finite Elemente in der Bruchmechanik Herausgegeben van HP. Rossmanith Springer·Verlag Wien New Yark 198 Z RqIlCff'IECfI·\IK VO STAHLRETO .P. RAl.T, L. CEnOl.I\ lind P. (��\'flROV·\ "IIS dm Englischen iihersetzt und iiher<lrhitet \'on H.P. qOSS\f \.ITfi und fI.-'., '11, Ri dr hruchmechanischen IInterstlchllng hewehrter Retonhauteil tten im wesentlichen zwei I'rohlemkreis auf, n.imlich (a) die ()genannte "nhjektivitat" der im Rahmen dr verwendeten Finite Flemente-4ethoden (FE\!) heniitzten Kriterien zur Rerticksichti- gllng der Riaushreitun: und andererseits (h) die Einheziehung der Rewehrtln in das ·'Retonkontinutlm". niese heiden Themen- krei5e 5011en im folgenden im netail hehandelt werden. [lie Spannungs- und Verformllngsanalyse eines Huteils m1J� mit "ohjektiven" 'Iethoden durchg e fiihrt werden, d.h. sich ergehende physikalische Gren wie Verschiehun Tlehnlln Spannung Hnd Spannungsintensittsfaktoren mUssen, von Uhlichen niskreti- sierungsfehlern ahgesehen, von den geometrischen Eigenschaften der verwendeten finiten Elemente unahhangig sein. flies ist so Z verstehen, daB hei zunehmender Verfeinerung der fliskreti- sierung das AusmaB der Ahh�ngigkeit der erwahnten physikali- schen GrHAen von der Oiskretisierung immer mehr ahnimmt und im praktisch nicht realisierharen Grenzfall keine derartige Ah- hnngigkeit mehr vorliegt. Oie Rruchmechanik findet derzeit zunehmend Eingang in die 4echanik des hewehrten lind unhewehrten Betons. nies geschieht
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finite Elemente in der
Bruchmechanik
Herausgegeben van
H.-P. Rossmanith
Springer·Verlag Wien New Yark
198 Z
RqIlCff'IECfI·\'lIK VO'l STAHLRETO'l
::.P. RAl.i\'lT, L. CEnOl.I\ lind P. (��\'fl.\ROV·\
".IIS dt'm Englischen iihersetzt und iiher<lrhfOitet \'on
freier Gleiliange - NETZ A --- NETZ B ----- NETZ C
2 ) , 5 RiBlange (em)
7 8
Ahh. 2. Ergebnisse fUr die Netzteilungen A. R und C hei Verwendung des Zugspannungs- hzw. des Energiekriteriums �Is Rruchkriterium hei BerUcksichtigung hzw. NichtherUcksichtigung von r.leitverhund zwischen der Bewehrung und umgebenden Beton
.....,.
N1therllngsweise�tlt fOr B-1
r. <::tI _ M! (2) � t\a mit da als dem der Elementsseitenahmessung gleichgesetztea Vor-schritt des Bruchhandes. In den Ahbildungen wird fOr einen RiBvorschritt von a auf a + da als theoretische RiBllnge a + �a/2 angesehen.
Bruehvorschritt trltt ein, wenn das Bruchausbreitungskriterium
erfUll t ist. 9cr ist dabei die kritische Bruchzllhigkei t oder Bruchfestigkeit fOr Beton. Sie stellt einen Materialkennwert dar. Ole Ohjektivit�t dieses Kriteriums ist durch die Tatsache gewlhrleistet. daB9 von der ElementgrOBe unabhlngig ist.
In der Bruchmechanik verwendet man Oblicherweise den Spannungsintensitltsfaktor K hzw. seinen kritischen Wert
K - {E'C )1/2 cr c ,cr (4)
zur Charakterisierung des Spannungsfeldes um eine scharfe RiBspitze; da eine solche im gegebenen FaIle nicht vorliegt. findet in dieser Arbeit vorzugsweise $ Verwendung.
Oa! Hauptnormalspannungskriterium kOnnte "objektiviert" werden. wenn anstelle der Zugfestigkeit ft eine effektive Festigkeit feq derart eingefOhrt wOrde. daB
feq -c {E� ler/ w J 1/2 (�) mit w • da als Breite des Bruchbandes. Die Kons tante c hlngt vom Elementtyp abo Sie weicht nicht aI11u stark von 1 ab (hier ist c-O.921). LOs t lIan GIg. (5) mit feq - ft nach w auf, so ergibt sich eine Elellentgr�Be von
w - Wc • E� �cr ( It)2 , (6) die normalerweise ein Vielfaches der GrOBe der maximalen Zug-5chlagstoffe ist (GIg. (6) gilt far unbewehrten Beton). F{1r viele Strukturen ist eine soleh geringe Elementgr6Be inakzep
tahel; (lle vorgahe von w • !la entspl"echend GIg. (6) erlaubt ke!ne Netzverfeinerung.
J02
AIl e Laborversuche zur RestAtigung von Rechene rgehni s s en auf
�rund .• herk�lIlll11icher 'fethoden sind durch relat i v k l e i ne Prohen
�raBen gekennzeichnet. Die Gr�Be der E l emente Macht oftma l s
nur ein �eringes Vie l faches der Zuschlagstoffgr6Be aus.
Dies e r k l A r t die in der Literatur angefUhrte. zufriedenst e l l
ende Oh ereins t immung mit den Tes tergebnissen. �an sol l t e je
doch yor zu groBen Erwartungen bezOglich der GUte der Rechen
ergebnis se bei grftBeren Strukturen. wie z.B. Kernreaktordruck
gefABeaoder StaudAmmen, fUr welche in- situ-Test s nich t in
F rage kommen. warnen.
GIg. (6) is t die Grundiage fOr eine indirekte �ethode zur Re
st immung der Bruch z A h i gkeit 9cr unahhAngig von den k l ass i schen
Bruchprohen . Fal l s d i e auf fi heruhenden. herk�mm l i chen �etho
den far e ine hest imm t e El ementahmes sun� w Ergehnisse l iefern,
d i e i n Ohereinst immung m i t den Tes t re s u l taten s ind. und fal l s
die Res u l tate Uberd i e s vom Wert von fi ahhAn�en. dann g i l t
w • Wc und �
cr i st gegehen durch:
C;c r
• ( fi lc )2
w/E� . (7)
Die Anwendbarkeit hruchmechanischer �ethoden auf Reton wird
von manchen Experimentatoren ange zwe i fe l t. Die Differenzen
zwischen hruchmechanischer Vorhersage und Experiment l iegen in
den zu k l einen Prohenahmessungen. FOr groBe S t rukturen wie im
Reak torhau oder hei S taudAmmen i s t d i e Rruchmechanik ohne
Zweifel anwendhar. Dahei is t die Frage der Verwendung eines
Bruchbandes oder eines im mathemat i schen S inne scharfen � i s se s
eine Frage des nume r i schen Aufwandes. Die Ergehnisse an sic h
sind nahezu die gleichen. Was die Anwendungsherei che der h eiden
erwlhnten RiBaushreitungskriterien anhe l apgt. hefinde t man
sich bei k leineren Bautei l en in einem Ohergangsgehiet vom
Energiekriterium ( �c r) zum F e s t igkeit s k riteriuIII (ft ) . Die Ver
wendun� eines ein E l ement b reiten , s tulllpfen Bruchbandes bei
kleinen BauteilBB lIIit dem gleichen 1er wie fOr eine groBe
Struktu r t rAgt ZUlli Eintritt in diesen nbergangsbereieh b ei
breite w zu einer eharakt eristischen Probenabllle ssung D. a l so
wID wlch s t s tArker gegen 1 al s ein !hnl iehes VerhAl tnis fOr
den seharfen RiB) . Oherd i e s ist r. (wi e auc h w ) fUr k l e ine ler e
303
Prohen nieh t mehr k onstan t , s ondern n i mlllt lII i t ahnehlllender Pro
hengr6Be ah . FUr bewehrten Beton lIIuB C vom '-Anteil der Be-ler wehrung ahhllngen w i e auch von der Gr6Be und dem Ahstand der
Bewehrung s s tAbe. D i e BerUck sieht i gung d i e s e s kOlllp l exen Sachver
hal tes wU rde den Rahmen d i e s e r Arhe i t sprengen. W i r nehmen
h ie r an. �cr s ei a priori gegehen .
