FinanzmathematikVorlesung WS 2010/11Jrgen Dippon
28. Mrz 2011
Inhaltsverzeichnis1 Einfhrung1.1 1.2 1.3 1.4 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Put-Call-Paritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schranken fr Optionen
34 11 11 12
Ein-Perioden-Marktmodelle
2
Bedingte Erwartungen und Martingale2.1 2.2 Bedingte Erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1919 22
3
Finanzmrkte in diskreter Zeit3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Risikoneutrale Bewerung von Finanzderivaten . . . . . . . . . . . . . . . . . Vollstndige Mrkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Binomialapproximation
2831 31 32 34 37
Bewertung amerikanischer Optionen
4
Stochastische Prozesse in stetiger Zeit4.1 4.2 4.3 4.4 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klassen von Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das It-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4242 43 44 47
5
Zeitstetige Finanzmrkte5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Risikoneutrale Bewertung Das Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5557 58 63 66 67 68 69 70
Black-Scholes mittels risikoneutraler Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . Black-Scholes mittels No-Arbitrage-Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Feynman-Kac-Formel Risikokennziern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hedging-Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schtzung der Volatilitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Spezielle Derivate6.1 6.2 6.3 Kreditderivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Credit Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewertung des CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7272 72 74
7
Literatur
75
2
1 EinfhrungDie klassische Finanzmathematik beschftigt sich in erster Linie mit grundlegenden Finanzinstrumenten oder Anlageformen (basic securities)
Aktien (stocks) festverzinsliche Wertpapiere (bonds) Whrungen (foreign exchange) Rohstoe (commodities) Energie
Die moderne Finanzmathematik untersucht derivative Finanzinstrumente (derivatives, derivative securities, contingent claims), die von einfacheren Finanzinstrumenten (underlyings) abgeleitet werden. Beispiele fr Derivate:
Forwards Futures Optionen (options, contingent claims)
Geschichte
17. Jahrhundert in den Niederlanden: Put-Optionen auf Tulpen 18. Jahrhundert in London: Problem kein gesetzlicher Rahmen beim Ausfall eines Vertragspartners 1930: Gesetzliche Regulierung 1970: Bedeutende Zunahme von Termingeschften 1973: Grndung der Chicago Board Options Exchange 1990: Deutsche Terminbrse (DTB) nimmt Handel mit Optionen auf 1998: Fusion der DTB mit der SDFEX (Schweizerische Terminbrse) zur EUREX
Wissenschaftliche Untersuchung
1900: Louis Bachelier modelliert in seiner Dissertation Theorie de la spculation den Aktienkurs als Brownsche Bewegung 1965: Paul Samuelson modelliert den Aktienkurs als geometrische Brownsche Bewegung 1973: Fischer Black und Myron Scholes geben explizite Formeln zur Optionspreisbewertung an unabhngig davon auch Robert Merton 1981: M. Harrison und S. Pliska fhren Martingalmethoden in die Optionspreisbewertung ein 1997: konomie-Nobelpreis fr Scholes und Merton (Black 1995 gestorben) 2003: konomie-Nobelpreis fr Robert F. Engle (ARCH-Zeitreihen)
3
Quantitative Fragen
Bewertung (pricing) von Derivaten Hedging Strategien fr Derivate (Absicherung) Risikomanagement von Portfolios Portfoliooptimierung Modellwahl und Kalibrierung
Aktuelle Fragestellungen
Verbesserung der Modellierung der Underlyings: Lvy Prozesse, fraktale Brownsche Bewegung, Sprnge in den Aktienkursen, Insider-Information, stochastische Volatilitten, . . .
Modellierung des Korrelationsrisikos in groen Portfolios Bewertungsmethoden fr hochdimensionale und pfadabhngige Auszahlunsprole in komplexeren Modellen Modellierung der Marktliquiditt und des Ausfallrisikos Risikomanagement bei extremer Entwicklung von Mrkten
1.1 GrundbegrieFinanzinstrumente:
primre Finanzinstrumente: Basisgter sekundre Finanzinstrumente: Derivate
Denition 1.1. Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert zum VerfallszeitpunktT T(expiry date) vom Wert eines einfacheren Finanzinstruments (underlying) zum Zeitpunkt (oder auch vom Werteverlauf bis zum Zeitpunkt
T)
abhngt.
Beispiele fr Basisgter (underlying securities)
Aktien (stocks) Zinsraten (interest rates) Whrungen (currencies) Rohstoe (commodities) Wetter Indizes wie DAX, Dow Jones, CAT-Index (catastrophe losses) Firmenwerte (rm values) Bonitten (rating)
Die Preisentwicklung eines Basisgutes wird blicherweise mit bezeichnet.
S = (St ) = {St | t 0}
4
Festverzinsliche WertpapiereStartkapital zum Zeitpunkt annum: Kapital nach
t = 0: B0Jahren
Bei jhrlicher Zinsausschttung mit Zinsrate
r
per
t=n
(1) Bn = B0 (1 + r)nZinsausschttung nach
r 1 1 k Jahren und Zinsrate k pro k Jahre: Kapital nach (k) Bn = B0 1 +
n
Jahren
r k
nk
Bei stetiger Verzinsung mit dem Momentanzins (short rate)
r:
Kapital nach
n
Jahren
(k) Bn := lim Bn = B0 enr k
Mrkte: Brsen OTC (Over-the-Counter)
Typen von Hndlern: Hedgers versuchen ihre Institution gegen Risiken abzusichern Spekulanten versuchen durch Wetten Prot zu machen Arbitrageure versuchen durch simultane Transaktionen auf verschiedenen Mrkten Prot aus Kursdierenzen zu ziehen
Modellannahmen (perfekter Finanzmarkt)
reibungsloser Markt: keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschrnkungen fr short sales, Kaufs- und Verkaufspreise sind identisch kein Ausfallrisiko, Soll- und Habenzinsen sind identisch Wettbewerbsmarkt: der Preis wird vom Markt und nicht von einzelnen Marktteilnehmern festgelegt Kapitalanlagen sind beliebig teilbar NO ARBITRAGE!!!
Short Selling ist eine Handelsstrategie, bei der der Investor Objekte, z.B. Aktien, die ihm nicht selbst gehren, von einem Partner fr eine gewisse Zeit ausleiht, diese verkauft, spter wieder zurckkauft und an den Partner zurckgibt. In der Zwischenzeit anfallende Ertrge des Objekts (z.B. Dividenden) muss der Investor an den Partner erstatten. Short Selling ist nur dann fr den Investor interessant, wenn der Rckkaufswert lich) kleiner als der Verkaufswert
St
(deut-
S0
ist.
Short Selling ist in der Praxis zahlreichen Restriktionen unterworfen.
Ein Portfolio ist eine Kombination mehrerer Finanzinstrumente, deren Wertentwicklung als Ganzes gesehen wird. Finanzmrkte bieten
5
risikolose Anlagen (z.B. festverzinsliche Wertpapiere) risikobehaftete Anlagen (z.B. Aktien)
Ein Anleger ist nur bereit, in risikoreichere Anlagen zu investieren, wenn er die Mglichkeit sieht, einen hheren Prot als in risikormeren Anlagen zu erzielen. Arbitrage ist die Mglichkeit, ohne Kapitaleinsatz einen risikolosen Prot zu erzielen (formale Denition spter). Wrde diese Mglichkeit bestehen, so knnte man damit risikolos riesige Geldsummen erwirtschaften. Mrkte im Gleichgewicht neutralisieren solche Arbitrage-Mglichkeiten. Es wird sich zeigen, dass die No-Arbitrage-Annahme direkt zu einer Methode zur Bewertung von Derivaten fhrt. Beispiel eines einfachen Derivates:
Denition 1.2 Ein Forward-Kontrakt (Terminkontrakt) vereinbart den Kauf oder Verkaufeines Finanzgutes zu einem festen zuknftigen Zeitpunkt Preis
T
(delivery date) zu einem festen
K,
dem sog. Terminkurs (delivery price, strike price).
