C a p ´ ı t u l o 2 Introdu¸ c˜ao ao C´alculo V etor ial - Parte II. C´ alculo Diferencial 2.1 Derivada “Ordi n´ aria” Vamos supor que n´os temos uma fun¸c˜ ao de uma vari´ avel, f(x) que ´ e deriv ´ avel e cont´ ınua no ponto x. O que a signi fica para n´ os a derivada d f/d x? Ela nos diz o qu˜ ao “r´ apido” a fun¸ c˜ao f(x) varia quando n´ os mudamos o argumento xde uma pequena quantidade, d x: d f= d fd xd x(2.1) ou seja, se n´ os variarmos xnuma quandia d x, a fun¸ c˜ ao f(x) vai variar a quantia d f. Por exemplo, ´ e f´ acil interpretar isso com o aux ´ ılio da Fig. 2.1. A fun¸ c˜ao varia lentamente na 2.1a e mais rapidamente na Fig. 2.1b, pois a derivada pode ser interpretada como a inclina¸ c˜ ao da reta tangente no ponto considerado. (a) Gr´ afico de uma fun¸ c˜ ao cuja derivada varia lenta- mente (b) Gr´ afico de uma fun¸ c˜ao cuja derivada varia rapi- damente Figura 2.1: Representa¸ c˜ ao de uma fun¸ c˜ ao deriv´ avel em um ponto qualquer
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FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
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8/8/2019 FIS III - Atv 02 - NAv - Cáculo Vetorial - Parte II
CAP ITULO 2. INTRODUC AO AO C ALCULO VETORIAL - PARTE II. 12
2.1.1 O Gradiente
Suponhamos agora que nos temos uma funcao de 3 variaveis, como exemplo podemos ter uma
funcao temperatura T (x , y ,z ) em uma sala. Vamos supor que dentro desta sala temos um aque-
cedor e um aparelho de ar condicionado em pontos diferentes e desconhecidos. Vamos supor
tambem que um dos cantos da sala esta o nosso sistema de coordendas. Como podemos imag-
inar, ao ligar os dois aparelhos, teremos para cada ponto (x , y ,z ) da sala, uma temperatura T
local ou regiao diferente. Uma pessoa dentro desta sala quer se esfriar, pois o local que ela est ae mais quente. Esta situacao levanta uma questao, em qual direcao ela deve ir para se esfriar o
mais rapido possıvel? Ou se estiver em um local frio, qual a direcao ela deve ir para se aquecer
o mais rapido possıvel? Qual e a melhor direcao para se tomar?
A suposta derivada da funcao T (x , y ,z ) nos fala o quao rapido a funcao T varia se nos
movermos um pouco a nossa posicao.Um teorema nas derivadas parciais declara que:
dT =
∂T
∂x
d x +
∂T
∂ y
d y +
∂T
∂z
d z (2.2)
Esta equacao nos mostra como T varia quando sao alteradas todas as tres variaveis por
quantidade infinitesimais, d x , d y e d z . A equacao 2.2 vem do produto escalar entre:
d T =
∂T
∂x x +
∂T
∂ y ˆ y +
∂T
∂z z
·d x x + d y ˆ y + d z z
= (∇T ) ·
d l
(2.3)
onde
∇T ≡∂T
∂x x +
∂T
∂ y ˆ y +
∂T
∂z z (2.4)
e o gradiente de T .
Interpretac˜ ao Geometrica : A equacao 2.3 pode ser reescrita de uma outra forma, pois o
gradiente tem magnitude e direc˜ ao. Para melhor entendermos geometricamente, temos que:
d T = ∇T · d l = |∇T ||d l |cosθ (2.5)
onde θ e o angulo entre ∇T e d l . O deslocamento infinitesimal possui um vetor unitario em sua
direcao. Entao podemos reescrever a equacao acima como:
d T
d l
= |∇T | · |d l |cosθ
como |d l | e unitario, vem
d T
d l = ∇T ·cosθ (2.6)
A maxima mudanca em T ocorrera evidentemente quando θ = 0. Isso e, para uma distancia
|d l | fixa, dT aumenta se movermos na mesma direcao que ∇T . Entao:
O gradiente ∇T aponta para a direc˜ ao do m´ aximo aumento da func˜ ao T .
