First Countable Space

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Contents

1 a-paracompact space 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Ball (mathematics) 22.1 Balls in Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 The volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Balls in general metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Balls in normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 p-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3.2 General convex norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Topological balls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Binary relation 63.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

ii CONTENTS

4 Cartesian product 164.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 A deck of cards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 A two-dimensional coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Most common implementation (set theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.1 Non-commutativity and non-associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2 Intersections, unions, and subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.1 Cartesian power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.2 Finite n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.3 Innite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 Other forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4.1 Abbreviated form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4.2 Cartesian product of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 Denitions outside of Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.1 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.2 Graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Closed set 245.1 Equivalent denitions of a closed set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Properties of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Examples of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 More about closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Closure (topology) 266.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CONTENTS iii

6.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Coniteness 307.1 Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Conite topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2.2 Double-pointed conite topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3.1 Product topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3.2 Direct sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Compact operator 328.1 Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2 Important properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.3 Origins in integral equation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Compact operator on Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.5 Completely continuous operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Compact space 369.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10 Compact-open topology 4510.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iv CONTENTS

10.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.3 Frchet dierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

11 Compactly embedded 4711.1 Denition (topological spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.2 Denition (normed spaces) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

12 Countable set 4812.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.4 Formal denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.5 Minimal model of set theory is countable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.6 Total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

13 Cover (topology) 5613.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

14 Cuboid 5914.1 General cuboids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.2 Rectangular cuboid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

14.2.1 Nets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

15 Discrete space 6115.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6115.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

CONTENTS v

15.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6315.4 Indiscrete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6315.5 Quotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6315.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6315.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

16 Euclidean space 6416.1 Intuitive overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6416.2 Euclidean structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

16.2.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.2.2 Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.2.3 Rotations and reections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.2.4 Euclidean group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.3 Non-Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6916.4 Geometric shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.4.1 Lines, planes, and other subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.4.2 Line segments and triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.4.3 Polytopes and root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7216.4.4 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7216.4.5 Balls, spheres, and hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

16.5 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7316.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7316.7 Alternatives and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

16.7.1 Curved spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7316.7.2 Indenite quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7316.7.3 Other number elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7416.7.4 Innite dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

16.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7416.9 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7416.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7416.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

17 Exhaustion by compact sets 7517.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7517.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

18 Feebly compact space 76

19 Filter (mathematics) 7719.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7819.2 General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7819.3 Filter on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vi CONTENTS

19.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7919.3.2 Filters in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7919.3.3 Filters in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

19.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8219.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8219.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

20 First uncountable ordinal 8320.1 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8320.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8320.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

21 First-countable space 8421.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8421.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8421.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8521.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

22 Function composition 8622.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8622.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8722.3 Composition monoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8722.4 Functional powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8722.5 Alternative notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9022.6 Composition operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9022.7 In programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9022.8 Multivariate functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9022.9 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9122.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9122.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9222.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9222.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

23 Functional analysis 9323.1 Normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

23.1.1 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9423.1.2 Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

23.2 Major and foundational results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9423.2.1 Uniform boundedness principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9523.2.2 Spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9523.2.3 Hahn-Banach theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9523.2.4 Open mapping theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.2.5 Closed graph theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

CONTENTS vii

23.2.6 Other topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.3 Foundations of mathematics considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.4 Points of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9723.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9723.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9723.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

24 Glossary of topology 9924.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10024.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10124.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10124.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10324.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10324.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10324.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10424.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10424.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10524.10K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10524.11L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10624.12M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10624.13N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10724.14O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10824.15P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10824.16Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.17R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11024.18S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11024.19T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11124.20U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11224.21W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.22Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

25 H-closed space 11525.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

26 Hasse diagram 11626.1 A good Hasse diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11726.2 Upward planarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

viii CONTENTS

26.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11726.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11826.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

27 Hausdor space 12027.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12027.2 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12127.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12127.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12127.5 Preregularity versus regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12227.6 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12227.7 Algebra of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12327.8 Academic humour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12327.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12327.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12327.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

28 HeineBorel theorem 12428.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12428.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12428.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12528.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12628.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12628.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12628.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

