7 CAPITOLUL 1 — NUMERE NATURALE 1.1. Scrierea çi citirea numerelor naturale, çirul numerelor naturale 1. ScrieÆi, folosind cifre (arabe), numerele: a) çase sute nouå; b) douå mii nouå sute çapte; c) çaptezeci çi çapte de mii; d) trei sute douåzeci çi patru de mii trei sute douåzeci çi cinci; e) un milion cinzeci de mii o sutå cinci; f) un miliard cinci sute unu milioane o sutå douåzeci de mii. 2. La bancå, pentru a depune o sumå de bani, trebuie så completaÆi un formular în care veÆi trece suma respectivå çi în litere. Ce trebuie så scrieÆi, dacå suma depuså este: a) 1500; b) 22450; c) 10225; d) 2560782. 3. Fie numårul 2340156987. a = PrecizaÆi ordinul çi clasa urmåtoarelor cifre ale numårului a : a) 2; b) 4; c) 1; d) 9. 4. Un cod format din cinci cifre are cifra miilor 5, cea a sutelor 3 çi cea a zecilor 4. AflaÆi codul, çtiind cå suma dintre cifra zecilor de mii çi cifra unitåÆilor este 1. 5. Se considerå numerele: 1246; 3874; 4683; 4874; 8462. Care dintre aceste numere are urmåtoarele proprietåÆi: este format din cifre diferite, cifra sutelor este dublul cifrei unitåÆilor, cifra zecilor este mai mare decât cifra miilor çi cifra unitåÆilor este parå ? 6. CalculaÆi , a b c + + çtiind cå 17 3. a bc = 7. Cinci numere sunt scrise pe 5 carduri ca în figura urmåtoare. Care este cel mai mic çi care este cel mai mare numår care îl puteÆi obÆine alåturând cardurile? 8. Care este cel mai mare numår abcd ale cårui cifre au proprietatea: a b c d a ≠ ≠ ≠ ≠ ? 9. DeterminaÆi: a) cel mai mare numår de cinci cifre cu cifra miilor 2 çi cifra sutelor 5; b) cel mai mic numår de çase cifre cu cifra sutelor de mii 4 çi cifra unitåÆilor 5; c) numårul cu toate cifrele egale cuprins între un milion çi douå milioane. 10. AflaÆi toate numerele ( ) 123 0 x y x ≠ care au suma cifrelor egalå cu 8. 11. AflaÆi toate numerele de forma ( ) 0, xyz x ≠ çtiind cå 7 . z x y = ⋅ + 12. Câte numere de trei cifre au forma: a) 72; a b) 2 ; xy c) 3zz ? 208 53 9 4 61
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7
CAPITOLUL 1 — NUMERE NATURALE
1.1. Scrierea çi citirea numerelor naturale, çirul numerelor naturale
1. ScrieÆi, folosind cifre (arabe), numerele: a) çase sute nouå; b) douå mii nouå sute çapte; c) çaptezeci çi çapte de mii;
d) trei sute douåzeci çi patru de mii trei sute douåzeci çi cinci; e) un milion cinzeci de mii o sutå cinci; f) un miliard cinci sute unu milioane o sutå douåzeci de mii.
2. La bancå, pentru a depune o sumå de bani, trebuie så completaÆi un formular în care veÆi trece suma respectivå çi în litere. Ce trebuie så scrieÆi, dacå suma depuså este:
a) 1500; b) 22450; c) 10225; d) 2560782.
3. Fie numårul 2340156987.a = PrecizaÆi ordinul çi clasa urmåtoarelor cifre ale numårului a :
a) 2; b) 4 ; c) 1; d) 9.
4. Un cod format din cinci cifre are cifra miilor 5, cea a sutelor 3 çi cea a zecilor 4 . AflaÆi codul, çtiind cå suma dintre cifra zecilor de mii çi cifra unitåÆilor este
1.