Mais ainda:
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Exemplo 2.3
Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
a) V = e −z .se n (2x ).cosh( y )
b) U = x 2 y + zx y
Solucao: Derive a funcao V em x , depois em y e depois em z , independentemente,conformepodemos ver a seguir. Depois some cada parte para obter o gradiente da funcao.
a)
∂V
∂x = 2.e −z
.cos(2x ).cosh( y )x +
∂V
∂ y = e −z
.se n (2x ).senh ( y ) ˆ y +
∂V
∂z = −.e −z
.se n (2x )cosh( y )z
Assim, o gradiente da funcao V e:
∇V =∂V
∂r = 2.e −z .cos(2x ).cosh( y )x + e −z .se n (2x ).senh ( y ) ˆ y − z .e −z .se n (2x )cosh( y )z
b)
∂U
∂x = y (2x + z )x +
∂U
∂ y = x (x + z ) ˆ y +
∂U
∂z = x y z
Assim, o gradiente da funcao U e:
∇U =∂U
∂r = y (2x + z )x + x (x + z ) ˆ y + x y z
2.1.2 O operador ∇
O gradiente tem a aparencia formal de um vetor multiplicando um escalar T, como podemos
ver na equacao a seguir:
∇T =
x ∂
∂x + ˆ y
∂
∂ y + z
∂
∂z
· T (2.7)
onde o termo entre parenteses e chamado de ”del ” e sempre e utilizado o sımbolo ∇:
∇ = x ∂
∂x + ˆ y
∂
∂ y + z
∂
∂z (2.8)
E claro, ∇ nao e um vetor, no senso comum, ele e um operador diferencial com carater
vetorial. Este operador nao e um vetor em si mesmo, mas, quando aplicado a uma funcao
escalar, por exemplo, resulta em um vetor.
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Funcao Vetorial. Aplicar o Divergente em uma funcao escalar nao possui sentido matematico.
Assim o divergente resulta em
∇ ·v =∂v x
∂x +∂v y
∂ y +∂v z
∂z (2.10)
Em muitos livros o Divergente de um vetor e escrito como divv .
Interpretac˜ ao Geometrica : O nome Divergente e bem escolhido. O divergente ∇ ·v e a
medida do quanto a funcao vetorial 1 espalha ou diverge de um ponto escolhido. A Figura 2.3a
mostra que a divergencia de um campo vetorial em um ponto P e positiva porque o vetor diverge
(ou se “espalha” a partir de) em P . Na Figura 2.3b um campo vetorial tem divergencia negativa
(ou convergencia) em P e na Figura 2.3c, um campo vetorial tem divergencia zero em P .
(a) Fonte (b) Sumidouro (c) Nulo
Figura 2.3: Ilustracao da divergencia de um campo vetorial em P ; a) Divergencia positiva ou fonte; b)Divergencia negativa ou sumidouro; c) Divergencia zero.
Exemplo 2.4
Suponha que na Figura 2.4 a func˜ ao vetorial e A =r = x x + y ˆ y + z z . Calcule o seu divergente.
Solucao: Deriva-se a funcao A em x somente no coeficiente do vetor unitario x . Analoga-
mente se faz em y e z . Assim, teremos:
∇ · A =∂
∂x (x )+
∂
∂ y ( y )+
∂
∂z (z )
= 1+1+1
∇ · A = 3 (2.11)
Como esperado, a divergencia de A e positiva. Este resultado e muito util se guardar, pois
facilita em muitos calculos futuros.
Figura 2.4: Exemplo de campo divergente
1Lembrando que aqui e uma funcao vetorial e nao um vetor. Ou seja, ha um vetor/seta para cada ponto
diferente no espaco, porem na figura nao e possıvel desenhar todos os pontos com setas.
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