Filtrage numérique

Filtrage numériqueC.A.N

Echantillonnage (critère de Nyquist-Shannon)Quantification

Traitement numériqueFiltrage numérique passe-bas

• simulation PB1 analogique• Moyenne glissante• Filtre en sinus cardinal

C.N.ARestitution analogique (reconstruction)

Principe du traitement numérique

EchantillonnageExpérience de STROBOSCOPIE

fe0 ≈18. frot

ou fek ≈frot

k + 118

avec k entier positif ou nul !

Un cas particulier :

fe0= frot (ou bien fek =

frotk

)⇒ impression d'immobilité (perte d'information totale sur l'évolution temporelle)

Une différence fondamentale entre cette expérience et notre problématique :

Il y a ici véritablement un sens de rotation du disque (que l’on peut chercher à déterminer ou pas à partir des images échantillonnées) mais de notre côté nous travaillons sur un signal pouvant contenir des évolutions sinusoïdales. L’objet analogue d’étude dans cette expérience stroboscopique serait par exemple la projection du secteur-rayon sur un diamètre : le sens de rotation est donc totalement indéterminable c-a-d que la fréquence est indistinctement positive ou négative.

Echantillonnagefréquences compatibles avec l’observation échantillonnée

Mouvement à fréquence positive(convention du sens des aiguilles)

Changement de signe : fréquence négative

Exemple A de : fe1 =frot34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 43. frot

L’œil pourra interprèter ce mouvement comme rétrograde de fréquence :

frot =− fe04

⇔ fe0 =frot0 − 1

4

≠ frot1− 14

= fe1 =43. frot

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Exemple B de : fe1 =frot910

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 109. frot

Fréquence négative équivalente :

fe0 = −10. frot = frot0 − 110

≠ frot1− 110

= fe1 =109. frot

Echantillonnage

Expérience de STROBOSCOPIE

On remarque dans les deux exemples précédents la relation généralisable :

Exemple A: frot = − fe4

ou frot =3 fe4

= fe −fe4

ou frot = 2. fe −fe4= 7 fe

4ou frot = 3 fe −

fe4

....

Généralisation : si une fréquence de rotation (liée à la fréquence d’échantillonnage

effective ) convient (compatible avec l’observation) alors toutes les fréquences de

rotation égales à celle-ci modulo la fréquence d’échantillonnage conviennent également.

Nous avons signalé par ailleurs qu’une fonction sinusoïdale du temps ne correspond pas à l’observation d’un rayon sur un disque tournant mais à la valeur de sa projection sur un axe vertical par exemple ! Que pensez-vous alors des valeurs

successives de la fonction pour deux fréquences de rotation égales en valeur absolue

et opposées ?

On en déduit un spectre en fréquence symétrique autour de l’axe de fréquence nulle de

périodicité fréquentielle fe et comptant deux fréquences « de rotation » candidates

dans l’intervalle [0,fe] :

frot et fe − frot


Restons un instant sur le cas d’un signal sinusoïdal (ne contenant donc réellement qu’une fréquence f0), le spectre attendu par un échantillonnage à la fréquence feest de la forme suivante :

fef1 f2

Mais laquelle des deux fréquences correspond à f0 ?

Dans les deux exemples stroboscopiques A et B précédents, on connaissait les valeurs imposées (qui étaient comprises entre fe/2 et fe) : frotA =

34fe et frotB =

910

fe

La vraie fréquence était donc f2=frot=f0 tandis que f1=fe-f2=fe-f0

Comment déterminer expérimentalement la « vraie » fréquence en supposant frotvariable et réglable ?


Exemple d’une fréquence d’échantillonnage légèrement supérieure à la fréquence d’une sinusoïde

Si on souhaite récupérer le spectre des fréquences réelles par filtrage passe-bas, il faut ABSOLUMENT que les « vraies » fréquences soient comprises entre !0 et fe

2

En proposant une fréquence d’échantillonnage supérieure à deux fois la fréquence maximale présente dans le spectre du signal que l’on souhaite numériser, on évitera cette interprétation erronée du signal !