Hug whlt man den Terminkurs tragsabschluss (t
K
so, dass der Wert der Forward-Kontraktes bei Ver-
= 0)
den Wert Null hat. Bei dieser Wahl des Terminkurses ist bei Ver-
tragsabschluss also nichts zu bezahlen, erst zum Zeitpunkt Bei Vertragsabschluss (t Aktionen durch:
T.
= 0)
fhrt der Verkufer des Kontraktes die beiden folgenden
Er nimmt einen Kredit ber
S0
zur risikofreien Zinsrate
r
auf
Er kauft das Underlying mit diesem Geldbetrag
Bei Vertagsablauf (t nen durch:
= T)
fhrt der Verkufer des Kontraktes die beiden folgenden Aktio-
Er bergibt dem Kufer des Underlying (welches jetzt den Wert Preis von
ST
besitzt) zum
K = S0
erT . S0 erT .
Zur Tilgung des Kredits bezahlt er
Damit hat er alle Verbindlichkeiten aufgelst. Wrde der Verkufer einen Betrag einstreichen. Wrde der Verkufer einen Betrag Gewinn einstreichen. Dies wrde jeweils der Forderung nach arbitragefreien Preisen zuwiderlaufen. Damit ist der arbitragefreie Terminkurs
K > S0 erT K < S0 erT
fordern, knnte er einen risikolosen Gewinn
fordern, knnte der Kufer einen risikolosen
K = S0 erTBeachte: Es wurden keine Annahmen ber die Kursentwicklung von
Beispiel:
(St )
gemacht!
6
Ein Investor erwirbt am 1. September einen Forward-Kontrakt mit dem Inhalt, in 90 Tagen
106 e
zum Umtauschkurs von
0.9
US $ zu kaufen.
Falls der Kurs nach Ablauf der 90 Tage auf $, da
0.95 $ gestiegen ist, gewinnt der Investor 5 104
106 e
dann am Markt fr
0.95 106
$ verkauft werden knnen.
Hier also
t = 1. T t = 90
September Tage November
T = 30.
K = 0.9 106 $Pay-o-Prol (Auszahlungsprol) eines Forward-Kontraktes zur Zeit
T:
payoff long position
K
ST
short positionPay-o eines Forward-Kontraktes zum Laufzeitende
T: T:
Pay-o eines Forward-Verkaufskontraktes zum Laufzeitende
ST K K ST
Forwards sind nicht standardisiert und bergen das Risiko in sich, dass eine Vertragsseite ausfllt (default risk). Sie werden deshalb an Brsen kaum gehandelt, sondern nur over the counter (OTC). Eine Variante sind Futures, welche in standardisierter Form an Brsen gehandelt werden. Hierbei wird, z.B. tglich, die Wertvernderung des Futures (aufgrund von Wertnderungen des zugrundeliegenden Finanzgutes) zwischen den Vertragsparteien ausgeglichen, so dass der Wert des Futures anschlieend wieder gleich Null ist. Unter schwachen Voraussetzungen stimmen Terminkurse (delivery prices) von Forwards und Futures berein. Futures werden z.B. an der CBOT gehandelt. Ein etwas komplizierteres Derivat:
Denition 1.3bungspreis
Eine Option gibt dem Kufer das Recht, ein bestimmtes Finanzgut bis
zu einem zuknftigen Verfallszeitpunkt
T
(expiry, maturity) zu einem vereinbarten Aus-
K
(strike price) zu kaufen oder verkaufen.
Der Optionskontrakt beinhaltet im Unterschied zum Forward oder Future jedoch nicht die Picht zur Ausbung.
7
Beim Kaufrecht wird die Option als Call (Kaufoption), beim Verkaufsrecht als Put (Verkaufsoption) bezeichnet. Ist die Ausbung der Option nur zum Verfallszeitpunkt diese amerikanische Option genannt. Der Kufer bendet sich in einer long position, der Verkufer bendet sich in einer short position.Pay-o einer long position bei einem Call zum Verfallszeitpunkt
T
mglich, so spricht man von einer
europischen Option. Kann die Option jederzeit bis zum Zeitpunt
T
ausgebt werden, wird
T
payoff
K
ST
Pay-O Sei
= (ST K)+ = max{ST K, 0} = max{ST , K} K
t T. S(t) < K : S(t) = K : S(t) > K :die Option ist out of the money die Option ist at the money die Option ist in the money
Problem: Wie lautet der faire Preis
C0
und
P0
fr eine Call- bzw. Put-Option?
Gewinn (yield) einer long position bei einer Call-Option
yield
K C0
K+C0
ST
8
BeispielMarkt mit drei Anlagemglichkeiten:
(risikoloser) Bond B Aktie S europische Call-Option mit Strike
K=1
und Expiry
t=T
auf die Aktie
S
Investition zum Zeitpunkt
t=0
mit Preisen (in
e)
B(0) = 1 S(0) = 1 C(0) = 0.2Zum Zeitpunkt
t = T
soll sich die Welt (der Markt) in nur zwei mglichen Zustnden
benden knnen:
umit Preisen (in
(= up) oder
d
(= down)
e) B(T, u) = 1.25, S(T, u) = 1.75,also
C(T, u) = 0.75
und
B(T, d) = 1.25, S(T, d) = 0.75,Startkapital sei Portfolio
also
C(T, d) = 0
25 e.
A:t=0Anlage Bond Aktie Call Anzahl 10 10 25 Betrag in
e10 10 5 25
Portfolio
A:t=TAnlage Bond Aktie Call up 12.5 17.5 18.75 48.75 down 12.5 7.5 0 20.0
Portfolio
B:t=0Anlage Bond Aktie Call Anzahl 11.8 7 29 Betrag in
e7
11.8 5.8 24.6
Portfolio
B:t=T
9
Anlage Bond Aktie Call
up 14.75 12.25 21.75 48.75
down 14.75 5.25 0 20.0
Oensichtlich existiert in diesem Markt eine Arbitrage-Mglichkeit, da Portfolio Portfolio Einsatz!
A
und
B
denselben Gewinn erwirtschaften Portfolio
B
jedoch mit einem geringeren
=
Call-Option besitzt falschen Preis!
Stelle zum Zeitpunkt
t=0
das Dierenzportfolio
C
auf:
Portfolio
C := Portfolio B Portfolio A = (11.8, 7, 29) (10, 10, 25) = (1.8, 3, 4)
Portfolio
C
zum Zeitpunkt
t = 0:Aktion Kaufe
Anlage Bond Aktie
1.8 Einheiten Verkaufe 3 geliehene
-1.8 Einheiten, 3
welche zum Zeitpunkt Call kaufe 4 Einheiten
t=T-0.8 0.4
wieder zurckgegeben werden
Dies ergibt zum Zeitpunkt Portfolio
t=0
einen Gewinn von
0.4 e.
C
zum Zeitpunkt Anlage Bond Aktie Call
t=T :Aktion Verkaufe up down 2.25 -2.25 0 0
1.8
Einheiten
2.25 -5.25 3 0
Kaufe 3 Einheiten zurck Option ausben, falls sinnvoll
Zum Zeitpunkt Zum Zeitpunkt
t = T ist das Portfolio C also ausgeglichen. t = 0 wurde damit ein risikoloser Gewinn von 0.4 e
realisiert.