4. Bestimmung der Ri6ausbreitungskraft
Zur Re rechnung der RiBaushre i tung s k raft � oder.snders aus�e
drUck t , der Fre i s e t zungsrat e der Verzerrungsenergie, atl/as. hetrach t e t man ein e i nfaeheres, lIhnliehes �ode l l. he; dem das
Rruehhand durch e ine Kerhe von der Rre i t e e i nes E l emente s e r
s e t z t wi rd . Dorch Wegschne i den des �ater i a l s im Vo l um s e l elllent
6V (5. Ahh . 3a) real i s i eren w;r d en Vorseh r i t t der Kerh e . ner
IInters c h i ed zwi schen dem Rruchhand und der Kerhe l i egt dar i n ,
daB das Volumen 6V, we l c hes h e i m Rruc hband n icht weggeschn i t
t en sondern nur ger i s s en i s t. nur d i e FlIh i g ke i t verl i er t,
<:nannllnl!en norl'la l Zll den �ic;sen zu flhertrap.,en, Sormal snanntln
�en paral l e l zu d en R i s s en werden h i ngegen fiher tragen .
Il i e Rewehrung wird a l s "verschlftiertes Kon t i nuulll" hetrachtet;
unt er der Annahme vo l l en Verhundes s i nd die Ver z errungen t • . 1m R�ton und in der Bewehrung d i es e]hen. FOr d i e Spannung :� Kompo s i t g i l t
(8) woh e i ai J und a ij d i e vom Reton und der Rewehrung Obert ragenen
�oannung sant e i l e s ind. Oas ort hogona l e Rewehrungsne t z ist
durch d i e zwe i Parameter P1 und P , (P1 • F. IF . .-. 1 Stah] K01llP05i t'
F • . . F l nche) , charak t e r i siert. Es p i l t
mit a und a a l s den Spannunp .. en in d ft h 51 1 5ZZ en newe rtlnl!5s tllhen paral l e l zu Xl und xz.
Vera l l geme inerung auf schiefwinkelige Rewehrung sne t z e fUhrt
Iluf
(9)
(10)
d )�rflQchenlcrQtte auf �S
b )Zwischenzus land
'----v---" 1-Lagen System
g) Grofles tla
c) Endzusland
t ) Knotenkra t Ie in �v
h) K Itlnes �a
Ahh. :\. "Ilshreitun� des Rrllchhanctes IInet ",afl�ehende Kraftdillgramme
mit Q als dem Tensor del' einachsi�en Snannung des Rewehrungs-Os i j " teiles Q und ck� als del' �atrix del' Richtungskosinus.
ner Vorschritt des Bruchhandes leann al� 2-Stufenproze� an�esehen werden:
,. Stufe: Wir denken uns in IN Risse parallel ZII x, geschnitten und gleichzeitig Oherfl�chenkr�fte aTc' auf dem Rand as des Volumenelementes aV und Volumskr�fte atCi in tV angebracht, derart, da� aT�� und �f�� die ursprUngl iche Wirkung des Retons
-1 -1 in tV fohne die Bewehrun�) auf den rest i ichen Reton I'Iit dem Volllmen (V - �V) !md die �ewehrlln� innerhalh von ,\'1 ersetzen.
(s. Ahh. Jd lind Je). "'an heachte, daB die af � in Wirklichkeit Verhllndkrllfte zwischen Stllhl und Reton sind,
cJaB sie illl "ver
schmierten" Kompositmodel1 aher als Volumskrllfte auftreten (s. Ahh. Je). Damit erh�lt man einen r.leichgewichtszustand (�etaZllstllnd), und aIle verschiehungen und somit auch die Verzerrungen sind unver�ndert gehalten. �an spricht von einem "einge-
. frorenen" Verschiehungs- h zw. Verzerrungszustand.
2. Stufe: Sogenanntes "Auftauen des Systems", gekennzeichnet dllrch ·�h«;enken von AT � lind Af � allf Null (hzw. Ian�sames "n-• 0 Cl 0 Cl hrln�en von -aT . und -af .), wohei die ursprUnglichen Ver-Cl Cl 0 0' 0 sctl1ehllngen, Ver zerrungen und Spannllnoen u . • (: .. und 0 • • in . . � 1 I) I) den End zustand ui' £ij und 0ij Ubergehen. J.m Betonvolumen aV (ohne Bewehrungsllnteil) gilt heim RiBvorschritt vom AnfangsZlllll Zwischenzllstand:
( 1 1)
na sich nach Voraussetzung die Risse im Bruchhand parallel zu x, aushreiten (normal zur Richtung del' Hlluptspannung). muB die Schuhspannung illl Element direkt VOl' del' Bruchbandfront �ull
c seln; daher a012 • o.
"m Ende del' ersten Stufe (�eta zustand) sind die Spannungen in del' Struktur unverlndert, mit Ausnahme del' Spannungen 1m Beton
CO tnJV. worin die Spannung 022 verschwindet und nul' die Spannung o�, (I) • F.�£�t verhleiht.
Die �nderung del' �otentiellen Energie zufolge von Rei Ben des Betons im Volumen aV ist gleich deT beim ReiBen des Betons frei�e�etzten VerzeTrun�seneTgie, nlmlich
(12)
Beim Obergang vom Zwischenzustand zum Endzustand (Zustand II) flndet kein ReiBen statt, d.h. keine Energiedissipation, sodaB die �nderung del' potentiellen EneTgie del' GesamtstruktuT
aV + (V - aV) nUT aus der (negativen) Arbeit beim Entspannen
306
dt"r !hlBerl'n Kr�fte /lT� i und H�" odel' , andel'� alls�edl'l\ckt, tufoll!e !\ufhrinp,enc; von - flT� i \�nd -1If�
i he�teht:
, 2
�� nht"l'fl�chenanteil
flf 0 (u, - ll�) <1\'(n) c i l l
flY Volumenanteil
�WT ste llt diejenige Arheit dar, die von del' Wil'kunp, dec; Restes del' hetl'achteten �cheihe auf dac; �el'i �sene Betonvolume;ele
ment /lY hel'l'Ohl't.
Die w�hl'end des �l'uchhandvol'e;chl'ittec; aufl!ehl'auchte �es amte fl otentielle F.nl'l'�it" 1\" c;etzt s ich :1IIC; del' �i"ohel'fUchenener�ie in flY und dt"l' di�c;ipierten W�l'meene l'gie zuc;ammen:
(U)
nie� 1St die �T'undle (!ende r.lt"ichunv, fill' die Rl'uchmechanik von
�tahlheton.
Bei nichtlinearem �aterialvel'halten innl'rhalh von V-/IV und Fliellen del' Bewehrun� innerh:tlh von Y-�V und /lY ht r.l�. (n)
tu modifizieren /1/. Fall s lilt hinreichend klein ic;t (was oft del' Fall is t) kann Gig. (13) auch im nichtlinearen Fal l ver- ,
wendet werden /1/. Oil'S ic;t aue; den Ahh. 3� und 3h ere; ichtlich :
die FUche WT
in Ahh. 3J! und 3h reprllc;enti .. rt !lTc.du;. 1m
Grentfall degenel'iert sit" tU einem Orejeck. 1
Falls sich das Material auBerhalh von AY, d.h. auBerhalh del' BruchprozeBzone,nichtlinear verh�lt, wohei die Sichtlinearitlt
auf die BruchprozpBzone heschr�nkt hleihl'n �6�e, dann muB da� ein-Element-breite Bruchhand .it del' aktuellen Rruchhandbreite w fOr das �aterial zusamllenfallen, es muB also gelten w • wc.' c . (s. Abh. 4). nil'S ist notwendig, d. del' Enel'giefluB aus V - lY
in da! Volumen AV nicht unahhlngi� von der Wahl der Oherfllch.
