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| CORNELIO REYES JHONATAN
1 PENDULO FISICO O COMPUESTO
PENDULO FSICO O COMPUESTO
I. OBJETIVO(S)
1.1. Estudiar el movimiento de un pndulo compuesto
1.2. Medir la aceleracin de la gravedad local utilizando un
pndulo compuesto
1.3. Determinar el radio de giro de un cuerpo rgido y a partir
de este el momento de inercia del
mismo
1.4. Verificar la reversibilidad del pndulo compuesto
II. MARCO TERICO Y CONCEPTUAL
2.1. INTRODUCCION
La propiedad fundamental de un cuerpo la cual determina como es
su comportamiento cuando
sufre un movimiento de rotacin es su momento de inercia (I).
Para cualquier cuerpo dado esta
cantidad puede determinarse a partir de su distribucin de masa,
pero su clculo es muy
complicado a excepcin de aquellos cuerpos que poseen un alto
grado de simetra. As por
ejemplo, el momento de inercia para una esfera con una densidad
de masa uniforme que tiene
una masa m y un radio R est dada por = (2 5 )2.
A veces es mucho ms fcil determinar el momento de inercia
experimentalmente. Uno de estos
experimentos involucra la determinacin del momento de inercia de
barras de secciones
transversales rectangulares aplicando un mtodo que puede ser
aplicado a cuerpos de formas
irregulares. En este experimento Ud. podr determinar el radio de
giro el cual es una cantidad
relacionada con el momento de inercia.
Por otro lado, a veces es necesario determinar la aceleracin de
la gravedad del lugar en donde
se desarrolla los experimentos. Por lo tanto, este experimento
nos permite determinar dicha
aceleracin de la gravedad simplemente suspendiendo un cuerpo de
un punto de oscilacin y
evaluando el perodo de las pequeas oscilaciones para los
diferentes puntos de oscilacin.
2.2. CARACTERSICAS DEL PENDULO COMPUESTO
Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son pequeas en
comparacin con la
distancia del eje de suspensin al centro de gravedad, el pndulo
se denomina pndulo
compuesto o pndulo fsico. Un pndulo fsico es un cuerpo rgido de
masa m instalado de tal
manera que puede oscilar libremente alrededor de un eje
horizontal que pasa por un punto O,
distinto de su centro de masa, bajo la accin de la gravedad, tal
como se muestra en la figura
3.1. Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje
de rotacin es IO, se separa de
su posicin de equilibrio, un ngulo y se suelta, un momento
restaurador asociado a la
fuerza gravitacional = le producir un movimiento oscilatorio.
Aplicando la ecuacin de la dinmica rotacional se tiene
0 0M I (3.1) Dnde: es el momento o torque alrededor de O, IO es
el momento de inercia del cuerpo respecto al punto O y , es la
aceleracin angular
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2 PENDULO FISICO O COMPUESTO
Figura 3.1. Cuerpo rgido de forma irregular suspendido de un
ponto O desplazado un ngulo de la vertical, (b) pndulo fsico
utilizado en el laboratorio de fsica de la UNASAM
Para deducir las ecuaciones que gobiernan al pndulo fsico
consideremos un cuerpo rgido en
forma de barra de seccin rectangular AB de masa m, suspendida de
un eje transversal que pasa
por el punto S, tal como se muestra en la figura 3.2a.
(a) (b)
Figura 3.3 Pndulo utilizado para determinar las caractersticas
de del movimiento pendular.
Aplicando la ecuacin de movimiento de rotacin al pndulo se
tiene
S SM I
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3 PENDULO FISICO O COMPUESTO
Smghsen I (3.2)
Dnde: m es la masa del pndulo, h es la distancia del centro de
gravedad al punto de
suspensin, IS es el momento de inercia del pndulo con respecto
al punto de suspensin S y es el ngulo respecto a la vertical. La
ecuacin (3.2) puede escribirse en la forma
0S
mghsen
I (3.3)
Esta ecuacin diferencial es no lineal, por lo que no corresponde
a una ecuacin diferencial de
un movimiento armnico.