Weitere Beobachtung: Mit
1.8 Bonds und 3 Aktien short kann die Wirkung der Call-Option zum Zeitpunkt t = T
neutralisiert werden. Man sagt: Die Bond- und die Aktienposition bilden einen Hedge gegen die Position des Calls. Dies gilt unabhngig davon, wie gro die Wahrscheinlichkeiten fr den Zustand up/down der Welt sind!
10
1.2 Put-Call-ParittSeien
St
der Spot-Preis einer Aktie,
Ct
und
Pt
die Werte von auf der Aktie denierten
europischen Call- bzw. Put-Optionen mit Verfallsdatum
T
und Ausbungspreis
K.
t
bezeichne den Wert eines Portfolios bestehend aus einer Aktie, einem Put und einer
short position in einem Call:
t = St + Pt Ct
Satz 1.1Aktie
Fr europische Call- und Put-Optionen
Ct
und
Pt
auf der zugrunde gelegten
St
(ohne Dividendenzahlung) gilt die Put-Call-Paritt
0tT
(t) = St + Pt Ct = Ker(T t) t = 23. = = = =Juni 1997,
Beispiel: Aktie der Deutschen Bank (alle Preise in DM)
T = 18.
Juni 1998,
K = 80.00, r = 3.15% p.a.Aktie Call Put
S(t) C(t) P (t) S(t) + P (t) C(t)
97.70 23.30 4.16 78.66
Diskontierter Strike-Preis:
K 80 = = 77.56 1+r 1.0315 T,Nachfrageeekte, . . .
Ursachen fr Dierenz: Dividendenzahlung vor
1.3 Schranken fr OptionenSatz 1.2 Freuropische und amerikanische Call-Optionen gilt:
t[0,T ]
C(t) S(t) er(T t) K C(t) S(t)
+
t[0,T ]
Satz 1.3
Es ist nicht sinnvoll, eine amerikanische Call-Option vor ihrem Verfallsdatum
auszuben, da
t[0,T ]
CA (t) = CE (t)
Satz 1.4 (i) Fr zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Verfallsdatum,aber unterschiedlichen Ausbungspreisen
K1 < K2 ,
gilt fr alle
t [0, T ]
(a) (b) (c)
CK1 (t) CK2 (t) CK1 (t) CK2 (t) er(T t) (K2 K1 ) [0,1]
CK1 +(1)K2 (t) CK1 (t) + (1 )CK2 (t)
11
(ii) Fr zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Ausbungspreis, aber unterschiedlichen Verfallsdaten
T1
und
T2 ,
gilt
T1 T2 = C(T1 ) C(T2 )
Satz 1.5 Fr
amerikanische Optionen gilt die folgende Put-Call-Beziehung:
t[0,T ]
S(t) K CA (t) PA (t) S(t) Ker(T t)
1.4 Ein-Perioden-Marktmodelle1 Aktie mit Preis 1 Bond mit Preis
S0 = 150 B0 = 1 mit
Zinsrate
r
im Zeitraum
T 2mit W
Zustand Aktienpreis Bondpreis
1180
mit W
p
Zustand
1p
ST BT
90
1+r
1+r Tund Ausbungspreis
Gesucht: Preis einer europischen Call-Option mit Verfallsdatum
K = 150Auszahlung
XT () = (ST K)+ () =Erwartungswert von
30 0
falls falls
= 1 = 2
XT E(XT ) = 30 p + 0 (1 p) = 30p
Mgliche Denition des Call-Preises zum Zeitpunkt
t=0 30p 1+r
X0 = ESpezialfall: Fr
XT 1+r
=
p=
1 2 und
r=0
folgt
X0 = 15
Wir zeigen: Dieser Optionspreis lsst jedoch Arbitrage zu! Dazu konstruieren wir aus Sicht des Kufers der Option ein Portfolio, das Arbitrage zulsst. Zeitpunkt t = 0: Aktion Kaufe die Option zum Preis von Cash Flow
15 = 0)
1 150 Leihe 3 der Aktie und verkaufe diese zum Preis von 3Kaufe festverzinsliches Wertpapier zum Preis von 35 (r Bilanz
15 50 35 0
Zeitpunkt t = T : Zustand 1 (Wert der Aktie
Zustand
2 ST = 90) 0 30 35 5
ST = 180) 30 60 35 5
(Wert der Aktie Option wertlos Kaufe
Option wird ausgebt Kaufe
1 3 Aktie und Rckgabe
1 3 Aktie und Rckgabe
Verkauf des Wertpapiers Bilanz
Verkauf des Wertpapiers
12
Mit dieser Strategie wre ein risikoloser Gewinn von 5 Geldeinheiten mglich. Also kann
X0 = 15Aufgabe:
kein arbitragefreier Preis der Option sein!
Konstruiere aus Sicht der die Option verkaufenden Seite ein Portfolio, bestehend aus
einer Anzahl und Zinsrate einer Anzahl
a festverzinslicher Wertpapiere (jeweils mit Wert 1 zum Zeitpunkt t = 0 r whrend der Laufzeit) und bvon Aktien,
welches das Auszahlungsprol (zum Zeitpunkt Lsung: Zum Zeitpunkt
t = T)
der Option repliziert. Bestimme
damit den arbitragefreien Wert der Option (zum Zeitpunkt
t = 0).
t = 0: a 1 + b S0 = X 0
Zum Zeitpunkt
t = T: a (1 + r) + b ST (1 ) = (ST (1 ) K)+ a (1 + r) + b ST (2 ) = (ST (2 ) K)+
Mit Werten: Zum Zeitpunkt
t = 0: a 1 + b 150 = X0
Zum Zeitpunkt
t = T: a (1 + r) + b 90 = 0 a (1 + r) + b 180 = 30(1) (2)
Ausen des linearen Gleichungssystems mit den beiden Unbekannten (1) zunchst
a
und
b
liefert aus
b a = 1+r 90
und damit
b=also
1 3
a=und
30 1+r 30 1+r
X0 = 50
Man sagt, das o.g. Portfolio repliziert zu jedem Zeitpunkt die Call-Option. Mit dieser Replikationsstrategie kann
der arbitragefreie Preis der Option ermittelt werden die die Option ausstellende Institution sich gegen Preisrisiken absichern (Hedging)
Eine modernere Lsung des Problems besteht in der Anwendung der Methode der risikoneutralen Bewertung:
13
(i) Ersetze
p
durch
p
so, dass der diskontierte Aktienpreisprozess ein faires Spiel ist:
S0 = EHier: Fr
ST 1+ralso
150 =
1 1+r
(p 180 + (1 p ) 90), p =2 3
p =
2+5r 3
r=0
folgt
P = (p , 1 p )ma
ist das zum Aktienpreisprozess risikoneutrale Wahrscheinlichkeits-
(ii) Berechne den fairen Preis der Option bzgl.
E
X0 := EFr
Xt 1+r
=
30p 2 + 5r 30 = 10 = 50 1+r 1+r 1+r
r=0
folgt
X0 = 20
Denition des Ein-Perioden-Modells: Der Finanzmarkt kennt nur die beiden Zeitpunkte
t=0
und
t = T. d+1Finanzgter gehandelt mit Preisen zu den Zeitpunkten
Es werden
t=0: S(0) =
S0 (0). . .
d+1 R+
Sd (0) t=T : S(T ) = S0 (T ). . .