. 230 1 2-1

fréquence1 s

Ce type de situation est arrivée au TP FFT lorsque certains binômes ont proposé d’échantillonner à 1024 Sa/s un signal triangulaire de fondamental 1kHz. Mettez le en évidence avec REGRESSI ou LATISPRO en simulation.

EchantillonnageCondition de Nyquist-Shannon

Si on appelle fmax la fréquence la plus élevée du spectre d’un signal, on choisira une fréquence d’échantillonnage fe au moins égale au double de fmax pour pouvoir ensuite récupérer le signal par simple filtrage passe-bas de fréquence de coupure avoisinant la fréquence de Nyquist soit fe/2

Remarques :

• Un signal périodique contient un fondamental et une infinité d’harmoniques de fréquences multiples. Il n’existe donc pas de fréquence max et cette limitation du nombre d’harmoniques entraîne nécessairement une perte d’ informations liées aux fréquences filtrées. (en particulier au niveau des discontinuités (phénomène de Gibbs pour un signal créneau))

• En téléphonie, l’échantillonnage se fait à 8 kHz alors que l’échantillonnage des fichiers musicaux se fait couramment à 44,1 kHz

• On appelle zone de transition l’intervalle [fmax,, fe-fmax]. Plus cette zone est étroite plus le filtre passe-bas anti-repliement doit avoir un ordre élevé.

• Augmenter la fréquence d’échantillonnage sans modifier le nombre de points total à traiter induit une diminution de la fenêtre temporelle et donc une augmentation de l’incrément fréquentiel : moins de précision sur le spectre.

• Augmenter la fréquence d’échantillonnage sans modifier la fenêtre temporelle, augmente le nombre de points à traiter par les calculateurs et donc la durée de traitement du signal.

EchantillonnageAllure de la FFT d’un signal échantillonné :

repliement de spectre (aliasing)Représentations symboliques

Y(w)

w

L�augmentation de la fréquence d�échantillonnage va supprimerce chevauchement des répliques et permettre la reconstructiondu signal à temps continu

Y(w)

w

wech

wech

EchantillonnageAnalyse de FFT

Signal analogique sinusoïdal faiblement suréchantillonné

EchantillonnageAnalyse de FFT

Signal analogique créneau faiblement suréchantillonné

EchantillonnageEchantillonnage d’un oscilloscope numérique

Envoyer le signal analogique créneau d’un GBF sur l’entrée d’un Oscillo HP et observer sa FFT

- Peut-on choisir le nombre de points ?

- Proposez leur dénombrement

- Une modification du calibre temporel modifie-t-elle le nombre de points ?

- Où pouvez-vous lire la fréquence d’échantillonnage ?

- La fenêtre de fréquence se limite-t-elle à la fréquence d’échantillonnage ?

- Faites apparaître un repliement de spectre.

- Lorsque vous zoomez sur la FFT, améliorez vous la résolution en fréquence ?

Conversion Analogique NumériqueEchantillonnage et quantification

L’échantillonnage consiste à prendre périodiquement (tous les Te) une mesure du signal analogique. Cette opération est réalisée par un interrupteur commandé appelé échantillonneur. La plupart du temps il s’agit d’un échantillonneur bloqueur : le signal a gardé la valeur de t à t+Te.

La quantification affecte une valeur numérique approchée à chaque échantillon prélevé, parmi un nombre limité de valeurs possibles, puis cette valeur est convertie en binaire. Il peut s’agir par exemple d’un CAN à rampe (intégration de la valeur de tension prélevée et estimation binaire du temps de montée de la rampe à une valeur de référence) ou d’un CAN Flash (parallèle) qui compare la valeur à 2N-1 tensions de référence obtenues par pont diviseur de tension contenant 2N résistances.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

Théorique : Multiplication par des Dirac

Echantillonneur-bloqueur

Conversion Analogique NumériqueEchantillonnage et quantification

On appelle quantum ou « pas de quantification » l’écart

minimal entre deux valeurs. On appelle dynamique la

plage de tension totale en sortie du convertisseur en V. La

valeur constante du quantum (dans le cas d’une loi

linéaire) correspond à avec p le nombre de bits.(en effet un CAN 8 bits par exemple code 256 valeurs différentes soit

de 0 à 255 : 255 = 28-1 intervalles)

q = Δs2 p −1

Expérimentation non guidée :

Sur combien de bits semble être codé le signal de tension sur le CAN d’entrée d’un oscillo HP ?

