Top Banner
kdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup :14 Vljqdo prghov djdlq Uhfdoo wkdw lq kdswhu 5 zh glvfxvvhg ydulrxv vljqdo prghov/ erwk frqwlqxrxv dqg glvfuhwh1 Zdyhohw wkhru| fdq eh dssurdfkhg iurp erwk wkh frqwlqxrxv srlqw ri ylhz dqg wkh glvfuhwh srlqw ri ylhz1 Wkh frqwlqxrxv prgho lv vrph zkdw gdxqwlqj dqg grhv qrw doorz rqh wr jhw wr wkh frpsxwdwlrqdo dssolfdwlrqv yhu| txlfno|1 Wkxv zh zloo ghyhors wkh zdyhohw phwkrgv glvfuhwh vljqdo prghov rqo|1 Wkh glvfuhwh prgho lv ehvw dssurdfkhg wkurxjk wkh phfkdqlvp ri d owhu edqn1 D owhu edqn jlyhv ulvh wr d glvfuhwh zdyhohw wudqvirup E(`A vlplodu wr wkh glvfuhwh Irxulhu wudqvirup1 Wkh glvfuhwh zdyhohwv dsshdu dv sxuh zdyhirupv dvvrfldwhg wkh (`A mxvw dv wkh h{sr0 qhqwldo sxuh zdyh irup durvh iurp wkh urzv ri wkh Irxulhu wudqvirup pdwul{1 Wkhuh duh wzr dyrxuv ri wkh (`A ghshqglqj rq zkhwkhu rq lv xvlqj qlwh glvfuhwh vlj0 qdov ru lqqlwh glvfuhwh vljqdov1 Ehiruh surfhhglqj zlwk wkh edvlf lghdv ri owhu edqnv ohw xv djdlq uhylhz wkh wzr vljqdo prghov/ wkhlu frqyroxwlrqv dqg wkhlu wudqvirupv1 Lw wxuqv rxw wkdw wkh el0lqqlwh prgho E] lv wkh uhohydqw prgho1 Qrwdwlrq W|sh E] glvfuhwh/ lqqlwh grpdlq E]* ] glvfuhwh/ shulrg +qlwh vdpsoh, dqg wkh vlwxdwlrqv zkhuh wkh| duh xvhg= Qrwdwlrq Xvh E] frpsxwdwlrq/ gdwd vwuhdp surfhvvlqj/ uhdo wlph vdpsohg prghov E]* ] frpsxwdwlrq/ exhuhg surfhvvlqj/ lpdjhv +urzv dqg froxpqv, Iru hdfk prgho wkhuh lv d Irxulhu wudqvirup/ frqyroxwlrq dqg d zdyhohw wudqvirup1 Qrwdwlrq Irxulhu W|sh Wudqvirup rqyroxwlrq u E] 5 0wudqvirup sro|qrpldo frqyroxwlrq/ l1h1/ frqy/frqy5 u E]* ] GIW flufxodu frqyroxwlrq Qrwdwlrq Zdyhohw wudqvirup u E] glvfuhwh zdyhohw wudqvirup E(`A ,/ u E]* ] (`A 4L_
23

Filter Banks and DWT

Dec 10, 2015

Download

Documents

mohsen mohsen

Filter Banks
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Filter Banks and DWT

������� ����� �� �� � � ��� ������� ���������� �����

��� �� �� ������ ���

������ ���� � ������ �� ��������� ������� ����� ������� ���� �������� ����������� ������� ������ �� �� ���������� ���� ���� ��� �������� ���� �� ������ ��� �������� ���� �� ����� ��� �������� ����� �� ���� ���� ������ ������ �� ����� �� �� ��� �� ��� ������������ ����������� ���� �������� ���� ������ ������� ��� ������� ������� �������� ����� ������ ���� ��� �������� ����� ������ ���������� ������� ��� �������� �� � ����� ���� ����� ��� ����� ���� ��� �������� ������� �������� ���� � ������� �� ��� �������� !������ ��������� ���"�������� ��������# ������ �� ���� ��������� ���������� ��� ��� $��� �� ��� �%��&����� ���� ���� ���� ����� ���� ��� ���� �� ��� !������ �������� �����%� �������� ��� '������ �� ��� ��� ������� � ������� � �� ���� ���� �������� ���&��� �� ����� �������� ������� (����� ��������� ���� ��� ����� ����� �� ����� ������� �� ���� ������ ��� ��� ����� ������� ����� ���������� �� ����� ���������� )����� ��� ���� ��� ��&����� ����� �2��� �� ��� ������� ������

*������ �����2��� ��������� ����� ������2������ ��������� ������ � +���� ������,

�� ��� ��������� ����� ���� ��� ����-

*������ .���2��� ����������� "���� ������ ���������#� ���� ���� ������� �������2������ ����������� "��/���� ���������#� ������ +���� �� ������,