Rd+1 -wertige +ZV
Sd (T ) Si (T ), i {0, . . . , d}, R+ -wertige Zufallsvariablen auf dem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (, F, P) mit || = N, F = P() und P({}) > 0 fr alle = {1 , . . . , N } Hier: R+ := [0, ) Kauf und Verkauf der Finanzgter zum Zeitpunkt t = 0 gem der Handelsstrategie 0 . = . Rd+1 . dwobei
Zum Zeitpunkt
t=0
Investition der Summe
d
S(0), =i=0
i Si (0) R
Zum Zeitpunkt
t=T
liegt das vom Zufall abhngige Kapital vor:
d
S(T ), =i=0
i Si (T )
reellwertige ZV
14
Denition 1.4 Der (oben denierte) Finanzmarkt lsst eine Arbitrage-Mglichkeit zu, falls
es ein Portfolio
Rd+1
gibt, so dass die folgende Bedingung gilt: und
S(0), 0
S(T, ), 0
und
S(T, ), > 0
Gibt es kein solches
,
so heit der Finanzmarkt arbitragefrei.
Bemerkung: Falls es im oben denierten Finanzmarkt ein Portfolio
Rd+1
mit
S(0), < 0gibt, ist
und
S(T, ), 0
Satz 1.6
eine Arbitrage-Mglichkeit.
sogenannten Zustandspreis-Vektor
Der (oben denierte) Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, falls es einen RN mit i > 0 fr alle i {1, . . . , N } gibt, so dass
S = S(0),wobei
S=
S0 (T, 1 ) . . .
S0 (T, N ). . .
Sd (T, 1 ) price vector, pricing kernel) gibt.Sei Mit
Sd (T, N )
Kurz: Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es einen Zustandspreis-Vektor (state
ein solcher Zustandspreis-Vektor.
N
0 :=i=1
i
gilt fr
qj :=
j 0
(0, 1]N
qj = 1j=1d.h. durch Damit
(q1 , . . . , qN )
wird ein
W -Ma QN
auf
deniert.
Si (0) = 0
Si (T, j )qj = EQ (Si (T ))j=1
Unter Ist
Q
sind die mit
0
standardisierten Preise der Finanzgter fr alle
i {0, . . . , d}
deshalb
risikoneutral.
i
ein Finanzgut mit
Si (T, j ) > 0
anderen Finanzgter als Vielfaches von wird dann Numraire gennant. Sei z.B. Finanzgut
j {1, . . . , N }, so knnen die Preise der Si (T, j ) ausgedrckt werden. Das Finanzgut i
i=0
ein risikoloser Bond mit
Damit
S0 (T, ) = 1
15
S0 (0) = 0 r
N
N
qj S0 (T, j ) =j=1 j=1
qj = 1
Ist
die Zinsrate pro Zeiteinheit, dann gilt
S0 (0) = 0 = (1 + r)TDamit ergibt sich der Preis von Finanzgut
i
zum Zeitpunkt
t=0
zu
N
Si (0) =j=1d.h.
qj
Si (T, j ) = EQ (1 + r)T
Si (T ) (1 + r)T
Si (0) = EQ (1 + r)0
Si (T ) (1 + r)T
In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie: Der stochastische Prozess
Si (t) : t {0, T } (1 + r)t
ist ein
Q-Martingal
Achtung:Im allgemeinen ist dieser Prozess aber kein Ma
P -Martingal
fr ein von
Q
verschiedenes
W-
P,
welches z.B. die Einschtzung eines Anlegers widerspiegelt.
Da fr alle
(nach Annahme) und (wie gezeigt)
P ({}) > 0 Q({}) > 0sind
P
und
Q
zwei sog. quivalente Mae.
Also ist Damit: gibt
Q
ein zu
P
ein quivalentes Martingalma.
Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein quivalentes Martingalma
Bewertung eines neu eingefhrten Finanzinstrumentes mit vom Zufall abhngigen Auszahlungen
(T )
zum Zeitpunkt
t=T
durch
(0) = EQmit einem quivalenten Martingalma Problem: Der Preis
(T ) (1 + r)T
Q. Qeindeutig.
Denition 1.5(T )
(0)
ist nur eindeutig, falls
Der (oben denierte) Finanzmarkt heit vollstndig, falls es zu jedem
Finanzinstrument
variable) ein aus den
(T ) (das d+1
ist eine auf
= {1 , . . . , N }
Basisinstrumenten bestehendes Portolio
denierte reellwertige Zufalls Rd+1 gibt, das
repliziert, d.h. falls
d Rd+1 {1 ,...,N }
Si (T, )i = (T, )i=0
16
oder kompakter falls
Rd+1
(T, 1 ). . .
S = (T) :=
(T, N )Vektoren
Ein Finanzmarkt ist also genau dann vollstndig, wenn die
(d + 1) Sd (T, 1 ) S0 (T, 1 ) . . . . ,..., . . S0 (T, N ) Sd (T, N )
den gesamten
RN
aufspannen.
Satz 1.7 Der (oben denierte) Finanzmarkt sei arbitragefrei. Dann ist dieser Markt genaudann vollstndig, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis-VektorEine Kombination der Stze 1.6 und 1.7 ergibt: Ein Finanzmarkt ist genau dann vollstndig und arbitragefrei, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis-Vektor gibt.
gibt.
Probabilistische Interpretation unserer Ergebnisse:
Ein Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn ein quivalentes Martingalma existiert. Ein arbitragefreier Finanzmarkt ist genau dann vollstndig, wenn genau ein quivalentes Martingalma existiert.
Beispiel: Binres Einperiodenmodell
d+1=2 = {1 , 2 } r=0
Basisinstrumente Raum der mglichen Zustnde Zinsrate
S(0) = S0 (T ) = 1 1
S0 (0) S1 (0) ,
=
1 150 180 90
S1 (T ) =
Also
S=Zustandspreis-Vektor
1 1 180 90
R2 : +
S = S(0) 1 1 180 90 = 1 150
17
wird (in eindeutiger Weise) gelst durch
=
2/3 1/3
(= 0 = 1 + 2 = 1)
Also existiert (zu jedem nichtdegenerierten W-Ma tingalma
P)
ein eindeutiges quivalentes Mar-
Q
mit
Q(1 ) =
2 1 = 0 3
und
Q(2 ) =
2 1 = 0 3existiert, d.h.
Der oben denierte Finanzmarkt ist vollstndig, da zu jedem (neuen) Finanzinstrument
(T ) mit Zahlungen (T, 1 ) und (T, 2 ) ein replizierendes Portfolio R2 S = (T )da die Spalten von Sei
S
den
Rd+1 = RN
aufspannen.
(T )
die im letzten Beispiel genannte europische Call-Option
(T, ) = (S(T, ) K)+ =
30 0
= 1 fr = 2fr
Dann wird
1 180 1 90durch
0 1
=
30 0
0 = 30
und
1 =
1 3 (eindeutig) gelst.
18
2 Bedingte Erwartungen und MartingaleEine gut lesbare Einfhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie:
J. Jacod and P. Protter. Probability Essentials. 2nd Ed. Springer 2004.Eine klassische Einfhrung in die Martingal-Theorie:
D. Williams. Probability with Martingales. Cambridge 1991.Ein schnes Lehrbuch, das einen weiten Bogen von der Matheorie bis zur Stochastischen Analysis schlgt:
D. Meintrup, S. Scher. Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer 2005.Etwas anspruchsvoller:
J. Wengenroth. Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter 2008. A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auage, Springer 2008.Im Folgenden sei
(, F, P )
immer ein Wahrscheinlichkeitsraum.
(Eingefhrt durch Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933)
2.1 Bedingte ErwartungenDenition.stetig, falls Seien
P
und
Q
zwei auf derselben
-Algebra F
denierte Mae.
