier instante. = = = vdt dx vdt dxdtdxv Siinicialmente,parat=to,lapartculaseencuentraenlaposicinxoyen cualquier instante t se encuentra en la posicin x, la velocidad en funcin del tiempoes) t t ( a v ) t ( v0 0 + = ,reemplazandoenlaintegral,conloslmites de integracin correspondientes queda: [ ]20 0 0xxtt0 0) t t ( a21) t t ( v dt ) t t ( a v dx0 0 + = + = Escrita en forma vectorial, se obtiene: 20 0 0 0) t t ( a21) t t ( v x x + = Como xo, vo y a son los valores conocidos para t = to, se deduce que x es slo funcindeltiempo,aslaecuacinquedescribelaposicindeunapartcula en movimiento en funcin del tiempo x = x(t) es: 20 0 0 0) t t ( a21) t t ( v x x + + = (2.8) 49Cap. 2 Movimiento en una dimensin. La ecuacin 2.8 es la expresin que permite determinar el valor de la posicin de la partcula en cualquier instante, conocido los valores iniciales. El grfico posicin/tiempo es una parbola, ya que la ecuacin x = x(t) es cuadrtica en t. La pendiente de la tangente a la curva en cualquier instante t representa el va-lornumricodelavelocidaddelapartcula(figura2.8).Estaecuacinx(t) tambin se conoce como ecuacin de itinerario. Figura 2.8 Grfico x/t Las ecuaciones x = x(t), v = v(t) y a = cte., forman el conjunto de ecuaciones cinemticas, que permiten describir el movimiento simple de una partcula que semueveconaceleracinconstanteenunadireccin,ycomoconesasecua-ciones se pueden determinar los valores de esas variables para la partcula en cualquier instante, el movimiento queda completamente descrito. Para el caso particular de un movimiento con rapidez constante, la aceleracin de la part-cula es cero, y las ecuaciones del movimiento 2.7 y 2.8 se reducen a: ) t t ( v x x0 0 0 + = . cte v v0 = = Ejemplo 2.2: Demostrar que si la aceleracin de una partcula en movimiento es constante, se tiene que.x a v vo + = 22 2 50Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Solucin:De, se despeja) t t ( a v ) t ( vo o + =av vt t00= , reemplazando en 20 0 0 0) t t ( a21) t t ( v x x + + = , 20 00 0av va21a) v v (v x x+= a 2) v vv 2 v (avav vx x20 0220 00+ + = ,dividiendo por 2a 20220 0220 0 0v v v vv 2 v v 2 v v 2 ) x x ( a 2 = + + = x a 2 v v202 + = Estaesunaexpresinescalarindependientedeltiempo,noesunaecuacin general, por lo que no se puede usar en cualquier problema, es de utilidad res-tringida ya que slo permite obtener la magnitud de las variables que contiene. Ejemplo2.3.unmvilpartedesdeelreposoenelinstantet=5syacelera hacia la derecha a razn de 2 m/s2 hasta t = 10 s. A continuacin mantiene su velocidadconstantedurante10s.Finalmentefrenahastadetenerse,loque logra hacer 3 segundos ms tarde. a) Determinar a qu distancia del punto de partida se encuentra en t = 10 s. b) Con qu velocidad se mueve en ese ins-tante?c)Aqudistanciadelapartidaseencuentracuandoempiezaafre-nar? d) Dnde se detiene respecto al punto de partida? e) Escriba las ecua-ciones correspondientes a: a(t), v(t), x(t) para cada etapa del movimiento. Solucin: Se puede elegir el SR como el cliente guste; una posibilidad se ilus-tra en la figura 2.9, donde inicialmente se ubica a la partcula en el origen O y se empieza a medir el tiempo desde el instante inicial 5 s. a)Se pide evaluar x(t) para t = 10 s, con las condiciones xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s2, to = 5s, t1 = 10s, en el tramo A 51Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 20 0 0 0 0) t t ( a21) t t ( v x ) t ( x + + = m 25 s ) 5 10 (sm2210 0 ) 10 ( x2 22= + + = Figura 2.9 b)Ahora hay que calcular v(t) en t = 10 s, usando la ecuacin: ) t t ( a v ) t ( v0 0 0 + = m/s 10 s ) 5 10 (sm2 0 ) 10 ( v2= + = c)Piden evaluar x(t) para t = 20 s, usando esquema y datos del tramo B: 21 1 1 10 10) t t ( a21) t t ( v x ) t ( x + + = m 125 0 s ) 10 20 (sm10 m 25 ) 20 ( x = + + = d)Aqu se pide calcular x(t) para t = 23 s, se conoce vf = 0, t3 =23 s, pero no se conoce a2, por lo que se debe calcular. 22 3 20 20) 20 t ( a21) 20 t ( v x ) t ( x + + = clculo de a2: 52Cap. 2 Movimiento en una dimensin. en el tramo C) t t ( a v v2 2 2 + = 20 tva ) 20 t ( a v 0322 3 2 2 = + = Pero v2 = cte en el tramo B v2 = 10 m/s 2sm310s ) 20 23 (s / m 10a = = m 140 ) 23 ( xm 140 ) 20 23 (31021) 20 23 ( 10 125 ) t ( x2= = + =