!�� ���� ����� ����� �� � !������ ��������� ��������� �� � ������� ���������

*������ !������ ���� �������� ���������2��� �&�������� "���������# ���������� ����� ������� �2������ 0!� �������� ���������

*������ ������� ���������2��� �������� ������� �������� ���� ,��2������ ��� ����

Page 2: Filter Banks and DWT

:15 Wkh rqh vwdjh �owhu edqn/ dqdo|vlv dqg v|qwkhvlv 456

�� ���� ��������� � ��� �������� ������� �������� ������ ������ �� ���� ���&����� �� ���� ������� �� ��� ��� ��/���� ������ � ��� ����� ������ 1����� ����������� ������� ��� ����� ��� ��� �� ��� 2.) ������� ��� ����� � ��� �����������

�2��� ����� ������� �2������ ������� �� ��3� ������ �������� +3��� ��� �� ��������, ���� �������"�4���� ������# ����������� �������������� ����� ��� ��������� � ��������� �� ����� ������ �� ���� ������ ����������� "��/����# ��������������� ����� ��� ����� ����� �� ��� ����������� �������� ���� ������������ ���� ��� ���� �������� ������������� ��� � ����� ���� ������� ������ � �������� ������� ���� ��3� ������ ���� ��3� �������

��� ��� � � ����� ����� �� �� � ����� � � �� �����

5� �� ��� ��� �������� �� ��� !������ �������� �� ���� �� ������� �� �� ��������� ������ ��� ��������� ���������� �� ��� ���� ���� ��� ����� �� �������� �� ������ ��� ����� ��� ������ ���� ������ ���� �������� �� �������� ��� ����� ���������� �������� ����� ��� ���� ���� �� �� �������� ��� ���� �� ��� �����������) � �������� ������� �� ��������� ��� ����� �� ��� ���� �� ���� ���� ������ ������� ������������ �� �������� ���������� *�� ���� � ���� �� ��� ���� �� �������� ������� � �� �� �� ���� � ������������ �� � ����� ��� � ������� ���������� ��������� ��� ��������� ����� �������� ��� ��� ���� ����� ��� �������� ������� �� ������ ��� ����� �����

6�� �� ���������� ���� ���� � ������� �%������ !�� ��� ��� ���� �� ���� ���� �������� ���� ���� ��� �������� ��� ���� �������� �� ��� ���� ��/������-

���� ��

���� �

���� � � ����������

��� ��

��� �

��

��� � � ����������

!�� � ������ � �� ��� ��� ��� ���� � � � �� ���� ���� �� ������� ����� �� ���%������� ��� ��� ������ �� � �� �� ���-

����� � � ����� ����� ��� � ��

����

����� � ����� ��������� � ��

����

����� � �� � ��� ��� ����������� ��������� �������� +��� ��� � ������ �� ������� ������ � � � � �� ��� ���� ������,� �� ���� � � � ��� ������ �����%������

Page 3: Filter Banks and DWT

457 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

�� � �� �� ��� ���� ��������� ������� �� �� 6��7� ���������� ���� ���� � ����������%������ ) ��� ����� ������ ��� ����� � ��� ����� ��� �� ���� ��-

���� � �� ���

��� ���� ����

���

��� ����o

����� � �� ���� �������� ����������� ������ &8 �� 8� ����� �� ������ �� ���� ���� �������� �� �� ����� ��� � � � � � � � ���� ������ ��� ����� ��� �������� ��� ���� �� ���� ���� ���������

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2original signal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2smooth aproximation and high level details

!��� 9�8 6�� ����� ���� ���� ������������

�� ����3� ��� ����� ��� ������ �������� ���� ���� � � � �� ���� ������� ��� ���������� �� ���� �%������ �� ���

� �

�����������

�f���2���e�D�S�.

�����������

Page 4: Filter Banks and DWT

:15 Wkh rqh vwdjh �owhu edqn/ dqdo|vlv dqg v|qwkhvlv 458

�� ���

� �� � �� ��

�����������

�f �.�f ���� �2�2 ���� �e�e �D�D �S�S �.