5. Se considerå numerele: 1246; 3874; 4683; 4874; 8462. Care dintre aceste numere are urmåtoarele proprietåÆi: este format din cifre diferite, cifra sutelor este dublul cifrei unitåÆilor, cifra zecilor este mai mare decât cifra miilor çi cifra unitåÆilor este parå ?
6. CalculaÆi ,a b c+ + çtiind cå 1 7 3 .a b c=
7. Cinci numere sunt scrise pe 5 carduri ca în figura urmåtoare. Care este cel mai mic çi care este cel mai mare numår care îl puteÆi obÆine alåturând cardurile?
8. Care este cel mai mare numår abcd ale cårui cifre au proprietatea:
a b c d a≠ ≠ ≠ ≠ ?
9. DeterminaÆi: a) cel mai mare numår de cinci cifre cu cifra miilor 2 çi cifra sutelor 5; b) cel mai mic numår de çase cifre cu cifra sutelor de mii 4 çi cifra
unitåÆilor 5; c) numårul cu toate cifrele egale cuprins între un milion çi douå milioane.
10. AflaÆi toate numerele ( )123 0x y x ≠ care au suma cifrelor egalå cu 8.
11. AflaÆi toate numerele de forma ( )0 ,xyz x ≠ çtiind cå 7 .z x y= ⋅ +
12. Câte numere de trei cifre au forma: a) 72;a b) 2 ;x y c) 3zz ?
208
53
9
4 61
8
13. a) Câte numere de patru cifre formate numai cu 1 çi 2 existå? b) Câte numere de patru cifre se pot forma cu 0 çi 1?
14. Câte numere naturale de trei cifre existå?
15. Câte numere naturale sunt formate din patru cifre distincte?
16. ScrieÆi cel mai mic çi cel mai mare numår de zece cifre care conÆine exact opt cifre de 1.
17. Un numår se numeçte palindronic dacã este egal cu råsturnatul såu (de exemplu 52725 ). Care este diferenÆa dintre cel mai mare numår palindronic de 6 cifre çi cel mai mic numår palindronic de cinci cifre?
18. StabiliÆi valoarea de adevår a urmåtoarelor propoziÆii: a) çirul numerelor naturale este infinit; b) existå un numår n∈N astfel încât toate numerele din çirul numerelor
naturale sunt mai mici ca n ; c) suma oricåror douå numere consecutive din çirul numerelor naturale
este un numår impar.
19. Un copil a scris pe tablå toate numerele naturale de la 1 la 100: 123456789101112 … 99100. a) Câte cifre a folosit copilul? b) Care este cifra de pe locul 53?
20. Fie çirul: 1, 3, 7 , 13, 21, 31, ... . DeterminaÆi urmåtorii doi termeni ai çirului.
1.2. Reprezentarea numerelor naturale pe axå. Compararea, aproximarea çi
ordonarea numerelor naturale. Probleme de estimare
1. ReprezentaÆi pe axa numerelor punctele: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 , 3 , 1 , 2 , 0 .A B C D O
2. Câte numere impare sunt pe axa numerelor între punctele ( )4A çi ( )24 ?B
3. Fie punctele ( )3A çi ( )15 .B DeterminaÆi ,x ∈N çtiind cå ( )C x este
mijlocul segmentului .AB
4. Pe axa numerelor, consideråm unitatea de måsurå 1 cm çi reprezentåm urmåtoarele puncte ( ) ( )8 , 15A B çi ( )24 .C DeterminaÆi distanÆa dintre punctele:
a) A çi ;B b) B çi ;C c) A çi .C
5. Care numår este mai mare: a) 360 sau 410 ? c) 1002300 sau 956004 ? b) 5024 sau 4205 ? d) 20301 sau 103021 ?
6. a) OrdonaÆi crescåtor numerele: 1001; 293; 9597; 10000; 9600. b) OrdonaÆi descrescåtor numerele: 3470; 3740; 457; 14 407; 3045.