AS ht. Rei linear eiastischem \faterialverhalten auBerhalb von aV h1n�egen 1st diesel' Energieflu8 von der Wahl von AS UR
abhlngig. Der erwlhnte Sachvel'halt 1st vlHlig analog zur BruehIIIechan1k elll5tischer hzw. elasto-plastischer. metallischer Werkstoffe. Die VerwendunR des J-Integralkonzeptes zIIr Berech
nung von AWT wOrde die Verwendun� "heliebig" brei tel' Bruchbinder gestatten.
307
Bel Anwendung del' F�� werden die vel'teilten Krnfte AT�i
und
Afo durch Knotenkrnfte ersettt . GI�. (14) Jautl't d�nn: Ci
all - -IJ f[(1�; £�j - E�([�1)2JdV +
- u�) ] + 1 as
AV
[ [ -21 �po (u. - U01,) J ei 1 aV
(i , AV)
[ [ � t.Q�i(Ui-
(i ,as)
(1 S)
III it flQo. als Knotenkrnften zufolge der nherfl�ehenkrnfte flTo -
0 ci llP81 al s Knotenkr�ften zufol�e del' Yolum�k r�fte flCe,' lind c i 1
nil' Kr�fte -AO und -4P . k�nnen dlrekt al� Knot�nkr�fte he-. 'C i c 1
rechnet werden, die auf den Beton �u f flS und innerhalh von flY
wirken und in flY im Gleith�ewicht mit den Spannun�en nach "lR. (11) <:.tehen. Fall� Reton \Ind R('wehl'ung an innt"l't'n F.le-
mentsknoten als nicht unter Verhund stehend berOcksichtigt werden (Ahh, ��) (ein Yorgang, der manchllal hei der �odell ier
ung del' Bl'wehrun� angewendet wird) , �ilt flPCi-O, und die letzte Summe in del' cag. (IS) entfU lt. F 1Illt die �ittellinie
des Bruchhandes mit einer Symmetrielinie des Elementes aV Zll5 Itlll men , dann giht es aufgrund von Symmetrie keine J(raftOhertragung von der Bewehrung auf den Beton entlang der gesamten Symmetrieache;e. 1m FaI le von Symmetrie reicht es hint Integrationen und SUlllmationen in r.lg. (IS) nul' Oher die eine Hllfte des Netthereiches durchzufUhren.
�it Hi1fe der Bruchbandmethode wurde das eingangs diskutierte
Beispiel f�r den Fall vollen Verhunds , gekennzeichnet durcb
Nichtbel'Qcksieh tigung des Schlupfes zwischen del' Bewehl'ung und de. u.gebenden Beton,noehmals gerechnet. Der Bereehnung vurde
r. • 2 13J N/M zu�runde Rele�t. Oil'S fUhrt fOr das grObste 7cr •
Netz auf f art'. eq
Oil' Abb. 2a und 2benthal ten den Lastpara.etel' � als Funktion der RiBllnge a fUr unbewehrten (p.o \1 und bewehrten (p·O.8 \)
Beton. FOr unbewehrten Beton fallen bei Verwendung des Energietriteriulls die (urven fOr die drei Netze fast zusa •• en; sie werden mit der LOsung fOr einen scharfen RiB in ei ner Scheibe _it del' Geo�etrie des Nettes 8 vel'gl i ehen. FOr den bewehrten 8eton divergieren die (urven mit waehsendem a.
308
r.enlluere Unt ersuchungen z e i gen , d a B d e l' Ver l us t del' "Obje k t i vi
t � t " des e r l �uterten Ener �i e kr i t e r i um s e i ne Fo l ge d e l' Ni c h t be
rOc k s i c h t i g un \t von G l e i t ve Thund zwi sc h e n d e l' Bewehrung und dem
umgehenden Reton i s t . Oh l icherwe i s e werden d ie Bewehrungs s t � be
al s m i t d em umge benden Ret on i n a l l en E l em e n t s kno t en s t e i f ve r
h llnden hetrac h t e t . !l i e S t e i fi g k e i t d e s A h s c hn i t te s e ines Be
wehrun�s s t a h e s , d e l' zwe i Kno tenpu n k t e auf gegenOber l i egenden
IIfern e i nes st um pfen R i s s e s m i t del' R i Bbre i te w verbi ndet , e r
g i h t s i ch , a u f d i e E i nh e i t d e l' R i Bh re i t e h e z o ge n , z u
(16 )
wohei h d i e Sche i bend i c k e i s t . �i t fei ner werdender Net z t e i l ung
wird w .0 und k .- . 1m r.re nzfa l l i n fi n i t e s im a l e r E l emente s wurde d i e Rewehrung k e i ne R i B �ffnung g e s t a t t en . !li e s i s t un-
m�g l i c h . !ler he s c h r i e ben e, i r rea l e Sac h verha l t gi l t sowo h l fOr
das En erg i e k r i t e r lum w i e auc h fOr d a s Fe s t i g ke i t s k r i t e r i um.
[li e RerOc k s i c h t i gung von r.l e i t ve r bund z w i s c hen Bewehrung und
umgehenden Be ton i s t d a he r e i ne no twend i ge Bed i ngung zur E r
l angung e i nes "o bje k t iven" im S i nne von ne t z i n va r i anten (von
den Oh l i chen D i s kre t i s i erung s fe hl e rn a hges e hen ) E r ge bn i s se � .
Objek t i vi t � t d e s Ergehn i s se s im erw�h n t en Si nne l i eBe s i c h nun
n i c h t e r re i ch en , wenn d i e A bs c hn i t t e d e r Bewe hrungs s t� be , l �n gs
der Gl e i t verbund angenomme n w i rd , m i t d e r Topo l og i e des F!
Net z e s i n Be z i e hung g es e t z t wurde . Der A bs c hn i t t ZLs
e i nes Be
wehrungs s t a be s , d e r m i t G l e i t ve r bund a s so z i i e r t w i rd (5 . A bb.
4 b) , MuB e i ne F.i gens c ha ft d e s Ver bundwerk s toffes Stah l be ton
dars t e l l e n .
5. Oer Einflu6 des Schlupfes zwischen der Bewehrung und dem umgebenden
Beton
Die Haftspannungen Tb zwi schen der Bewehrung und delll uIIIgeben
den Beton hlngen von den an der Trennf l lche wirkenden. lokalen
Nor.a l spannungen ab o Der Schlupf verursacht eine Dilatationsbe
anspruchung des die Bewehrung u.gebenden Betons . Weiters h lnlt
Tb vo. Schlupf 4�. d . h . von der re lat i ven Tangentia lversch ie
bung zwischen Bewehrung und u.gehende lll Beton a bo Di e erwllhnten
Tat s a c hen verur s a c he n e in e ung le i c hfOrmi ge Ver t e i l un g von Tb l �ngs d e s Rewehrungs e l em e n t e s (s . A bb. 5).