Q
heit
P-
AFIn Zeichen:
P (A) = 0 = Q(A) = 0
Q
PSeien
Satz von Radon-Nikodm.endliche Mae. Es gilt Funktion
P
und
Q
zwei auf derselben
-Algebra F
denierte
Q
P
genau dann, wenn es eine
F -B -messbare
nichtnegative
f
gibt mit
AF
Q(A) =A
f dPDann existiert
Satz 2.1. Integrierbareeine ZV
ZV
X : (, F, P ) (R, B). -Algebra C F .mit folgenden Eigenschaften: ist integrierbar und
Z : (, F, P ) (R, B) ZCC
C -B -messbar
() ()
X dP =C C
Z dP
19
Z
ist eindeutig bis auf die quivalenz = Integrierbare ZV
P |C -f...
Denition 2.1.gegebenem
lenzklasse (im eben denierten Sinne) der ZVn oder auch ein Reprsentant dieser In Zeichen:zeichnet.
X : (, F, P ) (R, B). -Algebra C F . Die quivaZ : (, F, P ) (R, B) mit () und () quivalenzklasse heit bedingte Erwartung von X bei
C. E(X | C) E(X | C)be-
Hug wird ein Reprsentant dieser quivalenzklasse als eine Version von
E(X | C)
ist eine Vergrberung von
X.
L2 (, F, P ) der Hilbertraum der quivalenzklassen quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen auf
Bemerkung 2.4.
Geometrische Interpretation des bedingten Erwartungswertes: Es sei und
(, F, P )
C
eine Teil- -Algebra von
F.
Es sei
M
der lineare Teilraum von
L2 (, F, P ),
dessen Elemente als Reprsentanten
C -B -messbareSei
Zufallsvariablen haben. Man kann zeigen, dass
M
abgeschlossen ist.
X L2 (, F, P ) mit Reprsentanten X und Y := E(X | C) mit zugehriger quivalenzklasse Y . Man kann zeigen, dass Y die orthogonale Projektion von X auf M ist und das Proximum (bestapproximierendes Element im Sinne der L2 (, F, P )Norm) in M zu X darstellt. Mit anderen Worten: Y := E(X | C) minimiert unter allen C -B -messbaren Zufallsvariablen den Ausdruck E|X Y |2
Unter Verwendung eines Stutzungargumentes kann diese Denition auch auf die Klasse der integrierbaren Zufallsvariablen fortgesetzt werden.
Beispiele
C = F . . . E(X | C) = X
f.s.
C = {, } . . . E(X | C) = EX C = {, B, B c , } 0 < P (B) < 1. 1 P (B) X dP =: E(X | B), B B (E(X | C))() = 1 X dP, B c P (B c ) B cmit
E(X | B)
heit bedingter Erwartungswert von
X
unter der Hypothese
B
Satz 2.2. X, Xia) b) c) d)
integrierbar;
-Algebra C F ; c, 1,2 R. X dPCf.s. f.s. f.s.
CC
E(X | C)dP =CP-f.s. P-f.s.
X=c X0
= E(X | C) = c = E(X | C) 0
E(1 X1 + 2 X2 | C) = 1 E(X1 | C) + 2 E(X2 | C)
20
e) f) g) g')
X1 X2
P-f.s.
= E(X1 | C) E(X2 | C)f.s.
f.s.
X C -B -messbar = X = E(X | C) Xintegrierbar,
Y C -B -messbar, XY
integrierbar
= E(XY | C) = Y E(X | C)
f.s.
X, X integrierbar, XE(X | C) C)E(X | C) f.s. -Algebra C1,2mit
integrierbar
= E(XE(X | C) | C) = E(X |
h)
C1 C2 F , X
integrierbar f.s. f.s.
E(E(X | C1 ) | C2 ) = E(X | C1 ) E(E(X | C2 ) | C1 ) = E(X | C1 )Hier f.s. im Sinne von scheinlichkeit von
Denition 2.2. -Algebra C F . A F . P (A | C) := E(1A | C)Abei gegebener
P |C2 -f.s.
bzw.
P |C1 -f.s.
heit bedingte Wahr-
-Algebra C .
Bemerkung 2.1. Zu Denition 2.2.CC
P (A | C) dP = P (A C).C
Beispiel. C = {, B, B c , } mit 0 < P (B) < 1. P (A B) =: P (A | B), B P (B) P (A B c ) =: P (A | B c ), B c . P (B c )
(P (A | C))() =
Denition 2.3.a) Integrierbare ZV 1
E(X | Y F)]
X : (, F, P ) (R, B). ZV Y : (, F, P ) ( , F ). E(X | Y ) := (F )) [kleinste -Algebra in , bzgl. der Y messbar ist . . . F(Y )( Xbei gegebenem
. . . bedingte Erwartung von
Y
b) Integrierbare ZV
C( F)
sei die
X : (, F, P ) (R, B). ZVn Yi : (, F, P ) (i , Fi ) (i I) kleinste -Algebra in , bzgl. der alle Yi messbar sind
[C = F( Yi1 (Fi )) . . . F(Yi , i I)]iI
E(X | (Yi )iI ) := E(X | C)c)
. . . bedingte Erwartung von
X
bei gegebenem
Yi , i I
A F;
ZV
Y : (, F, P ) ( , F ).. . . bedingte Wahrscheinlichkeit von
P (A | Y ) := E(1A | Y )
A
bei gegebenem
Y
Bemerkung 2.2. Integrierbare ZV X : (, F, P ) (R, B).a)
-Algebra C (X 1 (B), C)
in
F = E(X | C) = EXf.s.
unabhngig
b) ZV
Y : (, F, P ) = ( , F )unabhngig
(X, Y )
= E(X | Y ) = EX
f.s.
21
Satz 2.3.ex. Abb.
X : (, F, P ) (R, B). g : ( , F ) (R, B) mit E(X | Y ) = g Y .Integrierbare ZV
ZV
Y : (, F, P ) ( , F ).
Dann
g g
ist die sog. Faktorisierung der bedingten Erwartung. ist eindeutig bis auf die quivalenz =
PY -f..
.
Denition 2.4. Integrierbare ZV X : (, F, P ) (R, B) bzw. A F . ZV Y : (, F, P ) gA eine bis auf quivalenz = PY - f.. eindeutig bestimmte Faktorisierung von E(X|Y ) bzw. von P (A|Y ). E(X | Y = y) := g(y) . . . bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y = y P (A | Y = y) := gA (y) . . . bed. Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypoth. Y = y E(X | Y = ) = g P (A | Y = ) = gA Satz 2.4. Integrierbare ZV X : (, F, P ) (R, B) bzw. A A. ZV Y : (, F, P ) ( , F )Sei bzw. a)
( , F ).
g
A F
A
E(X | Y = y) PY (dy) =
Y 1 (A ) X
dP ,
insbesondere b)
E(X | Y = y) PY (dy) = EX .
A F
A
P (A | Y = y) PY (dy) = P (Y 1 (A ) A) ,
insbesondere
P (A | Y = y) PY (dy) = P (A) . Ywie zuvor. Sei
Beispiel. Xa)
bzw.
A
sowie
y
mit
{y} F
und
PY ({y}) > 0.
E(X | Y = y) = E(X | [Y = y])s. Def. 2.4. s. Beispiel nach Def. 2.1.
b)
P (A | Y = y) = P (A | [Y = y])s. Def. 2.4. s. Beispiel nach Def. 2.2.
Satz 2.5. IntegrierbareZV a) b) c) d)
ZV
X : (, F, P ) (R, B).
Y : (, F) ( , F ). X=c X0f.s. f.s.
= E(X | Y = ) = c PY -f.. = E(X | Y = ) 0 PY -f.. = E(X1 | Y = ) + E(X2 | Y = ) PY -f..
E(X1 + X2 | Y = ) X1 X2f.s.
