Final de matemática – Cátedra Gutiérrez – CBC – 1993. Pág. 1 Si necesitas clases para preparar parciales, finales o libre puedes llamar al 011-15-67625436 Final de Matemática (1) Marzo: 1993 Tema 4 Elegir una sola respuesta de las cuatro opciones: 1. Si f (x) = 2 x 2 + x – 3, entonces (h o f ) (x) = 2 x 2 + x para: a) h (x) = 2x + 6 b) h (x) = x – 3 c) h (x) = x + 3 e) h (x) = 3 x Rta.: c 2. Las asíntotas verticales de f (x) = x x x - - - 1 2 3 ( )( ) son las rectas: a) x = 3; x = 2 b) x = 1; x = 0 c) x = 3; x = 2; x = 1 d) x = 1; x = 2. Rta.: a 3. Si f ’ (x) = 3 (x + 2) x 2 entonces f (x) tiene: a) un mínimo en 0 b) un máximo en 0 c) un mínimo en - 2 d) un máximo en –2 Rta.: c 4. Si f (x) = Sen 2 (3x 2 +1), entonces la derivada de f es: a) 2 sen (3x 2 + 1) b) 12 x . sen (3x 2 +1) . cos(3x 2 + 1) c) 2 sen (3x 2 + 1).cos(3x 2 + 1) d) cos (3 x 2 +1) . 6 x Rta.: b 5. Los ceros de f (x) = sen (x + π ) + 1 en [-2π; π ] son: a) 3 2 2 p p ,- b) p p 2 3 2 , c) π π 2 5 , 2 d) p p 2 3 2 ,- Rta.: d 6. Si A = { x x = [, ] / cos , 0 5 2 08 p } entonces: a) A tiene ∞ elementos. b) A tiene 4 elementos c) A tiene 3 elementos. d) A tiene 2 elementos Rta.: c 7. Sean P = (3,2) y Q (3,a). Si la distancia entre P y Q es igual a 4, entonces a es igual a: a) 2 ó -2 b) 4 ó 0 c) 2 ó 6 d) 6 ó –2
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Final de matemática – Cátedra Gutiérrez – CBC – 1993. Pág. 1
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Final de Matemática
(1) Marzo: 1993 Tema 4
Elegir una sola respuesta de las cuatro opciones:
1. Si f(x) = 2 x 2 + x – 3, entonces (h o f )(x) = 2 x 2 + x para:
a) h(x) = 2x + 6 b) h(x) = x – 3 c) h(x) = x + 3 e) h(x) = 3 x
Rta.: c
2. Las asíntotas verticales de f(x) = x
x x−
− −1
2 3( )( ) son las rectas:
a) x = 3; x = 2 b) x = 1; x = 0 c) x = 3; x = 2; x = 1 d) x = 1; x = 2.
Rta.: a
3. Si f ’(x) = 3 (x + 2) x 2 entonces f(x) tiene:
a) un mínimo en 0 b) un máximo en 0 c) un mínimo en − 2 d) un máximo en –2
Rta.: c
4. Si f(x) = Sen2 (3x 2 +1), entonces la derivada de f es:
a) 2 sen (3x2 + 1) b) 12 x. sen (3x2+1) . cos(3x2 + 1) c) 2 sen (3x2 + 1).cos(3x2 + 1) d) cos (3 x2 +1) . 6 x
Rta.: b
5. Los ceros de f(x) = sen (x + π) + 1 en [-2π; π] son:
a)32 2
π π,− b)
π π2
32
, c) ππ25
,2
d) π π2
32
,−
Rta.: d
6. Si A = { x x∈ =[ , ] / cos ,052
0 8π } entonces:
a) A tiene ∞ elementos. b) A tiene 4 elementos c) A tiene 3 elementos. d) A tiene 2 elementos
Rta.: c
7. Sean P = (3,2) y Q (3,a). Si la distancia entre P y Q es igual a 4, entonces a es igual a:
a) 2 ó -2 b) 4 ó 0 c) 2 ó 6 d) 6 ó –2
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Rta.: b
8. si f(x) = x 4 + 5 x 3 – 2 x + 1 entonces:
a) f no tiene ceros en (-2,2) b) f no tiene ceros en (-1,0)
c) f no tiene ceros en (-1,1) d) f no tiene ningún cero.
Rta.: c
9. Sea f(x) = ln (5x 2), entonces f ‘(2) + 2 f ”(2) es igual a: a) 1 b) 320
c) 2x
d) 0
Rta.: d
10. Sea f(x) = – 3 (x – 1)(x2 – 5x + 6) los intervalos de positividad son:
a) (3, + ∝) b) (−∝, 1)∪(2,3) c) ∅ d) (−∝, −1)
Rta.: b
11. El dominio de f(x) = 4 ln (5 – x) – 2 ln (x – 1) es: a) (1,5) b) (−∝, 5) c) R – (1,5) d) R
Rta.: a
12. {x ∈ R/ − 1 < − x + 2 < 4 } es igual a: a) (– 2 ,3) b) (– 3,2) c) (–1,4) d) (–1,6)
Rta.: a
13. f fe
xx
x: { } ( )R R definida por − → =
−2
2es estrictamente creciente en:
a) (− ∞,2) b) (2, 3) c) (− ∞, 2)∪ (3, + ∞) d) (3, + ∞)
Rta.: d
14. La ecuación de la recta tangente al gráfico de 82)( −= xf x en el punto (3,1) es:
a) y = 2 x + 2 b) y = 3 x c) y = 3 x – 8 d) y = 2 x – 3
Rta.: c
15. Si una recta pasa por el punto (–2, –3) y tiene pendiente m = 2 entonces su ordenada al origen vale: a) 2 b) 3 c) – 3 d) 1
Rta.: d
16. La ecuación de la parábola que tiene vértice (3, – 4) y pasa por (1, 0) es:
a) y = x2 + 6 x – 7 b) 25
3= 221 −+− xxy c) y = x 2 – 6 x + 5 d) y = x 2 + 6 x + 5
Rta.: c
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17. El área A de la región encerrada por la función f xx( ) sen= y el eje de las x, entre las rectas x =
−π y x = π , es:
a) ∫∫π
π
π
-0
sen =A d) 2=A c) 0=A b) sen2=A dxxdxx
Rta.: a
18. Una ∫++
+dx
xx
x
92
12 es: a)92
92 92x92
ln
2d) 2 c) ln b)
++++++++
xxxxxxx
x
Rta.: c
19. 2 1
522
3 x
x xdx
+
+ −∫ es igual a: a)
4948
b) ln 3 – ln 2 c) ln 7 d) 2
Rta.: c
20. Si f dx f dxx x( ) ( ) ) entonces (5 0
3= −∫ ∫
0
34 2 es igual a: a) 18 b) 14 c) 2 d) 3
Rta.: b
(2) Julio 1993 Tema 2
1. Si A = (2, 2), entonces 2B)A,(d = para B igual a: a) (3,1) b) (1,0) c) (0,1) d) (2,-1)
Rta.: a
2. El vértice de la parábola de ecuación )21
)(1(2 +−= xxy es:
a) (3, 1) b) ( ¼ , – 9/8) c) (– ¼, – 3/8) d) (– ½ , 0)
Rta.: b
3. El gráfico de 3
11)( +
+=x
f x
a) tiene dos asíntotas b) tiene una asíntota vertical y una horizontal c) tiene dos asíntotas d) no tiene asíntotas
Rta.: b (asíntota vertical: – 3; asíntota horizontal: 1).
