8/9/2019 Finding Moments of the blobs
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I m a g e A n a l y s i s b y M o m e n t s
b y
S i m o n X i n m e n g L i a o
A T h e s i s
S u b m i t t e d t o t h e F a c u l t y o f G r a d u a t e S t u d i e s
i n P a r t i a l F u l l l m e n t o f t h e R e q u i r e m e n t s
f o r t h e D e g r e e o f D o c t o r o f P h i l o s o p h y
T h e D e p a r t m e n t o f
E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g
T h e U n i v e r s i t y o f M a n i t o b a
W i n n i p e g , M a n i t o b a , C a n a d a
c
S i m o n X i n m e n g L i a o 1 9 9 3
i
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T o t h e s t u d e n t s w h o w e r e m a s s a c r e d i n B e i j i n g , J u n e 4 t h , 1 9 8 9 ,
a n d c o u l d n o t n i s h t h e i r e d u c a t i o n .
i i
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I h e r e b y d e c l a r e t h a t I a m t h e s o l e a u t h o r o f t h i s t h e s i s .
I a u t h o r i z e t h e U n i v e r s i t y o f M a n i t o b a t o l e n d t h i s t h e s i s t o o t h e r i n s t i t u t i o n s o r
i n d i v i d u a l s f o r t h e p u r p o s e o f s c h o l a r l y r e s e a r c h .
S i m o n X i n m e n g L i a o
I f u r t h e r a u t h o r i z e t h e U n i v e r s i t y o f M a n i t o b a t o r e p r o d u c e t h i s t h e s i s b y p h o t o -
c o p y i n g o r b y o t h e r m e a n s , i n t o t a l o r i n p a r t , a t t h e r e q u e s t o f o t h e r i n s t i t u t i o n s o r
i n d i v i d u a l s f o r t h e p u r p o s e o f s c h o l a r l y r e s e a r c h .
S i m o n X i n m e n g L i a o
i i i
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T h e U n i v e r s i t y o f M a n i t o b a r e q u i r e s t h e s i g n a t u r e s o f a l l p e r s o n s u s i n g o r p h o t o -
c o p y i n g t h i s t h e s i s . P l e a s e s i g n b e l o w , a n d g i v e a d d r e s s a n d d a t e .
i v
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A b s t r a c t
T o s e l e c t a s e t o f a p p r o p r i a t e n u m e r i c a l a t t r i b u t e s o f f e a t u r e s f r o m t h e i n t e r e s t e d
o b j e c t s f o r t h e p u r p o s e o f c l a s s i c a t i o n h a s b e e n a m o n g t h e f u n d a m e n t a l p r o b l e m s
i n t h e d e s i g n o f a n i m a g e r y p a t t e r n r e c o g n i t i o n s y s t e m . O n e o f t h e s o l u t i o n s , t h e
u t i l i z a t i o n o f m o m e n t s f o r o b j e c t c h a r a c t e r i z a t i o n h a s r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n -
t i o n s i n r e c e n t y e a r s . I n t h i s r e s e a r c h , t h e n e w t e c h n i q u e s d e r i v e d t o i n c r e a s e t h e
a c c u r a c y a n d t h e e c i e n c y i n m o m e n t c o m p u t i n g a r e a d d r e s s e d . B a s e d o n t h e s e
d e v e l o p m e n t s , t h e s i g n i c a n t i m p r o v e m e n t o n i m a g e r e c o n s t r u c t i o n s v i a L e g e n d r e
m o m e n t s a n d Z e r n i k e m o m e n t s h a s b e e n a c h i e v e d . T h e e e c t o f i m a g e n o i s e o n
i m a g e r e c o n s t r u c t i o n , t h e a u t o m a t i c s e l e c t i o n o f t h e o p t i m a l o r d e r o f m o m e n t s f o r
i m a g e r e c o n s t r u c t i o n f r o m n o i s y i m a g e , a n d t h e u s a g e o f m o m e n t s a s i m a g e f e a t u r e s
f o r c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n a r e a n a l y z e d a s w e l l .
v
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A c k n o w l e d g e m e n t s
M a n y p e o p l e h a v e p r o v i d e d a d v i c e , s u p p o r t , a n d e n c o u r a g e m e n t t o t h e a u t h o r , d u r i n g
t h e r e s e a r c h w h i c h l e d t o t h i s t h e s i s . I w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y h e a r t f e l t a p p r e c i a t i o n
t o :
M y s u p e r v i s o r , P r o f . D r . M i r o s l a w P a w l a k , f o r h i s g e n e r o u s s u p p o r t a n d i n t e l l e c -
t u a l g u i d a n c e t h r o u g h o u t m y y e a r s a s a g r a d u a t e s t u d e n t h i s i n s i g h t f u l a d v i c e , c l e a r
v i s i o n , m a n y s u g g e s t i o n s , a n d e n d l e s s e o r t s t o b e a v a i l a b l e f o r m a n y e d u c a t i o n a l
d i s c u s s i o n s , w e r e i n v a l u a b l e
P r o f . D r . D a v i d E r b a c h , w h o s e f r i e n d s h i p a n d e n c o u r a g e m e n t w e r e i n v a l u a b l e
a n d k e p t m e t h i n k i n g t h a t t h e r e r e a l l y w a s a l i g h t a t t h e e n d o f t h e t u n n e l , a n d w h o
p r o v i d e d m a n y v a l u a b l e c o m m e n t s o n d r a f t s o f t h i s t h e s i s
m y c o m m i t t e e m e m b e r s , P r o f . D r . R i c h a r d G o r d o n a n d P r o f . D r . W a l d e m a r
L e h n , f o r v a l u a b l e i n s i g h t s a n d s u g g e s t i o n s w h i c h h a v e s i g n i c a n t l y i m p r o v e d t h i s
t h e s i s i n b o t h s t r u c t u r e a n d c o n t e n t s
m y E x t e r n a l E x a m i n e r , P r o f . D r . A d a m K r z y z a k , f o r h i s c r i t i c a l c o m m e n t s a n d
c o n s t r u c t i v e s u g g e s t i o n s o n t h i s t h e s i s
m y w i f e , D r . M i n g Y a n g , w h o s h a r e d w i t h t h e p a i n s a n d h a p p i n e s s d u r i n g t h e
c o u r s e o f t h i s w o r k h e r e n d l e s s s u p p o r t , s a c r i c e , a n d u n d e r s t a n d i n g k e p t m e g o i n g
t h r o u g h i t a l l
a n d n a l l y , m y p a r e n t s , L i B o f a n a n d L i a o C u i c h u a n , w h o r s t t a u g h t m e t h e
i m p o r t a n c e o f e d u c a t i o n .
v i
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C o n t e n t s
A b s t r a c t v
A c k n o w l e d g e m e n t s v i
L i s t o f F i g u r e s x i v
L i s t o f T a b l e s x i v
L i s t o f S y m b o l s x v
1 I n t r o d u c t i o n 1
2 T h e o r y o f M o m e n t s 6
2 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
2 . 2 G e o m e t r i c M o m e n t s i n I m a g e P r o c e s s i n g : : : : : : : : : : : : : : : : 7
2 . 2 . 1 P r e l i m i n a r i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
2 . 2 . 2 P r o p e r t i e s o f G e o m e t r i c M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : 8
2 . 2 . 3 M o m e n t I n v a r i a n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2
2 . 3 C o m p l e x M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3
2 . 4 O r t h o g o n a l M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
2 . 4 . 1 L e g e n d r e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
2 . 4 . 2 Z e r n i k e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
2 . 4 . 3 P s e u d o - Z e r n i k e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2
v i i
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3 A c c u r a c y a n d E c i e n c y o f M o m e n t C o m p u t i n g 2 4
3 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
3 . 2 G e o m e t r i c M o m e n t s C o m p u t i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
3 . 3 L e g e n d r e M o m e n t s C o m p u t i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9
3 . 3 . 1 A p p r o x i m a t i o n E r r o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9
3 . 3 . 2 E c i e n c y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2
3 . 4 Z e r n i k e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3
3 . 4 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3
3 . 4 . 2 G e o m e t r i c E r r o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4
3 . 4 . 3 T h e L a t t i c e P o i n t s o f a C i r c l e P r o b l e m : : : : : : : : : : : : : 3 6
3 . 4 . 4 A p p r o x i m a t i o n E r r o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8
3 . 4 . 5 A N e w P r o p o s e d S o l u t i o n t o R e d u c e A p p r o x i m a t i o n E r r o r 4 6
3 . 5 C o n c l u s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
3 . 5 . 1 L e g e n d r e M o m e n t C o m p u t i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
3 . 5 . 2 Z e r n i k e M o m e n t C o m p u t i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
4 I m a g e R e c o n s t r u c t i o n f r o m M o m e n t s 5 3
4 . 1 I n v e r s e M o m e n t P r o b l e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 3
4 . 2 M e t h o d o f L e g e n d r e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5
4 . 2 . 1 T h e o r y o f I m a g e R e c o n s t r u c t i o n f r o m L e g e n d r e M o m e n t s 5 5
4 . 2 . 2 R e c o n s t r u c t i o n E r r o r A n a l y s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6
4 . 2 . 3 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7
4 . 3 M e t h o d o f Z e r n i k e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1
4 . 3 . 1 T h e o r y o f I m a g e R e c o n s t r u c t i o n f r o m Z e r n i k e M o m e n t s : : : : 6 1
4 . 3 . 2 R e c o n s t r u c t i o n E r r o r A n a l y s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3
4 . 3 . 3 E x p e r i m e n t a l R e s u l t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4
4 . 4 C o n c l u s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
v i i i
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4 . 4 . 1 I m a g e R e c o n s t r u c t i o n v i a L e g e n d r e M o m e n t s : : : : : : : : : : 7 2
4 . 4 . 2 I m a g e R e c o n s t r u c t i o n v i a Z e r n i k e M o m e n t s : : : : : : : : : : : 7 3
5 R e c o n s t r u c t i o n o f N o i s y I m a g e s v i a M o m e n t s 7 5
5 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
5 . 2 L e g e n d r e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
5 . 3 T h e R e c o n s t r u c t i o n E r r o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 6
5 . 4 D a t a - D r i v e n S e l e c t i o n o f t h e O p t i m a l N u m b e r : : : : : : : : : : : : : 8 2
6 C h a r a c t e r R e c o g n i t i o n v i a M o m e n t s 8 6
6 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6
6 . 2 C h a r a c t e r R e c o g n i t i o n v i a C e n t r a l M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : : 8 7
6 . 3 C h a r a c t e r R e c o g n i t i o n w i t h L e g e n d r e M o m e n t s : : : : : : : : : : : : : 9 1
6 . 4 C o n c l u s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 7
7 C o n c l u s i o n s a n d R e c o m m e n d a t i o n s 1 0 1
7 . 1 C o n c l u s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 1
7 . 2 R e c o m m e n d a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 2
B i b l i o g r a p h y 1 0 4
A 1 1 2
i x
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L i s t o f F i g u r e s
2 . 1 M o m e n t s p r o j e c t i o n s o n t o x a n d y a x e s . : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1
2 . 2 T h e p l o t s o f s o m e t w o - d i m e n s i o n a l P
m
( x ) P
n
( y ) L e g e n d r e p o l y n o m i a l s .