29 Hemicompact space 12829.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12829.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12829.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12829.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

30 Interior (topology) 13030.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

30.1.1 Interior point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13130.1.2 Interior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

30.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13130.3 Interior operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13230.4 Exterior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13230.5 Interior-disjoint shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13330.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13330.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13330.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

CONTENTS ix

31 k-cell (mathematics) 13531.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13531.2 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13531.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

32 Lebesgue covering dimension 13732.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13732.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13732.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13732.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13832.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

32.5.1 Historical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13832.5.2 Modern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

32.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13832.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

33 Limit point compact 13933.1 Properties and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13933.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13933.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14033.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

34 Lindelf space 14134.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14134.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14134.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14134.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14234.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14234.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14234.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

35 Locally compact space 14335.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14335.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

35.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14435.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14435.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14435.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

35.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14535.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14535.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

35.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14635.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

x CONTENTS

36 Locally convex topological vector space 14736.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14736.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

36.2.1 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14736.2.2 Seminorms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14836.2.3 Equivalence of denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

36.3 Further denitions and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14936.4 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

36.4.1 Examples of locally convex spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15036.4.2 Examples of spaces lacking local convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

36.5 Continuous linear mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15136.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15236.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

37 Locally nite 153

38 Locally nite collection 15438.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

38.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15438.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

38.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15538.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15538.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

39 Locally nite space 15639.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

40 Manifold 15740.1 Motivational examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

40.1.1 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15840.1.2 Other curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16140.1.3 Enriched circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

40.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16240.2.1 Early development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16240.2.2 Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16340.2.3 Poincar's denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16340.2.4 Topology of manifolds: highlights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

40.3 Mathematical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16440.3.1 Broad denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

40.4 Charts, atlases, and transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16540.4.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16540.4.2 Atlases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16540.4.3 Transition maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

CONTENTS xi

40.4.4 Additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16640.5 Manifold with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

40.5.1 Boundary and interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16640.6 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

40.6.1 Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16640.6.2 Patchwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16740.6.3 Identifying points of a manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16840.6.4 Gluing along boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16840.6.5 Cartesian products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

40.7 Manifolds with additional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16840.7.1 Topological manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16840.7.2 Dierentiable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16940.7.3 Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16940.7.4 Finsler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17040.7.5 Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17040.7.6 Other types of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

40.8 Classication and invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17040.9 Examples of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

40.9.1 Orientability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17140.9.2 Genus and the Euler characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

40.10Maps of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17240.10.1 Scalar-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

40.11Generalizations of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17340.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

40.12.1 By dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17440.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17440.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17540.15External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

41 Mathematical analysis 18241.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18341.2 Important concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

41.2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18441.2.2 Sequences and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

41.3 Main branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.3.1 Real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.3.2 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.3.3 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.3.4 Dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.3.5 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18641.3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

41.4 Other topics in mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

xii CONTENTS

41.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18741.5.1 Physical sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18741.5.2 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18741.5.3 Other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

41.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18741.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18841.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18941.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

42 Mesocompact space 19042.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19042.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

43 Metacompact space 19143.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19143.2 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19143.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19143.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

44 Metric (mathematics) 19344.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19444.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19444.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19544.4 Equivalence of metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19544.5 Metrics on vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19544.6 Metrics on multisets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19644.7 Generalized metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

44.7.1 Extended metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19644.7.2 Pseudometrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19744.7.3 Quasimetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19744.7.4 Semimetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19744.7.5 Premetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19844.7.6 Pseudoquasimetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19844.7.7 Important cases of generalized metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

44.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19944.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19944.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19944.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20044.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

45 Metric space 20145.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20145.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

CONTENTS xiii

45.3 Examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20245.4 Open and closed sets, topology and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20345.5 Types of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

45.5.1 Complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20345.5.2 Bounded and totally bounded spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20445.5.3 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.5.4 Locally compact and proper spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.5.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.5.6 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

45.6 Types of maps between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.6.1 Continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20645.6.2 Uniformly continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20645.6.3 Lipschitz-continuous maps and contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20645.6.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20745.6.5 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

45.7 Notions of metric space equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20745.8 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20745.9 Distance between points and sets; Hausdor distance and Gromov metric . . . . . . . . . . . . . . 20845.10Product metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

