Física I 2º Semestre de 2013 Instituto de Física- Universidade de São Paulo Aula – 2 Vetores e Movimento Tridimensionais Professor: Valdir Guimarães E-mail: [email protected]
Física I
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 2 Vetores e Movimento Tridimensionais
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: [email protected]
Vetores
Em 3D, muitas grandezas físicas são
representadas através de vetores.
Apresentam “módulo”, “direção” e
“sentido”.
Vetores não são
localizados no
espaço
Vetores
Em 3D, muitas grandezas físicas são
representadas através de vetores.
Apresentam “módulo”, “direção” e
“sentido”.
Vetores não são
localizados no
espaço
Vetores
Vetores não são
localizados no
espaço
Precisamos de um referencial
(3 eixos ortogonais entre si)
)ˆ,ˆ,ˆ( kji
Sistema de coordenadas cartesianas
)ˆ,ˆ,ˆ( r
Sistema de coordenadas esféricas
Sistema de coordenadas geográficas
Latitude e longitude
22° 54' 21.64"S 47° 03' 38.06"W
Sistema de coordenadas cilindricas parabólicas
Sistema de coordenadas cilindricas
)ˆ,ˆ,ˆ( zr
Soma de vetores pelas coordenadas
BAC
kBAjBAiBAC zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(
kBjBiBB
kAjAiAA
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
kCjCiCC zyxˆˆˆ
222
zyx CCCC Módulo do vetor
Deslocamento
Vetor Posição
Deslocamento trajetória
kzjyixr
kzzjyyixxr
rrr
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)( 121212
12
kxjyixkrjrirr zyxˆˆˆˆˆˆ
Módulo do
deslocamento 222 zyxr kzjyixr
kzjyixr
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2222
1111
velocidade e aceleração
Velocidade média Velocidade instantânea
t
rvmed
dt
rd
t
rv
t
0lim
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dxv ˆˆˆ
kvjvivv zyxˆˆˆ
Módulo da Velocidade
222
zyx vvvv
kzjyixr ˆˆˆ
kdzjdyidxrd ˆˆˆ
dt
kdz
dt
jdy
dt
idxv
dt
rd ˆˆˆ
Aceleração instantânea
dt
vd
t
va
t
0lim
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx ˆˆˆˆˆˆ
2
2
2
2
2
2
kajaiaa zyxˆˆˆ
kvjvivv zyxˆˆˆ
Uma bola é lançada e sua posição é dada por r.
Encontre suas velocidades e acelerações como função do tempo.
Quais são as posição e velocidade iniciais ?
jttitr
jtsmtsmitsmmr
ˆ)9,46,1(ˆ)125,1(
ˆ])/9,4()/6,1[(ˆ])/12(5,1[
2
22
O projétil é lançado em uma trajetória
bidimensional, a partir da posição inicial
(r0), com uma velocidade inicial (v0), com
um ângulo θ em relação à horizontal,
ficando em sua trajetória, submetido à
uma aceleração vertical (-g).
Movimento de projéteis
Decomposição do movimento nas duas coordenadas
Equações do movimento
2
00
2
00
2)(
2)(
ta
tvyty
ta
tvxtx
y
x
ga
a
y
x
0
000
000
sin
cos
vv
vv
y
x
2
00
00
2)(
)(
tg
tvyty
tvxtx
y
x
Equação da trajetória (para x0=y0=0)
2
0
0
2)(
)(
tg
tvty
tvtx
y
x
2
2
00
0
2
000
0
2)(
)/(2
)/()(
/
xv
gx
v
vxy
vxg
vxvxy
vxt
xx
y
xxy
x
0
0
0
000
000
sin
cos
tgv
v
vv
vv
x
y
y
x
2
0
22
0
0cos2
)( xv
gxtgxy
trajetória é uma parabola
Tempo total de vôo (T)
2
0
0
2)(
)(
tg
tvty
tvtx
y
x
Para t=T, y=0
000
0
2
0
22
20
20
seng
v
g
vT
Tg
v
Tg
Tv
y
y
y
000
000
sin
cos
vv
vv
y
x
Alcance horizontal (R) quando x(T)= R
00
2
0
0
cossin2
g
vR
TvR x
0
2
0 2sin g
vR
Para qual ângulo D é máximo ?
2
0
0
2)(
)(
tg
tvty
tvtx
y
x
000
000
sin
cos
vv
vv
y
x
gtvv
vv
yy
xx
0
0
2
00
00
2)(
)(
tg
tvyty
tvxtx
y
x
Equação da velocidade
gtvdt
dyv
vdt
dxtv
yy
xx
0
0)(
Tempo de subida (Ts)
Para t=Ts, vy=0
Altura máxima (H)
gtvv
vv
yy
xx
0
0
000
0
sin
0
g
v
g
vT
gTv
y
s
sy
0
22
0
2
0
sin2
2
g
vH
Tg
TvH ssy
2
0
0
2)(
)(
tg
tvty
tvtx
y
x
000
000
sin
cos
vv
vv
y
x
Para qual ângulo H é máximo ?
Movimento Circular Uniforme
Aceleração centrípeta
r
vacentr
2
Período (T)
tempo necessário para uma volta completa
v
rT
T
rv
2
2
Calcule o módulo da
velocidade e o período de um
satélite com órbita “baixa”.
RT= 6370 km e g= 9,81 m/s2
Movimento Circular Uniforme
Aceleração centrípeta
Por semelhança de triângulos
t
r
r
v
t
v
rr
vv
r
v
r
v
Movimento Circular Uniforme
c
tt
ar
vv
r
va
t
r
r
v
t
v
2
00limlim
Aceleração centrípeta
Tratamento vetorial
rjRiRa
jRiRdt
vda
jRiRdt
rdv
22
22
)ˆsinˆcos(
ˆsinˆcos
ˆcosˆsin
Movimento Circular Uniforme
rr
vr
r
vrac
ˆ2
2
22
t
jRiRr
ˆsinˆcos
Movimento não retilíneo qualquer
dt
dvat
Além da aceleração centrípeta,
podemos ter também uma
componente da aceleração paralela
à direção do movimento
(aceleração tangencial) Aceleração total
tc aaa