( a ) P
2
( x ) P
2
( y ) , ( b ) P
4
( x ) P
4
( y ) , ( c ) P
6
( x ) P
6
( y ) , a n d ( d ) P
8
( x ) P
8
( y ) 1 6
2 . 3 T h e p l o t s o f s o m e t w o - d i m e n s i o n a l P
m
( x ) P
n
( y ) L e g e n d r e p o l y n o m i a l s .
( a ) P
2
( x ) P
4
( y ) , ( b ) P
2
( x ) P
6
( y ) , ( c ) P
4
( x ) P
8
( y ) , a n d ( d ) P
6
( x ) P
8
( y ) 1 7
2 . 4 T h e p l o t s o f t h e m a g n i t u d e s o f s o m e V
n m
( x y ) p o l y n o m i a l s . ( a ) V
2 0
( x y ) ,
( b ) V
4 0
( x y ) , ( c ) V
8 0
( x y ) , a n d ( d ) V
1 2 0
( x y ) : : : : : : : : : : : 1 9
2 . 5 T h e p l o t s o f t h e m a g n i t u d e s o f s o m e V
n m
( x y ) p o l y n o m i a l s . ( a ) V
1 1
( x y ) ,
( b ) V
2 2
( x y ) , ( c ) V
3 1
( x y ) , a n d ( d ) V
4 2
( x y ) : : : : : : : : : : : 2 0
3 . 1 N o r m a l i z e d E
' s o b t a i n e d b y a p p l y i n g v e d i e r e n t n u m e r i c a l i n t e g -
r a t i o n r u l e s t o a c o n s t a n t i m a g e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0
3 . 2 D i e r e n t a r e a s c o v e r e d b y a d i s k a n d a l l p i x e l s w h o s e c e n t r e s f a l l
i n s i d e t h e d i s k . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5
3 . 3 5 - d i m e n s i o n a l f o r m u l a I . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1
3 . 4 5 - d i m e n s i o n a l f o r m u l a I I . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2
3 . 5 1 3 - d i m e n s i o n a l f o r m u l a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3
3 . 6 N o r m a l i z e d a p p r o x i m a t i o n e r r o r s o b t a i n e d b y a p p l y i n g v e d i e r e n t
t y p e s o f m u l t i - d i m e n s i o n a l c u b a t u r e f o r m u l a s o n a c o n s t a n t i m a g e . 4 5
x
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3 . 7 N o r m a l i z e d E
A
' s o b t a i n e d b y a p p l y i n g v e d i e r e n t t y p e s o f m u l t i -
d i m e n s i o n a l c u b a t u r e f o r m u l a s o n a c o n s t a n t i m a g e w i t h t h e n e w p r o -
p o s e d t e c h n i q u e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7
4 . 1 F i v e o r i g i n a l C h i n e s e c h a r a c t e r s u s e d i n i m a g e r e c o n s t r u c t i o n v i a L e -
g e n d r e m o m e n t s . F r o m l e f t t o r i g h t a r e C
1
, C
2
, C
3
, C
4
, a n d C
5
5 8
4 . 2 F i v e C h i n e s e c h a r a c t e r s a n d t h e i r r e c o n s t r u c t e d p a t t e r n s v i a L e g e n d r e
m o m e n t s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0
4 . 3 N o r m a l i z e d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s f o r t h e v e r e c o n s t r u c t e d C h i n e s e
c h a r a c t e r s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0
4 . 4 F i v e o r i g i n a l C h i n e s e c h a r a c t e r s u s e d i n i m a g e r e c o n s t r u c t i o n v i a
Z e r n i k e m o m e n t s . F r o m l e f t t o r i g h t a r e C
1
, C
2
, C
3
, C
4
, a n d C
5
6 5
4 . 5 T h e C h i n e s e c h a r a c t e r C
1
a n d i t s r e c o n s t r u c t e d p a t t e r n s v i a Z e r n i k e
m o m e n t s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6
4 . 6 T h e n o r m a l i z e d m e a n s q u a r e e r r o r s f r o m a p p l i n g v e d i e r e n t f o r m u -
l a s t o c h a r a c t e r C
1
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7
4 . 7 T h e C h i n e s e c h a r a c t e r C
1
a n d i t s r e c o n s t r u c t e d p a t t e r n s v i a t h e m o d -
i e d Z e r n i k e m o m e n t s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0
4 . 8 N o r m a l i z e d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s f r o m t h e r e c o n s t r u c t e d v e C h i n e s e
c h a r a c t e r s v i a t h e n e w p r o p o s e d Z e r n i k e m o m e n t t e c h n i q u e . : : : : : 7 1
4 . 9 T h e v e C h i n e s e c h a r a c t e r s a n d t h e i r r e c o n s t r u c t e d p a t t e r n s v i a t h e
m o d i e d Z e r n i k e m o m e n t s w i t h 5 - d i m e n s i o n a l f o r m u l a I I . : : : : : : 7 2
5 . 1 S q u a r e e r r o r E r r o r (
e
g
M
m a x
) ,
2
= 4 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9
5 . 2 N o i s y v e r s i o n o f C
1
, w i t h
2
= 4 0 , a n d i t s r e c o n s t r u c t e d v e r s i o n s . 8 1
5 . 3 O p t i m a l m o m e n t s n u m b e r s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3
6 . 1 F i v e o r i g i n a l C h i n e s e c h a r a c t e r s u s e d f o r t e s t i n g . : : : : : : : : : : : : 8 8
x i
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6 . 2 R e p r e s e n t a t i o n s o f t h e v e C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e c e n t r a l m o m e n t
f e a t u r e s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 9
6 . 3 N i n e t y C h i n e s e c h a r a c t e r s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 0
6 . 4 R e p r e s e n t a t i o n s o f t h e n i n e t y C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e c e n t r a l m o -
m e n t f e a t u r e s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3
6 . 5 R e p r e s e n t a t i o n s o f t h e v e C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e L e g e n d r e m o -
m e n t f e a t u r e s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4
6 . 6 R e p r e s e n t a t i o n s o f t h e n i n e t y C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e L e g e n d r e
m o m e n t f e a t u r e s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 5
x i i
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L i s t o f T a b l e s
3 . 1 N i s t h e n u m b e r o f p o i n t s w h i c h a r e e q u a l l y s p a c e d a p a r t b y c o n s t a n t
h i n s i d e a s i n g l e i n t e r v a l . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1
3 . 2 R a n g e o f g e o m e t r i c e r r o r s f o r s e v e r a l c o m m o n l y u s e d i m a g e s i z e s . 3 8
3 . 3 V a l u e s o f t h e n o r m a l i z e d a p p r o x i m a t i o n e r r o r s f r o m a p p l i n g v e d i f -
f e r e n t t y p e s o f m u l t i - d i m e n s i o n a l c u b a t u r e f o r m u l a s o n a c o n s t a n t
i m a g e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
3 . 4 V a l u e s o f t h e n o r m a l i z e d E
A
' s f r o m a p p l i n g v e d i e r e n t t y p e s o f
m u l t i - d i m e n s i o n a l c u b a t u r e f o r m u l a s o n a c o n s t a n t i m a g e w i t h t h e
n e w p r o p o s e d t e c h n i q u e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8
4 . 1 T h e v a l u e s o f n o r m a l i z e d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s f o r t h e v e r e c o n s t r u c -
t e d C h i n e s e c h a r a c t e r s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 9
4 . 2 V a l u e s o f t h e n o r m a l i z e d m e a n s q u a r e e r r o r s f r o m a p p l i n g v e d i e r -
e n t f o r m u l a s t o c h a r a c t e r C
1
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5
4 . 3 V a l u e s o f t h e n o r m a l i z e d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s f r o m t h e r e c o n s t r u c -
t e d v e C h i n e s e c h a r a c t e r s w i t h t h e n e w p r o p o s e d Z e r n i k e m o m e n t
t e c h n i q u e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9
4 . 4 V a l u e s o f t h e n o r m a l i z e d r e c o n s t r u c t i o n e r r o r s f r o m t h e r e c o n s t r u c -
t e d v e C h i n e s e c h a r a c t e r s v i a t h e n e w p r o p o s e d Z e r n i k e m o m e n t
t e c h n i q u e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
x i i i
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5 . 1 S q u a r e r e c o n s t r u c t i o n e r r o r E r r o r (
e
g
M
m a x
) w i t h
2
= 4 0 : : : : : : : 8 0
6 . 1 V a l u e s o f t h e v e C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e c e n t r a l m o m e n t f e a t u r e
s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 8
6 . 2 V a l u e s o f t h e n i n e t y C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e c e n t r a l m o m e n t f e a t u r e
s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2
6 . 3 V a l u e s o f t h e v e C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e L e g e n d r e m o m e n t f e a t u r e
s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4
6 . 4 V a l u e s o f t h e n i n e t y C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e L e g e n d r e m o m e n t
f e a t u r e s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 6
6 . 5 V a l u e s o f t h e n i n e t y C h i n e s e c h a r a c t e r s i n t h e L e g e n d r e m o m e n t
t h r e e - d i m e n s i o n a l f e a t u r e s p a c e . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8
x i v
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L i s t o f S y m b o l s
S o m e o f t h e m o s t f r e q u e n t l y o c c u r r i n g a b b r e v i a t i o n s a n d s y m b o l s u s e d i n t h e t e x t
a r e t a b u l a t e d h e r e . O t h e r s y m b o l s a r e e x p l a i n e d w h e r e u s e d .
