Apresentao
em-vindo ou bem-vinda! Este o seu segundo volume do curso de
Fsica Fsica! Apresentamos os principais conceitos estudados em
Fsica. A maioria deles aparece em situaes que podem ser observadas
no seu dia-a-dia, em casa, na rua, no trabalho, no cu... Com isso,
buscamos mostrar a voc que os fenmenos fsicos ocorrem em todo lugar
e a todo momento momento, e que os conhecimentos da Fsica esto
acessveis a todas as pessoas que tm curiosidade em relao a eles,
mesmo as pessoas que estejam fora das universidades ou dos
laboratrios cientficos. Essa maneira de expor idias - por meio de
situaes comuns, observando o que ocorre ao nosso redor - facilita a
compreenso dos conceitos cientficos, muitas vezes abstratos, e
ajuda a explicar os mais diversos fenmenos que ocorrem na natureza.
Seu livro de Fsica est dividido em dois volumes. No primeiro, voc
aprende um pouco mais sobre os fenmenos fsicos e de que modo essa
cincia estuda tais fenmenos. Observar fenmenos relacionados aos
movimentos movimentos, analisa foras foras, verifica que existem
diferentes formas de energia na natureza, descobre fenmenos que
ocorrem, por exemplo, quando mergulhamos objetos em lquidos, e
muitas outras questes. Nesta parte da Fsica, a maioria dos fenmenos
estudados so macroscpicos macroscpicos, isto , so visveis para
todos ns. No segundo volume, voc aprende mais coisas sobre o calor
e a temperatura ra, sobre o som som, sobre a luz e como ela se
comporta, e estuda fenmenos relacionados eletricidade eletricidade.
Alm disso, v alguns temas de Fsica Moderna Moderna, como a to
falada Fsica Nuclear Nuclear. Nessa parte, voc estuda a interpretao
microscpica dos fenmenos, isto , interpretao daquilo que no
diretamente observado a olho nu. Os livros esto organizados da
seguinte maneira. Cada aula abre com a seo Para comear comear. Ali
voc vai encontar uma introduo ao principal assunto tratado na aula.
Apresentamos uma situao, ou uma pergunta, relacionada aos conceitos
que sero discutidos.
B
A aula, propriamente dita, tem incio na seo Fique ligado. A bom
ficar bem atento, pois sero discutidos e gado explicados os
conceitos novos.
Outras duas sees vo aparecer com freqncia:
Com a mo na massa massa, na qual sugerimos atividades ou
exerccios para serem feitos no decorrer da aula.
Passo-a-passo Passo-a-passo, em que apresentamos exemplos ou
exerccios resolvidos detalhadamente.
No final da aula existem mais duas sees importantes: Para
terminar terminar, na qual apresentamos, de forma reduzida, os
principais conceitos discutidos.
Finalmente, na seo Mos obra obra, voc vai encontrar alguns
exerccios que vo ajudar a fortalecer seus estudos.
Esperamos que, a partir deste estudo, voc, caro aluno ou cara
aluna, passe a observar de outra forma a natureza que o[a] cerca, e
mais do que isso, saiba que a cincia uma maneira mais organizada de
estudar o que acontece na natureza, e que o conhecimento - que vem
sendo acumulado durante sculos e milnios - fruto da curiosidade de
vrias geraes de homens e de mulheres. Compreendendo melhor a
cincia, possvel observar o mundo com outros olhos, com os olhos no
apenas de um simples observador, mas de um cidado ou de uma cidad
que compreende muitas coisas e que pode participar da construo das
transformaes que ocorrem no mundo de hoje e na nossa sociedade!
Desejamos a voc bons estudos!
AUTORIA Alberto Gaspar Cristiano Rodrigues de Mattos -
coordenador Ernst W. Hamburger - supervisor Norberto Cardoso
Ferreira Roberta Simonetti APOIO Universidade de So Paulo
A A UA U L LA
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O mundo da FsicaA
curiosidade do homem pode ser compreendida de vrias maneiras:
alguns dizem que vem de uma necessidade de sobrevivncia, outros
dizem que uma forma de prazer ou, ainda, no pensamento religioso,
que uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coisa no podemos negar: o
homem curioso!l l l l l l
Por que as coisas caem? O Sol uma bola de fogo? A Terra est
parada? E a Lua, como ela fica l em cima? Quando comeou o tempo?
Como surge o pensamento? Como surgiu a vida? Existe vida depois da
morte?
Essas so perguntas que o homem vem se fazendo h muito tempo.
Algumas sabemos responder, outras no. Algumas tm mais de uma
resposta, a diferena est no mtodo usado para respond-las. Alguns
mtodos permitem conhecer o mundo que nos cerca, outros nos levam a
iluses sobre este mundo. Observe estes casos:
HORSCOPO:
ESPELHO, ESPELHO MEU... VOC SABIA?
A Lua energiza seu signo apesar de estar em fase com saturno com
o qual apresenta tenso tenso. Voc deve aproveitar as vibraes de
mercrio que completa hoje seu ciclo ciclo. Assim, curta hoje os
seus amigos. Nmero de sorte 23.
Para vermos inteiramente nosso rosto num espelho plano
suficiente que ele tenha metade do tamanho (altura) do rosto. Tente
observar este fato.
Os trechos escritos nos quadros acima poderiam ser encontrados
num jornal ou falados pela televiso. Freqentemente encontramos
frases que propem, sugerem, ou mesmo ordenam que faamos, ou no
faamos, certas coisas: No fume no elevador. Lei Municipal nmero
tal.
Essa afirmao tenta nos dizer que se fumarmos no elevador
estaremos sujeitos s penas da tal lei. Voltemos aos quadros. O
primeiro nos diz algumas coisas a respeito da situao dos astros em
que podemos, ou no, acreditar. Mais ainda, nos fala para curtir os
nossos amigos, o que bom, e, indiretamente, prope que joguemos no
nmero 23. Dentro do quadro encontramos palavras que parecem
cientficas: energizar energizar, vibrao vibrao, tenso tenso, fase
fase. O texto usa essa linguagem para tentar nos convencer de que
tudo que foi escrito verdade. Mas os horscopos so produtos da
Astrologia que no uma cincia. Suas definies no so exatas e variam
de astrlogo para astrlogo. Na verdade o que foi dito a opinio de
quem fez o horscopo e o astrlogo pode, ou no, acertar as suas
previses. No segundo quadro estamos no campo da cincia. Ele procura
nos descrever um fato fato. Se uma pessoa, em qualquer lugar do
mundo, seguir as instrues e se olhar num espelho que tenha, pelo
menos, metade da altura do seu rosto, conseguir ver o rosto por
inteiro. No estamos mais diante de uma opinio opinio, mas sim de um
fato, que pode ser verificado. Devemos ouvir o que as pessoas tm a
dizer, porm devemos ser capazes de julgar o que foi dito. No porque
saiu no jornal ou deu na tv que verdade! Por outro lado, devemos
ter cuidado, pois julgar no discordar de tudo, o importante fazer
perguntas perguntas, ter curiosidade e ir em busca dos fatos e suas
explicaes. A cincia e seus mtodos podem nos ajudar a responder
muitas perguntas, a tomar posies e a fazer julgamentos.
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Uma questo de mtodoA cincia uma forma de olhar o mundo, mas no a
nica. Muitas pessoas imaginam que as perguntas religiosas esto
completamente separadas das perguntas cientficas, mas isso nem
sempre verdade. Por exemplo, Isaac Newton, quando criou o conceito
de fora fora, queria evidenciar a ao de Deus no mundo: suas
perguntas eram religiosas e se confundiam com as cientficas. O
mtodo cientfico tem permitido humanidade construir conhecimentos
sobre o mundo, propiciando compreender e controlar a natureza em
alguns aspectos. O mtodo cientfico busca uma verificao dos fenmenos
por meio de observaes e experincias (fatos), ou seja, busca na
natureza a resposta para suas perguntas e a confirmao de suas
hipteses (opinies baseadas em fatos). Por exemplo, uma pergunta que
vem sendo feita desde a Antigidade se refere queda dos corpos
corpos: um corpo pesado e um leve, soltos ao mesmo tempo e de uma
mesma altura, chegam juntos ao cho? Vrias pessoas deram solues para
essa pergunta. Os gregos antigos achavam que o lugar natural das
coisas pesadas era o solo, por isso caem, sendo que as de maior
peso chegam primeiro. Assim como as coisas leves sobem para o cu,
lugar natural do que leve, como o fogo ou os gases quentes. Essa
forma de olhar a queda dos corpos se manteve por muitos milnios,
quase como uma afirmao sagrada, da qual no se podia duvidar, mas,
por volta de 1500, cientistas criaram o mtodo experimental
experimental, que a base do mtodo cientfico. Um fenmeno que ocorre
em todos os lugares, como o reflexo de um rosto num espelho,
chamado de um fenmeno natural. Galileu Galilei, o primeiro a
escrever sobre esse mtodo, estudou o fenmeno da queda dos corpos
fazendo observaes e medies do fenmeno, ou seja, ele comeou a
observar como, quando e em que situao o fenmeno ocorria ocorria.
Galileu deixou cair uma bala de canho e uma de mosquete, cem vezes
mais leve, do alto da Torre de Pisa, na Itlia.
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Isso permitiu a Galileu chegar seguinte concluso:
1Homem de esprito cientfico e pesquisador, o italiano Galileu
Galilei (1564-1642) deu muitas contribuies cincia, principalmente
no campo da Astronomia.
Dois corpos abandonados, ao mesmo tempo, de uma mesma altura,
chegam juntos (simultaneamente) ao solo, mesmo que tenham pesos
diferentes.
Figura 1. Torre de Pisa
primeira vista essa afirmao nos surpreende, porque raramente
temos a oportunidade de ver uma formiga e um elefante caindo
simultaneamente de uma mesma altura e verificar se eles chegam
juntos ao cho! Ento usemos o mtodo cientfico, duvidemos dessa
afirmativa!Vamos usar o mtodo experimental para verificar se ela
correta!
O mtodo experimentalO que voc vai fazer agora uma experincia
simples para observar a queda dos corpos na superfcie da Terra e
conhecer um pouco mais sobre o mtodo experimental. Pegue uma folha
de papel do seu caderno. Segure a folha sobre a palma da mo
esquerda e o caderno sobre a palma da direita, mantendo os dois
mesma altura do cho, como mostra a Figura 2. Espere alguns
instantes e solte-os ao mesmo tempo. Qual dos dois objetos cai mais
rpido rpido?
Voc deve estar pensando que a resposta bvia: o caderno chega
primeiro! Afinal ele mais pesado. Pois bem, voc tem razo, mas
somente na primeira parte da sua resposta. Realmente, nessas
condies, o caderno cai mais rpido do que a folha de papel. Ou seja,
apenas confirmamos o que j se esperava.Figura 2
Faamos outra experincia. Pegue duas folhas iguais de papel.
Coloque cada uma na palma de cada mo. Espere alguns instantes e
solte-as ao memo tempo. Qual dos dois objetos cai mais rpido?
Provavelmente uma das duas caiu mais rpido do que a outra. E se voc
repetir essa experincia diversas vezes, em vrias tentativas, a da
direita cair primeiro e em outras a da esquerda cair primeiro. Isso
significa que essa experincia no conclusiva. No podemos afirmar,
antes de fazer a experincia, qual folha cair mais rpido. Mas como
podem dois corpos de mesmo peso no cairem juntos? O que est
atrapalhando? Podemos fazer algumas hipteses hipteses. Talvez o ar
esteja, de alguma forma, atrapalhando a descida das folhas e de
maneira incontrolvel, pois a cada descida as folhas percorrem
caminhos diferentes, e chegam em instantes diferentes. Podemos, e
devemos testar essa hiptese hiptese: Pegue duas folhas de papel,
amasse uma completamente, at formar uma bola e segure-a com a mo
direita; com a palma da mo esquerda, segure a outra folha sem
amass-la. Espere alguns instantes e solte-as. Faa novamente a
pergunta: qual dos dois objetos cai mais rpido rpido? Nessa
experincia podemos ver claramente que o ar interfere na queda dos
corpos, pois a folha amassada cai rapidamente, e em linha reta, e a
outra no. Ser possvel diminuir a influncia do ar sobre o movimento
da folha de papel? Pegue seu caderno novamente, sustentando-o sobre
a palma da mo direita. E agora coloque a folha sobre o caderno.