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FE - N@Otz I i i i -�-"T-4--TI I I
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309
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,'Ihh. 4. 'fod e l l z llr Rl"r llc ks i c h t i (!lIn n von r,leitverhllnd zwischen
Rl"wehr llnR und um g l"henden R l" t on 1m Rereich d e s �i B
ha ndes
211m Zwec k der Ah l e i tung e i ner vere i n f ac h t e n Tnge n i eur fo rm e l 'le i
an�l"nommen , ' daB Th
• c o n s t . Welt er s nehmen w i r an , d llf\ d i e Ila ft
k r a ft Ohe r ei ne Lllnge Ls
gl e i c h rier h e i m o\!l5z i eh ve r s llch (TlUl l
o llt -t es t ) ('I. Ahh . 5a -5f) erm i t t e l t en Ha f t k ra ft ist : L i s t 'I d a nn �le i c h rier max ima l e n Fi nhet tunRS I � n l!e ('I. Ah�. 5), fOr
we l c he d e r Reweh run g s s tah h e i e i ne r Kra f t P aus dem Reton h e r
lIus �e zo�en werden k ann . Standardwerte fOr pro fi lil"rt e Reweh r
untl!!'s t lIh e s i nd : "h . P/Ls
� �5yf� fU r Rewehrungs ah s t llnde 15 cm
und ";' • 2!!yf� filr Rewehrunl'.s llh s t iind e < 15 cm . fc ' k ann i n S/",
Z
(y·2.hZ) oder i n p s i (y • 1) eingesetzt werden ( 1 ps i ·
f.o 110<; 'l,.., 2,
"M . 1<% bl 4:>$ cl uti mmn d) as(x} AID I!) as (x) AlIII f)as(X}�
310
�hh. S. Oh e r sic h t tiher die s pe z i fis c hen Ha ftkrlfte und - s pan
nun�en in e i nem Bewehrung s s ta b
Wi r hetra c h ten nun einen Rewehrungsstah, der einen scharfen R i B kre u z t (s. Abb. Sg-Sm). Oa d ie Stabk ra ft a m Ri B ,
A a i m C,le ichgewicht mit der Summe aus der Stabkraft Ab
os' b s' in einiger Entfernung vom RiB und der Haftkraft U� Ls (5 . A hb .
Si-Sk) stehen muB, erhllt man fU r die Schlupfllnge Ls
(17)
m i t Ah als der Querschnittsfllche eines Bewehrungsstabes, A • ph als der auf die Llngeneinheit und die Sche ibendicke bes zogenen Stahlfllche und a • a' als den Zugspannungen im Be-5 s wehrungsstah am R iB bzw. am Ende des Schlupfsegmentes (5 . Abb. Sk) •
1m folgenden w ird nur eine Fam ilie von Bewehrungselementen berQcksichtigt, welche d ie Bruchfllche kreuzt.(s. Ahb. 4, S&). 'm Ende des SchlupfseRmentes s ind d ie Dehnungen im Beton und in der Bewehrunggleich, nlmlich es-o ;/Es' und d ie pro Bewehrungsstab Ubertragene Last Aba, ist ungeflhr gle ich der vom Beton und der Bewehrung gemeinsam Ohertragenen Kraft am Ende der Schlupfzone. Folgl ich g ilt:
po - o' IE . (Esp + Ec (l-p» s s 5 (11)
311
oder
o� - as
np I ( 1 - p+np) ( 1 9)
m i t n -E IE und p - A I (A +A l. s c s C 5 O:tm i t e r�i h t s ich 0 - CI' - "
s (l-pl!(l-p+np) lind d i e s e r �i ht s s
di e Sc h l up f l � n�e (s. Ahb. 4h, Sk)
( 20)
Ei ne obe re c're n z e fU r Os
i s t di e F l ieB gren ze f Ur S t a h l . Eine
unge flth r e un tere Gren z e f Olgt a us de r Annahme , daB di e Z ug k ra f t
i m St a h l ,a A gle i c h d e r Zug kr a f t A f' i m Reton vor dem Re i Ben . 5 S' , C t ist· A - � p/(l-pl. Oi eo; filh r t a uf a • f' (l-p)/p. Oie Ve r-o • s . c O s t wendung v on f� i n di e ser Sc h �tzung st e l l t e ine Ahwe i c h un� von
de r h r uchmec ha n i schen Reh -'lndllln� de s Proh l e "'s da r . S ol a nge die
a n t e i l i ge F l ltche de s Re t on s pro Reweh r un gss t a h ung e f �h r von
de r C,r�Be w i e hei Pro ben fUr Zugversuc h e i s t ( - 100 c m2
) (und
d a s i s t o f t der Fa l l ), dU rfte nlh e r ungswe i s e ft a nwendha r s e i n.
F Ur d i e Rerec hnung wlh l t man e inen � it t e l w e r t a us den be i den
e rwlhnten Gre n zwerten.
E i ne gen a uere Vo rgang sweis e he s t eh t da r i n , di e Zunahme v on Os
m i t zunehmender Entfe rnung von d e r R i B f ront z u be r Uc k sic h t i�en;
dann wi rd L fflr jed e s fi ni te El ement i m Bruchha n d be rec hne t . s I n einiger Entfernung von der Rru c hf ront s ind d i e berech neten
Werte obj ektiv im S i nne d e r bere its meh rma ls ange fOh rten
spe z i f i s c hen De f i n i ti on d i e s e s Begri f fe s .
Die Schlupfllnge 1st den Ahh. Sh-Sk zusammen m it der aktuellen (5. Abh. Sh-Sj ) und der i d e a li s i e rten (s. Abb. S i-Sk) Verteilun� der Haftkraft Ub und der StahlspAnnung 0S z u entnehmen. O ie Rerflcksichtigung von Haftkr3ften in der FE-Analysis wire - obwohl m6glich - unpraktisch. da far Stah l und Beton separate Knoten hetrachtet werden mUBten. EiDe praktikablere �ethode be-steht darin, nur die globale Verl�ngerun� d e r Rewehrun�s e le
mente {Iber die Schlupfzone 2Ls i n Betrac ht z u z i e hen. A n s te ll e
von L betrachtet man eine gleichf6rmige Spannung as Uber e ine s f re i e Sch l upfl �nge 2L� (s. Abh. 4c) und e i ne �le i chf�rm i ge
312
Spannun� a' Oher die verhleihende Strecke (2l - 2 L'), An den s S s heiden Enden des Ahschnittes 2L; wird starrer V�rhund zwischen Rewehrung und umgehenden R�ton voraus�esetzt. Anstelle von 2l.' kann man alternativ �ine �eanderte freie SchlupfI�nge Z� s s mit Re1tndert�m RewehrunRsquerschnitt A� herilcksichtigen,der-art, daB sic� die VerlnnRerung hezoRen �uf den Ahschnitt 2Ls nicht nndt"rt.
Wir hetrachten ein Rruchhand del' Rreite w (s.�hh. Sn-5s), wo-c hei s in �hh. Sn del' mittlere 'hstann paTalleler �isse inner-halh Ges Bruchhandes ist. In diese� fall erstreckt sich del' Schlupfhereich tU heiden Seiten ilht"r eine T)istanz I. , und s auBerdem erfoIRt Schlupf zwischen je zwei parallelen Rissen innerhalh des Rruchhandes .. elhst. Fill' s<Zl. fallt die s <;pannlln� im Rewt"hrlln(!c;c;tan in del' '·fitte zwischen zwei henach -
hart en Rissen nicnt auf cr�. linter del' Annah..,e von f!leichem "h (s. Ahh. 5p) t"rRiht sicn Giese Spannun� ZII
n' S s /(lL ). s ( 21)
nie mittlere Spannung im Stahl innerhalh des Rruchhandes erRiht sict! c;omit ZII a ·(0 +0 )/2. fl i e mittlere Spanntlnr, innerm c; 0 halh del' Ahschnitte Ls ist an • (os·0;)/2.
