FISICA EJERCICIOS

.7 El bloque de 50 kg asciende por el plano inclinado de la figura y recorre 2 m sobre el mismo, con la fuerza horizontal constante F1aplicada, de 600 N. También actúa una fuerza de rozamiento de 100 N. Hallar:

a- El trabajo que realiza F1

b- El que realiza la fuerza de rozamiento. c- El que realiza el peso del bloque. d- El que realiza la fuerza de vínculo, normal al plano. e- La fuerza resultante que actúa sobre el bloque, y su trabajo. f- La velocidad del bloque luego de ascender los 2 m, si al comienzo tenía una velocidad de 0,6 m/s. g- Las energías cinéticas inicial y final del bloque.

Qué puedo decirte... laaaargo como esperanza de pobre. Pero creo que es un problema bastante aleccionador. Vamos a hacerlo y armate de paciencia.

Hagamos un DCL para visualizar todas las fuerzas que están actuando y sus direcciones relativas con el desplazamiento.Ahí están, son 4 fuerzas: F1, P, Roz y N. Y en punteado representé el desplazamiento (los largos de las fuerzas son aproximadamente representativos entre sí, y el del desplazamiento tiene un largo arbitrario, ya que es una magnitud diferente).

Vamos a calcular el trabajo que hace cada una de las fuerzas a lo largo de ese desplazamiento. Usaremos siempre

W = F . Δx . cos α

donde α es el ángulo que en cada caso, formen el desplazamiento con la fuerza en cuestión.

Empecemos con F1

WF1= F1 . Δx . cos 37º

WF1= 600 N . 2 m . 0,8

WF1= 960 J

Seguimos con Roz

WRoz = Roz . Δx cos 180º

WRoz = 100 N . 2 m . (-1)

WRoz = — 200 J

Ahora le toca al peso. No siempre se distingue claramente cuál es el ángulo que forman entre la fuerza y el desplazamiento. Arreglátelas como puedas. Acá, por ejemplo no es muy difícil verlo como la suma de 37 más 90, o sea 127 grados.

WP = P . Δx . cos 127º

WP = 500 N . 2 m . (-0,6)

WP = — 600 J

El turno de la fuerza de apoyo, N

WN = N . Δx . cos 90º

WN = N . 2 m . 0

WN = 0 J

Y ahora le toca el turno a la resultante de las cuatro fuerza. Pero no sabemos cuánto vale ni hacia dónde apunta (sospecho que debe ser paralela al plano... ¿vos no tenés la misma sospecha?, bueno... mejor tenela) Descompongamos en x y en y, y sumemos por separado.

En x

Resx = F1x — Roz — Px

Resx = F1 cos 37º — Roz — P sen 37º

Resx = 80 N

En y

Resy = N — F1y— Py = 0

Si la resultante en y no fuese cero, el bloque levantaría vuelo o se hundiría en el plano, por eso, aunque no sabemos cuánto vale N, sabemos cuánto vale esa suma. Luego, si componemos la resultante obtenemos Res = 80 N paralela al plano y hacia arriba.

Su trabajo en el desplazamiento será

WRes = Res . Δx . cos 0º

WRes = 80 N . 2 m . 1

WRes = 160 J

1.2- Tres remolcadores llevan un barco hacia su dársena, tirando cada uno con una fuerza constante de 3 x 105 N en un recorrido de 500 m, como indica la figura. Si la fuerza de

rozamiento que ejerce el agua sobre el barco es de 1 x 105 N, determinar:

a- La resultante de las fuerzas que actúan sobre el barco.b- El trabajo que realiza la fuerza resultante.c- El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan.d- La suma de los trabajos calculados en c. Comparar con el resultado del inciso b.

El primer requerimiento que nos hace el ejercicio es, simplemente, una suma de fuerzas que se resuelve del mismo modo que lo hicimos en estática y dinámica.

Voy a desestimar las fuerzas verticales: el peso del barco y el empuje que lo hace flotar. Ambas fuerzas -normales a la superficie- sabemos que no aportan a la resultante porque en el eje vertical la aceleración es nula: el barco no se hunde, ni levanta vuelo.

Las fuerzas no son colineales, de modo que voy a tener que descomponer alguna de ellas y reemplazarlas por sus componentes paralelas a los ejes de referencia. Tené en cuenta que:

R1x = R1 cos 37º, R1y = R1 sen 37º

R3x = R1 cos 37º, R3y = R3 sen 37º

El asunto queda así:

ΣFy = R1y — R3y = 0

ΣFx = R1x + R2 + R3x — Roz

La resultante, Res, será la composición de esas dos sumas... por suerte la componentey de la resultante también es nula (de lo cual ya te habías dado cuenta porque el barco no dobla, ni a babor ni a estribor) así que la resultante sólo tiene componente en x, y vale...

ΣFx = Res = R1x + R2 + R3x — Roz

ΣFx = Res = 2,4 x 105 N + 3 x 105 N + 2,4 x 105 N — 1 x 105 N

Res = 6,8 x 105N respuesta a-

Para calcular el trabajo de la resultante durante este desplazamiento podemos aprovechar que se trata de una fuerza constante y aplicar:

WF = F . Δx . cos α

Por lo que vimos, la fuerza resultante tiene la misma dirección y

sentido que el desplazamiento, de modo que entre ambas (resultante y desplazamiento) forman un ángulo de 0º, su coseno vale 1.

WRes = Res . Δx . cos α

WRes = 6,8 x 105 N . 500 m . cos 0º

WRes = 3,4 x 108 J respuesta b-

Los trabajos de cada una de las fuerzas, por separado, se obtienen de la misma manera que lo hice con la resultante:

WR1 = 3 x 105 N . 500 m . cos 37º =

WR1 = 1,2 x 108 J

WR2 = 3 x 105 N . 500 m . cos 0º =

WR2 = 1,5 x 108 J

WR3 = 3 x 105 N . 500 m . cos 37º =

WR3 = 1,2 x 108 J

WRoz = 105 N . 500 m . cos 180º =

WRoz = — 0,5 x 108 J

Ahora, si sumamos los cuatro trabajos obtenidos, así, individualmente, nos da...

ΣWFi = 3,4 x 108 J respuesta d-

No se trata de una casualidad de este ejercicio. Siempre ocurre que la suma de todos los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al trabajo de la resultante. Si lo querés en una fórmula...

WRes = ΣWFi

1.3- Un balde de 15 kg es levantado 4 m, aplicándole una fuerza vertical F cuyo módulo constante es 18 kgf. Determinar:a- El trabajo que realiza la fuerza F.b- El trabajo que realiza la fuerza peso.c- La velocidad que alcanzará el balde, si inicialmente estaba en reposo.

No problem. Repapa. Con un esquemuchi es más fácil.

Como se trata de fuerzas constantes y desplazamientos rectilíneos podemos aplicar esta sencilla definición para cada caso:


donde α es el ángulo que (en cada caso) forman la fuerza que estemos considerando con el desplazamiento. En el primer casoα = 0º (cos 0º = 1)

WF = 180 N . 4 m . 1

WF = 720 J

Vamos con el peso, P. Ahora α = 180º (cos 180º = -1)

WP = 150 N 4 m . (-1)

WP = – 600 J

Por último vamos al teorema que vincula la resultante, Res, y la energía cinética. No es difícil darse cuenta que la resultante es una fuerza de 30 N que apunta hacia arriba.

WRes = ΔEc

Res Δx cos α = ½ m vF² — ½ m vO²

de nuevo α = 0º; además la velocidad inicial es cero. Luego

Res Δx = ½ m vF²

30 N 4 m = ½ 15 kg vF²

vF = 4 m/s

El trabajo de la resultante (120 J) también lo podíamos calcular sumando los trabajos de las dos fuerzas que la componen: 720 J — 600 J = 120 J

.4- Claudia pesa 60 kgf, y viaja en un ascensor desde el piso 4° hasta planta baja. Hallar el trabajo que realiza la fuerza que hace el piso del ascensor («normal») sobre ella, en los siguientes tramos de 4 m de longitud cada uno: a- Arranque con aceleración constante, de 0,5 m/s² b- Descenso con velocidad constante de 2 m/s c- Frenado con aceleración constante, de 0,5 m/s².

Bastante rellenita, Claudia... 60 kgf son 600 N, pero la imagino alta y de formas generosas, y morocha, con ojos... perdón, me olvidé dónde estábamos. Ejemmm...

El eterno problema del ascensor (iba a decir de los hombres) que ahora aparece en una versión de definición de trabajo. Bueno, el viaje lo devidimos en tres tramos de dinámica diferente, que llamaremos a), b) y c) y que representan un viaje común y silvestre en ascensor bajando del 4to piso hasta la planta baja.

Los tres casos. En los tres casos hay sólo dos fuerzas actuando sobre Claudia: su peso, P, o sea la fuerza con que la Tierra la tiene atrapada, y la normal, N, la fuerza con que la sostiene el piso del ascensor, que se llama normal porque forma 90 grados con el piso. Si esa fuerza no estuviera, Claudia caería por el hueco del ascensor, y sería una pena... tan joven, tan bonita...

Los tres casos, entonces, son muy parecidos dinámicamente. Para los tres, la ecuación de Newton dirá:

ΣF = m a

Alcanza con una sola ecuación pues ambas fuerzas son verticales. Y si elijo un SRpositivo hacia arriba la ecuación queda así:

N — P = m a

En cada uno de los tres casos varía la aceleración (y eso modifica el segundo miembro) Luego, del primer miembro sólo puede modificarse la normal ya que el peso de Claudia no puede variar mucho en el transcurso de su viaje del 4to a la planta baja. Una vez que sabemos cuánto vale, podemos calcular su trabajo en 4 m de descenso.

Caso a) Si arranca y se mueve caca vez más rápido la aceleración debe apuntar hacia abajo. (En nuestroSR serás negativa, a = — 0,5 m/s²)

N = — m a + P

N = 570 N

Wa) = 570 N . 4 m (—1)

Wa) = — 2.280 J

Caso b) cuando baja a velocidad constante, si lo hace a 2 m/s o a 200 m/s es lo mismo a los fines de lo que estamos calculando. El dato ese es simplemente una trampa caza-bobos. La aceleración vale cero.

N = P

N = 600 N

Wb) = 600 N . 4 m (—1)

Wb) = — 2.400 J

Caso c) Cuando baja frenando la aceleración apunta hacia arriba y en nuestro SR es positiva.

N = m a + P

N = 630 N

Wc) = 630 N . 4 m (—1)

Wc) = — 2.520 J

Fijate que la definición de trabajo (que acá pudimos aplicar porque en cada tramo la fuerza es constante y el desplazamiento rectilíneo) es independiente del SR. El signo del trabajo depende exclusivamente del coseno del ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento. De nada más que eso. En este caso el desplazamiento siempre es hacia abajo y la fuerza que hace el piso siempre apunta hacia arriba. De modo que siempre forman un ángulo de 180 grados y el coseno de 180º es (—1).

DISCUSION: No sé si alguna vez lo viste, pero me parece una excelente manera de discutir un problema hacer todos los gráficos posibles que lo describen. Acá te pongo algunos, analizalos con cuidado, fijate cómo se relacionan unos con otros, mantuve ciertas proporcionalidades, y correspondencia entre intervalos... pero no creas que con éstos se agotan las posibilidades, ¿eh?, todavía vas a poder agregarle dos o tres gráficos más.

1.5- Nicolás corre 4 m tirando de su carrito, con la caja de juguetes encima, con la fuerza constante de 30 N en la dirección indicada en la figura. (Ver Ej. 2.19 de Dinámica). El carrito tiene 10 kg y la caja 2 kg, y el rozamiento entre el carrito y el piso es despreciable. Calcular:

a-El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento sobre la caja J.

b-El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el carrito

c-La velocidad que alcanza cada objeto, si al partir estaban en reposo.

Por el orden en que están formuladas las preguntas y la disponibilidad de datos, me da la impresión que el autor del problema supone que vas a ir a ver el problema 2.19 de dinámica y vas a utilizar los datos disponibles y hallados ahí. Pero, si alteramos el orden, podemos responder todas las preguntas con lo que aparece acá y nada más.

En este ejerciciohay rozamientoentre el

carrito y el juguete.

Pero no hay rozamientoentre el

carrito y el piso... no te confundas.

Apliquemos directamente la definición de trabajo que conocemos (WF = F Δx cos α), ya que todas las fuerzas que actúan son sonstantes. Empiezo por el juguete.

WRoz = Roz 4 m cos 0º

No podemos calcularla porque no sabemos cuánto vale el rozamiento (a menos que chusmeemos el problema 2.19). El resto de las fuerzas que actúan sobre el juguete forman 90º con el desplazamiento por lo tanto su trabajo vale cero.

Vamos al carrito. El trabajo de la fuerza que hace Nicolás es very easy.

WF = 30 N . 4 m . cos 37º

WF = 96 J b-

Como la resultante de todas las fuerzas sobre el conjunto carrito-juguete es FX (tené presente que tanto el rozamiento -como las otras fuerzas de contacto- son internas del sistema carrito/juguete... tenés que considerarlo como un cuerpo único), podemos aplicarle (al conjunto) el teorema de la resultante. Acordate, además, que

FX = F cos 37º

De hecho, la definición de trabajo WF = F . Δx . cos α es equivalente a WF = FX . Δx

WRes = ΔEc

FX . Δx = ½ mTot vF² — ½ mTot v0²

Al partir estaban en reposo...

96 J = ½ 12 kg vF²

vF = 4 m/s c-

Ahora vuelvo al juguete. Y aplico el mismo teorema de recién, pero para el juguete la resultante es la fuerza de rozamiento, y sólo ella. De modo que

WRoz = ½ mJ vF²

WRoz = ½ 2 kg ( 4 m/s)²

WRoz = 16 J a-

Quedaba pendiente una parte de la pregunta del enunciado que se refería a los trabajos sobre el carrito (ahí el rozamiento y el desplazamiento forman 180 grados).

WRoz = — 16 J b-

Paremos la pelota un cachito. Dejame que resuma, a ver...

WF1 = 960 J

+ WRoz = — 200 J

+

WP = — 600 J

WN = 0 J

WRes = 160 J

No se trata de una casualidad de este problema. Siempre ocurre que la suma de todos los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es igual al trabajo de la resultante. Si lo querés en una fórmula...