A
n m
= Z e r n i k e m o m e n t s o f o r d e r n w i t h r e p e t i t i o n m
b
A
n m
= D i g i t a l v e r s i o n o f A
n m
C
n
f = c u b a t u r e f o r m u l a
C
p q
= c o m p l e x m o m e n t s
E
A
=
P P
b
A
n m
2
m = n 6= 0
E
=
P
M
m a x
m = 0
P
m
n = 0
b
2
m n
m = n 6= 0
b
f ( x y ) = r e c o n s t r u c t e d i m a g e f r o m f ( x y )
F ( u v ) = c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e i m a g e f u n c t i o n f ( x y )
g ( x y ) = n o i s y d e g r a d e d v e r s i o n o f f ( x y )
M
p q
= g e o m e t r i c m o m e n t s o f o r d e r ( p + q )
N = t h e n u m b e r o f p o i n t s w h i c h a r e s p a c e d a p a r t b y a c o n s t a n t s t e p
h i n s i d e a s i n g l e i n t e r v a l
P
n
( x ) = L e g e n d r e p o l y n o m i a l s
R
n m
= R a d i a l p o l y n o m i a l s
V
n m
= Z e r n i k e p o l y n o m i a l s
m n
= K r o n e c k e r s y m b o l
m n
= L e g e n d r e m o m e n t s
b
m n
= D i g i t a l v e r s i o n o f
m n
x v
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e
m n
= L e g e n d r e m o m e n t s f r o m g ( x y )
p q
= c e n t r a l m o m e n t s
x v i
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C h a p t e r 1
I n t r o d u c t i o n
O n e o f t h e b a s i c p r o b l e m s i n t h e d e s i g n o f a n i m a g e r y p a t t e r n r e c o g n i t i o n s y s t e m
r e l a t e s t o t h e s e l e c t i o n o f a s e t o f a p p r o p r i a t e n u m e r i c a l a t t r i b u t e s o f f e a t u r e s t o b e
e x t r a c t e d f r o m t h e o b j e c t o f i n t e r e s t f o r t h e p u r p o s e o f c l a s s i c a t i o n . T h e r e c o g n i t i o n
o f o b j e c t s f r o m i m a g e r y m a y b e a c h i e v e d w i t h m a n y m e t h o d s b y i d e n t i f y i n g a n
u n k n o w n o b j e c t a s a m e m b e r o f a s e t o f k n o w n o b j e c t s . E c i e n t o b j e c t r e c o g n i t i o n
t e c h n i q u e s a b s t r a c t i n g c h a r a c t e r i z a t i o n s u n i q u e l y f r o m o b j e c t s f o r r e p r e s e n t a t i o n a n d
c o m p a r i s o n a r e c r u c i a l l y i m p o r t a n t f o r a g i v e n p a t t e r n r e c o g n i t i o n s y s t e m .
R e s e a r c h o n t h e u t i l i z a t i o n o f m o m e n t s f o r o b j e c t c h a r a c t e r i z a t i o n i n b o t h i n -
v a r i a n t a n d n o n i n v a r i a n t t a s k s h a s r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n i n r e c e n t y e a r s .
T h e p r i n c i p a l t e c h n i q u e s e x p l o r e d i n c l u d e M o m e n t I n v a r i a n t s , G e o m e t r i c M o m e n t s ,
R o t a t i o n a l M o m e n t s , O r t h o g o n a l M o m e n t s , a n d C o m p l e x M o m e n t s . V a r i o u s f o r m s
o f m o m e n t d e s c r i p t o r s h a v e b e e n e x t e n s i v e l y e m p l o y e d a s p a t t e r n f e a t u r e s i n s c e n e
r e c o g n i t i o n , r e g i s t r a t i o n , o b j e c t m a t c h i n g a s w e l l a s d a t a c o m p r e s s i o n .
T h e m a t h e m a t i c a l c o n c e p t o f m o m e n t s h a s b e e n a r o u n d f o r m a n y y e a r s a n d h a s
b e e n u s e d i n m a n y d i v e r s e e l d s r a n g i n g f r o m m e c h a n i c s a n d s t a t i s t i c s t o p a t t e r n
r e c o g n i t i o n a n d i m a g e u n d e r s t a n d i n g . D e s c r i b i n g i m a g e s w i t h m o m e n t s i n s t e a d o f
o t h e r m o r e c o m m o n l y u s e d i m a g e f e a t u r e s m e a n s t h a t g l o b a l p r o p e r t i e s o f t h e i m a g e
a r e u s e d r a t h e r t h a n l o c a l p r o p e r t i e s .
1
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H i s t o r i c a l l y , H u 3 6 ] 3 7 ] p u b l i s h e d t h e r s t s i g n i c a n t p a p e r o n t h e u t i l i z a t i o n o f
m o m e n t i n v a r i a n t s f o r i m a g e a n a l y s i s a n d o b j e c t r e p r e s e n t a t i o n i n 1 9 6 1 . H u ' s a p -
p r o a c h w a s b a s e d o n t h e w o r k o f t h e n i n e t e e n t h c e n t u r y m a t h e m a t i c i a n s B o o l e , C a y -
l e y , a n d S y l v e s t e r , o n t h e t h e o r y o f a l g e b r a i c f o r m s . H u ' s U n i q u e n e s s T h e o r e m s t a t e s
t h a t i f f ( x y ) i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s a n d h a s n o n z e r o v a l u e s o n l y i n t h e n i t e p a r t
o f t h e ( x y ) p l a n e , t h e n g e o m e t r i c m o m e n t s o f a l l o r d e r s e x i s t . I t c a n t h e n b e s h o w n
t h a t t h e m o m e n t s e t f m
p q
g i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y f ( x y ) a n d c o n v e r s e l y , f ( x y )
i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y f m
p q
g . S i n c e a n i m a g e s e g m e n t h a s n i t e a r e a a n d , i n
t h e w o r s t c a s e , i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s , a m o m e n t s e t c a n b e c o m p u t e d a n d u s e d t o
u n i q u e l y d e s c r i b e t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e i m a g e s e g m e n t . U s i n g n o n l i n e a r
c o m b i n a t i o n s o f g e o m e t r i c m o m e n t s , H u d e r i v e d a s e t o f i n v a r i a n t m o m e n t s w h i c h
h a s t h e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f b e i n g i n v a r i a n t u n d e r i m a g e t r a n s l a t i o n , s c a l i n g , a n d
r o t a t i o n . H o w e v e r , t h e r e c o n s t r u c t i o n o f t h e i m a g e f r o m t h e s e m o m e n t s i s d e e m e d
t o b e q u i t e d i c u l t .
T h e R o t a t i o n a l m o m e n t i s a n a l t e r n a t i v e t o t h e r e g u l a r g e o m e t r i c m o m e n t . T h e
R o t a t i o n a l m o m e n t s a r e b a s e d o n a p o l a r c o o r d i n a t e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m a g e a n d
c a n b e u s e d t o e x t e n d t h e d e n i t i o n o f m o m e n t i n v a r i a n t s t o a r b i t r a r y o r d e r i n a
m a n n e r w h i c h e n s u r e s t h a t t h e i r m a g n i t u d e s d o n o t d i m i n i s h s i g n i c a n t l y w i t h i n -
c r e a s i n g o r d e r . S m i t h a n d W r i g h t 6 9 ] u s e d a s i m p l i e d R o t a t i o n a l m o m e n t t e c h n i q u e
t o d e r i v e i n v a r i a n t f e a t u r e s f r o m n o i s y l o w r e s o l u t i o n i m a g e s o f s h i p s . B o y c e a n d
H o s s a c k 1 5 ] d e r i v e d t h e R o t a t i o n a l m o m e n t s o f a r b i t r a r y o r d e r t h a t a r e i n v a r i a n t t o
r o t a t i o n , r a d i a l s c a l i n g , a n d i n t e n s i t y c h a n g e .
I n 1 9 8 0 , T e a g u e 7 3 ] p r e s e n t e d t w o i n v e r s e m o m e n t t r a n s f o r m t e c h n i q u e s t o d e -
t e r m i n e h o w w e l l a n i m a g e c o u l d b e r e c o n s t r u c t e d f r o m a s e t o f m o m e n t s . T h e r s t
m e t h o d , c a l l e d m o m e n t m a t c h i n g , d e r i v e s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n
g ( x y ) = g
0 0
+ g
1 0
x + g
0 1
y + g
2 0
x
2
+ g
1 1
x y + g
0 2
y
2
+
2
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19/149
g
3 0
x
3
+ g
2 1
x
2
y + g
1 2
x y
2
+ g
0 3
y
3
+ : : :
w h o s e m o m e n t s e x a c t l y m a t c h t h e g e o m e t r i c m o m e n t s f m
p q
g o f f ( x y ) t h r o u g h o r -
d e r n . H o w e v e r , t h i s t e c h n i q u e i s i m p r a c t i c a l f o r c a l c u l a t i o n a s i t r e q u i r e s o n e t o
s o l v e a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f c o u p l e d e q u a t i o n s w h e n h i g h e r o r d e r m o m e n t s a r e
c o n s i d e r e d . T h e n , T e a g u e s u g g e s t e d t h e n o t i o n o f o r t h o g o n a l m o m e n t s t o r e c o v e r
t h e i m a g e f r o m m o m e n t s b a s e d o n t h e t h e o r y o f o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s . T e a g u e
i n t r o d u c e d t h e r o t a t i o n a l l y i n v a r i a n t Z e r n i k e m o m e n t , w h i c h e m p l o y s t h e c o m p l e x
Z e r n i k e p o l y n o m i a l s a s t h e m o m e n t b a s i s s e t , a n d t h e L e g e n d r e m o m e n t , u s i n g
L e g e n d r e p o l y n o m i a l s a s i t s b a s i s s e t . S i g n i c a n t e o r t s h a v e b e e n m a d e i n v a r i -
o u s e x p e r i m e n t a l i m a g e r e c o n s t r u c t i o n t a s k s p e r f o r m e d b y T e a g u e , t h e n B o y c e a n d
H o s s a c k 1 5 ] , T e h a n d C h i n 7 5 ] , T a y l o r a n d R e e v e s 7 2 ] , a n d m o r e r e c e n t l y , K h o t a n -
z a d a n d H o n g 4 5 ] 4 6 ] w i t h b o t h Z e r n i k e a n d L e g e n d r e m e t h o d s . H o w e v e r , n o
h i g h q u a l i t y m u l t i - g r a y l e v e l i m a g e h a s e v e r b e e n s u c c e s s f u l l y r e c o n s t r u c t e d f r o m i t s
o r i g i n a l v e r s i o n .
L a t e r , t h e n o t i o n o f C o m p l e x m o m e n t s w a s i n t r o d u c e d b y A b u - M o s t a f a a n d P s a l t i s 1 ]
a s a s i m p l e a n d s t r a i g h t f o r w a r d w a y t o d e r i v e a s e t o f i n v a r i a n t m o m e n t s . A b u -
M o s t a f a a n d P s a l t i s u s e d C o m p l e x m o m e n t s t o i n v e s t i g a t e t h e i n f o r m a t i o n a l p r o p e r -
t i e s o f m o m e n t i n v a r i a n t s . H o w e v e r , c o m p a r i n g C o m p l e x m o m e n t s w i t h t h e Z e r n i k e
m o m e n t s , t h e y c o n c l u d e d t h a t t h e C o m p l e x m o m e n t i n v a r i a n t s a r e n o t g o o d i m a g e
f e a t u r e s . I n o t h e r w o r k , A b u - M o s t a f a a n d P s a l t i s 2 ] e x a m i n e d t h e u t i l i z a t i o n o f m o -
m e n t s i n a g e n e r a l i z e d i m a g e n o r m a l i z a t i o n s c h e m e f o r i n v a r i a n t p a t t e r n r e c o g n i t i o n .
T h e y r e d e n e d t h e c l a s s i c i m a g e n o r m a l i z a t i o n s o f s i z e , p o s i t i o n , r o t a t i o n , a n d c o n -
t r a s t , i n t e r m s o f C o m p l e x m o m e n t s . M o m e n t i n v a r i a n t s w e r e s h o w n t o b e d e r i v a b l e
f r o m C o m p l e x m o m e n t s o f t h e n o r m a l i z e d i m a g e a s w e l l .