CAN-CNA avec le SYSAMSP5 Eurosmart


FPGA (field-programmable gate array, réseau de portes « programmables » in situ)(reconfigurable car il ne s’agit pas d’un microprocesseur (pas d’exécution de code))


1LSB = 1 quantum


• Dans un premier temps, on compare sur l’oscillo HP le signal analogique délivré par

le GBF (sinusoïdal 5V,1kHz) sur l’entrée EA0 et le signal analogique de sortie SA1

ayant subit la CNA. Quel est le quantum d’un CAN 12 bits sur une échelle ±10V ?

Pouvez-vous le confirmer ?

• Observer ensuite le signal numérisé de EA0 sous LatisPro. Avec LatisPro, vous

pouvez alors reconfigurer la période d’échantillonnage Te et le nombre N de points

de calcul (ce qui fixe nécessairement la durée d’acquisition N.Te). Utiliser les valeurs

du tableur pour confirmer la cohérence.

Traitement numériqueavec le SYSAMSP5 Eurosmart

Filtrage passe-bas numérique avec LatisproVous allez travailler sur l’acquisition d’un EA0 numérisé sur 2000 points avec 20µs de période d’échantillonnage. Dans un premier temps, il s’agit d’un signal sinusoïdal de fréquence 1kHz et d’amplitude 5V.Dans la feuille de calcul Latispro, entrez les lignes de commande suivantes. (vous préciserez la signification de chaque commande et la méthode de discrétisation utilisée pour l’équation différentielle) Lignes'de'commande'

Te=2e–5'

Fe=1/Te'

Fc=1592'

tau=1/(2*PI*Fc)'

R=(tau/Te)/(1+'tau/Te)'

A=1/(1+'tau/Te)'

S=Table()'

S=R*S[n–1]+A*EA0[n]''


Filtrage passe-bas numérique avec LatisPro• Visualiser le signal filtré en SA1 (superposé à la courbe de EA0). Zoomer, commenter.• Réaliser les FFT sous LatisPro de EA0 et SA1• Modifier la fréquence d’échantillonnage (Te=2µs et Te=200µs). Commenter.• Réaliser une seconde acquisition avec un signal créneau (même amplitude et même fréquence,

sans composante continue puis avec 1V d’offset)• Modifier alors les valeurs de fréquence de coupure du Pbas 1er ordre numérique simulé :

fc=159,2 Hz ; fc=15915 Hz• Envoyer un signal créneau de fréquence 49 kHz et d’amplitude 5V (sans composante continue).

Observer sa FFT avant et après filtrage (comparer au signal de 1kHz)• Que se passerait-il si on réalisait numériquement un filtrage total (annulation des amplitudes

de Fourier) pour toutes les fréquences au-delà de fe/2 ?

• Si vous êtes en avance sur les autres binômes de TP, • Modifier la feuille de calcul précédente pour obtenir :

• La réponse indicielle du filtre• La réponse libre du filtre

• Réaliser un filtrage passe-bande numérique d’ordre 2 de fréquence caractéristique 3kHz et de facteur de qualité Q=10 et commenter les effets de la fréquence d’échantillonnage et du nombre de points de calcul sur un créneau de 1kHz filtré.


Il existe une interface pour les CAN de la SysamSP5 programmée en Python 3.6 et disponible sur le site de son concepteur (http://www.f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html)Si vous souhaitez l’utiliser sur un PC ou Mac pour des TIPE par exemple, vous pourrez ainsi faire l’acquisition du signal échantillonné-fenêtré dans votre programme Python.