WRes = ΣWFi

Bueno, ahora vamos a las últimas preguntas. Vamos a resolverlo por cinemática, ya que, por Newton, si tenemos la resultante también tenemos la aceleración.

a = Res / m = 80 N / 50 kg = 1,6 m/s²

Llamemos 0 y F a los puntos inicial y final del trayecto de los 2 metros. Luego de las ecuaciones correspondientes y tomando

x = 0,6 m/s t + 0,8 m/s² . t2

v = 0,6 m/s + 1,6 m/s² t

le pedimos que hablen de punto F

2 m = 0,6 m/s tF + 0,8 m/s² . tF2

vF = 0,6 m/s + 1,6 m/s² tF

Dos ecuaciones con dos incógnitas. De la primera sacamos tF... eso da... a ver... uso la cuadrática de los griegos, mmm... tF

vF = 2.6 m/s

Pero ahora también podemos resolver el problema de un modo más sencillo, fijate, respondamos la última pregunta que nos queda

EC0 = ½ m v0² y ECF = ½ m vF²

EC0 = 9 J y ECF = 169 J

Con lo cual se ve claramente que

WRes = ΔEC

Y acá teníamos el otro camino, mucho más sencillo con este teorema que relaciona el trabajo de la resultante con la energía cinética.

WRes = ECF — EC0

WRes = ½ m vF² — ½ m v0²

vF = [(2 WRes/m) + v0² )]1/2

vF = 2.6 m/s

DISCUSION: La principal lección de este ejercicio es la diferencia de estrategia en la resolución de un mismo problema. El uso del criterio de trabajo y energía es más económico, mas directo, consiste en comparar directamente dos estados de un proceso desinteresándonos de cómo fue el proceso. Hay mucha información que se pierde, pero se gana en economía. También hay una nueva información que aparece, y que es la energía... pero cuyo significado debe madurar largamente, pues no hay una explicación concreta para ella.

1.5- Nicolás corre 4 m tirando de su carrito, con la caja de juguetes encima, con la fuerza constante de 30 N en la dirección indicada en la figura. (Ver Ej. 2.19 de Dinámica). El carrito tiene 10 kg y la caja 2 kg, y el rozamiento entre el carrito y el piso es despreciable. Calcular:

a-El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento sobre la caja J.

b-El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el carrito

c-La velocidad que alcanza cada objeto, si al partir estaban en reposo.

Por el orden en que están formuladas las preguntas y la disponibilidad de datos, me da la impresión que el autor del problema supone que vas a ir a ver ellos datos disponibles y hallados ahí. Pero, si alteramos el orden, podemos responder todas las preguntas con lo que aparece acá y nada más.

Apliquemos directamente la definición de trabajo que conocemos (WF = F Δx cos α), ya que todas las fuerzas que actúan son sonstantes. Empiezo por el juguete.

WRoz = Roz 4 m cos 0º

No podemos calcularla porque no sabemos cuánto vale el rozamiento (a menos que chusmeemos el problema 2.19). El resto de las fuerzas que actúan sobre el juguete formandesplazamiento por lo tanto su trabajo vale cero.

Vamos al carrito. El trabajo de la fuerza que hace Nicolás es very easy.

WF = 30 N . 4 m . cos 37º

WF = 96 J b-

Como la resultante de todas las fuerzas sobre el conjunto carrito-juguete es FX (tené presente que tanto el rozamiento -como las otras fuerzas de contacto- son internas del sistema carrito/juguete... tenés que considerarlo como un cuerpo único), podemos aplicarle (al conjunto) el teorema de la resultante. Acordate, además, que

FX = F cos 37º

De hecho, la definición de trabajo WF = F . Δx . cos α es equivalente a WF = FX . Δx

WRes = ΔEc

FX . Δx = ½ mTot vF² — ½ mTot v0²

Al partir estaban en reposo...

96 J = ½ 12 kg vF²

vF = 4 m/s c-

Ahora vuelvo al juguete. Y aplico el mismo teorema de recién, pero para el juguete la resultante es la fuerza de rozamiento, y sólo ella. De modo que

WRoz = ½ mJ vF²

WRoz = ½ 2 kg ( 4 m/s)²

WRoz = 16 J a-

Quedaba pendiente una parte de la pregunta del enunciado que se refería a los trabajos sobre el carrito (ahí el rozamiento y el desplazamiento forman 180 grados).

WRoz = — 16 J b-

Todas las demás fuerzas que actúan sobre el carrito son perpendiculares al desplazamiento de modo que el trabajo que realizan es nulo. Y chau.

1.8- Valiéndose de consideraciones de trabajo y energía cinética, demostrar que si el conductor de un vehículo cuya masa es m y que marcha con velocidad v por una ruta horizontal aplica a fondo los frenos, la distancia en que se detiene es d = v²/2µg, en donde µ es el coeficiente de rozamiento dinámico entre sus neumáticos y el pavimento.¿En qué factor se incrementa la distancia de frenado, si el vehículo duplica su velocidad?

Este es un problema interesantísimo por muchos motivos. Uno de ellos es que resulta ideal para comparar las estrategias de resolución de problemas por la vieja y conocida de cinemática y dinámica, y por la estrategia de las consideraciones energéticas. Voy a resolverlo de ambas maneras. Primero por cinemática y dinámica... ¿me acordaré?

Arranquemos con la dinámica, eso me va a permitir encontrar una expresión para la aceleración en función de los datos del problema. Dinámica = DCL

Σ Fx = m ax → — Roz = m a

Σ Fy = m ay → A — P = 0

Por otro lado sabemos que...

Roz = μ . A

Aunque el enunciado dice que se trata de un rozamiento dinámico, dejemos esa cuestión para un poco más adelante, ya vas a ver que no tenía mucho sentido esa proposición.

Si combinamos las tres ecuaciones tenemos, A ver... vamos haciéndolo juntos...

P = m g

A = P

A = m g

Roz = μ . m g

— m a = μ . m g

a = — μ . g

Ahora podemos ir a la cinemática del asunto y ver si encontramos una expresión para la distancia mínima de frenado... que acá llamécinemática? Ah, ya sé... hay que empezar por un esquema.

Se trata de un MRUV, así que volvemos a buscar los modelos de ese movimiento y reemplazamos las constantes del modelo por las constantes del movimiento, que están todas juntitas en el esquema, en el punto 0.

x = v . t — ½ μ . g t2

v = v — μ . g . t

Ahora le pedimos a estas ecuaciones que hablen del punto 1

d = v . t1 — ½ μ . g . t1²

0 m/s = v — μ . g . t1

y lógicamente desembocamos en un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Acá viene el álgebra. De la segunda despejo

t1 = v / μ . g

Y esto lo meto en la primera:

d = v²

—½ v²

μ . g μ . g

¿Te perdiste? Rehacelo vos solo a ver si llegás. Te quedan dos términos semejantes... los podemos juntar en uno sólo, que no es otro que el resultado que estamos buscando:

d = v² / 2 . μ . g costó, pero llegamos

Ya que me tomé el trabajo de llegar hasta acá (en una guía de problemas de energía) aprovechemos y hagamos una discusión del resultado.

DISCUSION: La primera pregunta es obligada... ¿tiene las unidades que debería tener? Las tiene. ¿Y qué me dice físicamente? Todo: me dice, por ejemplo que si voy más rápido necesito mayor distancia de frenado... tal vez te parezca obvio, pero la física te esta advirtiendo de un peligro en ciernes... porque la distancia mínima necesaria de frenado no aumenta linealmente con la velocidad, ¡sino con su cuadrado! A ver si alguna vez aprendemos los peligros de las altas velocidades.

También me dice que es inversamente proporcional al coeficiente de rozamiento. Es decir... si me percato de la necesidad urgente de frenar el vehículo me conviene conservar la calma y frenar sin bloquear las ruedas. Las ruedas bloqueadas se comportan como patines, y el cálculo hay que hacerlo con el coeficiente dinámico, que siempre es menor que el coeficiente de rozamiento estático, μd < μe. Si queremos una distancia menor (para no llevarnos puesta a la abuelita, nos conviene usar el número mayor en el denominador, o sea, el μe, o sea frenar manteniendo el giro de las ruedas, sin bloquearlas. (Si te interesa el asunto te invito a que leas este brevemotivo, me dice es un tanto riesgoso salir a la ruta con las gomas lisas... ejemmm...

Bueno... no quiero seguir dándome rosca. Dice varias cosas más esa expresión, pero vos podés descubrirlas.

RESOLUCION POR ENERGIA: Ahora te propongo que volvamos a resolver el mismo problema pero desde una estrategia de Leyes de Conservación, trabajo y energía

Elegimos dos eventos, los mismos 0 y 1 de allá arriba. Y aplicamos el sencillo teorema

WRes = ΔEC

No cabe duda de que la resultante es la fuerza de rozamieno (A y P se anulan mutuamente). El desplazamiento es d, el ángulo que forman es

— Roz d = EC1 — EC0

— μ . m g . d = — ½ m v²

de donde:

d = v² / 2 . μ . g salió con fritas

DISCUSION: Como ves el método de la aplicación de los teoremas de leyes de conservación es mucho más rápido y económico. Fundamentalmente el motivo es que nos desprendemos de un montón de información, vinculamos -energéticamente- dos estados, dos momentos, directamente, comparándolos del modo más sencillo, a través de una simple resta. Y despreocupándonos de cómo ocurrió la transformación, si fue rectilínea o curvilínea, variada o uniforme, ya no cuenta. Tenés una versión más light de este mismo ejercicio en BIO27, sin embargo hay algunos comentarios que complementan la información que volqué acá. Aprovechala.

YAPA: Acá tenés una tabla de coeficientes de rozamiento entre neumáticos nuevos (con buen dibujo) y diferentes tipos de calzada.

Pavimento Seco Mojado

Asfalto rugoso 0,80 0,50

Asfalto brillante 0,70 0,40

Adoquinado 0,60 0,40

Nieve 0,60 0,30

Hielo 0,055 0,20

1.9- El gráfico de la figura representa la componente Fx de una fuerza que actúa sobre un cuerpo que se mueve sobre una recta paralela al eje x, en función de su posición.

Calcular el trabajo que realiza dicha fuerza, en las siguientes etapas: a- Desde la posición x1= 0 hasta x2= 4 m. b- Entre x2 y x3= 10 m. c- Entre x1 y x3.

Este problema es muy sencillo, se trata simplemente de calcular áreas. Resulta (y esto te lo cuento sólo por agregar algo que pueda interesarte) que la definición extensa detrabajo requiere el concepto de integral.

W = ∫ Fx dx

que, si hacés un poco de memoria, se relaciona con el cálculo de áreas encerradas bajo la curva (en este caso la curva de Fencerrada bajo la curva en cualquier gráfico F vs. x, tenga la forma que tenga, lo que estás haciendo no es un cálculo de superficie sino un cálculo de

El ítem a) pide calcular este trabajo, el representado por este área:

Te la sombreé en amarillo para que la distingas bien. En definitiva es una figura geométrica bien sencilla, un trapecio. Pero si no te acordás cómo se hallaba el área de un trapecio podés encontrarla como la suma del área de un triángulo (base por altura sobre dos) más el área de un rectángulo (lado por lado). El triángulo darectángulo 120. Fijate las unidades...

W1-2 = 180 J

El ítem b) pide el trabajo entre 4 y 10 metros. Acá tenés ese área:

La pinté en dos colores diferentes porque tiene significado físico. El área que queda por debajo del eje de las x representa un trabajo negativo. Lo cual es lógico ya que el desplazamiento y la fuerza, al tener signo contrario, formarían un ángulo de 180 grados, y su coseno valdría -1. Calculamos ambas áreas y las sumamos, cada una con su signo.

W2-3 = 90 J

Por último, el ítem c) pide el trabajo entero. Como siempre el trabajo total es la suma de los trabajos parciales (siempre y cuando no se superpongan). Igual te hice el gráfico.

W1-3 = 270 J

Ya en cinemática podíamos hacer algunos cálculos integrando áreas, ¿te acordás? En toda gráfica v vs. t el área encerrada bajo la curva representaba el desplazamiento del móvil en el intervalo de tiempo encerrado. Es exactamente la misma idea que ahora, solo que entonces era:

ΔX = ∫ v dt

y nadie salió lastimado.

DESAFIO: si la operación inversa de la integración es la derivación, ¿te animás a formular relaciones entre magnitudes físicas en términos de funciones derivadas?

.10- Se tiene un resorte cuya longitud sin carga es 0,8 m, y su constante elástica es 500 N/m. Dejando fijo un extremo, se lo estira hasta que su longitud es el doble de la original (Posición A), para luego comprimirlo hasta la mitad de su longitud natural (Posición B).Se pide:

a-Graficar la componente de la fuerza que ejerce el resorte, en función de su elongación.

b-Determinar el trabajo que realiza la fuerza elástica, al estirarlo desde la posición inicial hasta A.

c-Hallar el trabajo realizado por la fuerza elástica entre las posiciones A y B.

Hice un esquemita (no puedo evitarlo) para que veas cómo funciona el asunto. Ahí representé el mismo resorte en tres posiciones diferentes. La representación superior es la del resorte con su longitud natural, no está estirado ni comprimido. Así me lo vcendieron en la ferretería.

La posición de su extremo derecho nos va a indicar cuánto está estirado o comprimido. El otro extremo está sujeto a la pared. Dibujé una grilla en el fondo para que utilices como referencia.

Las flechas verdes representan a la fuerza elástica, Fe. Fijate que cuando el resorte fue estirado hasta la posición A, la fuerza del resorte tira para adentro. En cambio cuando el resorte fue comprimido hasta la posición B, la fuerza eléstica empuja hacia afuera.

Por eso a las fuerzas elásticas se las llama restitutivas, porque siempre intentan recuperar la forma original. En el extremo pegado a la pared el resorte realiza una fuerza igual y contraria al extremo "libre".

