DEDICATORIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERUFACULTAD DE INGENIERA
CIVILINTRODUCCIONLas vibraciones u oscilaciones constituyen uno de
los movimientos ms importantes de la fsica, tanto terica como
prcticaCuando una partcula realiza un movimiento peridico de ida y
vuelta sobre la misma trayectoria alrededor de un punto fijo
(equilibrio), se dice que realiza un movimiento oscilatorio.Es un
tema muy importante pues en la teora una solucin puede representar
diversos casos posibles, y en la realidad sus aplicaciones son
diversas. Podemos considerar que todo sistema tiene una capacidad
de vibracin que se manifiestan en diversas maneras.La caracterstica
principal de una oscilacin es que el movimiento se repite en
intervalos de tiempo iguales. Luego se define: Periodo (T): Es el
tiempo en el cual se repite el movimiento oscilatorio. Ciclo: Es el
movimiento completo de ida y vuelta que se repite en un periodo.
Frecuencia (f): Es el nmero de oscilaciones que se dan en un
intervalo de tiempo. f= n/T para n=1 f=1/TPoco se podra saber del
mundo fsico sin la comprensin de la dinmica de un sistema
oscilador.Las oscilaciones estn presentes sismos, terremotos,
latido del corazn, en nuestros sentidos, cuando escuchamos,
hablamos y hasta en nuestros latidos, en mareas, etc.Un movimiento
oscilatorio puede ser: Movimiento Armnico Simple Movimiento
Oscilatorio Amortiguado Movimiento Oscilatorio ForzadoEn este
experimento trataremos de calcular algunos parmetros basndonos en
los conocimientos del movimiento armnico simple, haciendo uso de su
forma ms simple mediante el sistema MASA-RESORTE.FUNDAMENTO
TEORICOMOVIMIENTO OSCILATORIO:Tambin llamado movimiento vibratorio,
es un movimiento de un lado hacia otro respecto de su posicin de
equilibrio sobre la misma trayectoria. Puede ser un movimiento
unidimensional o bidimensional.Empezaremos estudiando el movimiento
oscilatorio unidimensional, en este movimiento una partcula de masa
m se mueve en una lnea recta y para hallar su posicin respecto de
su posicin de equilibrio en un determinado tiempo debemos hallar
una coordenada X o Y.Segn esto indicamos: Desplazamiento: es la
distancia en la que se encuentra la partcula respecto de su posicin
de equilibrio. Amplitud: Es el mximo desplazamiento que experimenta
la partcula.Para poder hacer experimentar a una partcula un
movimiento oscilatorio, la sacamos de su posicin de equilibrio y lo
soltamos, al soltarla una fuerza recuperadora intentara que el
cuerpo vuelva a su posicin de equilibrio, en un movimiento
unidimensional (lineal) se considera que es:FR = -KxDonde x es el
desplazamiento y tiene signo negativo porque se opone al
movimiento.A este caso se le llama movimiento armnico simple
(MAS).Sin embargo tambin debemos considerar la presencia de fuerzas
resistivas que amortiguan el movimiento oscilatorio hacindolo
llegar a su fin, y se considera:FA = -bvDonde b es constante de
resistividad, v es velocidad y el signo negativo indica que esta
fuerza tiene sentido opuesto al movimiento del sistema oscilante.A
este caso se le llama movimiento oscilatorio Amortiguado.
Tambin el movimiento oscilatorio puede estar afectado por la
presencia de una fuerza constate que modifica su naturaleza.A este
caso se le llama movimiento oscilatorio forzado.Un tipo particular
es el movimiento armnico simple. En este tipo de movimiento, un
cuerpo oscila indefinidamente sin perder energa mecnica. Es un
modelo ideal del movimiento oscilatorio. MOVIMIENTO ARMONICO
SIMPLE. Una partcula que se mueve a lo largo del eje X, tiene un
movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x se da desde la
posicin de equilibrio, y vara en el tiempo de acuerdo con la
relacin: x = Acos(t +)Donde A, , y son constantes del
movimiento.Esta es una ecuacin peridica y se repite cuando t se
incrementa en 2 radianes. Para dar un significado fsico a estas
constantes, es conveniente graficar x en funcin de t (tiempo), como
se muestra en la figura 1. La constante A se llama amplitud del
movimiento, es simplemente el mximo desplazamiento de la partcula,
ya sea en la direccin positiva o negativa de x. La constante se
llama frecuencia angular, el ngulo se llama ngulo o constante de
fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el
desplazamiento y velocidad inicial de la partcula. Las constantes A
y se determinan por condiciones iniciales. La cantidad (t + ) se
llama la fase del movimiento y es de utilidad en la comparacin del
movimiento de dos sistemas de partculas.