Compte-tenu de la difficulté à installer des scripts par nous-même sur les postes informatiques nous ne l’utiliserons pas et nous devrons donc exporter les fichiers de signaux échantillonnés par la SYSAM sous LatisPro. (Donnez leur un nom très explicite !)

Nous pourrons ensuite programmer des codes de filtrages « numériques » divers sur ces signaux réels numériques.

LatisPro exporte des fichiers texte (.txt) avec plusieurs choix pour les symboles séparateurs et virgule mathématique. Les données numériques des instants t et des amplitudes de tension EA0 associées sont présentées sous deux colonnes à en-tête : t0 et EA0Ainsi le traitement de ce fichiers de données nécessitera un effacement automatique d’en-tête et une extraction sous forme d’objets tableaux python.

Une feuille explicative vous a été distribuée proposant les lignes de code à cet effet.

Récupération du signal EA0 numérisé sous Python

Traitement numérique

avec le SYSAMSP5 EurosmartFiltrage passe-bas numérique avec Python

On cherche alors à créer une fonction nommée traceSignauxfiltrePB1(nom,tau) qui

applique une filtre numérique passe-bas du premier ordre et présente les graphes des

deux signaux temporels avant et après filtrage numérique.

On notera te la période d’échantillonnage (récupérée de la liste des t0)

On note tau le temps caractéristique du filtre appliqué

On définit un temps caractéristique relatif taur

On utilise les mêmes notation R et A que ceux utilisés dans LatisPro

On crée ensuite la fonction traceSpectresfiltrePB1(nom,tau) à partir de la précédente en

ajoutant les FFT d’entrée et FFT du signal filtré numériquement dans une seule fenêtre

graphique contenant les 4 courbes.

Si vous êtes en avance sur les autres binômes de TP, vous pouvez proposer un code pour

simuler un filtre passe-bande numérique de fréquence de résonance et de facteur de

qualité modifiable pour l’appliquer aux signaux exportés de votre choix.


Filtrage passe-bas numérique avec PythonUne méthode basique de filtrage : la moyenne glissante sur n termes successifs

Si le but est de filtrer les variations rapides d’un signal, on peut faire beaucoup plus simple sans chercher à « copier » les filtres analogiques !

Faites l’acquisition d’un signal très « bruité » et modifier votre programme python précédent pour réaliser un filtrage par moyenne glissante des n dernières valeurs du signal d’entrée traceSpectresfiltremoyenne(nom,n)L’appliquer également pour filtrer des acquisitions numériques de signaux créneau ou triangulaire (présentant un offset de préférence)

Zoomez la FFT générée par matplotlib sous python autour de la fréquence du fondamental du créneau. (La fréquence d’échantillonnage lui restant très supérieure.)A quelle courbe mathématique cette FFT vous fait-elle penser ?Que pensez-vous de la sélectivité de ce filtre moyenneur ?Observez le rôle du nombre n d’échantillons moyennés sur la pseudo périodicité de cette courbe.

(Un exercice utilisant ce type de filtre pour la réjection de mode commun sera traité en TD)


Filtrage passe-bas numérique avec PythonUne méthode basique de filtrage : la moyenne glissante sur n termes successifs

Signal créneau réel 0-2V,5 kHz (1V de continu) échantillonné à 50 kHz

n=20 n=10

FFT (avec son repliement) Zoom au pied du pic des 5 kHz


Filtrage passe-bas numérique avec PythonUne méthode radicale appliquée à la FFT avant de reconstituer le signal

Le filtre précédent est donc très peu sélectif. Or nous pouvons a priori réaliser numériquement un filtre à bande infiniment rejetée si on annule toutes les

amplitudes de la FFT d’un signal au delà d’une fréquence de coupure choisie !