Para desplazamientos angulares pequeos, la funcin trigonomtrica
, donde se expresa en radianes. Por tanto la ecuacin diferencial
(3.3) se escribe
0S
mgh
I (3.4)
La ecuacin (3.4), es la ecuacin diferencial de un movimiento
armnico simple, movimiento
en el cual la aceleracin angular es directamente proporcional al
desplazamiento angular y de
direccin opuesta. La solucin de dicha ecuacin diferencial es de
la forma
max nt sen t (3.5)
Donde las constante max y se determinan de las condiciones
iniciales y es la frecuencia natural circular expresada por
2n
S
mgh
T I
(3.6)
El perodo del pndulo fsico, es
2 SI
Tmgh
(3.7)
A veces es conveniente expresar IS en trminos del momento de
inercia del cuerpo con respecto
a un eje que pase por su centro de gravedad IG, para ello se usa
el teorema de los ejes paralelos,
esto es
2
S GI I mh (3.8)
Donde h es la distancia entre los dos ejes. Por otro lado, el
momento de inercia tambin puede
expresarse en funcin del radio de giro KG, en la forma
2
G GI mK (3.9)
Al remplazar la ecuacin (3.9) en (3.8), resulta
2 2 2 2S G GI mK mh m K h (3.10)
Es decir el perodo del pndulo puede expresarse en la forma
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(3.11)
La ecuacin (3.11)* expresa el perodo del pndulo fsico en trminos
de la geometra del
cuerpo. Es decir, el perodo es independiente de la masa,
dependiendo slo de la distribucin
de masa KG. Por otro lado, debido a que el radio de giro de
cualquier cuerpo es constante, el
perodo del pndulo en funcin slo de h. La comparacin de la
ecuacin (3.11)* con el perodo
de un pndulo simple = 2(/) muestra que el perodo de un pndulo
fsico suspendido de un eje a una distancia h de su centro de
gravedad es igual al perodo de un pndulo simple
de longitud dada por
2 2 2
G GK h KL hh h
(3.12)
El pndulo simple cuyo perodo es el mismo que el del pndulo fsico
dado, se le denomina
pndulo simple equivalente.
Algunas veces es conveniente especificar la localizacin del eje
de suspensin S en trminos de
la distancia d medida desde uno de los extremos de la barra, en
lugar de su distancia h medida
desde el centro de masa.
Si las distancia d1, d2 y D (figura 3.3b) son medidas desde el
extremo superior, la distancia h1
debe ser considerada negativa ya que h es medida desde el centro
de gravedad. De esta forma,
si D es la distancia fija desde el extremos superior A de la
barra al centro de gravedad G,
1 1
1 2
d D h
d D h
(3.13)
Y en general
d D h (3.14)
La sustitucin de estas relaciones en la ecuacin que define el
perodo, ecuacin (3.11)*, se
obtiene
22
2GK d D
Tg d D
(3.15)
La relacin entre T y d expresada por la ecuacin (3.15), puede
mostrarse mejor grficamente.
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Figura 3.4. Perodo en funcin de la distancia al centro
gravedad
Cuando el perodo T es trazado como funcin de d, son obtenidas un
par de curvas idnticas
SPQ y SPQ como se muestra en la figura 3.4. El anlisis de estas
curvas revela varias propiedades interesantes y observables del
pndulo fsico. Empezando en el extremo superior
A cuando el eje es desplazado desde A hacia B, el perodo
disminuye, encontrndose un valor
mnimo en P, despus del cual se incrementa cuando d se aproxima
al centro de gravedad. Las
dos curvas son asintticas a una lnea perpendicular que pasa por
el centro de gravedad G
indicando que cerca de ah el perodo tiene un valor
significativamente grande. Cuando el eje
de suspensin es desplazado todava an ms desde A (al otro lado de
G), el perodo T
nuevamente disminuye hasta alcanzar el mismo valor mnimo en el
segundo punto P, despus del cual nuevamente se incrementa.
Una lnea horizontal AA correspondiente a valores escogidos del
perodo, intersecta la grfica en cuatro puntos indicando que hay
cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del
centro de gravedad para los cuales el perodo es el mismo. Estas
posiciones son
simtricamente localizadas con respecto a G. Existe por lo tanto,
dos valores numricos de h
para los cuales el perodo es el mismo, representados por h1 y h2
(figura 3.3). As para
cualquier eje de suspensin escogido S hay un punto conjugado O
al lado opuesto de G tal
que el perodo alrededor de un eje paralelo que pasa por S y O
son iguales. El punto O es
llamado Centro de oscilaciones con respecto al eje de suspensin
que pasa por el punto S.