Espere alguns instantes e solte-os. Qual dos dois objetos cai mais
rpido rpido? Se voc repondeu que os dois caem juntos, maravilha! O
que fizemos? Ns controlamos a experincia. Impedimos que o ar
atrapalhasse a queda da folha de papel e tambm pudemos ver que
tanto a folha, quanto o caderno, caem juntos at o cho cho. Com essa
experincia foi possvel compreender que:
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Nem sempre, os fenmenos naturais so observados com facilidade.
Para estudar as leis da natureza, temos de criar condies adequadas,
que possam ser controladas.
Essa foi a grande sacada de Galileu ao criar o mtodo
experimental. Nas prximas aulas, voltaremos a estudar o movimento
da queda dos corpos na superfcie da Terra. Demos um exemplo do
mtodo experimental, que a base do mtodo cientfico, utilizado pela
cincia, incluindo a Fsica. Mas, o que mesmo Fsica?
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O que a Fsica?H cerca de 200 anos, no precisaramos nos preocupar
com essa pergunta. Os conhecimentos que esto includos no que hoje
chamamos Fsica, Qumica, Astronomia (no confunda com Astrologia!),
Engenharia etc. estavam todos dentro do que se chamava Filosofia
Natural Natural. Mas as informaes sobre as substncias, sobre o
movimento dos astros, a construo de mquinas sobre a natureza e os
artefatos construdos pelos homens foram crescendo tanto, que foi
necessrio o estabelecimento de cincias diferentes.
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O escocs James Watt (17361819) aperfeioou a mquina a vapor. Sua
contribuio para a Revoluo Industrial foi decisiva.
Com Galileu Galilei, houve um grande avano na cincia. Com a
ajuda do mtodo experimental, desenvolveram-se muitas tcnicas que,
cada vez mais, foram sendo aplicadas no dia-a-dia do homem. A
inveno da mquina a vapor, em 1769, por James Watt e, mais as
descobertas de Ampre e outros com relao eletricidade, fez com que
surgissem pessoas interessadas tambm em o que fazer com esses
conhecimentos. Pessoas se preocupavam e se dedicavam a aplicar os
conhecimentos da cincia e so agora os engenheiros, mais
interessados na tecnologia, que abandonaram a Filosofia
Natural.
Daquele conjunto de conhecimentos que era a Filosofia Natural
restou o estudo da Mecnica, do Calor, da Eletricidade, do
Eletromagnetismo, da Luz, etc, que recebeu o nome de Fsica.
As divises da FsicaA Fsica estuda vrios tipos de fenmenos da
Natureza. Para facilitar o seu estudo costuma-se dividi-la. At o
incio do sculo as principais partes da Fsica eram: a Mecnica
Mecnica, a Termodinmica Termodinmica, e o Eletromagnetismo
Eletromagnetismo. No sculo XX, a partir de grandes descobertas,
surgiram novos ramos, entre eles: Fsica Atmica e Nuclear Nuclear,
Mecnica Quntica Quntica, Relatividade Relatividade. Os novos
conceitos introduzidos neste sculo provocaram uma verdadeira
revoluo na Fsica. Hoje comum tambm dividir a Fsica em Clssica
(antes de 1900) e Moderna (aps 1900). Alguns desses assuntos sero
abordados ao longo do nosso curso. O quadro a seguir mostra algumas
perguntas que podem surgir no nosso dia-a-dia, e identifica qual o
ramo da Fsica que trata de respond-las.
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PERGUNTASl
QUEM RESPONDE MECNICA
ALGUNS CONCEITOS
l
l
Por que somos jogados para frente do nibus quando ele freia
bruscamente? Por que nos dias de chuva mais difcil frear um
automvel? Como um navio consegue boiar?
Fora Espao Inrcia Tempo Velocidade Massa Acelerao Energia
Densidade Calor Energia trmica Presso Volume Dilatao Temperatura
Mudanas de estado Raio de luz Reflexo Refrao Lentes Espelhos
l l
l
Como funciona um termmetro? Por que o congelador fica na parte
superior da geladeira? O que ocorre com a naftalina, que some do
fundo da gaveta? Como vemos os objetos? Como os culos ajudam a
melhorar a viso? Como se forma a nossa imagem num espelho? O que a
corrente eltrica? Como funciona um chuveiro eltrico? Para que serve
um fusvel? O que , de fato, a luz? O que compe todas as coisas? O
que so microondas?
TERMODINMICA
l l
PTICA
l
l l l
ELETROMAGNETISMO
Carga eltrica Corrente eltrica Campos eltricos Campos magnticos
Ondas eletromagnticas tomos Ncleos Ftons Eltrons
l l l
FSICA ATMICA/NUCLEAR
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Aplicaes da FsicaDesde tempos imemoriais homens e mulheres
investigam os fenmenos da natureza para poderem viver melhor. Sua
curiosidade os fez aprofundar em seus conhecimentos sobre os ciclos
do dia e da noite, sobre as fases da Lua, as estaes do ano; sobre
como se desenvolvem plantas e animais, para melhorar a agricultura
e as criaes, e assim produzir mais alimentos; sobre como produzir e
controlar o fogo, e inventar ferramentas que facilitam o trabalho.
A construo de casas, represas, pontes; a utilizao da roda, de
carros e dos diferentes tipos de mquinas, tudo isso foi sendo
incorporado ao conhecimento da humanidade. Nos ltimos sculos, a
cincia vem avanando muito rapidamente, assim como a tecnologia, que
aplica os conhecimentos cientficos a situaes prticas. Tornou-se
possvel fazer mquinas muito pesadas - os avies - voarem,
facilitando, depois, a construo de outras - as naves espaciais, que
levaram o homem Lua e que nos ajudam a desvendar os mistrios do
universo. J se conhece muita coisa sobre o universo e as estrelas
estrelas, mas as pesquisas ainda no se esgotaram. Sabemos que o
Sol, a estrela mais prxima da Terra, essencial para a existncia da
vida em nosso planeta planeta. Praticamente toda energia utilizada
na Terra provm do Sol: ele nos fornece luz e calor calor, que so
fundamentais para a manuteno da vida. E, hoje, existem equipamentos
que permitem aproveitar mais e melhor essa energia. Um ramo
importante da Fsica a Fsica Nuclear, que deu origem a reatores
nucleares que produzem energia eltrica eltrica. Com os
conhecimentos desse ramo da Fsica tambm foi possvel construir
bombas nucleares, que so as armas de destruio mais ameaadoras, para
a humanidade e para nosso planeta, j construdas. No entanto, graas
a esse mesmo conjunto de conhecimentos, foram desenvolvidos
equipamentos e tcnicas para a Medicina que salvam muitas vidas,
pois permitem saber como esto funcionando os rgos no interior do
corpo humano. Exemplo disso so as radiografias (chapas de raios X
X), as tomografias e as ultra-sonografias. Os conhecimentos
adquiridos no ramo da Fsica Atmica nos permitiram construir lmpadas
especiais que produzem o laser - um tipo de luz dotada de certas
caractersticas que permitem fazer microcirurgias (como as
realizadas nos olhos), abrir cortes e fech-los em cirurgias
diversas, dispensando, em algumas situaes, o uso do bisturi. O
laser tem tambm muitas aplicaes na indstria, como em dispositivos
para cortar metais, em aparelhos de som que fazem as chamadas
leituras digitais e em outros equipamentos.
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A inveno dos computadores tambm ocorreu em conseqncia da aplicao
de conceitos da Fsica Eletrnica e Microeletrnica. A utilizao de
computadores vem revolucionando as indstrias com a automatizao dos
processos de produo, como, por exemplo, nas fbricas de automveis,
de tecidos e de alimentos. Tambm est presente em bancos e lojas: os
cartes magnticos de bancos e de crdito so usados como substitutos
do dinheiro. Nossa sociedade est aproveitando cada vez mais os
avanos cientficos e tecnolgicos que possibilitam uma melhor
qualidade de vida para um nmero cada vez maior de pessoas. O
resultado desses avanos aparecem na maior quantidade e na melhor
qualidade de alimentos, na melhoria da sade, numa vida mais longa,
na maior comunicao entre as pessoas (livros, jornais, rdio,
televiso, informtica), entre outras coisas. Na prxima aula, vamos
dar o primeiro passo dessa longa caminhada pelo Fsica. mundo da
Fsica
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A culpa da barreira!
torcida vibra. Daquela distncia gol na certa, quase um pnalti. O
rbitro conta os passos regulamentares. A regra diz: so 10 passos
(9,15 metros) para a formao da barreira, mas ela nunca fica na
posio correta. Os jogadores avanam, o rbitro ameaa, mostra o carto
amarelo para um ou outro jogador, eles se afastam, voltam a avanar
e a falta acaba sendo batida assim mesmo. gol?
A
Figura 1
Nem sempre e, muitas vezes, a culpa da barreira. Todos
concordam, torcida, comentaristas, rbitros, dirigentes, mas parece
que nada se pode fazer. Afinal quem garante que a distncia no
estava certa? Ser que os passos do juiz so um instrumento de medida
confivel ? E se ele for baixinho ou muito alto ou estiver
mal-intencionado, querendo prejudicar um dos times? Voc compraria
um terreno medido desse jeito? Muitas sugestes j foram feitas - at
proibir a formao da barreira -, mas ningum pensaria em dar uma
trena ao juiz para que ele, com o auxlio do bandeirinha, medisse a
distncia correta. Seria to absurdo como levar um juiz de futebol
para medir um terreno. So coisas diferentes que exigem formas
diferentes de agir. No futebol, a preciso das medidas no muito
necessria e, de certa forma, toda aquela movimentao na cobrana de
uma falta tambm faz parte do jogo. Muita gente at acha que se fosse
tudo muito certinho o futebol perderia a graa, mas certamente medir
um terreno desse jeito no teria graa nenhuma.
Entretanto, durante muito tempo, as medidas de comprimento foram
feitas assim, utilizando partes do corpo humano como instrumentos
de medida. O dimetro de um dedo, o tamanho de um palmo, p ou brao,
o comprimento de um passo foram utilizados como medidas de
comprimento durante sculos por todos os povos da Antigidade. comum,
at nos dias de hoje ouvir dizer: esta mesa tem 10 palmos ou esta
sala tem 30 ps. E, assim, todos os objetos so medidos comparando-os
com outros objetos especiais que hoje chamamos de padres padres.
medida que o comrcio entre os povos foi se desenvolvendo, surgiu a
necessidade de criar padres utilizveis por todos. Pense na
dificuldade dos chineses em comercializar sua seda com os europeus
se ambos no usassem um padro comum de comprimento? Porm, de nada
adiantaria criar padres se no fosse possvel compar-los. Para isso
foram criados instrumentos de medida que, com o tempo, foram sendo
to aperfeioados que exigiram que se adotassem padres mais precisos.
A histria das grandezas fsicas a histria da necessidade de fazer
medidas e de todo o progresso que da resultou. Apesar de existir
uma quantidade enorme de grandezas, unidades e instrumentos de
medida, a Fsica procura operar com o menor nmero possvel para
simplificar sua tarefa e tornar mais fcil a troca de informaes
entre todos aqueles que com ela trabalham ou dela precisam. o que
vamos ver em seguida.