r.le;ch�ewicht am F.ncie del' freien �chluofll1np.e 21."5 erfordert, daB die gesam te Kra ft im Se�ment der L§nr.e 21� und des Quer
schni t t ec; A� g l e i c h del' fIIr den realen Querschnitt Ah
s e i n muB :
(2 2)
Daraus fo l g t: a; • as Ah
/A� innerhalb 2L� .•
Aus de. Vergleich der Ver l lngerungen (Ver l lngerung Uhe r d i e
freie Schiupflllnge 2L� fUr eine angenollmene Quenchni t ts rUche
A-h plus der Ver l lngerung Uber die verhleihende L§nge ZL +w -2 L s c s
ohne Sch l upf • Ver llngerung Oher die t a t s1tch l iche Sch l u pflltnge
und mit r.lg . (19) er "ht " h fOI d �I SIC 'r te :Jqu i valente freie Schlupf-111nge (d.h. fill' d i e :Jquivalente Lltnge, d i e d i e gle i che Steifigkeit des Bewehrungsstahes I iefert)
A� (l-p) -=----.:.:....---.- [L 2[A h ( l - p +np) -pn Ah] 5
Fill' .A� • Ah folRt aus C,IR. (24)
I.' • ![l + w (I-S/(4Ls))J c; l. s C
+ w ( 1 -s / ( 4 L n] c 5 (24)
(25)
Fill' e i nen scharfen Ri B (wc·O) ver e i nfac h t s i c h d i ese Rez i ehung
zu (s. Ahh. 5m)
( 26)
Verhundsch l upf sollte filr a I l e das R i Bhand k reuzenden Rewehrungsst�he he rOcks ich t i gt werden e i nschl i eB l i c h d e rjen i gen Stlthe, d i e e ntweder 6V k reuzen oder auf 6� l i e�en . Ahh§ngi g
von den in den Knotenpunkten erhaltenen Haftkr�ften, 5011te
Ve rhund schl upf auch fOr VOl' dem Rruchband i nnerhalh e i nes be
s t i �.ten Abstandes vor der Bruch front ge l egene El emente berUck
sichtig t werden. Eine Vera l l gemeinerung auf Bewehrung s s t Abe,
die d a s R i Bband schrlg durchs e t z e n , i st mOglich.
ner numerische Berechnungsgang IAuft wie fo l g t ab:
a) Berechnung von 2L� aus G I g. (25) fOr A� • Ab (Dis tanz !6 in Abh • .ec)
h) Ahrundung , 50daB 2L� : Distanz der nAchs t l iegenden Xnoten
(24 in Ahb. 4d) und Berechnung von A� aus G I g. (24);
c) 1m FE-Prograllm i�t zu heac h t e n, daB BewehrungsstAbe
_hh . 1 0 . Ty� i s c he Verh� l t end i a � r�mme fO r �er i s s enen R e t o n ,
( Z y l i nd e r fe s t i �k e i t f� • ) 1 S/�m � : � i �a h s t � nd s • SOmm )
Ahh . 1 1 . Ger i s s ene Stahl h etonsc heihe
rm ger i s s enen Beton (Ahh . 1 1 ) werden die Oe for.at ionen tu fo l ge
der I U s se a l s kont i nu i er l i ch vert ei l t oder "verschm i er t " an
ge sehen . rHe gelll i t te l ten Verz e rrungen w fo l ge der "versch", i er
ten" R i s s e s i nd :
[ e r • 6 I s , nn n (36)
_ i t s a l s m i t t l erem R i Ba b 5 tand . Oam i t g i l t unter BerUc k s i c h t i �un� von r, I g . ( 29 )
d c r Fnn 5
- 1 0 F 5- 1 d ann
c [ n n nt
cr d [ t t 0 0 0 dO t t c ( 17)
cl c r Ftn s � 1 0 - 1 dOnt
c t n t Ft t s
oder in ah�ekOrz ter Forlll
(38)
wobe i s i ch d e r I ndex " c r ·' a u f "c rack" ( R i B ) h e z i eh t .
O i e gem i t te l ten Verzerrun�en [ nn ' [ t t und Tnt der Stah lbeton
sch e i he i n R i Br i ch tung s i nd g l e i ch der SUlllllle aus den Ver zerrungen des unger i s s enen Betons zwi s chen den Ri s s en [:� , [ sc , E S C wohe i s i ch der I ndex " s c " auf " so l i d conc rete"
tt nt ( fester , unge r i s sener Beton) het i eht , und den Verz e rrungen zu -fo l � e der R i s s e c�� , [�� und c�� . FOr e i n D i f feren t i a l d, g i l t 5 0Jl i t
O�s D i f ferent i a l d! sC l AB t s i ch durch das D i f fe rent i a l dgC
III i t H i l fe von
d sc ! •
(39)
(40)
darst e l l en , wobe i pSc d i e Tangentennachg i eb i g k e i t s.atrix des ungeris senen Betons darste l l t . pSc hlngt ia a l l geme inen von
c c g und � ab o
FUr k l e i ne Spannungen iJl ung e r i s s enen Beton g i l t nlherungswe i s e :
[ - 1 - 1 E - v E
!] !'I C - 1 - 1 � - v� F.
0
( 4 1 )
Fa l l � d i e!'ler I i n e a r - e l a !'l t i s c h e A n s a t z n i c h t e n t s p r i c h t , d i e V e r z e r ru n g e n n i ch is de s t owe n i g e r a h e r re l a t i v k l e i n !'l i nd , I H B t " i c h D S C a i l s e i ne r pa s !'I enden t o t a I E'n C:;pa n nun� ,, - J) e h nu n J! s - Ku r v e fil r R e t o n durc'" O i ffe r e n t i a t i o n I! ew i n n e n .
SlI h s t i t t l t i on cl e r r. l � . ( 4 () lind ('HI) i n r. I � . ( H ) f" r g i h t
� i t DC a l s cl e r T a n � e n t enn a c h � i e h i � k e i t sm a t r i x d e !'l r i s s e h e "' a f t e t e n R e t o n s .
( 4 2 )
1 m fo l � f" n cl e n w i rd cl e r F i n f l u B cl e r Rewe "' rlln� h e r ii c k !'l i c h t i r. t . na h e i w i rd a ng e nomm e n , cl a B d i e � e"" i t t e l t en V e r z e r ru n p, e n cl e r Rewe h r u n � d i e s e l hen w i e f O r d en r i s s eh e h a f t e t e n Re t o n s i nd .
n i E' !'I e A n n a h m e i m p l i z i e r t l o k a l e n V e rh1Jn d sc h l ll p f i n cl e r "I ,'1 h e
d e r R i s s e , we i l d i e V e r z e r ru n � e n d e r Rewe h ru n \! s e l em e n t e a l s ' v o n d e n V e r z e rrllng en 1 m fes t e n , u n g e r i s s en e n R f' t o n v e r s c h i e d e n angenommen w e r d e n .
!l i e g em i t t e l t e n Spa n n u n g e n i n d e r Rewe h r u n g s i nd
r. s
[1l ' F. ( c . ) 1 S 1
o
()
o
o ( 4 5 )
o
m i t r. - C O S A I , S - s i n9 i , woh e i 0 i d e n W i n k E' l zw i s c h e n d E'"" i - t en
Sys t em pa ra l l e l e r Bewe hrung s s t �h e und der R i Bnorma l en und �i
den ent sprechenden Rewe h rung s g rad d a r s t e l l t . FOr e i n o r t h o gona l e s Ne t z ( s . A h h . 1 1 ) i s t i n d e n r. l g . ( 4 4 ) l ind ( 4 5 ) N- 2 , 6 , - 9 und 9 2 - 9 - - / 2 zu set z en . E s ( c ) i s t der e i nax i a l e T an gen t en
mod u l d e r Reweh ru n g . E r h H n g t v o n d e r V e z e r r ll n g a h .
n i e O i fferent i a l e de r Spannun g en im g e r i s se n en S t a "' l h e t o n e r g eh e n s i c h Z ll
A u s r. l � . ( 4 2 ) fo l g t d g C - ( OC ) - 1 d £ C . Som i t e r g i h t !'I i c h
� _ � s + (!?C ) - l
woh e i � d i e Tan�en t en s t e i f i gk e i t sma t r i x d e s g e r i s !'l e n e n , h e weh r t en R e t o n s h e z o g e n au f d i e R i B k o o r d i na t en n li n d t i s t .