Figura 1
El periodo T es el tiempo que demora la partcula en completar un
ciclo de su movimiento, esto es, es el valor de x en el instante t
+ T. Se puede demostrar que el periodo del movimiento est dado
por:T = 2/, sabiendo que la fase aumenta 2 radianes en un tiempo T
demostraremos que el periodo del t + + 2 =(t+T) + Comparando, se
concluye que T = 2/.Y la frecuencia queda determinada por: f =
/2.Teniendo como unidad el Hertz (Hz).Reacomodando la ecuacin de la
frecuencia, se obtiene la frecuencia angular , que se mide en
rad/s, se puede hallar mediante: = 2f=2/TLa velocidad de una
partcula que tiene un movimiento armnico simple se obtiene
derivando respecto al tiempo la ecuacin de posicin:
La aceleracin de la partcula est dada por:
Las curvas de posicin, velocidad y aceleracin con el tiempo se
muestran en la figura 2. En estas curvas se ve como la fase de la
velocidad difiere en /2 rad o 90 con la fase del desplazamiento.
Esto es, cuando x es un mximo o un mnimo, la velocidad es
cero. De igual forma, cuando x es cero, la rapidez es un mximo o
un mnimo. Del mismo modo, como la fase de la aceleracin difiere en
rad o 180 con la fase del desplazamiento, cuando x es un mximo o un
mnimo, la aceleracin es un mnimo o un mximo.La parte a) grafica la
posicin, la parte b) grafica la velocidad y la parte c) grafica la
aceleracin.Figura 2
La ecuacin x = Acos(t +) es una solucin general de la ecuacin
diferencial que describe el movimiento armnico simple, donde la
constante de fase y la amplitud A se deben elegir para satisfacer
las condiciones iniciales del movimiento. La constante de fase es
importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o ms
partculas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posicin inicial
y la velocidad inicial de un oscilador, esto es, en t = 0, x = x0 y
v = v0. Con esas condiciones, las ecuaciones se reducen a: x0 =
Acos() v0 =- Asen()Estableciendo relaciones obtenemos:
tan() = - v0 / x0 A2= x02+( v0/ )2El ejemplo ms comn de este
tipo de movimiento es el sistema: masa- resorte.MASA SUJETA A UN
RESORTE.
Una masa sujeta al extremo de un resorte, con la masa movindose
libremente sobre una superficie horizontal sin friccin o
verticalmente en el aire, oscilar si se la aparta de su posicin de
equilibrio donde el resorte se encuentra sin deformar, con un
movimiento armnico simple. En la figura, se observa para una masa
que oscila sobre una superficie horizontal sin friccin. Cuando la
masa se desplaza una pequea distancia x desde su posicin de
equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dada por la Ley de Hooke:
F=-K.x. Sabemos que esta fuerza siempre es opuesta al movimiento.
Aplicando la segunda ley de Newton, suponiendo que esta es la nica
fuerza que acta sobre la masa m, se obtiene: F = kx = ma
a+k/m=0Figura 3
La solucin de su ecuacin diferencial y la que describe su
movimiento es:x = Acos(t +)Su periodo y frecuencia quedan
determinados por:
Donde k: cte. del resorte, m: masa del objetoENERGIA EN EL
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.
De la definicin de energa cintica, reemplazando la ecuacin de la
rapidez de una partcula con movimiento armnico simple, se obtiene:
Ec= mv2/2= m2 A2 sen2 (t +)/2La energa potencial elstica almacenada
en un resorte, para cualquier deformacin x es:Ek= kx2/2= kA2 cos2
(t +)/2La energa mecnica total en el movimiento armnico simple,
considerando que 2 = k/m o bien m2 = k, se puede escribir como:E =
E c+ Ek = kA2 [sen2 (t +)+ cos2 (t +)]E = kA2/2De donde se deduce
que la energa mecnica total en el movimiento armnico simple es una
constante del movimiento, proporcional al cuadrado de la amplitud.
Este valor es igual a la mxima energa potencial elstica almacenada
en un resorte cuando x = A, ya que en esos puntos v = 0 y no hay
energa cintica.Por otro lado, en la posicin de equilibrio, x = 0 y
por lo tanto EK= 0, adems en este punto la rapidez es la mxima, de
tal manera que toda la energa es energa cintica, es decir en x =
0:
Como la superficie sobre la cual oscila el resorte es sin
friccin, la energa se conserva, usando la ecuacin de conservacin de
la energa, se puede escribir: E = Ec + Ek = cte
FSICA IIMOVIMIENTO VIBRATORIO DE UN RESORTE EN ESPIRAL