T e h a n d C h i n 7 5 ] p e r f o r m e d a n e x t e n s i v e a n a l y s i s a n d c o m p a r i s o n o f t h e m o s t
c o m m o n m o m e n t d e n i t i o n s . T h e y e x a m i n e d t h e n o i s e s e n s i t i v i t y a n d i n f o r m a t i o n
3
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
20/149
r e d u n d a n c y o f L e g e n d r e m o m e n t s a l o n g w i t h v e o t h e r t y p e s o f m o m e n t s . T e h a n d
C h i n c o n c l u d e d t h a t h i g h e r o r d e r m o m e n t s a r e m o r e s e n s i t i v e t o n o i s e . A m o n g t h e
e x p l o r e d t e c h n i q u e s , C o m p l e x m o m e n t s a r e l e a s t s e n s i t i v e t o n o i s e w h i l e L e g e n d r e
m o m e n t s a r e m o s t s e v e r e l y a e c t e d b y n o i s e . I n t e r m s o f i n f o r m a t i o n r e d u n d a n c y ,
L e g e n d r e , Z e r n i k e , a n d p s e u d o - Z e r n i k e m o m e n t s a r e u n c o r r e l a t e d a n d h a v e t h e
l e a s t r e d u n d a n c y . I n t e r m s o f o v e r a l l p e r f o r m a n c e , Z e r n i k e a n d p s e u d o - Z e r n i k e
m o m e n t s a r e t h e b e s t . I n g e n e r a l , o r t h o g o n a l m o m e n t s a r e b e t t e r t h a n o t h e r t y p e s
o f m o m e n t s i n t e r m s o f i n f o r m a t i o n r e d u n d a n c y a n d i m a g e r e p r e s e n t a t i o n .
M o r e r e c e n t l y , P r o k o p a n d R e e v e s 6 2 ] r e v i e w e d t h e b a s i c g e o m e t r i c m o m e n t t h e -
o r y a n d i t s a p p l i c a t i o n t o o b j e c t r e c o g n i t i o n a n d i m a g e a n a l y s i s . T h e g e o m e t r i c
p r o p e r t i e s o f l o w - o r d e r m o m e n t s w e r e d i s c u s s e d a l o n g w i t h t h e d e n i t i o n o f s e v e r a l
m o m e n t - s p a c e l i n e a r g e o m e t r i c t r a n s f o r m s . P r o k o p a n d R e e v e s a l s o p r e s e n t e d a n
e x t e n s i v e r e v i e w s u m m a r i z i n g m o s t o f r e s e a r c h a d v a n c e m e n t s r e l a t e d t o t h e m o m e n t -
b a s e d o b j e c t r e p r e s e n t a t i o n a n d r e c o g n i t i o n t e c h n i q u e s o v e r t h e p a s t 3 0 y e a r s .
T h e s p e e d o f c o m p u t i n g i m a g e m o m e n t s i s e x t r a o r d i n a r i l y i m p o r t a n t w h e n h i g h e r
o r d e r m o m e n t s a r e i n v o l v e d . S e v e r a l s c h e m e s o f h a r d w a r e a r c h i t e c t u r e s h a v e b e e n
p e r f o r m e d t o s p e e d u p t h e c o m p u t a t i o n o f i m a g e m o m e n t s . R e e v e s 6 4 ] p r o p o s e d
a p a r a l l e l , m e s h - c o n n e c t e d S I M D c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e f o r r a p i d l y m a n i p u l a t i n g
m o m e n t s e t s . T h e a r c h i t e c t u r e o e r e d a r e a s o n a b l e s p e e d i n g u p o v e r a s i n g l e p r o -
c e s s o r f o r h i g h s p e e d i m a g e a n a l y s i s o p e r a t i o n s a n d w a s e x p e c t e d t o b e i m p l e m e n t e d
i n V L S I t e c h n o l o g y . A n d e r s s o n 6 ] d e v e l o p e d a V L S I m o m e n t - g e n e r a t i n g c h i p a n d
p r e s e n t e d a r e a l - t i m e s y s t e m b y i m p l e m e n t i n g t h e p r o c e s s o r . H a t a m i a n 3 3 ] p r o p o s e d
a n a l g o r i t h m a n d s i n g l e c h i p V L S I i m p l e m e n t a t i o n t o g e n e r a t e r a w m o m e n t s . I t i s
c l a i m e d t h a t 1 6 g e o m e t r i c m o m e n t s , m
p q
( p = 0 1 2 3 q = 0 1 2 3 ) , o f a 5 1 2 5 1 2 8
b i t i m a g e c a n b e c o m p u t e d a t 3 0 f r a m e s / s e c . T h e m o m e n t a l g o r i t h m i s b a s e d o n
u s i n g t h e o n e - d i m e n s i o n a l d i s c r e t e m o m e n t - g e n e r a t i n g f u n c t i o n a s a d i g i t a l l t e r .
4
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
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T h e o r g a n i z a t i o n o f t h i s t h e s i s i s a s f o l l o w s . C h a p t e r 2 w i l l r e v i e w t h e g e n e r a l
c h a r a c t e r i s t i c s o f v a r i o u s t y p e s o f m o m e n t s a n d t h e i r p r o p e r t i e s . I n C h a p t e r 3 ,
t h e n e w t e c h n i q u e s d e r i v e d t o i n c r e a s e t h e a c c u r a c y a n d t h e e c i e n c y i n m o m e n t
c o m p u t i n g , w i l l b e a d d r e s s e d . C h a p t e r 4 w i l l d i s c u s s t h e r e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m s
o f t h e L e g e n d r e m o m e n t s a n d t h e Z e r n i k e m o m e n t s , a n d p r o v i d e s i g n i c a n t l y
i m p r o v e d r e c o n s t r u c t e d i m a g e s f r o m t h e s e o r t h o g o n a l m o m e n t s . T h e n , t h e e e c t
o f i m a g e n o i s e o n i m a g e r e c o n s t r u c t i o n a n d t h e a u t o m a t i c s e l e c t i o n o f t h e o p t i m a l
o r d e r o f m o m e n t s f o r i m a g e r e c o n s t r u c t i o n w i l l b e a n a l y z e d i n C h a p t e r 5 . S e v e r a l
s p e c i c r e c o g n i t i o n a s p e c t s o f p r o p o s e d m o m e n t t e c h n i q u e s f o r c h a r a c t e r r e c o g n i t i o n
a r e s t u d i e d i n C h a p t e r 6 . F i n a l l y , C h a p t e r 7 w i l l s u m m a r i z e t h e i m p o r t a n t r e s u l t s
a n d c o n c l u s i o n s o f t h e e n t i r e s t u d y .
5
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
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C h a p t e r 2
T h e o r y o f M o m e n t s
2 . 1 I n t r o d u c t i o n
N u m e r o u s p r o b l e m s i n m e c h a n i c s , p h y s i c s , a n d e n g i n e e r i n g l e a d t o t h e p r o b l e m o f
c h a r a c t e r i z a t i o n o f a f u n c t i o n i n t e r m s o f s o m e f u n c t i o n a l s . I n p a r t i c u l a r , m o m e n t
f u n c t i o n a l s h a v e a t t r a c t e d g r e a t a t t e n t i o n 7 8 ] d u e t o t h e i r m a t h e m a t i c a l s i m p l i c i t y
a n d n u m e r o u s p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n s .
A c o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o n o f m o m e n t f u n c t i o n a l s o v e r a c l a s s o f u n i v a r i a t e f u n c -
t i o n s w a s g i v e n b y H a u s d o r 2 6 ] i n 1 9 2 1 .
L e t f
n
g b e a r e a l s e q u e n c e o f n u m b e r s a n d l e t u s d e n e
m
n
=
m
X
i = 0
( ; 1 )
i
m
i
!
n + i
( 2 . 1 )
N o t e t h a t
m
n
c a n b e v i e w e d a s t h e m t h o r d e r d e r i v a t i v e o f
n
B y H a u s d o r ' s t h e o r e m , a n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n t h a t t h e r e e x i s t s a
m o n o t o n i c f u n c t i o n F ( x ) s a t i s f y i n g t h e s y s t e m
n
=
Z
1
0
x
n
d F ( x ) n = 0 1 2 : : : ( 2 . 2 )
i s t h a t t h e s y s t e m o f l i n e a r i n e q u a l i t i e s
k
n
0 k = 0 1 2 : : : ( 2 . 3 )
6
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
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s h o u l d b e s a t i s e d . I . e . , i f f ( x ) i s a p o s i t i v e f u n c t i o n ( w h i c h i s t h e c a s e i n i m a g e
p r o c e s s i n g ) , t h e n t h e s e t o f f u n c t i o n a l s
Z
1
0
x
n
f ( x ) d x n = 0 1 : : :
c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e s t h e f u n c t i o n .
A n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n t h a t t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n F ( x ) o f b o u n d e d
v a r i a t i o n s a t i s f y i n g ( 2 . 2 ) i s t h a t t h e s e q u e n c e
p
X
m = 0
p
m
!
p ; m
m
p = 0 1 2 : : :
s h o u l d b e b o u n d e d .
T h e s e r e s u l t s w e r e e x t e n d e d t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e b y H i l d e b r a n d t a n d
S c h o e n b e r g 3 4 ] i n 1 9 3 3 .
S i n c e t h e n , m o m e n t s a n d f u n c t i o n s o f m o m e n t s h a v e b e e n u t i l i z e d i n a n u m -
b e r o f a p p l i c a t i o n s t o a c h i e v e b o t h i n v a r i a n t a n d n o n i n v a r i a n t r e c o g n i t i o n s o f t w o -
d i m e n s i o n a l a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l i m a g e p a t t e r n s 6 2 ] .
I n t h i s c h a p t e r , t h e v a r i o u s t y p e s o f m o m e n t s a r e d e n e d a n d t h e i r p r o p e r t i e s
a r e s u m m a r i z e d . I t i s a s s u m e d t h a t a n i m a g e c a n b e r e p r e s e n t e d b y a r e a l v a l u e d
m e a s u r a b l e f u n c t i o n f ( x y )
2 . 2 G e o m e t r i c M o m e n t s i n I m a g e P r o c e s s i n g
2 . 2 . 1 P r e l i m i n a r i e s
T h e t w o - d i m e n s i o n a l g e o m e t r i c m o m e n t o f o r d e r ( p + q ) o f a f u n c t i o n f ( x y ) i s
d e n e d a s
M
p q
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
x
p
y
q
f ( x y ) d x d y ( 2 . 4 )
w h e r e p q = 0 1 2 : : : 1 . N o t e t h a t t h e m o n o m i a l p r o d u c t x
p
y
q
i s t h e b a s i s f u n c t i o n
f o r t h i s m o m e n t d e n i t i o n .
7
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
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A s e t o f n m o m e n t s c o n s i s t s o f a l l M
p q
' s f o r p + q n , i . e . , t h e s e t c o n t a i n s
1
2
( n + 1 ) ( n + 2 ) e l e m e n t s .