4. El dominio natural de )53ln( 2)( xxf x −= es:
),0(, )0R ),,0)( )1,)35
35
21 +∞∪
−∞−>
+∞∪−∞
dcba
Rta.: b
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5. Si f(x) = 2x + 1, g(x) = sen x y h = f o g(x) ⇒ la imagen de h es:
a) [–1, 1] b) [– 3, 1] c) [– 2, 2] d) [–1, 3]
Rta.: d
6. Sea f: [0,½ π] →R / f(x) = cos (2x), entonces:
ππ=
π=
π=+
ππ=+
2,
4-C)
2,0-C )
2,0C )
2,
4C ) dcba Rta.: d.
7. Si la derivada de f es xx exf −−= ).2(' 2)( entonces f tiene:
2en local mínimoun y 2en local mínimoun 2en local máximoun y 2en local máximoun
2en local máximoun y 2en local mínimoun 2en local mínimoun y 2en local máximoun
) )
) )
−−
−−
•d•b
•c•a
Rta.: c
8. La derivada de 1
)(ln 2
)(+
=x
xf x es:
1).1.(2
lnln).1(4)1.ln4 )
)1(
lnln).1(4 )
)1(2lnln)14(
)2
23
22
++−++
+
−++−+
xxx
xxxxd
xxxc
x
xxxb
xxxxxx
a
Rta.: d
9. Si 23
)6 )23
)9 ):es )-(entonces6 3
0)(
3
0)( −−= ∫∫ dcbadttfdtf tt Rta.: b
10. El área encerrada entre la gráfica de f(x) = cos x y el eje x entre 0 y 2π
es:
a) 0 b) – sen. x c) 1 d) 2 Rta.: c
11. Los gráficos de f(x) = x2 + 2x + 1 y g(x) = 2x + 10 se cortan en:
a) (2, 16) y (– 2, 4) b) (– 3, 4) y (3, 16) c) (3, 16) y (– 3, 4) d) (16, 3) y (4, – 3)
Rta.: c
12. Una primitiva de f(x) = 1 + ln x es: cxxxdx
xccx
bxxa ++++++ ln )2
ln1 )
1 )4ln)
2
Rta.: a
13. La derivada de 2
cos 2
sen)(xx
f x = en el punto de abscisa π vale: a) ½ b) – ½ c) 1 d) – 1
Rta.: d
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14. Si 12
2/}
21
{R}21
{R: )( +−
=−−→−−x
xff x entonces f- -1 es igual a:
122
d)2
12 c)
122
b)1
)21 +
−−+
−−
+ xx
xx
xx
xa
Rta.: d
15. Si 13 2)( −+= xxf x entonces la ecuación de la recta tangente al gráfico en el punto (1, f(1) ) es
igual a: a) y = 7 x – 4 b) y = 6 x – 4 c) y = 6 x – 3 d) y = 7 x + 4
Rta.: a
16. ∫−
1
1
. dxex x es igual a: a) x ex - ex b) 2/e c) e – 1/e d) x . ex
Rta.: b
17. Si 1)(
23 +−+−= xxxx ef , entonces f ‘(a) + f(a) = 0 si y solo si:
a) a = 0 ó a = 2/3 b) a = 0 c) a = e d) a = 1
Rta.: a.
18. La función 26279 23)( +−+−= xxxf x :
a) tiene un máximo relativo en x = 3 b) tiene un mínimo relativo en x = 3 c) es decreciente d) es creciente.
Rta.: c
19. Si f: R → R es creciente en (− ∞, 3] y decreciente en [3, + ∞), entonces h(x) = – f(x +1) es:
a) creciente en (− ∞, 2] y decreciente en [2, + ∞) b) decreciente en (− ∞, 3] y creciente en [3, + ∞) c) decreciente en (− ∞, 2] y creciente en [2, + ∞) d) creciente en (− ∞, 3] y decreciente en [3, + ∞) Rta.: c
20. La población (en millones de habitantes) de una cuidad t años después del año 1970 está dada por la ecuación: P(t) = 5.e0,03 t . Será el triple de lo que era en 1975 para t igual a:
03,0)15,03ln(
)03,0ln15,03
)03,0
3ln15,0)
03,03ln15,0
)+−+−
dcba
Rta.: b
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Examen Final: Diciembre 1995 Tema 4.