Consecuentemente si el centro de oscilacin para cualquier pndulo
fsico es localizado, el
pndulo puede ser invertido y soportado de O sin alterar su
perodo. Esta reversibilidad es
una de las propiedades nicas del pndulo fsico y ha sido la base
de un mtodo muy preciso
para medir la aceleracin de la gravedad g (Pndulo Reversible de
Kter).
Puede mostrarse que la distancia entre S y O es igual a L, la
longitud del pndulo simple
equivalente
Alrededor de S 2 22
2 1
1
4 GK hTg h
(3.16)
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Alrededor de O, es 2 22
2 2
2
4 GK hTg h
(3.17)
Igualando estas ecuaciones se obtiene
2
1 2GK h h (3.18)
Por lo tanto el perodo del pndulo fsico se escribe en la
forma
1 22h h
Tg
(3.19)
De donde se obtiene la longitud del pndulo simpe equivalente
a
1 2L h h (3.20)
Es decir, la longitud del pndulo simple equivalente es igual a
la distancia SO en las figuras
3.3 y 3.4. De dichas figuras se observa adems que S y O son un
segundo par de puntos conjugados, ubicados simtricamente con
respecto a S y O respectivamente, teniendo los
mismos valores de h1 y h2. La figura 3.4, muestra adems que el
perodo de vibracin de un
cuerpo dado no puede ser menos que cierto valor mnimo Tmin, para
el cual los cuatro puntos
de igual perodo se reduce a dos, S y O se combinan en P y S y O
se combinan en P, mientras que h1 llega a ser numricamente igual a
h2. El valor de h correspondiente al perodo mnimo se encuentra
resolviendo las ecuaciones (3.16), (3.17) y (3.20), obtenindose
2
1 2GK h h
Y establece que
1 2'h h h
Es decir 2' Gh K
Remplazando este valor en la ecuacin (3.12), resulta 2' 2 GL
K
S el pndulo simple ms pequeo cuyo perodo es el mismo que el
pndulo compuesto tiene
una longitud L, igual a dos veces el radio de giro del cuerpo
respecto al centro de gravedad. Esto es indicado en la figura 3.4,
para la lnea PP.
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III. MATERIAL A UTILIZAR
Un pndulo fsico - Dos prensas con tornillo - Una prensa con
tornillo y cuchilla -
Un soporte de madera
Una regla graduada en mm Un cronmetro
Una balanza Un vernier
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IV. METODOLOGA
El pndulo fsico a utilizar en esta prctica consta de una varilla
rgida de acero de forma prismtica,
de seccin transversal rectangular, que posee orificios
equidistantes con relacin al centro de
gravedad, con un sistema de suspensin adecuado para que la
varilla pueda oscilar libremente
alrededor de un eje horizontal (eje de suspensin), con
rodamientos para minimizar la friccin como
se muestra en la figura 3.5
Figura 3.5. Pndulo fsico utilizado en el laboratorio de fsica de
la UNASAM
Para cumplir con los objetivos planteados siga el siguiente
procedimiento:
1) Usando la balanza determinamos la masa de la barra. 2)
Medimos las dimensiones de la barra (el largo con la cinta mtrica y
el ancho as como el espesor
con el vernier). Registramos sus valores con sus respectivos
errores en la Tabla I.
Tabla I. Datos de la geometra y forma de la barra usada como
pndulo fsico
Masa (kg) Largo (m) Ancho (m) Espesor (m)
1.8968 1.104 0.047 0.00065
1.8966 1.108 0.048 0.000654
1.8967 1.105 0.046 0.00065
3) Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor sujetamos el
soporte de madera con las mordazas simples.
4) Sobre la base menor del soporte de madera, sujetamos la
mordaza con cuchilla. 5) Ubicamos el centro de gravedad G de la
barra, suspendiendo sta horizontalmente en la cuchilla.
El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal ser el
centro de gravedad de la barra.
6) Suspendemos la barra verticalmente en el orificio ms cercano
a uno de los extremos (punto A) en el borde de la cuchilla.