T h e u s e o f m o m e n t s f o r i m a g e a n a l y s i s a n d p a t t e r n r e c o g n i t i o n w a s i n s p i r e d b y
H u 3 7 ] a n d A l t 5 ] . H u s t a t e d t h a t i f f ( x y ) i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s a n d h a s n o n z e r o
v a l u e s o n l y i n a n i t e r e g i o n o f t h e ( x y ) p l a n e , t h e n t h e m o m e n t s e q u e n c e f M
p q
g
i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y f ( x y ) , a n d c o n v e r s e l y , f ( x y ) i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y
f M
p q
g . C o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t a n i m a g e s e g m e n t h a s n i t e a r e a , o r i n t h e w o r s t
c a s e i s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s , m o m e n t s o f a l l o r d e r s e x i s t a n d a c o m p l e t e m o m e n t
s e t c a n b e c o m p u t e d a n d u s e d u n i q u e l y t o d e s c r i b e t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e
i m a g e . H o w e v e r , t o o b t a i n a l l o f t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n a n i m a g e r e q u i r e s a n
i n n i t e n u m b e r o f m o m e n t v a l u e s . T h e r e f o r e , t o s e l e c t a m e a n i n g f u l s u b s e t o f t h e
m o m e n t v a l u e s t h a t c o n t a i n s u c i e n t i n f o r m a t i o n t o c h a r a c t e r i z e t h e i m a g e u n i q u e l y
f o r a s p e c i c a p p l i c a t i o n b e c o m e s v e r y i m p o r t a n t .
2 . 2 . 2 P r o p e r t i e s o f G e o m e t r i c M o m e n t s
T h e l o w e r o r d e r m o m e n t s r e p r e s e n t s o m e w e l l k n o w n f u n d a m e n t a l g e o m e t r i c p r o p -
e r t i e s o f t h e u n d e r l y i n g i m a g e f u n c t i o n s .
C e n t r a l M o m e n t s
T h e c e n t r a l m o m e n t s o f f ( x y ) a r e d e n e d a s
p q
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
( x ; x )
p
( y ; y )
q
f ( x y ) d x d y ( 2 . 5 )
w h e r e x a n d y a r e d e n e d i n ( 2 . 1 0 ) .
T h e c e n t r a l m o m e n t s
p q
d e n e d i n E q . ( 2 . 5 ) a r e i n v a r i a n t u n d e r t h e t r a n s l a t i o n
o f c o o r d i n a t e s 3 7 ] :
x
0
= x +
y
0
= y + ( 2 . 6 )
8
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w h e r e a n d a r e c o n s t a n t s .
M a s s a n d A r e a
T h e d e n i t i o n o f t h e z e r o t h o r d e r m o m e n t , f M
0 0
g , o f t h e f u n c t i o n f ( x y )
M
0 0
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
f ( x y ) d x d y ( 2 . 7 )
r e p r e s e n t s t h e t o t a l m a s s o f t h e g i v e n f u n c t i o n o r i m a g e f ( x y ) . W h e n c o m p u t e d f o r
a b i n a r y i m a g e , t h e z e r o t h m o m e n t ( 2 . 7 ) r e p r e s e n t s t h e t o t a l a r e a o f t h e i m a g e .
C e n t r e o f M a s s
T h e t w o r s t o r d e r m o m e n t s ,
M
1 0
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
x f ( x y ) d x d y ( 2 . 8 )
a n d
M
0 1
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
y f ( x y ) d x d y ( 2 . 9 )
r e p r e s e n t t h e c e n t r e o f m a s s o f t h e i m a g e f ( x y ) . T h e c e n t r e o f m a s s i s t h e p o i n t
w h e r e a l l t h e m a s s o f t h e i m a g e c o u l d b e c o n c e n t r a t e d w i t h o u t c h a n g i n g t h e r s t
m o m e n t o f t h e i m a g e a b o u t a n y a x i s . I n t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e , i n t e r m s o f
m o m e n t v a l u e s , t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r e o f m a s s a r e
x =
M
1 0
M
0 0
y =
M
0 1
M
0 0
( 2 . 1 0 )
A s a u s u a l p r a c t i c e , t h e c e n t r e o f m a s s i s c h o s e n t o r e p r e s e n t t h e p o s i t i o n o f a n
i m a g e i n t h e e l d o f v i e w . T h e e q u a t i o n s i n ( 2 . 1 0 ) d e n e a u n i q u e l o c a t i o n o f t h e
i m a g e f ( x y ) t h a t c a n b e u s e d a s a r e f e r e n c e p o i n t t o d e s c r i b e t h e p o s i t i o n o f t h e
i m a g e .
9
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
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O r i e n t a t i o n s
T h e s e c o n d o r d e r m o m e n t s , f M
0 2
M
1 1
M
2 0
g , k n o w n a s t h e m o m e n t s o f i n t e r t i a ,
m a y b e u s e d t o d e t e r m i n e a n i m p o r t a n t i m a g e f e a t u r e , o r i e n t a t i o n . I n g e n e r a l , t h e
o r i e n t a t i o n o f a n i m a g e d e s c r i b e s h o w t h e i m a g e l i e s i n t h e e l d o f v i e w , o r t h e
d i r e c t i o n s o f t h e p r i n c i p a l a x e s .
I n t e r m s o f m o m e n t s , t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e p r i n c i p a l a x e s , , a r e g i v e n b y 3 5 ]
=
1
2
t a n
; 1
(
2
1 1
2 0
;
0 2
) ( 2 . 1 1 )
I n ( 2 . 1 1 ) , i s t h e a n g l e o f t h e p r i n c i p a l a x i s n e a r e s t t o t h e x a x i s a n d i s i n t h e r a n g e
; = 4 = 4
P r o j e c t i o n s
A n a l t e r n a t i v e m e a n s o f d e s c r i b i n g i m a g e p r o p e r t i e s r e p r e s e n t e d b y m o m e n t s i s
t o c o n s i d e r t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m o m e n t s o f a n i m a g e a n d t h o s e o f t h e
p r o j e c t i o n s o f t h a t i m a g e . T h e m o m e n t s i n t h e s e t s f M
p 0
g a n d f M
0 p
g a r e e q u i v a l e n t
t o t h e m o m e n t s o f t h e i m a g e p r o j e c t i o n o n t o t h e x a x i s a n d y a x i s r e s p e c t i v e l y .
C o n s i d e r t h e h o r i z o n t a l p r o j e c t i o n , h ( y ) , o f a n i m a g e f ( x y ) o n t o t h e y a x i s g i v e n
b y
h ( y ) =
Z
a
2
a
1
f ( x y ) d x ( 2 . 1 2 )
T h e n , t h e o n e - d i m e n s i o n a l m o m e n t s , M
q
, o f h ( y ) a r e o b t a i n e d b y
M
q
=
Z
b
2
b
1
y
q
h ( y ) d y ( 2 . 1 3 )
S u b s t i t u t i n g ( 2 . 1 2 ) i n t o ( 2 . 1 3 ) g i v e s
M
q
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
y
q
f ( x y ) d x d y = M
0 q
( 2 . 1 4 )
F i g u r e 2 . 1 i l l u s t r a t e s t h e p r o j e c t i o n s o f a n o b j e c t o n t o t h e x a x i s a n d y a x i s a n d
t h e m o m e n t s u b s e t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e p r o j e c t i o n s .
1 0
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
27/149
v(x)
h(y)
M40
M31 M30
M22 M21 M20
M13 M12 M11 M10
M04 M03 M02 M01 M00
F i g u r e 2 . 1 : M o m e n t s p r o j e c t i o n s o n t o x a n d y a x e s .
1 1
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
28/149
2 . 2 . 3 M o m e n t I n v a r i a n t s
T h e e a r l i e s t s i g n i c a t w o r k e m p l o y i n g m o m e n t s f o r i m a g e p r o c e s s i n g a n d p a t t e r n
r e c o g n i t i o n w a s p e r f o r m e d b y H u 3 7 ] a n d A l t 5 ] . B a s e d o n t h e t h e o r y o f a l g e b r a i c
i n v a r i a n t s , H u 3 6 ] 3 7 ] d e r i v e d r e l a t i v e a n d a b s o l u t e c o m b i n a t i o n s o f m o m e n t s t h a t
a r e i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o s c a l e , p o s i t i o n , a n d o r i e n t a t i o n .
T h e m e t h o d o f m o m e n t i n v a r i a n t s i s d e r i v e d f r o m a l g e b r a i c i n v a r i a n t s a p p l i e d t o
t h e m o m e n t g e n e r a t i n g f u n c t i o n u n d e r a r o t a t i o n t r a n s f o r m a t i o n . T h e s e t o f a b s o l u t e
m o m e n t i n v a r i a n t s c o n s i s t s o f a s e t o f n o n l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f c e n t r a l m o m e n t s t h a t
r e m a i n i n v a r i a n t u n d e r r o t a t i o n . H u d e n e s t h e f o l l o w i n g s e v e n f u n c t i o n s , c o m p u t e d
f r o m c e n t r a l m o m e n t s t h r o u g h o r d e r t h r e e , t h a t a r e i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o o b j e c t
s c a l e , t r a n s l a t i o n a n d r o t a t i o n :
1
=
2 0
+
0 2
( 2 . 1 5 )
2
= (
2 0
;
0 2
)
2
+ 4
2
1 1
( 2 . 1 6 )
3
= (
3 0
; 3
1 2
)
2
+ ( 3
2 1
;
0 3
)
2
( 2 . 1 7 )
4
= (
3 0
;
1 2
)
2
+ (
2 1
;
0 3
)
2
( 2 . 1 8 )
5
= (
3 0
; 3
1 2
) (
3 0
+
1 2
) (
3 0
+
1 2
)
2
; 3 (
2 1
+
0 3
)
2
+ ( 3
2 1
;
0 3
) (
2 1
+
0 3
) 3 (
3 0
+
1 2
)
2
; (
2 1
+
0 3
)
2
] ( 2 . 1 9 )
6
= (
2 0
;
0 2
) (
3 0
+
1 2
)
2
; (
2 1
+
0 3
)
2
+ 4
1 1
(
3 0
+
1 2
) (
2 1
+
0 3
) ( 2 . 2 0 )
7
= ( 3
2 1
;
0 3
) (
3 0
+
1 2
) (
3 0
+
1 2
)
2
; 3 (
2 1
+
0 3
)
2
; (
3 0
; 3
1 2
) (
2 1
+
0 3
) 3 (
3 0
+
1 2
)
2
; (
2 1
+
0 3
)
2
( 2 . 2 1 )
T h e f u n c t i o n s
1
t h r o u g h
6
a r e i n v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o r o t a t i o n a n d r e e c t i o n
w h i l e
7
c h a n g e s s i g n u n d e r r e e c t i o n .