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Grandezas, padres e unidadesNem tudo pode ser medido. Como medir
a preguia de uma pessoa ou o amor que ela sente por outra? Seria
possvel criar um amormetro? Para os fsicos isso impossvel, preguia
e amor no so grandezas fsicas fsicas. No d para dizer que algum tem
300 de preguia e 689,5 de amor. Esses nmeros no . Grandeza
significam nada porque no existe um padro para essas grandezas.
fsica alguma coisa que pode ser medida, isto , que pode ser
representada por um nmero e uma unidade. Veja alguns exemplos: l A
distncia da bola barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros
metros. l A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas gramas. l O
tempo de uma partida de 90 minutos minutos. No primeiro exemplo, a
grandeza fsica o comprimento e a unidade a jarda ou o metro. No
segundo, a grandeza fsica a massa massa, a unidade o grama . No
terceiro exemplo, a grama, um submltiplo da unidade quilograma.
grandeza fsica o tempo tempo, a unidade o minuto, um mltiplo da
unidade segundo segundo. Nesses exemplos esto trs grandezas
fundamentais fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir
dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras . So exemplos
de grandezas que, por isso, chamam-se grandezas derivadas
derivadas. grandezas derivadas a rea de uma superfcie, o volume e a
densidade de um corpo, a velocidade e acelerao de um automvel, a
fora exercida por um motor e muitas outras. Veja alguns exemplos
prticos onde aparecem grandezas (*) derivadas e suas unidades: l Um
terreno retangular tem 8 metros de frente por 25 metros de fundo. A
sua 2 rea (A) : A = 8 m 25 m = 200 m ou 200 metros quadrados, que
uma unidade de rea.(*) Essas grandezas foram colocadas aqui apenas
para servir de exemplo. Elas sero estudadas mais adiante no
curso.
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Uma lata de leo de 900 cm (centmetros cbicos) contm 720 g
(gramas) 3 3 de leo. A densidade (d)* desse leo : d = 720 g 900 cm
= 0,8 g/cm ou 0,8 gramas por centmetro cbico cbico, que uma unidade
de densidade. l Um carro percorre 120 km (quilmetros) em 2 h
(horas). A sua velocidade mdia (vm)* : vm = 120 km 2 h = 60 km/h ou
60 quilmetros por hora hora, que uma unidade de velocidade. Todas
essas unidades so derivadas. O metro quadrado deriva do metro
metro, o grama por centmetro cbico deriva do quilograma e do metro
metro, o quilmetro por hora deriva do metro e do segundo
segundo.l
3
At h algum tempo, no havia ainda um conjunto de unidades
fundamentais que fosse reconhecido e adotado em todo mundo ( por
isso que no futebol, inventado pelos ingleses, as distncias
costumam ser medidas em jardas). A partir de 1948, esse conjunto
comeou a ser estabelecido e, em 1960, recebeu o nome de Sistema
Internacional de Unidades (SI) (SI). Atualmente, s os Estados
Unidos ainda no adotam o SI, mas passaro a utiliz-lo em breve.
O Sistema Internacional de Unidades (SI)O SI estabelece 7
grandezas fsicas fundamentais das quais so derivadas todas as
outras. So elas:COMPRIMENTO MASSA TEMPO CORRENTE ELTRICA
TEMPERATURA QUANTIDADE DE MATRIA INTENSIDADE LUMINOSA
A Mecnica utiliza as trs primeiras e suas derivadas. Cada
unidade fundamental tem um padro padro, alguma coisa que pode ser
reproduzida em qualquer lugar. Por exemplo, se algum for verificar
se uma rgua tem suas divises corretas deve utilizar o padro
adequado. Os padres de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo
segundo, tm definies muito complicadas devido s exigncias da Cincia
e da Tecnologia modernas. O padro de massa o mais antigo, criado em
1889, e tambm o mais simples (Quadro 1). Cada pas deve ter
laboratrios capazes de reproduzir os padres ou cpias devidamente
aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa
desempenhada pelo Inmetro, Instituto Nacional de Metrologia,
Normalizao e Qualidade Industrial, do Ministrio da Indstria e do
Comrcio. No necessrio saber essas definies, entretanto importante
saber que existem os padres, as unidades fundamentais e derivadas e
formas corretas de express-las (Quadro 2 - ver pgina 19).QUADRO
GRANDEZA NOME
1-
TRS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI SMBOLO DEFINIO
Comprimento
Metro
mkg
Distncia percorrida pela luz, no vcuo, num intervalo de tempo de
1/299792458 s. Massa de um cilindro padro de platina-irdio
conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Svres, na
Frana. Durao de 9.192.631.770 perodos da radiao de transio de dois
nveis do estado fundamental do tomo do csio 133.
Massa
Quilograma
Tempo
Segundo
s
Observaes 1. Note que os smbolos no so abreviaturas, por isso no
tm ponto final. 2. As definies sero discutidas mais adiante no
curso, por isso, no necessrio decor-las.
QUADRO GRANDEZA
2 - ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO SINOME SMBOLO
A U L A m2 3 m m/s m/s2 3 kg/m
rea Volume Velocidade Acelerao Densidade
Metro quadrado Metro cbico Metro por segundo Metro por segundo
ao quadrado Quilograma por metro cbico
2
Existem inmeras unidades prticas ainda em uso devido ao costume
ou s suas aplicaes tecnolgicas. Muitas dessas unidades,
principalmente as de origem inglesa, tendem a desaparecer com o
tempo e serem substitudas por unidades do SI. Por enquanto elas
ainda so muito usadas e interessante conhec-las (algumas delas se
encontram no Quadro 3).QUADRO GRANDEZA
3-
ALGUMAS UNIDADES PRTICAS MAIS USADAS SMBOLO ( S) RELAO COM A
UNIDADE CORRESPONDENTE DO SI
NOME (S )
Comprimento
Massa
Tempo
rea
Volume Velocidadev
Milmetro v Centmetro v Quilmetro R Polegada Y P Y Jarda Y Milha
Y Grama v Tonelada R Quilate Y Libra Y Arroba Y Minuto R Hora R Dia
R Hectare R Alqueire (SP) Y Alqueire (MG, RJ e GO) Y Litro R
Quilmetro por hora R Milha por hora Y N YR
mm cm km in ft yd mi g t lb min h d ha l km/h mi/h Y
0,001 m 0,01 m 1.000 m 0,0254 m ou 2,54 cm 0,3048 m ou 30,48 cm
0,9144 m ou 91,44 cm 1.609 m ou 1,609 km 0,001 kg 1.000 kg 0,0002
kg ou 0,2g 0,454 kg ou 454g 14,688 kg 60 s 60 min ou 3.600 s 24 h
ou 86.400 s 2 10.000 m 2,42 ha 4,84 ha 0,001 m3 ou 1.000 cm3
(1/3,6) m/s 1,609 km/h 1,852 km/hUnidades no-pertencentes ao SI
voc deve ter notado que algumas unidades tm smbolos diferentes,
como a polegada o p e a jarda. Essas unidades foram adaptadas do
ingls: polegada inches, da o smbolo in; p feet, por isso seu smbolo
ft e a jarda yard, por isso seu smbolo yd. Atualmente comum
utilizar o smbolo pol. para indicar a unidade polegada.
Submtiplos do SI
Mltiplos do SI
Algarismos significativosQuando se trabalha com medidas quase
sempre aparece uma dvida: com quantos algarismos se escreve uma
medida? Tente medir o dimetro do seu lpis. Que resultado voc
obteve? 7 mm? 7,1 mm? 7,15 mm?
Essa pergunta tem inmeras respostas respostas, e todas podem
estar certas certas!
A U L A
2
Se voc mediu com uma rgua comum, provavelmente achou 7 mm, ou
talvez 7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se voc dispe de um instrumento mais
preciso, como um micrmetro ou um paqumetro, pode ter achado 7,34 mm
ou 7,4082 mm. Se voc repetir a medida vrias vezes pode ser que em
cada uma ache um valor diferente! Como saber qual o valor correto?
Como escrever esse valor? Na verdade, nem sempre existe um valor
correto nem uma s forma de escrev-lo. O valor de uma medida depende
do instrumento utilizado, da escala em que ele est graduado e, s
vezes, do prprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida.
Por exemplo, a medida do dimetro do lpis com uma rgua comum ser
feita na escala em que ela graduada (centmetros ou milmetros) e
dificilmente algum conseguir express-la com mais de dois
algarismos. Nesse caso, certamente o segundo algarismo avaliado ou
duvidoso. Se for utilizado um instrumento mais preciso, possvel
fazer uma medida com um nmero maior de algarismos e, ainda,
acrescentar mais um, o duvidoso. Todos os algarismos que se obtm ao
fazer uma medida, incluindo o duvidoso, so algarismos
significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez
encontre um valor um pouco diferente mas, ao escrev-lo, dever
utilizar o nmero correto de algarismos significativos. Paqumetro e
micrmetro - instrumentos de preciso
Figura 2 - Paqumetro
Figura 3 - Micrmetro
Uma rgua comum no permite medidas muito precisas porque no h
como subdividir o espao de 1 mm: a distncia entre os traos muito
pequena. O paqumetro e o micrmetro so instrumentos que utilizam
duas escalas, uma fixa, semelhante escala de uma rgua comum e uma
escala mvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a
menor diviso da escala fixa. No paqumetro, essa escala corre junto
escala fixa, enquanto que no micrmetro ela est gravada numa espcie
de cilindro mvel que gira medida que se ajusta ao instrumento para
efetuar a medida (veja as Figuras 2 e 3).
Passo a passoSuponha que, ao medir o dimetro desse lpis com um
paqumetro, Maristela encontre o valor 7,34 mm e Rosinha 7,37 mm.
Pelo resultado, percebe-se que elas tm certeza do 7 e do 3, mas o
ltimo algarismo incerto. Imagine agora que elas resolvam entrar num
acordo e considerar, como melhor medida, um valor que seja igual
mdia aritmtica dos seus resultados. Qual ser esse valor? Para achar
a mdia aritmtica m basta somar as medidas de cada um e dividir por
2 (que o nmero total de medidas). Assim teremos:
A U L A
2
7, 34mm + 7, 37mm 2 14,71mm m= = 7,355 mm 2m= Ser correto
expressar o dimetro do lpis com tantos algarismos? claro que no! Se
cada uma s teve certeza de dois algarismos e avaliaram,
discordando, mais um um, no tem sentido dar uma resposta com quatro
algarismos! Nesse caso, para manter a coerncia e expressar a medida
com o nmero correto de algarismos significativos, deve-se desprezar
o ltimo algarismo obtido no clculo da mdia aritmtica. comum
utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser
desprezado) for maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao ltimo
algarismo que restou. Teremos ento 7,355 mm = 7,36 mm mm, que a
melhor forma de expressar a mdia aritmtica das medidas de Maristela
e Rosinha: mantm-se os mesmos dois algarismos dos quais tm certeza,
o 7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. provvel que
esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor dessa medida. Se
outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a mdia
aritmtica ter um nmero muito maior de parcelas e o seu valor
representar melhor o dimetro do lpis.
Talvez no haja um s dia em nossas vidas em que no se conviva com
alguma forma de medida. Ao nascer ganham-se os primeiros nmeros:
altura e peso (seria melhor, comprimento e massa). A partir de
ento, as grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se
cada vez mais variadas e complexas. Temos que nos familiarizar com
novos instrumentos de medida, relgios, balanas, termmetros,
medidores de combustvel, de presso, de consumo de gua ou energia
eltrica e o que mais o progresso exigir. No entanto, mais
importante que tudo isso, entender que toda medida resulta de um
esforo do homem para compreender e interpretar a natureza. Fomos
ns, seres humanos, que criamos as grandezas, os padres, as unidades
e os instrumentos de medida. Portanto, nenhuma medida a expresso da
verdade, independentemente do nmero de algarismos significativos
que possua. H, certamente, medidas e instrumentos mais confiveis,
processos de medio mais adequados a determinados fins. E importante
distinguir uns dos outros. A vida tem mais barreiras do que parece
e preciso ser capaz de perceber se elas esto distncia correta, se o
juiz mediu corretamente os passos regulamentares, se os jogadores
no avanaram. Caso contrrio, como dizem os jogadores, fazer um gol
fica muito difcil!
A U L A
2
Exerccio 1 Nas palavras a seguir, procure distinguir quais so,
ou no, grandezas fsicas: cansao, calor, energia energia, rapidez
rapidez, curiosidade curiosidade, trabalho trabalho, honestidade
de, pontualidade pontualidade, temperatura, fora fora, acelerao e
coragem.