= E(X1 | Y = ) E(X2 | Y = ) PY -f..
2.2 MartingaleDenition 2.6. Eine Folge (Xn )nNXn : (, F, P ) (R, B) heit bei gegebener monoton wachsender Folge (Fn )nN von -Algebren Fn F mit Fn -B Messbarkeit von Xn [wichtiger Fall Fn = F(X1 , . . . , Xn ) (n N)]von integrierbaren ZVn a) ein Martingal bzgl.
(Fn ),
wenn
nN
E(Xn+1 | Fn ) = Xn Xn+1 dP =C
f.s.
[d.h.
nN CFn
Xn dP ] ,C
22
Abbildung 1: P. Lvy und J.L. Doob
b) ein Submartingal bzgl.
(Fn ),
wenn
nN
E(Xn+1 | Fn ) Xn (Fn ),
f.s., d.h.
nN CFnwenn
Xn+1 dP C C
Xn dP (Fn )ist.
c) ein Supermartingal bzgl.
(Xn )
ein Submartingal bzgl.
Die in Denition 2.6 genannte Folge von aufsteigenden bezeichnet (P.A. Meyer).
-Algebren wird auch als Filtration
Bemerkung 2.3.. . . , Xn )).
Ein Martingal
(Xn )
bzgl.
(Fn )
ist auch ein Martingal bzgl.
(F(X1 ,
Entsprechend fr Sub-, Supermartingal.
Die Herkunft der Bezeichnung Martingal (engl. martingale) ist nicht genau geklrt.
Teil des Zaumzeuges, um die Kopfbewegung des Pferdes zu kontrollieren Eine Seil, um den Klverbaum zu verspanen Ein Wettsystem, bei dem nach einem Verlust der Einsatz verdoppelt wird
Der Begri des Martingals im mathematischen Sinne wird J. Ville (1939) zugeschrieben. Paul Lvy (18861971) und Joseph Leo Doob (19112004) lieferten wichtige Beitrge zur Martingal-Theorie. Beispiele fr Martingale: 1. Partialsummenfolge
(
n i=1 Vi )nN zu einer unabhngigen Folge
(Vn )nN
von inte-
grierbaren reellen ZVn mit Erwartungswerten 0. 2. Aktienpreise:
Sn = S0 1 n
mit unabhngigen positiven Zufallsvariablen
i
mit
Ei = 1.
23
3. Sammeln von Information ber eine Zufallsvariable (Williams 1991): Sei fallsvariable mit endlichem erstem Moment und durch
eine Zu-
(Fn ) eine Filtration in F . Dann wird
Mn := E( | Fn )ein Martingal deniert. Mit den nachfolgend vorgestellten Martingalkonvergenzstzen kann gezeigt werden, dass
Mn M := E( | F )wobei
f.s. und in
L1
F := (
n=1 Fn ) die sogenannte Doomsday- -Algebra.Ist
Satz 2.6 (Martingalkonvergenzsatz von Doob)Supermartingal, d.h.
X
ein
L1 -beschrnktes
Sub- oder
sup E(|Xn |) < ,nso existiert eine Zufallsvariable
X
mit f.s.
Xn X
(n )
Satz 2.7 (Konvergenzsatz fr UI-Martingale)(i) (ii)
Fr ein Martingal
X
sind quivalent:
Xn X
konvergiert in
L1und der f.s.-Limes
ist
L1 -beschrnkt
X
erfllt
Xn = E(X | Fn )(iii)
X
ist gleichgradig integrierbar (uniformly integrable), d.h.
K n
lim sup E(|Xn | 1[|Xn |>K] ) = 0
Denition 2.7.riablen wird hug
Eine auf einem gemeinsamen W-Raum denierte Familie von ZufallsvaProzess. Im Folgenden
X = {Xi | i I} mit Indexmenge I heit stochastischer I = {0, 1, . . . , T } oder I = {0, 1, 2, . . .} gewhlt.Der stochastische Prozess
Denition 2.8.adaptiert, falls
X = (Xn ) n=0 Fn -messbar
heit zur Filtration
(Fn ) n=0
nN
Xn
ist
Sei Ist
Xn Xn1 X = (Xn )
der zufllige Gewinn pro Einheit des Wetteinsatzes in Spiel
n (n N)
in
einer Serie von Spielen. ein Martingal, d.h.
E (Xn Xn1 | Fn1 ) = 0,
Denition 2.9.previsible), falls
so kann dieses Spiel als fair bezeichnet werden.
Ein stochastischer Prozess
C = (Cn )nNfr alle
heit vorhersagbar (predictable,
Cn
ist
Fn1 -messbar
nN
24
(C0 existiert nicht).Ist
Cn
der Wetteinsatz in Spiel
n,
so ist die Entscheidung ber die Hhe von
Cn
aussch-
liesslich auf die bis zum Zeitpunkt Gewinn zum Zeitpunkt
n1
verfgbare Information gegrndet.
n: Cn (Xn Xn1 ) n:n
Gewinn bis einschlielich Zeitpunkt
n
Yn =k=1Sinnvoll: Klar:
Ck (Xk Xk1 ) =: (C X)n =:0
C dX
(C X)0 := 0 Yn Yn1 = Cn (Xn Xn1 )
Denition 2.10.
Der durch
Martingal-Transformation von
C X = ((C X)n ) denierte X unter C (D.L. Burkholder).
stochastische Prozess heit
Dies ist das diskrete Analogon zum spter noch zu denierenden stochastischen Integral
C dX .
Satz 2.8.reelle Zahl
Sei
C
ein beschrnkter vorhersagbarer stochastischer Prozess, d.h. es gibt eine
K
mit
ein Martingal mit
|Cn ()| K fr (C X)0 = 0.
alle
n
und alle
,
und
X
ein Martingal. Dann ist
C X
Satz 2.9.
Eine zur Filtration
F = (Fn )nN0n nN
adaptierte Folge
M = (Mn )nN0
von Zu-
fallsvariablen ist genau dann ein Martingal, wenn fr jede beschrnkte vorhersagbare Folge
H = (Hn )nN0 E
Hk Mkk=1
=0
Stoppzeitenfalls
Denition 2.11
Eine Zufallsvariable
T
mit Werten in
{0, 1, 2, . . . , }
heit Stoppzeit,
n{0,1,2, ,}oder quivalent
[T n] := { | T () n} Fn
n{0,1,2, ,}
[T = n] Fn
Eine Stoppzeit kann z.B. dazu verwendet werden zu entscheiden, ob ein Spiel zum Zeitpunkt
n
abgebrochen oder fortgefhrt wird. Hierbei wird nur die Information verwendet, die bis
einschlielich Zeitpunkt
n vorliegen kann. Wird z.B. beim Verkauf einer Aktie Insiderwisseneine Stoppzeit und
verwendet, ist die vorgenannte Eigenschaft verletzt.
Satz 2.10 (Doob's Optional Sampling Theorem) Sei Tein Supermartingal. Ist
X = (Xn )
T
oder
X
beschrnkt, so ist
XT
integrierbar und
EXT EX0Ist
X
ein Martingal, dann gilt sogar
EXT = EX0
25
Proposition 2.1(XnT ). Ist
Stoppen der Folge
X = (Xn )
zur (zuflligen) Zeit
T T : X T := (Xn ) :=
Dann gilt:
(Xn )
adaptiert und
T
eine Stoppzeit, so ist auch die gestoppte Folge
(XnT )
adaptiert. Ist
(Xn ) ein (Super-) Martingal und T eine Stoppzeit, so ist auch (XnT ) ein (Super-)Martingal (Optional Stopping Theorem).
die gestoppte Folge
Ein faires Spiel bleibt fair, wenn es ohne Vorkenntnis ber ein zuknftiges Ereignis gestoppt wird. Beispiel: Einfache Irrfahrt (simple random walk)
Xi , wobei Xi = 1 mit W. T := inf{n | Sn = 1}, d.h., wir hren auf zufallsvariablen haben. Man kann zeigen, dass Beachte: Jedoch: den! Man kann zeigen, dass weder
Sn := n Xi mit unabhngigen Zui=1 p = 1/2 und Xi = 1 mit W. p = 1/2. Seispielen, sobald wir eine Geldeinheit gewonnen
P (T < ) = 1.