Acá tenemos el gráfico que representa la fuerza elástica en cualquier desplazamiento (entre B yA). Si referimos ambas variables (fuerza elástica y posición de la última espira) al mismo SR, entonces, cuando una es positiva, la otra negativa -chequealo-, así nos lo anticipaba la ley de Hoock:

Fe = — k x

Las áreas que sombreé en gris respresenta los trabajos que realiza la fuerza elástica durante los desplazamientos del extremo "libre". Para asignarle un signo a ese trabajo tenés que observar cuál es el sentido de la fuerza y cuál el sentido del desplazamiento.

Luego: si el desplazamiento y la fuerza tienen igual sentido se trata de un trabajo positivo; y si fuerza elástica y desplazamiento tienen sentidos contrarios, estará realizando un trabajo negativo. Mientras el resorte se estira desde 0 hasta A, el estiramiento es positivo (tiene el mismo sentido de crecimiento que las posiciones) y la fuerza apunta en el sentido contrario, de modo que se trata de un trabajo negativo. Para hallar la cantidad de trabajo alcanza con calcular el área encerrada bajo la curva desde la posición 0 hasta A. Se trata de un triángulo (base por altura sobre dos):

W0A = ½ 0,8 m . 400 N

W0A = — 160 J

WAB = 120 J

1.11- Una máquina eleva verticalmente una carga de 200 kg mediante una cuerda que se arrolla en un tambor de 20 cm de radio. Determinar la potencia desarrollada por la fuerza que ejerce el cable, cuando el tambor gira a 300 rpm, con velocidad angular constante.

¿Es en serio este problema? Supongamos que sí... y hagamos un esquema para ponernos de acuerdo. Bueno, acá lo tenemos, con DCL incluido.

Esto se acaba muy rápido, así que prestá atención: la caja sube a velocidad constante, o sea, la aceleración es cero. Según Newton (ΣFy = m ay) la sumatoria de fuerza también debe ser nula, por lo tanto

F – P = 0

F = P = m . g

donde F es la fuerza que hace el motor a través de la cuerda.

La velocidad con la que asciende el paquete no es otra que la velocidad tangencial con que se arrolla la cuerda, o sea:

v = ω . R

Finalmente la potencia del motor (en este caso constante) será:

Pot = F . v

Haciendo números...

Pot = m . g . ω . R

Pot = 200 kg . 10 m/s² . 31,4 s-1 . 0,2 m

Pot = 12.560 W

Nota: acordate que tenés que trabajar todas las magnitudes en el mismo sistema de unidades... en particular:

300 rpm = 31,4 s-1

Si no te acordás cómo scrutimórfolis se hacía este pasaje de unidades, acá te lo recuerdo.

DESAFIO: ¿Cómo harías para subir la caja si el motor con el que contás es de sólo7.000 W?

1.12- Una grúa iza verticalmente una caja de caudales de 400 kg, que parte del reposo con aceleración constante durante 2 s, hasta alcanzar una velocidad de 2 m/s; prosigue con ella durante 5 s, para frenar luego y detenerse en otros 2 s.

a- Graficar la velocidad de la caja en función del tiempo.b- Graficar la fuerza que ejerce el cable, en función del tiempo.c- Graficar la potencia que desarrolla la fuerza que ejerce el cable, en función del tiempo.d- A partir de este último gráfico, determinar el trabajo que realiza dicha fuerza, y expresarlo en kWh. Comparar con el trabajo del peso.e- Determinar la potencia media desarrollada por el cable.f- Determinar la potencia máxima en todo el proceso.g- ¿Cuál debería ser la potencia mínima del motor de la grúa? (formular las hipótesis necesarias).

Lo primero que tenemos que hacer es aclarar el asunto de la fuerza de la grúa. Voy a llamarla F (verás que soy muy original) y ahí aparece, en el DCL.

Apliquemos la Ley de Newton (ΣF= m a)

F – P = m a

Y encontramos tres momentos: en el primero, (1), la aceleración apunta hacia arriba y vale 1 m/s²; en el segundo, (2), la aceleración vale 0; y en el tercero, (3), la aceleración vale – 1 m/s². Por lo tanto tendremos

F1 = 4.400 N

F2 = 4.000 N

F3 = 3.600 N

Esos resultados surgen de haber restado, en los tres caso la fuerza peso, que es constante y vale 4.000 N. Ahora sí podemos mostrar los gráficos y yo te los voy comentando al lado.

Aunque no nos lo piden, no me parece una mala costumbre hacer los tres grácifos cinemáticos en tandem como corresponde. En el superior, el de posición, podés ver claramente el tipo de desplazamiento de cada tramo.

El de velocidad te muestra la trepada hasta 2m/s, luego esa velocidad constante durante cinco segundos y finalmete el descenso de velocidad hasta detenerse.

La aceleración -con sus saltos típicos- son los que te señalé más arriba y que definen las características dinámicas de cada tramo.

Las fuerzas que hace la grúa en cada tramo. Fijate que sólo representé la fuerza de la grúa... que si hubiese representado la fuerza resultante, ΣF, el gráfico debería quedar semejante (proporcional) al de aceleración.

Por último nos piden el gráfico de las potencias. Como la fuerza es constante dentro de cada tramo, el gráfico de potencia debe "copiar" al de velocidad, ya que la potencia instantánea (podés calcularla instante por instante) es:

Pot = F . v

La escala es arbitraria y los valores están consignados en kW.

Ahora fijate las áreas que coloreé en verde, amarillo y celeste. Representan los trabajos de las fuerzas en cada tramo (anecdóticamente, el asunto viene de que el trabajo resulta de integrar en el tiempo la función potencia), de modo que:

L1 = 8.800 J

L2 = 40.000 J

L3 = 7.200 J

Y el trabajo total es la suma del trabajo en cada tramo.

LT = 56.000 J

Si a este trabajo total lo dividimos por el intervalo total del movimiento, obtenemos la potencia media:

Pot = LT / ΔtT = 6,2 kW

El máximo valor para la potencia te lo marqué con una flechita en el gráfico correspondiente.1.14- La potencia del motor de un vehículo le alcanza para subir por una pendiente de 60° con una velocidad de 10 km/h. Si subiera por otrapendiente de 30°, sin modificar la velocidad, ¿en qué porcentaje disminuiría la potencia?

a) 13% b) 30% c) 42% d) 50% e) 58% f) 87%

El problema éste, ya lo vas a ver, es muy, pero muy sencillo. Sin embargo esta lleno de dificultades y suele catalogarse entre los "tramposos". Si te interesa, acá hablo un cacho sobre los exámenes con ejercicios tramposos.

La primer consideración, el primer vistazo general, que va a guiar la resolución del problema es la siguiente. Nos preguntan por una potencia. Hay básicamente dos formas de calcular una potencia, y son a) obtener la cantidad total de energía que se entrega y dividirla por el intervalo en que dicho intercambio ocurre y b) multiplicar el módulo de la fuerza por la velocidad que ésta produce. Queda claro que la nuestra es la segunda opción, con una velocidad de 10 km/h.

Lógicamente, si hablamos de fuerza necesariamente tenemos que hacer un DCL. Acá está.

Ya sé, no me digas... no aparece F la fuerza del motor. Bueno mirá la fuerza que hace el auto con su motor está aplicada sobre el pavimento, de modo que en el DCL del auto no puede verse. Pero es el par de interacción del rozamiento, Roz, ésa es entonces, la fuerza que nos interesa. No voy a ahondar mucho más en este asunto de la fuerza. Seguí ahora con este problema y después podés ver en otro lado una discusión sobre "la fuerza del motor".

Acá se ve claramente que para que el auto suba a velocidad constante (el enunciado no lo dice explícitamente pero se desprende del contexto) la fuerza de rozamiento (la del motor, F) tiene que ser igual a...

F = Roz

Roz = Px

Px = P sen 600

Luego

Pot60 = P sen 600 . v

Ahora resulta que nuestro autito sube por una pendiente más suave y a la misma velocidad. Lógicamente estará exigiendo mucho menos de su motor, que entonces, le entregará menos potencia, ya que le están pidiendo menos.

Cuánto menos. Ok, la fuerza que hace ahora el motor es

Px = P sen 300

y como la hace con la misma velocidad

Pot30 = P sen 300 . v

me parece que va a alcanzar con que comparemos ambas potencias y ya.

Pot30 / Pot60 =

= P sen 300 . v / P sen 600 . v =

= sen 300 / sen 600 = 0,58

O sea que la potencia en la pendiente suave es el 58 % de la potencia en la pendiente empinada. Justo 58% es una de las respuestas posibles... pero fijate que la pregunta precisa del enunciado fue ¿en qué porcentaje disminuiría la potencia? no ¿a qué porcentaje disminuiría la potencia?, no "a" sino "en" ¿captás la diferencia? de modo que la disminución es la diferencia con el 100% que representa la primera potencia.

ΔPot% = 42 % respuesta c)

Esta sutieleza, en un No me salen, es anecdótica. En un examen de respuesta múltiple puede significar un potencial suicidio.

Adicional No me salen E6* - Un cuerpo de 2 kilogramos, inicialmente quieto sobre una superficie horizontal, comienza a moverse. Cuando se encuentra a 10 metros de su posición inicial se mueve a razón de 4 m/s. Para este movimiento:

a)Realizar un gráfico de la fuerza resultante en función de la posición, que corresponda a una fuerza no constante, que varíe linealmente con la posición.

b)Si la fuerza resultante hubiese sido constante, ¿cuál hubiera sido la aceleración?

* Este ejercicio se tomó en un 1er. examen parcial en Ciudad Universitaria en mayo de 2008. Es muy interesante sobre todo en un aspecto: muestra un error súmamente común, muchas veces alimentado por los profesores de Física.

Se trata de lo siguiente: cada vez que un estudiante enfrenta un ejercicio en el que hay un móvil cuya velocidad cambia... supone que esa variación es uniforme; asume automática y erróneamente que se trata de un MRUV. Parte de la culpa la tenemos los profesores que -sobre todo durante la ejercitación del MRUV- no siempre aclaramos qué tipo de movimiento está realizando un móvil y les hacemos asumir (?) que se trata de un movimiento con aceleración constante.

Por otro lado, en el ítem a) de este ejercicio hay claros indicios de que no se trata de un MRUV. Su enunciado dice que la resultante es una fuerza no constante... por lo tanto ¡la aceleración tampoco puede ser constante! Si así no fuese tendríamos que tirar la Segunda Ley de la Dinámica a la basura:

FRes = m . a

Y no es el caso. No solamente nos dicen que se trata de una fuerza no constante... también nos cuentan que varía linealmente con la posición. O sea: su gráfica respecto de la posición debe ser una recta.

En particular una recta cualquiera que deje un área bajo la curva (en el desplazamiento de los 10 metros) igual al trabajo realizado por la resultante en ese desplazamiento.

Ese trabajo es fácil de calcular, ya que contamos con el Teorema del Trabajo de la Resultante:

WRes = ΔEcin

Siendo inmediato el cálculo de la variación de energía cinética ya que la masa del cuerpo es dato y las velocidades en los extremos del intervalo también. Acá va:

WRes = ECF — ECO

WRes = ECF

WRes = ½ m vF²

WRes = ½ 2 kg . 16 m²/s²

WRes = 16 J

De modo que cualquier gráfico de una recta que genere un área de 16 J era apropiada para representar la fuerza resultante.

Te representé tres cualesquiera entre los infinitos posibles. Uno de ellos -incluso- con una fuerza en disminución. Cuando tomamos este ejercicio hubo aproximadamente un 5% de respuestas correctas (¡una sóla de cada veinte!), y en todas ellas adoptaron el modelo de arriba... ¡que justamente es el menos indicado! (En el desafío te lo explico).

El enunciado del ítem b) sirve de refuerzo acerca del concepto anterior, porque nos vuelven a recordar que la fuerza resultante que actuó antes no era constante. Ahora nos preguntan... y si hubiese sido constante... ¿cuánto habría valido la aceleración?

Su misma redacción aclara los tantos: si hay (y sólo si hay) una fuerza constante... hay una acelercación constante... y hay un MRUV, que vos podés plantear. Ahí vamos:

Δx = ½ a Δt2

vF = a Δt

de la segunda despejo Δt y lo que da lo meto en la primera.

Δx = ½ vF2 / a

De acá despejo a y la calculo:

a = ½ vF2 / Δx

a = ½ 16 m²/s² / 10 m

a = 0,8 m/s²

Ad.NMS 18*: Una grúa eleva verticalmente un objeto de 500 kg desde el reposo hasta que su velocidad es de 20 m/s, lo que ocurre 100 metros más arriba. El módulo de la fuerza media que aplicó la grúa es: a) 5.000 N b) 6.000 N c) 1.100 N d) 11.000 N e) 1.000 N f) 600 N

* Este ejercicio fue parte del primer examen parcial de Biofísica tomado el 8-may-2012

Este ejercicio se puede resolver de dos maneras diferentes. La primera usa consideraciones de dinámica y cinemática (y tenés un ejemplo casi idéntico acá). La segunda utiliza una ley de conservación, y es el método rápido y seguro que voy a utilizar ahora.

Llamemos 0 a la posición de abajo y 1 a la posición de arriba, en la que el objeto tiene una velocidad de 20 m/s.

Sobre el objeto actúan dos fuerzas, nada más: el peso, P, y la que hace la grúa, F. Espero que te quede claro que la fuerza peso es conservativa (no gasta nada) y la fuerza que hace la grúa, F, es no-conservativa (la grua, sin gasoil, no levanta una mosca).

Wno-c = ΔEM

WF = EM1 – EM0

La energía mecánica en 0, EM0, es nula, porque vamos a tomar el cero de las alturas en ese lugar, y porque la velocidad del objeto en esa posición vale cero.

F . Δy . cos α = ½ m v1² + m g Δy

α vale 0º, y su coseno 1 (ya que la fuerza apunta en la misma dirección y sentido que el desplazamiento); la variación de altura, Δy, es un dato del enunciado lo mismo que la masa, de modo que el asunto nos queda así:

F = (½ m v1² / Δy) + m g

F = (½ 500 kg 400 m²/s² / 100 m) + 500 kg 10 m/s²

F = 6.000 N

Adicional NMS 20* - Un hombre empuja horizontalmente una caja de 30,0 kg una distancia de 4,50 m sobre un piso horizontal con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento cinético entre el piso y la caja es de 0,25.

a) ¿Qué magnitud de fuerza debe aplicar el hombre?b) ¿Cuánto trabajo realiza sobre la caja?

c) ¿Cuánto trabajo efectúa la fuerza de fricción sobre la caja?d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de apoyo?e) ¿Cuánto trabajo realiza el peso?f) ¿qué trabajo total se efectúa sobre la caja?Este ejercicio es muy sencillo, y lo desarrollo fundamentalmente para mostrarte una de las propiedades más interesantes del trabajo.