Exerccio2 Siga os exemplos e faa as transformaes de unidades
pedidas ao lado: Exemplos 5 cm = 5 0,01 m = 0,05 m 0,75 km = 0,75
1.000 m = 750 m 5,8 in = 5,8 0,0254 m = 0,14732 m I Transforme a) 3
cm em m b) 2,5 mm em m c) 0,8 km em m d) 1,2 ft em m e) 4,5 in em m
f) 20 yd em m g) 500 mi em m a) b) c) d) e) f) 5m em 0,4 m em 3m em
1,2 m em 150 m em 180.000 m em em em em mm mm cm cm km km kg kg kg
g g t t
1 m = 1 000 mm 1 m = 100 cm 1 m = 0,00 1km
II
3,5 g = 3,5 0,001 kg = 0,0035 kg
III
a) 12 g b) 20 t c) 50 lb a) b) c) d)
1 kg = 1.000 g 1 kg = 0,001 t
IV
0,7 kg em 8,2 kg em 300 kg em 630.000 kg em
5 min = 5 60 s = 300 s 1 h 20 min = 1h + 20 min = = (1 3.600 s)
+ (20 60 s) = = 3.600 + 1.200 = 4.800 s 2,8 l = 2,8 0,001 m3 3 3
4,5 l = 4,5 1.000 cm = 4.500cm
V
a) 1,5 min em s b) 2 h 15 min em s c) 5 h 22 min13 s em s a)
500l b) 69l em em m 3 cm3
VI
Exerccio 3 O dimetro de muitas peas cilndricas (canos, roscas,
parafusos etc.) costuma ser dado em polegadas ou fraes de
polegadas. Seguindo o exemplo ao lado, faa as tranformaes pedidas.
Exemplos I) Transformar 4,5 in em mm: 4,5in=4,5 25,4 mm = 114,3 mm
II) Transformar 3/4 in em mm: 3/4 in = 0,75 in = 0,75 25,4 mm =
19,05 mm Transforme em mm a) 3,0 in b) 6,8 in c) 1/4 in d) 5/16
in
Exerccio 4 comum encontrar em nossas estradas uma placa onde est
escrito: Velocidade mxima 80 km km. Voc acha que essa placa est
certa?
A U L A
2
Exerccio 5 Trs pessoas, utilizando um paqumetro, medem o dimetro
de um cilindro e obtm as seguintes medidas: 38,45 mm, 38,41 mm e
38,42 mm. Qual o valor mdio dessa medida, expresso com o nmero
correto de algarismos significativos?
Exerccio 6 Uma estrela est a 400 anos-luz da Terra. Isso
significa que a luz dessa estrela demora 400 anos para chegar
Terra. Qual a distncia entre essa estrela e a Terra? (Dado:
velocidade da luz no vcuo = 3 108 m/s ou 300.000.000 m/s).
Sugestes A distncia da estrela Terra a distncia percorrida pela
luz. Como vamos ver na prxima aula, essa distncia pode ser
calculada multiplicando-se a velocidade da luz pelo tempo que ela
gasta para vir da estrela Terra. O tempo deve ser dado em segundos,
logo voc deve transformar anos em segundos. Admita que 1 ano = 365
dias.
A A UA U L LA
3
3
Bola pra frenteN
as aulas anteriores, descrevemos alguns aspectos da Fsica, bem
como discutimos algumas unidades utilizadas nessa cincia,
principalmente num de seus ramos: a Mecnica. exatamente aqui que
iniciaremos o estudo da Fsica propriamente dito. Vamos comear por
uma das partes da Mecnica: a Cinemtica. A Cinemtica o estudo dos
movimentos. Mas ela no vai muito a fundo. Se estivermos
interessados em descrever apenas como um determinado objeto est se
movendo, estaremos trabalhando dentro da Cinemtica. nesse campo que
vamos estudar a velocidade dos objetos, sua acelerao, fazer
previses sobre onde poder ser localizado um objeto que est se
movendo com determinadas caractersticas e assim por diante. Porm,
se quisermos conhecer as causas, ou seja, por que um objeto est se
movendo de uma certa maneira, j estaremos em um outro campo da
Mecnica: a Dinmica. Para saber como se movem os objetos e fazer
previses a respeito de seu movimento precisamos, inicialmente,
localiz-los, isto , saber onde eles esto.
Figura 1
Localizando os objetosEstdio cheio! O goleiro bate o tiro de
meta, tentando jogar a bola fora de campo para ganhar tempo. A
torcida vaia! Um torcedor tira uma foto do lance e, mais tarde,
mostrando a foto, tenta explicar a situao para o filho: A bola
estava a 15 m da bandeirinha, do lado esquerdo do nosso goleiro, a
6 m de distncia da lateral esquerda e a 3 m de altura.
Aparentemente, a bola estava localizada. A foto ajudou muito! Na
realidade, ele deveria dizer que os 15 m foram medidos sobre a
lateral esquerda e, no, entrando 15 m pelo campo e, assim por
diante. Um fato importante que, para localizarmos um objeto que se
movimenta no espao, como o caso da bola, precisamos fornecer trs
distncias. Alm disso, necessrio explicar como foram feitas as
medidas, e a partir de que ponto. No exemplo, o ponto em questo era
uma das bandeirinhas que limitam o campo.
Todavia, os objetos em seu movimento, s vezes podem ser
localizados de maneira mais fcil. o caso, por exemplo, das bolas de
bilhar que, em geral, andam apenas sobre uma superfcie plana.
A U L A
3
Figura 2
B ILHETE DE SHERLOCK HOLMES PARA SEU ASISTENTE Quando cheguei
aqui, percebi que a bola branca tinha sido movida. Ontem eu tinha
feito uma marca de giz num dos cantos da tabela, perto de uma das
caapas. Eu medi, ento, 80 centmetros sobre a lateral maior da mesa.
Depois, medi 67 centmetros at a bola. Eu tinha dado ordens
expressas para que nada fosse tocado, pois a bola branca deveria
estar com as impresses digitais do criminoso. Eu fechei tudo antes
de sair! Hoje, quando cheguei aqui, a situao tinha mudado. As novas
medidas eram, na mesma ordem, 68 cm e 79 cm. Algum esteve aqui! A
bola no pode ter se deslocado sozinha! Discutiremos depois. Abraos,
Sherlock
Lendo o bilhete deixado pelo famoso detetive Sherlock Holmes
para seu assistente, que estava chegando ao local do crime, vemos
que Holmes procura localizar bem a bola branca. Para tanto, ele
utiliza apenas duas distncias, e, alm disso, um ponto a partir do
qual efetuou as medidas das distncias. No caso, o ponto era a marca
de giz feita perto da caapa.
Existem situaes cuja localizao do ponto que desejamos estudar
pode ser feita de maneira ainda mais fcil. A Figura 3 mostra um
pisto dentro de um motor de automvel. O pisto se move, dentro de um
cilindro, para cima e para baixo. Assim sendo, para localizarmos o
ponto P, marcado no cilindro, bastar conhecer apenas uma distncia:
por exemplo, sua distncia at a base do pisto 6 cm.Figura 3
A U L A
Os objetos mudam de posio - ReferenciaisPara localizar os
objetos no espao, no plano e ao longo de uma reta, a Fsica utiliza
maneiras especiais. So os sistemas de referncia (ou referenciais).
(a) (b) (c)
3
Figura 4
No primeiro caso, no campo de futebol, a posio da bola poderia
ser dada da seguinte maneira: escolhemos um ponto O - no caso, a
base da bandeirinha e trs eixos que podem ser entendidos como trs
rguas: OX, OY e OZ. Com o auxlio dessas trs rguas, medimos as
distncias: x = 15 m, y = 6 m e z = 3 m. Com esses trs valores
podemos localizar a bola de futebol. No segundo caso, na mesa de
bilhar, necessitamos da origem, ou seja, do canto marcado com giz e
das duas distncias. Aqui, houve uma mudana de posio. Ento teremos
duas posies da bola de bilhar: A - primeira posio: x = 80 cm, y =
67 cm B - segunda posio: x = 68 cm, y = 79 cm Finalmente, para o
pisto, teremos de indicar que a origem a base do pisto e que a
posico do ponto P x = 6 cm. Esses sistemas de referncia servem para
localizar os objetos que estamos estudando e tambm para auxiliar na
compreenso das mudanas de sua posio. Foi assim que Sherlock
descobriu que a bola de bilhar tinha sido movimentada.
Os objetos se movimentamVimos anteriormente que os referenciais
podem nos ajudar a saber quando a posio de um objeto varia. A bola
de bilhar mudou da primeira posio: que podemos chamar de A (x = 80,
y = 67), para a posio que poderamos chamar de B (x = 68 cm, y = 79
cm). Falamos, nesse caso, em deslocamento. Deslocamento apenas uma
mudana de posio. Porm, o deslocamento poderia ter sido feito em 1
segundo, em 1 hora ou num tempo qualquer. Mais ainda: a bola
poderia ter ido diretamente de A para B ou, ento, ter passado por
caminhos os mais variados, com maior ou menor velocidade etc.
Quando estivermos interessados em conhecer no somente o
deslocamento da bola, mas tambm o percurso que ela fez, como se
deslocou ao longo desse percurso, se foi mais ou menos rapidamente,
assim por diante, estaremos estudando o movimento da bola. No
movimento de um objeto, estudamos, portanto, como ocorreram seus
deslocamentos ao longo do tempo e a trajetria (o caminho, o
percurso) que ele seguiu.
A U L A
3Figura 5
Na mesma marchaVamos iniciar nosso estudo dos movimentos por uma
situao bastante simples. A Figura 6 representa um tubo de vidro
contendo leo de cozinha. O tubo tapado com uma rolha de borracha.
Se, com auxlio de uma seringa e de uma agulha de injeo, colocarmos
uma gota de gua dentro do leo, a gota vai descer lentamente, sempre
na mesma marcha. Podemos estudar tambm gotas que subam! claro que,
nesse caso, gua no serve! Mas, se usarmos lcool, poderemos colocar
uma gota espetando a agulha da seringa na rolha de borracha. Ela
vai subir, tambm, sempre na mesma marcha, isto , sempre com a mesma
velocidade. esse movimento que iremos estudar: o de uma gota de
lcool subindo num tubo contendo leo. J vimos que, para o estudo de
um movimento, necessitamos de um referencial. O movimento da gota ,
de certo modo, parecido com o do pisto. A gota vai andar apenas
numa direo. Assim, bastar apenas uma rgua para ser usada como
referencial. Precisamos tambm saber quando a gota estava em
determinada posio. Ento, ser necessrio um relgio ou, melhor ainda,
um cronmetro.
Figura 6
Bola pra cima!x (cm)
Vamos supor que a gota de lcool j esteja subindo atravs do leo.
Se fotografssemos o tubo e o relgio, de 4 em 4 segundos, ficaramos
com um conjunto de fotos semelhante ao representado na Figura 7. Os
nmeros que aparecem perto dos relgios representam os instantes em
que foram tiradas as fotos. A primeira foto aquela em que o
cronmetro estava marcando zero. Depois, temos fotos nos instantes
4, 8 at 32 s. Ns acrescentamos, nesse conjunto de fotos, um eixo
que substitui a rgua, e outro no qual so indicados os instantes.
Vamos supor que, lendo a posio na rgua em Figura 7 cada foto,
obtivssemos a Tabela 1. Ou seja: na primeira foto, a gota estaria
na posio x = 18 cm, da rgua. Na segunda foto ela estaria na posio x
= 22 cm etc. No instante 32 s, a gota se encontraria na posio x =
50 cm.
A U L A
3
Analisando a Tabela 1 podemos ver, por exemplo, que entre os
instantes t1= 4 s e t2 = 20 s, a gota passou da posio x1 = 22 cm
para a posio x2 = 38 cm.TABELA
t (s) 0 4 8 12 16 20 24 28 32
1 x (cm) 18 22 26 30 34 38 42 46 50
Portanto ela se deslocou 38 - 22 = 16 cm Porm, entre 4 s e 20 s,
decorreram: 20 - 4 = 16 s Dessa maneira, a gota percorreu 16 cm em
16 s. Como a gota percorreu o trecho sempre com a mesma marcha, sua
velocidade foi de 1 cm/s. Essa foi sua velocidade mdia.