9
7. Fie a çi b douå cifre nenule astfel încât .a b< OrdonaÆi descrescåtor numerele: , , , .aaaa abab bbbb baba
8. DeterminaÆi: a) cel mai mare numår par format din patru cifre; b) cel mai mare numår par format din patru cifre distincte; c) cel mai mic numår format din trei cifre consecutive; d) cel mai mic numår impar de cinci cifre.
9. Se considerå numårul 3412597. ÇtergeÆi douå cifre astfel încât numårul råmas så fie: a) cel mai mic; b) cel mai mare.
10. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 5;x < b) 3;x ≤ c) 5 12;x< ≤ d) 112x > çi 118.x <
11. Câte numere abc au proprietåÆile 100 200abc< < çi 3b c= + ?
12. Câte numere de trei cifre au suma cifrelor mai mare sau egalå cu 25?
13. Care este cel mai mic numår natural cu suma cifrelor egalå cu 102 ?
14. GåsiÆi cel mai mic numår, açezat pe axa numerelor la dreapta lui 2008 , cu suma cifrelor 10 .
15. AflaÆi numårul bancnotelor de 10 lei necesare pentru a cumpåra o carte cu preÆul de:
a) 27 lei; b) 59 lei; c) 112 lei.
16. DeterminaÆi numårul bancnotelor de 100 lei necesare pentru a cumpåra un calculator care costå:
a) 1230 lei; b) 2250 lei; c) 4199 lei.
17. Çirul numerelor naturale nenule se împarte în grupe astfel: ( ) ( )1 , 2, 3 ,
( ) ( )4 , 5, 6 , 7 , 8, 9 , 10 , ... . Care este primul numãr din a cincizeci çi una grupã ?
1.3. Adunarea
1. CalculaÆi: a) 45 603 55 397;+ + + c) ( )17 1017 966 ;+ +
b) ( ) ( )25 12 18 45 ;+ + + d) ( )37 39 424.+ +
2. Fie 25,a = 102,b = 1028.c = CalculaÆi: a) ;a b+ b) ;b c+ c) 5 .a b c+ + +
3. CalculaÆi 10 ,a b+ + çtiind cå: a) 12, 78;a b= = b) 1543, 47.a b= =
4. Doi fraÆi gemeni împlinesc anul acesta 13 ani. AflaÆi suma vârstelor celor doi fraÆi peste 10 ani.
5. Mihai ar vrea så primeascå de ziua lui o minge de baschet çi o bicicletå. CâÆi bani trebuie så plåteascå pårinÆii lui, dacå mingea costå 60 lei, iar bicicleta cu 220 lei mai mult decât mingea?
10
9 2
3
6
1
1
2
35
8
13
6. DeterminaÆi suma a cinci numere consecutive, çtiind cå numårul din mijloc este 50.
5. Circuitul de Formula I de la Monaco are lungimea 3340 m çi trebuie
parcurs de 78 de ori. CâÆi metri parcurge un pilot care terminå cursa?
6. Un colecÆionar are un dulap cu 7 sertare çi în fiecare sertar are 5 cutii în care a pus câte 10 monede vechi.
a) Câte monede vechi are colecÆionarul? b) Câte sertare trebuie så deschidå pentru a putea scoate 165 de monede?
7. Iepurele tråieçte la fel de mult ca pisica, de cinci ori mai puÆin decât ursul, de trei ori mai puÆin decât bizonul çi jumåtate din cât tråieçte vulpea. CâÆi ani tråieçte pisica, dacå suma tuturor vârstelor este 144?
