FILTROS ANALÓGICOS Conceitos básicos Filtragem => MODIFICAÇÃO do conteúdo espectral (componentes de freqüência) de um sinal Considerando os SLITs: espectro de saída = (resposta em freq. do SLIT)X (espectro de entrada) \______________________/ FILTRO Filtros: analógicos X digitais ativos passivos (2a. Parte do curso) amp-op RLC RC potência sinais
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FILTROSANALÓGICOS
Conceitos básicos
Filtragem => MODIFICAÇÃO do conteúdo espectral (componentes de freqüência) de um sinal
Considerando os SLITs:
espectro de saída = (resposta em freq. do SLIT)X (espectro de entrada)\______________________/
FILTRO
Filtros: analógicos X digitais
ativos passivos (2a. Parte do curso)
amp-op RLC
RC potência
sinais
OBJETIVO:
. “Dominar” o procedimento de projeto de filtros baseado em filtros protótipos;
. Ser capaz de especificar filtros analógicos (H(s), circuito elétrico) genéricos do tipo PB, PA, PF e RF, com características de Butterworth, Chebyshev, Bessel e Elípticos.
Tópicos a serem abordados:
. Filtros seletivos ideais;
. Filtros reais;
. Estudo de funções em “s”
- f. transf., efeitos de pólos e zeros, transf. em freqüência:
PB => PB, PA, PF e RF
. Funções “especiais” em “s”:
- Butterworth
- Chebyshev
- Elípticas
Tópicos a serem abordados: (cont.)
. Projeto de filtros ativos baseado em filtros protótipos:
- procedimento geral para projeto de filtros ativos
- protótipo de Butterworth;
- protótipo de Chebyshev;
- protótipo elíptico
- transformação em freqüência;
- implementação de filtros ativos usando AmpOP
. Projeto de filtros passivos:
- “circuitos” protótipo
- transformação de “função” e escala
- protótipo de Butterworth e protótipo de Chebyshev;
Filtros seletivos ideais:
• Não causa distorção do sinal na banda de
passagem
• Elimina completamente o conteúdo espectral na
banda de corte
• H(jω) é real (positivo) puro,
• imag(H(jω)) = 0, p/ qq ω
• fase(H(jω)) = 0 na banda de passagem
Passa-baixas e passa-faixa
Filtros no domínio do tempo discreto
Análise de filtros ideais no domínio do tempo
• “Pulso” quadrado no domínio da
freqüência=> “Sinc” no domínio do tempo
• Qual a resposta ao degrau
de um filtro ideal ?
• Integral da resposta ao impulso = resposta
ao degrau => oscilações e “overshoot”
Filtros ideais (domínio do tempo)
Filtros ideais são realizáveis ?
• Resposta ao impulso ≠ 0 , -∞ ≤ t ≤ +∞
• � sistema não causal !
• E se acrescentarmos “fase linear”?
� deslocamento no domínio do tempo
• Qual a duração de h(t) ?
Filtros reais
• Possíveis de serem “realizados”
• Controle da resposta ao impulso (ao degrau)
� minimização de oscilações e “overshoot”
• Custo � “flexibilização” da curva de
resposta em freqüência
Filtros reais – resposta em freqüência
Passa-baixas não ideal
Filtros passivos de 1a. ordem (RC)passa-altas? passa-baixas?
Filtros/sistemas de 2a. ordem
Estudo de funções em “s”
Funções racionais em “s”
Influência de pólos e zeros na resposta em freqüência de H(jw)
Analisaremos dois casos:
Podemos obter H2(s) a partir de H1(s) ?
Transformações em freqüência:
Transformações em freqüência
Exemplos no Matlab
Exemplos de transformações em freq. no Matlab.
» w = (0:0.01:20);
» s = j*w; » hpb = 1./(s + 1);
»
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
freq. w (rd/s)
| hpb(jw
) |
Filtro passa-baixa c/ freq. corte = 1 rd/s
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
PASSA-BAIXAS -> PASSA-ALTAS: S = ωc/s
» S = 5./s;
» hpa = 1./(S + 1);
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
freq. w (rd/s)
| hp
a(jw
) |
Filtro passa-alta c/ freq. corte = 5 rd/s
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
PASSA-BAIXAS -> PASSA-FAIXA: S = (s2 + ωo2)/sB
» S = (s.^2 + 100)./(2*s);
» hpf = 1./(S + 1);
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
freq. w (rd/s)
| hpf(
jw)
|
Filtro passa-faixa c/ freq. central = 10 rd/s e B = 2 rd/s
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
PASSA-BAIXAS -> REJEITA-FAIXA: S = sB/(s2 + ωo2)
» S = (6*s)./(s.^2 + 100);
» hrf = 1./(S + 1);
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
freq. w (rd/s)
| hrf
(jw
) |
Filtro rejeita-faixa c/ freq. central = 10 rd/s e B = 6 rd/s
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
sigma - Re[s]
jw -
Im
[s]
Posicao de polos e zeros no Plano "s"
Funções especiais em “s”:
• Características especiais de resposta em freqüência
• Adequadas ao projeto de filtros
• Tipos principais:
– Butterworth
– Chebyshev
– Elípticos
– Bessel
Filtros Butterworth – passa-baixas
• Resposta em freqüência maximamente
plana na banda de passagem
• Ganho monotônico nas bandas de passagem
e de corte
• Ganho = 1 em ω = 0
• Função de ganho ao quadrado:
|H(ω)|2 = 1/[1 + (ω / ωc)2N)]
Aumentando N � banda de transição mais acentuada
Como obter H(s) tal que a função de magnitude ao quadrado tenha as características de Butterworth?
• p/ s = jω, |Hc(ω)|2 = H(s)H(-s)
• H(s)H(-s)= 1 / [1 + (s / jωc)2N)]
• [1 + (s / jωc)2N)] � equação de um círculo
no plano “s”
• � existem 2N pólos igualmente espaçados
em ângulo no círculo de raio ωc no plano
“s”
Para N = 3, os pólos estão espaçados de 60o
• Os pólos possuem posição simétrica em relação ao eixo imaginário e nenhum pólo aparece sobre o eixo imaginário
• Os pólos da função quadrática sempre aparecem aos pares: sk e - sk
• Para se obter H(s) escolhe-se um pólo de cada par. Filtro estável � pólos no semi-plano esquerdo
Parâmetro característico dos filtros Butterworth � ordem N
Parâmetro característico dos filtros Butterworth � ordem N
Filtros Chebyshev – passa-baixas
• Qual o problema com os filtros de Butterworth?
� banda de passagem com “variação” de ganho
elevada, “baixa” atenuação na banda de corte
• Abrindo mão da monotonicidade na banda de
passagem � filtros de Chebyshev �
comportamento “equiripple” ao invés de
monotônico
• Em geral dá origem a filtros de menor ordem para
a mesma especificação
Filtros Chebyshev – passa-baixas
Filtros Chebyshev – passa-baixas – tipo I
• Função de ganho ao quadrado:|Hc(ω)|2 = 1/[1 + ε2 V
N2(ω / ωc)]
• VN(x) � polinômio de Chebyshev de ordem N
definido porV
N(x)=cos(Ncos-1(x))
• VN
2(x) varia entre 0 e 1 para 0 < x < 1. Para x > 1, cos-1(x) é imaginário e V