Mit obiger Proposition:
T eine Stoppzeit E(ST n ) = E(S0 ) = 0 fr jedes n. 1 = E(ST ) = E(S0 ) = 0ist ein Martingal und
S = (Sn )
Also kann auf die Beschrnktheitsbedingungen in Satz 2.10 nicht gnzlich verzichtet wer-
T
noch der Verlust vor dem ersten Netto-Gewinn beschrnkt
sind. Dieses Spiel kann in der Praxis also nicht realisiert werden!
Die Snell-Einhllende
Denition 2.12 Ist X = (Xn )N n=0ZN := XN
eine (endliche) Folge von zur Filtration
(Fn )
adaptier-
ten Zufallsvariablen, so heit die durch
Zn := max{Xn , E(Zn+1 | Fn )}denierte Folge
(n N ) X.
Z = (Zn )N n=0
die Snell-Einhllende von
Satz 2.11die Folge
Die Snell-Einhllende dominiert (d.h.
(Xn )
(Zn ) von (Xn ) ist Zn Xn fr alle n).
das kleinste Supermartingal, welches
Proposition 2.2 T0 := inf{n 0 | Zn = Xn }Stoppzeit
ist eine Stoppzeit und die gestoppte Folge T0 ) ist ein Martingal. (Zn Satz 2.12 Sei Tn,N eine Familie von Stoppzeiten mit Werten in {n, . . . , N }. Dann lst die
T0
das optimale Stoppproblem fr
X:
Z0 = E(XT0 | F0 ) = sup{E(XT | F0 ) | T T0,N }
Sind die Werte von
X
bis zum Zeitpunkt
n bereits bekannt, lst Tn := inf{j n | Zj = Xj }
das optimale Stoppproblem fr
X:
Zn = E(XTn | Fn ) = sup{E(XT | Fn ) | T Tn,N }
26
Bei der Bewertung von amerikanischen Optionen soll zu dem Zeitpunkt die Option ausgebt werden, zu dem die erwartete Auszahlung maximal ist. Die beiden letzten Aussagen zeigen, dass Ereignisse). Der folgende Satz zeigt, dass die oben denierte Stoppzeit fr
T0
bzw.
Tn
die hierfr optimalen Zeitpunkte liefern bei Verwendung der bis
zu diesem Zeitpunkt zur Verfgung stehenden Information (ohne Vorgri auf zuknftige
T0 die kleinste optimale Stoppzeit
(Xt )
ist. Eine Stoppzeit
Satz 2.13(i) (ii)
T
ist genau dann optimal fr die Folge
(Xt ),
falls die beiden
folgenden Bedingungen gelten:
XT = ZT ZTist ein Martingal
Satz 2.14
(Doobsche Zerlegung von Submartingalen) Sei
(Xn )nN
ein Submartingal beMartingal f.s.,
(Fn )nN von wachsenden -Algebren. Dann existieren ein (Mn )nN und ein wachsender vorhersagbarer Prozess (An )nN (d.h. An+1 An Fn -messbar) so, dasszglich einer Folge
An+1
Xn = X0 + Mn + An ,fr alle
wobei
M0 = A0 = 0,
n N.
Diese Zerlegung ist f.s. eindeutig.
27
3 Finanzmrkte in diskreter ZeitWir betrachten folgenden Finanzmarkt
M:
(, F, P )
W-Raum mit
|| < aufsteigende Folge
F0 F1 . . . FT F F0 = {, },
F
von in
F
enthaltenen
-Algebren
FT = F = P()
P ({}) > 0
d + 1 Finanzgter mit Preisen S0 (t), S1 (t), . . . , Sd (t) zum Zeitpunkt t {0, 1, . . . , T }, welche Ft -messbare Zufallsvariable seienDann ist
S(t) =
S0 (t). . .
Sd (t)ein
Ft -messbarer
Zufallsvektor mit mit Werten in
Rd+1(also ein stochastischer
Denition 3.1. Ein Numraire ist ein Preisprozess (Xt )t{0,1,...,T }Prozess), welcher strikt positiv ist fr alleDas mit
t {0, 1, . . . , T }.
i = 0
indizierte Finanzinstrument wird als Numraire verwendet und ist meist
eine risikolose Kapitalanlage mit
S0 (0) = 1Ist
r
der whrend einer Zeitperiode
(t t + 1)
gewhrte Zins, so gilt
S0 (t) = (1 + r)t
Denition 3.2 EineRd+1 -wertiger
Damit denieren wir den Diskont-Faktor
(t) := 1/S0 (t)
Handelsstrategie (oder dynamisches Portfolio) ist ein vorhersagbarer
stochastischer Prozess
0 (t) 1 (t) = . . . d (t) t{1,...,T } d.h. eine Folge von
T
Zufallsvektoren mit Werten in
Rd+1 .
i (t)
ist die Anzahl von Anteilen des Finanzgutes i, basierend auf den Informationen zum
Zeitpunkt Preise
Denition 3.3.(1), S(0)und
t 1. Die Adjustierung des S0 (t 1), . . . , Sd (t 1) statt.
Portfolios fand also kurz nach Bekanntgabe der
Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt
t
ist gegeben durch
V (0) =
d
V (t) := (t), S(t) =i=0
i (t)Si (t), V
t {1, . . . , T } .
Der dadurch denierte stochastische Prozess
heit Wertprozess der Handelsstrategie
28
V (0)
ist das Anfangskapital des Investors.
Denition 3.4. Der
Zuwachsprozess
G
der Handelsstrategie
ist gegeben durch
t
t
G (t) := =1frSei
( ), S( ) S( 1) = =1
( ), S( )
t {1, . . . , T }. S(t) = (1, (t)S1 (t), . . . , (t)Sd (t))
der auf den Zeitpunkt
t=0
abdiskontierte Preis-
vektor. hnlich: Abdiskontierter Wertprozess
V (t) = t (t), S(t) = (t), S(t)fr
t {1, . . . , T }.t
Abdiskontierter Zuwachsprozess
G (t) = =1fr
( ), S( )
Denition 3.5 Eine
t {1, . . . , T }.
Handelsstrategie
heit selbstnanzierend, falls
t{1,...,T 1}
(t), S(t) = (t + 1), S(t)
t werden die neuen Preise S(t) bekannt. Das Portfolio hat dann den Wert (t), S(t) . Aufgrund der Kenntnis der neuen Preise S(t) schichtet der Investor sein Portfolio mit Anteilen (t) zu einem Portfolio mit (t + 1) Anteilen umInterpretation: zum Handelszeitpunkt ohne jedoch Kapital abzuziehen oder einzubringen. nanzierend bzgl.
Behauptung 3.1. Sei X(t) ein Numraire. Eine Handelsstrategie ist genau dann selbstS(t),falls
selbstnanzierend bzgl.
S(t)/X(t)
ist.
Also ist eine Handelsstrategie nanzierend bzgl.
genau dann selbstnanzierend bzgl.
S(t),
falls
selbst-
S(t)
ist.