7) Desplazamos lateralmente a la barra un ngulo no mayor a 10, a
partir de su posicin de equilibrio vertical y sultela desde el
reposo permitiendo que la barra oscile en un plano vertical.
8) Medimos por triplicado el tiempo transcurrido para diez (10)
oscilaciones (mientras ms oscilaciones tome menor ser la
incertidumbre en el perodo. Por qu?. Deducimos de estos
datos el perodo de oscilacin de la barra para el primer punto de
oscilacin. Registramos sus
valores en la Tabla II.
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9) Repetimos los pasos (6), (7) y (8) para todos los orificios
equidistantes que posee la barra. Registramos los valores obtenidos
en la tabla correspondiente.
10) Retiramos el pndulo del soporte y con una cinta mtrica
medimos por triplicado las distancias d1, d2, d3,, para cada uno de
los puntos de suspensin desde uno de los extremos de la barra,
anotamos estos datos con sus correspondientes perodos en la Tabla
II.
Tabla II. Datos y clculos obtenidos experimentalmente en la
prctica Pndulo Fsico.
N Distancia medida desde el extremo de la
barra al punto de oscilacin d (cm)
Tiempo para diez oscilaciones t (s) Perodo T
(s)
di1 di2 di3 di,promedio ti1 ti2 ti3 ti, promedio t1/n
1 4.5 4.7 4.4 4.53 16.91 16.86 16.8 16.86 1.69
2 9.5 9.4 9.6 9.50 16.46 16.41 16.48 16.45 1.65
3 14.5 14.3 14.6 14.47 16.22 16 16.5 16.24 1.62
4 19.5 19.4 19.7 19.53 16.16 15.22 16.5 15.96 1.60
5 24.5 24.6 24.3 24.47 15.95 15.53 15.7 15.73 1.57
6 29.5 29.7 29.6 29.60 16.1 16.28 16.2 16.19 1.62
7 34.4 34.5 34.2 34.37 16.98 16.42 16.6 16.67 1.67
8 39.5 39.3 39.4 39.40 17.99 17.65 16.85 17.50 1.75
9 44.4 44.2 44.5 44.37 20.3 19.94 20.5 20.25 2.02
10 49.5 49.6 49.8 49.63 24.56 24.4 24.6 24.52 2.45
11 54.3 54.2 54.5 54.33
12 60.8 60.9 60.7 60.80 25.2 23.64 24.5 24.45 2.44
13 65.8 65.9 65.7 65.80 20.56 20.41 20.7 20.56 2.06
14 70.9 71 70.8 70.90 17.82 18.22 17.95 18.00 1.80
15 75.9 75.7 75.8 75.80 16.54 16.61 16.72 16.62 1.66
16 80.8 80.7 81 80.83 15.9 16.07 15.82 15.93 1.59
17 85.9 85.6 85.8 85.77 16 15.78 15.92 15.90 1.59
18 90.9 91.1 91 91.00 15.81 15.84 15.79 15.81 1.58
19 95.8 95.6 95.7 95.70 15.92 15.98 15.82 15.91 1.59
20 100.9 100.6 100.9 100.80 16.5 16.25 16.15 16.30 1.63
21 105.8 105.8 105.7 105.77 16.67 16.55 16.7 16.64 1.66
V. CLCULOS Y RESULTADOS 5.1. Con los datos de la Tabla II, trace
un grfica similar a la mostrada en la figura 3.4, colocando el
perodo T, en el eje de las ordenadas y d en el eje de las
abscisas. Trace cualquier recta horizontal SS paralela al eje de
las abscisas para un perodo mayor que el perodo mnimo. Qu
representa los cuatro puntos de interseccin de la recta con las
curvas?.
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
0.00 50.00 100.00 150.00
t
d
t1/n
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10 PENDULO FISICO O COMPUESTO
Los cuatro puntos de interseccin de la recta con las curvas
indican que hay cuatro
posiciones del eje, dos en cada lado del centro de gravedad para
los cuales el periodo es el mismo.