8. DeterminaÆi x ∈N astfel încât: a) 3 141;x = c) 60 : 15;x = e) 25;x x⋅ = b) ( )2 5 204;x⋅ + = d) : 6 32;x = f) 3 2 23.x+ =
9. DeterminaÆi toate numerele abc cu proprietatea 6.a b c⋅ ⋅ =
10. CalculaÆi 8 4 3 ,a b c+ + çtiind cå 2 19a b+ = çi 2 33.a c+ =
11. DeterminaÆi ultimele patru cifre ale produsului 1 2 3 ... 24.p = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
12. Suma a çase numere naturale consecutive este 15. DeterminaÆi produsul lor.
13. DeterminaÆi numerele , , ,a b c d∈N astfel încât 8a b c d a b c d+ + + = ⋅ ⋅ ⋅ = çi .a b c d≤ ≤ ≤
14. Fie , ,a b c∈N astfel încât 20.a b c⋅ ⋅ = DeterminaÆi ( )min .a b c+ +
15. La dreapta unui numår de douå cifre scriem acelaçi numår. De câte ori este mai mare numårul astfel obÆinut faÆå de numårul iniÆial?
16. a) AråtaÆi cå produsul a douå numere naturale consecutive se poate termina numai în 0, 2 sau 6.
b) DemonstraÆi cå nu existå ,a b∈N astfel încât ( )1 5 3.a a b⋅ + = +
17. În tabelul alåturat produsul numerelor de pe fiecare linie, coloanå çi diagonalå este acelaçi (diferit de zero). DeterminaÆi b çi .e
1.6. ÎmpårÆirea cu rest a numerelor naturale
1. EfectuaÆi împårÆirile: a) 143 : 11; c) 74 418 : 314; e) 30142 : 2153;
4. Mihai rezolvå câte 7 probleme pe zi, iar Radu câte 3 probleme pe zi. În câte zile rezolvå Radu acelaçi numår de probleme pe care le rezolvå Mihai în 9 zile?
5. Fiecare din cei 7 lei ai unei grådini zoologice a mâncat într-o zi acelaçi
numår de sandwich-uri. Dacå numårul total de sandwich-uri mâncate este 8 ,x determinaÆi valoarea lui .x
6. Care este numårul de 10 ori mai mare decât jumåtate dintr-o jumåtate dintr-o zecime dintr-un sfert din jumåtate din 1600?
7. AflaÆi numerele naturale ,a b ( )0 ,b ≠ çtiind cå 31a b+ = çi a împårÆit
la b då câtul 2 çi restul 1.
8. Fie *,a b∈N cu proprietatea cå a împårÆit la b då câtul 7 çi restul 2.
DeterminaÆi numerele a çi ,b çtiind cå 44.a b− =
9. Fie ,a b∈N astfel încât 4 3.a b= + AflaÆi câtul çi restul împårÆirii lui a la 4.
10. Fie ,a b∈N astfel încât 5 7.a b= + AflaÆi câtul çi restul împårÆirii lui a la 5.
11. Fie n∈N astfel încât n împårÆit la 48 så dea restul 36. Ce rest obÆinem dacå îl împårÆim pe n la 16?
12. Fie 4 1 .x ab aba a b= + + AflaÆi restul împårÆirii lui x la 7.
13. Fie 11 5,x a= − * .a∈N DeterminaÆi restul împårÆirii lui x la 11.
14. AflaÆi câtul çi restul împårÆirii numårului 1 2 3 4 5 6 7 39a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + la 120.
21. Fie n abcd= astfel încât 3 .ab cd= DemonstraÆi cå 7| .n
22. Dacå 37| ,abc atunci aråtaÆi cå ( )37| 11bc a− çi ( )37| 26 .bc a+
23. Fie numerele 4a x y= + çi 6 7 ,b x y= + unde ,x .y ∈N
a) CalculaÆi 11 ;a b+ b) AråtaÆi cå 17|11 ;a b+
c) Dacå 17| ,a atunci demonstraÆi cå 17| .b
24. Fie 2x a b= + çi 2 ,y a b= + unde ,a .b∈N a) CalculaÆi ;x y+ b) DemonstraÆi cå 3| x dacå çi numai dacå 3| .y
25. Într-o cutie sunt 120 de napolitane. Putem face pachete de câte 3 napolitane, astfel încât så epuizåm stocul? Dar de câte 7?