1. Si f(x) = sen2 (π − 2x), entonces f ’(−π/8) es igual a: a) 2 b) 2 2 c) 1 d) 2 Rta: a
2. Si f(x) = 4x2 + 3x – 5 ; g(x) = x2 + x – 4; el conjunto A = {x ∈ R/ f(x) > g(x)} es igual a:
a) (– 1, 1/3 ) b) (− ∞, − 1/3) ∪ (1, + ∞) c) (0, 1/3) d) (− ∞, −1) ∪ (1/3, + ∞) Rta: a
3. ∫π
π+0
)3sen( dxx es igual a: a) 32− b) π
32
c) 0 d) 2 Rta.: a
4. la función 12)(
+=
x
xf x tiene:
a) Un mínimo en x = 1 y un mínimo en x = – 1 b) Un mínimo en x = 1 y un máximo en x = – 1
c) Un máximo en x = 1 y un máximo en x = – 1 d) Un máximo en x = 1 y un mínimo en x = – 1
Rta: d
5. Si f(x) = e ax entonces f ’(0) + f ”(0) = 2 sólo para :
a) a = 0 b) a = – 1 c) a = – 2 ó a = 1 d) a > 0 Rta: c
6. La función derivada de 4)(
2 += xx ef es igual a:
a) 421 2 +xe b) 2 42 +xe c) x 42 +xe d) 2x 42 +xe Rta: d
7. El área de la región limitada por el eje y, por la recta f(x) = 3x – 4 , y g(x) = – x + 4 es igual a:
a) 16 b) 8,5 c) 8 d) – 8. Rta.: c
8. El gráfico de f(x) = ½ + sen 2x para x ∈ [0, 2π] corta al eje x:
a) 2 veces b) ninguna vez c) 3 veces d) 4 veces Rta.: d
9. La función f tiene por derivada a f ’(x) = 2x2 – 16x + 30, entonces f es:
a) creciente en (− ∞, 3) b) creciente en (− ∞, 3) ∪ (5, + ∞) c) creciente en (5, + ∞) d) creciente en (3, 5) Rta.: b
10. El conjunto {t ∈ R/ t2 e – t > t e – t } es: a) (− ∞, 0) ∪ (1, + ∞) b) (1, e) c) (0, 1) d) (1, + ∞)
Rta.: a
11. El conjunto A = {x ∈ R/ – 5x – 7 > 0} contiene al intervalo:
a) (–1, 1) b) (– 6, – 5) c) (– 6, – 1) d) (–2, –1) Rta.: b
12. Sea f(x) = – 6(x – 2) (x + 1). El área de la región encerrada entre el gráfico y el eje x es igual a:
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a) 16 b) – 16 c) 27 d) 0 Rta: c
13. Si 2
2)( +
−=x
f x y g(x) = – x, entonces f o g(– 5) es 72
d)32
c)32
b)72
a) −− Rta.: a
14. La función f tal que f(0) = 2 y su derivada es 43' )( += xf x es:
23
21
21
23
)43(d))43(c)
4)(3b)4)(3a)
92
)(47
21
)(
21
)(92
92
)(
+=++=
+=++=
−
−
xfxf
xfxf
xx
xx Rta.: a
15. Sea f dada por f(x) = ex – e – x ; f es positiva en: a) [– 1, 1] b) (− ∞, – 2) c) R d) (0, + ∞)
Rta.: d
16. El conjunto {x ∈ R: >+
−2
3x
0} es igual a:
a) ( – ∞, – 2) b) (2, + ∞) c) (1, + ∞) d) (− ∞, −1) Rta.: a
17. Para x ∈ [0, 2π], sea f(x) = cos2 x – 3 sen x. Entonces {x: f ’(x) = 0} es :
}{)}{)}){}){2
3,24
,4
34
,2
34
,2
ππππππππ dcba Rta.: d
18. Sea f(x) = x3 – 2x2 + x. la recta de ecuación y = 5x – 8 es tangente a la curva y = f(x) :
a) en ningún punto b) en (2,2) c) en (0,0) d) en (2, 0) Rta.: b
19. Si ∫∫−−
=+2
3)(
2
3
2)( 2 )3( dxfdxxf xx , entonces ∫
−
2
3)( dxf x es igual a:
a) –35 b) – 15 c) 0 d) 35 Rta.: d
20. Sea f la función polinómica de grado 3 tal que su gráfico corta al eje de las x en (–2, 0); (1, 0) y (2, 0) tal que f(– 1) = – 3. Entonces:
a) f(0) > 0 b) f(0) < 0 c) f(0) = 0 d) f(0) ≠ 0, pero no puede decidirse el signo de f(0).
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Final: 1998 Tema 1.
1) La función inversa de f(x) = ln (2x + 1) es f – 1
(x) = a) ln− 1(2x + 1) b) e 2x + 1 c) (ex – 1):2 d) e – 0,5 x + 1
Rta: c
2) El conjunto de positividad de x
xf x −
−=
15
)( es:
a) (5, + ∞) �b) (1, 5) c)(– ∞, 1) d) (−3, + ∞) Rta: b.
3) La función 43
)( ++
=bxax
f x tiene a “y = 4” y a “x = 1” como asíntotas para:
a) a = – 16, b = – 4 b) a = – 4, b = – 16 c) a = 16, b = 4 d) a = 4, b = 1. Rta: a 4) Sea A ={(x, y)/ |x| > ½ , |y – 1|< 2} y sean P =(0,0), Q = (1,3)
a) P ∉ A, Q ∉ A b) P ∈ A, Q ∈ A c) P ∈ A, Q ∉ A d) P ∉ A, Q ∈ A Rta: a 5) El gráfico de la función lineal que pasa por el punto (1,2) y tiene pendiente – ½ también pasa por:
a) (2,1) b) (7, – 1) c) (– 4, – ½) d) (7, 5) Rta: b
6) La función ax
xf x −
=1
2
)( tiene un punto crítico en x = ½ para “a” igual a: a) – ¼ b) ½ c) 2 d) 4
Rta: d
7) La función 24)( 23 xxf x += es decreciente en: a) (0, + ∞) b) (−∞, 0) c)
−
31
3
1; d) R.
Rta: b 8) Sea f: R → R tal que su derivada es f ’(x) = (x – 1)3 (x + 3)4 a) f tiene mínimo local en x = 1 y no tiene extremo en x = – 3. b) f tiene mínimo local en x = 1 y tiene máximo local en x = – 3. c) f tiene máximo local en x = 1 y tiene mínimo local en x = – 3. d) f tiene máximo local en x = 1 y no tiene extremo en x = – 3. Rta: b
9) La cantidad de soluciones reales de sen x = 23
− en el [0, 4π] es: a) 0 b) 4 c) 2 d) infinitas.
Rta.; b
10) F(x) = 2 – 2xe tiene alguna raíz real en el intervalo: a) (1, 2) b) (3, 4) c) (0, 1) d) (– 4, – 3)
Rta.: c 11) Si f: [0, 2π] → R es f(x) = sen2x, es creciente en:
a) (0, ½ π) y en (3/2 π , 2 π) b) (0, π) c) todo su dominio d) (0, ½ π) y en (π , 3/2 π ) Rta.: d 12) Si f(x) es una función exponencial tal que f(1) = 1 y f(3) = 4, entonces, f(5) = a) 16, b) 5, c) 4, d) 32 Rta.: a 13) Sea f(x) = e – x + a – 3 con a ∈ R. Entonces f ‘ (2) = - e – 1 para:
a) a = 1, b) cualquier valor de a, c) a = – 1, d) ningún valor de a.