Rappelons-nous tout de même que le but final est de sortir un signal analogique, que le « spectre » de la FFT ne nous montre que les amplitudes (et non les phases) et que le décalage temporel subi par les différentes composantes du signal temporel (s’il est non nul par le filtre) devra être constant. (Cette dernière condition correspond à un déphasage fonction linéaire décroissante de la fréquence (justifiez!)).

Bref, on cherche un filtre dont les diagrammes de Bode du gain et du déphasage ont l’allure suivante :

fc

G0

f ffc

ϕ



Ce filtre existe théoriquement : c’est le filtre passe-bas en sinus cardinal !Rappelez-vous ce qui a été montré en fin de chapitre Ec-1 :

Lorsque l’on travaille dans le domaine de Laplace (ou de Fourier), le produit de la transformée de l’entrée par la fonction de transfert du filtre donne la transformée de la sortie. Le retour dans le domaine temporel continu se fait par la transformée inverse.



On a montré alors que cette fonction h(t) transformée inverse de H(p) était en fait la réponse impulsionnelle du filtre (c’est-à-dire sa réponse temporelle à un Dirac).On pouvait du coup procéder à l’obtention d’un signal de tension temporel de sortie par une opération réalisée directement et exclusivement dans le domaine temporel : le produit de convolution de l’entrée temporelle e(t) par h(t) la réponse impulsionnelle.

Pour montrer qu’une version même discrétisée et tronquée de h(t) en sinus cardinal conduit bien aux diagrammes de Bode escomptés , vous ouvrez le programme python RIF.py et, après avoir lu et interprété succintement les différentes étapes, vous tapez la commande filtrageNum(nom,P,h).

Le nom est bien entendu le chemin du fichier texte que vous allez filtrer, laissez P, h sous la forme P,h puisque cesarguments sont en vérité définis dans le programme RIF : P=150 et h un sinus cardinal discret et tronqué (2P+1 termessymétriques).



Vous obtenez une kyrielle de graphes tracés et numérotés successivement :

• Figure 1 : la réponse impulsionnelle finie du sinus cardinal discrétisé et tronqué• Figure 2 et 3 les diagrammes de Bode du gain et de la phase de ce filtre. Quelle est la

fréquence de coupure ?



On a ensuite « fenêtré » la réponse impulsionnelle par une fenêtre de Hamming plutôt qu’une fenêtre rectangulaire.

• Figure 4 : Nouvelle courbe de gain linéaire. Qu’évite-t-on ? La coupure est-elle plus franche ?• Figure 5 : Gain logarithmique en dB avec échelle logarithmique des fréquences



La figure 6 donne alors l’allure de signaux créneau de fréquences fondamentales 500 Hz, 800 Hz et 100 Hz filtrés : c’est l’opération de convolution de h avec le signal numérisé u0 extrait de la CAN du SysamSP5 (nécessité de scipy.signal) : u2 = scipy.signal.convolve(u0,h,mode='valid')

Résultat du filtrage passe-bas (de coupure 1kHz) pour un fondamental à 500 Hz(contenait du 0 Hz (continu),500 Hz, 1500 Hz, 2500 Hz etc.)


Filtrage passe-bas numérique avec PythonRésultat du filtrage passe-bas (de coupure 1kHz) pour un fondamental à 800 Hz

(contenait du 0 Hz (continu),800 Hz, 2400 Hz, 4000 Hz etc.)

Traitement numérique

avec le SYSAMSP5 EurosmartFiltrage passe-bas numérique avec Python

Résultat du filtrage passe-bas (de coupure 1kHz) pour un fondamental à 100 Hz

(contenait du 0 Hz (continu),100 Hz, 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 900 Hz, 1100 Hz etc.)


Filtrage numérique par convolutionNous venons de voir que le filtrage numérique se faisait directement par une opération de convolution : ce n’est possible que pour les filtres RIF (à Réponse Impulsionnelle Finie) et on a donc dû tronquer le sinus cardinal.