26. a) DeterminaÆi valoarea lui x astfel încât 17|45 .x b) AflaÆi ,x çtiind cå 19|32 7.x
27. Capacitatea maximå a unui microbuz este de 25 locuri. La capåtul traseului, în microbuzul gol se urcå mai mulÆi cålåtori. La prima staÆie coboarå o jumåtate dintre ei, iar la a doua o çeptime din numårul îniÆial. CâÆi oameni au urcat la început?
28. Fie çapte numere naturale cu proprietatea cå suma oricåror çase dintre ele se divide cu 5. AråtaÆi cå oricare dintre ele se divide cu 5.
29. Elevii care au participat la un concurs de matematicå au fost repartizaÆi în mod egal în 18 såli de claså, astfel încât numårul elevilor så fie mai mare decât 11 çi mai mic decât 17. AflaÆi numårul concurenÆilor, çtiind cå båieÆii au fost de patru ori mai puÆini decât fetele.
1.9. Numere pare. Numere impare
1. CalculaÆi suma tuturor numerelor pare mai mici decât 21.
2. ScrieÆi numårul 2008 ca suma a douå numere impare consecutive.
3. În câte moduri se poate scrie 12 ca suma a douå numere pare nenule? Dar ca suma a douå numere impare? (nu luåm în considerare ordinea termenilor sumei)
4. a) Câte numere impare sunt mai mici decât 100? b) Câte numere impare sunt cuprinse între 100 çi 300?
5. DeterminaÆi trei numere pare consecutive, çtiind cå suma lor este 36.
6. CalculaÆi suma primelor zece numere impare consecutive.
7. Fie numerele: 2 1, 6 4 , 2 6 8, 21 12 , 10 4 19,a a a b a a b− + − + + + − unde , .a b∈N Care dintre ele sunt numere pare çi care sunt impare?
19
8. StabiliÆi paritatea urmåtoarelor numere: a) ( )1 ,x x + ;x ∈N b) ( )1 ,x x − * ;x ∈N c) 3 5,x + .x ∈N
9. StabiliÆi paritatea numårului ,n dacå: a) n este suma a 1001 de numere impare; b) n este suma a 24 de numere impare; c) n este produsul a 12 numere impare.
10. De Cråciun, fiecare elev al unei clase då câte o felicitare tuturor colegilor çi primeçte câte o felicitare de la fiecare coleg. Miçu a spus cå s-au folosit 381 de felicitåri. Este adevårat?
11. De-a lungul unui gard sunt opt tufe cu zmeurå. Numårul fructelor de pe douå tufe vecine diferå cu 1. Numårul fructelor de pe toate tufele poate fi 117?
12. Dacå suma a douå numere naturale este numår impar, care este paritatea produsului lor?
13. Dacå ,x ,y z sunt numere impare consecutive, în aceastå ordine, iar 28y z+ = calculaÆi .xy yz+
14. Fie 3x a b= + çi 3 5 7 ,y a b= + + unde , .a b∈N StabiliÆi paritatea numerelor x y+ çi .x y⋅
15. AråtaÆi cå numårul ( )( )3 2 5 1 ,x n n= + + n∈N , este impar.
16. AråtaÆi cå a b+ çi a b− au aceeaçi paritate, oricare ar fi numerele , ,a b∈N .a b>
17. Fie numerele 1,x a b= + + 3,y b c= + + 5,z c a= + + unde ,a ,b .c∈N AråtaÆi cå ,x y çi z nu pot fi toate pare.
18. Consideråm trei numere naturale ,a ,b ,c a cåror produs este un numår
impar çi .a b c> + AråtaÆi cå 0.a b c− − ≠
19. Fie ,a ,b c trei numere naturale impare. a) AråtaÆi cå ( ) : 2 .a b+ ∈N
b) DemonstraÆi cå printre numerele ( ) : 2,a b+ ( ) : 2b c+ çi ( ) : 2c a+
existå cel puÆin un numår impar.