H u ' s o r i g i n a l r e s u l t h a s b e e n s l i g h t l y m o d i e d b y R e i s s 6 6 ] i n 1 9 9 1 . R e i s s r e v i s e d
1 2
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
29/149
t h e f u n d a m e n t a l t h e o r e m o f m o m e n t i n v a r i a n t s w i t h f o u r n e w i n v a r i a n t s . T h e c o r -
r e c t i o n p r e s e n t e d b y R e i s s a e c t s n e i t h e r s i m i l i t u d e ( s c a l e ) n o r r o t a t i o n i n v a r i a n t s
d e r i v e d u s i n g t h e o r i g i n a l t h e o r e m , b u t i t d o e s a e c t f e a t u r e s i n v a r i a n t t o g e n e r a l
l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s .
T h e d e n i t i o n o f t h e g e o m e t r i c m o m e n t s ( 2 . 4 ) h a s t h e f o r m o f t h e p r o j e c t i o n o f
t h e i m a g e f u n c t i o n f ( x y ) o n t o t h e m o n o m i a l x
p
y
q
. H o w e v e r , w i t h t h e W e i e r s t r a s s
a p p r o x i m a t i o n t h e o r e m 1 7 ] , t h e b a s i s s e t f x
p
y
q
g , w h i l e c o m p l e t e , i s n o t o r t h o g o n a l .
2 . 3 C o m p l e x M o m e n t s
T h e n o t i o n o f c o m p l e x m o m e n t s w a s i n t r o d u c e d i n 1 ] a s a s i m p l e a n d s t r a i g h t f o r -
w a r d t e c h n i q u e t o d e r i v e a s e t o f i n v a r i a n t m o m e n t s . T h e t w o - d i m e n s i o n a l c o m p l e x
m o m e n t s o f o r d e r ( p q ) f o r t h e i m a g e f u n c t i o n f ( x y ) a r e d e n e d b y :
C
p q
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
( x + j y )
p
( x ; j y )
q
f ( x y ) d x d y ( 2 . 2 2 )
w h e r e p a n d q a r e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s a n d j =
p
; 1
T h e c o m p l e x m o m e n t s o f o r d e r ( p q ) a r e a l i n e a r c o m b i n a t i o n w i t h c o m p l e x c o e f -
c i e n t s o f a l l o f t h e g e o m e t r i c m o m e n t s f M
n m
g s a t i s f y i n g p + q = n + m
I n p o l a r c o o r d i n a t e s , t h e c o m p l e x m o m e n t s o f o r d e r ( p + q ) c a n b e w r i t t e n a s
C
p q
=
Z
2
0
Z
+ 1
0
p + q
e
j ( p ; q )
f ( c o s s i n ) d d : ( 2 . 2 3 )
I f t h e c o m p l e x m o m e n t o f t h e o r i g i n a l i m a g e a n d t h a t o f t h e r o t a t e d i m a g e i n t h e
s a m e p o l a r c o o r d i n a t e s a r e d e n o t e d b y C
p q
a n d C
r
p q
, t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m
i s
C
r
p q
= C
p q
e
; j ( p ; q )
( 2 . 2 4 )
w h e r e i s t h e a n g l e t h a t t h e o r i g i n a l i m a g e h a s b e e n r o t a t e d .
T h e c o m p l e x m o m e n t i n v a r i a n t s c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m o f
C
r s
C
k
t u
+ C
s r
C
k
u t
( 2 . 2 5 )
1 3
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
30/149
w h e r e
( r ; s ) + k ( t ; u ) = 0 ( 2 . 2 6 )
T h i s c o m b i n a t i o n o f c o m p l e x m o m e n t s c a n c e l s b o t h t h e i m a g i n a r y m o m e n t a n d t h e
r o t a t i o n a l p h a s e f a c t o r , a n d t h u s p r o v i d e s r e a l - v a l u e d r o t a t i o n i n v a r i a n t s .
H o w e v e r , t h e s e c o m p l e x m o m e n t i n v a r i a n t s a r e n o t , i n g e n e r a l , g o o d f e a t u r e s 1 ] .
T h e y s u e r f r o m i n f o r m a t i o n l o s s , s u p p r e s s i o n , a n d r e d u n d a n c y w h i c h l i m i t t h e i r
d i s c r i m i n a t i o n p o w e r .
2 . 4 O r t h o g o n a l M o m e n t s
2 . 4 . 1 L e g e n d r e M o m e n t s
L e g e n d r e P o l y n o m i a l s
T h e n t h - o r d e r L e g e n d r e p o l y n o m i a l i s d e n e d b y
P
n
( x ) =
n
X
j = 0
a
n j
x
j
=
1
2
n
n !
d
n
d x
n
( x
2
; 1 )
n
( 2 . 2 7 )
T h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s h a v e t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n
1
p
1 ; 2 r x + r
2
=
1
X
s = 0
r
s
P
s
( x ) r
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
31/149
o r , t h e r e c u r r e n t f o r m u l a o f t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s :
P
n + 1
( x ) =
2 n + 1
n + 1
x P
n
( x ) ;
n
n + 1
P
n ; 1
( x ) ( 2 . 2 9 )
T h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s f P
m
( x ) g 1 7 ] a r e a c o m p l e t e o r t h o g o n a l b a s i s s e t o n
t h e i n t e r v a l - 1 , 1 ] :
Z
+ 1
; 1
P
m
( x ) P
n
( x ) d x =
2
2 m + 1
m n
( 2 . 3 0 )
w h e r e
m n
i s t h e K r o n e c k e r s y m b o l .
F i g u r e 2 . 2 a n d F i g u r e 2 . 3 s h o w s o m e o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l L e g e n d r e p o l y n o -
m i a l s i n t h e i m a g e s p a c e .
L e g e n d r e M o m e n t s
T h e ( m + n ) t h o r d e r o f L e g e n d r e m o m e n t o f f ( x y ) d e n e d o n t h e s q u a r e ; 1 1
; 1 1 ] i s
m n
( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 )
4
Z
+ 1
; 1
Z
+ 1
; 1
P
m
( x ) P
n
( y ) f ( x y ) d x d y ( 2 . 3 1 )
w h e r e m n = 0 1 2 : : :
U s i n g ( 2 . 4 ) , ( 2 . 2 7 ) , a n d ( 2 . 3 1 ) , w e h a v e
m n
=
( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 )
4
Z
+ 1
; 1
Z
1
; 1
P
m
( x ) P
n
( y ) f ( x y ) d x d y
=
( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 )
4
Z
1
; 1
Z
1
; 1
m
X
j = 0
a
m j
x
j
n
X
k = 0
a
n k
y
k
f ( x y ) d x d y
=
( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 )
4
m
X
j = 0
n
X
k = 0
a
m j
a
n k
Z
1
; 1
Z
1
; 1
x
j
y
k
f ( x y ) d x d y :
T h e r e f o r e , t h e L e g e n d r e m o m e n t s a n d g e o m e t r i c m o m e n t s a r e r e l a t e d b y
m n
=
( 2 m + 1 ) ( 2 n + 1 )
4
m
X
j = 0
n
X
k = 0
a
m j
a
n k
M
j k
( 2 . 3 2 )
T h e a b o v e r e l a t i o n s h i p i n d i c a t e s t h a t a g i v e n L e g e n d r e m o m e n t d e p e n d s o n l y o n
g e o m e t r i c m o m e n t s o f t h e s a m e o r d e r a n d l o w e r , a n d c o n v e r s e l y .
1 5
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
32/149
( a )
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
-1.0
-0.50 .0
0. 5
1. 0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
( b)
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
- 1 . 0
- 0 . 50. 0
0 .5
1 .0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
( c )
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
-1.0
-0.5
0 .0
0. 5
1. 0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
( d)
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
- 1 . 0
- 0 . 5
0. 0
0 .5
1 .0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
F i g u r e 2 . 2 : T h e p l o t s o f s o m e t w o - d i m e n s i o n a l P
m
( x ) P
n
( y ) L e g e n d r e p o l y n o m i a l s .
( a ) P
2
( x ) P
2
( y ) , ( b ) P
4
( x ) P
4
( y ) , ( c ) P
6
( x ) P
6
( y ) , a n d ( d ) P
8
( x ) P
8
( y )
1 6
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
33/149
( a )
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
-1.0
-0.50 .0
0. 5
1. 0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
( b)
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
- 1 . 0
- 0 . 50. 0
0 .5
1 .0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
( c )
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
-1.0
-0.5
0 .0
0. 5
1. 0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
( d)
- 1 . 0
- 0 . 5
0 .0
0. 5
1. 0
X
- 1 . 0
- 0 . 5
0. 0
0 .5
1 .0
Y
F
- 0 . 5 0
- 0 . 2 5
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
F i g u r e 2 . 3 : T h e p l o t s o f s o m e t w o - d i m e n s i o n a l P
m
( x ) P
n
( y ) L e g e n d r e p o l y n o m i a l s .
( a ) P
2
( x ) P
4
( y ) , ( b ) P
2
( x ) P
6
( y ) , ( c ) P
4
( x ) P
8
( y ) , a n d ( d ) P
6
( x ) P
8
( y )
1 7
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
34/149
2 . 4 . 2 Z e r n i k e M o m e n t s
T h e u s a g e o f Z e r n i k e p o l y n o m i a l s i n o p t i c s d a t e s b a c k t o t h e e a r l y 2 0 t h c e n t u r y ,
w h i l e t h e a p p l i c a t i o n s o f o r t h o g o n a l m o m e n t s b a s e d o n Z e r n i k e p o l y n o m i a l s f o r
i m a g e p r o c e s s i n g w e r e p i o n e e r e d b y T e a g u e 7 3 ] i n 1 9 8 0 .
Z e r n i k e P o l y n o m i a l s
A s e t o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s w i t h s i m p l e r o t a t i o n p r o p e r t i e s w h i c h f o r m s a c o m p l e t e
o r t h o g o n a l s e t o v e r t h e i n t e r i o r o f t h e u n i t c i r c l e w a s i n t r o d u c e d b y Z e r n i k e 7 9 ] . T h e
f o r m o f t h e s e p o l y n o m i a l s i s
V
n m
( x y ) = V
n m
( s i n c o s ) = R
n m
( ) e x p ( j m ) ( 2 . 3 3 )
w h e r e n i s e i t h e r a p o s i t i v e i n t e g e r o r z e r o , a n d m t a k e s p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n t e g e r s
s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s n ; m = e v e n , m n , i s t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r f r o m
t h e o r i g i n t o t h e p i x e l a t ( x y ) , a n d i s t h e a n g l e b e t w e e n v e c t o r a n d t h e x a x i s
i n t h e c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c t i o n .
T h e R a d i a l p o l y n o m i a l R
n m
( ) i s d e n e d a s
R
n m
( ) =
( n ; m ) = 2
X
s = 0
( ; 1 )
s
( n ; s ) !
s ! (
n + m
2
; s ) ! (
n ; m
2
; s ) !
n ; 2 s
( 2 . 3 4 )
w i t h R
n ; m
( ) = R
n m
( )
F i g u r e 2 . 4 a n d F i g u r e 2 . 5 s h o w s o m e o f t h e V
n m
( x y ) p o l y n o m i a l s .