����������� �� � �� �

�����������

�f � �.�� � �f�2 � ���� � �2�e � ���D � �e�S � �D�. � �S

������������

!��� ��� ������� �� �� ���� �� ��� ���� �� �� ���������� � ���� � �� �� �� �

� � � �� ��

��� ��� ������� ���� ��� ����� ������� �� ���� �� ���� ������� ����� �� ���� ������ �� ������� ����� :������� ��� � �� ���� �� �� �������� ���� �� ��� ����������� �� ����� �� ���� �� ������� ��� ������� ����� )� �� ����� ���� ����� ������������ �� �� �� �� �� ��� ��� �������-

�� � � �� ��

�����f �.�2 ���e ���S �D

����

�� � � �� ��

�����f � �.�2 � ���e � ���S � �D

���� �

��� ������ � ����� ��� � �������� ����� �� �� ��������-

�� �� ��� 6�� � �� ���� ��� ��� ���������� �������� � � �� � ��2

��

� � ��f �� �2c � � � ��3�� � ��f �2 � � � ��*2�

�� ����� �� ����� ��� ��� ������� ������� +*��� ��� ������� ������ �� ����������,�

!��� �� �� �� �� ��� ����� ��� ������-

� �

���

��

��

�����������

�f �.�2 ���e ���S �D�f � �.�2 � ���e � ���S � �D

������������

Page 5: Filter Banks and DWT

459 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

:��� �� ��� �� ������� ��� ������� ����-

�� �� ��

�����f �.�� �2�� �e�D �S

����

����

�f � �.��� �2��� �e��D �S

���� �

�����f�2�e�S

����

�� � �� ��

�����f �.�� �2�� �e�D �S

�����

����

�f � �.��� �2��� �e��D �S

���� �

�����.�����D

���� �

�� ���� ��������� ��� ��� ������� ������ ������ ���� ���� ��� ��������� ���������

��� ������� ����� ��� �� ���������� �� ��� ��������� ����� �� �� �������� �� �� ������ ���� ;��� ��$���� �� �� ���������� � �������� � � ������� �� ����� ����� �� � ������ �� ������� �� �� ��������� � < �� �� �� ���������������

��@� � �� � � ���

� ��

�@� � �� � � �

��� ������ ��@� �� �@� �������� ������� �� ��� �� � ������ �������� ������&����� ��� ���������� � �@ �� @ ������� ���� ���� �� � �������� ����� ��� &������� ��� ���� �� ��� �������� ���&�����

�� ���� ����� ���� ��� ���� ��� ���������� ���� �� �� �%�� �� ��� ��������������� ����� ��� ����� ������� ��-

�� � �� � � ��r��

� �

� � �� � �r�

��� ��� ������� ��������� ��� �������� �� ��������� ��������� �� ��� ��������� �r �� r ��� ��� �������� ������� ���� ��� ��/���� ���� ��� ������� �� �@�� @� ��� ������� �������� �� � ����� ��� ������� ��� �� �� ���� ���-

��@� � �� � �

� ��

�@� � �� � �

�������������� ���������������

� �� � � ��r��

� �

� �� � � �r�

Page 6: Filter Banks and DWT

:15 Wkh rqh vwdjh �owhu edqn/ dqdo|vlv dqg v|qwkhvlv 45:

!����� ��� 5� ������� ��� ����� ������� �������� ����� ��� ���� �� $��� � �&����� �� ��� ������ �� ��� ��������� �������� ������� �������� ���������

�����������

�����������������

�������������

����������

��������������

���������3�

�������������������

!����� ��� !����� ���� ��� �� ����������� �� ��������� �� ������� ���� � ������ ������� )� �� ��� ���� ��� ���� ����� �� �� ��� ������� ���� �� ��� ������������ �� ������� ��� ���� ������ ��� ����� ����� ��� ��� �� �������� �� ��������

!����� ��" ��� ����� �� �3��� ���4����� � �@ @ �r �� r �� ��� ���� ������ �� �� ������ ��� ����� �� ����� ;������ ���� ����� ��� �� ����� ) � ���� ������������� ������������� ����� ���� ����� �� ���� ���� � �� ���� ���� �� ������ ��� � ���� ��/�� �������� �� � � ����� ���� ��� � �� � � � ��� � ��� ������� ���� ������ ��� ��� ��/�� �� ��� ���� ��� � � � �� �� ������ ��� �� ��� ���������� �� ����� ���� ���� ����� ��� ���������� ����� �� ��� ����� �� ���� ��� ������������ ���� ���� ��-

�������� ������� � �� ������� � ���

�� �������������

��� �� ���� ��� � �� ��� � ��� � �

���� ���� ����� � �

�������� ������� � �� ������� � ��� � �

� � �

� � �����

� ����

��� ������ ����� ���� � � � ��� � ��� ������� ����� ���� �� ����� ��� ��� ����� � ��� ������������ ��/��� � ����� � ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� ������������������ �� ����� ��� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ������ �� ������ ��� ��������� � ��� �%� ����� ����� ��� ���� ����� �� ��� ����� �� ��� �� ��� ��������������� ����� �� � ��� ��� � � "����# ��� ��� ���� �������

Page 7: Filter Banks and DWT

45; Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

6�� �� ���� ���� ������ ���� � ������� �� � �� ����� ��������

0 200 400 600 800 1000 1200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1

