FISICA I Cuarto Parcial Clases (1)

FISICA I

CUARTO PARCIAL (CLASES)

ENERGIA CINETICA ROTACIONAL

Supongamos un objeto como un sistema de partculas y imaginemos que este objeto gira

en torno a un eje fijo z y que este sistema de partculas que forman el objeto fijo giran

en torno a ese eje con una velocidad angular w.

Consideremos una partcula de masa ubicada a una distancia del eje de rotacin

del cuerpo y esta partcula describe una trayectoria circular, donde esta partcula tiene

una rapidez tangencial , entonces su energa cintica es:

2

2

1iii vmK

Es importante recordar que cada partcula del cuerpo rgido tiene la misma rapidez

angular w, las magnitudes de las velocidades tangenciales individuales son diferentes

para cada partcula porque dependen del radio desde el eje de rotacin hasta la

partcula, Entonces la energa cintica total de rotacin del cuerpo ser la suma

individual de cada una de las energa cinticas del cuerpo.

22 )(2

1

2

1iiiiiR rmvmKK

(Usando la relacin v=wr)

Esta expresin anterior se puede escribir como:

O

ri

vi

mi

eje z

, donde el termino = I (Inercia de una partcula)

Donde en la ecuacin anterior Factorizando ya que w es la misma para cada

partcula del cuerpo entonces tenemos que.

La inercia total de cuerpo entorno al eje de giro es:

I =

Entonces la energa total de rotacin del cuerpo ser

CLCULO DE LOS MOMENTOS DE INERCIA DE UN CUERPO

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo rgido nos imaginamos el cuerpo

formado por un sistema de partculas de masas , y usamos la definicin

I = , en donde hacemos 0 y se toma el limite de esta suma a medida

que 0, luego esta suma por definicin se convierte en una integral sobre el

volumen del objeto rgido.

=

Donde la ecuacin anterior depender del tipo de distribucin del objeto analizado.

Si el objeto tiene una densidad lineal , donde cantidad de masa por unidad de

longitud, esta densidad es constante ;

Si la distribucin es superficial tenemos que:

= cantidad de masa por unidad de rea, donde

Si la distribucin es volumtrica tenemos = cantidad de masa por unidad de

volumen, donde

Calculemos la inercia de una varilla uniforme de longitud L y masa M, con respecto a

un eje que pasa por su centro de masas.

Tomamos un pequeo diferencial

De masa dm a una distancia x del

Eje de rotacin ubicado en el C.M

Utilizaremos la ecuacin

I = ; dm = dx I =

Al resolver esta integral obtenemos que: I = M , Si se desea calcular la inercia del

mismo cuerpo pero respecto a un eje paralelo a una distancia D del eje que pasa por su

centro de masa aplicamos un teorema denominado el Teorema de los ejes paralelos

, en el caso anterior si deseamos calcular la inercia de la varilla respecto

a un eje paralelo que pasa por un extremo de ella, en este el eje que se resalta en color

rojo.

Donde ese eje paralelo se encuentra a una distancia del centro de masa

M + M =

MOMENTO DE TORSION

Imaginemos que queremos aflojar una tuerca y aplicamos una fuerza a una llave para

poder lograrlo esa fuerza se aplica a un ngulo respecto a la horizontal formada por la

lnea radial

M

L

dm

x

Fsen

Fcos

r

d Lnea de accin de la fuerza

Cuando deseamos abrir una puerta debemos hacerla girar en torno a un eje que pasa por

uno de sus extremos y nos hemos dado cuenta al hacerlo que si aplicamos la fuerza lo

ms alejado posible del extremo donde se encuentra el eje de rotacin con mayor

facilidad la podemos abrir, de igual forma podemos observar que al pretender aflojar la

tuerca si aplicamos la fuerza el extremo de la llave opuesto al extremo donde se

encuentra la tuerca esta se aflojara ms fcilmente. La tendencia de una fuerza a dar