e)Ecuaciones de movimiento: Para el tramo A:20 o 0 0 0) t t ( a21) t t ( v x ) t ( x + + = Con xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s2, to = 5s 2 2o) 5 t ( ) t ( x ) 5 t ( a21) t ( x = = ) 5 t ( 2 ) t ( v ) t t ( a v ) t ( v0 0 0 = + = Las ecuaciones para los tramos B y C las puede deducir el alumnos de los re-sultadosobtenidosenc)yd),dondebastareemplazarlosvaloresenlasfun-ciones de posicin y rapidez en funcin de t. Ejemplo2.4.UnautoingresaenConcepcinalpuentenuevoaSanPedro conunarapidezde54km/h,laquemantieneconstantemientrasrecorreel puente.EnelmismoinstanteenSanPedrootroautoingresalentamenteal puente con una rapidez inicial de 10.8 km/h hacia Concepcin, acelerando a 1 m/s2. Si la longitud del puente es de 1838 m. Calcular a) la posicin donde se cruzan,b)larapidezdelautodeSanPedroenelinstanteenquesecruzan, qu comentario puede hacer de este resultado? 53Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Solucin: Datos: toA = toB = 0, xoA = 0, xoB = 1838m sm15110003600154 = =kmmshhkmvoA, aA = 0 m/s 3 km/h 8 . 10 = =oBv , aB = 1m/s2 El esquema de la figura 2.10, muestra el sistema de referencia elegido: Figura 2.10. a)Elmovimientoesenunadimensincona=cte,lasecuacionesparacada mvil (A en Concepcin, B en San Pedro) son: ( ) ( ) t 15 x t v x t t a21t t v x xA A 0 A20 A 0 A 0 A 0 A= = + + = ( ) m/s 15 v v v t t a v vA A 0 A 0 A A 0 A= = + = ( ) ( )2B20 B 0 B 0 B 0 Bt21t 3 1838 x t t a21t t v x x = + + = ( ) t 3 v t t a v vB 0 B B 0 B = + = Cuando se cruzan: xA = xB, entonces 0 1838 t 18 t 5 . 0 t 5 , 0 t 3 1838 t 152 2= + = 54Cap. 2 Movimiento en una dimensin. s t s t t 6 . 40, 2 . 451) 1838 )( 5 . 0 ( 4 18 182 12 = = + = ( ) m 678 ) 2 . 45 ( 15 2 . 45 x = = b)( ) km/h 5 . 173 m/s 2 . 48 2 . 45 3 2 . 45 = = =Bv El automvil de San Pedro no puede acelerar durante todo ese tiempo, porque alcanzaraunarapidezmuyalta,superandoenmucholamximapermitiday posible de alcanzar. 2.4 CALCULO GRFICO DE x Y v. El proceso de integracin es grficamente equivalente a encontrar el rea bajo la curva y = f(x). Se puede usar esta propiedad de las integrales para calcular grficamente el valor del desplazamiento x y el cambio de rapidez v de una partcula en movimiento. De la definicin de velocidad se tiene: = = = =ttttxxdt t v xdt t v dx vdt dxdtdxvo00) () (

donde v(t) es la velocidad en cualquier instante. Si se conoce la forma analtica dev(t)sepuedecalcularlaintegral,perosinoseconoce,sepuedeevaluar grficamenteypordefinicindeintegral,laexpresinanteriorseinterpreta como (ver figura 2.11a): desplazamiento = rea bajo la curva v/t Considerando primero el caso en que la partcula se mueve con rapidez cons-tante vo (significa que su aceleracin es cero), entonces del grfico v/t, que se 55Cap. 2 Movimiento en una dimensin. muestraenlafigura2.11a,eldesplazamientoeselreadelrectngulodela-dos vo y t, esto es: desplazamiento = rea rectngulo t v xo = ,con vo = cte. Figura 2.11 a) izquierda, b) derecha. Considerando ahora el caso en que la partcula se mueve con rapidez v(t) fun-cin lineal del tiempo (en este caso la aceleracin es constante), o sea v(t) = vo + a(t - to), el desplazamiento x de la partcula durante el intervalo de tiempo desde to a t es igual al rea bajo la recta v(t) de la figura 2.11b: desplazamiento = rea rectngulo + rea tringulo 2oo) t ( a21tt