Física Estadística - Tercer curso del Grado en Física · Tercer curso del Grado en Física J. Largo & J.R. Solana largoju at unican.es solanajr at unican.es Departamento de Física

Física Estadística

Largo-Solana

Fundamentos dela FísicaEstadística

Física EstadísticaTercer curso del Grado en Física

J. Largo & J.R. Solanalargoju at unican.es solanajr at unican.es

Departamento de Física AplicadaUniversidad de Cantabria


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Física Estadística delEquilibrio

Probabilidad termodinámica

Estado termodinámico ymacroestados

Indice I

Fundamentos de la Física EstadísticaFísica Estadística del EquilibrioProbabilidad termodinámicaEstado termodinámico y macroestados


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Introducción

Las propiedades microscópicas de las partículas

como pueden ser (ya que las partículas pueden no sermateriales)

• masa y carga atómica

• fuerzas de interacción, potencial intermolecular

• geometría molecular...

determinan las propiedades macroscópicas del sistemaque forman.


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Introducción

Relación con la Termodinámica

• La Termodinámica proporciona relaciones entre laspropiedades macroscópicas del sistema.

• La Física Estadística proporciona el valor de laspropiedades macroscópicas a partir de laspropiedades microscópicas.


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Introducción

Mayor complejidad

• la descripción macroscópica requiere pocasvariables.

• La descripción microscópica de un sistema requieredetallar el estado de cada partícula del sistema.


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Introducción

En conclusión la Física Estadística

• Conecta la descripción microscópica de la materiacon las propiedades termodinámicas de un sistema.

• Pretende entender como ciertas propiedadesmacroscópicas de los cuerpos dependen de susconstituyentes microscópicos y sus interacciones.


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Física Estadística del Equilibrio

Física Estadística del Equilibrio

Aplicar métodos estadísticos a grandes conjuntos departículas para obtener las propiedades del sistema enequilibrio termodinámico.


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Descripción microscópica

Física Estadística y Teoría Cinética

• Requieren el conocimiento de propiedadesmicroscópicas del sistema.

• Formulan hipótesis, aplican un formalismo y predicenlos valores de las propiedades macroscópicas.

• Se diferencian en el enfoque, formalismo yaplicación.


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Teoría Cinética

Necesita conocer las velocidades moleculares y lafrecuencia de las colisiones.


Se basa en descripciones energéticas, lo cuál permite suaplicación a mayor número de sistemas.


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En común ...

la consideración de que si las partículas microscópicasposeen energía cinética y energía potencial les seránaplicables las leyes de la mecánica y por tantoresolviendo las ecuaciones de movimiento podremosobtener las propiedades del sistema.


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¿Cómo resolver las ecuaciones de movimiento deun número enorme de partículas?

• en realidad no es necesario.

• lo importante es la contribución promedio de todaslas partículas.


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Hipótesis Ergódica

Ventaja adicional..

La Física Estadística no necesita considerar la evolucióntemporal del sistema a escala microscópica. Lo que hacees considerar el conjunto formado por todos los estadosmicroscópicos accesibles al sistema en unas condicionesdadas.


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estado accesible

es un estado cuántico en el que puede estar el sistemasin violar ninguna condición impuesta por los parámetrosexternos.


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Postulado o Principio de igualdad de probabilidad

Todos los estados posibles en un sistema aislado tienenel mismo peso estadístico.El sistema va recorriendo sucesivamente todos losestados posibles.

Todo esto se traduce en la hipótesis ergódica


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Colectivo

••

•

•

••

•

•

• •

•

•

•••

•

• •

•••••

•••

••

•• • •••

••

Colectivo

Conjunto de un número enorme de réplicas del sistema.

En cierto modo esto incluye todos los estados microscó-picos que el estado recorrerá a lo largo de un tiempo in-finito. Las propiedades del sistema se podrán determinarpromediando las propiedades de los sistemas del colecti-vo.


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Macroestados y microestados

Macroestado

Un macroestado del sistema queda determinadoespecificando el número de partículas Ni que hay encada nivel de energía de las partículas del sistema.

El estado termodinámico de un sistema corresponde a unnúmero enorme de macroestados diferentes.


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Microestado

Un microestado del sistema queda determinadoindicando el número de partículas que hay en cadaestado cuántico.Si fuesen partículas discernibles tendríamos que decirademás que partículas se encuentran en cada estadocuántico.


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Un sistema aislado pasa sucesiva y uniformemente portodos los microestados accesibles.

Dicho de otro modo, que todos los microestados tienenla misma probabilidad, esto permite sustituir promediostemporales, por promedios sobre el colectivo.


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¿Estadística Clásica o Cuántica?