1.10. Rezolvarea de probleme prin metoda figurativå, probleme de organizare a datelor în tabele çi probleme care se rezolvå prin încercåri
1. Luiza çi Gabi au împreunå 15 acadele, iar Luiza are cu 3 mai puÆine decât Gabi. Câte acadele are Gabi?
2. Mihai çi Victor au cumpårat o minge de fotbal de 100 lei. CâÆi lei a plåtit fiecare, dacå Mihai a avut cu 10 lei mai mult decât Victor?
3. Fie a çi b douå numere naturale a cåror sumå este 60. AflaÆi diferenÆa lor, çtiind cå unul dintre ele este de trei ori mai mare decât celålalt.
20
4. Maria a adus la picnic douå coçuri cu câte 20 de plåcinte. Mihai a luat din primul coç câteva plåcinte, iar IonuÆ a luat din al doilea coç atâtea plåcinte câte au råmas în primul. Cu câte plåcinte a råmas Maria?
5. Numårul a are cifra unitåÆilor 0. Dacå çtergem ultima cifrå a lui a çi notåm numårul astfel obÆinut cu ,b atunci 308.a b+ = AflaÆi numerele a çi .b
6. Andrei urcå o scarå cu 121 de trepte. La un moment dat, oprindu-se så se odihneascå pe o treaptå, constatå cå mai are de urcat de douå ori mai multe trepte decât cele råmase în urmå. Pe a câta treaptå s-a oprit Andrei?
7. Suma a douå numere este 52. Dacå împårÆim unul dintre numere la celålalt obÆinem câtul 2 çi restul 1. Care sunt cele douå numere?
8. AflaÆi trei numere consecutive, çtiind cå suma lor este 93.
9. Intr-o zi, o antilopå bea cu 2 l mai puÆinå apå decât o zebrå çi de çase ori mai puÆinå apå decât un elefant. AflaÆi câÆi litri de apå bea fiecare într-o zi, çtiind cå ei au nevoie împreunå de 18 litri.
10. Douå veveriÆe çi trei bursuci månâncå împreunå, într-o zi, 48 de alune. Dacå un bursuc månâncå de douå ori mai multe alune decât o veveriÆå, câte alune vor mânca într-o zi cinci veveriÆe çi doi bursuci?
11. Fiecare numår înscris într-un påtrat din figura alåturatå este egal cu suma numerelor din påtratele pe care se sprijinå. AflaÆi numerele ,a b çi .c
12. Doi fraÆi au împreunå 43 de ani. Când primul avea 16 ani, al doilea avea
11 ani. CâÆi ani are fratele mai mare?
13. DeterminaÆi numerele naturale ,a ,b ,c ,d çtiind cå 60a b c d+ + + = çi
: : : 3.a d b d c d= = =
14. DeterminaÆi ,a ,b ,c ,d∈N astfel încât 60a b c d+ + + = çi : :d a d b= =
: 3.d c= =
15. Suma a patru numere este 1800. Dacå pe primul îl mårim cu 5, pe al doilea îl micçoråm cu 5, pe al treilea îl înmulÆim cu 5 çi pe al patrulea îl împårÆim la 5, obÆinem numere egale. Care este diferenÆa dintre cel mai mare çi cel mai mic dintre aceste numere?
16. Patru elevi au împreunå 138 de dischete. Dacå primul ar primi de la
ceilalÆi câte douå dischete, atunci numårul dischetelor pe care le-ar avea cei patru copii ar fi patru numere naturale consecutive. Câte dischete are fiecare elev?