Definimos velocidade mdia como sendo:deslocamento tempo x 2 - x1
t 2 - t1
vmdia =
=
As duas diferenas x2- x1 e t2 - t1 , costumam ser representadas
por Dx e Dt (D uma letra grega, delta, assim, lemos delta x e delta
t). No necessrio usar obrigatoriamente os instantes t1 = 4 s e t2 =
20 s. Poderamos usar t1 = 12 s (nesse caso a posio x1 seria 30 cm -
veja na Tabela 1), e t2 = 32 s (nesse caso, a tabela diz que a
posio x2 50 cm). Ento: vmdia =50 - 30 32 - 12 = 20 cm 20 s = 1 cm /
s
Nesse movimento, como se v, a velocidade da gota no varia. Ela
anda sempre em linha reta e na mesma marcha! Em todos os instantes,
a velocidade da gota igual sua velocidade mdia. por isso que esse
movimento chamado Movimento Retilneo Uniforme Uniforme. No
necessitamos ento escrever vmdia bastar escrevermos v (de
velocidade). Uma caracterstica do Movimento Retilneo Uniforme esta:
a velocidade em qualquer instante, igual velocidade mdia.
Outras gotas, outras velocidadesTABELA
t (s) 0 4 8 12 16 20
2 x (cm) 12 20 28 36 44 52
Se introduzssemos outras gotas dentro do leo, por exemplo uma
gota maior, poderamos constatar que a velocidade seria diferente.
Se a gota fosse maior, ela subiria com velocidade maior. Poderamos
ter, por exemplo, uma situao igual quela representada pelo grfico
da Figura 8 e pela Tabela 2.
x (cm)
A U L A
3t (s)
Figura 8
Tanto nesse caso, como na situao anterior, todos os pontos do
grfico ficam numa reta. Essa outra caracterstica do Movimento
Retilneo Uniforme.
No Movimento Retilneo Uniforme, o grfico da posio em funo do
tempo uma linha reta. Vamos calcular a velocidade da gota neste
caso. Se escolhermos: t 1 = 4 s ento x1 = 20 cm t 2 = 12 s ento x2
= 36 cm A velocidade ser: v = vmdia =Dx Dt
=
x 2 - x1 t 2 - t1
=
36 - 20 12 - 4
=
16 8
= 2 cm / s
Se compararmos os grficos dos dois movimentos, como est na
Figura 8, podemos ver que a reta que representa o movimento da gota
mais rpida, mais inclinada do que a primeira. Pode-se dizer que:
Quanto maior for a velocidade de um objeto, mais inclinada, com
relao ao eixo dos tempos, a reta que representa esse movimento.
Desce!Vamos voltar e supor, agora, que a gota seja de gua. Ela
vai ser introduzida pela parte superior e descer ao longo do tubo.
Se no mexermos na rgua rgua, as posies da gota, em seu movimento,
vo diminuir, ou seja, os valores da posio vo decrescer. Poderamos
TABELA 3 ter uma tabela como a 3 e t (s) x (cm) um grfico como o da
0 55 Figura 9.30
5 10 15 20 25
45 35 25 15 5
t (s)
Figura 9
A U L A
Vamos calcular a velocidade da gota nesse caso. Se escolhermos:
t 1 = 5 s ento x1 = 45 cm t 2 =20 s ento x2 = 15 cm A velocidade
ser: v = vmdia =Dx Dt
3
=
x 2 - x1 t 2 - t1
=
15 - 45 20 - 5
=
30 15
= - 2 cm / s
Qual o significado dessa velocidade negativa? Ela indica que a
gota est se deslocando no sentido oposto orientao da rgua. Trocando
em midos: a gota est indo de posies que so representadas por nmeros
maiores para posies representadas por nmeros menores. Porm, se
tivssemos invertido a rgua antes de colocar a gota, a velocidade
seria positiva! Isso porque a gota iria das posies menores para as
posies maiores. Esse um fato bastante importante: o sinal da
velocidade depende de como colocamos a rgua! A velocidade depende
do referencial.
Como localizar a gota em qualquer instanteTABELA
t (s) 8 10 t 6 4 12 2
4 x (cm) 20 24 x 16 12 28 8
Vamos supor que tivssemos uma tabela que descrevesse um
movimento uniforme, como os anteriores, mas que os valores
estivessem embaralhados (Tabela 4). Mais ainda: no meio deles,
colocamos um par de valores desconhecidos: t e x . Vamos ver que,
se utilizarmos a definio de velocidade mdia duas vezes, poderemos
obter uma funo muito importante. Vamos calcular a velocidade mdia
escolhendo: t1 = 8 s ento x1 = 20 cm t2 = 10 s ento x2 = 24 cm
A velocidade ser: v = vmdia =Dx Dt
=
x 2 - x1 24 - 20 4 = = = 2 cm/s t 2 - t1 10 - 8 2
Vamos agora escolher: t1 = 6 s ento x1 = 16 cm entox x2 = x cm
entox t2 = t s ento A velocidade mdia ser:x 2 - x1 x - 16 Dx vmdia
= D t = t - t = t - 6 2 1
Porm, sabemos que vmdia= 2 cm/s, como foi visto um pouco
atrs.
Ento, ficaremos com:x - 16 t - 6
A U L A
=2
ou seja,
x - 16 = 2 (t - 6) x - 16 = 2 t - 12
3
ento:
x=2t+4
Esta a chamada funo horria da posio posio. Ela serve para
determinarmos a posio do objeto que est se movendo em linha reta
com velocidade constante, em qualquer instante. Por exemplo: se
fizermos t = 6 s, teremos: x = 2 6 + 4 = 16 cm, que o valor dado na
Tabela 4. Podemos fazer o inverso, calcular em que instante o
objeto passou, ou vai passar, por determinada posio. Por exemplo:
saber, em que instante o objeto vai estar na posio x = 40 cm.
Assim, teremos: 40 = 2 t + 4 40 - 4 = 2 t 36 = 2 t 2 t = 36 t = 18
s Por outro lado, para o instante t = 0, teramos x = 4 cm. Esse
valor exatamente o 4 que aparece na funo horria. De maneira geral,
podemos escrever a funo horria como: x = x0 + v t onde: x a posio
no instante t; v a velocidade; x0 a posio no instante t = 0.
Um outro grficoNa Figura 6, tnhamos uma gota que descia pelo
tubo com leo numa velocidade constante de 2 cm/s. Qualquer que
fosse o instante, a velocidade era a mesma: 2 cm/s. Assim, uma
tabela para a velocidade em funo do tempo e o grfico correspondente
seriam:v (cm/s) v (cm/s)TABELA
5 2 2 2 2 2 2
t (s) 0 4 8 12 16 20
v (cm/s)
t (s)
t (s)
Figura 10
Figura 11
A U L A
3
Aparentemente, o grfico da Figura 10 no nos d muitas informaes.
Todavia, com ele podemos saber quanto a gota se deslocou entre dois
instantes. Vamos calcular qual a rea do retngulo que foi desenhado
no grfico da velocidade, que est na Figura 11. A altura do retngulo
vale 2 cm/s, e sua base (12 s - 4 s), ou seja, 8 s. Como a rea do
retngulo o produto da base pela altura, teremos: rea = 2 cm/s 8 s =
16 cm. Por outro lado, consultando a Tabela 2 (Figura 8), veremos
que entre os instantes 4 s e 12 s, a gota foi da posio 20 cm para a
posio 36 cm e, dessa maneira, andou 16 cm, que foi o valor
encontrado para a rea do retngulo. Poderamos pensar que isso foi
uma coincidncia. Porm, voc poder calcular a rea de outros retngulos
na mesma figura e verificar que a rea vai ser igual ao
deslocamento!
Passo a passoTABELA 6 t (s) x (cm) 0 56 1 48 2 40 3 32 4 24 5 16
6 8
Uma pessoa anotou as posies e os tempos para um objeto
movendo-se em linha reta e obteve a Tabela 6. Construa o grfico da
posio em funo do tempo e o da velocidade em funo do tempo.
Admitindo-se que esse objeto se mova sempre dessa maneira,
determine o instante em que passa pela posio x = 20 cm e qual a
posio nos instantes t = 7,0 s e t = 3,5 s. Usando o grfico da
velocidade, determine o deslocamento entre 2 s e 6 s.
x (cm)6
30 16
Os pontos da tabela que do a posio, em funo do tempo, quando
colocados num grfico, ficam como o que est na Figura 12.
t (s)
Figura 12
Se escolhermos dois instantes, e suas respectivas posies,
podemos calcular a velocidade mdia do objeto. Vamos usar, por
exemplo, os valores: t1 = 2 s x1 = 40 cm t2 = 5 s x2 = 16 cm A
velocidade mdia ser: v = vmdia =Dx Dt
=
x 2 - x1 t 2 - t1
=
16 - 40 5 - 2
=
- 24
3
= - 8 cm / s
Como a velocidade constante, e igual - 8 cm/s o grfico da
velocidade uma reta paralela ao eixo t como mostra a Figura 13. A
posio no instante t = 0 vale 56 cm, a funo horria da posio vai ser
portanto:Figura 13
A U L A
3
x = 56 - 8 t Com auxlio dessa funo, calculamos o instante que o
objeto passa pela posio x = 20 cm: 20 20 - 56 - 36 t = 56 - 8 t
=-8t =-8t = 4,5 s
Podemos calcular tambm a posio, x no instante t = 3,5 s x = 56 -
8 3,5 x = 56 - 28 x = 28 cmv (cm/s) 0 -2 -4 -6 -8 1 2 3 4 - 32 5 6
7 t (s)t t
Figura 14
Calculando-se a rea do retngulo no grfico da velocidade entre os
instantes t = 2 s e t = 6 s (Figura 14), vemos facilmente que esse
valor : -32 cm. Isso pode ser verificado observando que, entre
esses dois instantes, o objeto foi da posio 40 cm para a posio 8
cm. Isto , voltou 32 cm.
Passo a passoPedro mora em So Pedro da Aldeia que fica a 200 km
de So Joo das Almas onde mora Joo. Exatamente entre as duas
cidades, est Meipolis, outra cidade da regio. Um carro est a 40 km
de So Pedro e vai para So Joo por uma estrada reta, com velocidade
constante de 80 km/h. Depois de quanto tempo vai passar por
Meipolis e quando vai chegar em So Joo? Em geral, os problemas
sobre movimento retilneo uniforme tm um aspecto semelhante ao
descrito acima. Para resolv-lo, necessitamos definir um referencial
referencial. Como dissemos anteriormente, qualquer pessoa pode
definir o seu sistema de referncia. Suponhamos que Pedro tivesse
definido um e Joo, um outro. Veremos que as respostas s questes vo
ser as mesmas.
Figura 15
A U L A
3
Pedro pensou assim: Vou medir as distncias a partir de So Pedro.
O carro partiu de uma posio situada a 40 km daqui, ento, sua posio
inicial x0 ser 40. medida que o tempo passa, os valores da posio vo
aumentando. Ento sua velocidade v positiva, e vale 80 km/h. Logo, a
funo horria da posio vai ser:
Joo pensou assim: Vou medir as distncias a partir de So Joo. O
carro partiu de uma posio situada a 160 km daqui, ento sua posio
inicial x0 ser 160. A medida que o tempo passa, os valores da posio
vo diminuindo. Ento sua velocidade v negativa, e vale 80 km/h.
Logo, a funo horria da posio vai ser:
x Pedro = 40 + 80 tCom essa funo, eu posso calcular em que
instante o carro vai passar por Meipolis. Basta que eu faa x Pedro
= 100 km, pois Meipolis est a 100 km daqui. Ento:
x Joo = 160 - 80 t
Com essa funo eu posso calcular em que instante o carro vai
passar por Meipolis. Basta que eu faa xJoo = 100 km, pois Meipolis
est a 100 km daqui. Ento:
100 = 40 + 80 t 100 - 40 = 80 t 60 = 80 t 3 t = h = 45 min 4E
vai chegar em So Joo quando x Pedro = 200 km
100 = 160 - 80 t 100 - 160 = - 80 t - 60 = - 80 t 3 t = h = 45
min 4
200 = 40 + 80 t 200 - 40 = 80 t 160 = 80 t t=2h
E, vai chegar em So Joo quando x Joo = 0 km pois eu conto as
distncias partir daqui. Ento:
0 = 160 - 80 t - 160 = - 80 t t=2h
Como podemos ver, os resultados obtidos foram idnticos apesar
das funes horrias serem diferentes. As funes horrias dependem do
referencial que cada pessoa constri. Porm, desde que o raciocnio
seja coerente, os resultados para as questes vo ser os mesmos.