6 . 4 . Numeri sche Berechnungen
( 4 0 )
(4 7 )
D i e entw i cke l t e Theo r i e g e st a t t e t e s , das V e r h a l t e n g e r i s s ener ,
(4 � ) beweh rter Betont ragwerke h e i monoton a n s t e i g enden Spa n nungen
oder Verzerrungen z u h e rechnen . FUr j ede Tensorkomponente kann wo h e i d e r I ndex "s" fll r " S t a h l " s t eh t . Tla d i e R i s s e i . a . sc h rlle
z ur Reweh run� ver l au f en , erh� l t m a n d i e �a t r i x CS , d i e d i e Ve r
z e r rungsd i ffer en t i a l e i n d e r Rewehrung m i t spannung sd i f feren
t i a l en In R i c h tun� der R i B koord i na ten n Dnd t verknUp ft , durch
Summat ion von S t e i f i �ke i ten i n den e i n z e l nen Bewehrungs r l ch
tungen :
( 4 4 )
T n G I g . ( 4 4 ) si nd
fUr d a s bet re ffend e Las t l nkrement entweder d a s Spannun g s - oder
das Verzerrung s i nkreme n t vorgeschiiehen werden . Au s G I g . ( 4 7 ) erh i l t .an dann entweder Komponenten von A , oder 6q .
Zur rechner i schen Bew� l t i gung der S ingu l a r i tl t b e i 6 n- 6 t -0 i s t e s notwend i g , wAhrend des ers ten Be l a s tung s schr i t te s Bnn-O ,
8t t g l e ich e i ne r sehr groBen Zahl ( z . 8 . 1 040) und Bnt- 8tn
Kl.ich e iner s e h r k l e i nen Z a h l ( z . B . 1 040) tu set z en , um
a . - Ay - 0 fOr 6 >0 beim e r s ten Sch r i t t zu erha l ten . FUr t n t n I.nau t angent i a l e Las t erhl l t man n ic h t nur A 6 t - 0 , sondern
auch A6 - 0 ' in d i e s em Fa l l e muB man A6 e i nen von Nul l ver-n ' n s c h i edenen ( � 0 . 00 1 mm) star twert zuordnen . Den S t artwert fOr
m i t ::
o -nn
328
J\ - 2 L\ o nn / L\ N l • ( l +m ) + ( l -m ) C O !! Z ( a - a )
I! � k e nnz � i c h n e t .
g' 6 ;;J c � I. 9 = 60· '" 0 = 10 5 · Ii 2 ;;J I e ) 0 :J :x:
0 0 0 5 1 0 R , n_ i t� 6 n ( m m )
6 I. rN./N·:O ) - I 0
9 = 60· '2 0 = 90. ( b ) 1 0
0 = 60· 0 = 120·
I d ) 0 0-0 0 5 10
R l nw � l t� 6n ( m m )
22 20
0, i I I.
1 2r � lOt 0 1.
a t 6 '
9 = 60· 0 = 135· '2 I � ) 0
0-0 0 5 1·0 R ,nw�,t� 6n ( m m )
( 4 11 )
( 4 9 )
Ahh . 1 � . Hall p t !! p a n n l l n g N l v e r !> u !> � i Bwe i t e fUr v e r !> c h i edene tfau p t s pannu n g s verh l U t n i s s e und Neigungen d e l' l Iaupt r i c h t u n g en g e g enUher d e l' Rewehrung
n i e E r g e h n i !l !l e z e i g e n . daB del' E i n f l u B d e l' �c h r � � l a g � del' R e
weh run g s s t A b e re l a t i v tu d e n R i s s en e i n s e h r a u s gepra g t e r i s t .
FUr den En twu r f von Bau t e i l en s i nd h e l i eh i g e R i B r i cht ungen i n Rechnung z u s te l l en . D i e R i s s e k�nnen v o n Vorhe l a s tungen , Sc hwi nden oder Tempe raturspannungen herrUhren . D i e ungOn s t i g s t e
R i B r ich t ung so l l te b e im E ntwu r f berOc k s i c h t i gt werden . Du rch Va r i a t i onen von m und e ( 5 . Abb . 1 4 a ) I IB t s i c h fO r j ed e N e i �ung � d i e � in im a l l a s t a u s r echnen , d i e e i n e n R i B m i t d e l' O ffnung 6 n ve rursach t . D i e E i nhO l l enden d i e s el' � i n ima l we r t e f a r N 1 f a r vers c h i ed ene R i Bwe i t e n 6 n s i n d i n Ahb . 1 4 b z u s ammen m i t d e n k r i t i s c h en We r t e n e ' von e fUr m i n im a l e s Nl d a r g e s t e l l t .
r. l e i c h z e i t i g repr� s e n t i e re n d i e se L i n i en d i e s i c h z u fo l g e N l e i n s t e l l e nde max im a l e R i B 6 f fnung 6 n . FU r K l e i ne R i B 6 f fnungen ( � n - o . O S - 0 . 1 mm) i s t d i e ungilns t i g s t e R i Bo r i en t i e rung 9 ' - a , a l !> o d e r R i B n o rm a l Z ll N 1 , wAhrend fUr g r6Be re R i B6 ffnungen ( � n - O . Z S -o . s mm ) d e l' W i n ke l e ' zw i s c h e n d i e R i ch t un g von N , lind d i e R ewehrll ng s r i c htung x flll i t . FUr s e h r " roBe t5 hat das . .. n �
Verha l t n i s m - S Z / N 1 k e i n en E i n f l u B a u f d i e � i n i ma l l a s t N 1 • B e i Vernach l a s s i gung d e l' Rrucho b e r f l � c henre i hung i s t d i e u n g U n s t i g s t e R i B o r i en t i erung normal zu N , .
-- m : O-S 0 0
- 0 5
N t · c
0 00
( 0 )
-60 -'50 -i,O -30 -70 -10 0 1() 20 Xl eo
0 I S-r-______ �mo:......,.;0-:...;5:......, q: XlO / /
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Ahh . 1 4 . Typ i s c h e Entwu r f s d i a g ram.e fUr d i e R i Bwe i t e : ( a ) Ha up t z u g s pa nnung N 1 versus R i Bne i gung a fUr ve r s c h i edene R i Bwe i t en und Haupts pannungsverh l l t n i s s e ; (b) H 2 - N , E i nhO l l ende max i m a l e r R i BH f fnung ( B e t o n : f ' • 2 8 N/m. 2
Z c S t a h l : fy • 2 80 N/mm ; p - p • 0 . 0 2 ; R i Bab s t a nd x y s • SO mm )
Abh . l S z e i g t den E i n f l uB des R i B abs tande s .
l l e iner R iBabs tand erg i b t k l e i ne r e R i Bwe i te n und da. i t e i n 5 t e i f e r e s Verha l te n der Struktur . Del' RiBab s t an d bee i n f luBt zwar die aax i m a l e Normal spannung ( s . Abb . 1 Sb) , n i c h t abel' d i e max i ma l e Schub spannung ( s . Abb . l Sa ) .
' __ -=��--��--__ � 1? .