21
c
3 a 8
b
21
17. O echipå de muncitori a executat o lucrare plåtitå cu suma de 2880 lei. Fiecare membru al echipei primeçte aceeaçi sumå de bani, iar numårul zilelor lucrate corespunde datelor din urmåtorul tabel:
Nume muncitor Anton Barbu Carp Numår zile 13 6 11
Care este suma încasatå de fiecare din cei trei muncitori? 18. Elevii unei clase au obÆinut la un test notele prezentate în tabelul alåtu-
a) CâÆi elevi sunt în claså? b) CâÆi elevi au luat note mai mari ca 7? c) Care este media clasei? 19. Temperaturile înregistrate în çase zile din luna septembrie sunt
prezentate în tabelul alåturat:
23°24°25°26°27°28°
15 16 17 18 19 20Ziua
Tem
pera
tura
°C
Care este temperatura medie a celor çase zile? 20. GåsiÆi un numår de cinci cifre în care prima cifrå este jumåtate din a doua
çi cu 3 mai micå decât a treia, iar a patra çi a cincea cifrå (în aceastå ordine), formeazå un numår egal cu suma dintre prima çi a treia cifrå.
21. DeterminaÆi numerele ,m ,a ,r ,i ,u s çtiind cå 16 ,a r i+ + = 18,r i⋅ =
81 : ,i u r+ = 4 ,s i= 38 : 19i = çi 34.m a r i u s+ + + + + =
22. AflaÆi toate numerele ( )0 ,ab a ≠ cu proprietatea 4 30.a b+ =
23. AflaÆi perechile de numere naturale ( ),x y care verificå egalitatea
3 7 45.x y+ = 24. Un croitor foloseçte pentru confecÆionarea unui sacou 3 m de stofå, iar
pentru o rochie 2 m de stofå. Câte sacouri çi câte rochii poate obÆine din 20 m de stofå (fårå så-i råmânå material nefolosit)?
22
1.11. Ridicarea la putere a unui numår natural
1. ScrieÆi numerele: a) 1, 2, 4 , 8, 16 , 32, 64 , 128, 256 ca puteri cu baza 2; b) 1, 3, 9 , 27 , 81, 243 ca puteri cu baza 3;
c) 1, 5, 25, 125, 625 ca puteri cu baza 5; d) 1, 10, 100, 1000, 10000 ca puteri cu baza 10.
2. DeterminaÆi ,x ∈N çtiind cå: a) 2 16;x = c) 3 81;x = e) 5 125;x =
b) 2 128;x = d) 4 64;x = f) 15 225.x =
3. CalculaÆi: a) 3 22 3 ;+ c) 4 00 4 ;+ e) 30 11 30 ;+
15. Mama a citit o carte într-o såptåmânå (7 zile) astfel: în prima zi o paginå, a doua zi de douå ori mai mult decât în prima zi, a treia zi de douå ori mai mult decât în ziua a doua çi aça mai departe. Câte pagini are cartea?
16. La ce putere trebuie ridicat 44 pentru a obÆine 88 ?
17. DeterminaÆi ,a b+ çtiind cå 2 5 8000.a b⋅ =
18. DeterminaÆi x ∈N astfel încât ( ) ( ) 71 2 3 .x x x+ + + + =
19. În câte moduri pot fi colorate påtratele unei table de çah folosind douå culori?
20. DeterminaÆi ,x ∈N dacå: a) 12 2 48;x x++ = b) 23 3 270;x x+ + = c) 1 25 5 5 155.x x x+ ++ + =
10. a) CalculaÆi påtratele numerelor 0 , 1, 2,...,8, 9. Care sunt valorile care le poate lua ultima cifrå a unuia dintre påtratele precedente?
b) AråtaÆi cå urmåtoarele numere nu sunt påtrate perfecte: 1272; 503; 19917; 488; 1002.
11. AråtaÆi cå 197 2438 5971 407a = ⋅ + ⋅ nu este påtrat perfect.
12. AråtaÆi cå 42 812 3n = + nu este påtrat perfect.
13. AråtaÆi cå numerele 5 2a n= + çi 5 7b n= + ( )n∈N nu sunt påtrate
perfecte.
14. DemonstraÆi cå 1 2 3 ... 9 2n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + nu este påtrat perfect. 15. a) AråtaÆi cå 2007 2008⋅ nu este påtrat perfect. b) AråtaÆi cå ( )1 2 3 ... 20 211+ + + + ⋅ nu este påtrat perfect.