0

1

2

3

!��� 9� ;���� +����� ���, �� �� ����� 0�� �������� +����� ���,

��� ����� ���� �� ��� ���� ���� �� ������� ������� �� ��� ���� ���� �� ��� ��� ����������� � ��� ������ ����� ����� ���� ���� ����� ������� ���� ��� ��� ������/������ �� ��� ������� ������ 5������ ���� ���� �� ��� ���� �� � ��� ���� ���������

��" #���$ ����%���� � � ��� �� �� � ����� �� �

& ����� �� � 6��7� ����3� ��� ������� ����� ��� � ����� �� ��� �������� �&

������� �� ��� �� �������� ��� ���- � �

���

��

��� � �����% ��������������

��

��

���@�� ��� �������� ��� ������� � �� � ��� ���� ��-

� ��

�����������

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

�����������

Page 8: Filter Banks and DWT

:16 Pdwul{ irupxodwlrq dqg gh�qlwlrq ri d �owhu edqn 45<

� ��

�����������

� � � � � � � ���� � � � � � � �� �� � � � � � �� � �� � � � � �� � � �� � � � �� � � � �� � � �� � � � � �� � �� � � � � � �� �

������������

*�%� �� ��� �� ���������� )� �� ���� �� ����� ���� ��� ���������� �����% � ��������� ������� ��� ��� ���&������� ���� �� ��� ������� �����%� +������� ��� � � � � �� �� �����-

�� �

����

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

����

�����������

�f���2���e�D�S�.

������������

�����f�2�e�S

���� �

*�� ��� ����� �������� �����% ��� ��� �������� ����-

�@ �

�� �

� �

���������������������������

����

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

���� �

2

�����������

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

�����������

����

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

���� �

2

�����������

� � � � � � � ���� � � � � � � �� �� � � � � � �� � �� � � � � �� � � �� � � � �� � � � �� � � �� � � � � �� � �� � � � � � �� �

�����������

���������������������������

Page 9: Filter Banks and DWT

463 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

������������

����

2� � � � � � �

2

� �

2

2� � � � �

� � � �

2

2� � �

� � � � � �

2

2�

����

����

2� � � � � � � �

2

� � �

2

2� � � � �

� � � � �

2

2� � �

� � � � � � �

2

2�

����

������������

�����������

2� � � � � � �

2

� �

2

2� � � � �

� � � �

2

2� � �

� � � � � �

2

2�

2� � � � � � � �

2

� ��

2

2� � � � �

� � � ��

2

2� � �

� � � � � � �

2

2�

�����������

!����� ��' )� �� ��� ����� ��� ���� �������� ������-

���� ��

����� �

���� � � ����������

��� ��

���� �

��

��� � � ����������

�� ����� ���� ����� � ���� ������ �����%�����������

2

2� � � � � �

� � �

2

2� � � �

� � � � �

2

2� �

� � � � � � �

2

2�

2��

2� � � � � �

� � �

2��

2� � � �

� � � � �

2��

2� �

� � � � � � �

2��

2

������������

:������ � ��� ��������� =8 �� ����� �� ��������� ���� ����� ���� �� ������:������ �� ���� �� ������� ����� ���� *�� � ����� ��������� ���� ����� ���� � �������� :������ � ����&���� ����� ��������� �� ����� �� ���� ������ ����� ��� ��������� ��� ������ �� ������� ��������� ���� ������ �������

6��� �������3� ��� ����� ����������� �� � ��������

�� �� ��� 6�� ������ �� �� ������ ��� ��� �������� �� � �&����� ������������ ��� �� � ����� �������� @c� � �

� � �� ���� �� � �����% �������������-

@c���� ��@�

Page 10: Filter Banks and DWT

:16 Pdwul{ irupxodwlrq dqg gh�qlwlrq ri d �owhu edqn 464

�����

�@ �

�� �

� �

��

1��� �%�������� �� ����-

@c���� �

���

��

��

�� ��� ��

��

�� �

� �

� �

��

�� ���� @c� ��� �&����� ����� ���� ��������� +��� ��

�� ����� �� � *�� ��� �� �%���� ��� �����% ��������� �� ��� �������� ��������� � ��������� �� ��� ��������� ����� ��� ����� ���� �� ����� ��� ��� ���������� ��������� ���� ������ �������� �� ������ ��� ��������� �������� �����������3���� � ������ ��� ������� ���� � 3������

�� �� ��" ��� ��������� ��������- � �� � �2� �� ��� ������������-

� ��f �� � � � ��3�� � ��f � ��c� � � � ��3� ���

��� ��������� �� ���������� �������� ���� � ������ �����������-

� �|�

� ��������� �� ��� ���������� ��� ����� ����� ��� �������� ��� �� � ������ ������� ��� ������� ���� 6��7� ��� ��� ������� �������� ��������� ;�� �� � �r ��� � r� ��� ���� �� �� �� �� ��� ��� �������3�� ����� ���� � ����� �����- ��������������� ����� �� ���-