O que rige el comportamiento de las partículas la

¿Mecánica Clásica o Cuántica?

Las partículas microscópicas poseen energía y les seránaplicables las leyes de la mecánica

• Clásica, descripción continua de la energía.

• Cuántica, descripción discreta de la energía.

en general hay que aplicar las leyes de la mecánica cuán-tica, y solo a veces se puede aproximar a un comporta-miento clásico.


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¿Estadística Clásica o Cuántica?

Los niveles de energía tanto de las partículas comodel sistema están cuantizados

• Degeneración gi al número de modos distintos enque una partícula puede tener energía εi.

• Degeneración Gj del nivel j de energía del sistemaal número de modos en que el sistema puede teneresa energía Uj .


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El procedimiento de la Física Estadística

Consiste en, dados los niveles de energía de las partícu-las.

1. Determinar el número medio de ocupación de cadauno de estos niveles de energía. Para ellonecesitamos conocer la distribución de probabilidadde que una partícula se encuentre en undeterminado nivel de energía.

2. Conocidos los niveles de energía de las partículas yel número medio de ocupación de cada nivel,podemos determinar la energía interna del sistema.


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Probabilidad Termodinámica

Se denomina probabilidad termodinámica W al númerode microestados que tiene un macroestado.

La expresión matemática depende de las característicasde las partículas y de los niveles de energía que ocupan.


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Estadística de Maxwell-Boltzmann

Si el sistema consta de N partículas discerniblesdistribuidas entre n niveles de energía no degenerados.El número total de microestados o probabilidadtermodinámica del macroestado k será:

Wk =N !∏

i

Ni!=

N !

N1!N2! . . . Nn!

Con la restricciónn∑

i=1

Ni = N


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Estadística de Maxwell-Boltzmann condegeneración

Si cada nivel i tiene gi estados cuánticos distintos, esdecir, que dicho nivel tiene degeneración gi, y sinlimitación en cuanto al número de partículas que puedenocupar cada estado cuántico, tendremos variaciones conrepetición de gi elementos de orden Ni:

Wk = N !∏i

gNii

Ni!


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Estadística de Fermi-Dirac

Si las partículas son indiscernibles y cada estadocuántico no puede contener más de una partícula.El número de modos en que las Ni partículas del nivel ipueden distribuirse entre los gi estados cuánticosdistintos gi!/Ni!(gi − Ni)!, considerando todos losniveles, el número total de microestados del macroestadok será:

Wk =∏i

gi!

Ni! (gi − Ni)!


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Estadística de Bose-Einstein

• Cuánticamente, las partículas son indiscernibles ylos niveles de energía son degenerados.

• Clásicamente, las partículas son discernibles y losniveles de energía no degenerados.

Sin embargo, en ocasiones, resulta útil considerar unapartícula híbrida clásico-cuántica, distinguible pero conniveles de energía degenerados.


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Explicación

Si no hay restricción al número de partículas en cadaestado cuántico, el número de modos de distribuir las Ni

partículas indiscernibles del nivel i entre gi estadoscuánticos distintos, teniendo en cuenta todos los niveles,el número total de microestados del macroestado k será:

Wk =∏i

(gi + Ni − 1)!

Ni! (gi − 1)!

el factor N ! tampoco aparece porque las partículas sonindiscernibles.


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límite clásico

Cuando gi Ni

(gi + Ni − 1)!

Ni! (gi − 1)!≈

gNii

Ni!

gi!

Ni! (gi − Ni)!≈

gNii

Ni!


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Probabilidad matemática

El número total Ω de microestados, considerando todoslos posibles macroestados,

Ω =∑k

Wk

En un sistema aislado, la probabilidad matemática P deque el sistema se encuentre en un determinadomacroestado k

Pk =Wk

Ω


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Estado termodinámico y macroestados

• No conocemos la distribución de probabilidad de queun sistema se encuentre en cualquiera de losmicroestados accesibles.

• La Física Estadística permite conocer elmacroestado más probable, pero el sistema no estásiempre en el.


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• Si el sistema está en equilibrio termodinámico, laspropiedades macroscópicas permanecenvirtualmente constantes, lo que implica que sonprácticamente las mismas para la gran mayoría delos macroestados.

• Cuando el sistema, en su evolución temporal,alcanza alguno de los microestados de unmacroestado cuyas propiedades seanmarcadamente diferentes de las del promedio, seproducirá una fluctuación.


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Resumen

• La Física Estadística identifica el macroestado másprobable como el correspondiente al estado deequilibrio termodinámico.

• Las propiedades macroscópicas tienen los mismosvalores para el estado de equilibrio termodinámico,que para el macroestado más probable.

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