5.2. Utilizando la grfica obtenida en el paso anterior,
determine el perodo T mediante la obtencin del
valor de la ordenada de la recta horizontal trazada. As mismo,
mediante el promedio de los valores de SO y SO determine la
longitud del pndulo simple equivalente = + y =
+ . A
partir de estos valores obtenidos y utilizando la ecuacin
(3.19), determine la aceleracin de la gravedad g de la ciudad de
Huaraz con su respectivo error absoluto y porcentual.
El periodo para la recta trazada es: para la recta n01 T= 1,70 s
para la recta n02 T= 1,65 s
La longitud del segmento SO = L1 = h1+h2 = 51.1 + 18.5 = 69.6 cm
y T= 1,70 s La longitud del segmento SO = L2 = h3+h4 = 44.5 + 21.5
= 66 cm y T= 1,65 s
Calculo de la aceleracin:
Utilizando la frmula: 1 22h h
Tg
2 iL
Tg
22
4i
gT
l
Reemprendo valores obtenemos: la aceleracin de la gravedad
L1 = 69.6 cm y T= 1,70 s
2
21 2
0.696(4 )9.51
1,7mg
s
L2 = 66 cm y T= 1,65 s
2
22 2
0.66(4 )9.57
1,65mg
s
Como tenemos dos valores con variaciones mnimas sacamos
promedio y obtenemos la gravedad mas aproximada.
1 2
2
9.51 9.57
2
9.54
p
p
p
g gg
g
mgs
gravedad de Huaraz (conocida)=9.78 m/s2:
Clculo del error absoluto: (9.78 9.54)/2 = 0,12
Error relativo: 0,03 /9.54 = 0.01242
Error relativo = 1.2422%
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11 PENDULO FISICO O COMPUESTO
5.3. A partir de la grfica T vs d obtenida en (5.1), determine
el radio de giro KG de la barra.
Del grafico se observa que el valor de KG =0.30 m cuyo valor
representa la distancia del centro de gravedad a la ubicacin mnima
del periodo.
5.4. Utilizando el valor de la masa de la barra y el radio de
giro obtenido en el paso anterior, determine el momento de inercia
con respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG usando
la ecuacin (3.9).
La masa de la barra es: 1.8967 kg El radio de giro obtenido
anteriormente es KG =0.30 m
Usando la ecuacin (3.9) calculo el momento de inercia con
respecto a un eje que pasa por el centro de gravedad IG.
2
G GI mK = 1.8967(0.30
2) = 0.170703
2
5.5. Utilice el teorema de los ejes paralelos para determinar el
momento de inercia IS con respecto al primer punto de suspensin que
pasa por S.
La distancia del primer punto de suspensin al centro de gravedad
es: 54.33 - 4.53 = 49.8 cm = 0.498m
La masa de la barra es igual a 1.8967 kg El momento de inercia
con respecto a un eje que pasa por el centro de
gravedad IG es 20.172Kgm
Utilizando la ecuacin (3.10) calculo el momento de inercia
IS
2
S GI I mh
= 0.1707032 + 1.89670.522
= 0.6448782
5.6. Con respecto a qu lnea son simtricas las curvas? Cul es el
perodo cuando = 0?
Las curvas son simtricas respecto a una lnea asinttica
perpendicular que pasa por el centro de gravedad G indicando que
cerca de ah el periodo tiene un valor significativamente
grande.
El periodo resulta ser cero cuando h = 0
5.7. Cul es el perodo mnimo con el cual el pndulo fsico puede
oscilar? Cul es la longitud del pndulo simple que tiene el mismo
perodo?
Segn el grafico T vs d el periodo mnimo con el cual el pndulo
fsico puede oscilar es 1.600s.
La longitud del pndulo simple que tiene el mismo periodo es 60
cm.
5.8. Por qu se obtiene el mejor valor de la aceleracin de la
gravedad, cuando se utiliza un valor de h correspondiente al perodo
mnimo?.
Porque en el punto de inflexin mnimo para ambas curvas obtenemos
que SO y SO tienen la misma distancia de 60 cm, para un periodo
mnimo de 1.6 s de estas se
obtendr el mejor valor de la aceleracin de la gravedad sin
necesidad de hacer
correcciones y con una probabilidad mnima de cometer errores
(solo para este punto).