45.10.1 Continuity of distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20845.11Quotient metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20945.12Generalizations of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

45.12.1 Metric spaces as enriched categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20945.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21045.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21045.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21145.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

46 Metrization theorem 21246.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21246.2 Metrization theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21246.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21346.4 Examples of non-metrizable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21346.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21346.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

47 Neighbourhood system 21447.1 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21447.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21447.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21447.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21547.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

xiv CONTENTS

48 Norm (mathematics) 21648.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21648.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

48.3.1 Absolute-value norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.3.2 Euclidean norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.3.3 Taxicab norm or Manhattan norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21848.3.4 p-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21848.3.5 Maximum norm (special case of: innity norm, uniform norm, or supremum norm) . . . . 21948.3.6 Zero norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21948.3.7 Other norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22148.3.8 Innite-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

48.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22148.5 Classication of seminorms: absolutely convex absorbing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22348.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22348.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22348.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22448.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

49 Normal space 22649.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22649.2 Examples of normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22749.3 Examples of non-normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22749.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22849.5 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22849.6 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22849.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

50 Normed vector space 22950.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22950.2 Topological structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23050.3 Linear maps and dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23050.4 Normed spaces as quotient spaces of seminormed spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23150.5 Finite product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23150.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23250.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

51 Open set 23351.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23451.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

51.2.1 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23551.2.2 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

CONTENTS xv

51.2.3 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23551.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23551.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23551.5 Notes and cautions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

51.5.1 Open is dened relative to a particular topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.5.2 Open and closed are not mutually exclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

51.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23651.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

52 Order theory 23852.1 Background and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23852.2 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

52.2.1 Partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23952.2.2 Visualizing a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23952.2.3 Special elements within an order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23952.2.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24152.2.5 Constructing new orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

52.3 Functions between orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24152.4 Special types of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24252.5 Subsets of ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24352.6 Related mathematical areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

52.6.1 Universal algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24352.6.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24352.6.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

52.7 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24452.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24452.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24452.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24452.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

53 Orthocompact space 24653.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

54 Paracompact space 24754.1 Paracompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24754.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24754.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24854.4 Paracompact Hausdor Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

54.4.1 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24954.5 Relationship with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

54.5.1 Comparison of properties with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

xvi CONTENTS

54.6 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25054.6.1 Denition of relevant terms for the variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

54.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25154.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25154.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25254.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

55 Partially ordered set 25355.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25455.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25455.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25455.4 Orders on the Cartesian product of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25555.5 Sums of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25555.6 Strict and non-strict partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25655.7 Inverse and order dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25655.8 Mappings between partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25655.9 Number of partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25755.10Linear extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25755.11In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25855.12Partial orders in topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25855.13Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25855.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25855.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25955.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25955.17External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

56 Particular point topology 26056.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

56.1.1 Connectedness Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26056.1.2 Compactness Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26156.1.3 Limit related . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26156.1.4 Separation related . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

56.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26256.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

57 Partition of unity 26357.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26357.2 Variant denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26457.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26457.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26457.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26457.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

CONTENTS xvii

58 Product topology 26558.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26558.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26558.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26658.4 Relation to other topological notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26758.5 Axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26758.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26758.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26758.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26858.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

59 Pseudocompact space 26959.1 Properties related to pseudocompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26959.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26959.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

60 Pseudometric 271

61 Quotient space (topology) 27261.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27361.2 Quotient map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27361.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27361.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27461.5 Compatibility with other topological notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27561.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

61.6.1 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27561.6.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

61.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

62 Real line 27662.1 As a linear continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27662.2 As a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27762.3 As a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27762.4 As a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27862.5 As a measure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27862.6 In real algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27962.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27962.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

63 Realcompact space 28063.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28063.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28063.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

xviii CONTENTS

64 Regular space 28264.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28264.2 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28364.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28364.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28464.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

65 Relatively compact subspace 28565.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28565.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

66 Second-countable space 28666.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

66.1.1 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28666.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

67 Sequence 28867.1 Examples and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

67.1.1 Important examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28967.1.2 Indexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29067.1.3 Specifying a sequence by recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