16. DemonstraÆi cå urmåtoarele numere nu sunt påtrate perfecte: 4 2,n +
25 5,n + 100 10,n + 9 3,n + unde .n∈N
17. AråtaÆi cå numårul 36 24 18n a b= + + ( ),a b∈N nu este påtrat perfect.
26
18. AråtaÆi cå urmåtoarele numere nu sunt påtrate perfecte: a) 20 222 2 ;a = + b) 101 99 983 3 3 .b = − − 19. DeterminaÆi * ,x ∈N 50,x ≤ astfel încât urmåtoarele numere så fie
påtrate perfecte: a) 2 ;x⋅ c) 13 53 7 ;x⋅ ⋅
b) 4 32 5 ;x⋅ ⋅ d) 5 4 36 2 3 .x⋅ ⋅ ⋅
20. DeterminaÆi toate numerele ab ( ), 0 ,a b ≠ çtiind cå ab ba+ este påtrat
perfect.
21. DemonstraÆi cå numårul 12 5n n+⋅ ( )n∈N se poate scrie ca suma a douå
påtrate perfecte.
22. Ce numår urmeazå: 61, 52, 63, 94 , 46 ,... ?
23. ScrieÆi toate cuburile perfecte mai mici decât 300.
24. ScrieÆi pe 26 ca suma a trei cuburi nenule.
25. Care este cel mai mic numår natural n cu proprietåÆile 2n > çi n este påtrat çi cub perfect?
26. AråtaÆi cå 32 303 3a = − este cub perfect.
27. AråtaÆi cå urmåtoarele numere sunt cuburi perfecte: a) 152 ;a = c) 10 2 56 2 3 ;c = ⋅ ⋅
b) 18 242 3 ;b = ⋅ d) 3 67 ,nd += .n∈N
28. AråtaÆi cå numårul 3 3 311 22 ... 99n = + + + este impar. 29. DeterminaÆi ,x ∈N 100,x ≤ çtiind cå: a) 3x este cub perfect; b) 25 x este cub perfect.
1. DescompuneÆi urmåtoarele numere dupå modelul de la punctul a): a) 35035 5 10 3 10 5;= ⋅ + ⋅ + b) 623; c) 10701; d) 2008.
2. ScrieÆi rezultatele urmåtoarelor sume în forma standard din sistemul zecimal:
a) 3 22 10 3 10 2 10 1;⋅ + ⋅ + ⋅ +
b) 4 25 10 6 10 7;⋅ + ⋅ +
c) 5 4 21 10 4 10 2 10 ;⋅ + ⋅ + ⋅
d) 4 310 10 ,a b c⋅ + ⋅ + unde ,a ,b c sunt cifre nenule (din sistemul zecimal).
3. TransformaÆi urmåtoarele numere din baza 2 în baza 10: a) ( )2101 ; b) ( )21111 ; c) ( )2110010 ; d) ( )21001111 . 4. TransformaÆi din baza 10 în baza 2 urmåtoarele numere: a) 3; b) 8; c) 79; d) 325.
5. ScrieÆi în baza 10 rezultatele urmåtoarelor calcule: a) ( ) ( )2 2101 1101 ;+ b) ( ) ( )2 21110 1011 ;−
16. AflaÆi câte numere de forma abc ( ), 0a c ≠ au proprietåÆile abc cba= çi .a b<
17. O bunicå are doi nepoÆi. Vârsta bunicii este un numår de douå cifre cu proprietatea cå prima cifrå reprezintå vârsta unui nepot, iar a doua cifrå aratå vârsta celuilalt nepot. Ce vârstå are bunica çi nepoÆii, dacå suma vârstelor celor trei este 89?
18. Fie n un numår natural cu cifra unitåÆilor 7 çi m numårul obÆinut prin eliminarea ultimei cifre a lui .n AflaÆi numårul ,n çtiind cå 689.m n+ =
19. DeterminaÆi ab astfel încât numårul 0 1 2 6n ab ab ab= + + ⋅ så fie cub perfect.