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12 PENDULO FISICO O COMPUESTO
5.9. Con los datos de la Tabla II y utilizando la ecuacin
(3.11)*, construya la Tabla III y a partir de ella elabore una
grfica h2 vs hT2 de esta grfica determine el valor de la
aceleracin de la gravedad g y comprela con la reportada para la
Ciudad de Huaraz.
Asimismo, determine el radio de giro del pndulo fsico con
respecto al centro de
gravedad. Comprelo con los obtenidos en los acpites (5.2) y
(5.3). En cul de los casos
se obtiene un mejor resultado: en el obtenido de la grfica T vs
d o en sta grfica?. Use el
ajuste de mnimos cuadrados.
PARA EL LADO A
N
Sobre el lado A
h1 T T2 h2 = X T2*h = Y
1 0.5005 1.663 2.765569 0.25050025 1.384167285
2 0.4508 1.644 2.702736 0.20322064 1.218393389
3 0.4 1.65 2.7225 0.16 1.089
4 0.3507 1.619 2.621161 0.12299049 0.919241163
5 0.3002 1.6 2.56 0.09012004 0.768512
6 0.25 1.623 2.634129 0.0625 0.65853225
7 0.2005 1.677 2.812329 0.04020025 0.563871965
8 0.1507 1.809 3.272481 0.02271049 0.493162887
9 0.1001 2.091 4.372281 0.01002001 0.437665328
10 0.0498 2.727 7.436529 0.00248004 0.370339144
Sea la ecuacin = +
=
()
= h2 = X T2*h = Y X*Y X2
0.25050025 1.38416729 0.34673425 0.06275038
0.20322064 1.21839339 0.24760268 0.04129863
0.16 1.089 0.17424 0.0256
0.12299049 0.91924116 0.11305792 0.01512666
0.09012004 0.768512 0.06925833 0.00812162
0.0625 0.65853225 0.04115827 0.00390625
0.04020025 0.56387197 0.02266779 0.00161606
0.02271049 0.49316289 0.01119997 0.00051577
0.01002001 0.43766533 0.00438541 0.0001004
0.00248004 0.37033914 0.00091846 6.1506E-06
= 0.96474221 7.90288541 1.03122309 0.15904191
=.
= .
-
| CORNELIO REYES JHONATAN
13 PENDULO FISICO O COMPUESTO
()
= .
= .
= 10
EN LA FORMULA TENEMOS =..
.. = .
= = .
= .
= . . .
= . Luego la recta por mnimos cuadrados ser:
= . + .
De la ecuacin (3.11) se tiene:
2 2
2 GK h
Tgh
2 22 24 G
K hT
gh
2 22 2 2 (* *
4 4* )GhT K h
g g
y = 4.0746x + 0.3972R = 0.9958
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
.
HT2
Lineal (HT2)
X = h2
Y = T2*h
-
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14 PENDULO FISICO O COMPUESTO
DE DONDE POR COMPARACION
( = + ) =
(
2 22 2 24 4
GhT K hg g
)
= =
= =42
1 =42
1=
42
4.07462= 9.6889 /2
Calculo de radio de giro: 2
24 intgk erceptog
2
22
9.6889
40.3972
/g
m sk
Kg = 0.3170m
PARA EL LADO B
Sobre el lado B
N h1 T T2 h2 = X T2*h = Y
1 0.0493 2.665 7.102225 0.00243049 0.350139693
2 0.1 2.035 4.141225 0.01 0.4141225
3 0.1488 1.779 3.164841 0.02214144 0.470928341
4 0.1992 1.678 2.815684 0.03968064 0.560884253
5 0.2495 1.624 2.637376 0.06225025 0.658025312
6 0.299 1.604 2.572816 0.089401 0.769271984
7 0.348 1.611 2.595321 0.121104 0.903171708
8 0.3987 1.635 2.673225 0.15896169 1.065814808
9 0.4477 1.668 2.782224 0.20043529 1.245601685
10 0.5102 1.679 2.819041 0.26030404 1.438274718
Sea la ecuacin = +
=
()
=
-
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15 PENDULO FISICO O COMPUESTO
h2 = X T2*h = Y X*Y X2
0.00243049 0.350139693 0.000851011 5.90728E-06
0.01 0.4141225 0.004141225 0.0001
0.02214144 0.470928341 0.010427032 0.000490243
0.03968064 0.560884253 0.022256246 0.001574553
0.06225025 0.658025312 0.04096224 0.003875094
0.089401 0.769271984 0.068773685 0.007992539
0.121104 0.903171708 0.109377707 0.014666179
0.15896169 1.065814808 0.169423723 0.025268819
0.20043529 1.245601685 0.249662535 0.040174305
0.26030404 1.438274718 0.37438872 0.067758193
= 0.96670884 7.876235002 1.050264123 0.161905833
= . 3
= .