Exerccio 1 Um carro anda 160 km em 2 horas. Qual sua velocidade
mdia? Qual a distncia que ele percorre em 4 horas? Se essa
velocidade for mantida, quanto tempo gastar para percorrer 400 km?
Exerccio 2 Um objeto est se movendo numa trajetria retilnea e suas
posies com relao ao tempo esto dadas no grfico da figura abaixo.
Determine:x (m)
a) b) c) d) e)
x 0). Sua posio no instante t = 0 (x Sua velocidade mdia. Sua
funo horria. Sua posio no instante t = 10 s. Quando passa pela
posio x = 180 m.
120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 t (s)
Exerccio 3 Um objeto move-se em uma trajetria retilnea. O grfico
de sua velocidade est na figura abaixo.v (cm/s) 15
A U L A
3
a) Qual o valor de sua velocidade? b) Qual seu deslocamento
entre os instantes t = 4 s e t = 20 s?
10
5
0
4
8
12 16 20
t (s)
Exerccio 4 Um objeto se move sobre uma trajetria retilnea. As
posies ocupadas por esse objeto, com relao ao tempo, esto dadas na
tabela. Determine:TABELA T (S)
7X (M )
a) A funo horria da posio. b) A posio no instante t = 12 s. c) O
instante no qual a posio vale 80 m.
1 2 3 4 5
10 15 20 25 30
Exerccio 5 Considere um problema semelhante ao do exemplo
descrito no texto. Nesse caso, o carro est indo de So Joo para So
Pedro, com uma velocidade de 50 km/h. Em que instante vai passar
por Meipolis e quando vai chegar em So Pedro?v = 50 km/h
Nesta aula voc aprendeu: que para localizar um ponto precisamos
saber uma, duas ou trs distncias do mesmo at um ponto fixo
(referencial); que um corpo em movimento, pode ser localizado por
meio de uma relao chamada funo horria; como obter a funo horria
para um corpo movendo-se com velocidade constante; como descrever
esse movimento por meio de grficos e tabelas.
A A UA U L LA
4
4
Acelera Brasil!
uponhamos que tenha sido realizado um estudo que avalia dois
novos veculos do mercado: o Copa e o Duna. As pesquisas levantaram
os seguintes dados:TABELA VECULO COPA
S
1DUNA
Velocidade mxima Velocidade aps 10 segundos
50 m/s (180 km/h) 30 m/s (108 km/h)
50 m/s (180 km/h) 20 m/s (72 km/h)
Levando em conta apenas essas informaes, voc seria capaz de
responder: melhor? qual o melhor Para poder responder, preciso
analisar as informaes fornecidas. l Quanto velocidade mxima
atingida os dois podem andar no mximo a 180 km/h: houve empate e no
podemos responder pergunta. l Quanto velocidade do veculo aps 10
segundos so diferentes nos dois casos, mas para afirmar qual o
melhor precisamos saber o que indica essa medida, isto , entender o
seu significado significado.
Entendendo mais sobre a pesquisaVeja como ela foi realizada:
inicialmente os veculos estavam parados; portanto suas velocidades
eram nulas (zero). Num dado momento, o juiz deu a largada e os dois
partiram numa pista reta reta. O primeiro fato importante que voc
deve observar que a velocidade deixa de ser nula aps a largada.
Isso quer dizer que houve variao da velocidade velocidade. O
segundo fato importante que no mesmo tempo (10 segundos) o Copa
atinge 30 m/s e o Duna apenas 20 m/s. A segunda medida relaciona
duas grandezas: a variao da velocidade e o tempo gasto para ocorrer
essa variao variao. Observe a Tabela 2.TABELA VECULO
2COPA DUNA
Velocidade inicial Velocidade final Variao da velocidade
Intervalo de tempo
0 30 m/s 30 m/s 10 s
0 20 m/s 20 m/s 10 s
Veja que a velocidade do Copa variou de 0 a 30 m/s e a
velocidade do Duna variou de 0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos! Voc
j sabe qual a velocidade de cada veculo aps 10 segundos, mas...
A U L A
4
O que ocorre com a velocidade a cada instante?TABELA
3 DUNA t (s) 0 2 4 6 8 20
COPA v (m/s) 0 6 12 18 24 30 t (s) 0 2 4 6 8 10
v (m/s) 0 4 8 12 16 20
A Tabela 3 indica, para alguns instantes, o valor da velocidade
marcada pelo velocmetro. Observe que, medida que o tempo passa, a
velocidade varia para ambos os veculos. Observe que num mesmo
instante, a velocidade do Copa maior do que a do Duna. Pode-se
dizer que o Copa melhor, porque arranca mais rpido.
Uma nova grandeza fsicaQuando falamos em arranque, na verdade
estamos nos referindo relao entre duas grandezas: variao da
velocidade e tempo tempo. Essa nova grandeza, que nos ajudou a
decidir qual dos dois o melhor uma grandeza fsica e recebe o nome
de acelerao acelerao. Acelerao uma medida da variao da velocidade
de um corpo num certo intervalo de tempo. Esse o conceito de
acelerao acelerao. Pode-se tambm definir acelerao com a ajuda da
Matemtica. Como calcular a acelerao? Pegue, na Tabela 3, o valor da
velocidade em dois instantes quaisquer e calcule inicialmente a
variao da velocidade (v), isto , a diferena entre as duas e o
intervalo de tempo correspondente (t). Por exemplo, para o Copa: t1
= 2s t2 = 8s e e v1 = 6 m/s v2 = 24 m/s
v = v2 - v1 = 24 - 6 = 18 t = t2 - t1 = 8 - 2 = 6
Para calcular a acelerao, basta dividir essa variao pelo
intervalo de tempo necessrio para que ela ocorra. Definimos:
Acelerao a =Dv Dt
Assim teremos:a = 18 6 = 3(?)
Qual a unidade usada para a grandeza acelerao acelerao?
A U L A
Uma unidade para a aceleraoVeja que a grandeza acelerao vem da
combinao de duas outras grandezas: velocidade e tempo tempo,
portanto a sua unidade obtida a partir das unidades dessas duas
grandezas. Observe que a velocidade do Duna varia dois metros por
segundo a cada segundo, assim teremos metro por 2 segundo por
segundo, abreviando m/s s ou m/s . De forma geral, a unidade da
acelerao dada por uma unidade de comprimento dividida por uma
unidade de tempo ao quadrado. 2 Portanto, a acelerao do Copa 3 m/s
. Lembre-se Lembre-se: uma grandeza fsica deve sempre vir
acompanhada de sua unidade (Aula 2). Nesse caso, se voc calcular a
acelerao para dois instantes de tempo quaisquer ir obter sempre o
mesmo valor valor. Isso quer dizer que a acelerao no varia varia.
Podemos concluir que: Nesse movimento a acelerao constante.
Verifique essa afirmao calculando a acelerao para quatro intervalos
de tempo diferentes para o Copa e quatro para o Duna.
4
Outra maneira de representar um conjunto de dadosOs dados da
Tabela 3 podem ser representados por um grfico, basta marcar os
valores de v e t , isto , v1 e t1,v2 e t2,v3 e t3,v4 e t4,v5 e t5 e
uni-los com uma reta:v (m/s)30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v (m/s)
30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t (s)
Figura 1. Grficos v X t para o Copa ( esquerda) e para o Duna (
direita).Duna
Voc viu como calcular a acelerao a partir dos dados da Tabela 3.
Viu que, com esses mesmos dados, foi construdo o grfico da Figura
1. Portanto o grfico e a tabela representam o mesmo conjunto de
dados dos. Logo, deve ser possvel obter o valor da acelerao a
partir do grfico. Agora, observe o grfico da Figura 2, que mostra a
velocidade do Duna em funo do tempo.
v (m/s)30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3
a
v t
v8 t8
v4 t4
(v8, t8)
(v4, t4)
4
5
6
7
8
9
10
t (s)
Figura 2. Grfico v X t para o Duna.
Tome dois pontos, por exemplo os pontos (v4 e t4) e (v8 e t8).
Pela definio, a acelerao obtida dividindo-se a variao da velocidade
(representada pela linha pontilhada vertical) pelo intervalo de
tempo (representado pela linha pontilhada horizontal). Assim
teremos:a = 16 - 8 8 - 4 = 8 4 = 2 m / s2
A U L A
4
Observe o grfico da Figura 3; nele esto representadas as retas
que descrevem as velocidades do Copa e do Duna em funo do
tempo.Grfico de v x t v (m/s)30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Copa
Duna
t (s)
Figura 3. Grfico de v X t do Copa e do Duna.
Observe que a reta que representa o movimento do Copa mais
inclinada, e lembre-se de que ele tem maior acelerao. Portanto,
pode-se afirmar que: Num grfico de velocidade em funo do tempo v X
t (que se l "v versus t"), quanto maior for a acelerao mais
inclinada ser a reta que representa o movimento.
Prevendo resultadosTABELA
4 t (s) t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4
v (m/s) v0 = 3 v1 = 6 v2 = 9 v3 = 12 v4 = 15
Ser possvel conhecer a velocidade dos veculos em outros
instantes, por exemplo, quando t = 9 segundos? A resposta sim! Mas
como? Veja: num certo momento, o co-piloto do Copa decidiu anotar
os valores da velocidade, porm, o veculo j estava em movimento
naquele instante instante. Observe na Tabela 4 os dados que ele
anotou.
Voc j conhece duas maneiras de representar um conjunto de dados:
atravs de tabelas e de grficos; mas existe outra! Vamos calcular
outra vez a acelerao do Copa, agora escolhendo o par (v4, t4) da
tabela 4 e um par (v,t) qualquer: t4 = 4s tv - 15 t-4
e e
v4 = 15 m/s v
Podemos escrever:
a=
A U L A
Sabemos que a acelerao do Copa 3 m/s , assim:3 = v - 15 t -
4
2
4
ou seja, ento:
v - 15 = 3 (t - 4) v - 15 = 3 t - 12 v=3+3t
Essa funo matemtica fornece o valor da velocidade em funo do
tempo. Ela chamada de funo horria da velocidade que descreve o
movimento do copa, que recebe o nome de Movimento Retlineo
Uniformemente Variado (MRUV). Retilneo, pois o veculo anda em linha
reta; variado, pois sua velocidade varia; e uniformemente vem do
fato de a acelerao ter sempre o mesmo valor e, portanto, a
velocidade varia sempre da mesma forma(uniforme). Note que, para o
instante t = 0s, obtm-se v 0 = 3 m/s; e, se voc observar a Tabela
4, ver que essa a velocidade inicial, isto , no instante em que o
co-piloto iniciou as anotaes! De uma maneira geral, podemos
escrever para a velocidade v num instante t qualquer: v = v0 + a t
onde v0 a velocidade inicial (em t=0) e a a acelerao, que
constante. Agora possvel responder qual o valor da velocidade
quando t = 9 s! s substituir o tempo na funo horria da velocidade:
v9 = 3 + 3 9 = 3 + 27 = 30 m/s
Como saber onde o veculo estar num certo instante?Na aula
passada, voc estudou o Movimento Retilneo Uniforme (MRU), caso em
que a velocidade no varia, ela constante. Para descrever o MRU voc
estudou apenas como varia a posio em funo do tempo. Nesta aula voc
est estudando um movimento em que, alm de a posio variar, varia
tambm a velocidade. Mas como varia a posio no MRUV MRUV? claro que
ela varia, pois esse fato caracteriza um estado de movimento! Voc
capaz de se lembrar como foi calculado o deslocamento do carro no
MRU? Foi pelo grfico da velocidade em funo do tempo (v X t): a rea
da figura formada pelo grfico fornece o deslocamento. Pode-se fazer
de forma semelhante para o caso do MRUV. O quadro, no final da
aula, indica, passo a passo, como obter a funo horria da posio do
MRUV: x = x0 + v0 t +1 a t2 2
onde x 0 a posio inicial, v 0 a velocidade inicial, e a a
acelerao. Nesse caso, como ser o grfico da posio em funo do tempo?
Voc espera que seja uma reta como no MRU?