vuelta un objeto en torno a un cierto eje fijo la mediditos mediante una cantidad llamada

momento de torsin (letra griega tao), Volvamos al ejemplo de la llave aflojando la

tuerca donde tenemos una fuerza aplicada a la llave con un ngulo con respecto a la

horizontal, el torque es una cantidad vectorial dada por = x , donde su magnitud

esta dada por =r Fsen , donde Fsen es la componente perpendicular al vector

=r Fsen

Por otro lado tenemos la distancia d que es la distancia que hay desde el eje de rotacin

perpendicularmente a la lnea de accin de la fuerza entones la magnitud del torque se

convierte en = Fd. ( N.m)

Supongamos que tenemos un cuerpo al cual le aplicamos dos fuerzas diferentes

Cuando tenemos dos o ms fuerza actuando

Sobre un cuerpo el torque total ser la suma

De cada uno de los torques individuales estos

Torques pueden ser negativas o positivas

dependiendo de si la fuerza hace girar la objeto

en sentido horario o anti horario cuando el torque

es en sentido horario este ser negativo y positivo si

su movimiento giratorio es en sentido anti horario.

= + = -

OBJETO RIGIDO BAJO UN MOMENTO DE TORSION NETO

O

En esta ocasin desarrollaremos la relacin que existe entre el torque y la

aceleracin angular , para ello primero veamos que pasa con una partcula de masa m

que se mueve en una trayectoria circular en torno a algn punto fijo. Esta partcula se

mueve en una trayectoria circular bajo la influencia de una fuerza neta tangencial y

una fuerza neta radial

La fuerza neta radial hace que la partcula se mueva en una trayectoria circular con una

aceleracin centrpeta y la fuerza neta tangencial proporciona una aceleracin tangencial

= m , donde la magnitud del momento de torsin neto debido a la

fuerza en la partcula entorno a un eje que pasa a travs del centro del crculo es:

= r = (m ) r, sabemos que la aceleracin tangencial se relaciona con la

aceleracin angular con la siguiente ecuacin = r entonces ahora tenemos que

= (mr) r = (m ) ,

Donde recordemos que el termino m = I, inercia de la partcula

Como conclusin podemos decir que el momento de torsin neto que acta sobre una

partcula es proporcional a su aceleracin angular y su constante de proporcionalidad es

su momento de inercia. La cual tiene la misma forma matemtica de la segunda ley

Newton.

Ahora hagamos lo mismo con un objeto rgido

r

m

d

dm

o

r

d = (dm) , ahora el momento de torsin asociado con la fuerza d en torno al eje

que pasa por el origen es

Ya que =r

Para encontrar el torque total debemos integrar

, donde ya sabemos que el trmino es la inercia

del cuerpo rgido, entonces podemos expresar

CONSIDERACIONES ENERGETICAS EN EL MOMENTO ROTACIONAL

Consideremos un cuerpo rgido al cual se le aplica una fuerza en el punto P y se

desplaza en una trayectoria circular un pequeo desplazamiento s (distancia

infinitesimal)

El trabajo consumido en el objeto por la fuerza a medida que el objeto rgido da

vuelta en torno a su punto de aplicacin una distancia infinitesimal ds = rd ser

s = (Fsen)rd , donde Fsen es la componente de la fuerza a lo largo del

desplazamiento para que pueda generar trabajo y el termino Fsen r es el torque

entonces

, si queremos hallar el trabajo total integramos desde

La rapidez a la cual realiza trabajo a medida que el objeto rota en torno al eje fijo a

travs del ngulo d en un intervalo de tiempo dt se denomina Potencia instantnea P

P s

d r

0

Esta ecuacin es anloga a P= Fv en el caso del movimiento trasnacional

Ahora demostremos el teorema del trabajo y la energa para un movimiento rotacional

para ello partimos de

= I

Al reordenar esta ecuacin y tomando en cuenta que

Integrando esta ecuacin tenemos que