()
= .
= .
= 10
EN LA FORMULA TENEMOS =.3.
..
= .
=
= .
= .
= . . .
= . Luego la recta por mnimos cuadrados ser:
= . + .
-
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16 PENDULO FISICO O COMPUESTO
De la ecuacin (3.11) se tiene:
2 2
2 GK h
Tgh
2 22 24 G
K hT
gh
2 22 2 2 (* *
4 4* )GhT K h
g g
DE DONDE POR COMPARACION
( = + ) =
(
2 22 2 24 4
GhT K hg g
)
=
=
= =42
1 =42
1 =42
4.2052292= 9.6166 /2
y = 4.2198x + 0.3797R = 0.9962
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Series1
Lineal (Series1)
X = h2
Y = T2*h
-
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17 PENDULO FISICO O COMPUESTO
Calculo de radio de giro:
= . + . 2
24 intgk erceptog
2
22 0.3811
9.6889 /
4g
m sk
Kg = 0.3058m
5.10. Demuestre que el perodo de un aro delgado colgado de una
espiga, es el mismo que el de un pndulo simple cuya longitud es
igual al dimetro.
(a) (b)
Figura 2.1. (a) Representacin de un pndulo simple, (b) diagrama
de cuerpo libre de
t tF ma (2.1) 2
2
d smgsen m
dt (2.2)
2 22 2
d L dm mL mgsen
dt dt
(2.3)
0g
senL
(2.4)
Esta es ecuacin diferencial no lineal, cuya solucin exacta es un
desarrollo en serie de infinitos
trminos. Sin embargo, si las oscilaciones son pequeas, es decir
el ngulo es pequeo, se puede utilizar la aproximacin , donde el
ngulo se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuacin diferencial
(2.4) se escribe
0g
L (2.5)
Ecuacin (2.3) es la ecuacin deferencial de un movimiento armnico
simple, es decir, m describe
un M.A.S. y la solucin de la ecuacin (2.5) es de la forma
0sen t (2.6) Donde 0 es el mximo desplazamiento angular, es el
desfasaje y es la frecuencia natural circular, la misma que queda
expresada como
2 g
T L
(2.7)
-
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18 PENDULO FISICO O COMPUESTO
El perodo del movimiento pendular est dado por
2L
Tg
(2.8)*
5.11. Muestre algunas aplicaciones del pndulo fsico.
a). Mediciones de tiempo.
Debido a la igualdad de duracin de todas las oscilaciones, el
pndulo es de gran aplicacin en la
construccin de relojes, que son mecanismos destinados a contar
las oscilaciones, de un pndulo,
traduciendo despus el resultado de ese recuento a segundos,
minutos y horas.
b) Determinacin de la aceleracin de la gravedad.
Sabemos que:
Elevando al cuadrado miembro a miembro es:
y despejando g, es:
en esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible
fcilmente, T: se determina con un buen
cronmetro.
Por lo que esta ultima expresin nos permite calcular con
relativa facilidad la aceleracin de la gravedad
en un lugar determinado.
Esto constituye la aplicacin cientfica de mayor importancia del
pndulo. Para estas determinaciones se
emplean pndulos reversibles, es decir, pndulos que pueden
oscilar primero alrededor de un eje y
despus alrededor de otro. Colocado de tal modo que en cada una
de esas posiciones el pndulo posea la
misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son iscronas
(igual tiempo de oscilacin).
As se logran valores de gran precisin. Se debe tener en cuenta
en estas determinaciones la temperatura,
amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento
del aire y del soporte del pndulo.
El mtodo de medicin de g, con el pndulo, lo imagin y expres
Huygens, y fue aplicado por el fsico
matemtico Borda.
c) Determinacin del movimiento de rotacin de la Tierra.