v21tv xv x + = + = Demanerasimilarseobtieneelcalculogrficoparaelcambioderapidez. Considerar una partcula que se mueve con rapidez vo en el instante inicial to y conrapidezvenelinstantet,queaumentasuaceleracinlinealmenteconel tiempo, o sea a(t) = ao + k(t - to), donde ao es el valor inicial de la aceleracin 56Cap. 2 Movimiento en una dimensin. y k representa el valor de la pendiente de la recta en el grfico aceleracin ver-sustiempo,quedebetenerunidaddemedidadem/s3.Enestecasoestamos extendiendo la descripcin del movimiento al caso de una partcula con acele-racinvariable,dejandodeladolarestriccinimpuestaalprincipiodeeste captulo. El cambio de rapidez v de la partcula durante el intervalo de tiem-po desde to a t es igual al rea bajo la recta a(t) de la figura 2.12: cambio de rapidez = rea rectngulo + rea tringulo t a21toa v + = Como se propuso, a es una funcin lineal de t de la forma a(t) = ao +k(t - to), entonces a(t) - ao = k(t - to), o bien a = kt, reemplazando se tiene: 2o) t ( k21t a v + = Observarqueenestecasosetieneunmtodoparadescribirunmovimiento con aceleracin variable (en este caso linealmente) en el tiempo. Figura 2.12 Ejemplo 2.5: En la figura 2.13 se muestra el grfico rapidez/tiempo para una partculaquesemueveendireccinpositivadelejex. a)calculareldespla-zamientodelapartcula,b)hacerelgrficoaceleracin/tiempo,c)determi-nar las ecuaciones de movimiento en cada intervalo de tiempo, d) calcular su posicin en los instantes 5, 10 y 20 segundos. 57Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Figura 2.13 Ejemplo 5. Solucin.a)Eldesplazamientoesigualalrea(A)bajolacurvav/t,quees conveniente calcular por intervalos de tiempo, entonces: s t 5 0 < :( ) m ssmx A 50 5 20211 1== =s t 10 5 < :( ) m ssmx A 100 5 202 2== =s t 20 10 :( ) ( ) m s s x A 150 10sm10 10sm10213 3=+= = m 300 150 100 50 x x x x3 2 1 T= + + = + + = b)Losvaloresdelaaceleracinquesepuedencalculardelapendientedel grfico v/t en cada intervalo de tiempo, se indican en el grfico a/t de la figura 2.14. Figura 2.14. Ejemplo 5, parte b). c)Determinacindelasecuacionesdemovimiento,suponiendoquexo=0 para to = 0. 58Cap. 2 Movimiento en una dimensin. s t 5 0 < : 2 2ot 2 ) t ( x at21t v ) t ( x = + = s t 10 5 < : ( ) ( )( ) 5 t 20 50 ) t ( x5 t a215 t v ) 5 ( x ) t ( x2o + = + + = s t 20 10 : ( ) ( )( ) ( )22o10 t2110 t 20 150 ) t ( x10 t a2110 t v ) 10 ( x ) t ( x + = + + = d) La posicin en los instantes pedidos (y en cualquier otro tiempo) se puede calcular con las ecuaciones de movimiento anteriores para t = 5s: x(t) = 2t2 x(5) = 2(5)2 = 50 m para t = 10s: x(t) = 50+20(t-5) x(10)=50+20(10-5) = 150 m para t = 20s: x(t) = 150+20(t-10)- (t-10)2 x(20) = 300 m Ejercicio: calcular la posicin en los instantes 2.5, 8 y 15 segundos. 2.5 CUERPOS EN CADA LIBRE. Uncasoparticulardemovimientoenunadimensin,esaqueldelosobjetos quesemuevenlibrementeendireccinverticalcercadelasuperficiedela Tierra, que se conoce como movimiento de cada libre. Galileo (1564 1642), fsico y astrnomo italiano, fue el primero en estudiar el movimiento de cada libre,alobservarquedoscuerposdiferentes,aldejarloscaerdesdelatorre inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo. Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cer-ca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleracin aproximadamente constante. Esta aceleracin, que se llama aceleracin de gravedad, es produci-da por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atrac-cin gravitacional, cuyo origen ser explicado en el Captulo 9. 59Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Laaceleracindegravedad,quesedenotaporgesunvectorqueapunta haciaelcentrodelaTierra,sumagnitudaumentalevementealaumentarla latitud,esdecirdesdeelecuador hacia los polos, y disminuyealaumentarla altura sobre la superficie terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra es aproximadamente de 9.8 m/s2. Sedicequeunobjetoestencadalibrecuandosemuevebajolainfluencia slo de la aceleracin de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza queseresistealmovimientoyquetambinserestudiadamsadelante)que elaireoponealoscuerposenmovimiento,sinimportarlavelocidadinicial del objeto. Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La acele-racinqueadquierenessiemprelaaceleracindegravedad,verticalhacia abajo, cualquiera sea la direccin inicial del movimiento. Comoelmovimientodecadalibreesenunadimensin,conaceleracin constante,sepuedeadoptarcomodireccindelmovimientoalejeverticaly. Porlotantosepuedenaplicarlasecuacionesparaelmovimientoenunadi-mensin,tomandoalejeyenladireccindelmovimientodecada,porcon-vencinpositivohaciaarriba.Conestaconvencin,unmovimientodecada libredeascensoodedescensotieneunaaceleracingnegativa.Tambinse debetenerencuentaquesielcuerpoasciende(desciende)suvelocidadser positiva (negativa) en este sistema de referencia. De est forma las ecuaciones de movimiento 2.7 y 2.8 se transforman en las ecuaciones para cada libre: ( )21o oy ot t g v y y + = 2(2.9) ( )o oy yt t g v v = (2.10) Los grficos posicin/tiempo, velocidad/tiempo y aceleracin/tiempo para una partcula que se lanza verticalmente hacia arriba, desde una posicin inicial yo, que no tiene porque ser el suelo, son los que se muestran en la figura 2.15 60Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Figura 2.15. Grficos y/t, vy/t y a/t, para a = -g Ejemplo 2.6: Tito lanza una piedra hacia arriba desde la terraza de un edifi-cio de 50 m de alto, con una rapidez inicial de 20 m/s. Cuando est cayendo lapiedrapasajustoporelcostadodeledificio.Calculara)eltiempopara que la piedra alcance su altura mxima, b) la altura mxima, c) el tiempo que tarda en pasar por el punto inicial, d) la velocidad de la piedra en ese instan-te, e) el tiempo que tarda en llegar al suelo, f) la velocidad en ese instante. Solucin: Considerando un sistema de referenciaquesemuestraenlafigura 2.16,conelejeypositivoverticalhaciaarribayelorigenyo =0dondeco-mienza el movimiento de la piedra, con to = 0 y vo = 20 m/s. a)Cuando la piedra alcanza la mxima altura v = 0: s 210m/sm/s 200 ) (2 = = = = = t gt v gt v t vo o b)Se pide evaluar y(t) para t = 2 s 2) (21) (o o oy ot t g t t v y y + = 221gt t v yo = ( ) ( )( ) m s s y y 20 2 m/s 1021) 2 ( m/s 20 ) 2 (2 2max= = = Figura 2.16 61Cap. 2 Movimiento en una dimensin. c)Cuando pasa por el punto inicialy = 0 sgvt gt v tt gt v gt t v yooo o410) 20 )( 2 ( 2021y 002102112= = = = = = = = d)Hay que evaluar v para t = 4s sm20 ) 4 )( 10 ( 20 ) 4 ( ) ( = = = v gt v t vo e)En esta posicin y = -50 m s t s t t tt t gt t v yo7 . 1 y 7 . 5 0 10 45 20 50212 122 2 = = = = = Se descarta el tiempo negativo, porque fsicamente no es posible. f) sm37 ) 7 . 5 )( 10 ( 20 ) 7 . 5 ( ) ( = = = v gt v t vo 2.5.1 Efectos de g en las personas. La capacidad de una persona para soportar una aceleracin depende tanto de la magnitudcomodeladuracindesta.Debidoalainerciadelasangreyde losrganosdilatables,lasaceleracionespequeastienenpocaimportanciasi duran slo fracciones de segundo. El lmite de tolerancia se encuentra cercano a 10g y depende de la resistencia estructural de los cuerpos. La mayora de las personas han experimentado aceleraciones verticales moderadas en los ascen-sores. La sangre circula por vasos dilatables de manera que cuando el cuerpo esaceleradohaciaarriba,lasangreseacumulaenlaparteinferiordeste. Cuando la aceleracin es hacia abajo, aumenta el volumen de sangre en la par- 62Cap. 2 Movimiento en una dimensin. tesuperiordelcuerpo,asuvezlosrganosinternosnosemantienenrgidos