T h e Z e r n i k e p o l y n o m i a l s ( 2 . 3 3 ) a r e a c o m p l e t e s e t o f c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n s
o r t h o g o n a l o n t h e u n i t d i s k x
2
+ y
2
1 :
Z Z
x
2
+ y
2
1
V
n m
( x y )
V
p q
( x y ) d x d y =
n + 1
n p
m q
( 2 . 3 5 )
o r , i n p o l a r c o o r d i n a t e s
Z
2
0
Z
1
0
V
n m
( r )
V
p q
( r ) r d r d =
n + 1
n p
m q
( 2 . 3 6 )
1 8
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
35/149
( a )
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0 . 4 9
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 90.00
0.49
0.98
Y
F
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
( b)
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0.49
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 90 . 0 0
0.49
0 . 9 8
Y
F
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
0 . 7 5
1 . 0 0
( c )
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0 . 4 9
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0.00
0.49
0.98
Y
F
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
( d)
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0.49
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0.49
0 . 9 8
Y
F
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
0 . 7 5
1 . 0 0
F i g u r e 2 . 4 : T h e p l o t s o f t h e m a g n i t u d e s o f s o m e V
n m
( x y ) p o l y n o m i a l s .
( a ) V
2 0
( x y ) , ( b ) V
4 0
( x y ) , ( c ) V
8 0
( x y ) , a n d ( d ) V
1 2 0
( x y )
1 9
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
36/149
( a )
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0 . 4 9
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 90.00
0.49
0.98
Y
F
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
( b)
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0.49
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 90 . 0 0
0.49
0 . 9 8
Y
F
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
0 . 7 5
1 . 0 0
( c )
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0 . 4 9
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0.00
0.49
0.98
Y
F
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
( d)
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0.49
0 . 9 8
X
- 0 . 9 8
- 0 . 4 9
0 . 0 0
0.49
0 . 9 8
Y
F
0 . 0 0
0 . 2 5
0 . 5 0
0 . 7 5
1 . 0 0
F i g u r e 2 . 5 : T h e p l o t s o f t h e m a g n i t u d e s o f s o m e V
n m
( x y ) p o l y n o m i a l s .
( a ) V
1 1
( x y ) , ( b ) V
2 2
( x y ) , ( c ) V
3 1
( x y ) , a n d ( d ) V
4 2
( x y )
2 0
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
37/149
w h e r e t h e a s t e r i s k d e n o t e s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e .
A s i s s e e n f r o m ( 2 . 3 3 ) a n d ( 2 . 3 6 ) , t h e r e a l - v a l u e d r a d i a l p o l y n o m i a l s f R
n m
( r ) g
s a t i s f y t h e r e l a t i o n
Z
1
0
R
n l
( r ) R
m l
( r ) r d r =
1
2 ( n + 1 )
m n
( 2 . 3 7 )
T h e r a d i a l p o l y n o m i a l s R
n m
( ) h a v e t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n
1 + t ;
q
1 ; 2 t ( 1 ; 2
2
) + t
2
m
( 2 t )
m
q
1 ; 2 t ( 1 ; 2
2
) + t
2
=
1
X
s = 0
t
s
R
m + 2 s m
( ) ( 2 . 3 8 )
W h e n m = 0 , i t i s i n t e r e s t i n g t o s e e t h a t t h e e q u a t i o n ( 2 . 3 8 ) r e d u c e s t o
1
q
1 ; 2 t ( 1 ; 2
2
) + t
2
=
1
X
s = 0
t
s
P
s
( 1 ; 2
2
) ( 2 . 3 9 )
a n d b e c o m e s t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n f o r t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l s o f a r g u m e n t
2
2
; 1 , s o t h a t
R
2 n 0
( ) = P
n
( 2
2
; 1 ) ( 2 . 4 0 )
Z e r n i k e M o m e n t s
T h e c o m p l e x Z e r n i k e m o m e n t s o f o r d e r n w i t h r e p e t i t i o n m f o r a n i m a g e f u n c t i o n
f ( x y ) a r e d e n e d a s
A
n m
=
n + 1
Z Z
x
2
+ y
2
1
f ( x y ) V
n m
( ) d x d y ( 2 . 4 1 )
o r , i n p o l a r c o o r d i n a t e s
A
n m
=
n + 1
Z
2
0
Z
1
0
f ( ) R
n m
( ) e x p ( ; j m ) d d : ( 2 . 4 2 )
w h e r e t h e r e a l - v a l u e d r a d i a l p o l y n o m i a l R
n m
( ) i s d e n e d i n ( 2 . 3 4 ) .
D u e t o t h e c o n d i t i o n s n ; m = e v e n a n d m n f o r t h e Z e r n i k e p o l y n o m i a l s
( 2 . 3 3 ) , t h e s e t o f Z e r n i k e p o l y n o m i a l s c o n t a i n s
1
2
( n + 1 ) ( n + 2 ) l i n e a r l y i n d e p e n d e n t
p o l y n o m i a l s i f t h e g i v e n m a x i m u m d e g r e e i s n
S i n c e A
n m
= A
n ; m
, t h e n A
n m
= A
n ; m
, t h e r e f o r e , o n e o n l y n e e d s t o c o n s i d e r
A
n m
w i t h m 0
2 1
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
38/149
R o t a t i o n a l P r o p e r t i e s o f Z e r n i k e M o m e n t s
U n d e r a r o t a t i o n t r a n s f o r m a t i o n , t h e a n g l e o f r o t a t i o n o f t h e Z e r n i k e m o m e n t s i s
s i m p l y a p h a s e f a c t o r . T h e r e f o r e , t h e Z e r n i k e m o m e n t s a r e i n v a r i a n t u n d e r i m a g e
r o t a t i o n .
I f t h e o r i g i n a l i m a g e a n d t h e r o t a t e d i m a g e i n t h e s a m e p o l a r c o o r d i n a t e s a r e
d e n o t e d b y f ( ) a n d f
r
( ) r e s p e c t i v e l y , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e m i s
f
r
( ) = f ( ; ) ( 2 . 4 3 )
w h e r e i s t h e a n g l e t h a t t h e o r i g i n a l i m a g e h a s b e e n r o t a t e d . U s i n g ( 2 . 4 2 ) , t h e
Z e r n i k e m o m e n t o f t h e r o t a t e d i m a g e i s
A
r
n m
=
n + 1
Z
2
0
Z
1
0
f ( ; ) R
n m
( ) e x p ( ; j m ) d d
=
n + 1
Z
2
0
Z
1
0
f ( ; ) R
n m
( ) e x p ( ; j m ( ; + ) ) d d
=
n + 1
Z
2
0
Z
1
0
f ( ; ) R
n m
( ) e x p ( ; j m ( ; ) ) e x p ( ; j m ) d d
t h e r e f o r e , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n A
r
n m
a n d A
n m
i s
A
r
n m
= A
n m
e x p ( ; j m ) ( 2 . 4 4 )
E q u a t i o n ( 2 . 4 4 ) i n d i c a t e s t h a t t h e Z e r n i k e m o m e n t s h a v e s i m p l e r o t a t i o n a l t r a n s -
f o r m a t i o n p r o p e r t i e s . T h e m a g n i t u d e s o f t h e Z e r n i k e m o m e n t s o f a r o t a t e d i m a g e
f u n c t i o n r e m a i n i d e n t i c a l t o t h e o r i g i n a l i m a g e f u n c t i o n . T h u s t h e m a g n i t u d e o f
t h e Z e r n i k e m o m e n t , A
n m
, c a n b e e m p l o y e d a s a r o t a t i o n i n v a r i a n t f e a t u r e o f t h e
f u n d a m e n t a l i m a g e f u n c t i o n .
2 . 4 . 3 P s e u d o - Z e r n i k e M o m e n t s
I f w e e l i m i n a t e t h e c o n d i t i o n n ; m = e v e n f r o m t h e t h e Z e r n i k e p o l y n o m i a l s
d e n e d i n ( 2 . 3 3 ) , f V
n m
g b e c o m e s t h e s e t o f p s e u d o - Z e r n i k e p o l y n o m i a l s . T h e s e t o f
2 2
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
39/149
p s e u d o - Z e r n i k e p o l y n o m i a l s w a s d e r i v e d b y B h a t i a a n d W o l f 1 2 ] a n d h a s p r o p e r t i e s
a n a l o g o u s t o t h o s e o f Z e r n i k e p o l y n o m i a l s .
F o r t h e p s e u d o - Z e r n i k e p o l y n o m i a l s , t h e r e a l - v a l u e d r a d i a l p o l y n o m i a l R
n m
( )
i s d e n e d a s
R
n m
( ) =
n ; m
X
s = 0
( ; 1 )
s
( 2 n + 1 ; s ) !
s ! ( n ; m ; s ) ! ( n + m + 1 ; s ) !
n ; s
( 2 . 4 5 )
w h e r e n = 0 1 2 : : : 1 a n d m t a k e s o n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e i n t e g e r s s u b j e c t t o
m n o n l y . U n l i k e t h e s e t o f Z e r n i k e p o l y n o m i a l s , t h i s s e t o f p s e u d o - Z e r n i k e
p o l y n o m i a l s c o n t a i n s ( n + 1 )
2
l i n e a r l y i n d e p e n d e n t p o l y n o m i a l s i n s t e a d o f
1
2
( n + 1 ) ( n + 2 ) i f t h e g i v e n m a x i m u m o r d e r i s n
T h e d e n i t i o n o f t h e p s e u d o - Z e r n i k e m o m e n t s i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e Z e r n i k e
m o m e n t s i n ( 2 . 4 1 ) a n d ( 2 . 4 2 ) e x c e p t t h a t t h e r a d i a l p o l y n o m i a l s f R
n m
( ) g i n ( 2 . 4 5 )
a r e u s e d .
S i n c e t h e s e t o f p s e u d o - Z e r n i k e o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s i s a n a l o g o u s t o t h a t o f
Z e r n i k e p o l y n o m i a l s , m o s t o f t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n f o r t h e Z e r n i k e m o m e n t s c a n
b e a d a p t e d t o t h e c a s e o f p s e u d o - Z e r n i k e m o m e n t s .
2 3
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
40/149
C h a p t e r 3
A c c u r a c y a n d E c i e n c y o f M o m e n t
C o m p u t i n g
3 . 1 I n t r o d u c t i o n
A n e s s e n t i a l i s s u e i n t h e e l d o f p a t t e r n a n a l y s i s i s t h e r e c o g n i t i o n o f p a t t e r n s a n d
c h a r a c t e r s r e g a r d l e s s o f t h e i r p o s i t i o n s , s i z e s , a n d o r i e n t a t i o n s . A s d i s c u s s e d i n
t h e p r e v i o u s c h a p t e r , m o m e n t s a n d f u n c t i o n s o f m o m e n t s c a n b e e m p l o y e d a s t h e
i n v a r i a n t g l o b a l f e a t u r e s o f a n i m a g e i n p a t t e r n r e c o g n i t i o n , i m a g e c l a s s i c a t i o n ,
t a r g e t i d e n t i c a t i o n , a n d s c e n e a n a l y s i s .