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Rta.: a 14) Si f es una función continua que tiene exactamente tres ceros (ver tabla de valores), entonces f tiene exactamente dos ceros en : a) (– ∞, 0) b) (2, 3) c) (– 1, 1) d) ( – ∞, 1)
Rta.: a
15) El área limitada por las curvas y = x3, y = x2, x = – 1, x = 1, es igual a:
∫∫
∫∫ ∫
−−
−−+−
−
−1
0
231
1
23
1
1-
320
1
1
0
2332
)(d)2 )(b)
)(c) )( )()a
dxxxdxxx
dxxxdxxxdxxx
Rta.: a 16) El máximo que alcanza la función f(x) = - a sen x es igual a 1 cuando:
a) a = 1 ó a = – 1 b) a = - 1 ó a = 3 c) a = 0 ó a = ½ π d) a = 1 ó a = 0 Rta.: a 17) La recta y = 3x + a es tangente a la curva y = x3 – 9x para:
a) ningún valor de a b) a = 16 ó a = – 16 c) a = 10 ó a = – 10 d) a = 2 ó a = – 2 Rta.: b 18) Si f(x) = ax2 + 4x – 1 y g(x) = x2 + ax + 2, el máximo de f coincide con el mínimo de g cuando:
a) a = 2 b) a = – 2 c) a = – 1 d) a = 1 Rta.: b
19) Si ∫−
=3
1)( 5 dxf x entonces, ∫
−
+3
1
)(2 )2
( dxf
x x es igual a: a) 25/3 b) 11 c) 71/6 d) 21/2
Rta.: c 20) En el intervalo [0, 3/2π], la función f(x) = cos (x + ¾ π) . sen x tiene:
a) 2 ceros b) 3 ceros c) 4 ceros d) 5 ceros. Rta.: d
x – 2 – 1 0 1 2 3 4 f(x) – 4 1 – 6 – 3 0 2 2
CBC – EXAMEN FINAL MATEMÁTICA CÁTEDRA – GUTIERREZ – DICIEMBRE 1999
Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011-15-67625436
1. 2La ecuación 6 7 4 es satisfecha porxx
− = +
0 , 2x x= = ningún número real2 , 1/ 6x x= = − únicamente por 2x =
4. 1 13 2 4Si ( ) y ( ) es su función inversa, entonces es igual a1 3xf x f x fx
− −− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
10 /13 2− 1/ 6− 7 /13__________________________________________________________________________ 5. { }2El conjunto x / x 7 13 3 8 es igual ax x∈ − + > −
∅ (3 ; 7) ( ; 3 / 2) (3 ; )−∞ ∪ + ∞ ) ( ; 3) (7 ;−∞ ∪ + ∞__________________________________________________________________________ 6. La parábola ( ) 3( )( 5) tiene eje de simetría de ecuación 17 / 6. Entoncesp x x a x x= − − =
2 / 9a = 1/ 3a = 2 / 3a = 3/ 2a = −__________________________________________________________________________ 7. 2La función inversa de ( ) 2 viene dada porxf x e −= +
21
2 xye −=
+ ln( 2) 2y x= − + ln( )y x= 2
1 12 xy
e −= +
__________________________________________________________________________ 8. Entre todos los rectángulos cuyos lados e están relacionados por 2 24, el de área
máxima viene dado porx y x y+ =
6 ; 12x y= = 6 ; 6x y= = 7 ; 10x y= = 12 ; 6x y= =__________________________________________________________________________ 9. Si ( ) es una función polinomial de segundo grado tal que (3) ( 7) 0 y (0) 42,
entonces (4) es igual a: P x P P P
P= − = = −
22 11 21 11− __________________________________________________________________________ 10. 2La recta que pasa por el origen (0 ; 0) se corta con la parábola de ecuación 3
en un punto de abscisa 1. Entonces la recta también se corta con la parábola en el puntoy x= −L
Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011-15-6762543612. 3 2La cantidad de raíces reales de la función polinomial 2 es x x x+ +
sólo dos ninguna sólo una exactamente tres__________________________________________________________________________ 13.
( )( )0,01
Un nuevo rumor se propaga en una pequeña población, y el número ( ) de personas que
lo conocen al cabo de días viene dado por ( ) 5000 1 2 . Llega a ser conocido
por la mitad de la población
t
N t
t N t −= −
a los 36500 días 125 días nunca 100 días
__________________________________________________________________________ 14. 3La recta tangente a ( ) 1 en el punto (1 ; (1)) intercepta al eje de las
Los móviles y se desplazan respectivamente según las ecuaciones ( ) 3 4y ( ) . Sabiendo que en el instante 4 se encuentran en el mismo lugar y llevan la misma velocidad,
__________________________________________________________________________ 16. ( ) ( )2 3Si : , y su derivada viene dada por ( ) 3 1 , entonces tiene'f f x x x x→ = − + f
mínimo relativo en 0 y máximo relativo en 1x x= = − mínimo relativo en 0 y en 3, y máximo relativo en 1x x x= = = − máximo relativo en 0 y mínimo relativo en 1x x= = − mínimo relativo en 0, y máximos relativos en 1 y en 3x x x= = − =
en ( ; 1) y en (1 ; )−∞ − + ∞ solamente en (1 ; )+ ∞en ( 1 ;0) y en (0 ; 1)− en ( 1 ; 1)−
__________________________________________________________________________ 18. Una función : (0 ; ) tal que (1) 3 y ( ) ln es'f f f x x+ ∞ → = =
21 ln ( ) 32
x + ln 4x x x− + 21 ln ( ) 22
x x+ + ln 3x x x− +
__________________________________________________________________________ 19. 3El área de la región encerrada por los gráficos de , el eje , y las rectas 2, 1 ,
4. 1 13 2Si ( ) y es su función inversa, entonces (3)3
xf x f fx
− −−=
+
0= no existe 2 / 3= − 3= − ________________________________________________________________________________ 5. La inversa de cierta función es tal que (1) 2, (0) 0 y ( 3) 1/ 2.