� �

���

�2

��

� ��

�2

��

� �� ��

�� �2

��� �� �� �� �2

����� �� �� �2 ��� ��� ����� �� ����� ������ �� ��� ����� ������ �� ��� �����&������ �����% ������������� ���������� ��-

� �

���

�2

��

�� ��

� � ��

�2

� ��

� � �r�

�����

�r � �� ��

�6��7� ���� � �������-

�� �� ��' 6�� ������ �� �� ������ ��� ��� �������� �� � �&����� ������������� ��� �� � ����� �������� rc� � �

� � �� ���� �� � �����% �������������-

rc���� ��r�

Page 11: Filter Banks and DWT

465 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

�����

�r � �� ��

��

1��� �%�������� �� ����-

rc���� � rc�

����

�2

� �

�� ��

� � ��

�2

�� �� �� �� �2�

�� ���� rc� ��� �&����� �� �&����� ����� ����� ���� ��������� �� !����

��� ����� ������� �������� ���� �� ����� ��� ������� �������� �� �������� ������� ��� �������� ����� � ������� ������������ ����� ����

�� �� ��( ����� ������������� �� ������������ ����� ��� ���� �� �� �������� ������� �������� �� �������� ������ ��� �������� ����������� ��� �@ �� �r

����� ��� �������� ��� ������� �� ��������� ���-

�r�@ � "�

) ����� �� ��� �������� ������ �� ���-

rc��@c����� � ��

�� �� ��) ����� ��� ���� �� ���������� �� �@ �� � ��������� �����%� �����@�

|@ � "� ) ���� ����-

�r �� |@�

!����� ��( ��� ������� �������� �� � ��������� �����% �� ��� ����������� ����� ��������� ������ ���� � � � � � |� ��� ���� �������� ���

�@� ��@� � ��@� �|�@�

� � |� |@�@�

� � |� |@�@�

� � |"�

� � � ��

) ���������� ��� ����� �� � ����� �� ��������� ���� �@� ��@� � � ���

�� �� ���������� ���� �������� ������� � ��� ������� ������ �� �������� ��������� � ��������� ����� ���� ) ���� ���� �� ����-

�r �� |@

�� �� ��

�� �r �� |

@

�� �

� �

�|

��� ��

| �� ��|�

� |

��| |

��|�

� |

� |�

��

Page 12: Filter Banks and DWT

:16 Pdwul{ irupxodwlrq dqg gh�qlwlrq ri d �owhu edqn 466

>�������� ���� ���� $��� �� �� �� ����-

�� � |� �� �� � |

�� ����������� ���� �������� ������� � ������ ?� >%������ ?�=� �� ������ �� ��������� ������� ����������

*������� ��� ��� �� ������ �� �������� ������ �� ����� ���

� |��� � ��� � ��

�W��� � ��� � ���

��� �� ����������� ����������� ������� ��������

s| � |s �� sW � W

s �

!����� ��) �� �� ���� ���� � | ��� ���� �������� �� � ����

� |��� � ��� � �� � ����������

+$����� ��� 6�� � � � �� � ��f �� �2 ��

���� � | �

�f �� �2 ��

�+��������� �� � ������ ����� �� ��� � ������,� ���

s �

�����f �� �2 ���� �f �� �2�2 �� �f ���� �2 �� �f

���� s| �

�����f �� �2 ���� �f �� �2�2 �� �f ���� �2 �� �f

���� � |

s

��"�� #����� ������ ���� �� ���

��� ������� ���� ��% ��� ��� ��/���� ������������� �� ��� ������� ������������ ������� ������ � ����� ����� ����� �� ��� ����� �� ������� �� ��� ��������� ��������� �� ������ ���������� ��� �� ����������� ��� ������ �� ������������� �� ��� �������� ���� ��� ����� �� ��� �� �� � ������ ����������� � ������� ��������� � � ����� �������

)���� ���� ����� �� �������� ����;���� �2��� �2������ ������ ������ ���� ���� ��������������

;������� ������ ���� ���� ������� �������

�������� �� ��� � ������ +�� � 1�����,0��� ��3� ������ �������������� �� ��� ���� ��3� +���� ��������,

��� �&�������� ������ �� ����� ��� ������� �� �������� �� ��� ��3��� ) ��� 1����������� ��� ��� �� ������ ����� ��� �� ��� �������� ���� ��� ��3� ������� ������������� �� ��������� �� ��� �������� ��/������� 1����� ���� ������ ���

Page 13: Filter Banks and DWT

467 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

��� ��� ������� ������ � ��� ������� ��� ������ ������� �� 8� ������� ������� ��� ������� �� @� ��� ��/����� �� ���������� ��� � ����� ����� �� ������������� �� ���� � �������� ��� ������� �� ��������� ������ �����������

��� ���� ��3� ��� �� ������� :������ ��� �������

�(`A� �� RoJSerr

� � � (`A3�

� �

������ ��������� ���� ��3�� �������� ���� ��� �����% � � �� ��� ���� ��3� �� �� ������������3� ���� ��� ���� ����� �� ������ �� ��� ������� ��������� ��� ����������� ��� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ������������ !�� ����� ������ ��� ��/��������� ������ ������������ �� ����� �� ��� ����������

��' #%������� ����� �� �� � � ��� ������� ������� ��� �����

�� ��� ����� ����� ���� ��������� !�� �%����� ������ ���� ���� �� ��� ��� ���������� �� ��� ��� �� ��� ������� ������ ������� ���� ��� �%����� ���� ������� ������

��@� � �� � � ����

��@� � �� � � ��� �

� � �@� � �� � � ���

�@� � �� � � �

��@� � �� � � ����

��@� � �� � � ��� �

� �@� � �� � � ��� �

� ��@� � �� � � ��� �

�@� � �� � � ��

�@� � �� � � �

��� ������� �� ��� ��������� ���� ��� ������������-

�� ���

���

��

��

Page 14: Filter Banks and DWT

:17 Pxowlvwdjh �owhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup 468

��

�������

���

���

���

����

������������� +��� ����� ��������� �� ��� ���� ���������, ��� ��� ����� ��� �������� ����� �� ������������ ����� ��� ��� ���� ������ ��� ��� ����� ���� ������&���� �� ��������� ��� ����� ����� ��� �� ��� &����� ���� ����� ��� ����� ���� ��������� �� ������ �� ������� �������� ����� �� �� �� ������ ����� ������ �� �� �����&����� � 1������ ������ �� �� ��������� �� �� �� ����� �� ������� ��/���� ����� ������� ����� ����� 6�� �� ������� ��� ��� ����� ������������ ��������� �� ��� ������� ����� ����� ���� ��� ������������ ��� ��� �������� �������3����-

�`@c�

���

��

�`@c2

�� ���

���

��

�� �

���� ��� ������� �����% �� ��� ����� ��� ��� ��� ����- � � �@c2�@c� ������@c� ��� ��� ��������� ���� ����� ��� � ������� �����% �� �@c2 ��� ��� ����-

�@c2 �

�#@c2 �� "

����� #@c2 �� ��2� �

2������� �����%�

!����� ��� ) ��� ����� ���� �� ��� ������� �� ���� �� �� ����� ) ��� �������� �� �� ���� � ���� �� ��� �� ��� ������ ��3�� ����� ���� ����� � ������ ����������� �� � ����� ����� �� �

Page 15: Filter Banks and DWT

469 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

:��� �� � ������� �� �� �� ��� ����� ���������-

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1

0

1

2

0 200 400 600 800 1000 1200-2

0

2

4

0 200 400 600 800 1000 1200-4

-2

0

2

4

!��� 9�A 5������� 8&����� �� &����� ������� ���������

�� �� ��� 6�� �� � �� � ��� ���� ���� ���� ����� ��� ����� !�� ! � � � � � ����� ��� � �� �����%

�@c� �

�#@c� �� "�

����� #@c� �� ��� ������� ����� ��� �����% ��������� �� �� � �������� � ��������� ����� ���3� �� "� �� � ������������ ������� �����%� ��� �&����� �� �&������������� ������� �������� �� ��� ����� �������� � �� ����� ��-

� � @co��� ��@co�@co3� �@c���

��� ������������ �� �/����� �� ���������� � �� � ������� ����� ��� ����������� ��� ������� ������ �� ���� ������ )� ��� �� �� ��� ���������� �������� ������� ��� ������ ������� �������� �� ��� �������� ����� �� ����� �%���� �� ����

� � rco��� ��rc��rc2 �rco��

���� �rc� �� �� ����� ��-

�rc� �

�#rc� �� "�

�� #rc� �� ��� ����������� �������� �����%� ������������� ��� �������� ���/����� �� ���������� �������� ����� ������ )� �� �� �� ��� �� ���� ����� �� �������� �� ��� ��������� �� ����� @ �� r�

!����� ��, )� ��� ���� ������ � �� � ��� ����� �� �� � ����������� ������ ���rco�@co���� � � ��� ��� � �� ��� ��

Page 16: Filter Banks and DWT

:18 Wkh 5G zdyhohw wudqvirup 46:

��( ��� � ������� ��� �����

*�� ���� ��� �� � �� � ��� ����� ���� ���� ����� ���� �� ���� �� � �� �����%������ �� ������ ���� ���� �� � ��� ��������� �� ��������� ����� ������ �� ������ ��� ��� �������� � ������� ��������� �� �� ����� ��� �������� �� ����������� �� �� �������� ��� ��� ������ �� � �� ��� ��� ��� ���� �� ��� �������������%� 6��7� ���� � ��������

�� �� ��, 6�� � � � �� �� �� ������ ��� ��� �&������ � ��������������� ��������� �� �� � �� ��� ����� �������� ���� ��-

@c���� �� @���� @

� �|

������ @� ��� @

� ��� ��� � �� ��� ������� �������� ��������� �� �� ��;��������� ���� ��� ������ ��������-

rc���� �� r���� r

� �|

+$����� ��� 6�� �� ���� ��� ������ �� ����� �������� �� "(������# ���� ��� �&����� ������� ���������

!��� 9�= 5������ )���� !�� 9�? 8&����� 0�� ��������

����� ��� �� �������� ���� � ��� ������ ��� � �������� ����� � ���� ������������ �� ����� ����� ��$��$$$ �� � ��� ���������-

��� ������� �� $����� �$ $$

���� ����

��� �����%������ �������� ����������� ����3���� ������� ������� �������

��� �� ����� +���&���, �� � ��� ����� ���� ��� ����� �� ����� ���� �������������� � ���� ���������� 5� ��� ���� ������ �� �� ��� ���� ���� ��� ������� �������

Page 17: Filter Banks and DWT

46; Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

�� �� �� ������ ��� �����%������� ��� ������� ����� ������ ��� ������ ��������������� ��� ����� ����� ����� ����� ���� ���� ���� ������� � ��� ����3������������ +����, �� ��� ���� ������� � ��� �������� �������� +������,� �� ����� ��� ����� $�� ��� ������� ������� � ���� ���&������ ���� �� ������ ���� �������� �������� ��������� ���� ����� ������� �� ������������ �� ��� �������� ����� ���� ���� �������� ��������� ���� ��� ������ �������� �������� ��� ��������������� ���� �������� �%��������� )� � � @����� ��� �� �����-

� �

��� �T

�M �(

����� ���� �� ��� �������� �� � �2� �

2�����%�

#%��-����� ��� ������ �� ��� �� ������ �� � �����&����� ���������� (���� ������ &����� �������� �� (�������

!��� 9�B &����� 0�� ��������

!����� ��. !�� ����� ������� �� ������� ���� �� � � � �� � ������� ����� �������� �� �����%������ ��������% �� �� ������ ���&����������

6��7� ���� ��� ������ ���� � ������� �� ��� ���������� � ��� ���� ���������� � ��������

�� �� ��. 6�� � � � �� �� �� � ��� �������� �������� 6�� �� �2� � � �o �� ��� �������� ������ �� �������- ��� �����% �� �� ��� �����% ������ ���������� ��� ��� �� � ���-

�� �� @���� @

� �| �

���c� ��cT

��cM ��c(

�� ���

Page 18: Filter Banks and DWT

:18 Wkh 5G zdyhohw wudqvirup 46<

*�%� ��� ��c� �� ����2� �

2����� ���� ������� �� �� +��� �����%������ ���&�����,

�� ��� �2 �� ��� �����% ������� ���� �� �� �������� ��c� �� ��� ��� �����

�2 �

�� @

�*2��c���@�*2�

| ��cT

��cM ��c(

��

����c��� ���c��T���c��M ���c��(

���cT

��cM ��c(

��

��

��2c� �2cT

�2cM �2c(

���cT

��cM ��c(

��

) ������� ����� ����� �o ��� �oc� �� ����2o

� �2o����� ���� �����%������ ���&

�����%� ��� �on� �� ��� �����% ������� ���� �o �� �������� �oc� �� ��� 8 �������� ����� ��� ��� ���� ������� ������-�

�on�c� �on�cT

�on�cM �on�c(

��

!�� �%����� �� ����� A �� ���-

�� �

����

��

���c� �2cT

��cM ��c(

��2cT

�2cM �2c(

�� ��cT

��cM ��c(

���� �

��� �&����� +�� � &�����, ��� �������� �� � �� ��� �����% �o� ) ������� �� ����-

@co � � � �o �� �o � @co���

��������� ��� �������� ��������

rco � �o � ��

�� ������� �� �������� ��� ����� ����� ���� ��� �������� ������� �� ���������

������� ��� �� ������ ����� ���� ��������� @co � � � �o �� � �����

���������� �� �� ����� � �� � ���� � ������������ ����� ���

rco � 3�

@co

�� ��� �� ���������� �����

rco � |@co�

!����� ���/ �� ���� ��� � �� �� �� �� ��� �� ��� ��� ����� �� �������������@ ��� �� �� ���������� ��������� �� � �����%� ��� ������������ ������������ ���� ��� �������� ��� ���������- +@���� � �@�� �� � � � �� ;�� ������ �8B�

Page 19: Filter Banks and DWT

473 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

!����� ���� ��� ������� ���� ��% ��� ��� ��/���� �������� �� ��� ���������������� ��� ���� ����� � ������ ��� ������ �����% �� ��� ���� ������������������� ) ��� 1 �6 ( ������ ������ �� ������ ����� ��� �� ��� ������������ ��� ���� ������� ) ��� ������ �� �� ��� �� �� � ������ ����� o �� �����%���� ����� �� ������� ���� �� �� ) ��� 1 �6 ( ������ �� ��������� ��� ����� �� � ���� �� �� ��� �������� ���� �� ���� ��� ��� ����� ������������ �� ������ � ��� �� �� �� ���� ������ ��� � ��� 1 �6 ( ������ ��� ��3� ����� �����% ��� �� ������� :������� ��� �������

�(`A� �� RoJSerr

� � � (`A3�

� �

������ ��������� ���� ��3�� �������� ���� ��� �����% � � �� ��� ���� ��3� �� �� ������������3� ���� ��� ���� ����� �� ������ �� ��� ������� ��������� ��� ����������� ��� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ������������

!����� ���� ��� �������3���� �� �� ��� ����� ��� ��� �&����� ���������

��) &����$���� � � � ������

�� ��� ����� ��� �&����� �� &����� 0��7� ��

���

��

�� @c����

�� ���

���

��

�� � @c2���

����� �� �� �� ��� ����� ������� �� ������2�� ��� �� �,� ��� ������� �� �����

�e� 5������ ����

� � rc��@c����� � rc�

����

��

� rc�

����

���

� rc�

����

� rc�

�����

� %�� &���

��� ��� ������� %�� �� &�� ��� ������ ��� ����� � �� ����� � +��� ����, �����%���&���� �� +���� ����, ������� ������������� *��� ���� %�� �� &�� ��� ������� �� ������� ��3� �� � ������ ��� ����������� ������� �, �� �� ��� ������� �� ���� ���

Page 20: Filter Banks and DWT

:19 Dssur{lpdwlrqv dqg ghwdlov 474

��3�� *�� ��� �� ���� �� ��� �%� �����-

� � rc2�@c2���� � rc2

���� ���

���

��

����

� rc2

���� ���

��

����

����

����

� rc2

���� ���

��

����rc2

���� ����

����rc2

���� �

���

����

*�� �� ��� ���������� �� ��� ����� ����� �� ��� ���

rc2

���� �

���

���� � rc�

���� �

���

����

�� ���� �� ��� �����-

� � %2� &2� &��

����� %2� �� &2� ��� ������ ��� ����� �����%������ �� ������� ������������� ����� ������ �� ����� ��

� � %�� &�� &2� &��

� %�e &e� &�� &2� &��

� � %o� &o� &o3�� &2� &���

:��� ��� ��� �������� �� � �� ������ �� �����%������ �� �������

Page 21: Filter Banks and DWT

475 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5aX0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5dX1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5aX1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5dX2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5aX2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5dX3

!��� 9�9 0������ �� �����%�������

)� �� ��� � � %�f �� ����- 5�������� �� ������������-

%f� � %�� &�� �� � %f� � � � &��

%�� � %2� &2� �� � %2� � %�� � &2�

%2� � %�� &�� �� � %�� � %2� � &��

����� %?n�� � %?� � &?n��� ���� �� ��� ������ �� ������ �����%������� �� � �������������� ������ �/ ������� �� ������� ������� ���� ��� ������� �� )� � �� � ���������� �� �� ������ ���� ��� ��� ������ ��� ������� � ��� ����� ���� �� ���� ������� ����������

&����$���� � � � ������ ��� ����� �� �� �� ��� ���� ��� ������ ������

Page 22: Filter Banks and DWT

:19 Dssur{lpdwlrqv dqg ghwdlov 476

��� ��� �� �%���� ����3����� �������� �� ������� ������� �����������

%f� � rc��@c�����

� rc�

���� �T

�M �(

� rc�

���� �� �

� rc�

��� �T

� �

rc�

��� ��M �

� rc�

��� �� �(

� �� �T �M �(

:��� ��� ��� ������� ����������-

CA XA

!��� 9�C- ����%������ ���4����� �� �������������

CV XV

!��� 9�D E������� ������ ���4����� �� �������������

Page 23: Filter Banks and DWT

477 Fkdswhu : Ilowhu edqnv dqg wkh glvfuhwh zdyhohw wudqvirup

CH XH

!��� 9�8@ :���3���� ������ ���4����� �� �������������

CD XD

!��� 9�88 0������ ������ ���4����� �� �������������

��� +$������

+$����� ��� 6�� � �� � ������ ������ ����� ��� ���� �� ����� ������ ������%o� � %o� �� &on��� &on�� ��� � � � � � � � � � ���� �� ��� ������� ���������� ���F

*��0��� ��� ��� ���������� ����������� ���������� �� �������� ������� �������� �� ��� �� ��� ����������� %o� %o3�� � %o� &o� %o32� � %o3�� &o3��