ensusitioysudesplazamientodurantelaaceleracinpuedeproducirsensa-ciones desagradables. Cuando un avin despega, aterriza o realiza giros muy rpidos, est sometido a aceleraciones de hasta 9g. El grado de tolerancia de un humano a esta acele-racindependerentreotrosfactoresdelpeso,edadycondicinfsicadela persona. A modo de ejemplo, un piloto que en tierra pesa 80 kilos, cuando es sometido a este valor de aceleracin siente repentinamente que su peso es al-rededorde720kilos.Estamismaaceleracinhacequelasangrefluyahacia los pies del piloto, esto disminuye el retorno venoso al corazn con lo cual la presin baja y el piloto puede perder la visin temporalmente, para luego per-der la conciencia. Tambin existen aceleraciones negativas durante el vuelo en la cual el piloto experimenta la aceleracin en posicin invertida. En ese caso la aceleracin hace que la sangre fluya al cerebro, el piloto sufre de palidez y su visin se torna roja. Estudios han determinado que los humanos pueden soportar hasta 9g de acele-racionespositivasy3gparaaceleracionesnegativas.Unpilotoqueviajaen avionesmodernosqueinclusoalcanzan velocidadescercanasaladelsonido, podradetenersesinpeligroenunadistanciaaproximadade200m,perosi esta velocidad fuese unas 100 veces mayor (valores que pueden ser alcanzados en viajes interplanetarios), la distancia de frenado que necesitara para no pro-ducirefectosnocivosensustripulantesdebeserdeaproximadamente 16000km. La razn de esta diferencia est en que la cantidad total de energa que se disipa durante la desaceleracin es proporcional al cuadrado de la velo-cidad,loqueessuficienteparaaumentarladistanciaunas10000veces.Por esta razn se han creado procedimientos y aparatos especiales para proteger a lospilotosdelcolapsocirculatorioqueapareceduranteaceleracionespositi-vas. Primero, si el piloto aprieta sus msculos abdominales en grado extremo y se inclina hacia adelante para comprimir el abdomen, puede evitar la acumu-lacin de sangre en los grandes vasos abdominales, evitando as la perdida de conciencia.Ademssehandiseadotrajesanti-gparaprevenirelestanca-miento de sangre en la parte ms baja del abdomen y las piernas. Este tipo de trajeaplicaunapresinpositivaenpiernasyabdomen,inflandocomparti-mientosdeaireamedidaqueaumentalaaceleracinpositiva.Ademsel cuerpo humano presenta de 1 a 2 cm de tejido blando externo, lo que aumenta ladistanciadedesaceleracinyporlotantodisminuyelafuerzadeimpacto, por ejemplo, durante una cada. 63Cap. 2 Movimiento en una dimensin. PROBLEMAS. 2.1CuandoCarlosviajaenunaautopista,pasaporlamarcade260km. Despussiguemovindosehastalamarcade150km.yluegosede-vuelvehastalamarca175km.Culessudesplazamientoresultante respecto a la marca de 260 km.? R: 85 km. 2.2Un gato negro se encuentra en una posicin final de 3.6 m en direccin 240respectoax,despusderealizarundesplazamientode120cmen 135 respecto de x. Determine su posicin inicial. R: 4.1m, 256.5. 2.3La luz del Sol llega a la Tierra en 8.3 min. La rapidez de la luz es de 3 x 108m/s. Calcular la distancia de la Tierra al Sol. R: 1.5 x 1011 m. 2.4Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su amigo a 95 km/h. Cunto tiempo tiene que esperarlo su amigo al fi-nal del viaje? R: 1.8 min. 2.5Ana conduce calle abajo a 55 km/h. Repentinamente un nio atraviesa la calle. Si Ana demora 0.75 s en reaccionar y aplicar los frenos, cuntos metros alcanza a moverse antes de comenzar a frenar? R: 11 m. 2.6Las condiciones de movimiento de una partcula que se mueve en direc-cinxson 2m/s4 , m/s3 ,7 i a i v m i xo o = = = ,enelinstanteinicial t0=0.a)Escribirlasecuacionesvectoriales de la posicin y velocidad del cuerpo en cualquier instante. b) Calcular la posicin del cuerpo res-pecto al origen a los 10 s de iniciado el movimiento. c) Averiguar si el cuerpo se detiene en algn instante. R: b) 223i m, c) no. 2.7Unapartculasemueve a lo largo del ejexdeacuerdoconlaecuacin x(t)=(3t2-2t+3)m. Calcular a) la rapidez promedio entre t = 2s y t = 3s, y b) la velocidad instantnea en t = 2s y t = 3s, c) la aceleracin prome-dio entre t = 2s y t = 3s y d) la aceleracin instantnea en t = 2s y t = 3s. 2.8Unapartculasemueve a lo largo del ejexdeacuerdoconlaecuacin x(t)=2+3t-t2, donde x est en metros y t en segundos. Para t=3s, calcular a)laposicindelapartcula,b)suvelocidadc)suaceleracin.R:a) 2m, b) 3m/s, c) 2m/s2. 64Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 2.9Las ecuaciones de movimiento para dos partculas A y B que se mueven en la misma direccin son las siguientes (x en m y t en s). 221 . 4 5 . 8 29 ) (20 6 2 . 3 ) (t t t xt t t xBA + = = Calcular: a) el instante para el cual las posiciones de A y B coinciden, b) las velocidades de A y B en el instante en que se encuentran en la misma posicin.R: a) 3.8s, b) 18.3 m/s, -22.7 m/s. 2.10Unelectrnenuntuboderayoscatdicosacelerade2x104m/shasta6x106m/s en 1.5cm. a) Cunto tiempo tarda el electrn en recorrer esta distancia? b) Cul es su aceleracin? 2.11Un electrn tiene una velocidad inicial de 3x105m/s. Si experimenta una aceleracin de 8x1014 m/s2, a) Cunto tardara en alcanzar una velocidad de 5.4x105 m/s, y b) qu distancia recorre en ese tiempo? 2.12Determinelavelocidadfinaldeunprotnquetieneunavelocidadini-cial de 2.35 x 105 m/s, y es acelerado uniformemente en un campo elc-trico a razn de 1.10x1012 m/s2 durante 1.5x10-7s. R: 7.0 x 104 m/s. 2.13Un jet supersnico que vuela a 145 m/s acelera uniformemente a razn de23.1m/s2durante20s.a)Culessuvelocidad final? b) La rapidez del sonido en el aire es 331 m/s. Cuntas veces mayor es la velocidad final del avin comparada con la del sonido? R: a) 607 m/s, b) 1.83 ve-ces la rapidez del sonido. 2.14Dosautos A y B se mueven en lnea recta en direccinpositiva del eje x.Enelinstanteinicial Aestenreposoyaceleracon2m/s2.Elmovi-miento de B es con rapidez constante de 20m/s. Calcular: a) la distancia querecorrenenunminuto,b)eltiempoquedemoraraAenigualarla rapidezdeB,c)ladistanciaquelosseparacuandosusrapidecesson iguales, d) la aceleracin que debera ejercerse sobre B para que pudiera detenerse en 4 s. R: a) 3600m, 1200 m, b) 10 s, c) 100 m, d) 5 m/s2. 65Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 2.15Un auto que se mueve con aceleracin constante recorre en 6 s la distan-ciade60mqueseparadospuntos;surapidezalpasarporelsegundo punto es de 14 m/s. Calcular: a) la aceleracin del auto, b) su velocidad al pasar por el primer punto, c) la posicin donde se encontraba en repo-so. R: a) 4/3 m/s2, b) 6 m/s, c) 14.4m. 2.16Dos autos viajan a lo largo de una carretera recta. En el instante t = 0h, el auto A tiene una posicin xA = 48 km y una rapidez constante de 36 km/h.Mstardeent=0.5h,elautoBestenlaposicinxB=0kmcon unarapidezde48km/h.Respondalassiguientespreguntas:primero, grficamente, haciendo una grfica de posicin versus tiempo; segundo, algebraicamente, escribiendo las ecuaciones para las posiciones xA y xB en funcin del tiempo t. a) Cul es la lectura del cronmetro cuando el auto B sobrepasa al auto A? b) En qu posicin A es alcanzado por B? c)CuntotiempotranscurredesdequeAestabaensupuntoderefe-rencia hasta que B lo alcanza? R: a) 6 h, b) 260 km, c) 7.3 h. 2.17Un auto y un tren se mueven al mismo tiempo a lo largo de trayectorias paralelas a 25m/s. Debido a una luz roja el auto experimenta una acele-racin uniforme de 2.5m/s2 y se detiene. Permanece en reposo durante 45s, despus acelera hasta una velocidad de 25m/s a una tasa de 25m/s2. Aqudistanciadeltrenestelautocuandoalcanzalavelocidadde 25m/s, suponiendo que la velocidad del tren se ha mantenido en 25m/s? 2.18Una partcula parte