Entonces (2)g f g g gf
= = − ==
1/ ( 3)g − faltan datos 1 6− ________________________________________________________________________________ 6. Los valores de para los cuales la distancia entre los puntos ( ;1) y (2 ; ) vale 10 / 2 sona a a
0 , 3 5 / 2 , 1/ 2 sólo 10a = sólo 0a = ________________________________________________________________________________ 7. 2Sea la región encerrada entre los gráficos de 4 e 2. Se considera
los puntos del plano ( 1 ; 2) y (2 ; 1). EntoncesA y x y
P Q= − = − −
= − = −x
;P A Q A∈ ∉ ;P A Q A∉ ∉ ;P A Q A∈ ∈ ;P A Q A∉ ∈
________________________________________________________________________________ 8. { }3El conjunto x / x es igual ax∈ >
( 1 ; 0)− ( 1 ; 0) (1 ; )− ∪ + ∞ ( ; 1) (1 ; )−∞ − ∪ + ∞ ∅ ________________________________________________________________________________ 9. ( )( ) 1 y ( ) es una función lineal. Si ( ) 3 1, entonces ( ) es igual ax xf x e g x g f x e g x= − = −
3x −1 2 3x + 3x 3 1xe − ________________________________________________________________________________ 10. Un polinomio ( ) tal que ( 1) (2) 0 y (6) 4 es:P x P P P− = = = −
( )1/10 ( 2)( 1)( 5)x x x+ − − ( )1/ 7 ( 2)( 1)( 5)x x x− − + − 4( 2)( 1)x x− − + ( 2)( 1)( 6x x x )− + −
________________________________________________________________________________ 11. En el intervalo [0 ; 4 ], el total de raíces de la ecuación 1 sen 2 0 es:xπ + =
________________________________________________________________________________ 13. 3/ 2 1La recta que es tangente a en el punto (1 ; 2) tiene ecuaciónxy x e −= +
( )5/ 2 ( 1) 2y x= − + ( ) 1/ 2 1 3 / 2 xy x e −= + ( )5/ 2 2y x= + 2 / 5y = ________________________________________________________________________________ 14. 2La recta tangente a ( ) 4 en el punto de abscisa 1 se corta con los ejes
coordenados en los puntosf x x x= − =
(0 ; 0) y (1 ; 1) (5 / 2 ; 0) y (0 ; 5)−(5 / 2 ; 0) y (0 ; 5) ( 2 ; 3) y (0 ; 1)−
(0 ; 1) (0 ; 1/ 2) y en (1/ 2 ; 1)(1 ; )+ ∞ ( ; 0) y en (1 ; + )−∞ ∞
________________________________________________________________________________ 16. 3 2La función ( ) 2 9 60 tienef x x x x= + −
mínimo relativo en 0x = mínimo relativo en 5 y máximo relativo en 2x x= − = máximo relativo en 5 y mínimo relativo en 2x x= − = mínimo relativo en 9 / 4x = −
________________________________________________________________________________ 17. El área de la región encerrada por el gráfico de cos , el eje de las abscisas
0 0[3 ( ) ] 10 e ( ) . Entonces:f x x dx I f x dx− = =∫ ∫11/ 3I = 7 / 2I = 0I = ( )10 / 3I x= +
________________________________________________________________________________ 20. 2 2Si el área de la región encerrada entre el gráfico de ( ) ( 0) y el eje
de las abscisas vale 32/3, entonces es igual af x a x a
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CBC – EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA – FEBRERO 2000CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING
Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 4585 - 1548 __________________________________________________________________________ 1. 2Si el vértice de la parábola es (1 ; ), entonces:vy x bx y= +
2 ; 2vb y= − = 2 ; 1vb y= − = − 1 ;2 2vb y= − =
1 2 ; 0vb y= =
_________________________________________________________________________ 2. Los ceros de ( ) 1 sen que pertenecen al intervalo [ ;2 ] son:f x x π π= + −
4. 1Las asíntotas de ( ) 1 son las rectas de ecuaciones:1
f xx
= −−
1 ; 0x y= − = 1 ; 1x y= − = 1 ; 1x y= = − 1 ; 0x y= =__________________________________________________________________________ 5. El punto ( ; 48) pertenece a la recta que pasa por los puntos (0 ; 0) y (1 ; 3) sia −
__________________________________________________________________________ 9. El dominio natural de ( ) ln( ) es:f x x=
(0 ; )+∞ (0 ; ]e [1 ; )+ ∞__________________________________________________________________________ 10. Si ( ) es la función polinomial de grado 3 cuyo gráfico pasa por los puntos
(2 ; 0) , (-1 ; 0), (1 ; 0) y (0 ; 1), se puede afirmar que ( 2)f x
f− −es positiva es negativa es nula no existe
__________________________________________________________________________ Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436
11. 2
2
1Si la derivada de es ( ) , se puede asegurar que es creciente en' xf f x fx−
=
( )0 ;1 ( )1/ 2 ; 3/ 2 ( ; 1−∞ − )__________________________________________________________________________ 12. El área de la región encerrada por las curvas , 0 , 3 está dada por:y x x y= = =
14 / 3 2− 28 / 3 13/ 3−__________________________________________________________________________ 14. ( )3Si ( ) ln 2 1 entonces su derivada ( ) es igual a'f x x f x⎡ ⎤= +⎣ ⎦
( )3
12 1x +
( )23 ln 2 1xx
⎡ ⎤+⎣ ⎦ 62 1x +
( )2
62 1x +
__________________________________________________________________________ 15. { }2Si ( ) 6 ln( ), entonces x / 3x 9 (2) es igual a'g x x g= ∈ − >
( ; 2) (2 ;−∞ − ∪ + ∞) (2 ; )+ ∞ ( 2 ; 2)− ( ; 2−∞ − )__________________________________________________________________________ 16. 2 2La recta tangente al gráfico de ( ) en 0 es:xf x e x−= =
0 0Si ( ) 6, entonces ( ) 3 es igual a:f x dx f x x dx= −∫ ∫152
3− 152
− 32
__________________________________________________________________________ 18. 3La recta 3 1 es tangente al gráfico de ( ) 2 3 5 en:y x f x x x= − = − −
mínimo relativo en x π= __________________________________________________________________________ 20. Una primitiva de ( ) 3 5 es ( ) igual a:f x x F x= +
( ) 1/ 21 3 52
x −+ ( ) 3 / 23 3 52
x + ( ) 3 / 22 3 59
x + ( ) 1/ 23 3 52
x −+
__________________________________________________________________________Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436
CBC – FINAL DE MATEMÁTICA – CÁTEDRA GUTIERREZ – DICIEMBRE 2000 Por cada ítem hay cuatro respuestas, siendo verdadera exactamente una de ellas. Marque con una cruz la respuesta que considere correcta. Para aprobar este examen hay que tener al menos 8 respuestas correctas, y la cantidad de correctas debe ser mayor que la cantidad de incorrectas. Los ítems no contestados no se tendrán en cuenta. __________________________________________________________________________________________
1. 1¿Qué cuadrante no es atravesado por el gráfico de ( ) 1 ?2
f x x= − +
el primero el tercero el segundo el cuarto__________________________________________________________________________________________ 2. 2La recta de pendiente 3 que pasa por el origen, se corta con la parábola de ecuación 4
en los puntos de abscisa:y x= −
0 y 3 4 y 1− 2 y 2− 1 y 4− __________________________________________________________________________________________ 3. 2Si ( ) , ( ) 9 y { / ( )( ) 1} entonces es igual a:xf x e g x x B x R f g x B= = − = ∈ >
4. 13Si ( ) entonces , la función inversa de , es igual a:1xf x f fx
−−=
+
13xx
+−
31
xx−+
3 11xx
−−
+
31xx
−+
__________________________________________________________________________________________ 5. El mayor valor que puede alcanzar ( ) 2 sen es igual af x x= −
2 1 3 / 2π− __________________________________________________________________________________________ 6. 2 ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece a la imagen de ( ) 1 ( 2) ?f x x= − −
1 2 0 1/ 2− __________________________________________________________________________________________ 7. 2 1 6 1Los gráficos de las funciones e se cortan en el punto de abscisa x xy ye e− + x == =
12
12
− no se cortan 1ln2
−
__________________________________________________________________________________________ 8. En el intervalo [ ; 2 ] la función ( ) 1 sen(2 ) tiene exactamentef x xπ π− = −
un cero seis ceros dos ceros tres ceros__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________ 11. es una función polinomial de segundo grado que se anula en 1 y en 1, y además
( )22El valor positivo de que hace que ( ) tenga un punto crítico en 1/ 2 es:a f x x
x= =
x a+13.