Note que essa funo diferente daquela obtida para a velocidade:
ela 2 contm uma terceira parcela proporcional ao quadrado do tempo
(t ). Isso faz com que o grfico no seja mais uma reta, mas uma
curva. Para construir o grfico de posio (x) por tempo (t) a partir
da funo til, . Para encontrar as inicialmente, fazer uma tabela que
indique os valores de x e t. posies, basta substituir o tempo na
funo e calcular o valor de x! Mas preciso tambm conhecer o valor de
x0 e v0. Tome, por exemplo, a Tabela 4. No instante inicial, isto ,
quando comeam a anotar os valores de v , a velocidade era 3 m/s;
portanto, v0 = 3 m/s. Suponha que nesse instante o carro passou
pelo marco 100 m da pista. Portanto, x0 = 100 m. 2 Lembre-se de que
a acelerao do Copa, nesse exemplo a=3 m/s . Substituindo esses
valores na funo horria da posio temos: x = 100 + 3 t + 1,5 t2
A U L A
4
Essa funo descreve o movimento do Copa e fornece sua posio x em
qualquer instante de tempo t . Como exemplo, vamos calcular a posio
no instante t = 2 s. x = 100 + 3 2 + 1,5 2 x = 100 + 6 + 6 = 112 m
Prosseguindo dessa maneira, possvel obter os outros valores e
montar a Tabela 6:TABELA2
6 t (s) t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4 t5 = 5
v (m/s) x0 = 100 x1 = 104,5 x2 = 112 x3 = 122,5 x4 = 136 x5 =
152,5
Agora possvel construir o grfico da posio em funo do tempo:v
(m)155 150 145 140 135 130 125 120 115 110 105
Figura 4
100
0
1
2
3
4
5
t (s)
Observe que no se obtm mais uma reta: o grfico uma curva, que
tem o nome de parbola. possvel tambm representar as posies do
veculo por intermdio de um eixo orientado, (lembre-se da Aula
3).Sentido
0
x0 = 100 m t0 = 0 s
x1 = 104,5 m t1 = 1 s
x2 = 112 m t2 = 2 s
x3 = 122,5 m t3 = 3 s
x4 = 136 m t4 = 4 s
162,5 m x5 = 152,5 t5 = 5 s
Figura 5
A U L A
4
Observe na Figura 5 que, nesse caso, os deslocamentos aumentam
com o tempo: a cada segundo o deslocamento maior do que no instante
anterior. Isso indica que a velocidade est aumentando: o movimento
variado, nesse caso dizemos que ele acelerado acelerado.
Breeeeeca!TABELA
5 t (s) t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4 t5 = 5 t6 = 6
v (m/s) v0 = 30 v1 = 25 v2 = 20 v3 = 15 v4 = 10 v5 = 5 v6 =
0
No meio da pista havia um cachorro, havia um cachorro no meio do
pista! De repente o piloto do Copa avistou o animal e rapidamente
acionou os freios. Sem perder tempo, o seu co-piloto anotou os
valores da velocidade: Note que a velocidade agora est diminuindo
nuindo: o veculo est freando!
Qual ser agora o valor da acelerao nesse caso? Pegue, por
exemplo: t1 = 1 s e v1 = 25 m/s t4 = 4 s e v4 = 10 m/s Calculando a
acelerao: a=
v 4 - v1 10 - 25 = t 4 - t1 4-1
ento: a = - 5 m/s
2
Observe que o valor da acelerao negativo! O sinal da acelerao
oposto ao da velocidade (que positiva). Isso indica que o movimento
desacelerado desacelerado, isto , o carro est freando.Observe o
grfico v X t nesse caso: Veja que a reta tem uma inclinao diferente
do caso em que o movimento acelerado quando a velocidade cresce.
Abaixo esto representados os grficos v X t para os trs casos;
quando o movimento acelerado (a > 0); quando desacelerado (a
< 0), ambos exemplos de Movimento Retilneo Uniformemente Variado
e; no caso especial, quando a acelerao nula (a = 0): nesse caso, a
velocidade no varia e temos um exemplo de Movimento Retilneo
Uniforme - MRU (Aula 3).v (m/s) 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 t
(s)
Figura 6
v
MRUV acelerado a>0
v
MRUV desacelerado a fat grande e pequeno -> fat pequeno. N
constante nos dois casos! Mas o que ocorre com a fora de atrito
quando o corpo est parado?
Atrito
esttico
e
atrito
dinmico
Se no h algum puxando ou empurrando o armrio, no haver motivo
para que o solo impea seu movimento (Figura 6); mas, se comeamos a
empurrar o armrio com uma fora pequena, que no suficiente ainda
para que ele se mova, (por exemplo, o armrio sendo empurrado por
uma pessoa), podemos ver que aparece uma fora de atrito para
impedir que o armrio ande, e, medida que mais pessoas vo
empurrando, a fora de atrito vai aumentando, at que, finalmente, um
nmero suficiente de pessoas consiga empurrar o armrio. Isso
significa que a fora de atrito parou de crescer.FR N = FR N
F fat
PA
PA
Figura 6
Podemos fazer um grfico do comportamento da fora de atrito em
relao fora que est sendo aplicada no armrio (Figura 7)fatEsttico
Dinmico
45
0Figura 7. Grfico fat X F
F
Enquanto a fora de atrito est aumentando, o armrio no se move.
Chamamos, nessa situao, o atrito de: atrito esttico esttico.
Quando a fora que est sendo feita sobre o armrio aumenta o
suficiente para moviment-lo, a fora de atrito passa a ter seu valor
constante, chamamos ento, nessa situao, o atrito de atrito dinmico.
Um exemplo muito comum disso acontece quando empurramos um carro:
inicialmente comeamos a fazer uma certa fora e vamos aumentando
essa fora at que o carro comece a andar; nesse momento, a fora que
fazemos para empurrar o carro menor do que no instante anterior em
que o carro ainda estava parado. preciso observar que, em cada uma
dessas situaes, o coeficiente de atrito diferente apesar de
estarmos olhando para o mesmo corpo, ou seja, estando ele parado ou
em movimento. Por isso, haver o coeficiente de atrito esttico (e) e
o coeficiente de atrito c ), que sero usados, dependendo se o
objeto que est sob a ao da cintico ( fora de atrito estiver parado
ou se movendo.
A U L A
10
Aspectos
positivos
da
fora
de
atrito
Nem sempre a fora de atrito nos atrapalha nas tarefas que temos
que cumprir. Ao contrrio, muitas vezes ela nos ajuda. Por exemplo,
quando andamos, estamos empurrando o cho para trs e este nos
empurra para frente, permitindo que andemos. Imagine se
caminhssemos sobre uma superfcie de gelo, ou mesmo por um cho cheio
de cera, teramos proFigura 8 blemas para nos deslocar, pois no
haveria atrito. Um automvel anda para a frente quando seus pneus
empurram o cho para trs e este os empurra para frente. Quando o
carro faz uma curva, isso ocorre porque existe o atrito entre o
pneu e o cho; se no houvesse esse atrito o carro sairia reto nas
curvas. Em vrias indstrias, existem esteiras para transporte de
material, desde gros de trigo a limalha de ferro (esta ltima para
ser jogada em fornos). Essas esteiras transportam o material porque
existe um atrito entre elas e o material. Se no houvesse, o
material ficaria escorregando na esteira sem conseguir sair do
lugar. Vrios so os exemplos em que o atrito nos ajuda em nosso
dia-a-dia. Mas, voltemos ao problema do armrio. Como j fizemos o
isolamento isolamento, agora vamos ao segundo passo: construir as
equaes dinmicas dinmicas, usando a segunda lei de Newton.
2 passo - equaes dinmicasQual ser a fora mnima que deve ser
feita para que o armrio se mova, supondo que o armrio tenha um peso
de 200 kg e que o coeficiente de atrito esttico entre o solo e o
armrio e seja igual 0,5?
A U L A
10
Sabendo que ele no vai se mover no sentido vertical, por isso,
podemos escrever que a soma das foras na vertical igual a zero: P -
N = 0 -> N = P Supondo a fora mxima que podemos fazer para que o
armrio esteja prestes a se mover, mas que ainda no tenha se movido:
F - fat = 0 => F = fat Obteremos, ento, duas equaes dinmicas:
N=P e F = fat
Podemos, assim, passar para o terceiro passo que resolve esse
sistema de duas equaes e duas incgnitas (F e N):
Soluo
das
equaes
dinmicas
Na primeira equao temos que: N = P = mg = 200 kg 10 m/s = 2.000
N N = 2.000 N
Na segunda equao, precisamos lembrar da relao entre a fora de
atrito e a fora normal: F = Fat = m N = 0,5 2.000 = 1.000 N F =
1.000 N
E essa a fora mxima que podemos fazer antes que o armrio se
mova. Essa fora equivalente a levantar um peso de 100 kg. Com isso,
pudemos prever a fora mnima que devemos fazer para que o armrio
esteja prestes a se mover. Mas precisamos de alguma forma diminuir
a fora de atrito para empurrar com mais facilidade o armrio. Uma
soluo j havia sido dada, que simplesmente diminuir o peso do
armrio, com isso diminumos a fora normal e, conseqentemente, a fora
de atrito. Mas s vezes isso no suficiente. Precisamos controlar a
fora de atrito de outra forma: a nica forma que nos resta, fora
controlar o peso do armrio, ). No coeficiente de atrito, controlar
a fora de atrito pelo coeficiente de atrito ( est a informao se o
atrito entre duas superfcies grande ou no. Se o atrito entre o cho
e o armrio grande, temos que colocar algum material entre o armrio
e o cho que diminua o coeficiente de atrito. Vamos supor que o cho
de madeira. Uma forma de diminuir o atrito seria colocar um pano
entre o armrio e o cho. Alguns mveis poderiam ser rapidamente
movimentados com essa soluo, principalmente os de fundo muito
spero. Uma outra forma seria colocar cera no cho. Assim como a gua
provoca a derrapagem de um carro, por se transformar numa pequena
camada entre o pneu e o asfalto, fazendo com que o carro perca o
contato com o asfalto, a cera faria o mesmo papel, seria uma
pequena camada entre o mvel e o cho de modo que este deslizaria
pela madeira. Andar num cho encerado, uma experincia muito comum e
pode provocar grandes quedas e escorreges! Essas so solues que
podem ser aplicadas em vrias situaes, por exemplo quando queremos
pendurar um quadro ou prender uma estante na parede; fazemos um
furo e colocamos uma bucha, mas quando posicionamos o parafuso,
temos dificuldade para gir-lo at o fim da bucha. Isso pode ser
solucionado colocando-se um pouco de leo de cozinha, ou mesmo um
lubrificante dentro da bucha, que tem a funo de diminuir o atrito
entre o parafuso e a bucha.
l l
Vimos nesta aula: O conceito de fora de atrito ( fat ). sua
relao com a fora normal ( N ); que pode ser representada pela
equao: Fat = N
A U L A
10
l
l
vimos tambm como resolver situaes em que o atrito atrapalha
nosso servio, ou seja, podemos planejar para antecipar as
conseqncias do movimento de um corpo em situaes onde haja atrito; e
outras situaes em que o atrito nos ajuda a realizar movimentos ou
tarefas.
Exerccio 1 Para pensar: nas fbricas de automvel, so pintados
carros de vrias cores. O que aconteceria se a lataria do carro
fosse muito lisa? A tinta se prenderia na lataria?
Exerccio 2 Na figura abaixo, vemos um plano, que tem uma
inclinao segundo o ngulo q com a horizontal. Qual ser a inclinao
mxima que o plano pode ter sem que a caixa escorregue ladeira
abaixo? Suponha que a massa m da caixa seja igual a 100 kg e que o
coeficiente de atrito esttico seja igual a 0,5.
Exerccio 3 Um operrio deseja empurrar uma caixa de 100 kg, sobre
uma superfcie de madeira, mas no sabe quanta fora no mnimo ter que
fazer para conseguir seu intento. Para descobrir, ele precisa obter
o coeficiente de atrito esttico entre o fundo da caixa e a
superfcie. Portanto, realiza a seguinte experincia: coloca a caixa
sobre um pedao de madeira e, com seu macaco hidrulico, vai
inclinando o conjunto como vemos na figura abaixo. Finalmente, ele
mede o ngulo em que a caixa comea a deslizar. Faz isso vrias vezes
e descobre um valor mdio de 26,50, para o ngulo. Dadas essas
informaes, qual o coeficiente de atrito entre a caixa e a
madeira?