Mais n’a-t-on pas fait la même chose avec notre filtre « moyenneur » ? Faire une moyenne glissante sur 10 valeurs consiste à multiplier les 10 valeurs précédent l’instant par un facteur 1/10 et toutes les autres par 0. Cette moyenne « glissante » illustre parfaitement l’opération de glissement de la convolution. A l’instant 10, pour calculer la première valeur de la sortie filtrée les valeurs de h sont 1

10, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110,0,0,0,0,0,0...,0⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

Le nombre d’opérations est réduit ici à 10 multiplications par une constante et 9 sommes pour obtenir chaque valeur par convolution. Dans le cas de la réponse impulsionnelle à sinus cardinal tronqué, il y a 2P+1 termes dans la liste et plus P est important plus la coupure du filtre est franche mais les calculs sont d’autant plus longs.

A l’instant suivant : 0, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110,0,0,0,0,0,0...,0⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭ etc.


Filtrage numérique par convolution

Aujourd’hui, des processeurs de signaux (DSP : Digital Signal Processor) sont capables decalculer de des convolutions à des cadences d’horloge de plusieurs mégahertz voire gigahertzpour les dernières générations.On peut donc se permettre des indices de troncature (P) très élevés.

Leur souplesse de réglage est inégalable par les filtres analogiques : cela prendquelques microsecondes pour recalculer la réponse impulsionnelle correspondant à unemodification de la fréquence de coupure.

Il reste des situations où les filtres analogiques sont irremplaçables : en particulier àl’interface entre les circuits analogiques et numériques :filtre anti-repliement à l’entrée d’un CAN et de reconstruction à la sortie d’un CNA.

Reconstruction d’un signal analogique

Montages de principe de CNA :

Vous disposez d’un premier montage à résistances pondérées dans lequel la fermeture (ou

l’ouverture) des interrupteurs « mécaniques » est censé être commandée par les états 0 ou 1

des valeurs binaires stockées sur 4 bits à la sortie. Comme cela été démontré dans le

chapitre Ec-2 (exemple de sommateur), rappelez la correspondance entre les 16 codes et les

valeurs que prend la tension de sortie pour un couple de valeurs (E,R’/R).

Reconstruction d’un signal analogiqueMontages de principe de CNA :

Vous disposez d’un second montage dont vous donnerez également la relation entre le code numérique sur 4 bits d’entrée et la valeur de tension en entrée et les valeurs possibles de tension en sortie.(la justification théorique n’est pas demandée !)

Reconstruction d’un signal analogiqueFiltre de lissage : filtre anti-image

Un filtre de reconstruction passe-bas réalisant un lissage est absolument nécessaire.L’échantillonneur-bloqueur du CNA maintient la dernière valeur lue tant qu’il n’a pas pris la valeur suivante. Visualisez par exemple le signal de sortie SA1 du SYSAM à l’oscilloscope en envoyant une sinusoïde en entrée et en jouant sur la fréquence d’échantillonnage.Vous utiliserez LatisPro avec le « traitement numérique » SA1=EA0 dans la feuille de calcul) ! Vous faites une acquisition de EA0 à des périodes d’échantillonnage de Te=10µs, 30µs, 300µs, 500 µs. SA1 est émis par LatisPro et vous visualisez les signaux sur l’oscillo HP grâce au mode single pendant la (courte) réémission.

Reconstruction d’un signal analogiqueFiltre de lissage : filtre anti-image

Un filtre passe-bas doit éliminer les fréquences supérieures à fe/2 (anti-image) c’est-à-dire les composantes propres au signal discret. C’est donc cette fréquence que l’on choisit comme fréquence de coupure et on réalise a priori un filtre analogique passe-bas (au moins du second ordre (Sallen key possible)).

Premier ordre

Second ordre

Reconstruction d’un signal analogiqueAmélioration possible pour la reconstruction

Pour les faibles fréquencesd’échantillonnage, on peutaméliorer le signal analogiquereconstruit en précédant le lissageet même la CNA par un filtrenumérique d’interpolation.Celui-ci permet d’augmenter lafréquence d’échantillonnageinitiale. (Elle est utilisée dans laCNA des lecteurs CD audio parexemple)

Filtrage numérique

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