Según la descripción que hace el enunciado, sobre la caja están actuando cuatro fuerzas: la fuerza que realiza el hombre, FH; la fuerza de fricción, Roz; la fuerza de apoyo, A; la fuerza peso, P.

La primera pregunta es una cuestión pura de dinámica. Para que la caja se mueva a velocidad constante el hombre debe realizar una fuerza igual y contraria a la fuerza de rozamiento.

Para no equivocarnos hacemos un DCL, elegimos un SR y planteamos las ecuaciones de Newton.

FH — Roz = 0

A — P = 0

Por suerte conocemos la naturaleza de las fuerzas de rozamiento y sabemos que es igual al producto entre el coeficiente de rozamiento dinámica y la fuerza que comprime las superficies en rozamiento:

Roz = μd . A

Roz = 0,25 . 300 N

Roz = 75 N

De donde:

FH = 75 N

Las preguntas siguientes son sencillos cálculos de trabajo. Empecemos con el trabajo de la fuerza que hace el hombre.

WFH = FH . Δx . cos αF

donde αF es el ángulo que forman la fuerza que hace el hombre con el desplazamiento, que vale 0º

WFH = 75 N . 4,5 m . 1

este planteo del trabajopodemos

realizarlo ya que la fuerza

es constante

WFH = 337,5 J

El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento valdrá:

WRoz = Roz . Δx . cos αR

donde αR es el ángulo que forman la fuerza de rozamiento con el desplazamiento, que vale 180º

WRoz = 75 N . 4,5 m . (-1)

WRoz = — 337,5 J

El trabajo que realiza la fuerza peso valdrá:

WP = P . Δx . cos αP

donde αP es el ángulo que forman la fuerza peso con el desplazamiento, que vale 90º

WP = 300 N . 4,5 m . 0

WP = 0 J

Por último, el trabajo que realiza la fuerza de apoyo valdrá:

WA = P . Δx . cos αP

donde αA es el ángulo que forman la fuerza de apoyo con el desplazamiento, que vale90º

WA = 300 N . 4,5 m . 0

WA = 0 J

La propiedad que quería mostrarte es la siguiente: la suma de todos los trabajos de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al trabajo de la resultante WRes, que no es otra cosa que el trabajo total que pregunta el enunciado.

WRes = WFH + WRoz + WP + WA

WRes = 337,5 J + (— 337,5 J) + 0 J + 0 J

Wres = 0 J

ENERGIA MECANICA

2.1- El forzudo Igor levanta una pesa de 200 kg por encima de su cabeza, desde el suelo hasta una altura de 2 m.a- Hallar el trabajo que realiza la fuerza peso de la misma, en el ascenso.b- ¿La fuerza que ejerce Igor es constante? Hallar el trabajo que realiza esta fuerza. (Sugerencia: tener en cuenta que las velocidades inicial y final de la pesa son nulas).

c- Calcular el trabajo que realiza Igor al mantener a la pesa en esa posición durante 10 segundos.d- Desde la posición anterior, hace descender a la pesa hasta su pecho, quedando a 1,2 m sobre el suelo. Hallar el trabajo que realiza la fuerza peso de la misma, en el descenso.e- ¿Qué trabajo habría realizado la fuerza peso, si Igor hubiera levantado la pesa desde el piso sólo hasta su pecho? Comparar con la suma de los trabajos hallados en a y en d.

Ay... qué difícil (si todos los ejercicios de energía mecánica van a ser como éste... este tema es una papa).

Ya sé... vos te imaginabas a Igor más corpulento y musculoso, ¿no?

OK. Comparemos los instantes A y Benergéticamente. El trabajo de la fuerza peso siempre es igual a menos la variación de energía potencial gravitatoria:

WP,AB = — (EP,B — EP,A )

Simplifiquemos un poco la cosa:

WP,AB = EP,A — EP,B

WP,AB = m g hA — m g hB

Si fijamos (arbitrariamente) el cero de las alturas en el piso (hA = 0), nos queda:

WP,AB = — m g hB

WP,AB = — 200 kg 10 m/s² 2 m

WP,AB = — 4.000 J a-

Es lógico que se trate de un trabajo negativo ya que el peso apunta para abajo y el desplazamiento es hacia arriba. El ángulo entre ambos vectores es

b- ¿La fuerza que ejerce Igor es constante? Hallar el trabajo que realiza esta fuerza. (Sugerencia: tener en cuenta que las velocidades inicial y final de la pesa son nulas).

Esa primera pregunta es muy interesante. No sabemos si la fuerza que hace Igor es constante o no. De todos modos no interesa. Si esa fuerza fuese constante caerías en la tentación de aplicar la definición de trabajo para fuerzas constantes:


pero no lo sabemos. De hecho, es muy improbable que lo sea: cualquiera que haya visto a un levantador de pesas se da cuenta que no lo es. Hay momentos en que el levantador hace enormes esfuerzos, momentos en que utiliza la inercia del las pesas para seguir elevándolas, en los que sus fuerzas son menores... etcétera.

Pero si admitimos que la fuerza de Igor es la única no conservativa que actúa sobre las pesas (otra dato intuitivo pero crucial), entonces utilizamos el teorema principal:

WNC = ΔEM

Dijimos: la única no conservativa es la de Igor (la de la pregunta, F), y además no hay energía cinética ni abajo ni arriba. Luego:

WF = EMB — EMA

WF = EPB — EPA

WF = m g hB — m g hA

WF = m g hB

WP,AB = 4.000 J b-

Vamos a la c- (es una tontería):

c- Calcular el trabajo que realiza Igor al mantener a la pesa en esa posición durante 10 segundos.

Acordate: para que exista trabajo debe haber desplazamiento. En este caso no hay desplazamiento por lo tanto el trabajo de Igor durante esos 10 segundos interminables es cero.

WF(10s) = 0 J c-

No se lo vayas a decir a Igor, porque lo más probable es que no te crea. El pobre ha transpirado más en esos 10 segundos que el breve intervalo del levantamiento. O, si se lo decís... recordale que

Bueno... ya es suficiente, así que te dejo las preguntas restante para vos en el desafío. No hay cosas nuevas, excepto la última pregunta, cuyo resultado te imaginás, y que tiene un significado relevante.

2.2- Calcular el trabajo que realiza la fuerza elástica en el resorte del problema 1.10 al comprimirlo desde su posición original hasta la mitad de ésta (Posición B). Comparar con la suma de los trabajos calculados en dicho problema. ¿Es conservativa la fuerza elástica? ¿De qué modo puede hallarse el trabajo de la fuerza elástica, sin necesidad de evaluar el área bajo la gráfica fuerza-elongación?

Supongamos que tenés presente al ejercicio 1.10 (en caso contrario andá y pegale un vistazo, yo te espero). En aquel caso hicimos el cálculo de los trabajos (área y variación de energía potencial elástica.

Empecemos con un esquema para que entres en órbita: Tenemos un resorte cuya longitud natural -sin estirar ni comprimir- es de 0,8 m (figura superior). Tomamos como referencia la posición de la espira extrema derecha (con perdón de la palabra), 0.

Se lo comprime hasta la mitad de su longitud, B. Y al estar comprimido (durante todo el trayecto) aparece la fuerza elástica, representada por una flecha verde.

El trabajo realizado por ésa fuerza elástica es igual a menos la variación de energía potencial elástica. En símbolos:

W0B = — (ΔEPe0B)

W0B = — (EPeB — EPe0)

W0B = EPe0 — EPeB

W0B = ½ k Δx0² — ½ k ΔxB²

La deformación en 0, Δx0, es nula, y el valor de la constante es 500 N/m (dato del ejercicio 1.10), de modo que la expresión se resume a:

W0B = — ½ 500 N/m . (0,4 m)²

W0B = — 40 J

Fijate que el enunciado del ejercicio pregunta sobre el trabajo de la fuerza elástica, o sea, el trabajo que realiza el elástico. Si preguntar por el trabajo que hace una fuerza externa para comprimir el elástico, el módulo del trabajo valdría lo mismo,

Si lo resolvemos por la vía geométrica (integración de área)...

Para este ejercicio hubiera sido mejor utilizar un gráfico orientado al revés que éste, pero prioricé utilizar el mismo que el del ejercicio 1.10. Tené en cuenta que el desplazamiento es contrario al sentido de las equis (por lo tanto es negativo) y la fuerza elástica es contraria, positiva. (El ángulo que forma fuerza y desplazamiento es 180º). El área (se trata de un simple triángulo) representa el trabajo que estamos buscando.

2.3- Determinar el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento que actúa sobre un cuerpo de 20 kg, al desplazarlo desde el punto A hasta el B del esquema (vista desde arriba de las trayectorias) tirando de él con una cuerda paralelamente a la superficie horizontal donde está apoyado, si el coeficiente respectivo es μd= 0,4:

a- Por el camino directo (1)b- Pasando previamente por C (Camino 2)c- Por la semicircunferencia ADB (Camino 3)d- ¿Es conservativa la fuerza de rozamiento?e- Hallar el trabajo que realiza la fuerza que ejerce la cuerda en cada caso, suponiendo que el objeto se desplaza con velocidad de módulo constante.

En la sección de energía no hay otro ejercicio más pavo. Sin embargo los estudiantes lo miran de lejos, de reojo... y se alejan como de un bicho sarnoso. ¿Hiciste ése?, les pregunto. No profe... es muy complicado: un plano inclinado, una colina... ¿Un quéee? Andá y volvé a leer el enunciado, plano inclinado...

a lo que dice el enunciado!

Todo transurre en un plano horizontal en el piso: el esquema que acompaña al enunciado representa una vista aérea, una vista cenital, como si fuera de Google Earth. Te lo voy representar de nuevo para que te quede más claro:

La segunda ley de la dinámica nos asegura que la fuerza que comprime la superficie del objeto con el piso, es igual a su peso: 200 N, de modo que la fuerza de rozamiento vale:

Roz = μ . P = 0,4 . 200 N = 80 N

Calcular sus trabajos es juego de niños (de 6 a 9 años y medio).

WRozAB = Roz ΔxAB cos 180º

WRozAB = — 80 N . 10 m

WRozABa = — 800 J a)

WRozACB = WRozAC + WRozCB =

WRozACB = Roz ΔxAC cos 180º + Roz ΔxCB cos 180º =

WRozACB = — 80 N . 6 m — 80 N . 8 m =

WRozACB = — 1.120 J b)

Para el cálculo por la trayectoria curva alcanza con conocer su extensión, porque el resto de las variables que interesan para el cálculo del trabajo no cambia: el ángulo de la fuerza con el desplazamiento es siempre el mismo (lo dibujé en dos posiciones diferentes en los esquemas, para que te saques las dudas). El hecho de que el desplazamiento sea curvilíneo tampoco es problema. Eso lo discuto al final, ¿ok?

El largo de una semicircunferencia es igual a 3,14 veces el radio de la circunferencia. Y eso en nuestro caso da: 15,7 metros.

WRozADB = Roz ΔsADB cos 180º

WRozADB = — 80 N . 15,7 m

WRozADB = — 1.257 J c)

Vos sabés casi religiosamente que la fuerza de rozamiento no es conservativa. De hecho es una de las fuerzas no-conservativasdesde el puntoA hasta el B. El trabajo del rozamiento en las tres transformaciones fue diferente, ergo, no puede tratarse de una fuerza conservativa.

Se trata de uno de los criterios utilizados para discriminar entre los tipos de fuerzas: conservativas o no-conservativas. Si el trabajo que realiza una fuerza entre dos estados diferentes de un objeto o sistema es el mismo, independientemente de cuál haya sido la trayectoria, entonces se trata de una fuerza conservativa. Y viceversa.

Con la última pregunta no pienso ayudarte mucho. La fuerza que arrastra al objeto debe ser igual y contraria al rozamiento. Eso lo garantiza el hecho de que el cuerpo se mueve a velocidad constante. Por lo tanto sus trabajos deben ser iguales y contrarios a los que calculamos para el rozamiento. Obviamente se trata de otra fuerza no-conservativa.

DISCUSION: Si no tuviste inconveniente el averiguar el trabajo total desde A hasta Bpor la trayectoria quebrada, pasando porpequeños segmentos rectos, tan pequeños que de lejos no parezca una sucesión de segmentos rectos sino una semicircunferencia suave y redonda. Como los segmentos deben ser muy pequeños la suma de todos ellos debe ser muy larga. Los científicos llamamos a esas largas sumas:sentimos poderosos.

DESAFIO: ¿Cuánto vale el trabajo de la fuerza peso en cada recorrido?

2.4- Un Joule es aproximadamente el trabajo necesario para elevar una manzana grande una altura de 50 cm. Discutir esta afirmación. Una manzana de 200 g proporciona al ingerirla unas 100 cal (418 J). Nuestros músculos transforman en trabajo mecánico sólo un 20% de la energía asimilada. ¿Se podrá levantar una bolsa conteniendo 50 manzanas hasta 2 m de altura, ingiriendo solamente una de ellas y manteniendo constantes las reservas del organismo? ¿Hasta qué altura se podría llegar?

Perdón, pero... ¿discutirla con quién? te explico: discutirla con vos mismo. O sea, los que estamos en la Física nos creemos que todos los demás son tan locos y autistas como nosotros. Que nos la pasamos discutiendo asuntos con nosotros mismos (cada uno con sigo mismo)...que acá te piden que discutas una afirmación... ¡y no hay tal cosa que discutir! Sencillamente, hay que dar por ciertas las dos afirmaciones, y responder las preguntas.