A A UA U L LA
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Vamos dar uma voltinha?patinadora desliza sobre o gelo, braos
estendidos, movimentos leves, msica suave. De repente encolhe os
braos junto ao corpo, gira velozmente como um pio, volta a estender
os braos e pra por alguns instantes. O pblico, encantado, aplaude.
Cristiana, comovida, assiste cena pela televiso. Ento, uma pergunta
lhe ocorre. Por que sempre que giram desse jeito os patinadores
encolhem os braos e, quando querem parar, voltam a estend-los? Ser
que isso tem alguma coisa a ver com a Fsica? claro que sim. Tudo
tem a ver com a Fsica. Se ela fizer essa pergunta a um fsico, ele
provavelmente lhe dir que a patinadora encolhe os braos para girar
mais depressa, devido ao princpio da conservao do momento angular
angular. uma forma complicada de explicar uma idia razoavelmente
simples. Suponha que um corpo est girando e no h nenhuma ao externa
atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo
estiver no seu eixo de rotao, mais rapidamente ele pode girar, ou
vice-versa. Se a distribuio da massa se afastar do eixo de rotao,
ele vai girar mais lentamente.
A
Figura 1a
Observe a Figura 1a. Com os braos encolhidos, a massa da
patinadora est mais concentrada junto ao seu eixo de rotao, por
isso ela gira mais rapidamente do que com os braos abertos. Abrindo
os braos, ela distribui sua massa de forma a afast-la ao mximo do
seu eixo de rotao. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais
fcil de parar. Uma demonstrao experimental muito interessante pode
ilustrar essa afirmao.
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11Figura 1b
Observe a Figura 1b. Uma pessoa sentada numa cadeira giratria,
segurando dois halteres com os braos estendidos, posta a girar. Se
ela encolher os braos, trazendo os halteres para junto do seu
corpo, a rapidez do seu movimento de rotao aumenta. Se ela voltar a
estend-los, a rapidez diminui, sem que para isso tenha sido feita
qualquer ao externa. Essa compensao entre rapidez de rotao e
distribuio de massa explicada pelo tal princpio da conservao do
momento angular angular. Mas essas no so as nicas caractersticas
interessantes do movimento de rotao. Um pio, por exemplo, s pode
permanecer em equilbrio enquanto gira; as bicicletas s podem se
manter em equilbrio devido ao movimento de rotao de suas rodas.
Veja na Figura 2 que, graas rotao, o pio se mantm em p sozinho, em
equilbrio, apoiado apenas numa extremidade do seu eixo. A prpria
Terra mantm constante a inclinao do seu eixo graas ao seu movimento
de rotao.Figura 2
O movimento de rotao est sempre presente em nosso dia-a-dia.
Todos os veculos tm rodas, quase todas as mquinas tm eixos e polias
que giram ligadas por correias e engrenagens. Infelizmente, nem
todos os aspectos da rotao podero ser estudados neste curso. Muitos
exigem uma formulao matemtica muito complicada, mas algumas noes
bsicas necessrias sua compreenso sero vistas aqui.
Rotao: um movimento peridicoImagine uma roda de bicicleta ou a
polia de um motor girando. Durante esse movimento, cada ponto da
roda ou da polia descreve circunferncias, continuamente. Em outras
palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidas vezes
pela mesma posio. Por isso, o movimento de rotao considerado um
movimento peridico peridico. O nmero de circunferncias, ou ciclos
ciclos, descritos numa unidade de tempo a freqncia desse movimento.
Assim, se cada ponto da polia de um motor descreve 600 ciclos em 1
minuto, dizemos que essa polia gira com uma freqncia de 600 ciclos
por minuto. Nesse caso, ao invs de ciclos, costuma-se dizer rotaes.
Logo, a freqncia de 600 rpm (rotaes por minuto). Se adotarmos o SI,
a unidade de tempo deve ser o segundo segundo. Portanto, como essa
polia descreve 600 ciclos em 60 segundos (1 minuto), a sua freqncia
ser:600 ciclos = 10 ciclos / s 60 segundos
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A unidade ciclos/s denominada hertz hertz, cujo smbolo Hz.
Portanto, a freqncia dessa polia, no SI, de 10 Hz. fcil ver que 1
Hz = 60 rpm rpm. Se um ponto passa vrias vezes pela mesma posio, h
um intervalo de tempo mnimo para que ele passe por duas vezes por
essa posio. o intervalo de tempo que ele gasta para descrever
apenas uma volta ou um ciclo ciclo. Esse movimento. intervalo de
tempo denominado perodo do movimento Qual ser o perodo do movimento
de rotao da polia do nosso exemplo? Para responder essa pergunta,
vamos, inicialmente, adotar o minuto como unidade de tempo. Se a
polia descreve 600 ciclos em 1 minuto, para determinar o seu
perodo, preciso calcular o tempo que ela gasta para descrever 1
ciclo ciclo. Uma regra de trs simples resolve o problema: 600
ciclos 1 minuto 1 ciclo x minutos Logo, teremos:1 min 600
x =
que o perodo do movimento da polia, em minutos. Se fizermos o
mesmo clculo utilizando o segundo, como unidade de tempo, vamos
obter: 1 x = s, 10 que o perodo do movimento da polia, em segundos.
Observe que quando a freqncia era 600 rpm, o perodo era 1/600 min,
quando a freqncia era 10 Hz, o valor do perodo era 1/10 s. fcil ver
que o valor do perodo sempre o inverso do valor da freqncia.
Simbolizando a freqncia com f e o perodo com T podemos representar
essa relao pela expresso:f = 1 T
ou ainda:
T =
1 f
Sempre que o perodo estiver em segundos a freqncia
correspondente ser dada em hertz hertz.
Passo-a-passoQual a freqncia e perodo do movimento dos ponteiros
de um relgio? Um relgio geralmente tem trs ponteiros: (a) um, que
marca os segundos, (b) um, que marca os minutos e (c) um, que marca
as horas. Cada um deles, tem freqncia e perodo diferentes. a) O
ponteiro dos segundos d uma volta a cada 60 segundos. Portanto, o
seu perodo : T = 60 s Como a freqncia o inverso do perodo, temos: 1
1 f = = Hz T 60
b) O ponteiro dos minutos d uma volta por hora, ou 60 minutos,
ou 3.600 segundos. Logo, o seu perodo em segundos, : T = 3.600 s A
freqncia :f = 1 1 = Hz T 3.600
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c) Com raciocnio semelhante, voc pode obter para o ponteiro das
horas: 1 T = 43.200 s e f = Hz 43.200
Passo-a-passoUm satlite de telecomunicaes fica parado em relao
Terra. Qual o perodo e a freqncia desse satlite? Para que o satlite
fique parado em relao Terra, preciso que ele acompanhe o movimento
de rotao do planeta. Isso significa que, quando a Terra der uma
volta em torno do seu eixo, o satlite tambm dever fazer o mesmo
(veja a Figura 3). Logo, o perodo do satlite igual ao perodo da
Terra. Portanto: T = 1 dia, ou T = 24 h, ou T = 86.400 s A freqncia
: f = 1 rotao/dia, ou f =1 1 Hz rotaes/hora, ou f = 24 86.400
Mo
vim
Mo
e
nt
od
a Te
rra
vim
ento
d o S a t li t e
Figura 3
Velocidade angularSuponha que um disco est girando. Num
intervalo de tempo Dt seus raios descrevem ou varrem um determinado
ngulo Dj (veja a Figura 4). A relao entre esse ngulo e o tempo
gasto para descrev-lo a velocidade angular do disco.
Matematicamente:w =Figura 4
Dj Dt
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Como no SI os ngulos so medidos em radianos, a unidade de
velocidade angular rad/s. Assim, se um disco gira descrevendo um
ngulo de 60, que igual a p/3 rad, num intervalo de tempo de 2
segundos, sua velocidade angular ser:p p rad / s w = 3 = 2 6
A rigor, essa a velocidade angular mdia nesse intervalo de
tempo. Entretanto, como vamos estudar apenas movimentos de rotao em
que a velocidade angular constante, no haver, aqui, distino entre
velocidade angular mdia e velocidade angular instantnea. Ambas sero
chamadas simplesmente de velocidade angular angular. Veja como se
faz para transformar graus em radianos:
Relaes entre graus e radianos Sabe-se que p rad = 180, logo 1
=p
180
rad .
Ento, para transformar um ngulo em graus para radianos basta
multiplicar o seu valor por p . 180 Exemplo: 60 = 60
rad 180 3 Para transformar radianos em graus, s inverter o
procedimento multiplicandopor180 p p
p
rad =
p
Exemplo:
3
rad =
p
3
180p
= 60
Se a velocidade angular de um disco for constante, ele descreve
ngulos iguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto
para dar uma volta completa, que corresponde a um ngulo de 360 ou
2p rad, ser sempre igual. Portanto, o perodo e a freqncia do disco
sero, tambm, constantes. Alm disso possvel, nessas condies,
relacionar essas trs grandezas. Ao descrever uma volta completa, o
disco varre um ngulo Dj igual a 2 p rad. Como o intervalo de tempo
Dt para dar uma volta completa igual ao perodo, T, a velocidade
angular desse disco ser:w = Dj Dt w =
2p T
Mas f =
1 , portanto, podemos escrever: T w = 2p
1 w = 2 pf T
Movimento Circular UniformeSuponha que um disco gire com
velocidade angular constante. Como vimos, a freria da formigu et in
qncia e o perodo tambm sero constantes. aj Nesse caso, cada ponto
desse disco descreve um Movimento C ircular Uniforme (MCU) (MCU).
Se voc vir uma formiguinha apavorada agarrada a um disco girando no
seu toca-discos, voc estar vendo a coitadinha descrever um
movimento circular uniforme. Isso vale tambm, por exemplo, para
qualquer ponto de Figura 5 uma polia ligada a um motor que gira com
freqncia de rotao constante. Como se pode equacionar o movimento
circular uniforme? Que variveis devemos escolher para equacionar o
movimento circular uniforme, lembrando que equacionar um movimento
estabelecer uma relao matemtica entre duas de suas variveis (posio
tempo, velocidade tempo etc.). As mesmas variveis do MRU ou do
MRUV? A resposta no no. Em vez de uma equao da posio em funo do
tempo, por exemplo, ser mais til uma equao do ngulo descrito em
funo do tempo, uma equao angular angular. Isso porque a posio no
uma varivel muito conveniente, pois um mvel com MCU passa
seguidamente pelo mesmo ponto. Isso no acontece com o ngulo D j que
esse mvel descreve ou varre enquanto se movimenta. Os seus valores
nunca se repetem. Cada vez que o mvel passa pelo mesmo ponto, o
valor do ngulo acrescido de 360 ou 2 p rad. Assim, possvel
estabelecer uma relao matemtica entre esse ngulo e o instante em
que ele est sendo descrito, porque no existem dois ngulos iguais
para instantes diferentes. Essa equao, conhecida como equao ou lei
angular do MCU, expressa por: j = j0 + wtha
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Veja a deduo no quadro abaixo:
Tr
Deduo da lei angular de um MCUt
Lembrando a definio de velocidade angularw =t0
Dj Dt
(1)
fcil ver, na figura, que D j = j - j0 (2), como D t = t - t0 .
Fazendo t0 = 0, temos D t = t (3), substituindo (1) e (2), em (3),
obtemos:w = j - j
0
Figura 6
t
j = j0 + w t
onde j o ngulo, ou fase, no instante t e j0 o ngulo ou fase
inicial inicial, no instante t0 = 0.
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Sabendo-se o ngulo descrito por um mvel num certo instante e o
raio da circunferncia descrita, fcil determinar a posio de um mvel
em MCU. Suponha, por exemplo, que a nossa pobre formiguinha, ainda
mais apavorada, est presa a uma roda de bicicleta de 0,5 m de raio,
que gira com um perodo constante de 2 s. Se acionarmos um cronmetro
no instante em que o raio da roda em que est a formiguinha descreve
um ngulo nulo, qual ser a posio da coitadinha depois de 4,2 s? Para
resolver esse problema, preciso, inicialmente, determinar o ngulo
descrito por esse raio n