4 3 2 1__________________________ ___________________________ ______________________ __ ______ ___ ____14. 3 −La función ( ) ( 1) 1) 1 es creciente f x x x= − − + 3(
sólo en (2 ; )+ ∞ sólo en ( ; 0)−∞ en ( ; 0) y en (2 ; )−∞ + ∞ en ____ __________________________ ______ ___ __________________ _________________________________15. ta tange te en el punto donde ( ) alcanza su máximo sLa ecuación de la rec n exf x x e−= ⋅
1y = 1y = 1xe
= 1xe
=
__________________________ ______________________ __________________ _________ ___ ________ ____16. ( 1)sen sx + 2imitiva de ( ) ( 2 ) ef x x x= + Una pr
21 cos( 2 )2
x x− + 21 cos( 2 )2
x x+ 2cos( 2 )x x− + 2cos( 2 )x x+
__________________ ____ ____________ __ ____ ______ ____ ___________ _______________ ______________17 2 3Dada : sabe que su derivada ( 1) ( 2) ( ).f f x x x→ = + − −. , se es ( ) 4x′
______ ___________________ ___ ____________ ________________________ _ ____________________ _____19. Da s las irmac nes :da af io
( ) ( 2) cos cos 2 cosI x x dx x x dx x dx− = −∫ ∫ ∫( ) ( 2)( 3) ( 2) ( 3)II x x dx x dx x dx− + = − ⋅ +∫ ∫ ∫
(I) y (II) son verdaderas (I) y (II) son falsas (I) es verdadera y (II) es falsa erdadera (I) es falsa y (II) es v
__________________________________________________________________________________________ 20. es: 3ntre las curvas e y x y x= =El área de la región encerrada e
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Final de Matemática 2000
Cátedra de Gutiérrez
Examen Final: Julio del 2000
1) La función lineal de f satisface f(3) – f(0) = 8. Entonces la pendiente de f es a) 83 b) 8 c)
38 d) 3
Rta.: c
2) El valor máximo y el valor mínimo que toma la función f (x) = –3 cos(2x + π) + 1 es:
a) 4 y –2 b) 1 y –3 c) 1 y –1 d) 301 y – 301
Rta.: a
3) Una de las raíces del polinomio P(x) = ½ (x – 2)3 – (x – 2)2 es igual a 2, otra es:
a) 0 b) 4 c) – ½ d) – 2
Rta.: b
4) Los valores pertenecientes a los reales por los cuáles la distancia entre (2a –1, – 4) y (1,2) es igual a10 son: a) – 5 y 3 b) – 3 y 5 c) 0 y 100 d) 1 y ½
Rta.: b
5) El dominio natural de la función f(x) = ln(x –1) + ln(2 + x) es:
a) (– 2; + ∞) b) (– ∞; – 2) ∪ (1, + ∞) c) (0; + ∞) d) (1; + ∞)
Rta.: d
6) Si 413
2)( −
+=
xf x , entonces la asíntota horizontal de f –1
(x) tiene ecuación:
a) 43−=y b) y = 2 c) y =
31− d) y = 3
Rta.:
7) Si f(x) = e – 3x + 2 entonces la imagen de f es igual a: a) (– ∞; 2) b) (0; + ∞) c) (2; + ∞) d) (– ∞; 0)
Rta.: c
8) Si una parábola tiene vértice en (4,7) y corta al eje de los x en (5,0) entonces también corta el eje de los x en el punto: a) (3,0) b) (0,0) c) (6,0) d) (– 5,0)
Rta.: a
9) El conjunto de positividad de f(x) = (x2 – 3) ex – 5 es igual a:
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Rta.: b (para que3 el valor sea positivo)
18) Dadas las afirmaciones: ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
+−=+−
−=
dxxdxxdxxx
dxxdxxxdxxx
).3().2().3)(2()II(
.cos2.cos.cos)2–()I(
Decir : a) (I)verdadera b) (II)falso c) (I) es falso y (II) verdadera
d) (I) y (II) son verdaderas e) (I) y (II) son falsos.
Rta.: a
20) Si en dxx
xx
sen2
cos.sen2∫
+ se realiza la sustitución de y = sen x, se obtiene:
a) dyyy
y∫
−+
12 22 b) dy
y
y
2 2∫+
c) dyy
yy
2
12
2
∫+
− d) dy
y
y∫
+
−
2 2
Rta.: b
Jorge
Text Box
Zona Oeste: Moreno, Lujan.