Si disponemos de un pndulo suspendido de un alambre como indica
la figura, y procedemos a sacarlo de
su posicin de equilibrio, observaremos que el plano de oscilacin
del pndulo no vara al girar el
alambre sostn.
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19 PENDULO FISICO O COMPUESTO
Por tanto: El plano de oscilacin de un pndulo se mantiene
invariable al modificarse la posicin del
plano sostn.
Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la
existencia del movimiento de rotacin de la
Tierra. Emple un pndulo que constaba de una esfera de cobre de
25 kilogramos provista de un fiel y
suspendida de la cpula del Panten (Pars) por medio de un alambre
de acero de 79 m de largo.
En el suelo dispuso una capa de arena hmeda en la cual el fiel
de la esfera pendular marcaba los trazos
de sus oscilaciones.
As se pudo ver que, a medida que transcurra el tiempo, esas
marcas se iban modificando. Como el plano
de oscilacin es constante, significaba ello que lo variable era
el plano del soporte, es decir, el Panten o,
lo que es igual, la Tierra. En realidad, este experimento puede
realizarse en
una sala ordinaria con pndulo ms corto.
J. BI. Foucault: Fsico francs, nacido y muerto en Pars
(1819-68). Entre sus
trabajos recordamos la invencin del giroscopio, con el que
puede
determinarse la direccin del meridiano del lugar sin necesidad
de la
observacin astronc5mica, el mtodo para calcular la velocidad de
la luz en
el aire y en el agua, as como la demostracin del movimiento de
rotacin de
la Tierra valiendose del pendulo.
d) Medicin del tiempo: Huygens fue quien ide un mecanismo para
poder
medir el tiempo. Sabemos que, para determinada longitud, el
pndulo cumple
una oscilacin simple en un segundo. Por tanto, dando a un pndulo
esa
longitud, nos indicar, para cada oscilacin, un tiempo igual a un
segundo.
En otras palabras, si construimos un pndulo que efecte en un da
solar medio 86.400 oscilaciones, cada
una de stas nos indica un segundo. Un pndulo que rena estas
condiciones, aplicado a un mecanismo
motor (cuerda o pesas, que harn mover el pndulo) y a un sistema
destinado a contar las oscilaciones, o
sea, los segundos, constituye un reloj de pndulo.(figura
izquierda)
En los relojes porttiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el
pndulo est reemplazado por el volante
(rueda) que produce el movimiento oscilatorio del pndulo.
Cristian Huygens: Matemtico y astrnomo holands (1629-1695). Fue
un verdadero
genio de su siglo. Inventa el reloj de pndulo, y luego, el
resorte espiral, para los de
bolsillo. Enunci la teora ondulatoria de la luz, esboz lo que
hoy llamamos teorema de las fuerzas vivas; haciendo girar una
esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no poda ser
esfrica.
-
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20 PENDULO FISICO O COMPUESTO
VI. CONCLUSIONES:
6.1. Se estudi satisfactoriamente el movimiento de un pndulo
compuesto o fsico
6.2. Se logr Medir y demostrar la aceleracin de la gravedad
local utilizando un pndulo
compuesto
6.3. satisfactoriamente Se logr determinar el radio de giro de
un cuerpo rgido y a partir de este se
calcul el momento de inercia del mismo
6.4. durante la prctica se resalt algunas aplicaciones del
pndulo compuesto.
6.5. SE Verifico la reversibilidad del pndulo compuesto
VII. BBLIOGRAFA
1. GOLDEMBERG, J. Fsica General y Experimental. Vol. I. Edit.
Interamericana. Mxico 1972. 2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN.
Experimentos de Fsica. Edit. Limusa. Mxico 1980 3. SEARS, ZEMANSKY,
YOUNG. Fsica Universitaria. Vol. I. Edit. Addison Wesley Ibe.
USA
2005
4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Fsica Vol. I. Edit.
CECSA. Mxico-
2006
5. SERWAY RAYMOND. Fsica. Vol. II. Edit. Mc Graw - Hill Mxico
2005.
6. TIPLER A. PAUL. Fsica para la Ciencia y la Tecnologa. Vol. I.
Edit. Reverte, S.A. Espaa
2000.