desde el reposo de la parte superior de un plano in-clinadoysedeslizahaciaabajoconaceleracinconstante.Elplanoin-clinado tiene 2m de largo, y la partcula tarda 3s en alcanzar la parte in-ferior. Determine a) la aceleracin de la partcula, b) su velocidad en la parteinferiordelapendiente,c)eltiempoquetardalapartculaenal-canzar el punto medio del plano inclinado, y d) su velocidad en el punto medio. R: a) 0.44m/s2, b) 1.3m/s, c) 2.1s, d) 0.94m/s. 2.19Dos trenes expresos inician su recorrido con una diferencia de 5 min. A partirdelreposocadaunoescapazdealcanzarunavelocidadmxima de 160km/h despus de acelerar uniformemente en una distancia de 2km. a) Cul es la aceleracin de cada tren? b) A que distancia est el pri-mer tren cuando el segundo inicia su trayecto? c) Qu tan separados se encuentran cuando ambos viajan a mxima velocidad? 66Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 2.20Un automvil que se mueve a una velocidad constante de 30m/s pierde velocidadrepentinamenteenelpiedeunacolina.Elautoexperimenta unaaceleracinconstantede2m/s2(opuestaasumovimiento)mien-tras efecta el ascenso. a) escriba ecuaciones para la posicin y la velo-cidad como funciones del tiempo considerando x = 0 en la parte inferior de la colina, donde vo = 30m/s. b) Determine la distancia mxima reco-rrida por el auto despus de que pierde velocidad. R: a) 30t-t2, -30-2t b) 225m. 2.21Pacomanejandoa30m/sentraenuntneldeunasolapista.Despus observa una camioneta que se mueve despacio 155m adelante viajando a 5m/s. Paco aplica sus frenos pero puede desacelerar slo a 2m/s2, debido a que el camino est hmedo. Chocar? Si es as, calcular a qu distan-cia dentro del tnel y en qu tiempo ocurre el choque. Si no choca, cal-cularladistanciademximoacercamientoentreelautodePacoyla camioneta. R: 11.4s, 212m. 2.22Una bala indestructible de 2cm de largo se dispara en lnea recta a travs de una tabla que tiene 10cm de espesor. La bala entra en la tabla con una velocidad de 420m/s y sale con una velocidad de 280m/s. a) Cul es la aceleracin promedio de la bala a travs de la tabla? b) Cul es el tiem-po total que la bala est en contacto con la tabla? c) Qu espesor de la tabla se requerira para detener la bala? 2.23Un africano que se encuentra a 20 m de un len hambriento arranca con unarapidezconstantede36km/hr,alejndoseenlnearectadellen, queestinicialmentedetenido.Ellentarda2segundosenreaccionar cuandoempiezaaperseguiralafricanoconunaaceleracinde4m/s2, siempre en lnea recta hacia el africano, que huye hacia un rbol que se encuentra ms adelante en la misma recta. a) Hacer un esquema ilustra-tivo de la situacin. b) Cul debe ser la mxima distancia a la que debe estar el rbol para que el africano pueda subirse justo antes que el len lo alcance? c) Calcular la rapidez con la que el len llega al rbol. R: b) 116m, c) 30.4 m/s. 2.24Uncaminsemuevea90km/hrenunacarreterarecta.Cuandoseen-cuentra a 70 m de un rbol atravesado en la carretera, el conductor se da cuentadeello,tardando0.5senreaccionarypresionarlosfrenosdel caminqueleimprimenunaaceleracinde5m/s2.Determinarsiel 67Cap. 2 Movimiento en una dimensin. caminchocaonoconelrbolcruzadoenlacarretera.R:sia25.5 km/h. 2.25Dosautosseaproximanunoalotro;ambossemuevenhaciaeloeste, uno a 78 km/h y el otro a 64 km/h. a) Cul es la velocidad del primer auto relativa al (en el sistema de referencia del) segundo auto? b) Cam-bian su velocidad relativa despus de que el uno sobrepasa al otro? R: a) 14km/h, oeste, b) no. 2.26En la figura 2.17 se muestra el grfico rapidez/tiempo para una partcula quesemueveendireccindelejex.a)Dibujarelgrficoposi-cin/tiempo,b)calculareldesplazamientodelapartcula,c)hacerel grfico aceleracin/tiempo, d) calcular su posicin en los instantes 5, 10, 20, 25, 30 y 40 segundos, e) calcular el cambio de rapidez en los inter-valos 0 y 5, 5 y 20, 20 y 25, 25 y 40 segundos. Figura 2.17. Problema 2.26. 