67.2 Formal denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29167.2.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29167.2.2 Finite and innite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29267.2.3 Increasing and decreasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29267.2.4 Bounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29267.2.5 Other types of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

67.3 Limits and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29367.3.1 Denition of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29467.3.2 Applications and important results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29467.3.3 Cauchy sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

67.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29567.5 Use in other elds of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

67.5.1 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29667.5.2 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29667.5.3 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29767.5.4 Abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29767.5.5 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29867.5.6 Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29867.5.7 Streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

67.6 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

CONTENTS xix

67.7 Related concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29967.8 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29967.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29967.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29967.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

68 Sequential space 30168.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.2 Sequential closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30168.3 FrchetUrysohn space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30268.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30268.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30268.6 Equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.7 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30368.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

69 Sequentially compact space 30569.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.2 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30569.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

70 Set (mathematics) 30770.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30870.2 Describing sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30870.3 Membership . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

70.3.1 Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31070.3.2 Power sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

70.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31170.5 Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31170.6 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

70.6.1 Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31270.6.2 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31370.6.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31370.6.4 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

70.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31670.8 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31670.9 Principle of inclusion and exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31770.10De Morgans Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31770.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

xx CONTENTS

70.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31870.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31870.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

71 Strictly singular operator 31971.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

72 Subset 32072.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32172.2 and symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32172.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32172.4 Other properties of inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32272.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32272.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32272.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

73 Subspace topology 32473.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32473.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32473.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32573.4 Preservation of topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32673.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32673.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

74 Supercompact space 32774.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32774.2 Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32774.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

75 Topological space 32975.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

75.1.1 Neighbourhoods denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32975.1.2 Open sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33075.1.3 Closed sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33175.1.4 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

75.2 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33175.3 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33175.4 Examples of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33275.5 Topological constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33375.6 Classication of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33375.7 Topological spaces with algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33375.8 Topological spaces with order structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33375.9 Specializations and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

CONTENTS xxi

75.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33475.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33475.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33475.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

76 Topology 33676.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33776.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33876.3 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

76.3.1 Topologies on Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34076.3.2 Continuous functions and homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34176.3.3 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

76.4 Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34176.4.1 General topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34176.4.2 Algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34276.4.3 Dierential topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34276.4.4 Geometric topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34276.4.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

76.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34376.5.1 Biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34376.5.2 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34376.5.3 Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34376.5.4 Robotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

76.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34376.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34476.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34576.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

77 Total order 34677.1 Strict total order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34677.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34777.3 Further concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

77.3.1 Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34777.3.2 Lattice theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34777.3.3 Finite total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34877.3.4 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34877.3.5 Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34877.3.6 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34877.3.7 Sums of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

77.4 Orders on the Cartesian product of totally ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34977.5 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34977.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

xxii CONTENTS

77.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34977.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

78 Totally bounded space 35178.1 Denition for a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35178.2 Denitions in other contexts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35178.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35278.4 Relationships with compactness and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35278.5 Use of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35378.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35378.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35378.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

79 Trivial topology 35479.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35579.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

80 Tychono space 35680.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35680.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35680.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

80.3.1 Preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35780.3.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35780.3.3 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35880.3.4 Compactications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35880.3.5 Uniform structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

80.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

81 Tychonos theorem 35981.1 Topological denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35981.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35981.3 Proofs of Tychonos theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36081.4 Tychonos theorem and the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36081.5 Proof of the axiom of choice from Tychonos theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36181.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36181.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

82 Union (set theory) 36382.1 Union of two sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36382.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36482.3 Finite unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36582.4 Arbitrary unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

82.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

CONTENTS xxiii

82.4.2 Union and intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36582.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36682.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36682.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

83 Vector space 36783.1 Introduction and denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

83.1.1 First example: arrows in the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36883.1.2 Second example: ordered pairs of numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36883.1.3 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36883.1.4 Alternative formulations and elementary consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

83.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36983.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

83.3.1 Coordinate spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37083.3.2 Complex numbers and other eld extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37083.3.3 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37183.3.4 Linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

83.4 Basis and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37183.5 Linear maps and matrices . . . . . . . . . . . . . . . .