Behauptung 3.2. Eine Handelsstrategie ist genau dann selbstnanzierend, wennt{0,1,...,T }
V (t) = V (0) + G (t)
Die nchste Behauptung zeigt, dass der Wert des Portfolios vollstndig durch das Anfangsvermgen und die Handelsstrategie
(1 (t), . . . , d (t))t{1,...,T }
bestimmt ist vor-
ausgesetzt der Investor folgt einer selbstnanzierenden Strategie.
Behauptung 3.3. Fr jeden vorhersagbaren Prozess (1 (t), . . . , d (t))t{1,...,T }F0 -messbare V0Handelsstrategie existiert genau ein vorhersagbarer Prozess
und jedes
(0 (t))t{1,...,T } ,
so dass die
0 (t) 1 (t) = . . . d (t)
29
selbstnanzierend und
Denition 3.6. Eine
V0 = V (0)
der Anfangswert des Portfolios ist.
selbstnanzierende Strategie
heit Arbitrage-Strategie, falls
V (0) = 0 V (T ) 0 V (T ) > 0Der (oben denierte) Finanzmarkt
mit Wahrscheinlichkeit mit Wahrscheinlichkeit mit Wahrscheinlichkeit
1 1 >0
M
heit arbitragefrei, falls es keine Arbitrage-Strategie
in der Klasse aller Handelsstrategien gibt.
Denition 3.7.Filtration
Ein zu
P
quivalentes Wahrscheinlichkeitsma
Martingalma fr den stochastischen Prozess
S
, falls
S
P auf (, FT ) heit ein -Martingal bezglich der ein P
F = (Ft )t{0,1,...,T }
ist.
P(S)
Behauptung 3.4.F.
bezeichne die Klasse aller quivalenten Martingalmae (fr Sei
S ).eine selbstnanzierende
P
ein quivalentes Martingalma und
Handelstrategie. Dann ist der Wertprozess
V (t)
ein P -Martingal bezglich der Filtration
Behauptung 3.5.tragefrei. Setze
Existiert ein quivalentes Martingalma, dann ist der Markt
M
arbi-
X + := {X : R+ | X 0 := {X X ist ein Kegel.
ist eine Zufallsvariable}
+
|
X() 0
und
X() > 0}
Ist
M
ein arbitragefreier Markt, so gilt fr jede selbstnanzierende Strategie
V (0) = 0 = V (T ) G (T ) G (T ) immer noch gilt, falls
Mit Behauptung 3.2 folgt:
= (1 , . . . , d ) ein vorhersagbarer Prozess ist und 0 so gewhlt wird, dass die Strategie = (0 , . . . , d ) das Startkapital V0 = 0 besitzt und selbstnanzierend ist.Das nchste Lemma zeigt, dass
Lemma 3.1.(1 , . . . , d )
In einem arbitragefreien Markt erfllt jeder vorhersagbare Prozess
=
die Relation
G (T )
Behauptung 3.6. Martingalma P .
Ist der Markt
M
arbitragefrei, dann existiert ein zu
P
quivalentes
Eine Kombination der Behauptungen 3.5 und 3.6 liefert
Satz 3.1 (No-Arbitrage-Satz). Der Finanzmarkt M ist genau dann arbitragefrei, wennes ein zu P quivalentes Martingalma ein P -Martingal ist.
P
gibt, unter dem der diskontierte Preisprozess
S
30
3.1 Risikoneutrale Bewerung von FinanzderivatenDenition 3.8.dass Ein Finanzderivat mit Verfallszeitpunkt
T
ist eine nichtnegative
FT -
messbare Zufallsvariable
X.
Das Derivat heit erreichbar (attainable), falls es eine das
Derivat replizierende Handelsstrategie
gibt, die selbstnanzierend ist und fr die gilt,
V (T ) = X
Zwei Handelsstrategieen werden als quivalent angesehen, wenn sie denselben Wertprozess besitzen.
X
ist meist eine Funktion des Preisprozesses
S : X = f (S) Kund
X := (ST K)+ Ausbungszeitpunkt TBeispiel:
fr eine europische Call-Option mit Ausbungspreis
Behauptung 3.7.nanzderivat rivates
Ist
M
ein arbitragefreier Finanzmarkt, dann ist jedes erreichbare Fi-
X
eindeutig in
M
replizierbar.
Grundidee der Arbitrage-Bewertung von Derivaten: Da der Wert eines erreichbaren De-
X
zu einem Zeitpunkt
t T
eindeutig sein sollte (sonst existiert eine Arbitra-
gemglichkeit), muss der Preis des Derivates zum Zeitpunkt des Portfolios zur replizierenden Handelsstrategie Deshalb ist folgende Denition sinnvoll:
tT t
mit dem Wert
V (t)
zum Zeitpunkt
bereinstimmen.
Denition 3.9. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei und XVerfallszeitpunkt Wertprozess derMa
ein erreichbares Derivat mit gegeben durch den
T . Dann ist der Arbitragepreisprozess (X (t))t{0,...,T } X replizierenden Strategie .
Da die Arbitrage-Bewertungsmethode oensichtlich unabhngig vom zugrundeliegenden
P
ist also unabhngig vom Modell, das sich ein Investor vom weiteren Kursver-
lauf macht sollte ein Investor, welcher statt dem Ma zugrundelegt, das Derivat mit demselben Preis bewerten.
P
das risikoneutrale Ma
P
Behauptung 3.8. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei. Dann ist der Arbitragepreisprozess
(X (t))t{0,...,T }
jedes erreichbaren Finanzderivats
X
durch die Formel der risikoneu-
tralen Bewertung
t{0,...,T }gegeben, wobei
X (t) = (t)1 E ((T )X | Ft ) P)quivalenten Martingalmaes
E
die Erwartung bezglich eines (zu
P
(fr den auf den Zeitpunkt
t=0
abgezinsten Preisprozess) darstellt.
Frage: Unter welchen Bedingungen ist jedes Finanzderivat erreichbar, also mittels einer Handelsstrategie replizierbar?
3.2 Vollstndige Mrkteheit vollstndig, wenn jedes Derivat erreichbar + eine replizierende ist, also fr jede nichtnegative FT -messbare Zufallsvariable X X selbstnanzierende Handelsstrategie
Denition 3.10.
Der Finanzmarkt
M
mit
V (T ) = X
existiert.
31
Satz 3.2 (Vollstndigkeitssatz).vollstndig, wenn es genau ein zu abgezinste Preisprozessergibt den
Ein arbitragefreier Finanzmarkt
M
ist genau dann
P
quivalentes Martingalma gibt (unter welchem der
S
ein Martingal ist).
Die Kombination des No-Arbitrage- und des Vollstndigkeitssatzes (Stze 3.1 und 3.2)
Fundamentalsatz der Preistheorie fr Derivate:M
In einem arbitragefreien vollstndigen Finanzmarkt
existiert genau ein quivalentes
Martingalma P .Ferner mit Behauptung 3.8: In einem arbitragefreien vollstndigen Finanzmarkt
M
ergibt sich der arbitragefreie Preis
X (t)
eines Derivates
X
als (bedingter) Erwartungswert des Derivates unter dem risiko-
neutralen (d.h. quivalenten Martingal-) Ma
P :
t{0,...,T }
X (t) = (t)1 E ((T )X | Ft )
3.3 Das Cox-Ross-Rubinstein-ModellWir betrachten folgenden Finanzmarkt
M
mit
T
Handelsperioden:
risikolose Anlage
B
(Bond) mit
B(t) = (1 + r)t , risikobehaftete Anlage
t {0, . . . , T }
S
(z.B. Aktie) mit
S(t + 1) =wobei
uS(t) mit W p, dS(t) mit W 1 p,
t {0, . . . , T }
0