Ahora vamos a ver qué pueden hacer nuestros músculos con esa energía. Si cada manzana pesa 200 gr, 50 manzanas poseen un peso de

Ep = m . g . h = 10 kg . 10 m/s² . 2 m

Ep = 200 J

Ep < Em, no alcanza

La altura máxima a la que podríamos levantar las 50 manzanas sin usar una gota más de la energía disponible al comer una de ellas, es

Em = Ep' = m . g . h' = 84 J

De ahí despejamos esa altura incógnita y obtenemos:

h' = Em / m . g

h' = 84 J /10 kg . 10 m/s²

h' = 0,84 m

En realidad un poquito más, porque no son 50 manzanas: son 49, porque una nos la comimos, leé bien el enunciado.

DISCUSION: Si las manzanas acumulan energía al estar más elevada... ¿Será más energético comer manzanas en la terraza que en la vereda?

DESAFIO: ¿Cuánto valdrá la "densidad calórica" de la manzana?

2.5- La figura representa la ladera de una montaña, por la que se desliza con rozamiento despreciable un esquiador de 80 kg. Se sabe que pasa por el punto A con una velocidad de 5 m/s, y pasa por el punto C con una velocidad de 10 m/s.Determinar la energía potencial gravitatoria, la energía cinética y la energía mecánica del esquiador en los puntos indicados. Hallar la distancia que necesitará para detenerse en la planicie horizontal, si a partir del punto G actúa una fuerza de rozamiento cuya intensidad constante es 500 N.

Este es un ejercicio archi-típico de los que los físicos y profesores de física llamamos:ejercicios de montaña rusa, creo que no hace falta que explique por qué. La idea general es que vincules -elegir para la comparación algún estado en que puedas conocer el valor de la energía mecánica, en nuestro caso el punto C

Fui volcando toda la información en una tabla. Eso nos va a permitir ordenar la búsqueda y la obtención de información. Las energías potenciales y las cinéticas las calculé así, para cada altura y cada velocidad de cada posición cualesquiera (

EPN= m g hN

ECN = ½ m vN²

Fijate si coincidís conmigo en los valores que consigné en la tabla.

A B C D

h (m) 7 9 3

EP (kJ) 5,6 7,2 2,4

v (m/s) 5 10

EC (kJ) 1 4

EM (kJ) 11,2

Desde A hasta G el viaje es conservativo; eso quiere decir que aunque la altura (y por lo tanto la energía potencial) y la velocidad (la energía cinética) varíen... la energía mecánica se mantiene constante.

A B C D

h (m) 7 9 3

EP (kJ) 5,6 7,2 2,4

v (m/s) 5 10

EC (kJ) 1 4

EM (kJ) 11,2 11,2 11,2 11,2

Conociendo el valor de la energía mecánica y alguna de sus componentes (cinética o potencial se puede conocer la otra). Te muestro dos ejemplos:

EPA = EMA — ECA = 11,2 kJ — 1 kJ = 10,2 kJ

ECB = EMA — EPB = 11,2 kJ — 5,6 kJ = 5,6 kJ

A B C D E G H

h (m) 12,75 7 9 3 7 5 5

EP (kJ) 10,2 5,6 7,2 2,4 5,6 4 4

v (m/s) 5 11,8 10 14,8 11,8 13,4 0

EC (kJ) 1 5,6 4 8,8 5,6 7,2 0

EM (kJ) 11,2 11,2 11,2 11,2 11,2 11,2 4

Finalmente, te darás cuenta que entre el punto G y el H, el esquiador pierde (a manos del trabajo del rozamiento) 7,2 kJ. No te compadezcas del esquiador que lo hace a propósito colocando sus esquíes en forma de cuña, para no estrolarse contra el resto de los turistas. Lo cierto es que sabiendo que el planteo de esa variación de energía nos permite encontrar la distancia GH, ΔXGH.

ΔEMGH = WRozGH

EMH — EMG = Roz . ΔXGH . cos 180º

— 7,2 kJ = — 500 N . ΔXGH

ΔXGH = 14,4 m

Para terminar... mirá lo que te traje. Un gráfico de energía a lo largo del recorrido. Analizalo y aprovechalo, mirá que me llevó como media hora hacerlo.

DISCUSION: Los resultados impresos en la guía difieren de los que yo obtuve. El motivo es que eligieron (y lo consignaron) un nivel cero para las alturas diferente del que utilicé yo. El nuestro fue inducido por los datos del enunciado, y me imagino que es el mismo que hubieras elegido vos. Pero la elección de los autores de la guía que pusieron el cero en el nivel de G y H conlleva una enseñanza importante: los valores de las energías son relativos. Así y todo las alturas relativas y las velocidades coinciden con las nuestras... y eso es independiente del

DESAFIO: ¿Rehacé el ejercicio tomando como nivel cero al de G y H? Hacé un gráfico de energías en función de la altura para el tramo

2.6- Un cuerpo desliza cuesta abajo con velocidad constante en una pendiente. Represente gráficamente la energía cinética, potencial y mecánica en función del tiempo. Represente gráficamente la energía cinética, potencial y mecánica en función de la altura.

No hay una versión única para los gráficos que pide este ejercicio. Para más precisiones: hay infinitas. No nos dan valores, no sabemos la masa de cuerpo, ni su velocidad ni cúanto vale la diferencia de alura entre el inicio y el final de la pendiente... ni siquiera dónde quieren que pongamos el cero de las alturas.

Aunque nada de todo eso podemos calcular y podemos decidir arbitrariamente, hay varias reglas que se cumplen inexorablemente: la más importante es que la energía mecánica (EM) siempre es suma de la energía cinética (EC) más la energía potencial (EP). Eso te obliga a hacer los gráficos de determinada manera y no de otra. También tendrás que considerar que a mayor altura, mayor EP. Ahí no hay elección. Y que velocidad constante implica EC constante.

En fin... te hice 4 pares de gráficos posibles. Tu tarea es entenderlos, por qué los hice como los hice y qué consideraciones tomé para hacer cada par.

Fundamentalmente lo que varié entre cada par posible es dónde coloqué el cero de las alturas. Pero también varié alguna otra cosita que puede cambiar la pinta general del gráfico.

Es interesante destacar que en el gráfico en función de la altura se pierde la información dinámica del asunto. El gráfico no dice si el cuerpo sube o baja, sólo te dice que se mueve con velocidad constante. Un cuerpo subiendo con velocidad constante tendría el mismo gráfico E-h. Qué me contás...

2.7- Una cinta transportadora hace subir cajas a velocidad constante por una pendiente inclinada 35° respecto la horizontal. Durante este proceso...

La energía mecánica de las cajas:

a) disminuye;b) aumenta;c) permanece constante.

La fuerza de rozamiento:

a) le quita energía;b) le agrega energía;c) no influye.

Supongo que tenés una buena idea de lo que es una cinta transporadora (en este caso elevadora) que es común verla actuar en el estibaje, o en la carga y descarga de camiones. Acá te hice un esquemita:

La energía mecánica de las cajas aumenta

Efectivamente, la fuerza de rozamiento es no conservativa, de modo que puede hacer variar la energía mecánica. En este caso la aumenta... y por si te cabe alguna duda se hace fácil ver que forma un ángulo de cero grados con el desplazamiento, de modo que realiza un trabajo positivo... o sea aumentando la energía mecánica de las cajas.

La fuerza de rozamiento le agrega energía

Discusión: Este es un típico -y aleccionador- caso en el que la fuerza de rozamiento es la responsable de hacer avanzar a las cajas (contrariamente al clamor popular de que el rozamiento se opone al movimiento). Es gracias al rozamiento, y no a pesar del rozamiento que las cajas suben. Si te cabe alguna duda... imaginá qué pasaría si hecháramos aceite sobre la cinta.

DESAFIO: ¿De dónde sale la energía que el rozamiento le aporta a las ca

2.8- Se levanta un cuerpo de masa m a una altura h con velocidad constante y luego se lo deja caer libremente desde el reposo.Grafique la energía potencial, cinética y mecánica del cuerpo en función de su altura y del tiempo.

Los gráficos en función de la altura tienen que ser necesariamente dos. Ya que el cuerpo sube con un tipo de movimiento y baja con otro, de modo que para cada altura hay dos valores de función (no sería una función si tratase de considerar los dos movimiento como uno solo). A la izquierda representé el S.R. desde el cual considero los movimientos, eso sí, debe ser el mismo para ambos (por principios religiosos).

Abajo te puse una lista de destacados, estoy seguro que no está agotada. Mandame por mail aquellas observaciones que se te ocurran y quieras compartir con los demás lectores.

1. Los dos gráficos de altura tienen la misma escala, el de tiempo otra diferente ya que representan (el eje de ordenadas) magnitudes diferentes.2. Algo que a tus compañeros les cuesta mucho entender es cómo leer el segundo gráfico si de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, porque claro el cuerpo se mueve desde el punto más alto hacia el más bajo. La respuesta es así: la pregunta no tiene sentido. Los gráficos no tienen una dirección de lectura,

leelo el la dirección que se te cante, o salteado, o por partes, o en ambas direcciones, o a golpe de vista simultáneo. Los gráficos son almacenes de información donde la mercadería está guardada y no se mueve, la información esta quieta y dispuesta a que vos la leas cuando quieras y en orden que quieras. En fin... meditalo. Creo que cuento algo más sobre esta cuestión espinosa en el apunte gráficos.

3. El valor relativo de la energía cinética (EC) inicial respecto de la energía potencia (EP) o la energía mecánica (EM) fue arbitrario, porque el enunciado no ofrece pistas ni datos para evaluar eso. Podría haberle dado un valor más alto, que fuese siempre mayor que la EP y sus gráficas no se cruzaran, pero elegí así,

arbitrariamente, vaya a saber por qué.4. La EM siempre es suma de la EC más la EP (si no entendés qué es la suma de funciones, gráficamente hablando no sigas, hay una explicación en un recuadro amarillo en el5. Supuse (el problema no es suficientemente claro en ese aspecto) que cuando el cuerpo llega a B, su posición más alta, se detiene antes de ser soltado. Por eso la segunda etapa, la de bajada la empiezo con EC igual a cero. Queda para vos como desafío hacer el empalme de este modo:

mientras conserva todavía la velocidad con la que realizó el ascenso(se lo suelta sin frenarlo).6. En el gráfico de energía en la bajada en función del tiempo es fácil predecir la curva de EP = f(t), ya que es pariente cercana de una función que estudiaste en profundidad en MRUV, precisamente caída libre,

conservativa, o sea EM es una constante. La EC no es tan fácil de predecir, pero conociendo previamente las otras dos, podemos construirla por diferencia. Alcanza con dibujar una curva simétrica en torno a un eje de simetría horizontal que pasa por EM/2.

DESAFIO: Construir nuevamente los tres gráficos pero incluyendo el dato

.9- Graficar en forma aproximada la energía cinética, potencial y mecánica en función del tiempo de un péndulo ideal oscilando (muestre al menos dos oscilaciones completas). Indique las condiciones iniciales que aparecen en su gráfico.

Ok, lo hice. Pero no sólo hay que hacerlo, hay que analizarlo, desmenuzarlo, masticarlo... Vamos juntos.

Casi siempre que te pidamos un grafico de energías es para que las grafiques todas juntas en un mismo espacio E-t o E-y o algún otro. Pero tiene mucho sentido hacerlos juntos. Así puede verse que la energía mecánica (EM), por ejemplo es la suma de la energía cinética (EC) más la energía potencial (EP), cosa que si las graficaras por separado no podría apreciarse.

Es muy importante que entiendas el mecanismo de la suma gráfica, si no... no sigas adelante. En el recuadro siguiente trato de explicarlo, si no lo necesitás saltealo.

Suponete que la línea verde (EM) esta en el valor 100. Si le asignás un valor a la línea roja (EP) y otro a la linea azul (EC) para el mismo instante verás que esos tres valores se relacionan así: EP + EC = EM. Por ejemplo mirá la primera línea de puntos, representa un instante en el que EC=0, EP=100 y EM=100 (se cumple la igualdad de la suma). Mirá, por ejemplo los puntos donde se cruzan las gráficas de EC y EP; en ese punto ambas valen lo mismo (obvio) y ese valor debe ser 50, ya que sólo 50 por 2 es 100. Y así en todos los instantes. Mirá el último representado, el que esta justo arriba de la flechita y la t. EC=40 (más o menos), EP=60 (más o menos), luego EC + EP = 100 EP y EC son curvas absolutamente simétricas respecto de un eje horizontal de valor 50.

La EM es constante porque se trata de un péndulo ideal, De no ser así, tendría una pequeñna pendiente (no necesariamente constante) y asintótica a cero. EP y EC son curvas llamadas senusoides (por la gráfica de la función seno) ya que el péndulo y todos los movimientos armónicos simples (así se llaman) se describen con funciones senoidales.

Arriba te indiqué a qué posición de la masa se corresponden algunos instantes notables. El resto se repite ya que se trata de un movimiento periódico.

2.10- Una caja de 30 kg es arrastrada en línea recta, apoyada sobre un plano horizontal, aplicándole una fuerza constante de 60 N. Determinarel coeficiente de rozamiento entre la caja y el plano, para que se desplace manteniendo constante su energía mecánica.La misma caja desciende por un plano inclinado 37°, donde el coeficiente de rozamiento es μd=0,25. Determinar qué fuerza paralela al plano la hará moverse con energía mecánica constante.

La primera parte del ejercicio es tan sencilla que me da cosa resolvértelo. Que funciones de precalentamiento. Vamos a ver el

El enunciado no lo dice... pero la fuerza constante de 60 N debe ser horizontal, F, si no, no habría forma de calcular el coeficiente de rozamiento. (En realidad podríamos tomarlo al pie de la letra y hallar el coeficiente en función del ángulo que F forme con el plano... aunque estoy casi seguro que no es ésa la intención del ejercicio, debe tratarse de una simple omisión).

Vamos a las ecuaciones de Newton a ver qué nos dicen.

ΣFx = m ax → F — Roz = 0

ΣFy = m ay → N — P = 0

y el rozamiento → Roz = μd . N

Di por supuesto que entendías que energía mecánica constante, en este contexto (en un plano horizontal no hay variación de altura ni, por ende, de energía potencial), significa energía cinética constante; o sea, velocidad constante, o sea... aceleración igual a cero.

Combinando las ecuaciones nos queda...