G e n e r a l l y , t h e s e f e a t u r e s a r e i n v a r i a n t u n d e r i m a g e t r a n s l a t i o n , s c a l e c h a n g e , a n d
r o t a t i o n o n l y w h e n t h e y a r e c o m p u t e d f r o m t h e o r i g i n a l t w o - d i m e n s i o n a l i m a g e s .
I n p r a c t i c e , o n e o b s e r v e s t h e d i g i t i z e d , q u a n t i z e d , a n d o f t e n n o i s y v e r s i o n o f t h e
i m a g e a n d a l l t h e s e p r o p e r t i e s a r e s a t i s e d o n l y a p p r o x i m a t e l y . T h e p r o b l e m o f t h e
d i s c r e t i z a t i o n e r r o r f o r m o m e n t c o m p u t i n g h a s b e e n b a r e l y i n v e s t i g a t e d , t h o u g h s o m e
i n i t i a l s t u d i e s i n t o t h i s d i r e c t i o n f o r t h e c a s e o f g e o m e t r i c m o m e n t s w e r e p e r f o r m e d
b y T e h a n d C h i n 7 4 ] .
I n t h i s c h a p t e r , t h e d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e d i s c r e t i z a t i o n e r r o r f o r m o m e n t c o m -
p u t i n g i s a d d r e s s e d . S e v e r a l n e w t e c h n i q u e s d e v e l o p e d t o i n c r e a s e t h e a c c u r a c y i n
m o m e n t c o m p u t i n g a r e p r o v i d e d .
2 4
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
41/149
3 . 2 G e o m e t r i c M o m e n t s C o m p u t i n g
G e o m e t r i c m o m e n t s a r e t h e m o s t p o p u l a r t y p e o f m o m e n t s . T h e d e n i t i o n o f g e o -
m e t r i c m o m e n t s ( 2 . 4 ) i s r e w r i t t e n h e r e f o r c o n v e n i e n c e :
M
p q
=
Z
+ 1
; 1
Z
+ 1
; 1
x
p
y
q
f ( x y ) d x d y : ( 3 . 1 )
I f a n a n a l o g o r i g i n a l i m a g e f u n c t i o n f ( x y ) i s d i g i t i z e d i n t o i t s d i s c r e t e v e r s i o n
f ( x
i
y
j
) w i t h a n M N a r r a y o f p i x e l s , t h e d o u b l e i n t e g r a t i o n o f ( 3 . 1 ) m u s t b e
a p p r o x i m a t e d b y d o u b l e s u m m a t i o n s . I n f a c t , i n d i g i t a l i m a g e p r o c e s s i n g , o n e
c a n o b s e r v e f ( x y ) o n l y a t d i s c r e t e p i x e l s , i . e . , i n s t e a d o f f f ( x y ) ( x y ) 2 R g ,
f f ( x
i
y
j
) 1 i M 1 j N g i s u s e d . I t h a s b e e n a c o m m o n p r e s c r i p t i o n t o
r e p l a c e M
p q
i n ( 3 . 1 ) w i t h i t s d i g i t a l v e r s i o n
c
M
p q
=
M
X
i = 1
N
X
j = 1
x
p
i
y
q
j
f ( x
i
y
j
) x y ( 3 . 2 )
w h e r e x a n d y a r e s a m p l i n g i n t e r v a l s i n t h e x a n d y d i r e c t i o n s . H o w e v e r , w h e n
t h e m o m e n t o r d e r i n c r e a s e s , ( 3 . 2 ) c a n n o t p r o d u c e a c c u r a t e r e s u l t s .
B y ( 3 . 1 ) , o n e o b t a i n s
M
p q
=
Z
+ 1
; 1
Z
+ 1
; 1
x
p
y
q
f ( x y ) d x d y
=
Z Z
A
x
p
y
q
f ( x y ) d x d y
=
Z
a
2
a
1
Z
b
2
b
1
x
p
y
q
f ( x y ) d x d y ( 3 . 3 )
w h e r e
A = a
1
a
2
b
1
b
2
i s t h e a r e a c o v e r e d b y t h e i m a g e .
T h e n , i t i s c l e a r t h a t
M
p q
=
M
X
i = 1
N
X
j = 1
Z
x +
x
2
x ;
x
2
Z
y
j
+
y
2
y
j
;
y
2
x
p
y
q
f ( x y ) d x d y ( 3 . 4 )
2 5
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
42/149
w h e r e x = x
i
; x
i ; 1
a n d y = y
j
; y
j ; 1
a r e t h e s a m p l i n g i n t e r v a l s i n t h e x a n d y
d i r e c t i o n s , a n d
x
M
+
x
2
= a
2
( 3 . 5 )
x
1
;
x
2
= a
1
( 3 . 6 )
y
N
+
y
2
= b
2
( 3 . 7 )
y
1
;
y
2
= b
1
( 3 . 8 )
B y t h e s e c o n d m e a n v a l u e t h e o r e m f o r i n t e g r a t i o n , i f f a n d g a r e i n t e g r a b l e f u n c -
t i o n s o n t h e s e t A , a n d i f f i s a l s o c o n t i n u o u s , t h e n
Z
A
f ( z ) g ( z ) d z = f ( )
Z
A
g ( z ) d z ( 3 . 9 )
f o r s o m e 2 A
A p p l y i n g t h i s r e s u l t t o ( 3 . 4 ) y i e l d s
M
p q
=
M
X
i = 1
N
X
j = 1
f (
i
j
)
Z
x +
x
2
x ;
x
2
Z
y
j
+
y
2
y
j
;
y
2
x
p
y
q
d x d y ( 3 . 1 0 )
w h e r e (
i
j
) b e l o n g s t o t h e ( i j ) p i x e l .
L e t u s a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t e a c h p i x e l i s q u a n t i z e d t o o n e v a l u e ,
i t i s n o r m a l t o r e p l a c e f (
i
j
) b y f ( x
i
y
j
) . T h i s g i v e s t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t i o n
o f M
p q
:
c
M
p q
=
M
X
i = 1
N
X
j = 1
h
p q
( x
i
y
j
) f ( x
i
y
j
) ( 3 . 1 1 )
w h e r e
h
p q
( x
i
y
j
) =
Z
x +
x
2
x ;
x
2
Z
y
j
+
y
2
y
j
;
y
2
x
p
y
q
d x d y ( 3 . 1 2 )
r e p r e s e n t s t h e d o u b l e i n t e g r a t i o n o f x
p
y
q
o v e r t h e p i x e l x
i
;
x
2
x
i
+
x
2
y
j
;
y
2
y
j
+
y
2
N o t e t h a t
h
p q
( x
i
y
j
) =
( x
i
+
x
2
)
p + 1
; ( x
i
;
x
2
)
p + 1
( p + 1 )
( y
j
+
y
2
)
q + 1
; ( y
j
;
y
2
)
q + 1
( q + 1 )
( 3 . 1 3 )
2 6
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
43/149
T h e n t h e q u e s t i o n i s h o w t o a c q u i r e t h e d o u b l e i n t e g r a t i o n ( 3 . 1 2 ) ? T h e s i m p l e s t
m e t h o d t o c a r r y o u t t h e c o m p u t a t i o n o f h
p q
( x
i
y
j
) i s t o u s e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a :
h
0
p q
( x
i
y
j
) = x
p
i
y
q
j
x y ( 3 . 1 4 )
t o r e p l a c e ( 3 . 1 2 ) . H o w e v e r , t h e a b o v e a p p r o x i m a t i o n w i l l r e s u l t i n a s u b s t a n t i a l e r r o r
w h e n t h e o r d e r p + q i n c r e a s e s .
S i n c e t h e d o u b l e i n t e g r a t i o n i n ( 3 . 1 2 ) c a n b e s e p a r a t e d a s
h
p q
( x
i
y
j
) =
Z
x +
x
2
x ;
x
2
x
p
d x
Z
y
j
+
y
2
y
j
;
y
2
y
q
d y ( 3 . 1 5 )
f o r s i m p l i c i t y , w e c o n s i d e r t h e s i n g l e i n t e g r a t i o n
h
p
( x
i
) =
Z
x +
x
2
x ;
x
2
x
p
d x ( 3 . 1 6 )
a n d r e p l a c e h
p
( x
i
) w i t h
h
0
p
( x
i
) = x
p
i
x ( 3 . 1 7 )
W h e n p = 1 , h
0
p
( x
i
) h o l d s .
W h e n t h e o r d e r p i n c r e a s e s t o 2 , f r o m ( 3 . 1 6 ) , w e h a v e
h
2
( x
i
) =
Z
x +
x
2
x ;
x
2
x
2
d x
=
1
3
( x
i
+
x
2
)
3
; ( x
i
;
x
2
)
3
= x
2
i
x +
( x )
3
1 2
h
2
( x
i
) = h
0
2
( x
i
) +
( x )
3
1 2
T h e a p p r o x i m a t i o n e r r o r f o r t h e s i n g l e i n t e g r a t i o n i s
x
3
1 2
I n t h e c a s e o f p = 3 ,
h
3
( x
i
) =
Z
x +
x
2
x ;
x
2
x
3
d x
=
1
4
( x
i
+
x
2
)
4
; ( x
i
;
x
2
)
4
2 7
8/9/2019 Finding Moments of the blobs
44/149
= x
3
i
x +
x
i
( x )
3
4
h
3
( x
i
) = h
0
3
( x
i
) +
x
i
( x )
3
4
T h e e r r o r i s i n c r e a s e d .
T h e a p p r o x i m a t i o n e r r o r w i l l q u i c k l y g e t o u t o f c o n t r o l w h e n t h e o r d e r p i n c r e a s e s .
O b v i o u s l y , w h e n t h e h i g h e r o r d e r m o m e n t s a r e i n v o l v e d , t h e p r o b l e m o f n u m e r i c a l
a p p r o x i m a t i o n e r r o r i n t h e m o m e n t c o m p u t i n g m u s t b e s o l v e d b e f o r e a n y i m p l e m e n t -
a t i o n .
B y t h e w e l l - k n o w n t e c h n i q u e s o f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n 1 8 ] , t h e i n t e g r a t i o n o f ( 3 . 1 6 )
c a n b e a p p r o x i m a t e d w i t h v a r i o u s a c c u r a c i e s . F o r e x a m p l e , a p p l y i n g S i m p s o n ' s r u l e
i n t h e c a s e o f m o m e n t o r d e r p = 3 , w e g e t
Z
x +
x
2
x ;
x
2
x
3
d x =
x
2
1
3
( x
i
;
x
2
)
3
+
4
3
x
3
i
+
1
3
( x
i
+
x
2
)
3
= x
3
i
x +
x
i
( x )
3
4
T h i s i s t h e s a m e r e s u l t a s t h a t o f t h e i n t e g r a t i o n .
E v i d e n t l y , w h e n t h e o r d e r p g o e s h i g h e r , m o r e a c c u r a t e r u l e s a r e r e q u i r e d t o l i m i t
t h e a p p r o x i m a t e e r r o r t o a t o l e r a b l e l e v e l .
A s t h e s o l u t i o n , t