-- �! 1 0 ? O ) · 0 4 0 Schub��rrung 'In! I x 10? )
10
6 0
8 6 , 2 o
� h h . I S . � ec h n e r i � c h e rm i t t e l t e �ra nnu n Q � - ne h n u n� � - n i a � ramme
fil r Q (' r i � � f'ne n . hf'we h r t e n Reton fil r v e r � c h i f' d f' n e 7
R i Bah � t � n d e ( f� • 2 A S / mm - )
7 . V�ra l l geme i nerungen
" i e vora n g e Q a n g e n e n R e t r a c h t u n p. e n l a � � e n � i c h a u f z w e i o d e r
m e � r e re R i � � y � t eme m i t h e l i eh i g e r n r i e n t i e ru n � ve ra l J g em e i nern .
n i e a h g e l e i t e t e n Srannu n g � -Ver � c h i ehung � p' e s e t z e l a � � e n i n t e r
e � <; � n t e �c h l ll � fo l g e ru n l! e n fil r d i e R i c h t u n g d e r R i fla u � h re i t u n g
o d e r Rruchwe g s t a h i l i t il t zu . I n d e r unmi t t e l h :tren I Imgehung d e r
R i fl o; p i t z e i s t d i e R i B O ffnung k l e i n . n i e r e l a t i ve Ve r � c h i ehun�
der he i den R i Bu fer erfolgt norma l zur Bruch f l nche ( s . G I g .
( '4 ) ) . na d i ese Be z i ehung fOr e i ne he l i eh i g k l e i n e I�gehung
der R i B sp i t z e gO l t i g i s t , kann e i n �od e - l An t e i l am Ver s c h i e
hung s fel d n i c h t ex i s t i eren , d . h . der R i B h re i t e t � i c h n a c h dem
Ge5 e t z K l • n aus . n i eses Rruc h k r i t e r i um i s t i n der k o n t i
nuum s t h eo re t i s c h en Rruchmec han i k woh l he k annt . E s wurde auch
i m Rahmen von FE-Anal ysen verwende t .
8 . Zusammenfassung
Zusammenfa s s end l AB t s ic h sagen :
a ) D i e gegenwArti gen Rruchhandmethoden , d i e auf dem Fes t i g
k e i t s1cri teriulII ba s i eren t s ind "unob j e k t iv" . d . h . s i e h llngen
Oher das herkOlftm l i che "faB ( konven t ione l l e n i s k ret i s i erung s
fehlerl von d e r Net z e in t e i l ung a h und k onverg i eren zu
fa l schen LOsungen .
331
h l ner We r t der n i s s i pa t i onsene rg i e i s t e i n ohj e k t i ve s ,
rhy� i k a l i sc h s i nnvo l l e s K r i t e r i um fil r d i e Bruchhandau s
h re i t u n g .
c ) na � e rw � h n t e K r i t e r i um i o; t nUr d a n n o h j ek t i v . wenn d e r
Sch l up f z w i s c h e n d en Reweh rungs s t llhen n nd d em umgehenden
Reton herilc k s i c h t i g t w i rd .
d l n i e �c h l upfl nnge L � d e r d a � Bruc h h a n d k re u z enden Rewe h rung s
f' l em e n t e i � t e i n c ha ra kt e r i � t i sch e r Parame t e r d e � Ve rhund
we r k � t o f fe � S t a h l h e t o n . L i s t von d e r F E - n i s k r e t i s i e rung � una h h n n g i g .
e ) E � i � t vom r ra k t i s c h e n S t a nd pu n k t a u � � e s e h e n zweckmn tH g
a n � t a t t I. e i ne s o g e n a n n t e fre i e � c h l ur f l � n � e I. ' % 1 1 s � h e t r a c h t en . I n n�s d f' r k e i ne Ha ft k r � f t e w i rkend a np, f'nommen
werden . J: i s t so ! t 1 h e s t i mme n , daB s i c h f(\ r d a s "a f t -s � c h l u r fe l e"' e n t d i e u r s p riln g l i c h e ne forma t i on e rg i h t .
f ) n i f' G rund l a g e n d e r R rllchmec h a n i k dUr fen all c h a u f den h e
weh r t e n R e t o n a n gewend e t werden .
� ) na � Reweh run g sv� rh A l tn i � r h a t e i nen s t arken E i n f l u B au f
d i e R i B a u s hrei t u ng .
h l D i e B eweh run� s e l em e n t e w i rk en h e i gee i g n e t e r �a sch enwe i t e
a l s R i aa r r e s t e r .
i ) R i a � c h l up f be i k ons t a n t e r R i aO f fnung i ndu z i er t Orucknorma l
spannun�en Oher d i e Rruc h f l �che .
j) q i Bs ch l u pf be i kons tanter Norma l spannung veru r s a c h t D i l a t i on
des R i s ses .
k ) n i e Spannu n g s -Ver$ c h i ebung s - Re z i ehungen fOr � e r i s s enen
Reton k Onnen n i c ht durch Federe l ement e heschri ehen werden .
da d i e i nk remente l le R i fl s t e i f i gk e i tsm a t r i x n i cht
po � i t iv def i n i t i s t .
1) D i e inkrelllente l l e S t e i f i g ke i t smatrix fOr den ger i s senen
Beton i s t n i c h tsymme t r i sch . Sie fUhrt auf Abwe i chungen von
der Para l le l i tA t �er Hauptachsenrichtungen von Spannun� s
und Ver z errungs i nkremen t en . D i e Ursache fOr d i esen Sachver
ha l t bes teht in der Koppelung von Schub - und Normal
spannung skomponenten .
m ) Das Stru k turverha l ten ger i s senen . b ewehr ten Betons i n Ab
hAng i gk e i t von der Be l a s tung s gesch i ch t e i s t durch e inen
332
s t a r k en E i n f l u B des .I\O s t andes oenachha r t e r R i s s e gekenn
z e i c hnet .
n ) Re i �e � ehen en R Hlah s t ltnden k onnen R i 13w e i t en Il l s Funkt i o n
der R e l a s tung h e s t immt we rden . n i e s e r l auht d i e Bemes sung
. JOT max ima l e R i Bwe i t en .
0 ) R i 13ausore i tlln� e r fo l g t a u s s c h l i e 13 1 i c h i m 'fod e - 1 , d . h . K Z · n .
p ) O i e heschr i eh e ne Theor i e i s t fOr F E - Programme gee i Rne t ,
d i e a u f i nk r emen t e l l er L ll s t ll u fh r i ngun� o e ruhen .
9 . L i tera tur
1 • Bli l a n t z . r . und l . C edo l i n , F r a c t llre mechan i c s of r e i n fo rc ed
conc r e t e . J . E n g . 'f e c h . n i v . A SC E , Vo l . .!.Q!! , So . E'f 6 , ne l . 19R" ,
pp . 1 Z II 7 - 1 �Ofl •
Z . Rll z an t Z . P . und P . r.amhllrova , ROII!(h c r a c k s i n re i n forc e d
conc re t e . J . S t ru c t . O i v . A SC E , Vo l . 106 , �o . ST4 , A pr i l 198n ,
pp . 8 1 9 - 8 4 Z •
�ro f . Or . - l n � . h � h i l . Z � e n e k � . R� f ll n t O i rec t o r o f C�n t e r f o r r,eo�at p r i ll l s � n � Co n c re t e �o r t hwe s t e ,. n I In i ve r s i t v F.vll n s t on , T l l i no i s 60 201 , l i e; "
Prof . Or . - T nv . tll l v i re� o l j n Pro f . Or . - T nv . P i e t ro r.a�b� rov a Oen a rtment o f S t ru c t u r a l Fnl' i ne e r i n " Po l i te cni co d i � i l ano '1 i ] lIno , T t ll ] 1II
nn z . Dr . nh i l . Han s - Pe t e r R0 5 smll n i t h T n s t i tut fOr �echa n i k
Pro f . Or . -techn . Herbe rt A . �ang T n s t i tu t fOr Rau s t a t i k und Fest i � ke i t s l eh re Tec hn i s ch e Un i ve r s i t � t Wien
.
h r ] s n l a t z 1 3 A - l 040 W i e n , O s t e rre i c h
m i t dem Qu e r s c h n i t t A� d i e s e h e i d en Kno t e n d i r e k t ve rb i nd e n
( Kn o t e n 2 und 4 i n A h h . 4d l . Fa l l s we i t e r e Kno t e n " z w i s c hen
d i e s e n h e i d e n K n o t e n vo r h a n d e n s i n d ( K no t e n 7 u n d R i n Ahh .