F = μd . m . g

μd = 60 N / 30 kg . 10 m/s²

μd = 0,2

Ahora sí, vamos a la segunda parte... que se pone más peluda (pero no mucho). Fijate que ahora la condición que nos ponen es que laAnalicemos elDCL.

¿Ya te diste cuenta? A mentalmente, me refiero. Yo sí, mirá: para que la energía mecánica sea constante el trabajo de todas las fuerzas no conservativas debe ser nulo. (No nula cada una de ellas, sino nula la suma de los trabajos de cada una).

Eso ocurriría si deslizase sin rozamiento ni ninguna otra fuerza que lo empuje ni lo retenga. Pero el rozamiento está, es un dato del ejercicio... Entonces... simplemente alcanzará con que el trabajo que haga F sea igual y contrario al que haga el rozamiento...

Pero como siempre actúan en los mismos desplazamientos, la fuerza F debe ser igual al rozamiento.

Pero hagamos de cuenta que no nos apiolamos... ¿cuál sería el planteo mecánico, correcto, tradicional, no-imaginativo, no clever, no-einstein, el democrático, el de Manolito, el nuestro...?

Wno-C = ΔEM

WRoz + WF = 0

Roz Δx cos 180º + F Δx cos 0º = 0

F Δx = Roz Δx

F = Roz

F = μd . N

F = μd . m . g . cos 37º

F = 0,25 . 30 kg . 10 m/s² . 0,8

F = 60 N

2.11- Una maquinaria de 2800 N de peso, es elevada a un camión de 1,2 m de altura mediante un plano inclinado de 3 m de longitud. Si se desprecian las fuerzas de roce, el trabajo realizado es de: a) 3360 J b) 336 J c) 8400 J d) 840 J e) ninguna de los anteriores

Qué lindo problema: fácil, recontra súper archi mega fácil... pero enormemente aleccionador. La cuestión es que hay unas 126 formas distintas, más o menos, de resolverlo. Si no estás familiarizado con las estrategias de leyes de conservación seguramente vas a resolver el problema por alguna vía larga y laboriosa. Si estás familiarizado, en cambio, sale en menos de un pestañeo.

Te propongo lo siguiente: yo lo resuelvo del modo más económico, pero vos después te tomás el trabajo de leer e interpretar toda la discusión que le sigue... ¿hacemos el trato?

Mirá el esquema:

Ahí está nuestro camioncito que tiene la caja a 1,2 m de altura. La maquinaria esta embalada en esa caja roja y el plano inclinado es ese tablón negro que mide 3 metros que los operarios llevan en la caja del camión y lo usan para subir cosas pesadas haciendo un trabajo por el que cobran su salario, con el que alimentan a sus hijos y le compran flores a... Perdón.

Mirá, te hice un DCL para aclarar la cuestión un poco más. Ahí figura el peso de la maquinaria, P, de 2800 N, 280 kgf, subir eso es un bardo. Pero también está N, que te podría decir que es "la parte del peso que se banca el tablón", y está F, que es la fuerza que tienen que hacer los operarios... y toda esa historia romántica que no me dejás contarte.

WFnc = ΔEM

La única fuerza no conservativa es la de los operarios, cuyo trabajo es el que le interesa al enunciado del problema, y la variación de energía mecánica es puramente potencial porque a los operarios no les interesa dejar el paquete en movimiento, sólo depositarlo arriba del camión. Luego

WF = ΔEPG

WF = m g Δh

WF = 280 kg 10 m/s² 1,2 m

WF = 3.360 J respuesta a)

DISCUSION: fijate que para resolver el problema no utilicé el dato de los 3 m del largo del tablón, ni el ángulo que forma con la horizontal, ni el valor de la fuerza F que hacen los operarios, ni el trabajo de esa fuerza como resultado de la definición operativa de trabajo... ni ningún otro cálculo de los 125 que podría haber planteado para resolver el asunto.

Si vos lo resolvés por otra vía está bien igual... es así como se aprende y se gana experiencia. Tal vez te surjan preguntas interesantes como... ¿y si ricuti lo resolvió sin utilizar los 3 m... será que el resultado no depende del largo del plano? Pregunta harto interesante. Cuya respuesta es NO, si el tablón hubiese sido de 2 metros el trabajo

hubiese sido el mismo. ¿Entonces para qué llevan un tablón tan largo?

Mirá bien el esquema, le agregué algunos detalles.

Cuanto más largo sea el tablón, menor será el ángulo que forma con la horizontal. Y también menor será la fuerza que tienen que hacer los operarios...

F = P sen α

(Subiendo la caja despacio, como corresponde)

Cuanto más largo sea el tablón de los operarios menor será la fuerza que tiene que hacer, más fácil será su trabajo. El plano inclinado es uno de los inventos de los que la humanidad debe sentirse más orgullosa, y generalmente lo ignora.

2.12- Un bloque de 6 kg que está en reposo, se deja caer desde una altura de 5 m por una rampa curva que finaliza en un tramo recto horizontal, como muestra la figura, para el que puede despreciarse el rozamiento en todo el viaje. En la cabecera hay un resorte, inicialmente no deformado,cuya constante elástica es 15000 N/m.

a- Determinar el desplazamiento máximo del extremo del resorte.b- Calcular la intensidad máxima de la fuerza que el resorte ejerce sobre la pared.c- Describir el movimiento del bloque.

La gran mayoría de los problemas de energía comienzan por elegir dos situaciones, dos estados, dos lo que quieras... pero dos. En este caso voy a llamarresorte.

Luedo de eligir los eventos, los comparamos energéticamente, y decimos

ΔEM = WFnc

Empecemos con el segundo término. En este problema no actúan fuerzas no-conservativas... no hay rozamiento y nada ni nadie empuja ni frena agregando ni quitando energía. Luego el segundo miembro vale cero.

ΔEMAB = 0

EMB — EMA = 0

EMB = EMA

ECB + EPGB + EPEB = ECA + EPGA + EPEA

Algunos términos se anulan, veamos: la energía cinética en A es cero pues el carrito se suelta desde ahí, eso es velocidad cero. La energía cinética enposición de abajo, entonces la energía potencial gravitatoria de B se hace cero. Sigamos, la energía potencial elástica en A

EPEB = EPGA

½ k Δx² = m g hA

Δx = ( 2 m g hA / k )½

Δx = 0,2 m

Lo que sigue es dinámica de la fuerza elástica. Una vez conocida la compresión máxima, la fuerza es (por la Ley de Hooke)

Fe = k Δx

Fe = 3.000 N

DISCUSION: Qué ocurrirá después de esa compresión máxima... y lógicamente, el carrito rebotará... y hasta dónde creés que trepará por la pendiente circular... y yo creo que hasta una altura de 5 m... y después qué hará... y volverá a caer, y comprimirá el resorte lo mismo que antes... y volverá a rebotar y a subir y a comprimir y a subir y... así hasta el infinitoooooooooo, y más alláaaaaaa. Porque justamente esta transformación es conservatiivaaaaaa... No te ilusiones, en nuestro universo no pasan esas cosas. No es posible anular completamente el rozamiento, y sólo es una aproximación que muchas veces nos resulta útil, nada más.

DESAFIO: ¿Qué cambiará si la constante elástica valiese 10 veces menos? ¿Qué pasaría si tomásemos el cero de las alturas 134,6 metros bajo el nivel de

2.13- Una caja de 30 kg se desliza por una superficie horizontal con rozamiento, cuyo coeficiente dinámico es resorte horizontal de masa despreciable, cuya constante es 7200 N/m y que inicialmente no posee deformación, al que comprime hasta detenerseen 0,5m. Determinar la velocidad de la caja al llegar al resorte, y la que tenía a 10 m de su extremo.

Mirá yo no sé contarte cómo resolver un problema sin hacerte un esquema, un dibujo, un algo... ¿me entendés? Ojalá a vos te pase lo mismo cuando le quieras contar cómo resolvés los problemas a tu docente en un examen... ¿me entendés? En el esquema aprovechamos y le ponemos nombre a las situaciones o eventos... y todos contentos. Te lo dije en broma, pero esta cuestión es un problema serio.

Acá va el esquema secuencial.

Todos los problemas de leyes de conservación se resuelven comparando dos estados o dos situaciones, llamalos como quieras... pero siempre de a dos. Cuáles dos, eso es cuestión de experiencia; dos cualesquiera, se puede, pero generalmente sabiendo elegir el par se llega más rápido al resultado.

Elijo comparar B con C. Entonces...

WFncBC = ΔEMBC

Hay una fuerza no-conservativa actuando en el trayecto BC, y es el rozamiento, de modo que puedo escribir:

WRozBC = EMC — EMB

por definición de lo que es trabajo y energía mecánica

Roz ΔxBC cos 180º = EcC + EPgC + EPeC — ( EcB + EPgB + EPeB)

Si tomamos como nivel de altura cero la horizontal por la que se mueve el objeto, las energías potenciales gravitatorias se anulan. (Si no quisieras tomarlas como cero tambien se anularían... entre sí). La cinética deal elástico su compresión es cero.

— μd m g ΔxBC = ½ k ΔxC² — ½ m vB²

ΔxBC = ΔxC = 0,5 m, (el desplazamiento desde B hasta C es igual a la compresión del resorte en la situación C), de modo que si mirás la ecuación con cariño te vas a dar cuenta que tiene una sola incógnita que es la que pregunta el enunciado del problema,

½ m vB² = μd m g ΔxBC + ½ k ΔxC²

vB = ( 2 μd g ΔxC + k ΔxC² / m )½

vB = ( 2 . 0,4 . 10 m/s² . 0,5 m + 7.200 N/m . 0,25 m² / 30 kg )½

vB = 8 m/s

Ahora podemos comparar A con B, o A con C, con cualquiera de las dos comparaciones vamos a llegar al mismo resultado que es la velocidad que tenía en

WRozAC = ΔEMAC

Roz ΔxAC cos 180º = EcC + EPgC + EPeC — ( EcA + EPgA + EPeA)

— μd m g ΔxAC = ½ k ΔxC² — ½ m vA²

Llegamos casi, casi a lo mismo de antes. Pero ojo, que el desplazamiento desde Ahasta C vale 10,5 m, ¿Ok? Despejemos vA

vA = ( 2 μd g ΔxAC + k ΔxC² / m )½

vA = 12 m/s

DISCUSION: ¿Te diste cuenta que en el desarrollo del problema no hice una sola cuenta? Sólo usé la calculadora para dar la respuesta... eso que va en el recuadro de los resultados. Si vos hacés lo mismo en un examen te vas a ganar el aprecio (casi te diría: el amor) de tu docente. Y lo que es mejor... vas a demostrar que estás combatiendo la epidemia de reemplacismo numérico que azota despiadadamente a la población estudiantil.

DESAFIO: ¿En qué posición la velocidad del cuerpo vale 2 m/s?

2.14- Se dejan caer dos cuerpos, partiendo del reposo, desde una misma altura h: uno libremente y el otro sobre un plano inclinado con rozamiento despreciable. A partir de consideraciones energéticas, demostrar que ambos llegan al piso con velocidades de igual módulo.

¿Te cuento un secreto? Resulta que si hay un profesor de física que está a punto de corregir un examen y se encuentra que el ejercicio comienza con un dibujo, un esquema, que el alumno hizo para explicarle al docente a qué cosas se refiere cuando las menciona durante el desarrollo del ejercicio... ese docente, ese ser humano (porque en el fondo tenés que admitir que se trata de un ser humano) se sonríe... y continúa leyendo con una sensación agradable de gratitud y bienestar... Incluso, a veces en que el dibujo es tosco o primitivo... no importa, el sabor indeleble de la solidaridad perdura hasta el último acierto o desacierto del ejercicio.

Pasemos al 2.14. Casi todos los ejercicios de energía comienzan por elegir dos situaciones, para comparar energéticamente. En este caso vamos a hacerlo por partida doble, una vez para el cuerpo que baja verticalmente y otra para el cuerpo que baja por el plano inclinado.

Empecemos con el que baja por la vertical.

ΔEMAB = WFnc

El segundo miembro vale cero: en este problema no actúan fuerzas no-conservativas... no hay rozamiento y nada ni nadie empuja ni frena agregando ni quitando energía. Entonces:

ΔEMAB = 0

EMB — EMA = 0

EMB = EMA

ECB + EPB = ECA + EPA

Algunos términos se anulan, veamos: la energía cinética en A es cero pues el cuerpo se suelta desde ahí, eso es velocidad cero. La energía potencial en

ECB = EPA

½ m vB² = m g hA

vB = ( 2 g hA )½

Ahora vamos con el cuerpo que baja por el plano inclinado. Absolutamente todo lo dicho y hecho para el cuerpo anterior también vale para éste... sólo que en vez de

vD = ( 2 g hc )½

y como hA es igual a hc...

vB = vD

.15 - En la figura se ve una pelota que se mantiene sobre un resorte comprimido 0,5 m. Se libera el resorte y la pelota sale disparada verticalmente, pega en el techo y vuelve sobre el resorte, comprimiéndolo ahora 0,3 m.

Ejercicio tramposo, timador, traicionero, embustero, engañoso... Mirá es súper fácil y se resuelve en un sólo paso. Creo que nos va a dejar una buena enseñanza que vamos a tratar de aprovechar (al final).

Todo se resuelve comparando eneréticamente los instantes A y B. Si el fenómeno fuese conservativo, esas dos enerías deberían ser iguales. Pero es obvio que no lo son. El único tipo de energía que tiene la pelota en esos instantes es potencial elástica y gravitatoria. En ambos casos está detenida, de modo que no posee energía cinética.

De modo que en su viaje de ida y vuelta pierde energía. ¿Dónde? En el rebote contra el techo. Y esa es justamente la pregunta

ΔE = EB — EA

Como hay una pequeña diferencia de altura entre la partida y la llegada, vamos a tomar el nivel cero en A y la altura de B, h

ΔE = m g hB + ½ k ΔxB² — ½ k ΔxA²

ΔE = 0,1 kg 10 m/s² 0,2 m + ½ 100 N/m (0,3 m)² — ½ 100 N/m (0,5 m)²

ΔE = 7,8 J (aplausos, vítores)

Para saber qué velocidad tenía la pelota en el punto C tanto a la subida como a la bajada podés comparar energéticamente los instantesbajada, CB. Entonces:

EA = ECA y EB = ECB

El resto es una papa y te lo dejo a vos. Fijate bien desde dónde medís las alturas en cada caso.