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∉
CICLO BÁSICO COMÚN MATEMÁTICA EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2001
CÁTEDRA GUTIÉRREZ-FAURING _____________________________________________________________________ 1. 2Dados {( , ) : 3 0} y los puntos (2,7) y (2,6)A x y R x y P Q= ∈ − < = =
2. 3 2El conjunto de puntos que satisfacen la inecuación 0 es igual axx−
<
(0,1) (3 / 2 , )+ ∞ ( ,0) (3 / 2, )−∞ ∪ +∞ ( ,1−∞ )_____________________________________________________________________ 3. Todos valores de que hacen que ( 1; ) diste de (2, 4) en 1 sona a a∈ −
3, 1 y 4 y 2− 3 1, 0 y 1− 3 y 4_____________________________________________________________________ 4. 2Si ( ) 7 6 y ( ) 1, el conjunto de raíces de ( ) ( )( ) es:f x x x g x x h x f g x= + + = + =
{ 5,0}− { 7 , 2}− − { 1,6}− { 2,6,7}−_____________________________________________________________________ 5. Una función lineal tal que (2) ( 2) 6 y (1) 1 es ( ) igual a f f f f x+ − = =
23 7x x+ − 9 3 2x− + 9 8x − 4 2x −_____________________________________________________________________ 6. 2La distancia entre el vértice de la parábola de ecuación ( 2) 1 y el origen es:y x= − − +
9. Si 13Si ( ) y es la función inversa de , entonces1
xf x f fx
−−=
+
1 (1) 1f − = − 1 (1) no existef − 1 (1) 1/ 2f − = 1 (1) 0f − = _____________________________________________________________________ 10.S i ( ) es una función polinomial de grado 3 con raíces -5, 2 y 4 y (0) 120,
cualquier 0a > 1/ 7a = − 1/ 7a = 3/ 5a =_____________________________________________________________________ 15. : es una función derivable cuya derivada verifica ( ) 0 en
( , 2) (3, ) y ( ) 0 en (2 , 3). Entonces'
'f f
f x→ <
−∞ ∪ +∞ >x
x alcanza un máximo relativo para 2 y un mínimo relativo para 3f x = = alcanza un mínimo relativo para 2 y un máximo relativo para 3f x x= = alcanza mínimos relativos para 2 y para 3f x x= =
Con los datos suministrados no se puede asegurar extremos. ___________________________________________________________________ 16. 2( ) .(1 ) es creciente únicamente enf x x x= −
2 1/ 4 0 3_____________________________________________________________________ 20. El área de la región encerrada entre los gráficos de sen , el eje de las , y las rectas
1 6A∉ ∈ 1 6A A∈ ∈ 1 6A∈ ∉ 1 6A A∉ ∉________________________________________________________________________________ 5. Si 2 ( ) ( 1 ) y ( ) 2 , entonces el conjunto de ceros de esf x x g x x f g= − = +
________________________________________________________________________________ 7. 2El dominio de ( ) ln ( 1) es igual af x x= −
( 1 , 1 )− (0 ; )+∞ ( , 1 ) (1,−∞ − ∪ +∞ R ________________________________________________________________________________ 8. S 1ea ( ) 5 3. Entonces (2) es igual a xf x e f −= −
2e − 25e −3 1 0________________________________________________________________________________
9 1El gráfico de ( ) 1 corta a los ejes coordenados en los puntos y .1
(0, )+∞ ( 2, )− +∞ R ( , 0−∞ )________________________________________________________________________________ 13. Si 2 la derivada de es ´( ) ( 1)( 2) , entoncesf f x x x= − −
tiene un máximo relativo en 1 y no tiene mínimo relativof x = no tiene extremos relativosf tiene un mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativof x = tiene un mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativo.f x =
2 /9 3/5 28 2 / 6________________________________________________________________________________ 15. Sea 2 ( ) 3 1. La ecuación de la tangente al gráfico de en el punto (1, (1) ) esf x x x f f= − + −
1y x= + 1y = 2y x 3= − + y x= ________________________________________________________________________________ 16. Sea 2 ( ) 1. Si es el valor del área de la región comprendida entre los gráficos
de , el - , y las rectas 0 y 3, entonces se obtiene calculandof x x Af eje x x x A
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CICLO BÁSICO COMÚN EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA JULIO 2004 CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING
_____________________________________________________________________ 1. 2Si ( ) 4 y ( ) 5, el gráfico de tiene vértice en el puntof x x g x x f g= − = −
(0 ; 4)V = − (5 ; 4)V = − (0 ; 9)V = − (5 ; 4)V =_____________________________________________________________________ 2. En el intervalo [0 ; 2 ] , el gráfico de ( ) cos(2 ) corta al eje f x xπ = x
4 veces 1 vez nunca 2 veces_____________________________________________________________________ 3. 2El dominio de la función ( ) ln( 5 6) esf x x x= − +
(2 ; 3) (0 ; )+ ∞ ( ; 2) (3 ;−∞ ∪ + ∞)_____________________________________________________________________ 4. 1La función inversa de ( ) 1 2 es ( ) igual a f x x f x−= + −
( )22x + −1 ( )21 2x − + 2 1x + − 11 2x + −
_____________________________________________________________________ 5. ( )El conjunto de negatividad de la función ( ) ln 100 es f x x= −
(101; )+∞ ( ;101)−∞ (100 ; 101) (100 ; )+ ∞_____________________________________________________________________ 6. 3xLa imagen de la función ( ) 1 es igual af x e += −
( ; 1−∞ − ) ( 1 ; )− + ∞ ( 3 ; )− + ∞_____________________________________________________________________ 7. S i ( ; 1) y Q (2 ; 4) entonces ( , ) 5 sólo paraP a d P Q= = =
6 ; 2a a= − = ningún valor de a 6 ; 2a a= = 6 ; 2a a= = −_____________________________________________________________________ 8. { }22Si ( , ) / 3 ;| 2 | 4 , ( 2 , 7) y Q (3 , 0), entoncesA x y x y P= ∈ > − < = − =
_____________________________________________________________________ 16. 2 ;El área de la región encerrada por las curvas +1 1 esy x y x= − = − +
21
0( 2)x x d− + +∫ x 21
0( )x x dx− +∫
20 1
1 0( 1) ( 1)x dx x dx
−− + + − +∫ ∫ 21
0( )x x dx− +∫
_____________________________________________________________________ 17. ( ) ( )2Si la derivada de es ( ) 1 2 , entonces tiene'f f x x x f= + −
un mínimo relativo en 2x = un máximo relativo en 2x = un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 2x x= − = un máximo relativo en 1 y un mínimo relativo en 2x x= − =
______________________________________________________________________________ 10. 1La función inversa de ( ) 3 ln 2 es ( )f x x f x−= + =
312xe − 1 ( 3
2xe − ) 1 ln ( 3)
2x − 31
2xe +