2.27Dos autos viajan a lo largo de una lnea en la misma direccin, el que va adelante a 25m/s y el otro a 30m/s. En el momento en que los autos es-tn a 40m de distancia, el conductor del auto delantero aplica los frenos de manera que el vehculo acelera a 2 m/s2. a) Cunto tiempo tarda el carro para detenerse? b) suponiendo que el carro trasero frena al mismo tiempoqueelcarrodelantero,Culdebeserlaaceleracinnegativa mnima del auto trasero de manera que no choque con el auto delantero? c)Cuntotiempotardaendetenerseelautotrasero?R:a)1.25s,b)2.3m/s2 c) 13.1s. 68Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 2.28Un automovilista conduce por un camino recto a una velocidad constan-tede15m/s.Cuandopasafrenteaunpolicamotociclistaestacionado, ste empieza a acelerar a 2 m/s2 para alcanzarlo. Suponiendo que el po-lica mantiene esta aceleracin, determine a) el tiempo que tarda el poli-caenalcanzaralautomovilista,encuentreb)lavelocidadyc)eldes-plazamiento total del polica cuando alcanza al automovilista. 2.29DosobjetosseconectanmedianteunabarrargidadelongitudL.Los objetos deslizan a lo largo de rieles perpendiculares, como se muestra en la figura 2.18. Si el que est en el eje x se desliza hacia la izquierda con rapidezconstantevo,calcularlarapidezdelotrocuando=60.R: 0.58vo. Figura 2.18 Problema 2.29. 2.30Un tren viaja de la siguiente manera: en los primeros 60 minutos se des-plaza con velocidadv, en los siguientes 30 minutos lleva una velocidad de3v,enlos90minutosquelesiguenviajaconunavelocidadv/2;en los 120 minutos finales, se mueve con una velocidad de v/3. a) Dibuje la grficavelocidad-tiempoparaesterecorrido.b)Qudistanciarecorre el tren en el viaje? c) Cul es la velocidad promedio del tren en el viaje completo? 2.31Untrenpuedeminimizareltiempotentredosestacionesacelerandoa razn de a1= 0.1 m/s2 por un tiempo t1 y despus experimenta una acele-racinnegativaa1=-0.5m/s2cuandoelmaquinistausalosfrenosdu-ranteuntiempot2.Puestoquelasestacionesestnseparadasslopor 1km,eltrennuncaalcanzasuvelocidadmxima.Encuentreeltiempo mnimo de viaje t y el tiempo t1. R: 155s, 129s. 69Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 2.32Cuandounsemforocambiaaverde,unautoarrancaconunaacelera-cinconstantede6m/ss.Enelinstanteenquecomienzaaacelerares sobrepasadoporuncaminconunavelocidadconstantede21m/s.a) Qu distancia recorre el auto antes de alcanzar el camin? b) Qu ve-locidad tendr el auto cuando alcance el camin? R: 150 m, b) 42 m/s 2.33El conductor de un auto que viaja a 90 km/h sbitamente ve las luces de una barrera que se encuentra 40 m adelante. Transcurren 0.75 s antes de qu l aplique los frenos; la aceleracin media durante la frenada es 10 m/s2. a) Determine si el carro choca contra la barrera. b) Cul es la ra-pidez mxima a la cual puede viajar el auto para no chocar contra la ba-rrera?Supongaaceleracinconstante.R:a)Si,golpealabarrera,b)22 m/s. 2.34Con el fin de proteger su alimento de osos, un boy scout eleva su paque-te de comida, de masa m, con una cuerda que lanza sobre la rama de un rboldealturah.Elscoutcaminaalejndosedelacuerdaverticalcon velocidad constante vs mientras sostiene en sus manos el extremo libre. a)Hacerunesquemadelasituacin.b)Demuestrequelavelocidadvp del paquete de comida es s2 / 1, donde x es la distancia que el muchacho ha caminado alejndose de la cuerda vertical. c) Demuestre quelaaceleracinapdelpaquetedecomidaes 2s2 / 3.d) Qu valores de la aceleracin y la velocidad se tienen despus que l se aleja de la cuerda vertical? e) A qu valores se aproximan la velocidad y la aceleracin cuando la distancia x contina aumentando? 2 2v ) h x ( x+2 2 2v ) h x ( h+ 2.35Un obje