Enseñanza: Los teoremas de conservación permiten comparar cualquier par de situaciones, instantes, o lo que sea. Pero siempre comparar de a dos. La habilidad reside ennada y sólo hacen perder tiempo.

2.16 - Una varilla rígida de masa despreciable y de 80 cm de longitud puede girar en un plano vertical, alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos, mientras que al otro extremo está fijo un contrapeso de2 kg.indicada en la figura.

a- Determinar el vector velocidad en el punto A, si al girar con rozamiento despreciable la varilla se detuvo en posición vertical D.b- Determinar qué fuerza ejerce la varilla sobre el contrapeso, cuando éste pasa por las posiciones B, C y D, en ese caso.c- El contrapeso se lanza desde el punto A con la misma velocidad que antes, pero ahora el rozamiento en el eje hace que la varilla se detenga en posición horizontal. Determinar el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el recorrido AC.

Lo importante antes de resolver este ejercicio es darse cuenta de que no hay ninguna fuerza no conservativa actuando. El eje al cual está unida la varilla le permite girar libremente, no le comunica ninguna furza de rotación, sólo la sostiene, ¿está claro?

Si es así, ya podés anticipar que el trabajo de todas las fuerzas no conservativas en cualquier intervalo considerado, será nulo.

WFnc0A = 0

Y, por lo tanto, la energía mecánica del contrapeso valdrá lo mismo en cualquier instante y en cualquier posición. Comparemos las energías mecánicas en

EMA = EMD

ECA + EPA = ECD + EPD

½ m vA² + m g hA = ½ m vD² + m g hD

Fijate que como energías potenciales sólo puse las potenciales gravitatorias, ya que al no haber resortes o elásticos unidos al contrapeso, no puede tener energía potencial elástica. Por otro lado podemos tirar la energía cinética enpodemos tomar el cero de las alturas en la posición de A (hA = 0), con lo cual su energía potencial se anula y la altura de D

½ m vA² = m g L

½ vA² = g L

vA = ( 2 g L )½

vA = ( 2 . 10 m/s² . 0,8 m)½

vA = 4 m/s

Vamos a la pregunta siguiente: b- Determinar qué fuerza ejerce la varilla sobre el contrapeso, cuando éste pasa por las posiciones B, C y D, en ese caso.sea hacia afura o hacia adentro.

En los tres casos la respuesta nos la va a dar la dinámica (se trata de un movimiento circular) a través de la Ley de Newton. La aceleración centrípeta la voy a expresar en los tres casos como:

Primero tenemos que conocer la velocidad con la que pasa por B.

EMA = EMB

ECA + EPA = ECB + EPB

½ m vA² + m g hA = ½ m vB² + m g hB

Tomemos el cero de las alturas en el mismo lugar que antes. Y cancelemos la masa.

½ vA² = ½ vB² — g L

Acordate que vA² = 2 g L, entonces:

vB² = 4 g L

Ahora sí, vamos a Newton:

ΣF = m acB

FB — P = m vB²/ L

FB = m g + m 4 g L / L

FB = m g + m 4 g

FB = 5 m g

FB = 5 . 2 kg . 10 m/s²

FB = 100 N

En la posición C no cabe duda que la velocidad es igual a la velocidad en A, ya que se encuentran a la misma altura. La ecuación de Newton para las fuerzas centrípetas, dirá:

ΣF = m acC

FC = m vC²/ L

FC = m vA²/ L

FC = m 2 g L / L

FC = m 2 g

FC = 40 N

En la posición D la velocidad vale cero (dato del enunciado), de modo que se nos pone muy fácil.

ΣF = m aD

P — FD = 0

FD = m . g

FD = 20 N

Ahora viene la última pregunta. ¿Todavía estas aqui? c- El contrapeso se lanza desde el punto A con la misma velocidad que antes, pero ahora el rozamiento en el eje hace que la varilla se detenga en posición horizontal. Determinar el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el recorrido AC.

La nueva posición la voy a llamar C'. Entonces...

WFncAC' = EMC' — EMA

Acordate que pusimos el cero de las alturas en A.

WFncAC' = 0 — ½ m vA²

WFncAC' = — ½ m 2 g L

WFncAC' = — m g L

WFncAC' = — 16 J

Adicional NMS 19* - Se aplica un fuerza de 800 N sobre un bloque apoyado sobre un plano horizontal de 1.600 kg, que se encuentra inicialmente en reposo y vinculado a un resorte no deformado de constante elástica K= 16.000 N/m. Calcule la máxima compresión del resorte y la aceleración en dicho punto.

Δx = 0,1 m

a = — 0,5 m/s² o sea, ya rebota

dicional NMS 22* - Un paquete de 2 kg se suelta en una pendiente de 53° a 4 m de un resorte largo, cuya constante de fuerza es de 120 N/m y está sujeto a la base de la pendiente. El coeficiente de fricción entre el paquete y la pendiente vale 0,5. La masa del resorte es despreciable. a) ¿Qué rapidez tiene el paquete justo antes de llegar al resorte? b) ¿Cuál es la compresión máxima del resorte? c) Al rebotar el paquete hacia arriba, ¿qué tanto se acerca a su posición inicial?

Antes de intentar resolver este ejercicio te conviene haber cocinado este otro, ya que aunque este es un poco más rebuscado, incluye la misma problemática.

Vayamos por partes: el trabajo del rozamiento es igual a la fuerza de rozamiento por el desplazamiento, ΔXAB, por el coseno del ángulo que forman la fuerza y el desplazamiento, o sea,(que a su vez es igual a la componente normal al plano del peso del cuerpo) por el coeficiente de rozamiento.

WrozAB = — μ . Roz . ΔXAB

WrozAB = — μ . m . g . cos 53° . ΔXAB

Vamos a las energías mecánicas. En A es puramente potencial, que que su velocidad en ese punto es nula. En B es suma de la cinética más la potencial.

EMB — EMA = ½ m vB² + m g hB — m g hA

EMB — EMA = ½ m vB² + m g (hB — hA)

La diferencia de alturas no es otra cosa que ΔXAB por el sen 53° (para darte cuenta de esto basta con que traces un triángulo rectángulo cuyos vértices agudos sean

EMB — EMA = ½ m vB² + m g (—ΔXAB) sen 53°

Ahora juntamos ambas cosas (la ecuación del trabajo con la de la variación de energía), despejamos vB y lo calculamos.

— μ m g cos 53° ΔXAB = ½ m vB² — m g ΔXAB sen 53°

— μ g cos 53° ΔXAB = ½ vB² — g ΔXAB sen 53°

— μ g cos 53° ΔXAB + g sen 53° ΔXAB = ½ vB²

vB = 6,32 m/s

Vamos al ítem b) que es un poco más conflictivo, pero no le tenemos miedo... ¡PORQUE HACEMOS UN ESQUEMA!

Te habrás dado cuenta que llamé C al instante en que el cuerpo vuelve a detenerse ya que comprimió al máximo lo que pudo al resorte. Podríamos comparar ese estado conA, o con B. Pero fiel a mis principios lo voy a comparar con A, ya que en B tendría que utilizar un dato que no viene aportado por el enunciado sino que averiguamos recién... y quién te garantiza que no me haya equivocado.

WrozAC = EMC — EMA

Ese tramo de más que el cuerpo desliza desde B, ΔXBC, también tiene rozamiento, de modo que el trabajo del rozamiento desde

WrozAC = — μ . Roz . ΔXAC

WrozAC = — μ . m . g . cos 53° . (ΔXAB + ΔXBC)

La energía mecánica en A es la misma de antes. Y en C el cuerpo tiene energía potencial gravitatoria (a menos que quieras fijar un cero de alturas en el punto

que no es otro que ΔXBC.

EMC — EMA = ½ k ΔXBC² + m g hC — m g hA

EMC — EMA = ½ k ΔXBC² + m g (hC — hA)

La misma consideración que hicimos antes para averiguar la diferencia de altura, repetimos ahora (y no te olvides del signo menos de la diferencia de altura):

EMC — EMA = ½ k ΔXBC² — m g (ΔXAB + ΔXBC) sen 53°

Nuevamente, igualamos ambas, despejamos ΔXBC y lo calculamos:

— μ m g cos 53° (ΔXAB+ΔXBC)= ½ k ΔXBC² — m g (ΔXAB+ΔXBC) sen 53°

Fijate que la única incógnita que hay en esta expresión es ΔXBC. De modo que esto tiene solución algebraica aunque te cueste un poco. Pero no llores que yo te lo hago. Obviamente se trata de una cuadrática, condeunidades correspondientes.

ΔXBC = 0,904 m

Finalmente vamos a la frutilla del postre que es el ítem c). Me niego a seguir sin un nuevo esquema:

Te habrás dado cuenta que llamé D al instante en que el cuerpo vuelve a detenerse después de haber rebotado en el resorte. Nuevamente tenemos:

WrozAD = EMD — EMA

Durante todo el trayecto, el rozamiento trabaja restando energía, formando un ángulo llano con el desplazamiento. Y el desplazamiento será la suma de los 4 metros iniciales, más 2 veces la parte en que comprime al resorte (una vez comprimiéndose y otra descomprimiéndose), más un tramo final que desconocemos.

WrozAD = — μ . m . g . cos 53° . (ΔXAB + 2 ΔXBC + ΔXBD)

Y las energías -tanto en A como en D- son sólo de tipo potencial gravitatoria:

EMD — EMA = m g hD — m g hA

EMD — EMA = m g (hD — hA)

EMD — EMA = — m g ΔXDA . sen 53°

Juntemos ambas cosas:

— μ m g cos 53° (ΔXAB + 2 ΔXBC + ΔXBD) = — m g ΔXDA sen 53°

Dejame que simplifique un poquito:

μ cos 53° (ΔXAB + 2 ΔXBC + ΔXBD) = — ΔXDA sen 53°

Notarás que hay dos incógnitas: ΔXBD y ΔXDA. ¡Pero la suma de ambas debe valer 4 metros!

ΔXBD + ΔXDA = ΔXAB

No te lo voy a resolver... no quiero seguir engolosinándote. Pero te cuento cómo podés hacer: con esa última ecuación que escribí expresá la incógnita que no interesa,despejás y calculás ΔXDA.

ΔXDA = 2,675 m

33) El empleado de una empresa de mudanzas desea transportar un mueble. Calcule el valor y el signo del trabajo entregado por el hombre al mueble en las cuatro situaciones que siguen: a) Lo empuja con una fuerza de 1000 N, paralela al piso, a lo largo de 8 metros.(Hay más preguntas, que transcribo abajo, junto a cada resolución).

En todas las preguntas de este ejercicio se trata de fuerzas constantes hechas por el pobre operario. Como son fuerzas constantes, el trabajo puede calcularse con la expresión:


Vamos con el primero:

Wa) = 8.000 J

b) Tira del mueble con una fuerza de 1000 N por medio de una soga que forma un ángulo de 30º con la horizontal a lo largo de 8 m.

Wb) = 6.930 J

c) El mueble se venía moviendo por un plano horizontal y el empleado lo detiene aplicándole una fuerza de 1000 N, paralela al piso, a lo largo de 6 metros.

Wc) = — 6.000 J

d) Camina horizontalmente, con velocidad constante, cargando el mueble sobre sus hombros.

Wd) = 0 J

Discusión: Como ves, trabajo en Física, no significa lo mismo que trabajogratis.

DESAFIO: Buscar una respuesta formal y convincente para la siguiente pregunta: ¿por qué en este ejercicio, en cada esquema, el profe no consignó un

35) Un muchacho de 40 kg se deja caer en una patineta desde una altura de 4 m por una pista semicircular. Parte del reposo y llega al lado opuesto de la pista, hasta una altura máxima de 3 m.a) ¿Qué fuerzas actúan sobre la persona y cuáles de ellas hacen trabajo?b) ¿Cuánto vale el trabajo de las fuerzas de rozamiento que actúan sobre el sistema muchacho - patineta (que ejercen el aire y el piso en conjunto)?c) ¿Podría haber llegado hasta una altura de 4 m? Dé varias alternativas y justifíquelas.

WRozAB = — 400 J

40) Un automóvil de 1.000 kg sube una pendiente de 37° a una velocidad constante de 54 km/h. Considerando que la fuerza de fricción con el aire vale 200 N, calcular la potencia que desarrolla el motor.

Este ejercicio es recontrafácil: una aplicación inmediata de la definición de potencia instantánea.

Pero hay un pequeño escollo que tal vez ya hayas superado... temo desilusionarte si vos era de quellos que piensan que los vehículos suben las cuestas empujados por la fuerza de su motor... lo siento, pero suben gracias al rozamiento con el pavimento. Es el pavimento el que empuja al auto... eso sí: con una fuerza igual y contraria a la que le hace el motor -a través de las ruedas- al pavimento.

Si el auto va a velocidad constante Newton te garantiza que la fuerza del rozamiento (y la del motor), Roz(p), debe ser igual -en módulo- a la componente del peso en la dirección de avance más el rozamiento con el aire,

Roz(p) = Roz(a) + Px

Roz(p) = 200 N + P sen 37º

Roz(p) = 200 N + 6.000 N

Y la potencia que realiza esa fuerza al arrastrar al auto a una velocidad deo sea, 15 m/s, será:

Potmotor = 6.200 N . 15 m/s

Potmotor = 93 kW = 124 HP

O sea... no cualquier auto puede hacer esa hazaña. Los clásicos tienen potencias que van desde 60 hasta 180 caballos (nominal, de fábrica). Con un gasolero ni lo sueñes... algunos modelos llegan a los 90 caballos. A menos que se trate de un motor turbo comprimido... en ese caso... puede subir pendientes más pronunciadas. El Ford Escort Cosworth RS: motor

DESAFIO: ¿Qué pendiente puede escalar el Ford Escort Cosworth RS asu peso es de 1.500 kgf?

EM12) Un trineo se desliza 100 m por una colina que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Parte del reposo y llega a la base de la colina con una velocidad de 20 m/s. ¿Qué fracción de su energía mecánica se ha perdido por rozamiento? a) 20 % b) 40 % c) 50 % d) 60 % e) 80 % f) ninguna de las anteriores.