______________________________________________________________________________ 11. La función ( ) cos2 , en el intervalo [0 ;2 ] , tiene exactamentef x x π=
cuatro ceros un cero seis ceros dos ceros
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12. 02 4La recta tangente al gráfico de ( ) en el punto de abscisa 2,
tiene ecuación
xf x e x−= =
4y x= − 7 1 4y x= + 1y x= + 1y x= −______________________________________________________________________________ 13. 2La derivada de ( ) sen (3 ) es ( )f x x f x= =´
2cos(3 )x 2sen(3 )cos(3 )x x 6sen(3 )cos(3 )x x 2sen(3 )x ______________________________________________________________________________ 14. 0
2La recta tangente al gráfico de ( ) ln (4 1) en el punto de abscisa 1
tiene pendiente
f x x x= + =
0 1/5 ln5 8/5______________________________________________________________________________ 15 . Si 2 la derivada de ( ) es ( ) ( 1), entonces tiene f x f x x x f= −´
No tiene extremos relativos Máximo relativo en 1 y mínimo relativo en 0x x= = Mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativo.x = Mínimo relativo en 1 y máximo relativo en 0x x= =
______________________________________________________________________________ 16. 2El área de la región encerrada por el gráfico de ( ) 4 y el eje-
______________________________________________________________________________ Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011-15-67625436
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CICLO BÁSICO COMÚN EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 2004 (A) CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING
1. 5El conjunto / 1 es igual a 2
A xx
⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬−⎩ ⎭
( , 2) (7,−∞ ∪ +∞) ) (7, )+∞ ( , 2) (3,−∞ ∪ +∞ ( , 3−∞ − )________________________________________________________________________________ 2. La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (0,5) tiene ecuación A B= − =
1 58
y x−= + 8y = − x 58y x= − + 5 8y x= −
________________________________________________________________________________ 3. 2La función ( ) 2 4 tiene por imagen el intervalo [7,+ ) sif x x x c= − + ∞
7c = 9c = 1c = 1c = − ________________________________________________________________________________ 4. La distancia entre los puntos (1, 2) y (3, 1) es igual aP Q= − = −
5 2 3 5 ________________________________________________________________________________ 5. 2El conjunto de positividad de ( ) (2 7 3)( 1) es igual af x x x x= + + −
________________________________________________________________________________ 7. ( )En el intervalo [0,2 ] la función ( ) cos 3 1 tiene exactamentef x xπ = +
________________________________________________________________________________ Si necesitas clases de apoyo para el parcial, final o libre podes llamar al 011-15-67625436
12. 3 2
0
La pendiente de la recta tangente al gráfico de ( ) 3x 2 3 en el punto de abscisa =1 es
4Si la derivada de es ( ) , entonces es decreciente en2
' xf f x fx−
=
( , 2) y en (2, )−∞ − +∞ ( ,0)−∞ ( 2, 2)− ( 2,0) y en (0, 2)−________________________________________________________________________________ 14.
3 23La función ( ) tienex xf x e +=
0 0Un máximo relativo en 2 y un mínimo relativo en 0x x= − =
0 0Un mínimo relativo en 2 y un máximo relativo en 0x x= − = No tiene extremos relativos
0 0Un máximo relativo en 2 y un máximo relativo en 0x x= − = ________________________________________________________________________________
15. Si ( ) sen( ) con , entonces 4 para2
''f x a x a f π⎛ ⎞= ∈ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
2 ó 2a a= = − 4a = − 4a = Ningún .a________________________________________________________________________________ 16. Si ( ) y (9) 10, entonces ( )'f x x f f x= = =
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CBC – Final de Matemátic
Cátedra Gutiérrez – Diciembre 2004 ___________________________________________________________________________ 1. es una función cuadrática cuyos ceros son -1 y 2, y tal que (1) 3. Entonces el
conjunto de negatividad de esf f
f=
( 1 ; 2)− ( ; 1) (2 ;−∞ − ∪ + ∞) )( ; 3−∞ ( ; 0)−∞ ___________________________________________________________________________ 2. S i ( ) verifica ( 3) 8, (3) 4, entoncesf x mx b f f= + − = = −
2 ; 2m b= = − 4 ; 8m b= = − 2 ; 2m b= − = 4 ; 20m b= − =___________________________________________________________________________ 3. S i ( ) ( 6)( 2) entonces es creciente enf x x x f= + −
12 4 12− 4−___________________________________________________________________________ 6. 1Si ( ) 1 ln(6 3 ) entonces ( )f x x f −= − + =x
11 23
xe − − 11 23
xe − − 1 6xe −− − ( 1 )/3 61 xe +−
___________________________________________________________________________ 7. { } :Si / 1 (2 ) entonces A x x a a+ ∞= ∈ + > − = =
3 3− 1 1−___________________________________________________________________________ 8. Un punto del eje que dista 5 de ( 2 ;3) esP = −x
( 6 ; 0)− (0 ; 6)− (6 ; 0) (0 ; 6)___________________________________________________________________________ 9. El conjunto de ceros de ( ) sen(2 ) 1 que pertenecen al intervalo [0 ; 2 ] esf x x π= +
8 y 12a b= − = 8 y 4a b= − = 8 y 12a b= = 8 y 12a b= = −
___________________________________________________________________________ 11. ( ) es creciente enxf x x e= −
; 0(−∞ ) ;(1 )+ ∞ ; 1( )−∞ ;(0 )+ ∞ ___________________________________________________________________________ 12. La pendiente de la recta tangente a ( ) sen(3 ) en es 18 para f x a x x aπ= = =
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2
13. 2Sea ( ) Entonces1
xf xx
= ⋅+
tiene un mínimo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1.f x x= − = tiene un máximo relativo en 1 y un máximo relativo en 1.f x x= − = tiene un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 1.f x x= − = tiene un máximo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1.f x x= − =
___________________________________________________________________________ 14. 2 2La derivada de es ( ) ( 4) , entonces crece en'f f x x x f= −
; 2 ; 2( ) y en (0 )−−∞ ;(0 )+ ∞ ; 2 ;( ) y en (2 )−−∞ + ∞ ; 0( )−∞
17 15 13 10___________________________________________________________________________ 19. 2Si ( ) y ( ) 2, entonces el área de la región comprendida entre el
gráfico de y el gráfico de está dada porf x x g x x