4 d ) , s o s i n d d i e s e Kno t e n" a l s n i c h t m i t d e r Beweh r u n g ve r
h l l n d e n z u h e t rac h t en . lI i e Rew e h r u n � 5 5 t 1t he , d i e a I l e a n d e r e n
Kno t e n v e r h i n d e n ( l o R . TI , n , . . . i n A h h . 4 d ) , we i s e n
n a t ti r l i c h d e n Qu e r s c h n i t t Ah u n d n i c h t A� a u f .
d ) A h 5 c h � t z u n � d e r S t a h l 5 p a n nu n � am � i B m i t H i l f e von L� und
d en r e l a t i ve n V e r s c h i e h un � e n v,
u n d v2 d e r Bewe h rung s s t A b e
an h e i d en E nd e n von L� a u s dem v o r a n g e g a n g e n e n La s t sc h r i t t .
( 2 7 )
F O r d i e Rt>we h r\l n � 5 5 t :1 h e d i r e k t h i n t e r d e r R r uc h f r o n t k a n n m a n
i m S t n ne e i n e r o h e r e n S c h r a n ke d i e A h s c h � t z u n�
[ r. 1 / ( 2 " E l l ] (J c r c
1 / 2 ( 2 R )
ffl r d i e � i B t H f nun� i n e i ne r E n t f e r nung 1 h i n t e r der B r u c h f r o n t
verwend en . ( n i e s e A h s c h � t z u n g h e ru h t a u f d e r R i B � f fnung e i ne s
� a t h e ma t i s c h s c h a r fen R i s s e s un t e r cl e r W i r k u n g v o n No rma l z u g
s pa n n u n g e n ) .
6 . Ergebn i s se a u fgrund "obj e k t i ver " ( im S i nne von netz i nv a r i a nter )
Bruchana l yse e i ner Sta h l be tonsche i be
n i e h e re i t s frOher h e t r a c h t e te , heweh r t e Sc h e i he wurde u n t e r
RerUc k s i c h t i �ung d e s Verbund s c h l up f e s neu durch g e r e c h n e t . A n
s te l l e v o n Ub u n d 2 Ls
wurde d e r We r t 2 L� • 4 e M (aus we l c heM
";' b e rechne t werden kann) fUr a U e Net z e vo rgegehen . O i e r e
s u l t i e renden k r i t i sehen Las tpa rame t e r a fUr Bruehbandvo r s e hr i t t
s ind fOr versch i edene R i B l An gen a fUr a I l e dre i Ne t z e i n den
Abb . 2e und 2d fUr v e r s c h i edene Bewehrungsparame t e r p w ie d e r g e
geben . D i e Verbe s s erung de r Erg eb n i s s e i s t e i n s i ch t i g . O i e
Oh j ek t i v i t A t d e r �ethode i s t h i s a u f d i e b e i d e r FE� Ub l i c hen
O i s k r e t i s i e run g s feh l er gegeben .
D i e Ahh . 2c und 2d z e i gen , daB der E i n f l u B des Bewehrun�s v e r -
h � l t n i s s e s p a u f d i e La s t , d i e den R i Bvor s c h r i t t hew i rk t , h e -
a c h t I i c h i H . lI i e R i l.\o ffn u n � s r ro f i I e h z w . B r u c h b a n d I H fnll n � s
p ro f i l e s i nd i n A h h . 6 a d a r � e s t e l l t . na h e i h a nd e l t e s s i c h um
d i e q e q e n s e i t i � e V e r � c h i e h u n g � e � e n " h e r l i e g e nJ e r " fe r d e s
R ruc h h a n d e � . �an e r k e n n t , d a � d a s Rruc h h a n d 5 f fnu n � s pro f i l fU r
p . n ( l i n hewe h r t t" r R e t o n l fa s t e l l i p t i s c h i s t ( h r ll c h m e c h a n i s c h e
Ui 5 1 1 n q filr ",e t a I I i s c h e W e .. k s t o f fe ) u n d m i t � r o B e r w e r d e n d em
p f l a c h e r w i r d .
� i e s e E r � e h n i s s e g e i t en n l r Re weh ru n R s n e t z e , h e i d e n e n d i e
R e w t> h rll n � s � t :l h e m i n d e s t e n s s o e n � w i e d i. e Kno t e n d e s fe i n s t en
� � t z e s l i e g e n , soda B a n j ed em K n o t en e i n Bewe h r u np' s s t � h h e
riic k s i c h t i g t we rden mul L Wen" d a � Reweh rlln� s n e t z g r 5 rl e r i s t
l i n d z . R . m i t d e� I! r oh s t e n F F. - � e t z z ll s amm e n f:t l l t , d a n n w e r d e n
d i e <; t � h l e l em e n t e i n de n F F. - �e t z e n II l ind ., n u r a n j ed e"l
z w t' i t e n c ri e r v i e r t en Kn o t e n h e r il c k s i c h t i l! t . Il i e r r � e h n i s � e
f i i r ,j i !' S e F j I I I' s i n d I n ·' h h . Ii h � '" z e i I! t .
rl i e E r q t' h n i s s e ffi r v e r s c h i ede n e Rewe h ru n R s n e t z e fil r d a s F E S e t z ( s i n d i n � h h . 6 c d a r R e s t e l l t . � � n h e oh a c h t e t , d a rl d i e
<: c h � t1h i l d e r a - 11 fli r e i n p, r o h t' s Reweh r u n p, s n e t z () s z. i l l a t i o n en all fwe i s e n . lI i t's h e w i r k t . da � m a n nl r h e s t i mm t e Q i " l if n � e n a
h t' i t . �rq i ,, / a ., , ') t" r h !1 l t , wa s h e d t> l I t e t , d a " h e i Ko n t r o l l e
d !, T Re l a 'l t l l n f' d !' r 'l i B s t a h l l .. d r d . ne"lg e g e n fl h e r i s t d f" r Q i �
i ", F a l l t> von l.� s t k o n t'ro l l e " h ' l r. (; t n s t a 1 , w e n n a ll / :l a < O h e i 'If . , C R '
T m F a i l e von Ko n t r o l l e d e r q a n d ve r s c h i e h l l n p, e n i s t fll r :\ a / a a <O h e i � . 1r� r1 t> r R i R s t a h i l .
na s � r o h e Rewe h r ung s n e t z i s t a l s o z u m R i rla r r e s t h e f � h i � t . R i B a r r e s t lin t e r L a s t kont ro l l e t r i t t i m Fa I l e d e s vo r l i e� enden
Re i s p i e l s nllr d a n n au f , wenn der Rewe h run� s a h s . a n d wen i g s ten s
d i e v i e r fa c h e E l ement gro � e aufwe i s t . Oa d i e s e wi ede rum n i c h t
k i e i ne r a l s,
d i e zwe i fa c h e'r.r6Be d e s Zusc h l a g s t o ffes s e i n k ann ,
wenn d i e FE� s i nnvo l l a nwend b a r s e i n s o l I , muB der B ewehrung s
a h s t and g r 6Ber a l s d e r a c h t fa c h e Aggrega tdurchm e s s e r s e i n . J e
grohe r a l so d a s Bewehru n g s ne t z i s t , d e s t o g r 6 B e r i s t d i e A r r e s t
wi r k u n g der Bewe h rung . Andere r s e i t s we i s en enge Beweh rung s g i t te r
woh l he k annte Vor t e i l e w i e Ou k t i l i t � t , Ha ftung , R i Bwe i t e ,
Ener g i e a h s o rpt i o n a u f .
O i e i n A h n . 6d en t h a l t enen Ergehn i s s e fO r S t a h l h e t o n z e i gen ,
d a f3 d a s K r i t e r i llm d e r a q u i v a l en te n Zu g fe s t i � k e i t ,