Se trata de un sencillísimo de comparación de dos energías, la que el cuerpo tiene en la cima de la colina -que llamé A- con la que tiene en la base de la colina -que llamé B-.

Una pavada atómica. No te dan la altura de A, pero un par de datos que aparentemente sobrar, sirven justamente para averiguarla. Si te hacés un esquema de la situación siempre es más fácil encontrar esas relaciones salvadoras.

En el triángulo del esquema, el seno del ángulo de 30 grados es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa.

Con ese dato es fácil encontrar expresiones para las energías mecánicas de A y de B, para luego, compararlas.

EMA = ½ m vA² + m g hA

Como parte del reposo, la velocidad en A vale cero.

EMA = m g hA

Y la energía en la base de la colina será puramente cinética si colocamos el cero de las alturas justamente en el nivel de B.

EMB = ½ m vB²

La fracción de energía conservada es el cociente entre la que conserva en B dividido la que tenía al inicio, en A.

fracción conservada = EMB / EMA

fracc. cons. = ½ m vB² / m g hA

fracc. cons. = ½ vB² / g hA

fracc. cons. = ½ 400 (m/s)² / 10 m/s² . 50 m

fracc. cons. = 200 / 500 = 0,4

Pero si se conserva el 0,4 de la energía inicial es porque se perdió...

fracción perdida = 0,6 = 60% respuesta d)

EM9) Una niña alcanza balanceándose en una hamaca, una altura de 1,25 m respecto de la posición más baja de su recorrido. Despreciando las fuerzas de rozamiento, la velocidad de la niña en la posición más baja es: a) 5 m/s b) 0,5 m/s c) 4 m/s d) 2,2 m/s e) falta la masa f) ninguna de las anteriores.

Se trata de un sencillísimo de comparación de dos energías, la que la niña posee en la posición más alta de su oscilación -que llamé A- con la que tiene en la posición más baja -que llamé B-. Una pavada atómica en la que se aplica el teorema de conservación de la energía mecánica

WNC = ΔEMAB

El trabajo de todas las fuerzas no-conservativas que hayan actuado entre las situacionesA y B es igual a la variación de energía mecánica entre esas dos situaciones.

Una cuestión clave es ésta: casi siempre (y este es un caso) la posición más alta de un móvil coincide con una velocidad nula, vA= 0. Eso facilita el planteo de la energía mecánica de la niña en A.

EMA = ½ m vA² + m g hA

EMA = m g hA

Solemos decir: en la posición más alta la energía mecánica es puramente potencial. De manera análoga, en la posición más baja, la energía mecánica es puramente cinética (para ello basta con tomar el nivel cero de altura en esa posición más baja, hB= 0).

EMB = ½ m vB² + m g hB

EMB = ½ m vB²

Si despreciamos las fuerzas de rozamiento (y cualquier otra no-conservativa) resulta que la energía mecánica en A debe ser igual a la de B.

EMA = EMB

m g hA = ½ m vB²

La cuestión se simplifica, ya que parece ser independiente de la masa de la niña.

g hA = ½ vB²

Despejo, calculo... y ya.

vB² = 2 g hA

vB² = 2 . 10 m/s² . 1,25 m

vB² = 25 m²/s²

vB = 5 m/s respuesta a)

DESAFIO: Como no se puede evitar el rozamiento, toda niña que se hamaque terminará deteniéndose a menos que una fuerza no-conservativa provea la energía mecánica que consume el rozamiento. ¿De dónde sale esa energía cuando la niña se hamaca sola?

EM14) Un cuerpo baja una cierta distancia con velocidad constante por un plano inclinado. Entonces se cumple que:a) Sólo actúan el peso y la reacción normal del plano.b) El trabajo realizado por el peso es negativo.c) El trabajo del peso es igual a la variación de la energía cinética.d) La energía mecánica del cuerpo se mantiene constante.e) La energía mecánica del cuerpo disminuye a medida que baja.f) La fuerza peso no realiza trabajo.

Para resolver este ejercicio y poder dar respuesta cabal a cada una de las afirmaciones del enunciado tenés que tener claras varias cuestiones. Empecemos por las fuerzas que están actuando. Miralas en el DCL.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: su inevitable peso, P; la fuerza de apoyo con el plano inclinado, N; y alguna fuerza que lo jale hacia arriba, F, cuya existencia se infiere del hecho de que se mueve con velocidad constante.

Fijate: si no estuviera F, la resultante de las otras dos fuerzas apuntaría hacia abajo en la dirección del plano... luego, debería estar acelerando hacia abajo lo cual contradice el enunciado. Esta breve disquisición se basa en la Ley de la masa: ΣF = m a (el pilar fundamental de la dinámica).

Decir velocidad constante es lo mismo que decir aceleración nula... y por lo tanto, vos podés concluir resultante nula, o lo que es lo mismo: sumatoria de fuerzas igual a cero.

v = cte → a = 0 → ΣF = 0

Esa fuerza, F, puede ser una fuerza cualquiera; por ejemplo hecha por una cuerda, un rozamiento, no interesa. Con lo dicho ya podemos masacrar la primera proposición:

a) Sólo actúan el peso y la reacción normal del plano. FALSO, al menos debe haber una fuerza más apuntando hacia arriba en la dirección del plano.

b) El trabajo realizado por el peso es negativo. FALSO. El signo de los trabajos está dado por el coseno del ángulo que forman la fuerza que trabaja y el desplazamiento del cuerpo. En este caso se ve que el ángulo entre P y el desplazamiento es menor a 90º, por lo tanto su coseno es positivo, y el trabajo también lo será. En términos generales: cuando un cuerpo se mueve, las fuerzas

que ayudan a ese movimiento hacen trabajos positivos; las que se oponen a ese movimiento trabajos negativos; y lasindiferentes, trabajo nulo.

c) El trabajo del peso es igual a la variación de la energía cinética. FALSO. ¿De quié variación de energía cinética me hablan? (Qué mala gente...) Si el enunciado lo dice claramente: la velocidad es constante, entonces ¡la energía cinética no varía!

ΔEc = 0

Y por lo que discutimos en el ítem anterior, habrá quedado claro que el trabajo del peso es positivo (¡y distinto de cero!)... por lo tanto no pueden ser iguales.

d) La energía mecánica del cuerpo se mantiene constante. FALSO. La energía mecánica es siempre la suma entre la cinética y la potencial. En este caso la cinética se mantiene constante. Pero la potencial va disminuyendo a medida que el cuerpo va bajando (no te olvides que la energía potencial depende de la altura). De modo que la energía mecánica debe estar disminuyendo. En símbolos:

ΔEc = 0 y ΔEP < 0, luego, ΔEM < 0

Y así llegamos a la única proposición verdadera para este ejercicio:

e) La energía mecánica del cuerpo disminuye a medida que baja.

Nos queda una proposición más... que ya quedó recontrafalsada con varias de los argumentos que te dí más arriba. Pero me dieron ganas de agregar algunos más que te sirven para refrescar ideas.

f) La fuerza peso no realiza trabajo. FALSO. Sabés que está haciendo un trabajo positivo. Pero además... sabés que el trabajo de la fuerza peso es igual al contrario de la variación de energía potencial:

WP = — ΔEP

Y como la variación de energía potencial era una magnitud negativa (ΔEP < 0), menos por menos... resulta que el trabajo del peso debe ser distinto de cero... y positivo. Ya lo sabíamos.

DESAFIO: ¿Cuáles respuestas cambiarían si el cuerpo estuviese en reposo?

EM17) Tres cuerpos del mismo peso son elevados desde el suelo hasta una altura de 10 m, por medio de escaleras mecánicas que los suben con velocidad constante de igual módulo y están inclinadas 30°, 45° y 60° respecto a la horizontal. Con respecto al trabajo realizado por las fuerzas que ejercen las escaleras sobre los cuerpos y la potencia desarrollada por las mismas, se cumple que:

a) El trabajo es cero en los tres casos, pero las potencias no.

b) La potencia es la misma en los tres casos pero los trabajos son distintos.c) Las potencias son distintas en los tres casos y los trabajos también.d) La potencia es cero en los tres casos.e) Los trabajos son iguales en los tres casos, pero las potencias son diferentes.f) La potencia es la misma en los tres casos y el trabajo también.

El esquemita que hice nos va a permitir hacer una discusión más ordenada. Los detalles importantes a los que tenés que prestar atención son: la diferencia de altura para ir de un piso a otro por cualquiera de los tres caminos es la misma; las distancias recorridas son diferentes, es más corta para la escalera más empinada y más larga para la menos empinada; la velocidad de avance es la misma en los tres casos. ¿Te cierra?

Y hay un ítem más. Como las velocidades son constantes (y las aceleraciones nulas) la fuerza que la escalera hace sobre un pasajero, en cualquiera de los tres casos, es igual al peso del pasajero y apunta para arriba. Ese el el único modo de que la sumatoria de fuerzas sobre la persona valga cero y tenga, entonces, velocidad constante. La cuestión es que las tres escaleras hacen la misma fuerza.

Ahora, para analizar las proposiciones del enunciado tenés que saber cómo calcular el trabajo y la potencia de las escaleras. El trabajo que realizan es muy sencillo, porque lo que hacen -cualquiera de las tres- es elevar al tipo hasta la misma altura. La energía cinética de los pasajeros no varía, de modo que el trabajo realizado por la escalera es igual a la variación de sus energías potenciales.

W = ΔEP

Ya tenemos una conclusión: los trabajos que hacen las tres escaleras son iguales.

La cuestión de las potencias es un poco más complicada... pero no mucho. Por un lado, como las escaleras se mueven a velocidad constante, la potencia tembién deberá ser constante... y podemos calcularla como una potencia media.

Potm = ΔEP /Δt

Como vimos antes el numerador (la variacion de EP) vale lo mismo en los tres casos... pero el intervalo de tiempo para hacer la subida no es igual para las tres escaleras... hay una en que se llega antes, y otra en la que se tarda más...

Ya tenemos la segunda conclusión: las potencias son distintas, la de la más empinada es mayor y la de la menos empinada es la menor.

Si hubieras querido comparar las potencias instantáneas... habrías estado a punto de pisar el palito de una trampa mortal:

Pot = F . v

Si lo mirás así, sin mucho análisis, podés llegar a tentarte y decir que como las velocidades son iguales y las fuerzas que realizan las escaleras también... no iba a haber diferencia entre las tres potencias. Pero la fuerza que hay que considerar para realizar el cálculo de potencia es sólo la que realiza trabajo (dicho en sentido figurado), o sea, la componente que tiene la dirección del desplazamiento, Fd :

Pot = Fd . v = F . cos α . v

Ojo que α no es la inclinación de la escalera sino el ángulo que forma la fuerza (vertical) con el desplazamiento (oblicuo y distinto en cada escalera). Bueno, el análisis una por una de las proposiciones te lo dejo a vos.

EM20) Un móvil de 2.500 kg sube una cuesta inclinada 53º hasta una altura de 1.000 metros. Recorre el trayecto a velocidad constante y demora 10 minutos. Entonces:El trabajo de las fuerzas no conservativas y el de la fuerza resultante en el trayecto total vale, en megajoules: a) 50 ; 0 b) 40 ; 25 c) 30 ; 15 d) 25 ; 0 e) 20 ; 30 f) 15 ; 40

Mirá, encontré un DCL que hice para otro ejercicio, pero nos sirve igual.

Las fuerzas que actúan sobre la caja son: su inevitable peso, P; la fuerza de apoyo con el plano inclinado,alguna fuerza de tracción, F, cuya existencia se infiere del hecho de que se mueve con velocidad constante.

Fijate: si no estuviera F, la resultante de las otras dos fuerzas apuntaría hacia abajo en la dirección del plano... luego, debería estar acelerando hacia abajo lo cual contradice el enunciado. Esta breve disquisición se basa en la Ley de la masa: ΣF = m a (el pilar fundamental de la dinámica).

Decir velocidad constante es lo mismo que decir aceleración nula... y por lo tanto, vos podés concluir: sumatoria de fuerzas igual a cero, o, lo que es lo mismo, resultante nula.

v = cte → a = 0 → ΣF = 0 → R = 0

Esa fuerza, F, puede ser una fuerza cualquiera; por ejemplo hecha por una cuerda, un rozamiento, no interesa. La cuestión es que ahora podemos contestar la segunda parte de la pregunta: el trabajo de la resultande debe valer cero. Por si te queda alguna duda, podés plantear el Teorema de las fuerzas vivas:variación de energía cinética en nula, el trabajo de la resultante también lo ha de ser.

La pregunta que falta es más interesante. Vamos al teorema de las fuerzas no-conservativas (un modo más descriptivo del de las fuerzas vivas):

WNoC = ΔEM

La variación de energía mecánica es la suma de las variaciones de la cinética (que es nula) más la potencial (que depende de la altura).

ΔEM = ΔEC + ΔEP

Por lo tanto:

ΔEM = ΔEP = m . g . Δh

ΔEM = 2.500 kg . 10 m/s² . 1.000 m

ΔEM = 25.000.000 J

WNoC = 25 MJ

d) 25 ; 0

EM23) Un bloque de 1 kg pasa por el punto A con una velocidad de 5 m/s y se necesita que pase por el punto B a una velocidad de 20 m/s. Entonces el trabajo de la fuerza resultante entre los puntos A y B deberá ser: a) 202,5 J b) 187,5 J c) 177,5 J d) –202,5 J e) –187,5 J f) –177,5 J

Ya te habrás dado cuenta de que se trata de un sencillísimo ejercicio de aplicación directa del teorema de la fuerzas vivas:

Los datos del ejercicio permiten conocer la energía cinética tanto en A como en B.

ECA = ½ m vA² = ½ 1 kg 25 (m/s)² = 12,5 J

ECB = ½ m vB² = ½ 1 kg 400 (m/s)² = 200 J

De modo que la variación de energía entre A y B, será:

ΔECAB = ECB — ECA = 200 J — 12,5 J = 187,5 J

Y el teorema de las fuerzas vivas afirmaba que...

WRes = ΔEc

WRes = 187,5 J

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